《图形与证明》复习学案

《图形与证明》复习学案姓名1.一定是定义的句子，形如：“…叫做…”、“…称为…”、“…统称…”2.不一定是定义的句子，形如：“…是…”。

3.能改写成形如：“…叫做…”、“…称为…”、“…统称…”的句子，一定是定义的句子。

“正三角形是三边都相等的三角形”是定义，因为能改写成“三边都相等的三角形叫做正三角形”。

“特殊的三角形是正三角形”不是定义，因为改写成“特殊的三角形叫做正三角形”明显不合理。

4.一元二次方程的定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数是二次的整式方程叫做一元二次方程。

5. 一定是命题的句子：陈述句（肯定陈述句、否定陈述句），能判断对错，包括真命题、假命题。

不是命题：疑问句、祈使句(如画图语句等)都不命题。

6.写成“如果……那么……”的形式(答案在后)。

⑴两直线平行,同位角相等；⑵全等三角形的对应角相等；⑶等角的补角相等；⑷自然数必为有理数；⑸同角的余角相等；⑹两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；⑺在同一个三角形中,等角对等边；⑻对顶角相等；⑼角平分线上的点到角的两边距离相等；⑽三角形的内角和等于180°；⑾直角三角形两个锐角互余；⑿在直角三角形中，斜边大于直角边；⒀直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；⒁四边都相等的四边形是正方形(是假命题)；⒂被3整除的自然数必定被6整除(是假命题) ；----答案--------------------------------------------------------------------------------------------------------⑴如果两直线平行,那么同位角相等.⑵如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应角相等；⑶如果两个角是相等角的补角，那么这两个角相等；⑷如果一个数是自然数，那么这个数必为有理数；⑸如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．⑹如果两个三角形有两条边和它们的夹角对应相等,那么这两个三角形全等；⑺如果在同一个三角形中,有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.⑻如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.⑼如果一个点在角平分线上，那么这个点到角两边的距离相等。

⑽如果三个角是一个三角形的三内角，那么三个角的和等于180°。

⑾如果两个角是一个直角三角形的两个锐角，那么这两个角互余。

⑿如果三角形是直角三角形，那么它的斜边大于直角边。

⒀如果一条线段是直角三角形斜边上的中线，那么它的长度等于斜边的一半。

⒁如果一个四边形的四边都相等，那么这个四边形是正方形。

⒂如果一个自然数能被3整除，那么这个自然数一定能被6整除。

-------判断下列命题的真假，若假命题请写出反例，要成为真命题需增加？----------------------- 1.两个等腰三角形的腰长都是5cm，都有40°的角，则这两个三角形全等2.一个三角形的最小边与最大边的比=1:2，则这个三角形的最小角是30°3.两条角和一边分别相等的两个三角形全等。

4.三个角和两边分别相等的两个三角形全等5.两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等。

6.两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等。

7. 一角和夹这角的一边对应相等,且这边上的中线对应相等的两个三角形全等8.在同一平面内，如果一条直线的两点到另一条直线的距离相等，那么这两条直线平行.9.△ABC中,AB=AC，AB的中垂线与AC所在的直线所成的锐角为40°，则底角为65°10.两个角的两边分别垂直则这两个角相等。

11.两个角的两边分别垂直则这两个角相等。

12.垂直于同一条直线的两直线平行。

平行于同一条直线的两直线平行14.a、b、c是三角形的三边，满足a2+b2≠c2, 则这个三角形不是直角三角形。

15. 互补的两个角必定有一条公共边。

16.三角形的外角大于它的一个内角。

17.无理数+无理数=无理数。

18.无理数-无理数=无理数。

19.无理数×无理数=无理数。

20.无理数÷无理数=无理数+有理数=无理数。

22.无理数×有理数=无理数。

1.写出下列结论的反面情况(除此以外的情况：前面部分的反面，后面不要反，照抄)： ⑴至少有一个角不小于60°；⑵至少有两个锐角；⑶最多有一个是直角；⑷至少有一个内角小于或等于60°； ⑸必有一个不大于1；⑹a 、b 中至少有一个等于0。

答案：⑴没有一个角不小于60°；⑵至多有一个锐角；⑶最少有两个是直角；⑷没有一个内角小于或等于60°； ⑸没有一个不大于1；⑹a 、b 中没有一个等于0。

2.反证法的书写过程见教材86-87页。

3.对于下面的文字命题，根据题意画出图形，并写出已知求证(证明略).答案在后⑴角平分线上的点到角两边的距离相等；⑵等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等. ⑶三角形一边的两个端点到这边中线所在的直线的距离相等； ⑷两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；⑸两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直；⑹等腰三角形顶角的外角平分线平行于底边； ⑺等腰三角形两腰上的高线相等； ⑻等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。

