【精选】理科数学(2020版)备考指南第6章 第4讲
高三数学第六章第4课时精品课件
目录
【名师点评】 (1)在应用基本不等式求最值时，要把握三 个方面，即“一正——各项都是正数；二定——和或积为 定值；三相等——等号能取得”，这三个方面缺一不可． (2)对于求分式型的函数最值题，常采用拆项使分式的分子 为常数，有些分式函数可以拆项分成一个整式和一个分式 (该分式的分子为常数)的形式，这种方法叫分离常数法． (3)为了创造条件使用基本不等式，就需要对式子进行恒等 变形，运用基本 不等式求最值的焦点在于凑配“和” 与 “积”，并且在凑配过程中就应考虑到等号成立的条件， 另外，可利用二次函数的配方法求最值．
第4课时
基本不等式
2014高考导航
考纲展示 备考指南 1.主要考查利用基本不等式求函数的
1.了解基本不等式
的证明过程． 2.会用基本不等式 解决简单的最大( 小)值问题.
最值、实际问题中的最优解和不等式 的证明．
2.对基本不等式的考查多以选择题和
填空题的形式出现，考题多为中低档 题，出现证明题难度也不会太大.
目录
思考探究 2．当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如 何处理？
提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解.
目录
课前热身 1 1．(教材习题改编)函数 y＝x＋ (x>0)的值域为( x A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C．[2，＋∞) B．(0，＋∞) D．(2，＋∞) )
目录
【解】 设铁栅长为 x 米，两侧砖墙长为 y 米，则有 s＝xy. 由题意得 40x＋2×45y＋20xy＝3 200. 由基本不等式得 3 200≥2 40x· 90y＋20xy ＝120 xy＋20xy＝120 S＋20S. ∴S＋6 S≤160. 即( S＋16)( S－10)≤0. ∵ S＋16>0， ∴ S－10≤0，从而 S≤100. 因此 S 最大允许值是 100， 取得最大值的条件是 40x＝90y， 而 xy＝100， 由此求得 x＝15， 即铁栅的长应是 15 米．
(精品)2020年高考数学(理科版)总复习：考点与题型全归纳_(1001页,pdf版)
2、整体稳定,覆盖面广
全面考查了新课标考试说明中各部分的内容,如复数、旋转体、推理证明、简易逻辑、排列 组合、二项式定理等教学内容,有些内容轮换考查,如统计图、线性回归、直线与圆线性规划计 数原理、二项式定理、正态分布、条件概率等。
3、全面考查新增内容.体现新课改理念
如定积分、函数的零点、三视图、算法图、直方图与茎叶图、条件概率、几何概型、全称 命题与特陈命题等。
10考点一幂函数的图象与性质104考点二比较幂值大小106第八节指数式对数式的运算110考点一指数幂的化简与求值111考点二对数式的化简与求值113第九节指数函数117考点一指数函数的图象及应用118考点二指数函数的性质及应用119第十节对数函数126考点一对数函数的图象及应用127考点二对数函数的性质及应用128第十一节函数与方程134考点一函数零点个数所在区间135考点二函数零点的应用137第十二节函数模型及其应用142考点一二次函数分段函数模型142考点二指数函数对数函数模型144第三章导数及其应用150第一节导数的概念及运算定积分150考点一导数的运算152考点二导数的几何意义及其应用153考点三定积分的运算及应用156第二节导数的简单应用164第一课时导数与函数的单调性165考点一求函数的单调区间165考点二判断含参函数的单调性166第二课时导数与函数的极值最值177考点一利用导数研究函数的极值177考点二利用导数研究函数的最值179考点三利用导数求解函数极值和最值的综合问题181第三节导数的综合应用190第一课时利用导数解不等式190考点一fx与fx共存的不等式问题190考点二不等式恒成立问题193考点三可化为不等式恒成立问题195第二课时利用导数证明不等式201考点一单变量不等式的证明201考点二双变量不等式的证明204考点三证明与数列有关的不等式205第三课时导数与函数的零点问题210考点一判断函数零点的个数210考点二由函数零点个数求参数212第四节导数压轴专项突破218第一课时分类讨论的界点确定218第3共999页考点一根据二次项系数确定分类界点218考点二根据判别式确定分类界点219考点三根据导函数零点的大小确定分类界点219考点四根据导函数零点与定义域的关系确定分类界点
高考备考指南理科数学第4章 第6讲
b2＋c2－a2 2bc cos A＝___________________ ； c2＋a2－b2 2ac cos B＝__________________ ； a2＋b2－c2 2ab cos C＝__________________ 栏目索引
Hale Waihona Puke 第四章 三角函数、解三角形
高考备考指南
理科数学
1 1 1 abc 1 2． S△ABC＝2absin C＝2bcsin A＝2acsin B＝ 4R ＝2(a＋b＋c)· r(r 是三角形内切圆的 半径)，并可由此计算 R，r. 3．在△ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情况如下： A 为锐角或直角 A 为钝角
栏目索引
