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2016年厦门第一次市质检理科数学

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2016年福建省综合质检理科数学答案

2016年福建省综合质检理科数学答案

2016年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学试题答案及评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． （1）B （2）C （3）D （4）A （5）B （6）C （7）B （8）C （9）D （10）D （11）A （12）B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分． （13）0.3 （14）3- （15）5- （16）263三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．满分12分． 解法一：（Ⅰ）因为BCD S △即1sin 2BC BD B ⋅⋅= ······················ 2分 又因为3B π=,1BD =，所以4BC = ． ················································· 3分 在△BDC 中,由余弦定理得，2222cos CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅, ··········· 5分 即21161241132CD =+-⨯⨯⨯=，解得CD =． ······························ 6分 （Ⅱ）在△ACD 中，DA DC =，可设A DCA θ∠=∠=，则ADC θ=π-2∠，又AC =sin 2sin AC CDθθ=， ······································ 7分所以2cos CD θ=． ·········································································· 8分在△BDC 中, 22,23BDC BCD θθπ∠=∠=-， 由正弦定理得，sin sin CD BDB BCD =∠，即12cos 2sin sin(2)33θθ=ππ-， ··········· 10分化简得2cos sin(2)3θθπ=-， 于是2sin()sin(2)23θθππ-=-． ························································ 11分 因为02θπ<<，所以220,222333θθπππππ<-<-<-<， 所以2223θθππ-=-或2+2=23θθππ--π,解得==618θθππ或，故=618DCA DCA ππ∠∠=或． ······························ 12分解法二：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）因为DA DC =， 所以A DCA ∠=∠． 取AC 中点E ，连结DE ，所以DE AC ⊥． ··············································································· 7分 设DCA A θ∠=∠=，因为AC =2EA EC ==． 在Rt △CDE中，cos CE CD DCA ==∠ ····································· 8分以下同解法一．（18）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分． 解法一：（Ⅰ）连结1AB ，在1ABB △中，111,2,60AB BB ABB ==∠=，由余弦定理得，22211112cos 3AB AB BB AB BB ABB =+-⋅⋅∠=，∴1AB =，…………………………………………1分∴22211BB AB AB =+，∴1AB AB ⊥．………………………………………2分 又∵ABC △为等腰直角三角形，且AB AC =， ∴AC AB ⊥， 又∵1ACAB A =，∴AB ⊥平面1AB C ． ········································································· 4分 又∵1B C ⊂平面1AB C ，∴AB ⊥1B C ．·················································································· 5分（Ⅱ）∵111,2AB AB AC BC ====，1B∴22211B C AB AC =+，∴1AB AC ⊥． ················································ 6分如图，以A 为原点，以1,,AB AC AB 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系， ······································································································ 7分 则()(()()1000,0,100010A B B C ，，0，，，，，，∴()()11,0,3,1,1,0BB BC =-=-． ···················································· 8分 设平面1BCB 的法向量(),,x y z =n ，由10,0,BB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0,0,x x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩令1z =，得x y ==∴平面1BCB 的一个法向量为)=n ． ……………………9分∵()((1110,1,0AC AC CC AC BB =+=+=+-=-，……………………………………………………………………………10分∴111cos ,35||||AC AC AC ⋅<>===n n n ，….……………11分 ∴1AC 与平面1BCB 所成角的正弦值为35． ······································ 12分 解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）过点A 作AH ⊥平面1BCB ，垂足为H ，连结1HC ，则1AC H ∠为1AC 与平面1BCB 所成的角． ·············································· 6分 由（Ⅰ） 知，1AB AB ⊥，1AB =1AB AC ==，12B C =，∴22211AB AC B C +=，∴1AB AC ⊥，又∵ABAC A =，∴1AB ⊥平面ABC ， ············································ 7分 ∴1111113326B ABC ABC V S AB AB AC AB -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△． ······················· 8分 取BC 中点P ，连结1PB ，∵112BB B C==，∴1PB BC ⊥．又在Rt ABC △中，1AB AC ==，∴BC=2BP =， ∴12PB ===， ∴1112B BC S BC B P =⨯=△． ···························································· 9分11∵11A BCB B ABC V V --=，∴1136BCB S AH ⋅=△，即13AH =7AH =． ············ 10分 ∵1AB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴1AB BC ⊥， 三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，112B C BC ==， ∴111AB B C ⊥，∴1AC == ···································· 11分 在1Rt AHC △中，11sin AH AC H AC ∠===所以1AC 与平面1BCB所成的角的正弦值为35． ································ 12分 （19）本小题主要考查古典概型、随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想．满分12分． 解：（Ⅰ） 记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M ，则220210019()495C P M C ==． ····································································· 4分（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a ，则 当38a =时，384152X =⨯=； 当39a =时，394156X =⨯=； 当40a =时，404160X =⨯=； 当41a =时，40416166X =⨯+⨯=； 当42a =时，40426172X =⨯+⨯=．所以X 的所有可能取值为152,156,160,166,172． ······································· 6分 故X 的分布列为：······································································································ 8分11121()1521561601661721621055510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以． ······ 9分 （ⅱ）依题意， 甲公司送餐员日平均送餐单数为380.2390.4400.2410.1420.139.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ············· 10分所以甲公司送餐员日平均工资为70239.5149+⨯=元． ·························· 11分 由（ⅰ）得乙公司送餐员日平均工资为162元．因为149162<，故推荐小明去乙公司应聘． ········································· 12分（20）本小题考查圆与抛物线的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等．满分12分． 解法一：(Ⅰ)将2p x =代入22y px =，得y p =±，所以2ST p =， ··················· 1分 又因为90SPT ∠=，所以△SPT 是等腰直角三角形， 所以SF PF =，即32p p =-， 解得2p =，所以抛物线2:4E y x=，…………………………………………3分此时圆P =所以圆P 的方程为()2238x y -+=． ···························································· 4分(Ⅱ)设()()()001122,,,,,M x y A x y B x y ，依题意()220038x y -+=，即2200061y x x =-+-． ··········································· 5分（ⅰ）当直线l 斜率不存在时，()3M ±， ①当3x=+24y x =，得()2y =±．不妨设()()32,32A B ++-， 则1,1,1,AF BF AF BF k k k k ==-=-即AF BF ⊥．②当3x =-AF BF ⊥．………………….6分 （ⅱ）当直线l 斜率存在时，因为直线l 与抛物线E 交于,A B 两点，所以直线l 斜率不为零，01x ≠且00y ≠． 因为l MF ⊥，所以1l MF k k =-，所以001l x k y -=，…………………………………………………..7分直线()00001:x l y x x y y -=-+．由()200004,1y x x y x x y y ⎧=⎪-⎨=-+⎪⎩得，2220000004444011y x y x y y x x +--+=-- ， ················ 8分 即200004204011y x y y x x --+=--，所以001212004204,11y x y y y y x x -+==--， ············· 9分 所以()()121211FA FB x x y y ⋅=--+=2212121144y y y y ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭······················· 10分 ()()()222221212121212123111641642y y y y y y y y y y y y ++=-++=-++()()()22000220005143061111x y x x x x --=-++---()()()()()2220000020514165111x y x x x x --+-+--=- ()2200020244441x x y x ---=-()()220002046101x y x x -+-+==-，所以AF BF ⊥． ··················································································· 12分 解法二：(Ⅰ)同解法一．(Ⅱ)设()00,M x y ，依题意()220038x y -+=，即2200061y x x =-+-， （*） ······ 5分设()22121212,,,44y y A y B y y y ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()222100211,,,4y y FM x y AB y y ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，2212010020,,,44y y MA x y y MB x y y ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ········································ 6分 由于FM AB ⊥，//MA MB ，所以()()()()22210021221202001010,40.44y y x y y y y y x y y x y y ⎧--+-=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪-----= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩ ································ 7分 注意到12y y ≠，()()()()()1200120120140,140.2y y x y y y y y y x +-+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩ ························ 8分 由（1）知，若01x =，则00y =，此时不满足（*），故010x -≠，从而（1），（2）可化为001212004204,11y x y y y y x x -+==--． ························· 9分 以下同解法一.（21）本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．解法一：（Ⅰ）因为()()111f x a x x '=->-+，()e 1x g x '=-， ···························· 2分 依题意，()()00f g ''=，解得1a =， ························································ 3分 所以()111f x x '=-+1xx =+，当10x -<<时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>． 故()f x 的单调递减区间为()1,0-， 单调递增区间为()0,+∞． ···················· 5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0x =时，()f x 取得最小值0．所以()0f x ≥，即()ln 1x x +≥，从而e 1x x +≥． 设()()()()()e ln 111,x F x g x kf x k x k x =-=++-+- 则()()()e 11111x k kF x k x k x x '=+-+++-+++≥， ····································· 6分 （ⅰ）当1k =时，因为0x ≥，所以()11201F x x x '++-+≥≥（当且仅当0x =时等号成立）， 此时()F x 在[)0,+∞上单调递增，从而()()00F x F =≥，即()()g x kf x ≥． ······ 7分 （ⅱ）当1k <时，由于()0f x ≥，所以()()f x kf x ≥． ································ 8分 由（ⅰ）知()()0g x f x -≥，所以()()()g x f x kf x ≥≥，故()0F x ≥，即()()g x kf x ≥． ······································································································ 9分（ⅲ）当1k >时， 令()()e 11x kh x k x =+-++，则()()2e 1x k h x x '=-+，显然()h x '在[)0,+∞上单调递增，又())1010,110h k h ''=-<=->，所以()h x '在()1-上存在唯一零点0x ， ··········································· 10分 当()00,x x ∈时，()0,h x '<所以()h x 在[)00,x 上单调递减， 从而()()00h x h <=，即()0,F x '<所以()F x 在[)00,x 上单调递减，从而当()00,x x ∈时，()()00F x F <=，即()()g x kf x <，不合题意．·········· 11分 综上， 实数k 的取值范围为(],1-∞． ··················································· 12分 解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0x =时，()f x 取得最小值0．所以()0f x ≥，即()ln 1x x +≥，从而e 1x x +≥． 设()()()()()e ln 111,x F x g x kf x k x k x =-=++-+- 则()()()e 11111x k k F x k x k x x '=+-+++-+++≥()11xx k x =+-+， ··············· 6分（ⅰ）当1k ≤时，()0F x '≥在[)0,+∞恒成立，所以()F x 在[)0,+∞单调递增． 所以()()00F x F =≥，即()()g x kf x ≥． ··················································· 9分 （ⅱ）当1k >时，由（Ⅰ）知，当1x >-时，e1xx +≥（当且仅当0x =时等号成立）， 所以当01x <<时，e1xx ->-+，1e 1x x<-． 所以1()e 1(1)e 111xx kx F x k x x '=---=--++ 1111kx x x <---+11x kxx x =--+()211()11k k x x k x -+-+=-． ··············· 10分于是当101k x k -<<+时，()0,F x '<所以()F x 在10,1k k -⎡⎫⎪⎢+⎣⎭上单调递减.故当101k x k -<<+时，()(0)0F x F <=，即()()g x kf x <，不合题意． ······ 11分 综上， 实数k 的取值范围为(],1-∞． ··················································· 12分 解法三：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）（ⅰ）当0k ≤时，由（Ⅰ）知，当0x =时，()f x 取得最小值0． 所以()0f x ≥，即()ln 1x x +≥，从而e 1x x +≥，即()0g x ≥．所以()0kf x ≤，()0g x ≥，()()g x kf x ≥． ················································ 6分 （ⅱ）当0k >时，设()()()()()e ln 111,x F x g x kf x k x k x =-=++-+-则()()e 11x kF x k x '=+-++， 令()()h x F x '=，则()()2=e 1x kh x x '-+．显然()h x '在[)0,+∞上单调递增． ·························································· 7分 ①当01k <≤时，()()'010h x h k '=-≥≥，所以()h x 在[)0,+∞上单调递增，()()00h x h =≥； 故()0F x '≥，所以()F x 在[)0,+∞上单调递增，()()00F x F =≥，即()()g x kf x ≥． ······································································································ 9分 ②当1k >时，由于())1'010,'110h k h =-<=->，所以()h x '在()1-上存在唯一零点0x ， ··········································· 10分 当()00,x x ∈时，()0,h x '< ()h x 单调递减，从而()()00h x h <=，即()0,F x '<()F x 在[)00,x 上单调递减，从而当()00,x x ∈时，()()00F x F <=，即()()g x kf x <，不合题意．·········· 11分 综上， 实数k 的取值范围为(],1-∞． ··················································· 12分请考生在第（22），（23），（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．（22）选修41-：几何证明选讲本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等．满分10分．解法一：（Ⅰ）连结DE ，因为,,,D C E G 四点共圆，则ADE ACG ∠=∠． ········· 2分 又因为,AD BE 为△ABC 的两条中线， 所以点,D E 分别是,BC AC 的中点，故DEAB ． ············································ 3分 所以BAD ADE ∠=∠， ················································································ 4分 从而BAD ACG ∠=∠． ················································································ 5分 （Ⅱ）因为G 为AD 与BE 的交点，故G 为△ABC 的重心，延长CG 交AB 于F ，则F 为AB 的中点，且2CG GF =． ······························································· 6分 在△AFC 与△GFA 中，因为FAG FCA ∠=∠，AFG CFA ∠=∠，所以△AFG ∽△CFA ， ······································································· 7分 所以FA FGFC FA=，即2FA FG FC =⋅．………………………………………………………9分 因为12FA AB =，12FG GC =，32FC GC =， 所以221344AB GC =，即AB =， 又1GC =，所以AB =． ········································································ 10分 解法二：（Ⅰ）同解法一． ······································································· 5分 (Ⅱ) 由(Ⅰ) 知，BAD ACG ∠=∠，因为,,,D C E G 四点共圆，所以ADB CEG ∠=∠， ·········································· 6分所以ABD △∽CGE △，所以AB ADCG CE=， ……………………………………………7分 由割线定理，AG AD AE AC ⋅=⋅， ······························································ 9分又因为,AD BE 是ABC △的中线，所以G 是ABC △的重心， 所以23AG AD =,又=2=2AC AE EC ， 所以222=23AD EC，所以AD CE= FABCDEG。

福建省厦门市高中毕业班第一次质量检查理科数学试题参考答案

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福建省厦门市高中毕业班第一次质量检查理科数学试题&参考答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分,考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合{}2560A x x x =--≤，11B xx ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭0，则AB 等于A. [16]-，B. (16]，C. [1+)-∞，D. [23]， 2.已知复数iia z -+=1（其中i 为虚数单位），若z 为纯虚数，则实数a 等于 A. 1- B. 0 C. 1D.3. ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若45A a b =︒=，，则B 等于A. 30︒B. 60︒C. 30︒或150︒D. 60︒或120︒4. 若实数x y ，满足条件1230x x y y x≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则1y z x =+的最小值为A.13B. 12C. 34D. 15.已知平面α⊥平面β，=l αβ，直线m α⊂，直线n β⊂，且m n ⊥，有以下四个结论：① 若//n l ，则m β⊥ ② 若m β⊥，则//n l③ m β⊥和n α⊥同时成立 ④ m β⊥和n α⊥中至少有一个成立 其中正确的是A ．①③B ． ①④C ． ②③D ． ②④ 6．已知Rt ABC ∆，点D 为斜边BC 的中点，63AB =，6AC =，12AE ED =，则AE EB ⋅等于A. 14-B. 9-C. 9D.14 7.抛物线24y x =的焦点为F ，点(3,2)A ，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则PAF ∆周长的最小值为A. 4B. 5C.D.8.某校高三年级有男生220人，学籍编号1，2，…，220；女生380人，学籍编号221，222，…，600.为了解学生学习的心理状态，按学籍编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查（第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为10），然后再从这10位学生中随机抽取3人座谈，则3人中既有男生又有女生的概率是A ．15 B. 310 C. 710 D.459.二分法是求方程近似解的一种方法，其原理是“一分为二，无限逼近”.执行如图所示的程序框图，若输入12120.1x x d ===，，，则输出n 的值为A.2B.3C.4D. 5 10.已知定义在(0,)+∞上连续可导的函数()f x 满足'()()xf x f x x +=，且(1)1f =，则A. ()f x 是增函数B.()f x 是减函数C. ()f x 有最大值 1D. ()f x 有最小值111.已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>，过x 轴上点P 的直线l 与双曲线的右支交于N M ，两点（M 在第一象限），直线MO 交双曲线左支于点Q （O 为坐标原点），连接QN .若60MPO ∠=︒，30MNQ ∠=︒，则该双曲线的离心率为A. B. C. 2 D. 412．已知P ，Q 为动直线(02y m m =<<与sin y x =和cos y x =在区间[0,]2π上的左，右两个交点，P ，Q 在x 轴上的投影分别为S ，R .当矩形PQRS 面积取得最大值时，点P 的横坐标为0x ，则A ．08x π< B. 08x π=C.086x ππ<<D.06x π>第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．5(2x的系数为___________14．化简：01cos80-=____________ 15．某三棱锥的三视图如图所示，则其外接球的表面积为______16．若实数a ，b ，c 满足22(21)(ln )0a b a c c --+--=，则b c -的最小值是_________ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知数列{}n a ，满足11a =，1323nn n a a a +=+，*n N ∈. （Ⅰ）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（Ⅱ）设212233445212221111111n n nn n T a a a a a a a a a a a a -+=-+-++-，求2n T .18．（本小题满分12分）为了响应厦门市政府“低碳生活，绿色出行”的号召，思明区委文明办率先全市发起“少开一天车，呵护厦门蓝”绿色出行活动，“从今天开始，从我做起，力争每周至少一天不开车，上下班或公务活动带头选择步行、骑车或乘坐公交车，鼓励拼车……”铿锵有力的话语，传递了低碳生活、绿色出行的理念。

