数学---江苏省徐州市沛县、南通市如皋市2017-2018学年高一(上)期中试卷(解析版)

江苏省徐州市沛县、南通市如皋市2017-2018学年高一（上）
期中数学试卷
一、填空题
1．（5分）已知集合A={x|﹣3＜x＜4，x∈R}，则A∩N*中元素的个数为．
2．（5分）sinπ=．
3．（5分）已知f：x→x2是集合A到集合{0，1，4}的一个映射，则集合A中的元素最多有个．
4．（5分）已知sinα=，且α是第二象限角，则cosα=．
5．（5分）函数的单调递减区间为．
6．（5分）已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（9）=．
7．（5分）已知扇形的面积为平方厘米，弧长为厘米，则扇形的半径r为厘米．8．（5分）计算=．
9．（5分）函数y=的值域是．
10．（5分）若函数y=f（x）的定义域是[0，6]，则函数的定义域为．11．（5分）已知=．
12．（5分）已知函数，若在[a，a+2）上有最小值和最大值，则实数a 的取值范围是．
13．（5分）已知函数，实数a，b，c，d∈[﹣1，+∞）且a＜b ＜c＜d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则lg（﹣a）﹣lg b+4c+26﹣d的取值范围是．
14．（5分）若函数在实数R上有三个不同的
零点，a为常数，则实数a=．
二、解答题
15．（14分）已知全集U=R，集合A=（﹣3，1]，集合B={x∈R|y=lg（2x﹣1）}和区间C=（1﹣a2，1+a）．
（1）求A∪（∁R B）；
（2）当A∩C=（0，1]时，求a的值．
16．（14分）已知函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在其定义域上的单调性并用定义证明．
17．（15分）已知角α的张终边经过点，且α为第二象限．（1）求m的值；
（2）若，求的值．
18．（15分）某投资人欲将5百万元奖金投入甲、乙两种理财产品，根据银行预测，甲、乙两种理财产品的收益与投入奖金t的关系式分别为，其中a为常数且0＜a≤2．设对乙种产品投入奖金x百万元，其中1≤x≤4．
（1）当时，如何进行投资才能使得总收益y最大；（总收益y=y1+y2）
（2）银行为了吸储，考虑到投资人的收益，无论投资人奖金如何分配，要使得总收益不低于，求a的取值范围．
19．（16分）已知函数f（x）=（x﹣1）|x﹣a|（a∈R）．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥1的解集；
（2）当a=2时，若对任意互不相等的实数x1，x x∈（m，m+4），都有成立，求实数m的取值范围；
（3）判断函数在R上的零点的个数，并说明理由．
20．（16分）已知函数为奇函数．
（1）求k的值；
（2）当函数f（x）的定义域为R时，若，求实数t的取值范围．
【参考答案】一、填空题
1．3
【解析】集合A={x|﹣3＜x＜4，x∈R}，
则A∩N*={1，2，3}，其中元素的个数为3．
2．
【解析】sinπ=sin（8）=sin=．
故答案为：．
3．5
【解析】令x2=0，1，4，
解得：x=0，±1，±2，
故最多有5个，
故答案为：5.
4．﹣
【解析】∵sinα=，且α是第二象限角，
∴cosα=﹣=﹣．
故答案为：﹣.
5．（﹣∞，﹣2），（﹣2，+∞）
【解析】函数的图象
可由函数y=的图象向左平移2个单位得到，
且函数y=的减区间为（﹣∞，0），（0，+∞），
则f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣2），（﹣2，+∞），
故答案为：（﹣∞，﹣2），（﹣2，+∞）．
6． 3
【解析】由题意令y=f（x）=x a，由于图象过点（2，），
得=2a，a=
∴y=f（x）=
∴f（9）=3．
故答案为：3．
7．2
【解析】设扇形的半径为r，
由扇形的面积公式得：S=וr=，
解得：r=2（cm）．
故答案为：2．
8．
【解析】原式=+4﹣=8﹣=，
故答案为：．
9．（0，2]
【解析】∵|x|+1≥1，∴，
函数y=的值域是：（0，2]．
故答案为：（0，2]．
10．（1，2）∪（2，3]
【解析】由y=f（x）的定义域是[0，6]，得
，解得1＜x≤3且x≠2．
∴函数的定义域为：（1，2）∪（2，3]．故答案为：（1，2）∪（2，3]．
11．
【解析】∵，
∴，
∴
=
=
=，
故答案为：.