)
【答案】A
第四章 三角函数、解三角形
高考备考指南
理科数学
3 4．在△ABC 中，A＝60° ，AB＝2，且△ABC 的面积为 2 ，则 BC 的长为( 3 A． 2 C．2 3 B． 3 D．2
)
【答案】B
栏目索引
第四章 三角函数、解三角形
高考备考指南
理科数学
5 ． ( 教材习题改编 ) 在△ ABC 中，若 acos A ＝ bcos B ，则这个三角形的形状为 ____________． 【答案】等腰三角形或直角三角形
02
课堂
考点突破
03
课后
感悟提升
04
配 套 训 练
高考备考指南
理科数学
1
第四章 三角函数、解三角形
课前
基础诊断
栏目索引
高考备考指南
理科数学
1．正、余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且R为△ABC外接圆半径， 则
【精选】理科数学(2020版)备考指南第10章 第1讲
第十章第1讲[A级基础达标]1．打桥牌时，将洗好的扑克牌(52张)随机确定一张为起始牌后，开始按次序搬牌，对任何一家来说，都是从52张的总体中抽取一个13张的样本．这种抽样方法是() A．系统抽样B．分层抽样C．简单随机抽样D．非以上三种抽样方法【答案】A2．一个总体中有90个个体，随机编号0,1,2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1,2,3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同，若m＝8，则在第8组中抽取的号码是()A．72B．74C．76D．78【答案】C3．(2018年南宁模拟)某学校共有教师120人，如图表示的是各类教师所占的比例，按分层抽样从中选出一个30人的样本，则被选出的青年女教师的人数为()A．12B．6C．4D．3【答案】D4．某工厂在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 构成等差数列，则第二车间生产的产品数为( )A ．800双B ．1000双C ．1200双D ．1500双【答案】C5．一汽车生产厂家生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 z 标准型300450600A 类轿车10辆，则z 的值为________．【答案】4006．(2018年新乡模拟)从编号为01,02，…，50的50个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中的前两个编号分别为03,08(编号按从小到大的顺序排列)，则样本中最大的编号是________．【答案】48 [B 级 能力提升]7．为了解某高校高中学生的数学运算能力，从编号为0001,0002，…，2000的2000名学生中采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，并按编号从小到大排列，已知抽取的第一个编号为0003，则最后一个编号是( )A ．0047B ．1663C ．1960D ．1963【答案】D【解析】根据系统抽样方法知，抽样间隔为200050＝40，抽取的第一个编号为0003，则抽样编号为0003＋40(n －1)．令n ＝50，则最后一个样本编号是0003＋40×49＝1963.8．福利彩票“双色球”中红色球的编号为01,02，…，33，某彩民利用下面的随机数表选取一组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表的第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为( )49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76C ．02D ．17 【答案】C【解析】从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的6个红色球的编号依次为21,32,09,16,17,02，故选出的第6个红色球的编号为02.9．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取________人．【答案】8【解析】设样本容量为N ，则N ×3070＝6，所以N ＝14，所以高二年级所抽学生人数为14×4070＝8.10．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号，按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为123，则第2组中应抽出个体的号码是________．【答案】11【解析】由题意可知，系统抽样的组数为20，间隔为8，设第1组抽出的号码为x ，则由系统抽样的法则可知，第n 组抽出个体的号码应该为x ＋(n －1)×8，所以第16组应抽出的号码为x ＋(16－1)×8＝123，解得x ＝3，所以第2组中应抽出个体的号码为3＋(2－1)×8＝11.。
【精选】理科数学(2020版)备考指南章末高考热点链接3
第三章 导数及其应用
星蓝海学习网
高考备考指南
理科数学
由y＝－14x， 得 y＝x2＋a，
x2＋14x＋a＝0，
依题意，Δ＝116－4a＝0，得 a＝614.