福建省厦门第一中学2016届高三上学期期中考试理数试题

福建省厦门第一中学2016届高三上学期期中考试理数试题

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．1、设全集{}{}{}15,1,2,5,14U x Z x A B x N x =∈-≤≤==∈-<<，则U B C A =（ ）A 、 {}3B 、 {}0,3C 、 {}0,4D 、 {}0,3,4 【答案】B 【解析】试题分析：由题意{1,0,1,2,3,4,5}U =-，所以{1,0,3,4}U C A =-，{0,3}U B C A =，故选B ．考点：集合的运算． 2、在复平面内，复数21iz i+=-， 则其共轭复数z 对应的点位于（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、 第三象限 D 、第四象限 【答案】D考点：复数的运算，复数的几何意义． 3、下列说法错误的是（ ）A 、命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠” B 、"1"x >是"1"x >的充分不必要条件 C 、若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题D 、命题p ：“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”，则:",p x R ⌝∀∈均有210"x x ++≥【答案】C 【解析】试题分析：逆否命题是把条件与结论交换并都加以否定所得，命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题是“若1x ≠，则2320x x -+≠”，A 正确；由11x x >⇒>，但1x >时，不能得出1x >，如2x =-，B 正确；p 和q 中一假一真时，p 且q 也为假命题，C 错误；命题的否定就是把结论否定，条件不变，但存在量词与全称量词要互换，命题p ：“0x R ∃∈，使得20010x x ++<”的否定为",x R ∀∈均有210"x x ++≥，D 正确．故选C ． 考点：命题真假的判断（四种命题，充分必要条件，复合命题的真假，命题的否定）． 4、已知数列{}n a 为等比数列，且2113724a a a π+=，则212tan()a a 的值为（ ） A 、、、【答案】C考点：等比数列的性质，三角函数求值．5、如果,,D C B 在地平面同一直线上，10DC m =，从,D C 两地测得A 点的仰角分别为030和045，则A 点离地面的高AB 等于（ ）A 、10mB 、C 、)51m D 、)51m【答案】D 【解析】 试题分析：10tan 30tan 45AB AB-=︒︒，解得1)AB =．故选D ．考点：解三角形的实际应用．CBA6、已知函数()()1222,1log 1,1x x f x x x -⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩ ，且()3f a =-，则()6f a -=（ ）A 、 74-B 、 54-C 、 34-D 、 14- 【答案】A考点：分段函数．7、函数()()()0f x x ωϕω=+>的部分图像如图所示，若2AB BC AB ⋅=，则ω等于（ ）A 、6π B 、 4π C 、 3π D 、 12π 【答案】A 【解析】试题分析：由三角函数的对称性知22AB BC AB BD AB BD ⋅=⋅=⋅222cos()AB ABD AB π-∠=，所以1cos 2ABD ∠=-，即23ABD π∠=，623T AD π===，12T =，2126ππω==．故选A ． 考点：8、变量,x y 满足约束条件02200x y x y mx y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，若2z x y =-的最大值为2，则实数m 等于（ ） A 、 —2 B 、 —1 C 、 1 D 、 2 【答案】C 【解析】试题分析：作出题设约束条件表示的可行域如图ABO ∆内部（含边界），联立2200x y mx y -+=⎧⎨-=⎩，解得A （22,2121mm m --）， 化目标函数z =2x ﹣y 为y =2x ﹣z ，由图可知，当直线过A 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为42422212121m mm m m --==---，解得：m =1．故选C ．考点：简单的线性规划．9、已知(),,,xf x e x R a b =∈<记()()()()()()1,2A f b f aB b a f a f b =-=-+，则,A B 的大小关系是（ ）A 、 AB > B 、 A B ≥C 、 A B <D 、A B ≤ 【答案】C考点：指数函数的性质，比较大小．【名师点睛】本题考查函数的单调性的应用，选择题的解法，如果常用直接法，解答本题难度比较大．考查学生灵活解题能力．本题还可以用构造法解题．如下图易知：A 为曲边梯形面积；B 为梯形MNPQ 面积，故B>A ,故选C ．10、函数ln 1y x =-的图象与函数()2cos ,24y x x π=--≤≤的图象所有交点的横坐标之和等于（ ）A 、3B 、 6C 、 4D 、 2 【答案】 BP考点：函数的图象的作法，函数图象的交点． 11、设函数()f x 在R 上存在导数()/,fx x R ∀∈，有()()2f x f x x -+= ，在()0,+∞上()/f x x ≤，若()()484f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围为（ ）A 、 []2,2-B 、 [)2,+∞C 、 [)0,+∞D 、 (][),22,-∞+∞【答案】B考点：利用导数研究函数的单调性．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．作为选择题可以采取特殊值法，即构造特殊函数，令()212f x x x =- ，符合题意，代入求解可得.12、若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有1n n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T ．已知数列{}n a 满足()111,10,1,01n n n n na a a m m a a a +->⎧⎪=>=⎨<≤⎪⎩ ，则下列结论错误的是（ ）A 、 若34a =，则m 可以取3个不同的数；B 、若m =，则数列{}n a 是周期为3的数列； C 、 存在m Q ∈，且2m ≥，数列{}n a 是周期数列；D 、对任意T N *∈且2T ≥，存在1m >，使得{}n a 是周期为T 的数列．【答案】C 【解析】试题分析：A:当01m <≤时，由34a =得1;125m m =<≤时，由34a =得54m =；2m >时，()2311,,24a m a m =-∈+∞=-= 得6m = ；正确 .B:234111,11,1,m a a a =>∴=<==>=> 所以3T =，正确．C ：命题较难证明，先考察命题D ．D ：命题的否定为“对任意的T N *∈，且2T ≥，不存在1m >，使得{}n a 是周期为T 的数列”，而由B 显然这个命题是错误的，因此D 正确，从而只有C 是错误． 考点：命题的真假判断与应用．【名师点睛】本题主要考查周期数列的推导和应用，考查学生的推理能力．此题首先要理解新定义“周期为T 的数列”，然后对A 、B 、C 、D 四个命题一一验证，A 、B 两个命题按照数列的递推公式进行计算即可，命题C 较难证明，但出现在选择题中，考虑到数学选择题中必有一个选项正确，因此我们先研究D 命题，并且在命题D 本身也很难的情况下，采取“正难则反”的方法，考虑命题D 的否定，命题D 的否定由命题B 很容易得出是错误的，从而命题D 是正确的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．13、已知3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且cos 5α=-，则tan α= ． 【答案】2考点：同角三角函数基本关系．14、曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 【答案】16【解析】试题分析：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0， 直线y=x 与曲线y=x 2所围图形的面积120()S x x dx =-⎰，而12230111111()()023236x x dx x x -=-=-=⎰， ∴曲边梯形的面积是16．考点：定积分在求面积中的应用．15、平面上四点,,,A B C D 满足2,4,6,4AB AC AD AB AC ===⋅=，则DBC ∆面积的最大值为【答案】考点：余弦定理；平面向量数量积的运算．【名师点睛】本题考查向量在几何中的应用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，求出BC ，A 到BC 的距离是解题的关键，属中档题．在解题时，要做到动中有静，静中有动，有题意分析知ABC ∆形状大小是确定的，因此可固定ABC ∆的位置，这样题中只有D 点在运动，问题就很容易解决，要使DBC ∆面积最大，只要点D 到BC 边的距离最大即可．16、已知曲线2:2C y x a =+在点((),0,n P n a n N >∈处的切线n l 的斜率为n k ，直线n l 交x 轴、y 轴分别于点()(),0,0,n n n n A x B y ，且n n x y =，给出以下结论： ①1a =；②当n N *∈时，n y 的最小值为54 ；③当n N *∈时，2sin n k < ；④当n N *∈时，记数列{}n k 的前n 项和为n S ，则 )1n S <．其中正确的结论有 （写出所有正确结论的序号） 【答案】①③④①00,1x a y a a =-=-=⇒= ，正确；②1122n y n ==≥,=即0n =时取等号，考点：利用导数研究曲线上某点切线方程，函数的性质及应用；导数的概念及应用；点列、递归数列与数学归纳法．【名师点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查函数的单调性的运用：求最值和比较大小，考查数列的求和：放缩和裂项相消法，属于难题和易错题．四个命题要一一验证，命题①，从极端情形入手，取0n =；命题②，变形得12n y ==，考虑到基本不等式不能取到等号，因此考虑函数11()()2f t t t=+的单调性，这是大家非常熟悉的函数（可根据定义证明其单调性）<，因此构造函数()f t t t =，此函数的单调性必须利用导数的知识才能研究出；命题④，写出n S ，123521n n S k k k n =+++=+++，为了求和（证明不等式），用放缩法把和式中每一项放大为两项的差，从而和易求．这里每个命题的方法不同，对学生的能力要求较高． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．在答题卷上相应题目的答题区域内作答． 17、（本小题满分10分） 设函数()f x x a =-（Ⅰ）当2a =时，解不等式()41f x x ≥-- ； （Ⅱ）若()1f x ≤的解集为[]0,2，11(0,0)2a b c b c+=>>求证：24b c +≥ 【答案】（Ⅰ）17,22x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或；（Ⅱ）证明见解析．法2：不等式化为2234x x ≥⎧⎨-≥⎩或1214x <<⎧⎨≥⎩或1324x x ≤⎧⎨-≥⎩，解得17,22x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或（Ⅱ）：1x a -≤，即11x a -≤-≤，由题得()10111,10,0122a a b c a b c -=⎧⇒=∴+=>>⎨+=⎩()112222422c b b c b c b c b c ⎛⎫∴+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当2b c =时，取等号 .考点：绝对值不等式． 18、（本小题满分12分）已知向量()()2cos ,3sin ,cos ,2cos a x x b x x ==，函数()(),f x a b m m R =⋅+∈，且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为2（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）先将函数()y f x =的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12，再把所得的图象向右平移12π个单位，得到函数()y g x =的图象，求方程()4g x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上所有根之和．【答案】（Ⅰ）(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）3π．考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换．19、（本小题满分12分）在如图所示的几何体中， △ABC 为正三角形，AE 和CD 都垂直于平面ABC ，且AE=AB=2,CD=1,F 为BE 的中点．（Ⅰ）求证：平面DBE ⊥平面ABE;（Ⅱ）求直线BD 和平面ACDE 所成角的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；． 【解析】FEDCBA(Ⅱ)解法一：取AC 中点M ，连结BM ，DM∆ABC 为正三角形，M 为AC 中点，∴BM ⊥AC ,又AE ⊥面ABC ,AE ⊂面ACDE , ∴面ACDE ⊥面ABC ,∴BM ⊥平面ACDE , ∴∠BDM 为所求的线面角 .∆ABC 为正三角形且AB=2，,BM又CD ⊥面ABC ,BC ⊂平面ABC , ∴CD ⊥BC ,在Rt ∆BCD中，BC =2,CD =1, ∴∴sin ∠BDM∴cos ∠∴直线BD 和平面ACDE所成角的余弦值为5. 解法二：由（Ⅰ）可知CG ⊥AB ,CG ⊥GF ,GF ⊥AB 分别以GB 、GC 、GF 为轴建系，则由已知，相关点的坐标为A (-1,0,0),B (1,0,0),CDFEDA G MCB()()(1,0,3,0,1,0,AC CD BD ∴===- 设面AEDC 的法向量(),,n x y z = ， 由0,0AC n CD n ⋅=⋅=得0,0x y ⎧+=⎪∴⎨=⎪⎩令z =，得平面AED 的一个法向量(3,3n =-.设直线BD 和平面ACDE所成角为θ，则10s i n ,c o s 555B D n B Dn θθ⋅===∴= ，∴直线BD 和平面ACDE 所成角的余弦值 . 考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角． 20、（本小题满分12分）已知各项不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()11n n S a a =-，数列{}n b 满足2log n n n a b a =，数列{}n b 的前n 项和n T（Ⅰ）求,n n a T（Ⅱ）若n N *∀∈，不等式223n t t T λ++<恒成立，求使关于t 的不等式有解的充要条件．【答案】（Ⅰ）2nn a =,222n n n T +=-；（Ⅱ）λ>或λ<．E（Ⅱ）1111231,,222n n n n n n n n n n n T T T T T +++++++-=-=∴>单调递增 . 由恒成立条件知()2min 1232n t t T λ++<=，即22450t t λ++<由关于t 的不等式有解知，只需()244250λ=-⨯⨯>，解得λ>或λ<故关于t 的不等式有解的充要条件为2λ>或2λ<- . 考点：已知n S 与n a 的关系求通项n a ，等比数列的通项公式，错位相减法求和，不等式恒成立与不等式有解问题．【名师点睛】求数列{}n T 的最小项方法还有： 法一：因为02n n nb =>，所以当2n ≥时，11n n n n T T b T --=+>，即数列{}n T 是递增数列，所以1T 最小．法二：（作商法），首先有0n T >，11322222n n n n n T n T +++-=+-222(3)2(24)n n n n ++-+=-+，显然324n n +<+，所以222(3)2(24)0n n n n ++-+>-+>，所以11n nT T +>，即1n n T T +>，所以1T 是{}n T 中的最小值．法三：如果数列{}n a 先减后增，则可通过解不等式组11n n nn a a a a +-≤⎧⎨≤⎩，求得数列的最小项．法四：数列作为特殊的函数，也可以用导数的方法证明相应函数的单调性，从而得数列的单调性（但要注意数列的单调性与函数的单调性可能有一点不一致）． 21、（本小题12分）如图，已知椭圆C的中心在原点，其一个焦点与抛物线2y =的焦点相同，又椭圆C 上有一点(2,1)M ，直线l 平行于OM 且与椭圆C 交于,A B 两点，连,MA MB （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当,MA MB 与x 轴所构成的三角形是以x 轴上所在线段为底边的等腰三角形时，求直线l 在y 轴上截距的取值范围．【答案】（Ⅰ）22182x y +=；（Ⅱ）{}22,0m m m -<<≠．（Ⅱ）∵l ∥OM 12l OM K K ⇒==，设直线在y 轴上的截距为m ，则直线1:2l y x m =+ 直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点 .()()22222212224024240182y x m x mx m m m x y ⎧=+⎪⎪⇒++-=⇒-->⎨⎪+=⎪⎩m ∴的取值范围是：{}22,0m m m -<<≠ ，设MA ，MB 的斜率分别为1212,,0k k k k ∴+=设()()1122,,,A x y B x y ，则12121211,22y y k k x x --==-- ()()()()()()1221121212121212112222y x y x y y k k x x x x --+----∴+=⨯=---- ()()()()()()()()()122112121212111212241222222x m x x m x x x m x x m x x x x ⎛⎫⎛⎫+--++-- ⎪ ⎪+-+--⎝⎭⎝⎭==---- ()()2212242444022m m m m x x --+-+==-- 故,MA MB 与x 轴始终围成等腰三角形时，m 的取值范围是{}22,0m m m -<<≠. 考点：椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题．22、（本小题满分14分） 已知函数()()32ln ,63,6x x x x f x e x x ax b x -⎧>⎪=⎨⎪+++≤⎩，其中,,a b R e ∈为自然对数的底数．（Ⅰ）当3a b ==-时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当6x ≤时，若函数()()()31x h x f x ex b -=-+-存在两个相距大于2的极值点，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）若函数()g x 与函数()f x 的图象关于y 轴对称，且函数()g x 在()()6,,2,m n -单调递减，在()(),2,,m n +∞单调递增，试证明：()f n m -<． 【答案】（Ⅰ）()f x 的增区间是()(),3,0,3-∞-；减区间为()()3,0,3,6-()6,+∞ ；（Ⅱ）735a -≤<-a >（Ⅲ）证明见解析．（Ⅱ）法1：当()()()()2/26,31,361x x x h x ex ax h x e x a x a --⎡⎤≤=++=---+-⎣⎦ 令()()2361x x a x a ϕ=+-+- ，设其零点为12,x x ，由()()()21264310606662a a a x x ϕ⎧--⨯->⎪≥⎪⎪⎨--<⎪⎪⎪->⎩，解得735a -≤<-或a > 法2：令()/0x ϕ=，得126666a a x x --==故12216662a x x x x ⎧-<=≤⎪⎪⎨⎪-=>⎪⎩，解得273512a a ⎧≥-⎪⎨⎪>⎩，故735a -≤<-a >（Ⅲ）()g x =()()()32ln ,63,6x x x x g x e x x ax b x --⎧<-⎪-=⎨⎪-+-+≥-⎩当6x ≥-时，()()()/36x gx e x a x b a ⎡⎤=-+-+-⎣⎦ ， 由()/20g =得34b a =-，从而()()()/3642x gx e x a x a ⎡⎤=-+-+-⎣⎦ ()()()()()()()//30,6422g m g n x a x a x x m x n ==∴+-+-=---考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【名师点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，由零点求参数的取值范围，利用单调性证明不等式成立，试题特难．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．第（Ⅰ）小题是用导数求单调区间的基本题，第（Ⅱ）小题转化为方程'()0h x =有两个相距大于2的根，第（Ⅲ）小题，由对称性求得()g x 的解析式，分析后知'()0g x =有三个根2，n ，m ，从而得出参数之间的关系，最后函数不等式的证明，要利用函数的单调性．。

福建地区厦门市2015-2016年度高一上学期期末质检数学试卷(解析版)

福建地区厦门市2015-2016年度高一上学期期末质检数学试卷(解析版)

2015-2016学年福建省厦门市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求.1．设集合A={﹣2，﹣1，1}，B={x∈Z|﹣1≤x≤1}，则A∪B=（）A．{﹣1，1}B．{0，1}C．{﹣2，﹣1，1}D．{﹣2，﹣1，0，1}【考点】并集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】列举出B中的元素确定出B，找出A与B的并集即可．【解答】解：∪A={﹣2，﹣1，1}，B={x∈Z|﹣1≤x≤1}={﹣1，0，1}，∪A∪B={﹣2，﹣1，0，1}，故选：D．【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．已知f（x﹣1）=2x，则f（3）=（）A．2B．4C．6D．8【考点】函数的值．【专题】计算题；函数思想；同一法；函数的性质及应用．【分析】令x﹣1=3，求出x的值，代入可得答案．【解答】解：∪f（x﹣1）=2x，令x﹣1=3，则x=4，∪f（3）=2×4=8，故选：D【点评】本题考查的知识点是函数的值，难度不大，属于基础题．3．在区间[﹣1，3]内任选一个实数，则x恰好在区间[1，3]内的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】本题利用几何概型求概率，解得的区间长度，求比值即得．【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度，区间[﹣1，3]的长度为4，区间[1，3]长度为2，由几何概型公式得x恰好在区间[1，3]内的概率是为=．故选：C．【点评】本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．4．某产品的广告费x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如表：广告费用x2356销售额y20304050由最小二乘法可得回归方程=7x+a，据此预测，当广告费用为7万元时，销售额约为（）A．56万元B．58万元C．68万元D．70万元【考点】线性回归方程．【专题】函数思想；综合法；概率与统计．【分析】求出数据中心（，），代入回归方程求出，再将x=7代入回归方程得出答案．【解答】解：==4，==35．∪35=4×7+，解得=7．∪回归方程为=7x+7．∪当x=7时，y=7×7+7=56．故选：A．【点评】本题考查了线性回归方程的特点与数值估计，属于基础题．5．运行如图的程序，若输入的数为1，则输出的数是（）A．﹣2B．0C．1D．3【考点】伪代码；程序框图．【专题】计算题；阅读型；分类讨论；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序代码，可得程序的功能是计算并输出y=，由x=1满足条件x≥0，执行输出y=2x+1即可得解．【解答】解：模拟执行程序代码，可得程序的功能是计算并输出y=，x=1，满足条件a≥0，执行y=2x+1=3，输出y的值为3．故选：D．【点评】本题考查的知识点是条件结构，其中根据已知分析出程序的功能是解答的关键，属于基础题．6．已知a=log0.50.9，b=log0.50.8，c=0.5﹣0.9，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】利用对数函数的单调性比较a，b，再以1为媒介比较b，c得答案．【解答】解：∪log0.50.9＜log0.50.8＜log0.50.5=1，0.5﹣0.9＞0.50=1，∪a＜b＜c．故选：B．【点评】本题考查对数值的大小比较，考查了对数函数与指数函数的单调性，是基础题．7．已知函数f（x）=3x，对于定义域内任意的x1，x2（x1≠x2），给出如下结论：①f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）③＞0④f（﹣x1）+f（﹣x2）=f（x1）+f（x2）其中正确结论的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．②④【考点】指数函数的图象与性质．【专题】数形结合；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据指数的运算法则即可①正确，②错误，④错误；根据函数f（x）=3x的单调性可以判断③正确．【解答】解：关于函数f（x）=3x，对于定义域内任意的x1，x2（x1≠x2）：①f（x1+x2）==•=f（x1）•f（x2），∪①正确；②f（x1•x2）=≠+=f（x1）+f（x2），∪②错误；③f（x）=3x是定义域上的增函数，f′（x）=k=＞0，∪③正确；④f（﹣x1）+f（﹣x2）=+≠+=f（x1）+f（x2），∪④错误；综上，正确结论的序号是①③．故选：A．【点评】本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合指数的运算性质与函数图象分析结论中式子的几何意义，再进行判断，是基础题目．8．甲、乙两位运动员6场比赛的茎叶图如图所示，记甲、乙的平均成绩分别为，，下列判断正确的是（）A．＞，甲比乙成绩稳定B．＞，乙比甲成绩稳定C．＜，甲比乙成绩稳定D．＜，乙比甲成绩稳定【考点】茎叶图．【专题】对应思想；定义法；概率与统计．【分析】计算甲、乙二人得分的平均数与方差，即可得出正确的结论．【解答】解：6场比赛甲的得分为16、17、18、22、32和33，乙的得分为14、17、24、28、28和33；∪=（16+17+18+22+32+33）=23，=（14+17+24+28+28+33）=24，∪＜；又=（49+36+25+1+81+100）=，=（100+49+0+16+16+81）=∪＞，乙比甲成绩稳定些．故选：D．【点评】本题利用茎叶图中的数据计算平均数与方差的问题，也考查了计算能力，是基础题目．9．在标准化的考试中既有单选题又有多选题，多选题是从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（正确答案可能是一个或多个选项），有一道多选题考生不会做，若他随机作答，则他答对的概率是（）A．B．C．D．【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】先求出基本事件总数，由此利用等可能事件概率计算公式能求出结果．【解答】解：由已知基本事件总数n==15，∪他随机作答，则他答对的概率p=．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．10．函数f（x）=2的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】作图题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】根据指数函数和对数的函数的图象和性质即可判断．【解答】解：因为t=log3x的函数为增函数，且函数值的变化越来越慢，即图象的变化越来越趋向于平缓，又因为y=2t为增函数，其图象的变化是函数值的变化越来越慢，故选：B．【点评】本题考查了指数函数和对数的函数的图象和性质，属于基础题．11．阅读如图所示的程序框图，若输出d=0.1，a=0，b=0.5，则输出的结果是（）参考数据：x f（x）=2x﹣3x0.250.440.3750.170.43750.040.46875﹣0.020.5﹣0.08A．0.375B．0.4375C．0.46875D．0.5【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；数学模型法；算法和程序框图．【分析】根据题意，按照程序框图的顺序进行执行，当|a﹣b|=0.0625，满足条件|a﹣b|＜d，退出循环，输出m的值为0.4375．【解答】解：模拟执行程序，可得：f（x）=2x﹣3x，d=0.1，a=0，b=0.5，m=0.25，不满足条件f（0）f（0.25）＜0，a=0.25，|a﹣b|=0.25，不满足条件|a﹣b|＜d或f（m）=0，m=0.375，不满足条件f（0. 25）f（0.375）＜0，a=0.375，|a﹣b|=0.125，不满足条件|a﹣b|＜d或f （m）=0，m=0.4375，不满足条件f（0.375）f（0.4375）＜0，a=0.4375，|a﹣b|=0.0625，满足条件|a﹣b|＜d，退出循环，输出m的值为0.4375．故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据表中函数的值，按照程序框图的顺序进行执行求解即可，考查了用二分法方程近似解的方法步骤，属于基础题．12．已知[t]表示不超过t的最大整数，例如[1.25]=1，[2]=2，若关于x的方程=a在（1，+∞）恰有2个不同的实数解，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．（，2]D．[，2]【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；作图题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】化为解y=[x]与y=a（x﹣1）在（1，+∞）上恰有2个不同的交点，从而作图求解即可．【解答】解：∪关于x的方程=a在（1，+∞）恰有2个不同的实数解，∪y=[x]与y=a（x﹣1）在（1，+∞）上恰有2个不同的交点，作函数y=[x]与y=a（x﹣1）在（1，+∞）上的图象如下，，结合图象可知，k l=2，k m=，实数a的取值范围是（，2]，故选C．【点评】本题考查了方程的解与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．一个田径队中有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样方法从全队的运动员中抽取一个容量为28人的样本，其中男运动员应抽取16人．【考点】分层抽样方法．【专题】计算题．【分析】先求出样本容量与总人数的比，在分层抽样中，应该按比例抽取，所以只需让男运动员人数乘以这个比值，即为男运动员应抽取的人数．【解答】解：∪运动员总数有98人，样本容量为28，样本容量占总人数的∪男运动员应抽取56×=16；故答案为16．【点评】本题主要考查了抽样方法中的分层抽样，关键是找到样本容量与总人数的比．14．已知函数f（x）=x2﹣2x+3的定义域为[0，3]，则函数f（x）的值域为[2，6]．【考点】函数的值域．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】配方得到f（x）=（x﹣1）2+2，而f（x）的定义域为[0，3]，这样便可求出f （x）的最大值和最小值，从而求出f（x）的值域．【解答】解：f（x）=（x﹣1）2+2；∪x∈[0，3]；∪x=1时，f（x）取最小值2；x=3时，f（x）取最大值6；∪f（x）的值域为[2，6]．故答案为：[2，6]．【点评】考查函数定义域、值域的概念，以及配方求二次函数值域的方法．15．在不同的进位制之间的转化中，若132（k）=42（10），则k=5．【考点】进位制．【专题】计算题；方程思想；转化思想；算法和程序框图．【分析】由已知中132（k）=42（10），可得：k2+3k+2=42，解得答案．【解答】解：∪132（k）=42（10），∪k2+3k+2=42，解得：k=5，或k=﹣8（舍去），故答案为：5【点评】本题考查的知识点是进位制，难度不大，属于基础题．16．已知函数f（x）=|log2x|，g（x）=，若对任意x∈[a，+∞），总存在两个x0∈[，4]，使得g（x）•f（x0）=1，则实数a的取值范围是[2，+∞）．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据g（x）的值域和g（x）•f（x0）=1得出f（x0）的范围，结合f（x）的图象得出f（x0）的范围解出a．【解答】解：f（x0）==，∪x∈[a，+∞），∪f（x0）≤，作出f（x）在[，4]上的函数图象如图：∪对任意x∈[a，+∞），总存在两个x0∈[，4]，使得g（x）•f（x0）=1，∪0＜≤1，解得a≥2．故答案为[2，+∞）．【点评】本题考查了对数函数的图象与性质，结合函数图象是解题关键．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知R为实数集，集合A={x|log2x≥1}，B={x|x﹣a＞4}．（∪）若a=2，求A∩（∁R B）；（∪）若A∪B=B，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；综合法；集合．【分析】（∪）若a=2，求出A，∁R B，即可求A∩（∁R B）；（∪）若A∪B=B，则A⊂B，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（∪）∪log2x≥1，∪x≥2，即A=[2，+∞），∪a=2，∪B={x|x＞6}，∪∁R B=（﹣∞，6]，∪A∩（∁R B）=[2，6]；（∪）∪A∪B=B，∪A⊆B，∪A=[2，+∞），B={x|x＞a+4}，∪a+4＜2，∪a＜﹣2．【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于基础题．18．某校举行一次安全知识教育检查活动，从全校1500名学生中随机抽取50名参加笔试，测试成绩的频率分布表如下：分组（分数段）频数（人数）频率[50，60）a0.08[60，70）130.26[70，80）160.32[80，90）100.20[90，100）b c合计50 1.00（∪）请根据频率分布表写出a，b，c的值，并完成频率分布直方图；（∪）根据（∪）得到的频率分布直方图估计全校学生成绩的中位数，选择这种数字特征来描述该校学生对安全知识的掌握程度的缺点是什么？【考点】众数、中位数、平均数；频率分布直方图．【专题】对应思想；综合法；概率与统计．【分析】（∪）由题意知分别求出a，b，c的值即可，由频率分布表能作出频率分布直方图．（∪）根据频率分布直方图，能估计出全校学生成绩的中位数．【解答】解：（∪）a=50×0.08=4，b=50﹣10﹣16﹣13﹣4=7，c=0.14，如图示：；（∪）根据（∪）得到的频率分布直方图估计全校学生成绩的中位数约是80分，选择这种数字特征来描述该校学生对安全知识的掌握程度的缺点是：不准确，很笼统．【点评】本题考查频率分布直方图的作法，考查中位数的估计，是基础题，解题时要认真审题．19．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x a（a∈R），函数f（x）的图象经过点（4，2）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）解不等式f（x2）﹣f（﹣x2+x﹣1）＞0．【考点】函数奇偶性的性质；指数函数的图象与性质．【专题】综合题；转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）根据函数f（x）的图象经过点（4，2）．可得a值，结合f（x）是定义在R 上的偶函数，可得函数的解析式；（2）不等式f（x2）﹣f（﹣x2+x﹣1）＞0可化为：|x2|＞|﹣x2+x﹣1|，即x2＞x2﹣x+1，解得答案．【解答】解：（1）∪函数f（x）的图象经过点（4，2）．∪4a=2，解得：a=，故当x≥0时，f（x）=，当x＜0时，﹣x＞0，由f（x）是定义在R上的偶函数，可得此时f（x）=f（﹣x）=，综上可得：f（x）=（2）若f（x2）﹣f（﹣x2+x﹣1）＞0，则f（x2）＞f（﹣x2+x﹣1），则|x2|＞|﹣x2+x﹣1|，即x2＞x2﹣x+1，解得：x＞1【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性性质，不等式的解法，函数解析式的求法，难度中档．20．联合国教科文组织规定：一个国家或地区60岁以上的人口占该国或该地区人口总数的10%以上（含10%），该国家或地区就进入了老龄化社会，结合统计数据发现，某地区人口数在一段时间内可近似表示为P（x）=（万），60岁以上的人口数可近似表示为L（x）=10×[1+k%•（x﹣2010）]（万）（x为年份，W，k为常数），根据第六次全国人口普查公报，2010年该地区人口共计105万．（∪）求W的值，判断未来该地区的人口总数是否有可能突破142万，并说明理由；（∪）已知该地区2013年恰好进入老龄化社会，请预测2040年该地区60岁以上人口数（精确到1万）．参考数据“0.942=0.88，0.943=0.83，139420=0.29，0.9430=0.16．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（∪）利用2010年该地区人口共计105万求W的值，利用≥142，即可判断未来该地区的人口总数是否有可能突破142万；（∪）利用该地区2013年恰好进入老龄化社会，求出k%≈，即可预测2040年该地区60岁以上人口数．【解答】解：（∪）∪2010年该地区人口共计105万，∪x=2010，P==105，∪W≈142．令≥142，∪0.35×（0.94）x﹣2010≤0无解，∪未来该地区的人口总数不可能突破142万；（∪）∪该地区2013年恰好进入老龄化社会，∪10×[1+k%•（2013﹣2010）]=10%×，∪k%≈，∪x=2040，L（2040）≈10×[1+•（2040﹣2010）]=20万【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，正确理解题意是关键．21．某港口船舶停靠的方案是先到先停．（∪）若甲乙两艘船同时到达港口，双方约定各派一名代表猜拳：从1，2，3，4，5中各随机选一个数，若两数之和为奇数，则甲先停靠；若两数之和为偶数，则乙先停靠，这种对着是否公平？请说明理由．（2）根据已往经验，甲船将于早上7：00～8：00到达，乙船将于早上7：30～8：30到达，请应用随机模拟的方法求甲船先停靠的概率，随机数模拟实验数据参考如下：记X，Y都是0～1之间的均与随机数，用计算机做了100次试验，得到的结果有12次，满足X ﹣Y≥0.5，有6次满足X﹣2Y≥0.5．【考点】模拟方法估计概率；几何概型．【专题】应用题；对应思想；转化法；概率与统计．【分析】（∪）这种规则不公平，求出甲胜的概率P（A）与乙胜的概率P（B），比较得出结论；（2）根据题意，求出应用随机模拟的方法甲船先停靠的概率值是X﹣Y≤0的对应值．【解答】解：（∪）这种规则是不公平的；设甲胜为事件A，乙胜为事件B，基本事件总数为5×5=25种，则甲胜即两编号和为偶数所包含的基本事件数有13个：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（5，1），（5，3），（5，5）∪甲胜的概率P（A）=，乙胜的概率P（B）=1﹣P（A）=；∪这种游戏规则是不公平；（2）根据题意，应用随机模拟的方法求出甲船先停靠的概率是P（C）=1﹣=0.88．【点评】本题考查了古典概型的概率与模拟方法估计概率的应用问题，求解的关键是掌握两种求概率的方法与定义及规则，是基础题．22．设函数f（x）=（∪）若a=1，在直角坐标系中作出函数f（x）的大致图象；（∪）若f（x）≥2﹣x对任意x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围；（∪）若函数f（x）恰有2个零点，求实数a的取值范围．【考点】分段函数的应用；函数零点的判定定理．【专题】作图题；数形结合；分类讨论；分类法；函数的性质及应用．【分析】（∪）若a=1，则f（x）=，进而可得函数的图象；（∪）若f（x）≥2﹣x对任意x∈[1，2]恒成立，即x2+（1﹣4a）x+（3a2﹣2）≥0对任意x∈[1，2]恒成立，结合二次函数的图象和性质，可得答案；（∪）若函数f（x）恰有2个零点，则，或解得答案．【解答】解：（∪）若a=1，则f（x）=，函数f（x）的图象如下图所示：；（∪）若f（x）≥2﹣x对任意x∈[1，2]恒成立，即x2﹣4ax+3a2≥2﹣x对任意x∈[1，2]恒成立，即x2+（1﹣4a）x+（3a2﹣2）≥0对任意x∈[1，2]恒成立，由y=x2+（1﹣4a）x+（3a2﹣2）的图象是开口朝上，且以直线x=为对称轴的抛物线，故，或，或解得：a≤0，或a≥2，（∪）解3x﹣a=0得：x=log3a，解x2﹣4ax+3a2=0得：x=a，或x=3a若函数f（x）恰有2个零点，则，或解得：a≥3，或≤a＜1．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数恒成立问题，二次函数的图象和性质，函数的零点，难度中档．。

