对一般非齐次非线性扩散方程的变换
非线性扩散图像配准
Ｊａ ｇＨｏ ｇ，Ｈｕ Ｙｏ ｇ ｉｎ ｉｎ ｎ ｎ ｘａ ｇ
（ ｃｏ ｌ ｆ ｏ ｕｅ ｎ ｏ Ｓｈ ｏ ｏ ｍｐ ｔ ａｄＣ ｍｍｕ ｉａ ｏ ，Ｈ ｎｎＵ ｉｅｓｙｏ ｅｈ ｏｏ ｙ ｈ ｚｏ ｕ ａ １０ ８ ｈｎ ） Ｃ ｒ ｎｃｔ ｎ ｕ ａ ｎｖ ｒ ｔ ｆ ｃ ｎ ｌｇ ，Ｚ ｕｈ ｕＨ ｎｎ４ ２ ０ ，Ｃ ｉａ ｉ ｉ Ｔ
（ 湖南工业大学 计算 机与通信学 院，湖南 株洲 ４ ２ ０ １ ０ ８）
摘Leabharlann 要 ：针 对非刚性 图像 配准 方法 中对形 变域使 用全 局一致 正则化方 法的缺 点 ，提 出了一种 基于非 线性
扩散 的非 刚性 图像 配准 方法 。运 用 变分原理推 导 了该 方 法的数 学模 型 ，并将 图像 局部信 息嵌入 到该模 型 中，
Ｋｅ ｗｏ ｄ ｙ ｒ ｓ：ａ ｄ ｐｉｅｒｇ ｌｒ ａｉｎ；ｉ ｇ ｇｓ ａｉｎ ｏ ｌ ｅ ｒ ｉ ｕ ｉｎ；ａ ｄｔ ｅｏ ｅａｏ ｌｔ ｇ（ ａ ａ ｔ ｕａｉ ｔ ｖ ｅ ｚ ｏ ｍａ ｅｒ ｉｔ ｔ ；ｎ ｎｉ ａ ｆ ｓ ｅ ｒ ｏ ｎ ｄｆ ｏ ｄ ｉｖ ｐ ｒｔｒ ｐｉｉ ＡＯＳ ｉ ｓ ｔｎ ）
ｔｅ ａ ｅ ｔ ａ ｆ ｍｅ ｏｋ ｎ ｌ ａｊｓ ｅ ｉｕｉｎｃｅ ｃ ｎ ｃ ｒｉｇ ｏｉ ｇ ｎｅｔＳ ｅ ｅ ｒ ｔ ｎｉ ｈ ｔ ｍａ ｃｌｒ ｗ ｒ ｄ ｅ － ｕｔｔ ｆ ｓ ｆ ｉ ｔ ｃｏｄｎ ｅ ｏ ｔ ． ｏ ｈ ｆ ｍａｉ ｍ ｈ ｉ ａ ａ ｓ ｆ ｄ ｓｈ ｄ ｆ ｏ ｏｉ ｅ ａ ｔ ｍａ ｃ ｎ ｔ ｄｏ ｏ ｎ
非 线性扩散 系数根据 图像 特征 自适 应调 整 ，使得 形 变域的 不 同区域得 到 了不 同程度 的平滑 。 为提 高配准速
几类分数阶微分方程的近似解析解
摘要摘要在近几十年里，分数阶导数越来越引起数学家与物理学家的关注。
分数阶导数的定义有二十种之多，最常被人使用的有：Riemann-Liouville定义，Caputo定义，Jumare’s定义和Conformable定义等。
随着分数阶导数的发展，很多物理工程上的数学模型都可以最终转换成为分数阶微分方程的定解问题，例如：控制论和智能机器人、系统处理和信号识别、热学和光学系统、材料科学及力学和材料系统等。
但是，我们要想找到分数阶微分方程的精确解是相当困难的事情，从而人们转向求分数阶微分方程的近似解析解。
因此，一些逼近方法被应用于求解分数阶微分方程。
目前，在求解分数阶微分方程中比较有效的逼近方法有：同伦摄动法（HPM），同伦分析法（HAM），Adomian分解法(ADM)，变分迭代法（VIM），有限元方法，有限差分方法，线性多步算法和小波分析方法等。
对于上述算法都有其自身的优点与局限性。
在本文中，我们结合了分数阶Sumudu变换和分数阶Elzaki变换，建立了几种新的分数阶微分方程的逼近算法，这些新的算法被成功地应用于求不同类型的分数阶微分方程的近似解析解，通过将新的算法所得逼近解与已有的结果比较，得出我们建立的新的逼近算法具有计算简单、有效、精确度更高等优点。
在本文中我们也成功建立了求解局部分数阶微分方程逼近解的新算法。
本文所建立的四种求分数阶微分方程近似解析解的算法如下：1.分数阶同伦分析变换算法（FHATM）。
分数阶同伦分析变换算法（FHATM）的优点是所求分数阶微分方程的逼近解被辅助参数h所控制，合适的选取h的值将大大加速逼近解的收敛速度，在分数阶同伦分析变换算法中我们加入了分数阶Elzaki变换，使得求解过程简单快捷，通过和传统的经典算法比较可以得出：一些经典的算法可归结为分数阶同伦分析变换算法（FHATM）。
我们使用分数阶同伦分析变换算法（FHATM）成功求解非线性的时间分数阶Fornberg-Whitham方程，二维时间分数阶扩散方程，二维时间分数阶波方程和三维时间分数阶扩散方程。
偏微分方程的解法
偏微分方程的解法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是数学中的一个重要分支，它描述了多变量函数的偏导数之间的关系。