综上，a＝1 或 a＝614.
【点评】对于求曲线的切线方程没有明确切点的情况，要先判断切线所过点是
否在曲线上；若所过点在曲线上，要对该点是否为切点进行讨论．
第三章 导数及其应用
星蓝海学习网
高考备考指南
理科数学
【探究提高】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性 要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性．
(2)由函数的性质求参数的取值范围，通常根据函数的性质得到参数的不等式， 再解出参数的范围．若不等式是初等的一次、二次、指数或对数不等式，则可以直 接解不等式得参数的取值范围；若不等式是一个不能直接解出的超越型不等式时， 如求解ln a＋a－1<0，则需要构造函数来解．
第三章 导数及其应用
星蓝海学习网
高考备考指南
又 h′(1)＝2a－2>0，h′12＝2a2－32＝a－3<0， 所以12<x0<1，则3－2 x0>0，－ln x0>0. 因此3－2 x0－ln x0>0，即 h(x0)＞0.所以 h(x)＞0. 所以 f(x)＜－1.
第三章 导数及其应用
星蓝海学习网
第三章 导数及其应用
星蓝海学习网
理科数学
高考备考指南
又 φ(0)＝0，结合 y＝φ(x)的图象(如图所示)，可知 ①当 m＞23时，函数 g(x)无零点； ②当 m＝23时，函数 g(x)有且只有一个零点； ③当 0＜m＜23时，函数 g(x)有两个零点； ④当 m≤0 时，函数 g(x)有且只有一个零点． 综上所述，当 m＞23时，函数 g(x)无零点； 当 m＝23或 m≤0 时，函数 g(x)有且只有一个零点； 当 0＜m＜23时，函数 g(x)有两个零点．
【精选】理科数学(2020版)备考指南第4章 第4讲
D．xx≠k2π＋π6，k∈Z
(2)不等式 3＋2cos x≥0 的解集是________．
【答案】(1)D
(2)x－56π＋2kπ≤x≤56π
＋2kπ，k∈Z
栏目索引
第四章 三角函数、解三角形
星蓝海学习网
高考备考指南
理科数学
【解析】(1)由正切函数的定义域，得 2x＋π6≠kπ＋π2，即 x≠k2π＋π6(k∈Z)．故选 D．
(2)由 3＋2cos x≥0，得 cos x≥－ 23，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，
π] 上 ， 不 等 式
cos
x≥ －
3 2
的
解
集
为
x－56π≤x≤56π
，
故
原
不
等
式
的
解
集
为
x－56π＋2kπ≤x≤56π＋2kπ，k∈Z
.
栏目索引
第四章 三角函数、解三角形
星蓝海学习网
高考备考指南
无
k2π，0 栏无目索引
第四章 三角函数、解三角形
星蓝海学习网
高考备考指南
理科数学
1．(2018 年邵阳模拟)函数 y＝sin2x＋π6的最小正周期是(
A．4π
B．2π
C．π
D．π2
【答案】C
)
栏目索引
第四章 三角函数、解三角形
星蓝海学习网
高考备考指南
理科数学
2．(2018 年南宁模拟)已知函数 f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|<π)，若π8，58π是 f(x)的一 个单调递增区间，则 φ 的值为( )
第四章
三角函数、解三角形
第4讲 三角函数的图象与性质
【精选】理科数学(2020版)备考指南第7章 第4讲
nn＋1 2
＝
1 2
n2＋
1 2
n，记第n个k边形数为N(n，
k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：
三角形数
N(n,3)＝12n2＋12n，
正方形数 五边形数
N(n,4)＝n2， N(n,5)＝32n2－12n，
栏目索引
第七章 不等式、推理与证明
星蓝海学习网
高考备考指南
理科数学
第七章 不等式、推理与证明
星蓝海学习网
高考备考指南
理科数学
【答案】5
a＋b＋c＝1， 【解析】由题意，得 34a＋2b＋c＝15，
59a＋3b＋c＝65，
解得a＝2，b＝－2，c＝1，所以
a－b＋c＝5.