福建省厦门市2016-2017学年高一上学期期末质检数学试题 Word版含答案

福建省厦门市2016-2017学年高一上学期期末质检数学试题 Word版含答案

福建省厦门市2016-2017学年高一上学期期末质检数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,234,5U =，，，集合{}34A =，，{}12B =，，则()U C A B 等于（ ）A ．{}12，B ．{}13，C ．{}125，，D ．{}123，， 2.下列函数中，是奇函数且在()0+∞，上单调递减的是（ ） A ．1y x -= B ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．3y x = D ．12log y x =3.用系统抽样方法从编号为1,2,3，…，700的学生中抽样50人，若第2段中编号为20的学生被抽中，则第5段中被抽中的学生编号为（ ）A ．48B ．62C ．76D ．904.如图所示为某城市去年风向频率图，图中A 点表示该城市去年有的天数吹北风，点表示该城B 市去年有10%的天数吹东南风，下面叙述不正确．．．的是（ ）A ．去年吹西北风和吹东风的频率接近B ．去年几乎不吹西风C ．去年吹东风的天数超过100天D ．去年吹西南风的频率为15%左右 5.已知函数()1ln 2f x x =-，若a b ≠，()()f a f b =，则ab 等于（ ） A ．1 B ．1e - C. e D ．2e6.保险柜的密码由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的四个数字组成，假设一个人记不清自己的保险柜密码，只记得密码全部由奇数组成且按照递增顺序排列，则最多输入2次就能开锁的频率是（ ） A ．15 B ．14 C.25 D ．9207.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的,a b 分别为98,63，则输出的a 为（ ）A ．0B ．7 C.14 D ．288.已知函数xy a =（0a >且1a ≠）是减函数，则下列函数图象正确的是（ ）A ．B ． C. D ．9.已知()2ln 11f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()()()()()()()()75313579f f f f f f f f -+-+-+-++++=（ ）A ．0B ．4 C.8 D ．1610.矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点E ，记“AEB ∆的最大边是AB ”为事件M ，则()P M 等于（ ）A ．2B 1-11.元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》一书，是中国古代数学的重要著作之一，共分卷首、上卷、中卷、下卷四卷，下卷中《果垛叠藏》第一问是：“今有三角垛果子一所，值钱一贯三百二十文，只云从上一个值钱二文，次下层层每个累贯一文，问底子每面几何？”据此，绘制如图所示程序框图，求得底面每边的果子数n 为（ ）A ．7B ．8 C.9 D ．1012.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()1f x x =-.若方程()f x =4个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．5,14⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.4,15⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．31,4⎛⎫- ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.某学习小组6名同学的英语口试成绩如茎叶图所示，则这些成绩的中位数为 ．14.空气质量指数（Air Quality Index ，简称AQI ）是定量描述空气质量状况的指数.AQI 数值越小，说明空气质量越好.某地区1月份平均()AQI y 与年份()x 具有线性相关关系.下列最近3年的数据：根据数据求得y 关于x 的线性回归方程为14y x a =-+，则可预测2017年1月份该地区的平均AQI 为 ．15.已知()()321f x x a x =+-是奇函数，则不等式()()f ax f a x >-的解集是 ．16.已知函数()()2log 11,1,1,x x k f x x x k x a ⎧-+-≤<⎪=⎨-≤≤⎪⎩，若存在实数k 使得函数()f x 的值域为[]0,2，则实数a的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知集合{}|20A x x x =<->或，1|33xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭.（Ⅰ）求A B ；（Ⅱ）若集合{}|1C x a x a =<≤+，且A C C =，求a 的取值范围.18. （本小题满分12分）已知函数()24,0,1,0xx x x f x a x ⎧-+≥=⎨-<⎩（0a >且1a ≠）的图象经过点()2,3-.（Ⅰ）求a 的值，并在给出的直角坐标系中画出()y f x =的图象； （Ⅱ）若()f x 在区间(),1m m +上是单调函数，求m 的取值范围. 19. （本小题满分12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可参加抽奖，抽奖有两种方案可供选择. 方案一：从装有4个红球和2个白球的不透明箱中，随机摸出2个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖；方案二：掷2颗骰子，如果出现的点数至少有一个为4则中奖，否则不中奖. （注：骰子（或球）的大小、形状、质地均相同）（Ⅰ）有顾客认为，在方案一种，箱子中的红球个数比白球个数多，所以中奖的概率大于12.你认为正确吗？请说明理由；（Ⅱ）如果是你参加抽奖，你会选择哪种方案？请说明理由. 20. （本小题满分12分）下面给出了2010年亚洲一些国家的国民平均寿命（单位：岁）（Ⅰ）请补齐频率分布表，并求出相应频率分布直方图中的,a b ；（Ⅱ）请根据统计思想，利用（Ⅰ）中的频率分布直方图估计亚洲人民的平均寿命.21. （本小题满分12分）某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲覆盖面积为224m ，三月底测得覆盖面积为236m ，凤眼莲覆盖面积y （单位：2m ）与月份x （单位：月）的关系有两个函数模型()0,1xy kak a =>>与()120y pxq p =+>可供选择.（Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； （Ⅱ）求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份. （参考数据：lg 20.3010≈，lg 30.4771≈） 22. （本小题满分12分）已知函数()()20f x x ax a =+>在[]1,2-上的最大值为8，函数()g x 是()xh x e =的反函数.（Ⅰ）求函数()()g f x 的单调区间； （Ⅱ）求证：函数()()()10y f x h x x x=->恰有一个零点0x ，且()()02001g x x h x <-.（参考数据：2.71828e =…，ln 20.693≈）福建省厦门市2016-2017学年高一上学期期末质检数学试题答案一、选择题1-5:AABDC 6-10:CBDCB 11、12：CB二、填空题13. 85 14.36 15.1|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭16.12a ≤≤ 三、解答题17.本小题考查集合的运算，集合间的关系，指数不等式解法等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想．本题满分10分． 解：（Ⅰ）111()3(),33x -≥=且函数1()3x y =在R 上为减函数， ∴1x ≤-，18.本小题考查二次函数、指数函数、分段函数等基础知识，考查函数的基本性质；考查运算求解能力、推理论证能力；考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想．本题满分12分． 解：（Ⅰ）∵函数()f x 的图象经过点(2,3)-，∴213a --=，解得12a =， ∴24,0,()1()1,0.2x x x x f x x ⎧-+≥⎪=⎨-<⎪⎩（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数()f x 的单调递增区间是()0,2，单调递减区间是(),0-∞，()2,+∞，∴10m +≤或2m ≥或120m m +≤⎧⎨≥⎩，∴m 的取值范围为1m ≤-或01m ≤≤或2m ≥.19.本小题考查古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力以及应用数学知识解决实际问题的能力，考查化归与转化等数学思想. 本题满分12分．解：（Ⅰ）将4个红球分别记为1a ，2a ，3a ，4a ，2个白球分别记为1b ，2b ，则从箱中随机摸出2个球有以下结果：{1a ,2a }，{1a ,3a }，{1a ,4a }，{1a ,1b }，{1a ,2b }，{2a ,3a }，{2a ,4a }，{2a ,1b }，{2a ,2b }，{3a ,4a }，{3a ,1b }，{3a ,2b }，{4a ,1b }，{4a ,2b }，{1b ,2b }，总共15种， 其中2个都是红球的有{1a ,2a }，{1a ,3a }，{1a ,4a }，{2a ,3a }，{2a ,4a }，{3a ,4a }共6 种， 所以方案一中奖的概率为16211552p ==<， 所以顾客的想法是错误的.（Ⅱ）抛掷2颗骰子，所有基本事件共有36种，其中出现的点数至少有一个4的基本事件有（1,4），（2,4），（3,4），（4,4），（5,4），（6,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,5），（4,6）共11种，所以方案二中奖的概率为2112365p =<， 所以应该选择方案一.20.本题考查学生收集、整理、分析数据的能力；考查学生利用频率分布直方图估计样本平均值的能力以及用样本估计总体的思想. 本题满分12分． 解：（Ⅰ）频率分布表补齐如下：0.2250.056254a ==，0.1750.043754b == （Ⅱ）由频率分布直方图可知，以上所有国家的国民平均寿命的平均数约为610.05650.15690.275730.225x =⨯+⨯+⨯+⨯770.175810.125+⨯+⨯71.8=根据统计思想，估计亚洲人民的平均寿命大约为71.8岁.21.本小题考查数学建模能力、运算求解能力、分析问题和解决问题的能力；考查数学应用意识．本小题满分12分．解：(Ⅰ)两个函数xy ka =(0,1)k a >>，12(0)y px q p =+>在(0,)+∞上都是增函数，随着x 的增加，函数xy ka =(0,1)k a >>的值增加的越来越快，而函数12(0)y px q p =+>的值增加的越来越慢. 由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，所以函数模型xy ka =(0,1)k a >>适合要求．由题意可知，2x =时，24y =；3x =时，36y =，所以2324,36.ka ka ⎧=⎨=⎩解得32,33.2k a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以该函数模型的解析式是32332xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭()x N *∈．(Ⅱ) 0x =时, 032332323y ⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭, 所以元旦放入凤眼莲面积是232,3m 由3233210323x⎛⎫⋅>⨯ ⎪⎝⎭得310,2x⎛⎫> ⎪⎝⎭所以32lg101log 10,3lg 3lg 212x g >==- 因为115.7,lg 3lg 20.47700.3010=≈--所以6x ≥，所以凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份.22.本小题考查二次函数、反函数、函数的单调性、函数的零点等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识；考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想．本小题满分12分．解：(Ⅰ) 函数2()(0)f x x ax a =+>的图象开口向上，且()(2)1330f f a --=+>，所以()f x 在[]1,2-上的最大值为(2)428f a =+=， 所以2a =，2()2f x x x =+， 因为()g x 是()e x h x =的反函数，所以()ln g x x =，()2(())ln 2g f x x x =+， 由220x x +>，得0x >或2x <-，又因为()f x 在(),2-∞-上单调递减，在()0,+∞上单调递增， 所以(())g f x 的单调递增区间为()0,+∞，单调递减区间为(),2-∞-. (Ⅱ) 由(Ⅰ)知，2()2,f x x x =+记()()1()()0x f x h x x xϕ=->， 设120x x <<，则12120,0x x x x -<>，所以12120x x x x -<， 因为()f x 在(0,)+∞上递增且()0f x >，所以()()210f x f x >>，又因为21e >e 0x x>，所以()()1212e e x xf x f x <，所以21212111)()()()(21x x e x f ex f x x x x +--=-ϕϕ=21212121)()(x x x x e x f e x f x x -+-.0< 即()()12x x ϕϕ<，所以()x ϕ在(0,)+∞上递增，又因为12202ϕ⎛⎫=->-= ⎪⎝⎭，11e e 212e 1e e e e 0e e ϕ+⎛⎫=-<-< ⎪⎝⎭，即1102e ϕϕ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以函数()1()()0y f x h x x x =->恰有一个零点0x ，且0x 11,e 2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以()0200012e 0xx x x +-=，即()020001e 2x x x x =+， 所以()22000000200011()()ln ln 22x h x g x x x x x x x x -=-=-++，因为1ln 2y x x =-+在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数， 所以0012122ln ln ln 20.6125255x x ->-=+>+=+，即2000()()1g x x h x <-， 综上，函数()1()()0y f x h x x x=->恰有一个零点0x ，且2000()()1g x x h x <-.。

2016届福建省厦门一中中考一模数学试卷(带解析)

2016届福建省厦门一中中考一模数学试卷(带解析)

绝密★启用前2016届福建省厦门一中中考一模数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：133分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知点A 在半径为3的⊙O 内，OA 等于1，点B 是⊙O 上一点，连接AB ，当∠OBA 取最大值时，AB 长度为（ ） A ．B ．C ．3D ．2【答案】B ． 【解析】试题解析：在△OBA 中，当∠OBA 取最大值时，OA 取最大值， ∴BA 取最小值， 又∵OA 、OB 是定值， ∴BA ⊥OA 时，BA 取最小值； 在直角三角形OBA 中，OA=1，OB=3， ∴AB=．故选B ．考点：垂径定理．试卷第2页，共19页2、二次函数y=（x-1）（x-2）-1与x 轴的交点x 1，x 2，x 1＜x 2，则下列结论正确的是（ ） A ．x 1＜1＜x 2＜2B ．x 1＜1＜2＜x 2C ．x 2＜x 1＜1D ．2＜x 1＜x 2【答案】B ． 【解析】试题解析：当y=（x-1）（x-2）-1=0时，解得：x 1=，x 2=，∵0＜＜1，2＜＜3，∴x 1＜1＜2＜x 2． 故选B ．考点：抛物线与x 轴的交点．3、如图，已知点A ，B 在半径为1的⊙O 上，∠AOB=60°，延长OB 至C ，过点C 作直线OA 的垂线记为l ，则下列说法正确的是（ ）A ．当BC 等于0.5时，l 与⊙O 相离B ．当BC 等于2时，l 与⊙O 相切 C ．当BC 等于1时，l 与⊙O 相交D ．当BC 不为1时，l 与⊙O 不相切【答案】D ． 【解析】试题解析：A 、∵BC=0.5，∴OC=OB+CB=1.5；∵∠AOB=60°，∴∠ACO=30°，AO=OC=0.5＜1，∴l 与⊙O 相交，故A 错误；B 、∵BC=2，∴OC=OB+CB=3；∵∠AOB=60°，∴∠ACO=30°，AO=OC=1.5＞1，∴l 与⊙O 相离，故B 错误；C 、∵BC=1，∴OC=OB+CB=2；∵∠AOB=60°，∴∠ACO=30°，AO=OC=1，∴l 与D、∵BC≠1，∴OC=OB+CB≠2；∵∠AOB=60°，∴∠ACO=30°，AO=OC≠1，∴l与⊙O不相切，故D正确；故选D．考点：直线与圆的位置关系．4、有一组数据0、1、2、3、4、x、6的中位数是3，则这组数据x的取值范围（）A．5B．x≥4C．x≥3D．x≤3【答案】C．【解析】试题解析：∵这组数据共有7个，3为中位数，∴x≥3．故选C．考点：中位数．5、2015年的世界无烟日期间，小华学习小组为了解本地区大约有多少成年人吸烟，随机调查了100个成年人，结果其中20个成年人吸烟，对于这个关于数据收集与处理的问题，下列说法正确的是（）A．调查的方式是普查B．本地区约有20%的成年人吸烟C．样本是20个吸烟的成年人D．本地区只有80个成年人不吸烟【答案】B．【解析】试题解析：A、调查方式是抽样调查，故A错误；B、根据调查结果知20%的成年人吸烟，故B正确；C、样本是100个成年人，故C错误；D、本地区80%的成年人不吸烟，故D错误；故选B．考点：1.全面调查与抽样调查；2.总体、个体、样本、样本容量．6、两条直线相交所成的四个角中，下列说法正确的是（）A．一定有一个锐角B．一定有一个钝角C．一定有一个直角D．一定有一个不是钝角试卷第4页，共19页【答案】D ． 【解析】试题解析：因为两条直线相交，分为垂直相交和斜交，故分两种情况讨论： ①当两直线垂直相交时，四个角都是直角，故A 、B 错误；②当两直线斜交时，有两个角是锐角，两个角是钝角，所以C 错误； 综上所述，D 正确． 故选D ． 考点：相交线． 7、若式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x=1B ．x≥1C ．x ＞1D ．x ＜1【答案】B ． 【解析】试题解析：由题意，得 x-1≥0， 解得，x≥1． 故选B ．考点：二次根式有意义的条件． 8、9的算术平方根是（ ） A ．81B ．3C ．-3D ．±3【答案】B ． 【解析】试题解析：∵32=9， ∴9算术平方根为3． 故选B ．考点：算术平方根．9、下列图形中，是轴对称图形的是（ ）【答案】C ．【解析】试题解析：A 、不是轴对称图形，故错误； B 、不是轴对称图形，故错误； C 、是轴对称图形，故正确； D 、不是轴对称图形，故错误． 故选C ．考点：轴对称图形． 10、sin45°的值等于（ ）A ．B ．C ．D ．1【答案】B ． 【解析】试题解析：sin45°=．故选B ．考点：特殊角的三角函数值．试卷第6页，共19页第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）11、如图，在直角坐标系中，直线y=-x+4交矩形OACB 于F 与G ，交x 轴于D ，交y 轴于E ．若∠FOG=45°，求矩形OACB 的面积 ．【答案】8． 【解析】试题解析：∵直线y=-x+4与x 轴，y 轴分别交于点D ，点E ， ∴OD=OE=4，∴∠ODE=∠OED=45°；∴∠OGE=∠ODF+∠DOG=45°+∠DOG ， ∵∠EOF=45°，∴∠DOF=∠EOF+∠DOG=45°+∠DOG ， ∴∠DOF=∠OGE ， ∴△DOF ∽△EGO ，∴，∴DF•EG=OE•OD=16，过点F 作FM ⊥x 轴于点M ，过点G 作GN ⊥y 轴于点N ．∴△DMF 和△ENG 是等腰直角三角形， ∵NG=AC=a ，FM=BC=b ， ∴DF=b ，GE=a ，∴DF•GE=2ab ， ∴2ab=16， ∴ab=8，∴矩形OACB 的面积=ab=8． 考点：一次函数综合题．12、已知⊙O 的半径4，点A ，M 为⊙O 上两点，连接OM ，AO ，∠MOA=60°，作点M 关于圆心O 的对称点N ，连接AN ，则弧AN 的长是 ．【答案】.【解析】试题解析：∠AON=180°-60°=120°，则弧AN 的长是：.考点：弧长的计算．13、不等式2x-4＞0的解集是 ．【答案】x ＞2. 【解析】试题解析：∵2x-4＞0， ∴2x ＞4， ∴x ＞2．考点：解一元一次不等式．试卷第8页，共19页14、已知∠α=30°，∠α的余角为 ．【答案】60°. 【解析】试题解析：根据定义∠α的余角度数是90°-30°=60°． 考点：余角和补角． 15、2的相反数是 ．【答案】-2. 【解析】试题解析：2的相反数是-2． 考点：相反数．三、计算题（题型注释）16、在数学活动中，我们已经学习了四点共圆的条件：如果一个四边形对角互补，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上，简称“四点共圆”．如图，已知四边形ABCD ，AD=4，CD=3，AC=5，cos ∠BCA=sin ∠BAC=，求∠BDC 的大小．【答案】30°． 【解析】试题分析：先利用勾股定理的逆命题得到∠ADC=90°，再根据特殊角的三角函数值得到∠BCA=60°，∠BAC=30°，则∠ABC=90°，根据新定义得到四边形ABCD 的四个点在以AC 为直径的圆上，然后根据圆周角定理即可得到∠BDC=∠BAC=30°． 试题解析：∵AD=4，CD=3，AC=5， ∴AD 2+CD 2=AC 2，∴△ADC 为直角三角形，∠ADC=90°，∵cos ∠BCA=sin ∠BAC=，∴∠BCA=60°，∠BAC=30°， ∴∠ABC=180°-60°-30°=90°，∴四边形ABCD 的四个点在以AC 为直径的圆上， ∴∠BDC=∠BAC=30°．考点：1.圆内接四边形的性质；2.解直角三角形．17、在直角坐标系中画出双曲线y=．【答案】作图见解析. 【解析】试题分析：用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表----描点----连线． 试题解析：列表如下：-函数图象如下：．考点：反比例函数的图象．18、如图，大圆半径为6，小圆半径为2，在如图所示的圆形区域中，随机撒一把豆子，多次重复这个实验，若把“豆子落在小圆区域A 中”记作事件W ，请估计事件W 的概率试卷第10页，共19页P （W ）的值 ．【答案】.【解析】试题解析：∵大圆半径为6，小圆半径为2， ∴S 大圆=36π，S 小圆=4π，∴P （W ）=.考点：1.模拟实验；2.几何概率．四、解答题（题型注释）19、若抛物线y=ax 2+bx+c 上有两点A ，B 关于原点对称，则称它为“完美抛物线”． （1）请猜猜看：抛物线y=x 2+x-1是否是“完美抛物线”？若猜是，请写出A ，B 坐标，若不是，请说明理由；（2）若抛物线y=ax 2+bx+c 是“完美抛物线”与y 轴交于点C ，与x 轴交于（-，0），若S △ABC =，求直线AB 解析式．【答案】（1）是，A （1，1）、B （-1，-1）或A （-1，-1）、B （1，1）．（2）y=（-1）x ． 【解析】试题分析：（1）首先设A 点的坐标是（m ，n ），根据A ，B 关于原点对称，判断出B 点的坐标是（-m ，-n ）；然后根据A ，B 都是抛物线y=x 2+x-1上的点，求出m 、n 的值各是多少，判断出抛物线y=x 2+x-1是“完美抛物线”，并写出A ，B 坐标即可．试卷第11页，共19页（2）首先根据抛物线y=ax 2+bx+c 上有两点A ，B 关于原点对称，可得直线AB 经过原点，设直线AB 解析式是：y=kx ；设点A 的坐标是（p ，q ），则B 点的坐标是（-p ，-q ）；然后根据A 、B 都是抛物线y=x 2+x-1上的点，抛物线与x 轴交于（-，0），可得2b-ac=4；最后根据S △ABC =，求出b 的值是多少，进而判断出直线AB 的斜率是多少，求出直线AB 解析式即可．试题解析：（1）设A 点的坐标是（m ，n ）， ∵A ，B 关于原点对称， ∴B 点的坐标是（-m ，-n ），∵A ，B 都是抛物线y=x 2+x-1上的点，∴，解得m=1或m=-1， ①当m=1时， n=12+1-1=1， ②当m=-1时， n=（-1）2-1-1=-1，∴抛物线y=x 2+x-1是“完美抛物线”，A （1，1）、B （-1，-1）或A （-1，-1）、B （1，1）． （2）∵抛物线y=ax 2+bx+c 上有两点A ，B 关于原点对称， ∴直线AB 经过原点，∴设直线AB 解析式是：y=kx ， 设点A 的坐标是（p ，q ）， 则B 点的坐标是（-p ，-q ），∴，∴ap 2+c=0， ∴bp=q ，∴，试卷第12页，共19页∵抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于（-，0），∴，∴2b-ac=4，∵点C 的坐标是（0，c ），∴|cp×2|=，∴，∴p 2=，又∵，∴，∴b 2=-ac ，又∵2b-ac=4， ∴b 2+2b-4=0， ∴b=-1±，∵S △ABC =＞0，∴b ＞0， ∴b=-1，又∵bp=q ，∴，即直线AB 的斜率是：k=-1， ∴直线AB 解析式是：y=（-1）x ．考点：1.二次函数图象上点的坐标特征；2.待定系数法求一次函数解析式．试卷第13页，共19页20、已知双曲线y=和直线y=-2x ，点C （a ，b ）（ab ＜2）在第一象限，过点C 作x轴的垂线交双曲线于F ，交直线于B ，过点C 作y 轴的垂线交双曲线于E ，交直线于A ． （1）若b=1，则结论“A 、E 不能关于直线FB 对称”是否正确？若正确，请证明；若不正确，请举反例．（2）若∠CAB=∠CFE ，设w=AC•EC ，当1≤a ＜2时，求w 的取值范围．【答案】（1）结论“A 、E 不能关于直线FB 对称”不正确；（2）0＜w≤．【解析】试题分析：（1）要说明一个结论错误，只需举一个反例即可，事实上，当a=时，可证到A 、E 关于直线FB 对称；（2）根据点C 的坐标可得到点A 、E 、B 、F 的坐标（用a 和b 的代数式表示），由ab ＜2可证到点F 在点C 的上方，结合图象用a 和b 的代数式分别表示出CA 、CE 、CB 、CF 的长，然后由∠CAB=∠CFE 证到△ACB ∽△FCE ，运用相似三角形的性质可得到CA•CE=CB•CF ，由此结合因式分解可得到a 与b 的等量关系，从而得到w 与a 的函数关系，然后只需运用函数的增减性就可解决问题．试题解析：（1）结论“A 、E 不能关于直线FB 对称”不正确．反例：当a=时，由b=1可得y A =y E =1．∵点A 在直线y=-2x 上，点E 在双曲线y=上，∴x A =-，x E =2，∴AC=-（-）=，CE=2-=，∴AC=CE ． ∵AE ⊥BF ，∴A 、E 关于直线FB 对称，∴结论“A 、E 不能关于直线FB 对称”不正确；试卷第14页，共19页（2）由题可得：y A =y E =y C =b ，x B =x F =x C =a ．∵点A 、B 在直线y=-2x 上，点E 、F 在双曲线y=上，∴x A =-，y B =-2a ，x E =，y F =．∵ab ＜2，∴b ＜，∴y C ＜y F ，∴点F 在点C 的上方（如图所示），∴AC=a-（-）=a+=，CE=-a=，CF=-b=，CB=b-（-2a ）=b+2a ，∴w=AC•EC=．∵∠CAB=∠CFE ，∠ACB=∠FCE=90°， ∴△ACB ∽△FCE ，∴，即CA•CE=CB•CF ，试卷第15页，共19页∴=，∴a （2a+b ）（2-ab ）=2b （2a+b ）（2-ab ）， ∴a （2a+b ）（2-ab ）-2b （2a+b ）（2-ab ）=0， ∴（a-2b ）（2a+b ）（2-ab ）=0． ∵a ＞0，b ＞0， ∴2a+b ＞0． 又∵ab ＜2， ∴2-ab ＞0， ∴a-2b=0，∴w==-a 2+5．∵-＜0，∴当a ＞0时，w 随a 的增大而减小． ∵1≤a ＜2，∴-×22+5＜w≤-×12+5，即0＜w≤，∴w 的取值范围为0＜w≤．考点：反比例函数综合题21、如图，已知A 、B 、C 、D 是⊙O 上四点，点E 在弧AD 上，连接BE 交AD 于点Q ，若∠AQE=∠EDC ，∠CQD=∠E ，求证：AQ=BC ．【答案】证明见解析. 【解析】试题分析：首先根据圆周角定理，可得∠A=∠E ，再根据∠CQD=∠E ，可得∠CQD=∠A ，试卷第16页，共19页所以AB ∥CQ ；然后根据圆内接四边形的性质，以及∠AQE=∠EDC ，判断出BC ∥AQ ，即可判断出四边形ABCQ 是平行四边形，所以AQ=BC ，据此解答即可． 试题解析：如图：，根据圆周角定理，可得∠A=∠E ， ∵∠CQD=∠E ， ∴∠CQD=∠A ， ∴AB ∥CQ ，∵∠EBC+∠EDC=180°，∠AQB+∠AQE=180°， ∴∠EBC+∠EDC=∠AQB+∠AQE ， ∵∠AQE=∠EDC ， ∴∠EBC=∠AQE ， ∴BC ∥AQ ， 又∵AB ∥CQ ，∴四边形ABCQ 是平行四边形， ∴AQ=BC ． 考点：圆周角定理．22、据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1：2，现要把一块长100米，宽50米的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物，是否存在一种划分这块土地的方法，使甲乙两种作物的总产量的比是3：4？请说明理由．【答案】种植作物甲的面积是3000平方米，种植作物乙的面积是2000平方米. 【解析】试题分析：可设种植作物甲的面积是x 平方米，则种植农作物乙的面积是（100×50-x ）平方米，根据甲、乙两种作物的总产量的比为3：4，列出方程求解即可．试题解析：设种植作物甲的面积是x 平方米，则种植农作物乙的面积是（100×50-x ）平方米，依题意有x ：[2（100×50-x ）]=3：4，试卷第17页，共19页解得x=3000， 100×50-x =5000-3000 =2000．故种植作物甲的面积是3000平方米，种植作物乙的面积是2000平方米，使甲、乙两种作物的总产量的比为3：4． 考点：一元一次方程的应用．23、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AB=5，AC=4，过点C 作直线MC 使得∠BCM=∠BAC ，求点B 到直线MC 的距离．【答案】．【解析】试题分析：利用勾股定理求出BC ，过B 向MC 作垂线，利用三角形相似求BE ． 试题解析：如图：在Rt △ABC 中， BC==3，作BE ⊥MC ，垂足是E ，∵∠ACB=∠BEC=90°， ∴△ACB ∽△BCE ，∴，∴，∴BE=，试卷第18页，共19页∴点B 到直线MC 的距离．考点：相似三角形的判定与性质．24、有3张扑克牌，分别是红桃3、红桃4和黑桃5，把牌洗匀后先抽取一张，记下颜色和数字后将牌放回，洗匀后再抽取一张，则两次抽得相同颜色的概率是多少？【答案】．【解析】试题分析：红桃3、红桃4和黑桃5分别用A 、B 、C 表示，画出树状图，展示所有9种等可能的结果数，找出两次抽得相同颜色的结果数，然后利用概率公式求解． 试题解析：画树状图：红桃3、红桃4和黑桃5分别用A 、B 、C 表示，共有9种等可能的结果数，其中两次抽得相同颜色的结果数为5种，所有两次抽得相同颜色的概率=．考点：列表法与树状图法．25、如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F ，若CE=CF ，求证：四边形ABCD 是平行四边形．【答案】证明见解析. 【解析】试题分析：根据角平分线的性质可得∠1=∠2，再根据平行线的性质可得∠1=∠F ，由CE=CF ，可得∠F=∠3，再利用等量代换可得∠2=∠3，进而可得判定AD ∥BC ，然后可得四边形ABCD 是平行四边形．试题解析：∵∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ， ∴∠1=∠2， ∵AB ∥CD ，试卷第19页，共19页∴∠1=∠F ， ∵CE=CF ， ∴∠F=∠3， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3， ∴AD ∥BC ， ∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形．考点：平行四边形的判定．26、解分式方程：．【答案】无解． 【解析】试题分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 试题解析：去分母得：x=2， 经检验x=2是增根，分式方程无解． 考点：解分式方程．。