这些方程在自然科学、工程应用和社会科学等领域都发挥着重要作用。
解决偏微分方程是一个复杂而有挑战性的过程，需要运用多种数学方法和工具来求解。
在本文中，我将为您介绍几种常见的偏微分方程的解法，并提供一些示例以帮助您更好地理解。
以下是本文的主要内容：1. 一阶线性偏微分方程的解法1.1 分离变量法1.2 特征线方法2. 二阶线性偏微分方程的解法2.1 分离变量法2.2 特征值法2.3 Green函数法3. 非线性偏微分方程的解法3.1 平移法3.2 线性叠加法3.3 变换法4. 数值方法解偏微分方程4.1 有限差分法4.2 有限元法4.3 谱方法5. 偏微分方程的应用领域5.1 热传导方程5.2 波动方程5.3 扩散方程在解一阶线性偏微分方程时，我们可以使用分离变量法或特征线方法。
分离变量法的基本思路是将方程中的变量分离，然后通过积分的方式求解每个分离后的常微分方程，最后再将结果合并。
特征线方法则是将方程中的变量替换为新的变量，使得方程中的导数项消失，从而简化求解过程。
对于二阶线性偏微分方程，分离变量法、特征值法和Green函数法是常用的解法。
分离变量法的核心思想与一阶线性偏微分方程相似，将方程中的变量分离并得到常微分方程，然后进行求解。
特征值法则利用特征值和特征函数的性质来求解方程，适用于带有齐次边界条件的问题。
Green函数法则通过引入Green函数来求解方程，其特点是适用于非齐次边界条件的情况。
非线性偏微分方程的解法则更加复杂，常用的方法有平移法、线性叠加法和变换法。
这些方法需要根据具体问题的特点选择合适的变换和求解技巧，具有一定的灵活性和创造性。
除了上述解析解法，数值方法也是解偏微分方程的重要手段。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
图像处理的非线性扩散方法
图像处理的非线性扩散方法刘纯贵;李静龙【摘要】介绍了非线性扩散方法的原理和数学性质；对图像处理领域的非线性扩散方法进行了分类和总结，并探讨了各类方法的优缺点；同时从平滑去噪与保留图像特征点之间的矛盾、结构的封闭性、不连续点的保留以及参数简化等方面指出了非线性扩散方法的发展趋势和亟待解决的问题。
%In this paper, the theory and mathematical properties of the nonlinear diffusion methods was introduced and a overview of the different algorithms in image processing was gives. At last, the tendency and open problems of nonlinear diffusion was pointed out the from the aspects including the contradictions of image denoising and feature preserving, clos-ing of structures, preservation of discontinuities and parameter simplification.【期刊名称】《海军航空工程学院学报》【年(卷),期】2014(000)005【总页数】3页(P445-447)【关键词】非线性扩散;扩散方程;扩散函数【作者】刘纯贵;李静龙【作者单位】海军装备研究院航空装备论证研究所，上海200436;海军装备研究院航空装备论证研究所，上海200436【正文语种】中文【中图分类】O175;TP391.41非线性扩散是图像平滑的重要方法，而图像平滑在图像处理和计算机视觉中是一个基本问题。
这主要因为平滑可以起到2个重要作用：一是图像邻域信息的交互，因而可以扩大局部数据的影响；二是平滑具有正则化的作用，可以将一个没有唯一解的病态问题转化为良态问题。
非线性反应扩散问题两网格混合有限元法的数值分析
ｗ 别 为 Ｖ 和 Ｗ 的 离 散 子 空 间． 分
和 Ｗ 分 别