栏目索引
第七章 不等式、推理与证明
星蓝海学习网
高考备考指南
理科数学
与式子有关的推理
(1)已知f(x)＝
第七章 不等式、推理与证明
星蓝海学习网
高考备考指南
理科数学
【答案】(1)f2019(x)＝1＋2x019x (2)nn x
【解析】(1)由f1(x)＝1＋x x，可得f2(x)＝f1＋x x＝1＋1＋1＋xx x＝1＋x2x，f3(x)＝f(f2(x))
x
＝1＋1＋1＋2xx2x＝1＋x3x，故可猜想f2019(x)＝1＋2x019x.
A．归纳推理
B．演绎推理
C．类比推理
D．数学证明
【答案】C
4．(2018年中山模拟)ln 1＝0，
ln(2＋3＋4)＝2ln 3，
ln(3＋4＋5＋6＋7)＝2ln 5，
ln(4＋5＋6＋7＋8＋9＋10)＝2ln 7， …，
【精选】理科数学(2020版)备考指南第8章 第6讲
O→A＋2312O→B＋O→C－O→A＝13O→A＋13O→B＋13O→C， M→G＝O→G－O→M＝O→G－12O→A＝13O→A＋13O→B＋13O→C－12O→A＝
栏目索引
－16O→A＋13O→B＋13O→C.
第八章 立体几何
星蓝海学习网
高考备考指南
理科数学
【规律方法】(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定 的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．如本例用O→A，O→B，O→C表示O→G， M→G等，另外解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等， 就近表示所需向量．
星蓝海学习网
高考备考指南
理科数学
1．空间向量及其有关概念
(1)空间向量的有关概念 ①空间向量：在空间中，具有_大__小___和__方__向__的量叫做空间向量． ②相等向量：方向_相__同___且模_相__等___的向量． ③共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相_平__行__或__重__合_的向量． ④共面向量：平__行__于__同__一__个__平__面__的向量．
点．若A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c，则下列向量中与B→M相等的向量是( )
A．－12a＋12b＋c C．－12a－12b＋c 【答案】A
第八章 立体几何
B．12a＋12b＋c D．12a－12b＋c
栏目索引
星蓝海学习网
高考备考指南
理科数学
3．(2018年株洲模拟)已知向量 A→B ＝(3,1,2)， C→D ＝(x，－3，－6)．若 A→B ∥ C→D，则x的值是________．
q2－12q·p＋r·q－12r·p
＝
1 2
a2－12a2cos 60°＋a2cos 60°－12a2cos 60°＝a22.