福建省厦门市2016年中考一模数学试卷(6)及答案详解

福建省厦门市2016年中考一模数学试卷(6)及答案详解

厦门市2016年中考一模数学试卷（试卷满分：150分 考试时间：120分钟）准考证号 姓名 座位号注意事项：1．全卷三大题，27小题，试卷共4页，另有答题卡． 2．答案一律写在答题卡上，否则不能得分． 3．可直接用2B 铅笔画图．一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1．如果两个实数b a 、满足0=+b a ，那么b a 、一定是A ．都等于0B ．一正一负C ．互为相反数D ．互为倒数2．袋子中有10个黑球、1个白球, 他们除颜色外无其它差别.随机从袋子中摸出一个球，则 A ．摸到黑球、白球的可能性大小一样B ．这个球一定是黑球C ．事先能确定摸到什么颜色的球D ．这个球可能是白球 3．下列运算结果是6a 的式子是A ．23a a ⋅B ．6()a - C ．33()a D ．126a a -4．如图1，下列语句中，描述错误的是A ．点O 在直线AB 上 B ．直线AB 与直线OP 相交于点OC ．点P 在直线AB 上D ．∠AOP 与∠BOP 互为补角 5．下列角度中，可以是多边形内角和的是A ．450°B ．900°C ．1200°D ．1400°6．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是A ．测量对角线是否相互平分B ．测量两组对边是否分别相等C ．测量对角线是否相等D ．测量其中三个角是否都为直角7．命题“关于x 的一元二次方程210x bx ++=，必有实数解．”是假命题．则在下列选项中，可以作为反例的是A ．b =﹣1B ．b =﹣2C ．b =﹣3D ．b =28．在平面直角坐标系中，将y 轴所在的直线绕原点逆时针旋转45°，再向下平移1个单位后得到直线a ，则直线a 对应的函数表达式为A ．1y x =-B ．1y x =-+C ．1y x =+D ．1y x =--9.如图2，正比例函数y 1=k 1x 的图象与反比例函数y 2=2k x的图象相交于A ，B 两点， PBOA 图1其中点A 的横坐标为2，当y 1＞y 2时，x 的取值范围是 A ．x ＜﹣2或x ＞2 B ．x ＜﹣2或0＜x ＜2 C ．﹣2＜x ＜0或0＜x ＜﹣2 D ．﹣2＜x ＜0或x ＞210．已知抛物线213662y x x =-++与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ， 若D 为AB 的中点，则CD 的长为 A ．154 B ．92 C ．132 D ．152二、填空题（本大题有10小题，每小题4分，共24分） 11x 的取值范围是____________．12．计算(2)(2)__________x x +-=13．某公司欲招聘一名工作人员,对甲应聘者进行面试和笔试，面试成绩为85分笔试成绩为90分．若公司分别赋予面试成绩和笔试成绩6和4的权，则甲的平均成绩的是____分． 14．若反比例函数xk y 1-=图像在第二、四象限，则k 的取值范围是 ． 15. 若函数1y x =-（1）当2x =-时，y = ;（2）当14x -≤<时，y 的取值范围是 ．16.如图3， 以数轴上的原点O 为圆心,为半径的扇形中,圆心角90AOB ∠=o ,另一个扇形是以点P 为圆心,5为半径,圆心角60CPD ∠=o ,点P 在数轴上表示实数a ,（1）计算︵CD l ＝___________.（2）如果两个扇形的圆弧部分(ºAB 和»CD )相交,那么实数a 的取值范围是 .三、解答题（本大题有11小题，共86分） 17．（本题满分7分）图3计算：2(2)42sin 30-+-︒18．（本题满分7分）在平面直角坐标系中，已知点A （－4,1），B （－2,0），C （－3, －1）,请在图4上画出△ABC ，并画出与△ABC 关于y 轴对称的图形．19．（本题满分7分）解不等式组22263x x x>⎧⎨+≤+⎩20．（本题满分7分）甲口袋中装有3个小球，分别标有号码1，2，3；乙口袋中装有2个小球，分别标有号码2，3；这些球除数字外完全相同．从甲、乙两口袋中分别随机地摸出一个小球， 求这两个小球的号码之和大于4的概率． 21．（本题满分7分） 先化简下式，再求值：221(1)121x x x x +-⨯+-+，其中，31x =+．22．（本题满分7分）某工厂一台机器的工作效率相当于一个工人工作效率的12倍，用这台机器生产96个零件比8个工人生产这些零件少用2小时，求这台机器每小时生产多少个零件?23．（本题满分7分）如图5，已知AB ∥CD ，AC 与BD 相交于E ， 若CE =2，AE =3，AB ＝5，BD =320, 求sin A 的值． 24．（本题满分7分）如图6，在平面直角坐标系中，已知点A ()0,2，P 是函数()0>=x x y 图象 上一点，PQ ⊥AP 交y 轴于点Q . 设点P 的横坐标为a ，点Q 的纵坐标为b ， 若210<OP ，求b 的取值范围.25．（本题满分7分）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫做这个图4 EDCBA 图5四边形的和谐线．已知在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝BC ，∠BAD ＝90°，AC 是四边形 ABCD 的和谐线,求∠BCD 的度数.(注:已画四边形ABCD 的部分图,请你补充完整,再求解)26．（本题满分11分）已知BC 是⊙O 的直径，BF 是弦，AD 过圆心O ，AD ⊥BF ，AE ⊥BC 于E ，连接FC ． （1）如图7，若OE =2，求CF ；（2）如图8，连接DE ，并延长交FC 的延长线于G ，连接AG ，请你判断直线AG 与⊙O的位置关系，并说明理由．27.（本题满分12分）已知直线(0)y kx m k =+<与抛物线2y x bx c =++相交于抛物线的顶点P 和另一点.Q （1）若点(2,)P c -， Q 的横坐标为1-，求点Q 的坐标；（2）过点Q 作x 轴的平行线与抛物线2y x bx c =++的对称轴交于点E ，直线PQ 与y 轴交于点M ，若242,(40)4b PE EQc b -==-<≤，求△OMQ 的面积S 的最大值．图8C图7A D BAD BA DB答案详解1．C 2．D 3．B 4．C 5．B 6．D 7．A 8．D 9. D 10．D 11．x ≥2． 12．x 2-413．85×0.6+90×0.4=51+36=87 14．k<1．15. (1)3;(2)0≤y<416.(1)ππ35180560=⋅;(2)-4≤a ≤-2.17．4+2-1=518．略。

厦门市2016届高中毕业班第一次质量检查3月质检理答案

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厦门市2016届高中毕业班第一次质量检查数学(理科)参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1—5：DCADD 6—10： BCADA 11-12： BB11. 提示：APF ∆的周长=2AF AP PF AF a PF AP '++=+-+. 要使周长最大，即F P AP '-最大，如图,当F P A '，，三点共线时取到. 由)32,0(A ,2c =，直线AP 倾斜角为3π，32π='∠F F P ，由余弦定理得F P F P F P '++'='-416)6(22，解得45='F P ，4353sin 21''=='∆πFF PF S F F P ，432134435=+='∆F F A S . 12. 提示：由已知得，212+=n a n ，212n n b a +=，当1>a 时，11+-<<n n n b b b ，由题意11+->+n n n b b b ，解得1a <<10<<a1a <<.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.13. 1*3()()2n n a n N -=∈ 14. 7-15. 16. 1a =或2ln 2a ≥15. 提示：如图，O 是四棱锥P ABCD -的外接球（半径为R ）的球心，则R OP OA ==，设h OM =，7722222=+=+=PNONAMOM R ，，4-722a h =，222)4a R a h =+-，解得32=a . 16. 提示：由奇函数,0)0(=f 又0)1(=f ，问题转化为)(x f 在)2,0(如图1a =时，x x x h ln )(=与1)(-=x x g 相切满足题意；当1,0≠>a a 时，)1()(-=x a x g 过点)2ln 2,2(时与x x x h ln )(=有2个交点，要使)1()(-=x a x g 与x x x h ln )(=仅有1个交点，2ln 2≥a . 综上所述：a 的取值范围是2ln 2≥a 或1=a .三、解答题：本大题共6小题，共70分.17.（本小题满分12分）解法一：（Ⅰ）在ADC ∆中，CAD ∠，C ∠(0,)π∈， ····················· ·········································· 1分cos CAD C ∠=∠=， ∴ sin CAD C ∠=∠= ， ······ 3分∴ cos cos()cos cos sin sin ADC CAD C CAD C CAD C ∠=-∠+∠=-∠∠+∠∠ ······ 4分2==-， ······················· ·········································· 5分又(0,)ADC π∠∈，所以34ADC π∠=； ··················· ·········································· 6分 （Ⅱ）在△ADC 中，由正弦定理得，sin sin DC CAD CAD ⋅∠==∠， ···································· 8分 在△ABD 中，4ADB ADC ππ∠=-∠=， ·············· ·········································· 9分 由余弦定理得，2101822BD BD =+-⋅⋅， ···· ········································ 10分 第15题化简得2680BD BD -+=，解得4BD =或2BD =，综上所述，4BD =或2BD =. 12分解法二：(Ⅰ)同解法一； （Ⅱ）在△ADC中，由正弦定理得，sin sin DC CAD CAD⋅∠==∠， ······································ 8分在△ABD 中，4ADB ADC ππ∠=-∠=， ··················· ·········································· 9分由正弦定理得，sin sin AD ADB B AB ⋅∠==，cos B ∴=， ························ 10分当cos B =cos sin()BAD B ADB ∠=∠+∠=，由余弦定理得，2101816BD =+-=，即4BD =; ························· 11分当cos B =cos sin()BAD B ADB ∠=∠+∠=，由余弦定理得，210184BD =+-=，即2BD =，综上所述，4BD =或2BD =. ······························ ········································ 12分18. （本小题满分12分）本小题主要考查空间线面间的位置关系和直线与平面所成的角；考查空间想象能力,及公理定理的应用;考查运算求解能力及化归的思想方法.解法一：（Ⅰ）所作直线l 如图所示， ……………3分取AC 中点E ,连接1,,ED C E 则直线1C E 即为l . ……………6分（Ⅱ）取BC 中点G ,ABAC AG BC =∴⊥ ， 取CG 中点H ,连接EH ,则//EH AG ,从而EH BC ⊥.111111,,B B ABC B B B BCC ABC B BCC ⊥⊂∴⊥ 面面面面， ……7分又11,,ABC B BCC BC EH ABC EH BC =⊂⊥ 面面面，11EH B BCC ∴⊥面， ………………………………………………8分 连接1C H ,则1EC H ∠即为所求l 与平面11B C CB 所成角. ……9分 令A A AB AC 1==2=,在1Rt C CE ∆中,111,2,CE CC C E ==∴= ……10分 又122EH AG ==,在1Rt C HE ∆中,11sin HE EC H C E ∠==.即直线l 与平面11B C CB …………………12分解法二：（Ⅰ）延长1B D 与1A A 交于 F ,连接1C F 交AC 于点E ， 则直线1C E （或1C F ）即为l . …………………………………………6分（Ⅱ） D 是AB 中点,11//AD A B , A ∴是A F 1的中点,又11//AE AC , 故E 为AC 中点.分别以1,,AB AA AC 为,,x y z 轴,建立空间之间坐标系,如图. …………7分令A A AB AC 1==2=,则有11(2,0,0),(2,2,0),(0,0,2),(0,2,2),B B C C E 11(0,2,1),(0,2,0),(2,0,2).C E BB BC ∴=--==-…………8分设平面11B C CB 的法向量为(,,)n x y z =.作法一作法二由120,220,n BB y n BC x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 可取(1,0,1)n = ， …………9分 设l 与平面11B C CB 所成角为θ,有111sin cos ,C E n C E n C E nθ⋅=<>=== ………11分 即直线l 与平面11B C CB所成角的正弦值为10. …………12分 (注意不同建系所求的法向量不同)19. （本小题满分12分）本小题主要考查相互独立事件概率、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查运算求解能力、分析问题和解决问题的能力及应用意识；考查化归与转化、分类讨论思想． 解：（Ⅰ）设ξ为2只该种动物中血液呈阳性的只数，则~(2,0.1)B ξ， ······························ 1分这2只动物中只要有一只血样呈阳性，它们的混合血样呈阳性，所求的概率为(1)1(0)P P ξξ≥=-=21(10.1)=--0.19=. 答：2只动物的混合血样呈阳性的概率为0.19. ····································· 4分 （Ⅱ）方案一： 4只动物都得化验，所需化验次数为4次. ·········································· 5分方案二：设所需化验的次数为X ，则X 的所有可能取值为2，4，6； ····················· 6分(2)0.810.810.6561P X ==⨯=，(4)20.810.190.3078P X ==⨯⨯=，(6)0.190.190.0361P X ==⨯=； ····· ·········································· 8分 所以20.656140.307860.0361 2.76EX =⨯+⨯+⨯=； ························ 9分方案三：设所需化验次数为Y ，则Y 的所有可能取值为1，5；由于4只动物的混合血样呈阴性的概率为40.90.6561=， 所以(1)0.6561P Y ==，(5)10.65610.3439P Y ==-=， ················· 10分所以10.656150.3439 2.3756EY =⨯+⨯=； ·································· 11分因为2.3756 < 2.76 < 4，所以4只动物混合在一起化验更合适. ··························· 12分20.（本小题满分12分）考查抛物线的定义与焦半径的知识，焦点弦的性质，利用待定系数方法探究存在性问题，可以较好的考察学生的数学思维能力，数形结合能力及逻辑运算能力。