采用 标准 的混合 有 限元 空间 即 ｋ阶 的 ＲＴ 空 间Ｌ 或 ５
ｋ阶 的 Ｂ ｅｚ－Ｄｏ ｇａ Ｍａｎ 空 间 （ Ｄ ） ． ｒｚｉ ｕ ｌｓ ｒｉ Ｂ Ｍ 设 置 变 量 ＝ 一 Ｋ ｐ，则 问 题 （ ） 解 （ “ １的 户， ） ∈Ｗ × 即 为 下 列 变 分 问 题 的解 ：
究． 值 算例 结 果表 明 ， 混合 有 限元 方法相 比，两 网格 混合 有 限元方 法在 不降低 解 的精 度 阶数 的 条件 数 与
下 ， 高 了计 算速 度． 提
关 键 词 ： 混 合 有 限 元 ； 网格 ； 线 性 两 非 中 图 分 类 号 ：０２ １ ８ 文 献 标 识 码 ：Ａ ４ ． 文 章 编 号 ： １ ７ — １ ９ ２ １ ） ２ ０ ３ ０ ６ １ １ Ｘ（０ ２ ０ —０ ５ — ２
限元 算法 并从 数值 角度 进行 分析 ．
０ 引 言
１ 混 合 有 限元 法
反 应 扩 散 方 程 在 实 际 生 产 和科 研 中 有 许 多 应 用 ， 文、 水 物理 、 学 、 化 生物 学 和人 口动力 学 中众 多 的
数 学 模 型 就 是 反 应 扩 散 方 程 ， 类 方 程 描 述 了 水 污 这 考 虑 渗 流 力 学 中 的下 列 非 线 性 反 应 扩 散 问 题
展式 将 粗 网格上 的解 外 推到 细 网格上 去． 文献 Ｅ － ｚｉ 将
两重 网格 算 法结 合特 征线 法用 于求 解对 流 占优 的对 流 扩 散 问 题 ， 大 地 提 高 了 计 算 效 率． 艳 萍 教 极 陈 授 ［ 等对 一类 非线 性 反应 扩散 问题 给 出 了混合 有 ３
非齐次边界条件泛定方程的代换选择
非齐次边界条件泛定方程的代换选择是选择合适的解法来解决非齐次边界条件的泛定方程。
在解决这类问题时，通常有多种方法可供选择，具体的选择取决于问题的特征和需求。
常用的代换方法有:
1.幂级数法，通过构造适当的幂级数解来满足非齐次边界条件。
2.积分变换法，通过对方程进行积分变换来满足非齐次边界条件。
3.变分法，通过对方程的变分来满足非齐次边界条件。
4.牛顿迭代法，通过迭代求解非齐次方程来满足非齐次边界条件。
5.牛顿迭代法，通过迭代求解非齐次方程来满足非齐次边界条件。
这些方法都有自己的优缺点和适用范围，在使用时应该根据问题的具体情况进行选择。
扩散方程 稳态扩散与非稳态扩散.
一、扩散方程稳态扩散与非稳态扩散1．稳态扩散下的菲克第一定律（一定时间内，浓度不随时间变化dc/dt=0）单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（扩散通量）与该面积处的浓度梯度成正比即J=－D（dc/dx）其中D：扩散系数，cm2/s，J：扩散通量，g/cm2·s ，式中负号表明扩散通量的方向与浓度梯度方向相反。
可见，只要存在浓度梯度，就会引起原子的扩散。
x轴上两单位面积1和2，间距dx，面上原子浓度为C1、C2则平面1到平面2上原子数n1=C1dx ，平面2到平面1上原子数n2=C2dx若原子平均跳动频率f, dt时间内跳离平面1的原子数为n1f·dt跳离平面2的原子数为n2fdt，但沿一个方向只有1/2的几率，则单位时间内两者的差值即扩散原子净流量。
令，则上式2．扩散系数的测定：其中一种方法可通过碳在γ-Fe中的扩散来测定纯Fe的空心园筒，心部通渗碳气氛，外部为脱碳气氛，在一定温度下经过一定时间后，碳原子从内壁渗入，外壁渗出达到平衡，则为稳态扩散单位时单位面积中碳流量：A：圆筒总面积，r及L：园筒半径及长度，q：通过圆筒的碳量则：即：则：q可通过炉内脱碳气体的增碳求得，再通过剥层法测出不同r处的碳含量，作出C-lnr曲线可求得D。