⑼一边上的中线是这边一半的三角形是直角三角形。

---答案---------------------------------------------------------------------⑴画图略。

已知：如图，OD 平分∠AOB ，DE ⊥OA 于E ，DF ⊥OB 于F 。

求证：DE=DF. ⑵画图略。

已知：如图，DB=DC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。

求证：DE=DF.⑶画图略。

已知：如图，AD 是△ABC 的中线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。

求证：DE=DF.⑷画图略。

已知：如图，在△ABC 和△A ’B ’C ’中，AB=A ’B ’，AC=A ’C ’，BD 、B ’D ’都是中线，且BD=B ’D ’。

求证：△ABC ≌△A ’B ’C ’.⑸画图略。

已知：如图，AB//CD ，××平分∠×××，××平分∠×××。

求证：××⊥××。

⑹画图略。

已知：如图，AB=AC ，××平分∠×××. 求证：××//××.⑺画图略。

已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E 。

求证：BD=CE.⑻画图略。

已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC 于D 。

求证：∠DBC=0.5∠A.⑼画图略。

已知：如图，在△ABC 中，中线CD=0.5AB 。

求证：△ABC 是直角三角形.写出下列结论的反面⑴至多一个； ⑵至少一个； ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ 举反例的方法：符合条件，但不符合结论。

27．如图，已知AB ⊥BD 于点B ，ED ⊥BD 于点D ，且AB=CD ，BC=DE ，那么AC 与CE•有什么关系？写出你的猜想，并说明理由．17.已知：以线段a 、b 、c 为边能组成一个三角形,判断下列结论是否为真命题,并加以证明。

①以长为cb c a b a +++111、、的三条线段为边也能组成一个三角形； ②以长为(a+b)、(a+c)、(b+c)的三条线段为边也能组成一个三角形； ③以长为1/a 、1/b 、1/c 的三条线段为边也能组成一个三角形；④以长为c b a c a b b a c +++、、的三条线段为边也能组成一个三角形； ⑤以长为acb bc a c b a +++、、的三条线段为边也能组成一个三角形； ⑥以长为a 2、b 2、c 2的三条线段为边也能组成一个三角形；⑦以长为2a 、2b 、2c 的三条线段为边也能组成一个三角形；⑧以长为a 、b 、c 的三条线段为边也能组成一个三角形。

其中所有正确结论的序号为 ．并说明理由9.若a 、b 、c 是Rt △的三条边长，斜边c 上的高的长是h ，下列是真命题的是 ①以a 2、b 2、c 2 的长为边的三条线段能组成一个三角形；②以2a 、2b 、2c的长为边的三条线段能组成直角三角形； ③以a 、b 、c 的长为边的三条线段能组成三角形。

④以a 1、b 1、h1的长为边的三条线段能组成直角三角形；⑤以a + b 、c + h 、h 的长为边的三条线段能组成直角三角形；20、如图在ΔABC 中AB=AC,∠BAC=900,直角∠EPF 的顶点P 是BC 的中点,两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E 、F⑴求证：AE=CF （提示：添辅助线）（6分）⑵是否还有其他结论，不要求证明（至少2个，4分）（1）连结AP ，证明△APE ≌△CFP ，利用直角∠EPF 和直角∠APC 可证∠APE=∠FPC ，利用AP=PC ，∠EAP=∠C=45°（2）BE=AF ，EP=PF 等等22、在△ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E.(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD+BE ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE ；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.注意：第(2) 、(3)小题你选答的是第 小题.PFE CB AC B ED 图1 NMA B C D E M N 图2 A C B ED N M 图3E D CA BH6、如图，Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，角平分线AE 交CD 于H ， EF ⊥AB 于F ，则下列结论中不正确的是（ ） A 、∠ACD=∠B B 、CH=CE=EFC 、AC=AFD 、CH=HD25．（6分）阅读理解题：（1）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，且AD=0.5BC ． 求证：∠BAC=90°．证明：∵AD=0.5BC ，BD=CD=0.5BC ， ∴AD=BD=DC ，∴∠B=∠BAD ，∠C=∠CAD ， ∵∠B+∠BAD+∠CAD+∠C=180°， ∴∠BAD+∠CAD=90°，即∠BAC=90°．（2）此题实际上是直角三角形的另一个判定定理，请你用文字语言叙述出来．（3）直线运用这个结论解答题目：一个三角形一边长为102，这边上的中线长为10，另两边之和为34，求这个三角形的面积．23．（6分）如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，点E，F在对角线AC•上，•且AE=CF，请你分别以E，F为一端点，和图中已标字母的某点连成两条相等的新线段（•只需证明一组线段相等即可）．（1）连结___________；（2）结论：_______=________；（3）证明：8．如图5，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+•∠2 之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找这个规律，你发现的规律是（）A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2C．3∠A=2∠1+∠2 D．3∠A=2（∠1+∠2）（1）a∥b；（2）AB=CD；（3）x是负数；（4）a>b；（5）∠A是锐角；2．“a＜b”的反面应是（）（A）a≠＞b （B）a ＞b （C）a=b （D）a=b或a ＞b3、用反证法证明下列命题时，应如何假设？大致过程？(1) 求证：三角形的三个内角中至少有一个角不小于60。