2016届福建省厦门一中高三上学期期中数学试卷(理科)【解析版】

2016届福建省厦门一中高三上学期期中数学试卷(理科)【解析版】

2016届福建省厦门一中高三上学期期中数学试卷（理科）【解析版】一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设全集U={x∈Z|﹣1≤x≤5}，A={1，2，5}，B={x∈N|﹣1＜x＜4}，则B∩∁U A=( ) A．{0，3} B．{3} C．{0，4} D．{0，3，4}2．在复平面内，复数z=，则其共轭复数z对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．下列说法错误的是( )A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x＞1”是“|x|＞1”的充分而不必要条件C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题D．命题p：“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”，则非p：“任意x∈R，均有x2+x+1≥0”4．已知数列﹛a n﹜为等比数列，且，则tan（a2a12）的值为( ) A．B．C．D．5．如图，D，C，B在地平面同一直线上，DC=10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于( )A．10m B．5m C．5（﹣1）m D．5（+1）m6．已知函数f（x）=且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=( ) A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣7．函数的部分图象，如图所示，若，则ω等于( )A．B．C．D．8．变量x，y满足约束条件，若z=2x﹣y的最大值为2，则实数m等于( ) A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．29．已知f（x）=e x，x∈R，a＜b，记A=f（b）﹣f（a），B=（b﹣a）（f（a）+f（b）），则A，B的大小关系是( )A．A＞B B．A≥B C．A＜B D．A≤B10．函数y=ln|x﹣1|的图象与函数y=﹣2cosπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于( )A．8 B．6 C．4 D．211．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为( )A．[﹣2，2]B．[2，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，2]∪[2，+∞）12．若数列{a n}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有a n+T=a n成立，则称数列{a n}为周期数列，周期为T．已知数列{a n}满足a1=m（m＞0），则下列结论中错误的是( )A．若a3=4，则m可以取3个不同的值B．若，则数列{a n}是周期为3的数列C．∀T∈N*且T≥2，存在m＞1，使得{a n}是周期为T的数列D．∂m∈Q且m≥2，使得数列{a n}是周期数列二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知α∈（π，），其cosα=﹣，则tanα=__________．14．曲线y=x2与直线y=x所围成图形的面积为__________．15．给定平面上四点A，B，C，D，满足AB=2，AC=4，AD=6，•=4，则△DBC面积的最大值为__________．16．已知曲线C：y2=2x+a在点P n（n，）（a＞0，n∈N）处的切线l n的斜率为k n，直线l n交x轴，y轴分别于点A n（x n，0），B n（0，y n），且|x0|=|y0|．给出以下结论：①a=1；②当n∈N*时，y n的最小值为；③当n∈N*时，k n；④当n∈N*时，记数列{k n}的前n项和为S n，则S n．其中，正确的结论有__________（写出所有正确结论的序号）三、解答题（共6小题，满分70分）17．设函数f（x）=|x﹣a|（Ⅰ）当a=2，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（Ⅱ）若f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，+=a（m＞0，n＞0）．求证：m+2n≥4．18．已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=，且当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把所得的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．19．在如图所示的几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F为BE的中点．（I）求证：平面DBE⊥平面ABE；（II）求直线BD和平面ACDE所成角的余弦值．20．已知各项不为零的数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=a1（a n﹣1）；数列{b n}满足a nb n=log2a n，数列{b n}的前n项和T n．（Ⅰ）求a n，T n．（Ⅱ）若∀n∈N+，不等式t2+2λt+3＜T n成立，求使关于t的不等式有解的充要条件．21．如图，已知椭圆C的中心在原点，其一个焦点与抛物线的焦点相同，又椭圆C上有一点M（2，1），直线l平行于OM且与椭圆C交于A、B两点，连MA、MB．（1）求椭圆C的方程．（2）当MA、MB与x轴所构成的三角形是以x轴上所在线段为底边的等腰三角形时，求直线l在y轴上截距的取值范围．22．已知函数f（x）=，其中a，b∈R，e为自然对数的底数．（1）当a=b=﹣3，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当x≤6时，若函数h（x）=f（x）﹣e﹣x（x3+b﹣1）存在两个相距大于2的极值点，求实数a的取值范围；（3）若函数g（x）与函数f（x）的图象关于y轴对称，且函数g（x）在（﹣6，m），（2，n）上单调递减，在（m，2），（n，+∞）单调递增，试证明：f（n﹣m）＜．2015-2016学年福建省厦门一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设全集U={x∈Z|﹣1≤x≤5}，A={1，2，5}，B={x∈N|﹣1＜x＜4}，则B∩∁U A=( ) A．{0，3} B．{3} C．{0，4} D．{0，3，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】由已知中全集U={x∈Z|﹣1≤x≤5}，A={1，2，5}，B={x∈N|﹣1＜x＜4}，根据补集的性质及运算方法，我们求出C U A再根据交集的运算方法，即可求出答案．【解答】解：∵全集U={x∈Z|﹣1≤x≤5}={﹣1，0，1，2，3，4，5}，A={1，2，5}，∴C U A={﹣1，0，3，4}又∵B={x∈N|﹣1＜x＜4}={0，1，2，3}∴B∩C U A={0，3}故选A．【点评】本题考查的知识点是交、并、补的混合运算，其中将题目中的集合用列举法表示出来，是解答本题的关键．2．在复平面内，复数z=，则其共轭复数z对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；对应思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求出的坐标得答案．【解答】解：∵z==，∴，则z的共轭复数对应的点的坐标为（），位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．下列说法错误的是( )A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”B．“x＞1”是“|x|＞1”的充分而不必要条件C．若p且q为假命题，则p、q均为假命题D．命题p：“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”，则非p：“任意x∈R，均有x2+x+1≥0”【考点】命题的真假判断与应用．【专题】规律型．【分析】A中命题的逆否命题是条件与结论互换并且否定；B中充分而不必要条件要说明充分性成立，必要性不成立；C中p且q为假命题时，则p或q为假命题，或P、Q都是假命题，即一假则假；D中非p是特称命题的否定．【解答】解：A、命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题是“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，命题正确；B、当x＞1时，|x|＞1成立，当|x|＞1时，有x＞1或x＜﹣1，∴原命题正确；C、当p且q为假命题时，有p或q为假命题，或P、Q都是假命题，∴原命题错误；D、命题p：“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”，则非p：“任意x∈R，均有x2+x+1≥0”，命题正确．故选：C．【点评】本题考查了四种命题之间的关系，以及命题的否定，命题真假的判定等知识，是基础题．4．已知数列﹛a n﹜为等比数列，且，则tan（a2a12）的值为( )A．B．C．D．【考点】等比数列的性质；诱导公式的作用．【专题】计算题．【分析】由题意可得=a2a12，再由已知条件求得a2a12=，再利用诱导公式求出tan（a2a12）的值．【解答】解：∵数列﹛a n﹜为等比数列，∴=a2a12 ．再由可得a2a12=．∴tan（a2a12）=tan=tan=，故选A．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，诱导公式的应用，属于中档题．5．如图，D，C，B在地平面同一直线上，DC=10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于( )A．10m B．5m C．5（﹣1）m D．5（+1）m【考点】解三角形的实际应用．【专题】解三角形．【分析】分别在Rt△ABC和Rt△ABD中用AB表示出BC，BD，作差建立方程求得AB．【解答】解：在Rt△ABC中，BC=AB，在Rt△ABD中，BD=AB，又BD﹣BC=10，∴AB﹣AB=10，AB=5（+1）（m），故A点离地面的高AB为5（+1）m，故选D．【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生的观察思考能力．6．已知函数f（x）=且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=( ) A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【考点】分段函数的应用；函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（a）=﹣3，结合指数和对数的运算性质，求得a=7，再由分段函数求得f（6﹣a）的值．【解答】解：函数f（x）=且f（a）=﹣3，若a≤1，则2a﹣1﹣2=﹣3，即有2a﹣1=﹣1＜0，方程无解；若a＞1，则﹣log2（a+1）=﹣3，解得a=7，则f（6﹣a）=f（﹣1）=2﹣1﹣1﹣2=﹣．故选：A．【点评】本题考查分段函数的运用：求函数值，主要考查指数和对数的运算性质，属于中档题．7．函数的部分图象，如图所示，若，则ω等于( )A．B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；平面向量数量积的运算．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由，可求得∠ABC=120°，再由函数最大值为，通过解三角形可求得周期，由此即可求得ω值．【解答】解：由，得||•||•cos（π﹣∠ABC）=，即||•（﹣cos∠ABC）=，由图知||=2||，所以cos∠ABC=﹣，即得∠ABC=120°，过B作BD⊥x轴于点D，则BD=，在△ABD中∠ABD=60°，BD=，易求得AD=3，所以周期T=3×4=12，所以ω==．故选B．【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式及平面向量数量积的运算，解决本题的关键是由所给数量积求出∠ABC=120°．8．变量x，y满足约束条件，若z=2x﹣y的最大值为2，则实数m等于( ) A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得m的值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为，解得：m=1．故选：C．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．9．已知f（x）=e x，x∈R，a＜b，记A=f（b）﹣f（a），B=（b﹣a）（f（a）+f（b）），则A，B的大小关系是( )A．A＞B B．A≥B C．A＜B D．A≤B【考点】指数函数单调性的应用．【专题】计算题．【分析】利用特殊值验证，推出A，B的大小，然后利用反证法推出A=B不成立，得到结果．【解答】解：考查选项，不妨令b=1，a=0，则A=e﹣1，B=（e+1）．∵e＜3，⇒2e﹣2＜e+1⇒e﹣1＜（e+1）．即A＜B．排除A、B选项．若A=B，则e b﹣e a=（b﹣a）（e b+e a），整理得：（2﹣b+a）e b=（b﹣a+2）e a观察可得a=b，与a＜b矛盾，排除D．故选：C．【点评】本题考查函数的单调性的应用，选择题的解法，如果常用直接法，解答本题难度比较大．考查学生灵活解题能力．10．函数y=ln|x﹣1|的图象与函数y=﹣2cosπx（﹣2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于( )A．8 B．6 C．4 D．2【考点】数列的求和；根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由图象变化的法则和余弦函数的特点作出函数的图象，由对称性可得答案．【解答】解：由图象变化的法则可知：y=lnx的图象作关于y轴的对称后和原来的一起构成y=ln|x|的图象，向右平移1个单位得到y=ln|x﹣1|的图象，再把x轴上方的图象不动，下方的图象对折上去可得g（x）=ln|x﹣1||的图象又f（x）=﹣2cosπx的周期为T=2，如图所示：两图象都关于直线x=1对称，且共有6个交点，由中点坐标公式可得：x A+x B=﹣2，x D+x C=2，x E+x F=6故所有交点的横坐标之和为6故选B【点评】本题考查函数图象的作法，熟练作出函数的图象是解决问题的关键，属中档题．11．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为( )A．[﹣2，2]B．[2，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，2]∪[2，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】令g（x）=f（x）﹣x2，由g（﹣x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是减函数，f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m，即g（4﹣m）≥g（m），可得4﹣m≤m，由此解得a的范围．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x2，∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＜0，故函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是减函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是减函数，∴f（4﹣m）﹣f（m）=g（4﹣m）+（4﹣m）2﹣g（m）﹣m2=g（4﹣m）﹣g（m）+8﹣4m≥8﹣4m，∴g（4﹣m）≥g（m），∴4﹣m≤m，解得：m≥2，故选：B．【点评】本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．12．若数列{a n}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有a n+T=a n成立，则称数列{a n}为周期数列，周期为T．已知数列{a n}满足a1=m（m＞0），则下列结论中错误的是( )A．若a3=4，则m可以取3个不同的值B．若，则数列{a n}是周期为3的数列C．∀T∈N*且T≥2，存在m＞1，使得{a n}是周期为T的数列D．∂m∈Q且m≥2，使得数列{a n}是周期数列【考点】命题的真假判断与应用．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用周期数列的定义，分别进行推理证明．【解答】解：对于选项A，因为，所以，因为a3=4，所以a2=5或，又因为，a1=m，所以m=6或m=或m=，所以选项A正确；对于选项B，＞1，所以；所以，所以，所以数列{a n}是周期为3的数列，所以选项B正确；对于选项C，当B可知当＞1时，数列{a n}是周期为3的周期数列，所以C正确．故错误的是D．故选D．【点评】本题主要考查周期数列的推导和应用，考查学生的推理能力．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知α∈（π，），其cosα=﹣，则tanα=2．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】三角函数的求值．【分析】由cosα的值及α的范围，求出sinα的值，即可确定出tanα的值．【解答】解：∵α∈（π，），cosα=﹣，∴sinα=﹣=﹣，则tanα==2，故答案为：2【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．14．曲线y=x2与直线y=x所围成图形的面积为．【考点】定积分在求面积中的应用．【专题】计算题．【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为0，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0直线y=x与曲线y=x2所围图形的面积S=∫01（x﹣x2）dx而∫01（x﹣x2）dx=（﹣）|01=﹣=∴曲边梯形的面积是故答案为：．【点评】本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，属于基础题．15．给定平面上四点A，B，C，D，满足AB=2，AC=4，AD=6，•=4，则△DBC面积的最大值为．【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算．【专题】解三角形；平面向量及应用．【分析】先利用向量的数量积公式，求出∠BAC=60°，利用余弦定理求出BC，由等面积可得A到BC的距离，即可求出△DBC面积的最大值．【解答】解：∵AB=2，AC=4，•=4，∴cos∠BAC=，∠BAC=60°，∴BC=，设A到BC的距离为h，则由等面积可得=，∴h=2，∴△DBC面积的最大值为•（2+6）=．故答案为：．【点评】本题考查向量在几何中的应用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，求出BC，A到BC的距离是解题的关键，属中档题．16．已知曲线C：y2=2x+a在点P n（n，）（a＞0，n∈N）处的切线l n的斜率为k n，直线l n交x轴，y轴分别于点A n（x n，0），B n（0，y n），且|x0|=|y0|．给出以下结论：①a=1；②当n∈N*时，y n的最小值为；③当n∈N*时，k n；④当n∈N*时，记数列{k n}的前n项和为S n，则S n．其中，正确的结论有①③④（写出所有正确结论的序号）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的概念及应用；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】求出导数，求出切线的斜率，求出切线方程，令x=0，y=0，n=0，得到方程，解得a，即可判断①；令=t（t），得到y n在t上递增，即可得到最小值，即可判断②；令u=（0＜u），则有y=sinu﹣u，求出导数，判断单调性，即可判断③；由于（）2≤（当且仅当a=b取等号），则有＜，则有＜=（﹣），再由裂项相消求和，即可判断④．【解答】解：对于①，由y2=2x+a，当x＞0时，y=，y′=，则k n=，切线方程为y﹣=（x﹣n），令x=0，则y=，令y=0，则x=n﹣（2n+a）=﹣n﹣a，即有x n=﹣n﹣a，y n=，由于|x0|=|y0|，则|a|=||，解得，a=1，则①正确；对于②，由于y n=，令=t（t），则y n==（t+）在t上递增，则有t=取得最小值，且为（）=，则②错误；对于③，当n∈N*时，k n=，令u=（0＜u），则有y=sinu﹣u，y′=cosu ﹣1，由于0＜u＜，则，即有y′＞0，y在0＜u上递增，即有y＞0，即有k n成立，则③正确；对于④，当n∈N*时，记数列{k n}的前n项和为S n，k n=由于（）2≤（当且仅当a=b取等号），则a+b，则有＜，则有＜=（﹣），则S n=++…+＜[（）+（）+…+（）]=（﹣1）．则④正确．故答案为：①③④【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，考查函数的单调性的运用：求最值和比较大小，考查数列的求和：放缩和裂项相消法，属于中档题和易错题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．设函数f（x）=|x﹣a|（Ⅰ）当a=2，解不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|；（Ⅱ）若f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，+=a（m＞0，n＞0）．求证：m+2n≥4．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式．【分析】对第（1）问，将a=2代入函数的解析式中，利用分段讨论法解绝对值不等式即可；对第（2）问，先由已知解集{x|0≤x≤2}确定a值，再将“m+2n”改写为“（m+2n）（+）”，展开后利用基本不等式可完成证明．【解答】解：（I）当a=2时，不等式f（x）≥4﹣|x﹣1|即为|x﹣2|≥4﹣|x﹣1|，①当x≤1时，原不等式化为2﹣x≥4+（x﹣1），得，故；②当1＜x＜2时，原不等式化为2﹣x≥4﹣（x﹣1），得2≥5，故1＜x＜2不是原不等式的解；③当x≥2时，原不等式化为x﹣2≥4﹣（x﹣1），得，故．综合①、②、③知，原不等式的解集为∪．（Ⅱ）证明：由f（x）≤1得|x﹣a|≤1，从而﹣1+a≤x≤1+a，∵f（x）≤1的解集为{x|0≤x≤2}，∴得a=1，∴+=a=1．又m＞0，n＞0，∴m+2n=（m+2n）（+）=2+（），当且仅当即m=2n时，等号成立，此时，联立+=1，得时，m+2n=4，故m+2n≥4，得证．【点评】1．已知不等式的解集求参数的值，求解的一般思路是：先将原不等式求解一遍，再把结果与已知解集对比即可获得参数的值．2．本题中，“1”的替换很关键，这是解决此类题型的一种常用技巧，应注意体会证明过程的巧妙性．18．已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=，且当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把所得的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）由向量的数量积、三角函数降幂公式、三角函数恒等变换，得到f（x）=2sin（2x+）+m+1，再由当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2，求出．由此能求出f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）由函数y=f（x）伸缩变换、平移变换得到，由此能求出方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．【解答】解：（Ⅰ）∵向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=，∴f（x）====2sin（2x+）+m+1，∵x∈[0，]，∴，∴时，f（x）min=2×+m+1=2，解得m=2，∴．令2kπ﹣，得f（x）的增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）．（Ⅱ）∵函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得到f（x）=2sin（4x+）+3，再把所得的图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，∴，∵g（x）=4，∴，解得4x﹣=2k或4x﹣=2k，k∈Z，∴或x=，k∈Z．∵，∴x=或x=，故所有根之和为：=．【点评】本题考查三角函数的增区间的求法，考查三角方程所有根之和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量的数量积、三角函数降幂公式、三角函数恒等变换、伸缩变换、平移变换的合理运用．19．在如图所示的几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F为BE的中点．（I）求证：平面DBE⊥平面ABE；（II）求直线BD和平面ACDE所成角的余弦值．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）取AB中点G，由题意可知四边形CDFG为平行四边形，可得CG∥DF．根据题意可得：平面ABE⊥平面ABC，可得CG⊥平面ABE，进而得到DF⊥平面ABE，即可证明面面垂直．（II）取AC中点M，连接BM、DM，所以BM⊥AC，又平面ACDE⊥平面ABC，所以BM⊥平面ACDE，所以∠BDM为所求的线面角，再结合解三角形的有关知识求出线面角即可得到答案．【解答】解：（I）证明：取AB中点G，则四边形CDFG为平行四边形，∴CG∥DF又AE⊥平面ABC，AE⊂平面ABE∴平面ABE⊥平面ABC，交线为AB．又△ABC为正三角形，G为AB中点∴CG⊥AB，∴CG⊥平面ABE，又CG∥DF，∴DF⊥平面ABE，又DF⊂平面DBE∴平面DBE⊥平面ABE．（II）解：取AC中点M，连接BM、DM，∵△ABC为正三角形，M为AC中点，∴BM⊥AC．又AE⊥平面ABC，AE⊂平面ACDE∴平面ACDE⊥平面ABC，∴BM⊥平面ACDE．∴∠BDM为所求的线面角．又因为△ABC为正三角形且AB=2，所以BM=，BC⊂平面ABC，所以CD⊥BC，所以BD=，所以cos∠BDM=故直线BD和平面ACDE所成角的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面面垂直的判定定理，并且也考查求直线与平面所成的角的有关知识，找出直线与平面所成的角是解题的难点和关键，属于难题．20．已知各项不为零的数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=a1（a n﹣1）；数列{b n}满足a nb n=log2a n，数列{b n}的前n项和T n．（Ⅰ）求a n，T n．（Ⅱ）若∀n∈N+，不等式t2+2λt+3＜T n成立，求使关于t的不等式有解的充要条件．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）利用递推式及其等比数列的通项公式即可得出；利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出T n．（Ⅱ）由b n各项大于0，可得T n的最小值为T1=b1=，由题意可得t2+2λt+3＜，即2t2+4λt+5＜0，关于t的不等式有解，只要△=16λ2﹣40＞0，解得即可得到充要条件．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=a1（a1﹣1），∵a1≠0，解得a1=2．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2（a n﹣1）﹣2（a n﹣1﹣1），化为a n=2a n﹣1，∴数列{a n}是等比数列，∴a n=2n．又数列{b n}满足a n b n=log2a n，∴b n==．∴T n=+++…++，∴T n=++…++，∴T n=+++…+﹣=﹣=1﹣﹣，∴T n=2﹣；（Ⅱ）由于b n==＞0，即有T n的最小值为T1=b1=，∀n∈N+，不等式t2+2λt+3＜T n成立，即有t2+2λt+3＜，即2t2+4λt+5＜0，关于t的不等式有解，只要△=16λ2﹣40＞0，解得λ＞或λ＜﹣．则使关于t的不等式有解的充要条件是λ＞或λ＜﹣．【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查不等式有解的条件，考查错位相减法求和的方法，属于中档题．21．如图，已知椭圆C的中心在原点，其一个焦点与抛物线的焦点相同，又椭圆C上有一点M（2，1），直线l平行于OM且与椭圆C交于A、B两点，连MA、MB．（1）求椭圆C的方程．（2）当MA、MB与x轴所构成的三角形是以x轴上所在线段为底边的等腰三角形时，求直线l在y轴上截距的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】（1）抛物线的焦点，又椭圆C上有一点M（2，1），由此可求出椭圆方程．（2）设直线在y轴上的截距为m，则直线，由直线l与椭圆C交于A、B两点，可导出m的取值范围是{m|﹣2＜m＜2且m≠0}，设MA、MB的斜率分别为K1，K2，K1+K2=0，然后结合题设条件和根与系数的关系知MA，MB与x轴始终围成等腰三角形，从而得到m 的取值范围．【解答】解：（1）抛物线的焦点，又椭圆C上有一点M（2，1）∴椭圆方程为，（2），设直线在y轴上的截距为m，则直线直线l与椭圆C交于A、B两点，∴m的取值范围是{m|﹣2＜m＜2且m≠0}，设MA、MB的斜率分别为K1，K2，∴K1+K2=0，∵==故MA，MB与x轴始终围成等腰三角形．∴m的取值范围是{m|﹣2＜m＜2且m≠0}【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．22．已知函数f（x）=，其中a，b∈R，e为自然对数的底数．（1）当a=b=﹣3，求函数f（x）的单调递增区间；（2）当x≤6时，若函数h（x）=f（x）﹣e﹣x（x3+b﹣1）存在两个相距大于2的极值点，求实数a的取值范围；（3）若函数g（x）与函数f（x）的图象关于y轴对称，且函数g（x）在（﹣6，m），（2，n）上单调递减，在（m，2），（n，+∞）单调递增，试证明：f（n﹣m）＜．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）当a=b=﹣3时，先求出f（x），然后对函数进行求导，结合导数即可判断函数的单调性；（2）先求出当x＜6时h（x）的解析式，求出h′（x），由h′（x）=0有两个相距大于2的根，列出所满足的不等式组，求出a的取值范围；（3）写出g（x）的表达式，则x=2，x=n，x=m分别是g′（x）=0的三个根，得出m，n，a 的关系，从而证明不等式成立．【解答】（1）解：当x＞6时，，则，即f（x）在（6，+∞）单调递减；当x≤6时，由已知，有f（x）=（x3+3x2﹣3x﹣3）e﹣x，f'（x）=﹣x（x﹣3）（x+3）e﹣x，知f（x）在（﹣∞，﹣3），（0，3）上单调递增，在（﹣3，0），（3，6）上单调递减．综上，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣3）和（0，3）．（2）解：当x≤6时，h（x）=e﹣x（3x2+ax+1），h'（x）=e﹣x[﹣3x2﹣（a﹣6）x+a﹣1]，令φ（x）=3x2+（a﹣6）x+1﹣a，设其零点分别为x1，x2．由解得．（3）证明：当x≥﹣6时，g'（x）=e x[﹣x3+（6﹣a）x+（b﹣a）]，由g'（2）=0，得b=3a﹣4，从而g'（x）=﹣e x[x3+（a﹣6）x+（4﹣2a）]，因为g'（m）=g'（n）=0，所以x3+（a﹣6）x+（4﹣2a）=（x﹣2）（x﹣m）（x﹣n），将右边展开，与左边比较系数得m+n=﹣2，mn=a﹣2，因为n＞2，所以m＜﹣4，n﹣m＞6，又f（x）在[6，+∞）单调递减，则，因为ln6＜2，所以6ln6＜12，（6ln6）2＜144＜150=，即有，，从而．【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间，由零点求参数的取值范围，利用单调性证明不等式成立，试题有一定的难度．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．。