第一定律可用来处理扩散中浓度不因时间变化的问3．菲克第二定律：解决溶质浓度随时间变化的情况，即dc/dt≠0两个相距dx垂直x轴的平面组成的微体积，J1、J2为进入、流出两平面间的扩散通量，扩散中浓度变化为，则单元体积中溶质积累速率为（Fick第一定律）（Fick第一定律）（即第二个面的扩散通量为第一个面注入的溶质与在这一段距离内溶质浓度变化引起的扩散通量之和）若D不随浓度变化，则故：4．Fick第二定律的解：很复杂，只给出两个较简单但常见问题的解a. 无限大物体中的扩散设：1）两根无限长A、B合?金棒，各截面浓度均匀，浓度C2>C12）两合金棒对焊，扩散方向为x方向3）合金棒无限长，棒的两端浓度不受扩散影响4）扩散系数D是与浓度无关的常数根据上述条件可写出初始条件及边界条件初始条件：t=0时, x>0则C=C1，x<0, C=C2边界条件：t≥0时, x=∞,C=C1, x=－∞, C=C2令，代入则,则菲克第二定律为即（1）令代入式（1）则有（2）若代入（2）左边化简有而积分有（3）令，式（3）为由高斯误差积分：应用初始条件t=0时x>0, c=c1,x<0, c=c2,从式（4）求得(5)则可求得(6)将（5）和（6）代入（4）有：上式即为扩散偶经过时间t扩散之后，溶质浓度沿x方向的分布公式，其中为高斯误差函数，可用表查出：根据不同条件，无限大物体中扩散有不同情况（1）B金属棒初始浓度，则（2）扩散偶焊接面处溶质浓度c0，根据x=0时，，则，若B棒初始浓度，则。
利用Adomian分解方法求非线性反常次扩散方程近似解
利用Adomian分解方法求非线性反常次扩散方程近似解
利用Adomian分解方法求非线性反常次扩散方程近似解
对于反常次扩散的一个物理-数学逼近是基于一个包含分数阶导数的一般扩散方程.分数阶核方程已经证明在反常慢扩散(次扩散)情况下特别有用.但是,有效的求解非线性反常次扩散方程的方法仍然处于初期阶段.文中对非线性反常次扩散方程进行了研究,利用Adomian分解方法构造一个近似解,并给出一些数值例子来说明这个方法的有效性和简单性.
作者：宋吉茜刘发旺庄平辉SONG Ji-qian LIU Fa-wang ZHUANG Ping-hui 作者单位：宋吉茜,SONG Ji-qian(福州大学阳光学院)
刘发旺,LIU Fa-wang(昆士兰理工大学数学科学学院,布利斯本,昆士兰4001,澳大利亚)
庄平辉,ZHUANG Ping-hui(厦门大学数学科学学院,福建,厦门361005)
刊名：厦门大学学报（自然科学版）ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF XIAMEN UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE) 年，卷(期)：2007 46(4) 分类号：O241.82 关键词：非线性反常次扩散方程 Adomian分解方法 Riemann-Liouville分数阶导数。
非线性对流扩散方程不同解法稳定性比较
2013—2014学年第二学期 《Matlab 编程技术》作业专业班级 石工博13-02研究方向 油气田开发姓 名 王壮壮学 号B********结合自己研究方向，运用Matlab编写科学计算及可视化或其它相关程序。
要求：1）将要解决的问题交代清楚（数学模型、目标等）；2）编写的程序的关键语句要有注释说明；3）程序能顺利运行，运行结果和编写的m文件一并提交；4）独立完成。
非线性对流扩散方程不同解法稳定性比较流体力学基本方程组本身就是非线性的对流扩散方程，非线性Burgers 方程就是N-S 方程很好的模型方程，它的一维形式如下：L x xu x u u t u ≤≤∂∂=∂∂+∂∂022μ (1) 边界条件为⎩⎨⎧====0,,00u L x u u x (2) 初始条件是任意可以给出的。
我们知道，遇到对流项，我们用迎风格式是绝对没有问题，无论是一阶迎风还是二阶迎风格式都是能够解决非线性对流方程的，如果网格Peclet 数允许的话，中心差分也是可以考虑的。
不过，对于非线性对流，我们来看看另外两个G-S 格式，一个是G-S 型迎风半隐格式，另一个是G-S 型Samarskii 半隐格式，对于任何类型的对流扩散方程，可以收敛到定常解，并且是绝对稳定的，特别适合于解决定常问题。