12．（0，﹣1]
【解析】函数f（x）=x+，
则f′（x）=1﹣，
∴f（x）在（0，1）为减函数，在（1，+∞）为增函数，∵f（x）在[a，a+2）上有最小值和最大值，
∴f（a）=a+，f（a+2）=a+2+，
∴a+≥a+2+，且a＞0，
即a2+2a﹣1≤0，且a＞0
解得0＜a≤﹣1，
故答案为：（0，﹣1]．
13．（12，32）
【解析】画出函数f（x）的图象，如图所示，
∵数a，b，c，d∈[﹣1，+∞）且a＜b＜c＜d，满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），∴a+b=0，c+d=4，1＜c＜2＜d＜3
∴lg（﹣a）﹣lg b+4c+26﹣d=lg b﹣lg b+22c+22+c=22c+22+c，
设2c=t，则t∈（2，4），
则f（t）=t2+4t，在（2，4）上单调递增，
∴f（t）∈（12，32）
故lg（﹣a）﹣lg b+4c+26﹣d的取值范围是（12，32）；
故答案为：（12，32）.
14．
【解析】函数，
由f（﹣x）=log a（|﹣x|+1）﹣a|﹣x|﹣a2﹣a+
=log a（|x|+1）﹣a|x|﹣a2﹣a+=f（x），
可得f（x）为偶函数，
由题意f（x）在实数R上有三个不同的零点，
则必有f（0）=0，
即为log a1﹣0﹣a2﹣a+=0，
即有（a﹣）（a+）=0，
由a＞0且a≠1，
可得a=．
故答案为：．
二、解答题
15．解：（1）由题意，集合A=（﹣3，1]，
集合B={x∈R|y=lg（2x﹣1）}
={x|2x﹣1＞0}
={x|x＞0}
=（0，+∞），
∴∁R B=（﹣∞，0]，
∴A∪（∁R B）=（﹣3，0]；
（2）集合A=（﹣3，1]，C=（1﹣a2，1+a），
由A∩C=（0，1]，得，
解得，
∴a=1．
16．（1）解：令t=2x，
由得t＞1，于是，
∴（x＞1）．
（2）证明：f（x）在（1，+∞）上单调递减，
设任意的x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，
则，
令，则，∵1＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1﹣1＞0，x2+1＞0，
∴t＞1，∴，
∴f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在（1，+∞）上单调递减．
17．解：（1）由三角函数定义可知，解得m=±1，
∵钝角α，
∴m=﹣1．
（2）∵由（1）知，
∴
18．解：（1）当时，，令，则1≤t≤2，对称轴，
∴当时，总收益y有最大值，
此时，
答：甲种产品投资百万元，乙种产品投资百万元时，总收益最大．
（2）由题意：恒成立，
即
令，
设，则t∈[1，2]g（t）=﹣at2+t+a，对称轴为，
①若，即时，．
则，∴．
②若，即时，恒成立，∴．综上：a的取值范围是．
19．解：（1）当a=1时，不等式（x﹣1）|x﹣1|≥1，
故或，
解得x≥2，解集为[2，+∞）．
（2）∵，
∴f（x）的单调增区间为和（2，+∞），
又∵f（x）在（m，m+4）上单调增，
∴，解得或m≥2，
∴m的取值范围为；
（3）
当x≥a时，对称轴，因为，
于是f（a）=a2﹣a2﹣2a﹣a=﹣3a＞0，
即
又f（2）=﹣3a＞0，
由零点存在性定理可知，
函数g（x）在区间和区间各有一个零点；
当x＜a时，对称轴，
函数g（x）在区间（﹣∞，a）单调递增且
所以函数在区间（﹣∞，a）有一个零点
综上，函数在R上有3个零点．20．解：（1）∵函数为奇函数，
∴对任意x，有f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，
即对任意x，恒成立，
即k22﹣x﹣2x=2﹣x﹣k22x，
解得k=±1；
（2）函数的定义域为R，
由（1）可知k=1，，
令，定义域为R，
设x1＜x2则，
，
g（x1）＜g（x2），
∴函数在（﹣∞，+∞）上单调递增，
∵，
∴g（x）为奇函数，
，
f（1﹣2log2t）+f（3log2t﹣1）≤﹣log2tf（1﹣2log2t）+（1﹣2log2t）≤﹣f（3log2t﹣1）+（1﹣3log2t），
，
1﹣2log2t≤1﹣3log2t，
解得0＜t＜1.。