福建厦门第一中学2015—2016学年度

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福建省厦门第一中学2015—2016学年度第一学期12月月考高三年理科数学试卷2015.12.14满分为150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．1．已知集合{}ln(12)A x y x ==-，{}2B x x x =≤，全集U A B =，则()UC A B =（ ）A ．(,0)-∞B ．1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．()1,0,12⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦D ．1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦2．设复数2()1a iw i +=+，其中a 为实数，若w 的实部为2，则w 的虚部为 （ ）A ．32-B ．12-C ．12D ．323．若非零向量,a b 满足(4)a b a -⊥，()b a b -⊥，则a 与b 的夹角是（ ） A ．6πB ．3πC ．2πD ．56π 4．已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点 P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A . 220x -280y =1B . 280x -220y =1C . 25x -220y =1 D . 220x -25y =15．已知()f x 是定义在实数集R 上的偶函数，且在(0,)+∞上递增，则（ ）A ．0.72(2)(log 5)(3)f f f <-<-B ．0.72(3)(2)(log 5)f f f -<<- C ．0.72(3)(log 5)(2)f f f -<-< D ．0.72(2)(3)(log 5)f f f <-<-6．已知命题:p “0,31xx ∀>>”的否定是“0,31xx ∃≤≤”，命题:q “2a <-”是“函数()3f x ax =+在区间[]1,2-上存在零点”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ∨⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝7．把周长为1的圆的圆心C 放在y 轴，顶点()0,1A ，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长AM x =，直线AM 与x 轴交于点(),0N t ，则函数()t f x =的大致图像为 （ ）侧视图8．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图,在 鳖臑PABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，且AP=AC=1，过A 点分别作AE ⊥于E 、AF ⊥PC 于F ，连接EF 当△AEF 的面积最大时，tan ∠BPC 的值是（ AB ．2CD 9．如图，是函数)2,0(),2sin()(πϕϕ≤>+=A x A x f []b a x x ,,21∈，若)()(21x f x f =，有2)(21=+x x f ，则 （ ）A ．()f x 在)12,125(ππ-上是增函数B ．()f x 在)12,125(ππ-上是减函数C ． ()f x 在)8,83(ππ-上是增函数D ．()f x 在)8,83(ππ-上是减函数10.已知椭圆22221x y a b+=的右焦点为F ，椭圆上两点,A B 关于原点对称，,M N 分别是线段,AF BF 的中点，且以MN 为直径的圆过原点，直线AB 的斜率k 满足03k <<，则椭圆的离心率e 的取值范围是 （）A ．⎛⎝⎭ B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．()1 D ．)1,111．已知函数()()()22log 11,11,x x k f x x x k x a-+-≤<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩，若存在k 使得函数()f x 的值域为[]0,2，则实数a 的取值范围是 （ A ．[]1,2 B ．(]1,2 C ．1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 12．一个几何体的三视图如图所示,该几何体外接球的表面积为 （ ） A ．8π B ．252π C ．12π D ．414π 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答．13. 已知,x y 满足不等式组1010330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则目标函数2z x y =-的最小值为 ▲ .14. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =-，*2()n n S a n n N =+∈，则n a = ▲ .15. 在平面直角坐标系中，圆心坐标均为()2,2的圆Ⅰ、圆Ⅱ、圆Ⅲ半径分别为4,2,1，直线334y x =+与圆Ⅰ交于点,A B ，点C 在圆Ⅰ上，满足线段CA 和线段CB 与圆Ⅱ均有公共点，点P 是圆Ⅲ上任意一点，则△APB 与△APC 面积之比的最大值为 ▲ . 16. 点P 在曲线xy e -=-上，点Q 在曲线ln y x =上，线段PQ 的中点为M ，O 是坐标原点，则线段OM 长的最小值是 ▲ .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答．17. （本小题10分）设函数1321)(+--=x x x f ，()f x 的最大值为M ，正数,a b 满足3311Mab a b+=． (Ⅰ)求M ；(Ⅱ)是否存在,a b ，使得66a b +=？并说明理由．18．（本小题12分）设ABC ∆的,,A B C ∠∠∠所对边分别为c b a,,,满足c =且ABC ∆的面积222=4b c a S +-.(Ⅰ)求C ∠；(Ⅱ) 设ABC ∆内一点P 满足,AP AC BP CP ==，求PAC ∠的大小.19．（本小题12分）如图，四棱锥S ABCD -中， //AB CD ,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，2,1AB BC CD SD ====.(Ⅰ)证明：SD ⊥平面SAB ；(Ⅱ)求AB 与平面SBC 所成角的正弦值.20. （本小题12分）已知数列{}n a 的奇数项是公差为1d 的等差数列，偶数项是公差为2d 的等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，11a =，22a =．(Ⅰ)已知15815S a =，且对任意*n N ∈，有1n n a a +<恒成立，求证：数列{}n a 是等差数列；(Ⅱ)若123d d =（10d ≠），且存在正整数,m n （m n ≠），使得m n a a =．求当1d 最大时，数列{}n a 的通项公式． 21．（本小题12分）已知过抛物线E ：x 2＝2py （p ＞0）焦点F 的直线l 倾斜角为60o且与抛物线E 交于点M ，N ，△OMN 的面积为4． (Ⅰ)求抛物线E 的方程；(Ⅱ)设P 是直线2y =-上的一个动点，过P 作抛物线E 的切线，切点分别为 A 、B ，直线AB 与直线OP 、y 轴的交点分别为Q 、R ，C 、D 是以R 为圆心RQ 为半径的圆上任意两点，求CPD ∠最大时点P 的坐标． 22．（本小题12分）已知曲线()1x xaxf x be e -=++在点(0,(0))f 处的切线方程为220x y +-=. (Ⅰ)求a 、b 的值；(Ⅱ)如果当0x ≠时，都有()1x xxf x ke e ->+-，求k 的取值范围.厦门一中2016届高三（上）12月月考 2015.12.14理科数学参考答案一、选择题： CABDA CDBCB AD 二、填空题：13．1-； 14．12n-； 1516．2三、解答题：17.解：(Ⅰ)当1x <-时，()4f x x =+单调递增，所以()3f x <；当112x -≤≤时，()52f x x =--单调递减，所以()max ()13f x f =-=；当12x >时，()4f x x =--单调递减，所以19()22f x f ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭；所以()f x 的最大值3M =(Ⅱ)假设存在正数,a b，使得66a b +=66332a b a b +=≥=所以552212a b ≤；又由于33113Mab ab a b +==≥，所以552223a b ≥与552212a b ≤矛盾，所以假设不成立，即不存在,a b，使得66a b +=.18.解： (Ⅰ)由余弦定理得2221=cos 42b c a S bc A +-=，又因为1sin 2S bc A =， 所以sin cos A A =，所以tan 1A =，因为()0,A π∈，所以4A π=， 由正弦定理得sin sin c aC A=，因为c =所以sin 1C A ==， 因为()0,C π∈，所以2C π=；(Ⅱ) 由(Ⅰ)知,42A C ππ==所以4B AC A ππ=--==，所以b a =设PAC θ∠=，因为,AP AC =，所以,2ACP APC πθ-∠=∠= 因为2C π=，所以,22BCP ACP πθ∠=-∠=因为在APC ∆中,AP AC = 所以2sin 2sin 2sin 222PC AC b a θθθ===，因为在BPC ∆中,BP CP = 所以2cos 2cos 2BC PC PCB PC a θ=∠==，即2cos2a PC θ=，所以2sin22cos2a a θθ=，即12sincos222θθ=，即1sin 2θ= 因为0,4PAC πθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，所以6PAC πθ∠==综上可知，(Ⅰ) 2C π=；(Ⅱ) 6PAC πθ∠==19.解：(Ⅰ)取AB 中点E ，连结DE ，则四边形BCDE 为矩形，2DE CB ==，连结SE ，则SE AB ⊥，SE =由AB DE ⊥,AB SE ⊥,DE SE E =I ,,DE SE ⊂平面SDE ∴AB ⊥平面SDE ,因为,DE SE ⊂平面SDE 所以AB SD ⊥. 又1SD =,故222ED SE SD =+,所以SD SE ⊥. 又因为AB SE E =I ，,AB SE ⊂平面SAB所以SD ⊥平面SAB .另解:由已知易求得1,2SD AD SA ===,于是222SA SD AD +=.可知SD SA ⊥,同理可得SD SB ⊥,又SA SB S =I .所以SD ⊥平面SAB .(Ⅱ)以C 为原点,射线CD 为x 轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -. 设(1,0,0)D ,则(2,2,0)A 、(0,2,0)B .又设(,,)S x y z ,则0,0,x y z >>(2,2,),(,2,),(1,,)AS x y z BS x y z DS x y z =--=-=-u u r u u r u u u r, 由||||AS BS=u u r u ur =故x =由||1DS =u u u r 得221y z +=,又由||2BS =得222(2)4x y z +-+=,即22410y zy +-+=,故1,22y z ==.于是1(1,,22S 设平面SBC 的法向量(,,)n m n p =r ,则,,0,0n BS n CB n BS n CB ⊥⊥⋅=⋅=r u u r r u u r r u ur r u u .又3(1,,(0,2,0)22BS CB =-=uu r uu r ,故30,2220m n p n ⎧-+=⎪⎨⎪=⎩取2p =得(n =r,设AB 与平面SBC 所成角为θ，因为(2,0,0),AB =-uuu r 所以sin cos ,7||||AB a AB n AB a θ⋅=<>==⋅uu u r ruu u r r uu u rr故AB 与平面SBC 所成角的正弦值为7.20. 解：当n 为奇数时，设21n k =-，则()1111112n n a a k d d -=+-=+ 当n 为偶数时，设2n k =，则()22212(1)2n na a k d d =+-=+-(Ⅰ)当n 为奇数时，因为1n n a a +<恒成立，即121112(1)22n n d d -++<+-，12(1)()20n d d --+>恒成立，120d d ∴-≤，当n 为偶数时，因为1n n a a +<恒成立，即212(1)122nnd d +-<+， 212()102nd d d -+-<恒成立，21d d ∴-0≤且21d >． 于是有 12d d =． 15815S a =Q ，1228776814304522d d d ⨯⨯∴+++=+，12d d ∴=2=，当n 为奇数时1112n n a d n -=+=，当n 为偶数时22(1)2n na d n =+-=，所以对任意正整数n 都有n a n =，所以11n n a a +-=，数列{}n a 是等差数列． (Ⅱ)解：若123d d =（10d ≠），且存在正整数,m n （m n ≠），使得m n a a =， 由题意得,在,m n 中必然一个是奇数，一个是偶数，不妨设m 为奇数，n 为偶数．因为m n a a =，所以12112(1)22m n d d -+=+-，因为123d d =，所以1631d m n =--， 因为m 为奇数，n 为偶数，所以31m n --的最小正值为2，此时123,1d d ==,所以数列{}n a 的通项公式为31,2211,2n n n a n n ⎧-⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为奇数为偶数．21. 解：（1）依题意，0,2p F ⎛⎫⎪⎝，所以直线l的方程为2p y =+；由222p y x py ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得220x p --=，()222212124160,,p p x x x x p =+=>+==-△，)212127,8y x x p p MN y y p p =++==++=，O 到MN 的距离21,42OMN p d S MN d p ====，所以2p =，抛物线方程为24x y =21214,42OMN p S OF x x p ==-==解法三：（略）运用定义及图形（2）设(),2P t -，221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由24E x y =：得24x y =，'2x y =，则切线PA方程为()211142x x y x x -=- 即21111242x x x y x x y =-=-，同理，切线PB 方程为112x y x y =-，把P 代入可得11222=222x t y x ty⎧--⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩故直线AB 的方程为22x t y -=-即240tx y -+=所以()0,2R ，由2402tx y y x t -+=⎧⎪-⎨=⎪⎩ 得224484Q Q t x t y t -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，所以r RQ === ==，当,PC PD 与圆R 相切时角CPD ∠最大，此时1sin23CPD rPR∠==≤，等号当t=±所以当()2P±-时，所求的角CPD∠最大.综上，当CPD∠最大时点P的坐标为()2±-解法二:同解法一得042:=+-ytxAB，注意到ABOP⊥2122||2||||tan||2||82CPD RQ t PQ d RQ dPQ t∠∴====∴==≤=+又当且仅当28t=即t=±22.解：(Ⅰ)()()21'()1x xxxa e axef x bee-+-=-+，依题意(0)1,1'(0)2ff=⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,122bab=⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a b==，即a、b的值均为1；(Ⅱ)由(Ⅰ)得1a b==，代入()1xxxf x kee->+-得11x xx xx xe kee e--+>++-即()221111xx x xx x xk ee e e-->-=-+-，即()21x xxke e-->-，因为当0x>时0x xe e-->，当0x<时0x xe e--<，所以2x xxe e->-，所以10k->即()121x xx xke e xe e k---⎛⎫-->⎪--⎝⎭，设()2,1x xm g x e e mxk-==---则0m>又()'x xg x e e m-=+-，（1）当02m<≤即0k≤时，()'20x xg x e e m m-=+-≥-≥恒成立，所以()g x在R上单调递增，所以①当0x>时()()00g x g>=，又因为此时0x xe e-->，10k->，所以()121x xx xke e xe e k---⎛⎫-->⎪--⎝⎭，即()1xxxf x kee->+-成立，②当0x<时()()00g x g<=，又因为此时0x xe e--<，10k->，所以()121x xx xke e xe e k---⎛⎫-->⎪--⎝⎭，即()1xxxf x kee->+-成立，因此，当0k≤时，当0x≠时，都有()1xxxf x kee->+-成立，符合题意；（2）当2m>即01k<<时，由()'0x xg x e e m-=+-=得12lnx x==，因为2m>，所以2120,0x x x>=-<，当()20,x x∈时()'0g x<，所以()g x在()20,x上递减，所以()()00g x g<=，又因为此时0x xe e -->，10k ->，所以()1201x xx x k e e x e e k---⎛⎫--<⎪--⎝⎭， 即()1xx x f x ke e -<+-与()1x xx f x ke e ->+-矛盾，所以不符合题意； 综上可知，k 的取值范围是0k ≤。

厦门市2016-2017学年度第一学期高二年级质量检测数学(理科)试题参考答案及评分标准

厦门市2016-2017学年度第一学期高二年级质量检测数学(理科)试题参考答案及评分标准

厦门市2016-2017学年度第一学期高二年级质量检测数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1~5：ADCDB 6~10：CBCAC 11~12：BD 第12题解析：连结1PF ，∵122OF OF OP PF c ====，260OF P ∠= ，∴1290F PF ∠= ，23PF c =，又∵22PF a c =-，∴23a c c -=，3131c a==-+，∴2222211(31)233b c a a=-=--=-，设00(,)P x y ，00(,)M x y --，(,)N x y 为椭圆C 上的点，则2200221x y a b +=，22221x y a b+=，即2222002()b y a x a =-，22222()b y a x a=-，22222222222200222000222222200000()()()(233)NP NMb b b a x a x x x y y y y y y b a a a k K x x x x x x x x x x a-----+-⋅=⋅====-=---+---∵3NP k =-，∴23NM K =-.（另解：取PN 中点Q ，22NP NM NP OQb k K k K a⋅=⋅=-，转化为中点弦问题，使用点差法即可）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若0mn ≠，则220m n +≠14．12715．516．32第16题解析：2ABD ACD S S ∆∆= 2BD CD∴=AD 是BAC ∠的角平分线，由角平分线定理，得2AB AC∴=在Rt AHD ∆中，2AD AH =，则30ADH ∠=设CD x =，AC y=在ABD ∆中，2221(2)(2)cos1504y x y+-=在ACD ∆中，2221cos302y x y +-=解方程组：36x =32BC ∴=法二：设由BAD θ∠=，由正弦定理：在ABD ∆中，21sin150sin(30)y θ=-，ACD ∆中1sin 30sin(150)y θ=- 解得：cos 33sin θθ=，结合22sin cos 1θθ+=，解得7sin 14θ=，321cos 14θ=，在Rt AHB ∆中，17．本小题考查正、余弦定理、三角形面积公式、两角和三角公式；考查计算求解能力、推理论证1分分3分4分6分分8分分分1分3分4分18．本小题主要考查通过递推关系求数列通项以及数列求和等基础知识；考查运算求解能力；考查化归与转化思想．本小题满分12分.解：（Ⅰ）当1=n 时，1122S a =-又11a S =21=∴a ······················································································1分当时2≥n ，11122(22)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，12-=n n a a 得······························································································3分{}为公比的等比数列为首项，是以22n a ∴·····················································4分则n n n a 2221=⋅=-·····················································································5分（Ⅱ） {}为公差的等差数列为首项，是以31n n a b -233)1(1-=⋅-+=-∴n n a b n n ········································································6分又nn a 2= 232-+=∴n b n n ·······································································7分则()()232222147(32)nn T n =+++++++++- ···········································9分2)231(21)21(2-++--=n n n ．····································································11分12312222n n n +=+--．············································································12分19．本小题考查线面垂直的判定与性质，考查利用空间向量求二面角的大小；考查逻辑推理与空间想象能力，运算求解能力；考查数形结合、化归转化思想．本小题满分12分.（Ⅰ）证明：PAD ∆中：∵PA=PD ，且O 为AD 的中点，∴PO ⊥AD ；······························1分∵CD ⊥平面PAD ，OP ⊂平面PAD ，∴CD ⊥PO ；·········································2分∵AD ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，AD CD D = ，··························3分∴PO ⊥平面ABCD ．·············································································································4分（Ⅱ）解：∵CD ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴CD ⊥AD ；连接OB ，∵BC ∥OD 且BC =OD =4，∴OB ∥AD ，∴OB ⊥AD ；································5分以O 为坐标原点，OB ，OD ，OP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,4,0A -，()3,0,0B ，()3,4,0C ()0,4,0D ，()0,0,3P ，······························6分()3,4,0AB = ，()0,4,3AP = ，()3,0,0CD = ，()0,4,3DP =-设平面PCD 的法向量为(,,)m x y z =，则0,0,m CD m DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30,430.x y z =⎧⎨-+=⎩令3y =，4z =，∴(0,3,4)m =；·····································································8分设平面ABP 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n AB n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即340,430.x y y z +=⎧⎨+=⎩令4x =，则3y =-，4z =，∴(4,3,4)n =-；··················································10分5,7m n m n ∴==⋅= 设平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角为α，cos 205α∴==·····································································11分∴平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值为741205.·····································12分20．本小题考查直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查学生基本运算能力，推理论证能力，运算求解能力；考查学生函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.本小题满分12分.解：（Ⅰ）∵点(2,2)C 在抛物线E 上，∴44p =，1p =，∴抛物线E 的方程为22y x =，··············································································1分∵20223CD k -==--，且AB CD ⊥，∴1AB CD k k ⋅=-，∴12AB k =，又∵直线AB 过点(3,0)H ，∴直线AB 方程为1(3)2y x =-，····················································································································2分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立221(3)2y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，化简得2460y y --=；所以400∆=>，且12124,6y y y y +==-，········3分此时AB ==，CH =······························4分∴11ABC S AB CH ∆=⋅⋅=⨯.·····························································5分（Ⅱ）设3344(,),(,)C x y D x y ，则2233(3,),(3,)HB x y HC x y =-=-，∵AB CD ⊥，∴2323232323(3)(3)3()90(1)HB HC x x y y x x x x y y =--+=-+++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅·······························7分∵直线BC 过焦点(1,0)F ，且直线BC 不与x 轴平行，∴设直线BC 的方程为1x ty =+，联立241y x x ty ⎧=⎨=+⎩，得2440(2)y ty --=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，216160t ∆=+>，且23234,4y y t y y +==-，·······8分∴223232311()242x x ty ty t y y t +=+++=++=+，222323223()14416y y y y x x =⋅==；..................9分代入(1)式得：213(42)940t -++-=，解得0t =，. (10)分代入(2)式解得232,2y y =-=，此时231x x ==；∴C 点坐标为(1,2)，··························11分∴23110CD k -==--，∴直线CD 的方程为3y x =-+．··············································12分21．本题考查椭圆的定义，函数的表达式及基本不等式等知识；考查学生运算求解能力、应用数学文字语言转化为图形语言及符号语言解决问题的能力；考查数形结合思想与数学应用意识．本小题满分12分.解：（Ⅰ）解法一：连接AP ，BP ，由已知得AP x =，10BP x =-，····················································1分∴110ky x x=+-，····························································································3分在直角三角形MAB 中，22210,AM BM AM AB BM+=⎧⎨+=⎩，解得95MA =，··································································································4分∴415AN MB ==，∴94155x ≤≤.·······································································5分当点P 在曲线段MN 的中点即5AP x ==时，1155k+=，4k =，所求函数为14941()1055y x x x =+≤≤-.·································································6分（Ⅱ）114()(10)1010y x x x x =++--··········································································8分1104(5)1010x x x x -=++-··············································································9分910≥.·······································································································10分当且仅当10410x x x x -=-，即103x =941[,]55∈时，···········································11分答：“总噪音度”y 的最小值为910.····································································12分解法二：（Ⅰ）连接AP ，BP ，由已知得AP x =，10BP x =-，·······································1分∴110ky x x=+-，····························································································3分以AB 为X 轴，以O 点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系.由椭圆定义可得，曲线段MN 的方程：221(44)259X Y X +=-≤≤，················································································4分由已知得29||5b MA a ==，41||5AN ===，∴94155x ≤≤.···································································································5分当点P 在曲线段MN 的中点即5AP x ==时，1155k+=，4k =，所求函数为14941()1055y x x x =+≤≤-.·································································6分（Ⅱ）14941()1055y x x x =+≤≤-，可化为310(10)x y x x +=-，···········································7分设310t x =+，77183[,]55t ∈，·········································································8分∴999400()50t y t t==≥-+--++，·················································10分当且仅当400t t =，即7718320[,]55t =∈，即103x =941[,]55∈时，·················································································11分答：“总噪音度”y 的最小值为910.·······································································12分22．本小题考查相关点法求轨迹方程、三角形面积公式、点到直线的距离公式、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合、化归与转化等数学思想．本小题满分12分．解：（Ⅰ）设点G 的坐标为(,)x y ，点P 的坐标为00(,)x y ，则002200,2,4,x x y y x y ⎧=⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩·························2分消去00,x y 得221y x +=，即为所求轨迹C 的方程．···················································4分（Ⅱ）设O 到直线l 的距离为d，则AB =，1825OMN S d ∆=⨯=，解得2165d =或245d =，··············································5分∵OMN ∆为钝角三角形（22d <），∴24d =，即5d =························································································6分设1122(,),(,)E x y F x y ，（1）当l x ⊥轴时，15x =，代入C方程，得15y =，此时11x y =，∴90EOF ∠= ；·······················································································································7分（2）当l 不垂直于x 轴时，设直线:l y kx m =+，原点到直线l的距离5d ==，即22544m k =+（*）·································8分联立22,14y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得222(4)240k x kmx m +++-=，∴1222122222,44,416(4)0km x x k m x x k k m ⎧+=-⎪+⎪-⎪=⎨+⎪⎪∆=+->⎪⎩·················································································9分∵1212OE OF x x y y ⋅=+121222121222222222()()(1)()42(1)()445444x x kx m kx m k x x km x x m m kmk km m k km k k =+++=++++-=++-+++--=+·····················································································································10分将（*）式代入上式，得12120x x y y +=，即OE OF ⊥ ，即90EOF ∠=．················11分由（1）、（2）可得，EOF ∠是定值，且90EOF ∠=．···········································12分。

福建省厦门市中考数学一模试卷(含解析)(2)

福建省厦门市中考数学一模试卷(含解析)(2)