对于式(1)这两个格式分别为()211111111212h u u u R h u u u u u n i n i n i n i n i n i nini n i +-+++-+++-+=-+-μτ (3) 2111111112112h u u u R R h u u u u u n i n i n i n i n i n i n i nini n i +-+++-+++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-+-μτ(4) 其中μ2h u R n i n i =式(3)就是G-S 型迎风半隐格式，它具有一阶精度，是从一阶迎风格式发展而来的；式(4)是G-S 型Samarskii 半隐格式，具有二阶精度，它是从Samarskii 格式发展而来的。
稳态扩散和非稳态扩散名词解释
稳态扩散和非稳态扩散是物理学和化学领域中常用的术语，用来描述物质在空间中的扩散行为。
稳态扩散是指物质在均匀介质中的扩散过程，而非稳态扩散则是指物质在非均匀介质中的扩散过程。
本文将通过对稳态扩散和非稳态扩散的名词解释，解析其物理意义、数学表达和实际应用，帮助读者更好地理解这两个概念。
一、稳态扩散的名词解释1.1 稳态扩散的物理意义稳态扩散是指当物质在均匀介质中的浓度分布达到稳定状态时的扩散过程。
在稳态扩散中，物质的浓度分布不再发生变化，达到了动态平衡状态。
这种扩散过程通常以弥散系数来描述，可以用弥散方程进行数学建模，是一种重要的物质传输过程。
1.2 弥散系数的数学表达在稳态扩散中，物质的弥散系数是一个重要的物理参数，用来描述物质在均匀介质中扩散的能力。
它通常用符号D表示，是一个与时间和空间无关的常数。
弥散系数与介质的性质、温度和压力等因素有关，不同的物质在不同的介质中有不同的弥散系数。
1.3 稳态扩散的实际应用稳态扩散在化学工程、环境科学和生物医学等领域有着广泛的应用。
在化学工程中，稳态扩散常用来描述气体或液体在反应器中的传质过程；在环境科学中，稳态扩散被用来研究大气、水体和土壤中的污染物传播行为；在生物医学中，稳态扩散可用于分子在细胞内的扩散和运输研究。
二、非稳态扩散的名词解释2.1 非稳态扩散的物理意义非稳态扩散是指当物质在非均匀介质中的浓度分布随时间和空间发生变化的扩散过程。
在非稳态扩散中，物质的浓度分布不断改变，未达到动态平衡状态，通常需要考虑时间和空间的变化。
2.2 非稳态扩散的数学表达在非稳态扩散中，物质的扩散过程通常需要考虑时间和空间的变化，所以需要使用偏微分方程进行描述。
这类方程常常包括时间导数和空间导数，需要通过适当的数值或解析方法进行求解，得到物质浓度随时间和空间的变化规律。
2.3 非稳态扩散的实际应用非稳态扩散在材料科学、地球科学和生物学等领域有着重要的应用价值。
在材料科学中，非稳态扩散常用来研究材料中的晶体生长和变形过程；在地球科学中，非稳态扩散被用来描述地表和地下水体中的渗透和溶质迁移过程；在生物学中，非稳态扩散可用于描述细胞内物质的输运和信号传导过程。
偏微分方程基本概念与三类典型方程的导出
nv
它所包围的区域记为 .
G
由热传导的 Fourier 实验定律知，
S
热场
在[t, t+dt] 时间内，流过曲面 ds 的热量 dQ 为
dQ
k
(x,
y,
z)
u
dsdt
k
u
v dSdt
n
24
其中 n 为曲面 ds 的外法向向量，k为热传导系数。
故从t1 到t2 这段时刻流入曲面内部的热量为
Q1
其质量为 x, 所以由Newton第二定律知
T
sin
T sin
F (x,t)x
2u t 2
(x,t)x
17
因为假设弦作微小的横向振动，故振动过程 中，弦上的切线倾斜角也很小。这时有
（1）由于 cos 1 2 4 L
24
略去 , 的高于一次方的各项有
cos cos 1.
（2）
sin tg u (x,t)
t2
t1
c
u t
(
x,
y,
z,
t)dxdydz
dt
其中c为比热， 为质量密度。
由能量守恒定律，有
Q1 Q2.
26
由Gauss公式有
S
k
u n
dS
S
ku
v dS
ku
dxdydz
kudxdydz.
故有
t2
t1
c
u t
dxdydz
dt
t2
t1
kudxdydz dt.