【精选】理科数学(2020版)备考指南第2章 第4讲
高考备考指南
理科数学
2
课堂 考点突破
栏目索引
第二章 函数概念与基本初等函数
星蓝海学习网
高考备考指南
理科数学
幂函数的图象和性质
A．12 C．32
(1)已知幂函数 f(x)＝kxα 的图象过点12， 22，则 k＋α 等于(
)
B．1
D．2
栏目索引
第二章 函数概念与基本初等函数
星蓝海学习网
高考备考指南
常见的考向：
(1)二次函数的单调性问题；
(2)二次函数的最值问题； (3)二次函数中的恒成立问题；
栏目索引
(4)二次函数的零点问题．
第二章 函数概念与基本初等函数
星蓝海学习网
高考备考指南
理科数学二次ຫໍສະໝຸດ 数的单调性问题已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]． (1)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数； (2)当a＝－1时，求f(|x|)的单调区间．
从而m≥1. 当x＝0时，y＝3；当x＝2时，y＝3，
栏目索引
所以要使函数取得最大值为3，则m≤2.故所求m的取值范围为[1,2]．
第二章 函数概念与基本初等函数
星蓝海学习网
高考备考指南
理科数学
(2)①当 a＝0 时，f(x)＝－2x 在[0,1]上单调递减， 所以 f(x)min＝f(1)＝－2. 当 a≠0 时，f(x)＝ax－1a2－1a. ②当 a＞0 时，函数 f(x)的图象开口方向向上，且对称轴为 x＝1a.当1a≤1，即 a≥1 时，函数 f(x)的图象的对称轴在[0,1]内，所以 f(x)在0，1a上单调递减，在1a，1上单 调递增．所以 f(x)min＝f1a＝－1a.当1a＞1，即 0＜a＜1 时，函数 f(x)的图栏目象索的引 对称轴在 [0,1]的右侧，所以 f(x)在[0,1]上单调递减．所以 f(x)min＝f(1)＝a－2.
【精选】理科数学(2020版)备考指南第3章 第4讲
②求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积
分再求和；
③对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分；
④注意用“F′(x)＝f(x)”检验积分的对错．
ห้องสมุดไป่ตู้(2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分．
栏目索引
第三章 导数及其应用
星蓝海学习网
高考备考指南
理科数学
【跟踪训练】
第三章 导数及其应用
星蓝海学习网
高考备考指南
理科数学
定积分在物理中的应用
一物体做变速直线运动，其 vt 曲线如图所示，则该物体在12～6 s 间的运 动路程为________m.
【答案】449
第三章 导数及其应用
栏目索引
星蓝海学习网
高考备考指南
2t，0≤t＜1， 【解析】由图可知，v(t)＝2，1≤t＜3，
星蓝海学习网
高考备考指南
理科数学
1
1
【解析】 －1
(
1－x2＋ex－1)dx＝－1
1－x2dx＋1－1(ex－1)dx.
1
因为 1－x2dx 表示单位圆的上半部分的面积， －1
1
即 －1
1－x2dx＝π2，
1
而 －1
(ex－1)dx＝(ex－x)1－1＝(e1－1)－(e－1＋1)＝e－1e－2，
第三章 导数及其应用
星蓝海学习网
A．10t20
B．5t20
C．130t20
D．53t20
【答案】B
栏目索引
第三章 导数及其应用
星蓝海学习网
高考备考指南
理科数学
3．下列计算错误的是( )
π
A． sin xdx＝0 －π
高考备考指南理科数学目录
栏目索引
高考备考指南
第七章 第1讲 不等式、推理与证明 不等式的性质与一元二次不等式
理科数学
第2讲
第3讲 第4讲 第5讲 第6讲
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
基本不等式及其应用 合情推理与演绎推理 直接证明与间接证明 数学归纳法
栏目索引
章末高考热点链接
目录
高考备考指南
第八章
第1讲 第2讲 第3讲 第4讲
高考备考指南
理科数学
高考备考指南
第一章 集合与常用逻辑用语
理科数学
第1讲
第2讲 第3讲 第二章
集合及其运算
命题及其关系、充分条件与必要条件 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 函数概念与基本初等函数
章末高考热点链接
第1讲
第2讲 第3讲
函数概念及其表示
函数的单调性与最值 函数的奇偶性与周期性
栏目索引
理科数学
第6讲
第7讲 第8讲
双曲线
抛物线 曲线与方程
栏目索引
第9讲
圆锥曲线的综合问题
章末高考热点链接
目录
高考备考指南
第十章 第1讲 第2讲 统计与统计案例 随机抽样 用样本估计总体
理科数学
第3讲
变量间的相关关系、统计案例
章末高考热点链接 第十一章 第1讲 第2讲 计数原理、概率、随机变量及其分布
分类加法计数原理与分步乘法计数原理 排列与组合
理科数学
立体几何
空间几何体的结构特征及三视图、直观图 空间几何体的表面积与体积 空间点、线、面的位置关系 直线、平面平行的判定与性质
第5讲
第6讲 第7讲