2016年福建省厦门市中考数学一模试卷一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）1．（﹣3）2可表示为（）A．（﹣3）×2 B．﹣3×3 C．（﹣3）+（﹣3）D．（﹣3）×（﹣3）2．期中考试后，班里有两位同学议论他们所在小组同学的数学成绩，小明说：“我们组成绩是86分的同学最多”，小英说：“我们组的7位同学成绩排在最中间的恰好也是86分”，上面两位同学的话能反映出的统计量是（）A．众数和平均数 B．平均数和中位数C．众数和方差D．众数和中位数3．函数y=的图象是（）A．双曲线B．抛物线C．直线 D．线段4．下列运算结果是a6的式子是（）A．a2•a3 B．（﹣a）6C．（a3）3D．a12﹣a65．如图，已知∠AOB=180°，则下列语句中，描述错误的是（）A．点O在直线AB上B．直线AB与直线OP相交于点OC．点P在直线AB上D．∠AOP与∠BOP互为补角6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，P边AB上的一个动点（不与顶点A重合），则∠BPC的值可能是（）A．135°B．85° C．50° D．40°7．某商店举办促销活动，促销的方法是将原价x元的衣服以（x﹣10）元出售，则下列说法中，能正确表达该商店促销方法的是（）A．原价减去10元后再打6折B．原价打6折后再减去10元C．原价减去10元后再打4折D．原价打4折后再减去10元8．如图，已知AC与BD相交于点O，OE是∠AOD的平分线，可以作为假命题“相等的角是对顶角”的反例的是（）A．∠AOB=∠DOC B．∠EOC＜∠DOC C．∠EOB=∠EOC D．∠EOC＞∠DOC9．如图，四边形ABCD是正方形，点E、F分别在线段BC、DC上线段AE绕点A逆时针旋转后与线段AF重合．若∠BAE=40°，则旋转的角度是（）A．10° B．15° C．40° D．50°10．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，点A是中点，则下列结论正确的是（）A．AB=OC B．∠BAC+∠AOC=180°C．BC=2AC D．∠BAC+∠AOC=180°二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11．若使二次根式有意义，则x的取值范围是．12．方程（x﹣2）2+4=0的解是．13．如图，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，则BC的长是．14．如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=10，则∠A= 度．15．设a=8582﹣1，b=8562+1713，c=14292﹣11422，则数a，b，c 按从小到大的顺序排列，结果是＜＜．16．10个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报2的人心里想的数是．三、解答题（本大题有11小题，共86分）17．计算：10+2÷（﹣2）18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（1，﹣1），C（3，0）．请在y轴右侧，画出以点O为位似中心，放大△ABC到原来2倍的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标．19．先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=1+，y=﹣2．20．已知，如图，在△ABC中，BD=DC，∠ADB=∠ADC．求证：∠ABC=∠ACB．21．解不等式组．22．在一个口袋中有3个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，随机地摸取一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球．记事件A为“两次取的小球的标号的和是2的整数倍”，记事件B为“两次取的小球的标号的和是2或3的整数倍”，请你判断等式P（B）=+P（A）是否成立，并说明理由．23．如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC上一点，以OC为半径的⊙O与CD交于点M，且∠BAC=∠DAM，请判断AM与⊙O的位置关系，并说明理由．24．在平面直角坐标系xOy中，O为原点，点A（2，0），点P（1，m）（m＞0）和点Q关于x 轴对称．过点P作PB∥x轴，与直线AQ交于点B，如果AP⊥BO，求点P的坐标．25．已知实数a ，c 满足+=1，2a+c ﹣ac+2＞0，二次函数y=ax 2+bx+9a 经过点B （4，n ）、A （2，n ），且当1≤x ≤2时，y=ax 2+bx+9a 的最大值与最小值之差是9，求a 的值． 26．已知，矩形ABCD 中，AB=6，BC=4．（1）如图1，点O 在线段AB 上，P 在线段CD 上，OP ∥BC ，tan ∠AOD=2，求证：四边形OBCP 是正方形；（2）如图2，点M 在线段BC 上，连接AM ，作∠AMN=∠AMB ，点N 在射线AD 上，MN 交CD 于点E ，请问：BM•AN 的值能否等于27？请说明理由．27．当m ＞1，n ＞﹣2，且满足mn+2m ﹣n=6时，就称点（m ﹣1，n+2）为“友好点”． （1）已知（1，y 2）是友好点，求y 的值．（2）已知点A 和点B 是两个不同的“友好点”，它们的横坐标分别是a 和b ，且OA 2=OB 2，若≤a ≤2，求b 的取值范围．2016年福建省厦门市槟榔中学中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）1．（﹣3）2可表示为（）A．（﹣3）×2 B．﹣3×3 C．（﹣3）+（﹣3）D．（﹣3）×（﹣3）【考点】有理数的乘法．【分析】有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方，依此即可求解．【解答】解：（﹣3）2可表示为（﹣3）×（﹣3）．故选：D．2．期中考试后，班里有两位同学议论他们所在小组同学的数学成绩，小明说：“我们组成绩是86分的同学最多”，小英说：“我们组的7位同学成绩排在最中间的恰好也是86分”，上面两位同学的话能反映出的统计量是（）A．众数和平均数 B．平均数和中位数C．众数和方差D．众数和中位数【考点】统计量的选择．【分析】根据中位数和众数的定义回答即可．【解答】解：在一组数据中出现次数最多的数是这组数据的众数，排在中间位置的数是中位数，故选：D．3．函数y=的图象是（）A．双曲线B．抛物线C．直线 D．线段【考点】正比例函数的图象．【分析】根据函数y=的图象是直线解答即可．【解答】解：函数y=的图象是直线，故选C4．下列运算结果是a6的式子是（）A．a2•a3 B．（﹣a）6C．（a3）3D．a12﹣a6【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．【分析】先将选项中的式子进行化简算出正确的结果，然后进行对照即可解答本题．【解答】解：∵a2•a3=a5，（﹣a）6=a6，（a3）3=a9，a12﹣a6无法合并，故选B．5．如图，已知∠AOB=180°，则下列语句中，描述错误的是（）A．点O在直线AB上B．直线AB与直线OP相交于点OC．点P在直线AB上D．∠AOP与∠BOP互为补角【考点】余角和补角．【分析】根据点与直线的位置关系、两直线的位置关系、余角和补角的概念进行判断即可．【解答】解：点O在直线AB上，描述正确，A错误；直线AB与直线OP相交于点O，描述正确，B错误；点P不在直线AB上，描述错误，C正确；∠AOP与∠BOP互为补角描述正确，D错误，故选：C．6．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=50°，P边AB上的一个动点（不与顶点A重合），则∠BPC的值可能是（）A．135°B．85° C．50° D．40°【考点】等腰三角形的性质．【分析】根据等边对等角可得∠B=∠ACB=50°，再根据三角形内角和计算出∠A的度数，然后根据三角形内角与外角的关系可得∠BPC＞∠A，进而可得答案．【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=50°，∴∠A=180°﹣50°×2=80°，∵∠BPC=∠A+∠ACP，∴∠BPC＞∠A，∴∠BPC＞80°，故选：B．7．某商店举办促销活动，促销的方法是将原价x元的衣服以（x﹣10）元出售，则下列说法中，能正确表达该商店促销方法的是（）A．原价减去10元后再打6折B．原价打6折后再减去10元C．原价减去10元后再打4折D．原价打4折后再减去10元【考点】代数式．【分析】首先根据x﹣10得到原价减去10元，再根据“折”的含义，可得（x﹣10）变成（x﹣10），是把原价减去10元后再打6折，据此判断即可．【解答】解：根据分析，可得将原价x元的衣服以（x﹣10）元出售，是把原价减去10元后再打6折．故选：A．8．如图，已知AC与BD相交于点O，OE是∠AOD的平分线，可以作为假命题“相等的角是对顶角”的反例的是（）A．∠AOB=∠DOC B．∠EOC＜∠DOC C．∠EOB=∠EOC D．∠EOC＞∠DOC【考点】命题与定理．【分析】根据角平分线定义得到∠AOE=∠DOE，由于反例要满足角相等且不是对顶角，所以∠BOE=∠COE可作为反例．【解答】解：∵OE是∠AOD的平分线，∴∠AOE=∠DOE，∴∠AOE+∠AOB=∠DOE+∠COD，即∠EOB=∠EOC可作为说明命题“相等的角是对顶角”为假命题的反例．故选C．9．如图，四边形ABCD是正方形，点E、F分别在线段BC、DC上线段AE绕点A逆时针旋转后与线段AF重合．若∠BAE=40°，则旋转的角度是（）A．10° B．15° C．40° D．50°【考点】旋转的性质；正方形的性质．【分析】根据正方形的性质可得AB=AD，∠B=∠D=90°，再根据旋转的性质可得AE=AF，然后利用“HL”证明Rt△ABE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DAF=∠BAE，然后求出∠EAF=30°，再根据旋转的定义可得旋转角的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠D=90°，∵线段AE绕点A逆时针旋转后与线段AF重合，∴AE=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴∠DAF=∠BAE，∵∠BAE=40°，∴∠DAF=40°，∴∠EAF=90°﹣∠BAE﹣∠DAF=90°﹣40°﹣40°=10°，∴旋转角为10°．故选A．10．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，点A是中点，则下列结论正确的是（）A．AB=OC B．∠BAC+∠AOC=180°C．BC=2AC D．∠BAC+∠AOC=180°【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【分析】直接利用圆心角、弧、弦的关系得出各线段、角的关系进而得出答案．【解答】解：A、∵点A是中点，∴=，∴AB=AC，无法得出AB=OC，故选项A错误；B、连接BO，∵=，∴∠BOA=∠AOC，∵BO=AO=AO=CO，∴∠AOC=∠BAO=∠ACO，∴∠OAC+∠ACO+∠AOC=∠BAC+∠AOC=180°，故此选项正确；C、∵AB=AC，AB+AC＞BC，∴BC≠2AC，故选项C错误；D、无法得出∠BAC+∠AOC=180°，故选项D错误；故选：B．二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）11．若使二次根式有意义，则x的取值范围是x≥2 ．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵二次根式有意义，∴2x﹣4≥0，解得x≥2．故答案为：x≥2．12．方程（x﹣2）2+4=0的解是无解．【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法．【分析】把方程左边4移项得到（x﹣2）2=﹣4，可得方程无解．【解答】解：移项得，（x﹣2）2=﹣4，∵﹣4＜0，∴方程（x﹣2）2+4=0无解，故答案为无解．13．如图，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，则BC的长是．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】首先由DE∥BC，得出△ADE∽△ABC，得出=，进一步代入求得答案即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，即=解得：BC=．故答案为：．14．如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=10，则∠A= 30 度．【考点】特殊角的三角函数值；锐角三角函数的定义．【分析】根据条件求出，即可得到cos∠A的值，再根据特殊角的三角函数值求出∠A的度数．【解答】解：∵∠C=90°，AC=5，AB=10，∴cosA===，∴∠A=30°，故答案为：30°．15．设a=8582﹣1，b=8562+1713，c=14292﹣11422，则数a，b，c 按从小到大的顺序排列，结果是 b ＜ a ＜ c ．【考点】因式分解的应用．【分析】运用平方差公式和完全平方公式进行变形，把其中一个因数化为857，再比较另一个因数，另一个因数大的这个数就大．【解答】解：∵a=8582﹣1==857×859，b=8562+1713=8562+856×2+1=2=8572，c=14292﹣11422==2571×287=857×3×287=857×861，∴b＜a＜c，故答案为：b、a、c．16．10个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报2的人心里想的数是﹣3 ．【考点】规律型：数字的变化类．【分析】先设报2的人心里想的数，利用平均数的定义表示报4的人心里想的数；报6的人心里想的数；抱8的人心里想的数；报10的人心里想的数，最后建立方程，解方程即可．【解答】解：设报2的人心里想的数是x，则报4的人心里想的数应该是6﹣x，于是报6的人心里想的数是10﹣（6﹣x）=4+x，报8的人心里想的数是14﹣（4+x）=10﹣x，报10的人心里想的数是18﹣（10﹣x）=8+x，报2的人心里想的数是2﹣（8+x）=﹣6﹣x，∴x=﹣6﹣x，解得x=﹣3．故答案：﹣3．三、解答题（本大题有11小题，共86分）17．计算：10+2÷（﹣2）【考点】有理数的混合运算．【分析】原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可得到结果．【解答】解：原式=10+2×3×（﹣2）=10﹣12=﹣2．18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，2），B（1，﹣1），C（3，0）．请在y轴右侧，画出以点O为位似中心，放大△ABC到原来2倍的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标．【考点】作图﹣位似变换．【分析】连接OA，延长OA到A1使得OA1=2OA，同法得到B1、C1，△A1B1C1即为所求，再写出三个顶点坐标即可．【解答】解：△A1B1C1如图所示，A1坐标（4，4），B1（2，﹣2），C1（6，0）．19．先化简，再求值：（﹣）÷，其中x=1+，y=﹣2．【考点】分式的化简求值．【分析】可先把分式化简，再把x，y的值代入计算求值．=x﹣y把x=1+，y=﹣2代入x﹣y=．20．已知，如图，在△ABC中，BD=DC，∠ADB=∠ADC．求证：∠ABC=∠ACB．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】易证∠BDE=∠CDE，∠DBE=∠DCE，即可证明△BDE≌△CDE，可得BE=CE，∠BED=∠CED，即可判定△ABC为等腰三角形，即可解题．【解答】证明：∵∠ADB=∠ADC，∴∠BDE=∠CDE，∵BD=DC，∴∠DBE=∠DCE，在△BDE和△CDE中，，∴△BDE≌△CDE（AAS），∴BE=CE，∠BED=∠CED，∵∠BED+∠CED=180°，∴∠BED=∠CED=90°，∴△ABC为等腰三角形，∴∠ABC=∠ACB．21．解不等式组．【考点】解一元一次不等式组．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找可得不等式组的解集．解不等式①，得：x≤2，解不等式②，得：x＞﹣1，∴不等式组的解集为：﹣1＜x≤2．22．在一个口袋中有3个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，随机地摸取一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球．记事件A为“两次取的小球的标号的和是2的整数倍”，记事件B为“两次取的小球的标号的和是2或3的整数倍”，请你判断等式P（B）=+P（A）是否成立，并说明理由．【考点】概率公式；随机事件．【分析】分别求得时间A和事件B的概率后即可确定P（B）=+P（A）是否成立．【解答】解：等式P（B）=+P（A）不成立，理由：列表得：共9种等可能的结果，其中为2的倍数的有5种，为2或3的倍数的有7种，故P（A）=，P（B）=，故P（B）=+P（A）不成立．23．如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC上一点，以OC为半径的⊙O与CD交于点M，且∠BAC=∠DAM，请判断AM与⊙O的位置关系，并说明理由．【考点】直线与圆的位置关系；矩形的性质．【分析】首先连接OE，由四边形ABCD是矩形，∠BAC=∠DAM，可证得∠OMC+∠DMA=90°，即可得∠AMO=90°，则可证得AM与⊙O相切；【解答】证明：连接OM．在矩形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°∴∠BAC=∠DCA，∵OM=OC，∴∠OMC=∠OCM．∵∠BAC=∠DAM，∴∠DAM=∠OMC．∴∠OMC+∠DMA=∠DAM+∠DMA．在△DAM中，∠D=90°，∴∠DAM+∠DMA=180°﹣90°=90°．∴∠OMC+∠DMA=90°．∴∠AMO=90°，∴AM⊥MO．点M在⊙O上，OM是⊙O的半径，∴AM与⊙O相切．24．在平面直角坐标系xOy中，O为原点，点A（2，0），点P（1，m）（m＞0）和点Q关于x 轴对称．过点P作PB∥x轴，与直线AQ交于点B，如果AP⊥BO，求点P的坐标．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】如图，连接OP，根据已知条件得到PQ与OA互相垂直平分，推出四边形POQA是菱形，根据菱形的性质得到OP∥QA，推出▱POAB是菱形，然后根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：如图，连接OP，∵点A（2，0），点P（1，m），点P和点Q关于x轴对称，∴PQ与OA互相垂直平分，∴四边形POQA是菱形，∴OP∥QA，∵PB∥OA，∴四边形POAB是平行四边形，∵AP⊥BO，∴▱POAB是菱形，∴OP=OA=2，∴m==，∴点P的坐标是（1，）．25．已知实数a，c满足+=1，2a+c﹣ac+2＞0，二次函数y=ax2+bx+9a经过点B（4，n）、A（2，n），且当1≤x≤2时，y=ax2+bx+9a的最大值与最小值之差是9，求a的值．【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．【分析】根据题意求得a＞﹣2，b=﹣6a，得出y=a（x﹣3）2，然后根据当1≤x≤2时，y=ax2+bx+9a 的最大值与最小值之差是9，列出方程，解方程即可求得．【解答】解：∵实数a ，c 满足+=1， ∴c ﹣ac=﹣a ， ∵2a+c ﹣ac+2＞0， ∴2a ﹣a+2＞0， ∴a ＞﹣2，∵二次函数y=ax 2+bx+9a 经过点B （4，n ）、A （2，n ），∴﹣==3，∴b=﹣6a ，∴y=ax 2+bx+9a=a （x 2﹣6x+9）=a （x ﹣3）2，∵当1≤x ≤2时，y=ax 2+bx+9a 的最大值与最小值之差是9， ∴|4a ﹣a|=9， ∴a=3．26．已知，矩形ABCD 中，AB=6，BC=4．（1）如图1，点O 在线段AB 上，P 在线段CD 上，OP ∥BC ，tan ∠AOD=2，求证：四边形OBCP 是正方形；（2）如图2，点M 在线段BC 上，连接AM ，作∠AMN=∠AMB ，点N 在射线AD 上，MN 交CD 于点E ，请问：BM•AN 的值能否等于27？请说明理由．【考点】正方形的判定；矩形的性质．【分析】（1）直接利用锐角三角函数关系得出AO 的长，再利用正方形的判定方法进而得出答案；（2）直接得出△NAH ∽△AMB ，则=，得出AM 2=AB 2+BM 2=36+BM 2，即可得出答案．【解答】（1）证明：如图1，∵tan ∠AOD=2，∴tan∠AOD==2，∵BC=4，∴AO=2，∴BO=4，∴BO=BC=PC=OP=4，又∵∠B=90°，∴四边形OBCP是正方形；（2）解：如图2，作NH⊥AM于H，∵AN=MN，NH⊥AM，∴AH=AM，∵∠NHA=∠ABM=90°，∠AMN=∠AMB，∴△NAH∽△AMB，∴=，∴AN•BM=AH•AM=AM2，在Rt△AMB中，AM2=AB2+BM2=36+BM2，∵BM≤4，∴36+BM2≤52，∴AN•BM≤26，故BM•AN的值不等于27．27．当m＞1，n＞﹣2，且满足mn+2m﹣n=6时，就称点（m﹣1，n+2）为“友好点”．（1）已知（1，y2）是友好点，求y的值．（2）已知点A和点B是两个不同的“友好点”，它们的横坐标分别是a和b，且OA2=OB2，若≤a≤2，求b的取值范围．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）首先将mn+2m﹣n=6变形为（m﹣1）（n+2）=4，从而推出“友好点”都在反比例函数y=图象上，由此列出方程即可解决问题．（2）首先判断点A、B在第一象限，且关于直线y=x对称，由此可知A（a，b），B（b，a），利用待定系数法即可解决问题．【解答】解：（1）由mn+2m﹣n=6得：mn+2m﹣n﹣2=4，∴（m﹣1）（n+2）=4，∵点（m﹣1，n+2）为“友好点”，所以“友好点”都在反比例函数y=图象上，∵（1，y2）是“友好点”，∴1•y2=4，∴y=±2，经检验，y=±2时，（1，y2）是“友好点”．（2）∵点A和点B是两个不同的“友好点”，它们的横坐标分别是a和b，且OA2=OB2，∴根据“友好点”的定义可知A、B在第一象限，且关于直线y=x对称．∴A（a，b），B（b，a），∵≤a≤2，A、B在反比例函数y=上，∴当a=时，b=8，当a=2时，b=2，∴2≤b≤8．。

厦门市2016-2017学年度第一学期高二年级质量检测数学(理科)试题参考答案及评分标准(完全可编辑

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厦门市2016-2017学年度第一学期高二年级质量检测数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1~5：ADCDB 6~10：CBCAC 11~12：BD 第12题解析：连结1PF ，∵122OF OF OP PF c ====，260OF P ∠=o ， ∴1290F PF ∠=o，2PF =， 又∵22PF a c =-，∴2a c -=，1c a==，∴22222111)3b ca a=-=-=， 设00(,)P x y ，00(,)M x y --，(,)N x y 为椭圆C 上的点，则2200221x y a b +=，22221x y a b+=，即2222002()b y a x a=-，22222()b y a x a =-，22222222222200222000222222200000()()()3)NP NMb b b a x a x x x y y y y y y b a a a k K x x x x x x x x x x a-----+-⋅=⋅====-=--+---∵NP k =∴2NM K =-（另解：取PN 中点Q ，22NP NM NP OQb k K k K a⋅=⋅=-，转化为中点弦问题，使用点差法即可）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若0mn ≠，则220m n +≠ 14．127 1516．2第16题解析：2ABD ACD S S ∆∆=Q 2BD CD ∴=AD Q 是BAC ∠的角平分线，由角平分线定理，得2AB AC ∴=在Rt AHD ∆中，2AD AH =，则30ADH ∠=o设CD x =，AC y =，在Rt AHB ∆中，17．本小题考查正、余弦定理、三角形面积公式、两角和三角公式；考查计算求解能力、推理论证····························· 1分 ····························· 2分 ····························· 3分 ····························· 4分····························· 6分····························· 7分····························· 8分 ····························· 9分 ···························· 10分···························· 1分····························· 3分····························· 4分18．本小题主要考查通过递推关系求数列通项以及数列求和等基础知识；考查运算求解能力；考查化归与转化思想．本小题满分12分. 解：（Ⅰ）当1=n 时，1122S a =-又11a S = 21=∴a ···················································································· 1分 当时2≥n ，11122(22)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，12-=n n a a 得 ···························································································· 3分{}为公比的等比数列为首项，是以22n a ∴ ··················································· 4分则n n n a 2221=⋅=- ···················································································· 5分（Ⅱ）Q {}为公差的等差数列为首项，是以31n n a b - 233)1(1-=⋅-+=-∴n n a b n n ······································································· 6分 又n n a 2=Θ 232-+=∴n b n n ······································································ 7分则()()232222147(32)nn T n =+++++++++-L L ·········································· 9分2)231(21)21(2-++--=n n n ． ··································································· 11分12312222n n n +=+--． ··········································································· 12分19．本小题考查线面垂直的判定与性质，考查利用空间向量求二面角的大小；考查逻辑推理与空间想象能力，运算求解能力；考查数形结合、化归转化思想．本小题满分12分.（Ⅰ）证明：PAD ∆中：∵P A=PD ，且O 为AD 的中点，∴PO ⊥AD ； ····························· 1分∵ CD ⊥平面P AD ，OP ⊂平面P AD ，∴CD ⊥PO ；········································ 2分 ∵AD ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，AD CD D =I ， ························· 3分∴PO ⊥平面ABCD ． ·········································································································· 4分（Ⅱ）解： ∵ CD ⊥平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，∴CD ⊥AD ；连接OB ，∵BC ∥OD 且BC =OD =4， ∴OB ∥AD ，∴OB ⊥AD ； ······························· 5分 以O 为坐标原点，OB ，OD ，OP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,4,0A - ，()3,0,0B ，()3,4,0C ()0,4,0D ，()0,0,3P ， ····························· 6分()3,4,0AB =u u u r ，()0,4,3AP =u u u r ，()3,0,0CD =u u u r ，(DP =u u u r设平面PCD 的法向量为(,,)m x y z =u r，则 0,0,m CD m DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r u u u rur u u u r 即30,430.x y z =⎧⎨-+=⎩ 令3y =， 4z =，∴(0,3,4)m =u r； ···························设平面ABP 的法向量为(,,)n x y z =r，则 0,0,n AB n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u ur 即340,430.x y y z +=⎧⎨+=⎩ 令4x =，则3y =-， 4z =，∴(4,3,4)n =-r； ················································· 10分5,41,7m n m n ∴==⋅=u r r u r r设平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角为α，7741cos 541α∴==⨯ ···································································· 11分 ∴平面PAB 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值为741205. ···································· 12分20．本小题考查直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查学生基本运算能力，推理论证能力，运算求解能力；考查学生函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想. 本小题满分12分. 解：（Ⅰ）∵点(2,2)C 在抛物线E 上，∴44p =，1p =，∴抛物线E 的方程为22y x =， ············································································· 1分∵20223CD k -==--，且AB CD ⊥， ∴1AB CD k k ⋅=-，∴12AB k =，又∵直线AB 过点(3,0)H ， ∴直线AB 方程为1(3)2y x =-，·················································································································· 2分设11(,)A x y ，22(,)Bx y ， 联立221(3)2y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，化简得2460y y --=；所以400∆=>，且12124,6y y y y +==-， ······· 3分 此时2(12)(1624)102AB =++=，22(23)(20)5CH =-+-=， ····························· 4分 ∴11102551022ABC S AB CH ∆=⋅⋅=⨯⨯=. ···························································· 5分（Ⅱ）设3344(,),(,)C x y D x y ，则2233(3,),(3,)HB x y HC x y =-=-u u u r u u u r，∵AB CD ⊥， ∴2323232323(3)(3)3()90(1)HB HC x x y y x x x x y y =--+=-+++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅u u u r u u u rg ······························ 7分 ∵直线BC 过焦点(1,0)F ，且直线BC 不与x 轴平行，∴设直线BC 的方程为1x ty =+，联立241y x x ty ⎧=⎨=+⎩，得2440(2)y ty --=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，216160t ∆=+>，且23234,4y y t y y +==-， ······ 8分∴223232311()242x x ty ty t y y t +=+++=++=+，222323223()14416y y y y x x =⋅==； ················· 9分 代入(1)式得：213(42)940t -++-=，解得0t =， ··················································· 10分代入(2)式解得232,2y y =-=，此时231x x ==；∴C 点坐标为(1,2)， ·························· 11分 ∴23110CD k -==--，∴直线CD 的方程为3y x =-+． ············································· 12分21．本题考查椭圆的定义，函数的表达式及基本不等式等知识；考查学生运算求解能力、应用数学文字语言转化为图形语言及符号语言解决问题的能力；考查数形结合思想与数学应用意识． 本小题满分12分. 解：（Ⅰ）解法一：连接AP ，BP ，由已知得AP x =，10BP x =-， ··················································· 1分 ∴110ky x x=+-， ··························································································· 3分在直角三角形MAB 中，22210,AM BM AM AB BM+=⎧⎨+=⎩，解得95MA =， ································································································· 4分∴415AN MB ==，∴94155x ≤≤. ······································································ 5分 当点P 在曲线段MN 的中点即5AP x ==时，1155k+=，4k =，所求函数为14941()1055y x x x =+≤≤-. ······························································· 6分（Ⅱ）114()(10)1010y x x x x =++-- ········································································ 8分 1104(5)1010x x x x -=++- ············································································ 9分 910≥. ······································································································ 10分 当且仅当10410x x x x -=-，即103x =941[,]55∈时， ·········································· 11分 答：“总噪音度”y 的最小值为910. ··································································· 12分解法二：（Ⅰ）连接AP ，BP ，由已知得AP x =，10BP x =-， ····································· 1分∴110ky x x=+-， ··························································································· 3分以AB 为X 轴，以O 点为坐标原点， 建立如图所示的直角坐标系.由椭圆定义可得，曲线段MN 的方程：221(44)259X Y X +=-≤≤， ··············································································· 4分 由已知得29||5b MA a ==，41||5AN ===， ∴94155x ≤≤. ·································································································· 5分 当点P 在曲线段MN 的中点即5AP x ==时，1155k+=，4k =，所求函数为14941()1055y x x x =+≤≤-. ······························································· 6分 （Ⅱ）14941()1055y x x x =+≤≤-，可化为310(10)x y x x +=-， ·········································· 7分 设310t x =+，77183[,]55t ∈， ········································································ 8分 ∴29994005040010()50t y t t t t==≥-+--++， ················································ 10分 当且仅当400t t =，即7718320[,]55t =∈， 即103x =941[,]55∈时， ··············································································· 11分 答：“总噪音度”y 的最小值为910. ······································································ 12分22．本小题考查相关点法求轨迹方程、三角形面积公式、点到直线的距离公式、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合、化归与转化等数学思想．本小题满分12分．解：（Ⅰ）设点G 的坐标为(,)x y ，点P 的坐标为00(,)x y ，则002200,2,4,x x y y x y ⎧=⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩························ 2分消去00,x y 得2214y x +=，即为所求轨迹C 的方程． ················································· 4分 （Ⅱ）设O 到直线l 的距离为d，则AB =，1825OMN S d ∆=⨯=，解得2165d =或245d =，············································· 5分 ∵OMN ∆为钝角三角形（d <）， ∴245d =，即d = ······················································································ 6分设1122(,),(,)E x y F x y ，（1）当l x ⊥轴时，1x =，代入C方程，得1y =11x y =，∴90EOF ∠=o ； ····················································································································· 7分 （2）当l 不垂直于x 轴时，设直线:l y kx m =+，原点到直线l的距离5d ==，即22544m k =+（*） ································ 8分 联立22,14y kx m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 可得222(4)240k x kmx m +++-=，∴1222122222,44,416(4)0km x x k m x x k k m ⎧+=-⎪+⎪-⎪=⎨+⎪⎪∆=+->⎪⎩ ················································································ 9分 ∵1212OE OF x x y y ⋅=+u u u r u u u r121222121222222222()()(1)()42(1)()445444x x kx m kx m k x x km x x m m kmk km m k k m k k =+++=++++-=++-+++--=+ ···················································································································· 10分将（*）式代入上式，得12120x x y y +=，即OE OF ⊥u u u r u u u r ，即90EOF ∠=o． ················ 11分由（1）、（2）可得，EOF ∠是定值，且90EOF ∠=o． ·········································· 12分。