以上推导过程实际上就是将微元运动满足的物理 定律翻译成用已知函数、未知函数及其偏导数 表示的数学式子。弦振动中的基本物理定律是 牛顿第二定律和胡克定律。弹性杆的纵振动、 弹性模的横振动、声波在空气中的传播等，都 可用类似方法导出同一类型的方程
一般非线性扩散方程Cauchy问题的整体解
（。 ｍ ｛由， 可 ） ｔ０ ｔ。 ｉｔ ｔ ： ， ＞， ） ｎ一 一 ｌ ｌ
其 中 Ｋｌ 研 （ Ｐ ｍ， ， ） ＝ Ⅳ，， ｍ Ａ， 。
（ 广义导数 Ｏ ￣ｕ ∈ 。 ， ＝１ ， ， ｉ ｉ ） ｉ（ 玩 （ ） ｉ ， … Ⅳ； ｏ） Ｑ ２
（ｉ 对 Ｖ ｉ ｉ ） ０＜ｒ＜Ｔ及任何试验函数 ｅ ， ，即对任何当 ＩＩ （ｔ ） Ｘ 充分大和 ｔ ：Ｔ时为 ０的函 数 ｅ ｔ ∈Ｃ ） （，） （ ，有
本文 的主要结果如下 ：
定理１ 设Ｐ＞ｍ＋斋 ｍ ＋斋 ，０ ２ （Ｎ 或 Ｕ （ ） ∈Ｉｏ ） ０∈Ｌｇ Ⅳ ， Ｐ 三 ／ｐ Ｕ Ｒ ｐＲ ） 而 ０ Ｖ — （ —
ｍ） Ｐ ＝ 或 ６ 一ｍ ） ，则存在 ６ ０＝６（ ｍ， ＰＡ ＞０ ｏＮ， ｍ ，， ） ，使得当 ｍ ｘ ｉｏｐ，￣ ｌ ） ａ ｛ｕ ｉ Ｉｏ ｌ ］ Ｉ ｌ ＜ 。 时 ，问题 （ａ（ｂ 有 Ｔ＝ Ｏ １）１） Ｏ的弱解 （ ＝ｕｘｔ 满足 ｔ ） （，）
维普资讯
工
程
数
学
学
报
第 ２ 卷 ４
定义１１ （， 称为 （ ） ｂ 在 ＲⅣ×［ ｔ 上的弱解，如果它满足： ． ｕｘ ｔ ） １（） ａ１ ０） ， （ 在 ＲⅣ×［ Ｔ 上 ｕｘｔ ０ ｉ ） ０ ） ， （， 且属于 Ｂ ＲⅣ×［ ７ ， ＜７＜ ； ） Ｃ（ ０ － Ｖ０ － ，】 ）
． ） ， ∈ＲⅣ，成立 （ ２ ａｅ （，， ∈ＱＴ×Ｒ＋ Ｖ Ｈ ） ． ｔ
Ｉ Ｉ ０ （， ｕ毛 Ａ 巧 ｔ ） 白 ， Ｉ ， ， ＝１ ， ， Ｊ ， … Ⅳ． ２
） Ｔ×Ｒ＋ ，有 （ ） ａｅ （，， ∈Ｑ Ｈ３ ． ｔ ．
非齐次非线性扩散方程的三阶条件Lie-Backlund对称和微分约束
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非线性方程迭代法的一般理论
提出了一系列加速迭代法收敛的 技术，如松弛法、外推法等，有 效提高了计算效率。
未来发展趋势预测
1 2
高性能计算的应用
随着计算机性能的不断提高，未来迭代法将更加 注重并行化和优化，以适应大规模计算的需求。
智能化算法的发展
结合人工智能和机器学习技术，未来迭代法有望 实现自适应参数调整和智能化求解。
3
跨学科交叉融合
04
针对某些特殊类型的非线性方程，可能需要设计专门的迭代法以提高 求解效率。
05
迭代法在实际问题中应用
工程领域应用举例
结构优化
在结构工程中，迭代法被用于求解复杂的结构优化问题，通过不断迭代计算，找到满足设 计要求的最优结构形状和材料分布。
流体动力学
迭代法在流体动力学中用于求解非线性偏微分方程，如Navier-Stokes方程，以描述流体 的运动状态。
不同类型非线性方程求解示例
多项式型非线性方程
如$x^3 - x - 1 = 0$，可以采用牛顿迭代法 等进行求解。
指数型非线性方程
如$e^x - x - 2 = 0$，可以尝试使用割线法 或二分法进行求解。
对数型非线性方程
如$log(x) + x - 3 = 0$，可以考虑使用牛顿 迭代法或幂级数法进行求解。
参数调整方法
固定参数法
在迭代过程中保持参数不变。这种方法简单易行，但可能 不适用于所有问题。
自适应参数法
根据迭代过程中的信息（如残差、梯度等）动态调整参数。这种 方法可以适应不同问题的特性，但需要设计合适的自适应策略。
参数优化法
将参数作为优化变量，通过求解一个优化问题来确定最佳参数。 这种方法可以得到较好的参数选择，但计算成本可能较高。
2-2-线性变换及非齐次状态方程
A( τ1 )dτ1dτ 0
0 0
6 t4
8
(t,0)
1 0
0 0 1 0
t 0
1 2
t
2
0
t3
6 t4
8
1 0
1
t 1t 2
t3 6 2 t4
8
第14页，共21页。
2.4.4 线性时变系统非线性齐次状态方程的解
x A(t) x B(t)u
其解为 或
x(t) t t0
第i 个分量
（43）
第17页，共21页。
hi (t)为m维向量，它表示系统输出 y(t)对输入u(t)的第i个元素
在τ时刻加入单位脉冲时的响应。
将hi (t)，i 1,2,, r 按次序排列，则
H (t, τ) h1(t, τ) h2 (t, τ) hr (t, τ)
C(t)(t, τ)B(τ)e1 C(t)(t, τ)B(τ)e2 C(t)(t, τ)B(τ)er
τ1 d τ0