直线、平面垂直的判定与性质
空间向量及其运算 立体几何中的向量方法(一)
【精选】理科数学(2020版)备考指南第7章 第1讲
第七章 第1讲[A 级 基础达标]1．设0＜a ＜b ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 3＞b 3 B ．1a <1bC ．a b ＞1D ．lg(b －a )＜0【答案】D【解析】因为0＜a ＜b ＜1，由不等式的基本性质可知a 3＜b 3，所以A 错误；1a >1b ，所以B 错误；由指数函数的图象与性质可知a b ＜1，所以C 错误；由题意可知b －a ∈(0,1)，所以lg(b －a )＜0，所以D 正确．故选D ．2．(2018年北京模拟)不等式x 2＋x －2＜0的解集为( ) A ．{x |－2＜x ＜1} B ．{x |－1＜x ＜2} C ．{x |x ＜－2或x ＞1} D ．{x |x ＜－1或x ＞2} 【答案】A【解析】因为x 2＋x －2＜0，所以(x －1)(x ＋2)＜0，解得－2＜x ＜1，所以原不等式的解集为{x |－2＜x ＜1}．故选A ．3．(2018年南昌模拟)已知a ＞b ，则下列关系正确的是( ) A ．1a <1bB ．a 2＞b 2C ．3a ＞3bD ．1a 3＜1b 3【答案】C【解析】当a ＝1，b ＝－1时，A ，B ，D 均错误，根据幂函数的性质可得C 正确．故选C ．4．(2019年重庆校级月考)如果关于x 的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |x ＜－2或x ＞4}，那么对于函数应有( )A ．f (5)＜f (2)＜f (－1)B ．f (2)＜f (5)＜f (－1)C ．f (－1)＜f (2)＜f (5)D ．f (2)＜f (－1)＜f (5) 【答案】D【解析】因为关于x 的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |x ＜－2或x ＞4}，所以a ＞0，函数的对称轴为x ＝1.所以f (－1)＝f (3)，函数在(1，＋∞)上单调递增，所以f (2)＜f (3)＜f (5)，所以f (2)＜f (－1)＜f (5)．故选D ．5．(2018年四平模拟)已知不等式ax 2－5x ＋b ＞0的解集为{x |－3＜x ＜2}，则不等式bx 2－5x ＋a ＞0的解集为________．【答案】⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－13或x >12 【解析】因为ax 2－5x ＋b ＞0的解集为{x |－3＜x ＜2}，所以ax 2－5x ＋b ＝0的根为－3,2，即－3＋2＝5a ，－3×2＝ba，解得a ＝－5，b ＝30.则不等式bx 2－5x ＋a ＞0可化为30x 2－5x －5＞0，解得x <－13或x ＞12，所以不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－13或x >12. 6．(2018年上海模拟)关于x 的不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1＜0的解集是R ，则实数a 的取值范围是________．【答案】⎝⎛⎦⎤－35，1 【解析】设函数f (x )＝(a 2－1)x 2－(a －1)x －1.由题设条件关于x 的不等式(a 2－1)x 2－(a －1)x －1＜0的解集为R ，可得对任意的x ∈R ，都有f (x )＜0.当a ≠1时，函数f (x )是关于x的抛物线，故抛物线必开口向下，且与x 轴无交点，故满足⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，Δ＝(a －1)2＋4(a 2－1)<0，解得－35＜a ＜1.当a ＝1时，f (x )＝－1，满足题意．综上，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－35，1. [B 级 能力提升]7．(2018年六安模拟)设正数a ，b 满足b －a ＜2，若关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋4bx －b 2＜0的解集中的整数解恰有4个，则a 的取值范围是( )A ．(2,3)B ．(3,4)C ．(2,4)D ．(4,5)【答案】C【解析】因为正数a ，b 满足b －a ＜2，所以0＜b ＜2＋a .因为关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋4bx －b 2＜0的解集中的整数解恰有4个，所以[(a ＋2)x －b ]·[(a －2)x ＋b ]＜0 的解集中的整数恰有4个，所以a ＞2，不等式的解集为－b a －2＜x ＜b a ＋2.又ba ＋2∈(0,1)，即解集里的整数是－3，－2，－1,0，所以－4≤－ba －2＜－3，所以3a －6＜b ≤4a －8.因为b ＜2＋a ，所以3a －6＜2＋a ，解得a ＜4.综上，2＜a ＜4.8．