中考数学一模试卷含解析13

中考数学一模试卷含解析13

2016年福建省厦门市中考数学一模试卷一、选择题（本大题有10小题，每题4分，共40分）1．以下实数属于无理数的是（）A．0 B．πC．D．﹣2．方程x﹣2=0的解是（）A．B．C．2 D．﹣23．已知一组数据：﹣2，5，2，﹣1，0，4，那么这组数据的中位数是（）A．B．1 C．D．24．如图，△ABC中，∠C=90°，那么∠A的正弦值能够表示为（）A．B．C．D．5．一条开口向上的抛物线的极点坐标是（﹣1，2），那么它有（）A．最大值1 B．最大值﹣1 C．最小值2 D．最小值﹣26．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，那么P点是（）A．线段CD的中点B．OA与OB的中垂线的交点C．OA与CD的中垂线的交点D．CD与∠AOB的平分线的交点7．如图，点A、B、C都在⊙O上，⊙O的半径为2，∠ACB=30°，那么的长是（）A．2πB．πC．π D．π8．如图，四边形纸片ABCD，以下测量方式，能判定AD∥BC的是（）A．∠B=∠C=90° B．∠B=∠D=90°C．AC=BD D．点A，D到BC的距离相等9．不管m为何值，点A（m，5﹣2m）不可能在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B=30°，∠C=100°，如图2．那么以下说法正确的选项是（）A．点M在AB上B．点M在BC的中点处C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远二、填空题（本大题有6小题，每题4分，共24分）11．分解因式：5x+5y= ．12．点A（2，﹣1）关于原点对称的点B的坐标为．13．假设正多边形的一个外角为40°，那么那个正多边形是边形．14．假设方程x2﹣2x+1=m有两个相等的实数根，那么m的值是．15．当x=m和x=n（m≠n）时，二次函数y=x2﹣2x+3的函数值相等，当x=m+n时，函数y=x2﹣2x+3的值为．16．如图，直径AB，CD的夹角为60°，P为⊙O上的一个动点（不与点A，B，C，D重合）PM，PN别离垂直于CD，AB，垂足别离为M，N，假设⊙O的半径长度为2，那么MN的长为．三、解答题（本大题有11小题，共86分）17．计算：．18．解不等式组：．19．画出的图象．20．如图，在△ABC中，点D，E别离在边AB，AC上，假设DE∥BC，AD=3，AB=5，求的值．21．一个不透明的口袋中装有3个完全相同的小球，上面别离标有数字1，2，3，从中随机摸出一球记下数字后放回，再随机摸出一球记下数字，求摸出的两个小球数字之积为奇数的概率．22．在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0）、点B（2，0）、点C（5，﹣4）、点D（0，﹣4），试判定四边形ABCD的形状，并证明．23．已知甲工人做90个零件所需要的时刻和乙工人做120个零件所需要的时刻相同，假设甲工人每小时比乙工人每小时少做5个零件，求乙工人每小时所做的零件个数．24．如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于点C，交半圆于点E，DF切半圆于点F，已知，求DE的长．25．在平面直角坐标系xOy中，给出如下概念：形如y=a（x﹣m）2+a（x﹣m）与y=a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）的两个二次函数的图象叫做“兄弟抛物线”．判定二次函数y=x2﹣x与y=x2﹣3x+2的图象是不是为兄弟抛物线？若是是，求出a与m的值；若是不是，请说明理由．26．（1）如图1，将直角的极点E放在正方形ABCD的对角线AC上，使角的一边交CD于点F，另一边交CB或其延长线于点G，求证：EF=EG；（2）如图2，将直角极点E放在矩形ABCD的对角线交点，EF、EG别离交CD与CB于点F、G，且EC平分∠FEG．假设AB=2，BC=4，求EG、EF的长．27．已知直线y=kx+m（k＜0）与抛物线y=x2+bx+c相交于抛物线的极点P和另一点Q，点P 在第四象限．（1）假设点P（2，﹣c），点Q的横坐标为1，求点Q的坐标；（2）过点Q作x轴的平行线与抛物线y=x2+bx+c的对称轴交于点E，直线PQ与y轴交于点M，假设EQ=PE，c=（b＜﹣5），求△OMQ的面积S的取值范围．2016年福建省厦门市观音山学校中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有10小题，每题4分，共40分）1．以下实数属于无理数的是（）A．0 B．πC．D．﹣【考点】无理数．【分析】无理数确实是无穷不循环小数．明白得无理数的概念，必然要同时明白得有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无穷循环小数是有理数，而无穷不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A、是整数，是有理数，选项错误；B、正确；C、=3是整数，是有理数，选项错误；D、是分数，是有理数，选项错误．应选：B．2．方程x﹣2=0的解是（）A．B． C．2 D．﹣2【考点】解一元一次方程．【分析】方程移项即可求出解．【解答】解：方程x﹣2=0，解得：x=2，应选C3．已知一组数据：﹣2，5，2，﹣1，0，4，那么这组数据的中位数是（）A．B．1 C．D．2【考点】中位数．【分析】先将这组数据依照从小到大的顺序排列，再依照中位数的概念求解即可．【解答】解：将这组数据依照从小到大的顺序排列为：﹣2，﹣1，0，2，4，5，这组数据的中位数为： =1．应选B．4．如图，△ABC中，∠C=90°，那么∠A的正弦值能够表示为（）A．B．C．D．【考点】锐角三角函数的概念．【分析】依照正弦函数概念可得结果．【解答】解：依照正弦函数的概念可知，sinA=，应选A．5．一条开口向上的抛物线的极点坐标是（﹣1，2），那么它有（）A．最大值1 B．最大值﹣1 C．最小值2 D．最小值﹣2【考点】二次函数的最值．【分析】依照开口向上极点坐标可求得该函数的最值．【解答】解：∵抛物线的开口向上、极点坐标是（﹣1，2），∴该函数有最小值，其最小值是2．应选：C．6．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，那么P点是（）A．线段CD的中点B．OA与OB的中垂线的交点C．OA与CD的中垂线的交点D．CD与∠AOB的平分线的交点【考点】角平分线的性质．【分析】利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知CD与∠AOB的平分线的交点．【解答】解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知CD与∠AOB的平分线的交于点P．应选D．7．如图，点A、B、C都在⊙O上，⊙O的半径为2，∠ACB=30°，那么的长是（）A．2πB．πC．π D．π【考点】弧长的计算；圆周角定理．【分析】依照圆周角定理可得出∠AOB=60°，再依照弧长公式的计算即可．【解答】解：∵∠ACB=30°，∴∠AOB=60°，∵OA=2，∴===π，应选：C．8．如图，四边形纸片ABCD，以下测量方式，能判定AD∥BC的是（）A．∠B=∠C=90° B．∠B=∠D=90°C．AC=BD D．点A，D到BC的距离相等【考点】平行线的判定．【分析】逐条分析四个选项：A、由∠B=∠C=90°可得出∠B+∠C=180°，进而得出AB∥CD，故A不正确；B（C）、由∠B=∠D=90°（AC=BD），无法得出边平行，故B（C）不正确；D、由点A，D到BC的距离相等，且A、D在直线BC的同侧，即可得出AD∥BC．综上即可得出结论．【解答】解：A、∵∠B=∠C=90°，∴∠B+∠C=180°，∴AB∥CD，A不能够；B、∠B=∠D=90°，无法得出边平行的情形，B不能够；C、AC=BD，无法得出边平行的情形，C不能够；D、∵点A，D到BC的距离相等，且A、D在直线BC的同侧，∴AD∥BC，D能够．应选D．9．不管m为何值，点A（m，5﹣2m）不可能在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】点的坐标．【分析】依照四个象限的符号特点别离是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．【解答】解：当m＜0时，5﹣2m＞0，点A（m，5﹣2m）在第二象限，当0＜m时，点A（m，5﹣2m）在第一象限，当m时，点A（m，5﹣2m）在第四象限．应选：C．10．如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B=30°，∠C=100°，如图2．那么以下说法正确的选项是（）A．点M在AB上B．点M在BC的中点处C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远【考点】三角形三边关系．【分析】依照钝角三角形中钝角所对的边最长可得AB＞AC，取BC的中点E，求出AB+BE＞AC+CE，再依照三角形的任意两边之和大于第三边取得AB＜AD，从而判定AD的中点M在BE上．【解答】解：∵∠C=100°，∴AB＞AC，如图，取BC的中点E，那么BE=CE，∴AB+BE＞AC+CE，由三角形三边关系，AC+BC＞AB，∴AB＜AD，∴AD的中点M在BE上，即点M在BC上，且距点B较近，距点C较远．应选：C．二、填空题（本大题有6小题，每题4分，共24分）11．分解因式：5x+5y= 5（x+y）．【考点】因式分解﹣提公因式法．【分析】观看原式，找到公因式5，提出即可得出答案．【解答】解：5x+5y=5（x+y）．12．点A（2，﹣1）关于原点对称的点B的坐标为（﹣2，1）．【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】由关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数可知：点A（2，﹣1）关于原点的对称点的坐标．【解答】解：∵关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，∴点A（2，﹣1）关于原点的对称点的坐标为（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）．13．假设正多边形的一个外角为40°，那么那个正多边形是九边形．【考点】多边形内角与外角．【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每一个外角相等即可求出答案．【解答】解：多边形的每一个外角相等，且其和为360°，据此可得=40，解得n=9．故答案为：九．14．假设方程x2﹣2x+1=m有两个相等的实数根，那么m的值是0 ．【考点】根的判别式．【分析】依照已知方程有两个相等的实数根得出△=0，得出△=（﹣2）2﹣4×1×（1﹣m）=0，求出即可．【解答】解：x2﹣2x+1=m，x2﹣2x+1﹣m=0，∵方程x2﹣2x+1=m有两个相等的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4×1×（1﹣m）=0，解得：m=0，故答案为：0．15．当x=m和x=n（m≠n）时，二次函数y=x2﹣2x+3的函数值相等，当x=m+n时，函数y=x2﹣2x+3的值为 3 ．【考点】二次函数图象上点的坐标特点．【分析】先找出二次函数y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2的对称轴为x=2轴，再把x=2代入代数式即可．【解答】解：∵当x=m和x=n（m≠n）时，二次函数y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2的函数值相等，∴以m、n为横坐标的点关于直线x=1对称，那么=1，∴m+n=2，∵x=m+n，∴x=2，函数y=4﹣4+3=3．故答案为3．16．如图，直径AB，CD的夹角为60°，P为⊙O上的一个动点（不与点A，B，C，D重合）PM，PN别离垂直于CD，AB，垂足别离为M，N，假设⊙O的半径长度为2，那么MN的长为．【考点】三角形中位线定理；垂径定理．【分析】因为P为⊙O上的一个动点（不与点A，B，C，D重合），因此能够考虑特殊情形下即当PM⊥AB于圆心O时，延长PM交圆与点E，PN⊥CD，延长PN交圆于点F，连接EF，求出EF的长，取得MN的长，依照圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系取得答案．【解答】解：如图，当PM⊥AB于圆心O时，延长PM交圆与点E，PN⊥CD，延长PN交圆于点F，连接EF，依照垂径定理，MN=EF，∵∠AOD=120°，PM⊥AB，∴∠PMN=30°，∠P=60°，在Rt△PEF中，PE=4，那么EF=2，∴MN=，点P移动时，由题意，∠P=60°，依照在同圆中，圆周角相等，所对的弧相等，弦也相等，即弦长为2，∴MN=，故答案为．三、解答题（本大题有11小题，共86分）17．计算：．【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】原式利用特殊角的三角函数值，算术平方根概念，和零指数幂法那么计算即可取得结果．【解答】解：原式=3×﹣+1=+．18．解不等式组：．【考点】解一元一次不等式组．【分析】别离求出每一个不等式的解集，再求出其公共部份即可．【解答】解：，由①得，x＜﹣1，由②得，x≤4，不等式组的解集为x＜﹣1．19．画出的图象．【考点】反比例函数的图象．【分析】从正数，负数中各选几个值作为x的值，进而取得y的值，描点，连线即可．【解答】解：列表得：x ﹣4 ﹣2﹣11 2 4y 1 2 ﹣2 ﹣1 ﹣描点，连线得：20．如图，在△ABC中，点D，E别离在边AB，AC上，假设DE∥BC，AD=3，AB=5，求的值．【考点】平行线分线段成比例．【分析】依照平行线分线段成比例定理得出=，再依照AD=3，AB=5，即可得出答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴=，∵AD=3，AB=5，∴=．21．一个不透明的口袋中装有3个完全相同的小球，上面别离标有数字1，2，3，从中随机摸出一球记下数字后放回，再随机摸出一球记下数字，求摸出的两个小球数字之积为奇数的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】第一依照题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出小球的数字之积为奇数的情形，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次摸出小球的数字之积为奇数的有4种情形，∴两次摸出小球的数字之积为奇数的概率是．22．在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0）、点B（2，0）、点C（5，﹣4）、点D（0，﹣4），试判定四边形ABCD的形状，并证明．【考点】坐标与图形性质．【分析】成立直角坐标系，依照坐标将A、C、B、D四点表示在平面直角坐标系中，然后判定四边形ABCD的形状．【解答】解：将点A（﹣3，0）、点B（2，0）、点C（5，﹣4）、点D（0，﹣4）表示在平面直角坐标系中，如以下图所示：由图可知：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵点C（5，﹣4）、点D（0，﹣4）的纵坐标相等，∴CD∥x轴，又点A、B在x轴上，∴AB∥CD又∵AB=2﹣（﹣3）=5，CD=5﹣0=5，∴AB=CD∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）23．已知甲工人做90个零件所需要的时刻和乙工人做120个零件所需要的时刻相同，假设甲工人每小时比乙工人每小时少做5个零件，求乙工人每小时所做的零件个数．【考点】分式方程的应用．【分析】设乙工人每小时做x个，那么甲工人做（x﹣5）个零件，依照90÷甲的工效=120÷乙的工效，列出方程，求出x的值，即可得出答案．【解答】解：设乙工人每小时做x个，那么甲工人做（x﹣5）个零件，依照题意得：=，解得：x=20，经查验x=20是原方程的解，答：乙工人每小时所做的零件个数是20个．24．如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB于点C，交半圆于点E，DF切半圆于点F，已知，求DE的长．【考点】切线的性质；勾股定理；垂径定理．【分析】第一证明四边形CODF是矩形，△BOF是等腰直角三角形，求出CD、CE即可解决问题．【解答】解：如图，连接OE、OF．∵∠AEF+∠B=180°，∠AEF=135°，∴∠B=45°，∴∠AOF=2∠B=90°，∴∠B=∠OFB=45°，∴OF=OB，∵BF=2，∴OF=OB=2，∵DF是切线，∴DF⊥OF，∴∠DFO=90°，∴DC⊥AB，∴∠DCO=∠COF=∠DFO=90°，∴四边形OCDF是矩形，∴DC=OF=2，∵CE=CO，EO=2，∴CE=CO=，∴DE=DC﹣CE=2﹣．25．在平面直角坐标系xOy中，给出如下概念：形如y=a（x﹣m）2+a（x﹣m）与y=a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）的两个二次函数的图象叫做“兄弟抛物线”．判定二次函数y=x2﹣x与y=x2﹣3x+2的图象是不是为兄弟抛物线？若是是，求出a与m的值；若是不是，请说明理由．【考点】二次函数的性质．【分析】通过变形取得y=x2﹣x=（x﹣1）2+（x﹣1），y=x2﹣3x+2=（x﹣1）2﹣（x﹣1），于是依照新概念可判定二次函数y=x2﹣x与y=x2﹣3x+2的图象是兄弟抛物线．【解答】解：二次函数y=x2﹣x与y=x2﹣3x+2的图象是兄弟抛物线，理由如下：∵y=x2﹣x=（x﹣1）2+（x﹣1），y=x2﹣3x+2=（x﹣1）2﹣（x﹣1），∴二次函数y=x2﹣x与y=x2﹣3x+2的图象是兄弟抛物线．现在a=1，m=1．26．（1）如图1，将直角的极点E放在正方形ABCD的对角线AC上，使角的一边交CD于点F，另一边交CB或其延长线于点G，求证：EF=EG；（2）如图2，将直角极点E放在矩形ABCD的对角线交点，EF、EG别离交CD与CB于点F、G，且EC平分∠FEG．假设AB=2，BC=4，求EG、EF的长．【考点】正方形的性质；矩形的性质．【分析】（1）第一过点E别离作BC、CD的垂线，垂足别离为H、P，然后利用ASA证得Rt △FEP≌Rt△GEH，那么问题得证；（2）过点E作EM⊥BC于M，过点E作EN⊥CD于N，垂足别离为M、N，过点C作CP⊥EG交EG的延长线于点P，过点C作CQ⊥EF垂足为Q，可得四边形EPCQ是矩形，四边形EMCN是矩形，可得EC平分∠FEG，可得矩形EPCQ是正方形，然后易证△PCG≌△QCF（AAS），进而可得：CG=CF，由EM∥AB，EN∥AD知△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，从而可得=2，进而可得：EF=2EG，然后易证EM和EN别离是△ABC和△BCD的中位线，进而可得：EM=1，EN=2，MC=2，CN=1，然后易证△EMG∽△ENF，进而可得，即NF=2MG，然后设MG=x，依照CG=CF，列出方程即可解出x的值，即MG的值，然后在Rt△EMG中，由勾股定理即可求出EG的值，进而可得EF的值．【解答】解：（1）如图1，过点E作EH⊥BC于H，过点E作EP⊥CD于P，∵四边形ABCD为正方形，∴CE平分∠BCD，又∵EH⊥BC，EP⊥CD，∴EH=EP，∴四边形EHCP是正方形，∴∠HEP=90°，∵∠GEH+∠HEF=90°，∠PEF+∠HEF=90°，∴∠PEF=∠GEH，∴Rt△FEP≌Rt△GEH，∴EF=EG；（2）如图2，过点E作EM⊥BC于M，过点E作EN⊥CD于N，垂足别离为M、N，过点C作CP⊥EG交EG的延长线于点P，过点C作CQ⊥EF垂足为Q，那么四边形EPCQ是矩形，四边形EMCN是矩形，∵EC平分∠FEG，∴CQ=CP，∴矩形EPCQ是正方形，∴∠QCP=90°，∴∠QCG+∠PCG=90°，∵∠QCG+∠QCF=90°，∴∠PCG=∠QCF，在△PCG和△QCF中，∵，∴△PCG≌△QCF（AAS），∴CG=CF，∵EM∥AB，EN∥AD．∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，∴、，∴=，即=，∴，∵BC=4，AB=2，∴==2，∴EF=2EG，∵点E放在矩形ABCD的对角线交点，∴EM和EN别离是△ABC和△BCD的中位线，∴EM=AB=1，EN=AD=2，MC=BC=2，CN=CD=1，∵四边形EMCN是矩形，∴∠NEM=90°，∴∠MEG+∠GEN=90°，∵∠GEF=90°，∴∠FEN+∠GEN=90°，∴∠MEG=∠FEN，∵∠EMG=∠FNE=90°，∴△EMG∽△ENF，∴==，即NF=2MG，设MG=x，那么NF=2x，CG=2﹣x，CF=1+2x，∵CG=CF，∴2﹣x=1+2x，解得：x=，∴MG=，在Rt△EMG中，由勾股定理得：EG==，∵EF=2EG，∴EF=．27．已知直线y=kx+m（k＜0）与抛物线y=x2+bx+c相交于抛物线的极点P和另一点Q，点P 在第四象限．（1）假设点P（2，﹣c），点Q的横坐标为1，求点Q的坐标；（2）过点Q作x轴的平行线与抛物线y=x2+bx+c的对称轴交于点E，直线PQ与y轴交于点M，假设EQ=PE，c=（b＜﹣5），求△OMQ的面积S的取值范围．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）依照对称轴公式求出b，再将P代入抛物线取得c，求出抛物线解析式，依照Q点的横坐标即可解决问题．（2）由题意能够假设直线PQ为y=﹣x+b′，利用方程组求出点Q坐标，求出S的表达式，依照函数增减性解决即可．【解答】解：（1）由题意：﹣=2，∴b=﹣4，∴抛物线为y=x2﹣4x+c，将P（2，﹣c）代入取得，﹣c=4﹣8+c，∴c=2，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+2，∵点Q横坐标为1，∴点Q坐标为（1，﹣1）．（2）由题意能够假设直线PQ为y=﹣x+b′，∵极点P（﹣，﹣2），代入上式取得：﹣2=+b′，∴b′=﹣2﹣，∴直线PQ为y=﹣x﹣2﹣，∴点M坐标（0，﹣2﹣），由解得和，∴点Q坐标（﹣﹣1，﹣1），∴S△OQM==b2+b+1=（b+3）2﹣，∵b＜﹣5，b=﹣5时，S=，依照函数的增减性可知，S△OQM＞．。

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厦门市2016届高中毕业生第一次质量检查
数学(理科)试题
一、 选择题
1、设集合{}{}
，，032|41|2≤--=<<=x x x B x x A 则()=B C A R （ ） A 、 (1,2) B 、(1,3) C 、(1,4) D 、(3,4)
2、欧拉公式θ+θ=θsin cos i e i (e 为自然对数的底数，i 为虚数单位)是瑞士著名数学家欧拉发明的，01=+π
i e 被英国科学期刊《物理世界》评选为十大最伟大的公式之一，根据欧拉公式可知，复数i e 6
-π
的虚部为 （ ）
A 、 i 21-
B 、i 21
C 、2
1
- D 、21
3、函数()()06sin >ω⎪⎭
⎫
⎝⎛
π+
ω=x x f 的最小正周期为π，
则()x f 的单调递增区间可以是 （ ） A 、⎪⎭
⎫
⎝⎛ππ63-， B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ12512-
， C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ1211125， D 、⎪⎭
⎫
⎝⎛ππ326， 4、已知x,y 满足不等式组,052020⎪⎩
⎪⎨⎧≤-+≤+-≥y x y x x 则()22
1y x z +-=的最小值为 （ ）
A 、
2
2
3 B 、29 C 、5 D 、5
5、甲、乙两厂生产的一批零件尺寸服从()
2
1.05，N ，如果零件尺寸在()σ+μσμ33-，以外，我们就有理由认为
生产中可能出现了异常情况.现从甲、乙两厂各抽取10件零件检测，尺寸如茎叶图所示：
则以下判断正确的是 （ ） A 、甲、乙两厂生产都出现异常 B 、甲、乙两厂生产都正常
C 、甲厂生产正常，乙厂出现异常
D 、甲厂生产出现异常，乙厂正常
6、已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为4，点()
3-1，在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的方程为 （ ）
A 、 1322
=-x y B 、132
2=-x y C 、141222=-x y D 、112
422=-x y
7、在右侧程序框图中，输入n=5，按程序运行后输出的结果是 （ ） A 、 3 B 、4 C 、5 D 、6
8、已知(),0
,0
,231⎪⎩⎪
⎨⎧>≤=x x x x f x 若()1=αf ，则()()=-α1f f （ ）
A 、
2
4
3
或1 B 、21或1 C 、21 D 、1
9、已知()()6
11ax x -+展开式中2
x 项的系数为21，则实数=a （ ） A 、 5
35
±
B 、27-
C 、1或57-
D 、-1或57
10、一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是 （ ） A 、 38+
π B 、383+π C 、8+π D 、3
8
2+π 11、已知椭圆15
92
2=+y x 的右焦点为F ，P 是椭圆上一点，点()
32,0A ，当APF ∆的周长最大时，APF ∆的面积等于 （ ） A 、
4311 B 、4
321 C 、411 D 、421
12、已知点列()()
*∈N n b a A n n ,n 是函数()1,0≠>=a a a y x
图像上的点，点列
()0,n n B 满足1n n +=n n B A B A ，若数列{}n b 中任意相邻三项能构成三角形三边，
则a 的取值范围是 （ ） A 、2150-<
<a 或215+>a B 、1215<<-a 或21
51+<<a C 、2130-<<a 或213+>a D 、1213<<-a 或2
1
31+<<a 二、填空题
13、 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()
,23*
∈-=N n a S n n 则数列{}n a 的通项公式为 。

14、 在ABC ∆中，M 是BC 的中点，AM=3，BC=8，则=∙AC AB 。

15、已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为a 的正方形，其外接球的表面积为π28，PAB ∆是等边三角形，
平面PAB ⊥平面ABCD ，则=a 。

16、定义在(-2，2)上的奇函数()x f 恰有3个零点，当()20，
∈x 时，()()(),01ln >--=a x a x x x f 则a 的取值范围是 。

三、解答题
17、在ABC ∆中，点D 在BC 边上，已知10
10
3,552cos =
∠=∠C COS CAD . (Ⅰ)求ADC ∠；
(Ⅱ)若610==CD AB ，,求BD.
18、如图，直三棱柱111-C B A ABC 中，AC AB A A AC AB ==⊥1，，D 是AB 中点. (Ⅰ)记平面 D C B 11平面l CA C A =11，在图中作出l ，并说明画法； (Ⅱ)求直线l 与平面CB C B 11所成角的正弦值.
19、已知一种动物患有某种疾病的概率为0.1，需要通过化验血液来确定是否患该种疾病，化验结果呈阳性则患病，呈阴性则没有患病，多只该种动物检测时，可逐个化验，也可将若干只动物的血样混在一起化验，仅当至少有一只动物的血呈阳性时混合血样呈阳性，若混合血样呈阳性，则该组血样需要再逐个化验. (Ⅰ)求2只该种动物的混合血样呈阳性的概率；
(Ⅱ)现有4只该种动物的血样需要化验，有以下三种方案 方案一：逐个化验；
方案二：平均分成两组化验； 方案三：混合在一起化验.
请问：哪一种方案更适合(即化验次数的期望值更小).
20、已知抛物线()022
>=p px y 上一点M(t,8)到焦点F 的距离是
t 4
5. (Ⅰ)求抛物线C 的方程；
(Ⅱ)过F 的直线与抛物线C 交于A,B 两点，是否存在一个定圆与以AB 为直径的圆内切，若存在，求该定圆的方程；若不存在，请说明理由.
21、已知函数()()x g x x f ,ln =是()x f 的反函数.
(Ⅰ)求证：当0≥x 时，()x x x f +≥+2
2
1-1； (Ⅱ)若()()()
2
2mx g x g x g ≤-+对任意R x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.
22、选修4-1：几何证明选讲
如图，点A 在⊙O 上，过点O 的割线PBC 交⊙O 于点B,C ，且PA=4，PB=2，OB=3，∠APC 的平分线分别交AB,AC 于D ，E.
(Ⅰ)证明：∠ADE=∠AED ；(Ⅱ)证明：CE BD AE AD ∙=∙.
23、选修4-4：坐标系与参数选讲
已知曲线C 的极坐标方程是0sin 4-=θρ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 过点M(1，0)，倾斜角为
4
3π
. (Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程； (Ⅱ)设直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求MB MA +.
24、选修4-5：不等式选讲 已知函数()2-=x x f .
(Ⅰ)解不等式()()51≥++x f x f ；
(Ⅱ)若1>a 且()⎪⎭
⎫ ⎝⎛∙>a b f a ab f ，证明：2>b .。

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