例2-9 线性时变系统齐次状态方程为
计算系统状态转移矩阵 (t,0)
x
A(t ) x
0 0
1
t
x
（35）
第13页，共21页。
解
将
0 A 0
1 t
代入（35）式
其中
t
t 0
0 A(τ0 )dτ0 0 0
1 0
τ0
dτ
0
0
t
1 2
t
2
t3
t 0
A(τ0 )
τ0 0
（18）
第4页，共21页。
3）矩阵 A 可以经过线性变换成为模态形阵，计算 (t)
如果矩阵A的特征值为共轭复数 λ1,2 σ jω
《非线性扩散方程》
《非线性扩散方程》
非线性扩散方程是一类广泛应用于工程、物理、生物学等领域的偏微分方程，它描述了物质在空间和时间上的扩散过程。
非线性扩散方程的特点是存在非线性项，它可以描述复杂的物理过程，如温度扩散、物质扩散等。
非线性扩散方程的一般形式为：
$$\frac{\partial u}{\partial t}=D\Delta u+f(u,\nabla u, t)$$
其中，$u$是扩散的物质的浓度，$D$是扩散系数，$\Delta$是拉普拉斯运算符，$f$是非线性函数。
非线性扩散方程可以用来描述多种复杂物理过程，如水位变化、温度扩散、物质扩散等。
它可以用来研究物质在空间和时间上的扩散规律，为工程设计提供理论依据。
扩散方程
扩散方程扩散(diffusion)：物质分子从高浓度区域向低浓度区域转移，直到均匀分布的现象。
在单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的 扩散物质流量（称为 扩散通量Diffusion flux ，用 J 表示）与该截面处的 浓度梯度(Concentration gradient)成正比，也就是说， 浓度梯度越大，扩散通量越大。
这就是菲克第一定律，它的数学表达式如下：(,,)x y z J J J J =为扩散通量，D 称为扩散系数(m 3/s)，C 为扩散物质（组元）的体积浓度(原子数/m 3或kg/m 3).菲克第一定律只适应于 稳态扩散(Steady-state diffusion)的场合。
对于稳态扩散也可以描述为：在扩散过程中，各处的扩散组元的浓度 C 只随距离 x 变化，而不随时间 t 变化，每一时刻从前边扩散来多少原子，就向后边扩散走多少原子，没有盈亏，所以浓度不随时间变化。
实际上，大多数扩散过程都是在 非稳态条件下进行的。
非稳态扩散(Nonsteady-state diffusion)的特点是：在扩散过程中， J 随时间和距离变化。
通过各处的扩散通量 J 随着距离在变化，而稳态扩散的扩散通量则处处相等，不随时间而发生变化。
对于非稳态扩散，就要应用菲克第二定律了。
任取一封闭曲面Γ，它所围区域记为Ω，n 为封闭曲面指向内部的单位法向。
则从时刻1t 到时刻2t 通过扩散进入此闭曲面的物质质量为211{}t t m J ndS dt Γ=⋅⎰⎰⎰ 由高斯公式J ndS JdV ΓΩ⋅=-∇⋅⎰⎰⎰⎰⎰ ，211{}t t m JdV dt Ω=-∇⋅⎰⎰⎰⎰ 若Ω内部产生物质，其源强度函数为(,,,)f x y z t ，则Ω内部产生的物质质量为 212{(,,,)}t t m f x y z t dV dt Ω=⎰⎰⎰⎰ 同时，物质渗透到区域Ω内，使得内部的浓度发生变化，在时间间隔12[,]t t 内，浓度由1(,,,)C x y z t 变化为2(,,,)C x y z t ，增加的物质质量为221121((,,,)(,,,))()()t t t t C C C x y z t C x y z t dV dt dV dV dt t t ΩΩΩ∂∂-==∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 由质量守恒即有2211{((,,,))}()t t t t C J f x y z t dV dt dV dt tΩΩ∂-∇⋅+=∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 于是得到扩散方程()C D C f t∂=∇⋅∇+∂若扩散系数(,,)D x y z 为常数，则扩散方程为222222()(,,,)C C C C D f x y z t t x y z∂∂∂∂=+++∂∂∂∂三元函数的傅里叶变换及逆变换：111111()123123123123(,,)((,,))(,,)i x x x f F f x x x f x x x e dx dx dx αααααα+∞+∞+∞-++-∞-∞-∞==⎰⎰⎰ 111111()1123123123123(,,)((,,))(,,)i x x x f x x x F f f e d d d αααααααααααα+∞+∞+∞++--∞-∞-∞==⎰⎰⎰ 