(2018年长沙五校联考)设函数f (x )＝ln x ，若a ，b 是两个不相等的正数，且p ＝f ()ab ，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12f ⎝⎛⎭⎫a 2＋b 22，v ＝12[f (a )＋f (b )]，则下列关系式中正确的是( )A ．p ＝q ＜v ＜rB ．p ＝v ＜q ＜rC ．p ＝v ＜r ＜qD ．p ＜v ＜q ＜r【答案】B【解析】函数f (x )＝ln x ，可得p ＝ln ab ＝12ln(ab )＝12(ln a ＋ln b )＝v ，q ＝ln a ＋b 2＞ln ab＝p ＝v ，2r ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＋b 22＝ln a 2＋b 22，2q ＝2ln a ＋b 2＝ln (a ＋b )24＜ln a 2＋b 22，则q ＜r ，即有p ＝v＜q ＜r .9．若不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围是________． 【答案】⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ 【解析】设f (x )＝x 2＋ax －2，由题知Δ＝a 2＋8＞0，所以方程x 2＋ax －2＝0恒有一正一负两根．于是不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)＝23＋5a ＞0，即a ∈⎝⎛⎭⎫－235，＋∞. 10．某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商品一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围． 【解析】(1)由题意得y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x ＝40(10－x )(25＋4x )． 因为售价不能低于成本价，所以100⎝⎛⎭⎫1－x10－80≥0，解得x ≤2. 所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为x ∈[0,2]． (2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260， 化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.。
【精选】理科数学(2020版)备考指南第10章 第3讲
第十章 第3讲[A 级 基础达标]1．若回归直线方程为y ^＝3－2x ，则变量x 增加一个单位，y ( ) A ．平均增加3个单位 B ．平均增加2个单位 C ．平均减少3个单位 D ．平均减少2个单位【答案】D【解析】因为回归直线方程为y ^＝3－2x ，所以b ^＝－2，则变量x 增加一个单位，y 平均减少2个单位．2．(2018年商丘模拟)在一次试验中，测得(x ，y )的四组值分别是A (1,2)，B (3,3)，C (5,6)，D (7,9)，则y 与x 之间的回归直线方程可能为( )A ．y ^＝1.2x ＋0.2 B ．y ^＝1.5x ＋0.5 C ．y ^＝1.8x ＋0.2 D ．y ^＝2x －1【答案】A 【解析】x ＝1＋3＋5＋74＝4，y －＝2＋3＋6＋94＝5.经验证只有y ^＝1.2x ＋0.2经过(4,5)．故选A ．3．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A ．－1B ．0C ．12D ．1【答案】D【解析】因为所有样本点都在直线y ＝12x ＋1上，所以这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1.4．(2018年清远模拟)为调查某中等城市的市民对支付宝的使用情况，在该地区调查了500位成年市民，规定：每月使用支付宝三次及以下(包括没有支付宝)为不常用支付宝；18～45岁为青年，45岁以上(不包括45岁)为中老年．调查结果如表，则认为该城市的市民是否经常用支付宝与年龄有关的把握为( )中老年青年不常用 50 30 经常用150270C ．99.5%D ．99.9%【答案】D【解析】根据列联表中的数据，计算K 2＝(50＋150＋30＋270)×(50×270－150×30)2(50＋150)×(30＋270)×(50＋30)×(150＋270)≈20.09＞10.828，所以有99.9%的把握认为该城市的市民是否经常用支付宝与年龄有关．故选D ．5．某考察团对10个城市的职工人均工资x (千元)与居民人均消费y (千元)进行调查统计，得出y 与x 具有线性相关关系，且回归方程为y ^＝0.6x ＋1.2.若某城市职工人均工资为5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为( )A ．66%B ．67%C ．79%D ．84%【答案】D【解析】因为y 与x 具有线性相关关系，满足回归方程y ^＝0.6x ＋1.2，该城市居民人均工资为x ＝5，所以可以估计该城市的职工人均消费水平y ＝0.6×5＋1.2＝4.2，所以可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为4.25＝84%.6．