傅里叶变换微分性质：()()i x i F f i F f α=傅里叶变换的平移性质：1101123123((,,))((,,))i x F f x x x x e F f x x x α--= 单位脉冲函数的傅里叶变换：(())1F x δ=对于扩散方程初值问题222222000(,,,0)()()()u u u u a b c t x y z u x y z M x x y y z z δδδ⎧∂∂∂∂=++⎪∂∂∂∂⎨⎪=---⎩对,,x y z 作傅里叶变换： 102030222123()123()(,,,0)i x y z u a b c u t uMe ααααααααα-++∂⎧=-++⎪∂⎨⎪=⎩ 解此微分方程得：222102030123()()123(,,,)i x y z a b c t ut Me e ααααααααα-++-++=再作傅里叶逆变换：222000222()()()()4441322(,,,)()(4)x x y y z z a t b t c t Mu x y z t e abc t π----++=。
线性系统非奇异线性变换及系统的规范分解
8.5 线性系统非奇异线性变换及系统的规范分解为了便于揭示系统的固有特性，经常需要对系统进行非奇异线性变换，例如，将A 矩阵对角化、约当化；将系统化为可控标准型、可观测标准型也需要进行线性变换。
为了便于分析与设计，需要对动态方程进行规范分解，往往也涉及线性变换。
如何变换？经过变换后，系统的固有特性是否会引起改变呢？这些问题必须加以研究解决。
8.5.t t 1 线性系统的非奇异线性变换及其性质1．非奇异线性变换设系统动态方程为 ⎧⎨⎩()()()()()()t t t t =+=+&x Ax Bu y Cx Du （8-134）令 =x P x （8-135） 式中，非奇异矩阵P （，有时以det 0≠P 1−P 形式出现）将状态变换为状态x x 。
设变换后的动态方程为⎧⎨⎩()()()())()t t t t =+=+&t t xAx Bu y Cx Du （8-136） 则有1−=x P x 1−=A P AP 1−=B P B =C CP =D D （8-137）上述过程就是对系统进行非奇异线性变换。
线性变换的目的在于使A 矩阵或系统规范化，以便于揭示系统特性，简化分析、计算与设计，在系统建模，可控性、可观测性、稳定性分析，系统综合设计方面特别有用。
非奇异线性变换不会改变系统的固有性质，所以是等价变换。
待计算出所需结果之后，再引入反变换1−=x P x ，将新系统变回原来的状态空间中去，获得最终结果。
2．非奇异线性变换的性质系统经过非奇异线性变换，系统的特征值、传递矩阵、可控性、可观测性等重要性质均保持不变性。
下面进行证明。
（1）变换后系统传递矩阵不变 证明 列出变换后系统传递矩阵G 为 111()s −−−=−+G CP I P AP P B D 1111()s −−−−=−CP P IP P AP P B D +++G 111[()]s −−−=−CP P I A P P B D 111()s −−−=−CPP I A PP B D1()s −=−+=I C A B D表明变换前后的系统传递矩阵相同。
非齐次反常次扩散方程的解析解
非齐次反常次扩散方程的解析解
林玉闽;刘发旺
【期刊名称】《厦门大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2008(047)002
【摘要】扩散、对流-扩散和Fokker-Planck型的分数阶动力方程为描述在复杂系统中由反常扩散控制的传送动力学提供实用的近似.利用分离变量方法和Laplace 变换分别导出在Dirichlet、Neumann和Robin边界条件下的非齐次反常次扩散方程的解析解.这个技巧可以推广到解其它类型的反常扩散方程.
【总页数】6页(P158-163)
【作者】林玉闽;刘发旺
【作者单位】厦门大学数学科学学院,福建,厦门,361005;昆士兰理工大学数学科学学院,布里斯本,昆士兰,4001,澳大利亚
【正文语种】中文
【中图分类】O241.82
【相关文献】
1.利用Adomian分解方法求非线性反常次扩散方程近似解 [J], 宋吉茜;刘发旺;庄平辉
2.一类反常次扩散方程Neumann问题的有限差分格式及收敛性分析 [J], 马亮亮;刘冬兵
3.时间分布阶反常扩散方程的解析解 [J], 郑达艺;张洁
4.时间分布阶反常扩散方程的解析解 [J], 郑达艺;张洁
5.分形介质分数阶反常守恒扩散模型及其解析解 [J], 蒋晓芸;徐明瑜
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