(2018年邢台模拟)如表是某饮料专卖店一天卖出奶茶的杯数y 与当天气温x (单位：℃)的对比，已知由表中数据计算得到y 关于x 的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋27，则相应于点(10,20)的残差为( )气温/℃ 5 10 15 20 25 杯数2620161414A ．－1 C ．0.5 D ．1【答案】A【解析】由表中数据，计算x － ＝15×(5＋10＋15＋20＋25)＝15，y －＝15×(26＋20＋16＋14＋14)＝18，代入线性回归方程y ^＝b ^x ＋27中，计算b ^＝115×(18－27)＝－0.6，所以线性回归方程为y ^＝－0.6x ＋27.所以相应于点(10,20)的残差为20－(－0.6×10＋27)＝－1.故选A ．7．(2018年鹤壁模拟)2018年6月14日，第21届世界杯足球赛在俄罗斯拉开帷幕．为了了解喜爱足球运动是否与性别有关，某体育台随机抽取100名观众进行统计，得到如下2×2列联表.男 女 合计 喜爱 30 40 不喜爱 40 合计100(2)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜爱足球运动与性别有关？ 附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .P (K 2≥k ) 0.010 0.005 0.001 k 06.6357.87910.828【解析】(1) 男 女 合计 喜爱 30 10 40 不喜爱 20 40 60 合计50 50100(2)由列联表中的数据，计算观测值K 2＝100×(30×40－10×20)250×50×40×60＝503>10.828，所以可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为喜爱足球运动与性别有关．[B 级 能力提升]8．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x /万元 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y /万元6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程y ＝b ^x ＋a ，其中b ^＝0.76，a ＝y －b ^x ，据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元【答案】B【解析】由题意知， x ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y ＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，所以a ^＝8－0.76×10＝0.4，所以当x ＝15时，y ^＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．9．某产品生产厂家的市场部在对4家商场进行调研时，获得该产品售价x (单位：元)和销售量y (单位：件)之间的四组数据如下表：售价x 4 4.5 5.5 6 销售量y1211109x 之间的线性回归方程为y ^＝－1.4x ＋a ^，那么方程中的a ^值为( )A ．17B ．17.5C ．18D ．18.5【答案】B 【解析】x ＝4＋4.5＋5.5＋64＝5，y ＝12＋11＋10＋94＝10.5，因为回归直线过样本点的中心， 所以a ^＝10.5＋1.4×5＝17.5. 10．根据下表样本数据x 3 4 5 6 7 8 y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回归方程为y ＝b ^x ＋a ，则( ) A ．a ^>0，b ^>0 B ．a ^>0，b ^<0 C ．a ^<0，b ^>0 D ．a ^<0，b^<0 【答案】B【解析】作出散点图如下：观察图象可知，回归直线y ^＝b ^x ＋a ^的斜率b ^<0，当x ＝0时，y ^＝a ^>0.故a ^>0，b ^<0. 11．(2018年四平模拟)某学校为了制定治理学校门口上学、放学期间家长接送孩子乱停车现象的措施，对全校学生家长进行了问卷调查．根据从中随机抽取的50份调查问卷，得到了如下的列联表：同意限定区域停车不同意限定区域停车合计 男 20 5 25 女 10 15 25 合计302050附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .P (K 2≥k )0.050 0.005 0.001 k3.8417.87910.828【答案】99.5%【解析】根据列联表中数据，计算K 2＝50×(20×15－10×5)230×20×25×25≈8.333＞7.879，所以有99.5%的把握认为“是否同意限定区域停车与家长的性别有关”．12．(2018年福州二模)某商店为迎接端午节，推出两款粽子：花生粽与肉粽，为调查这两款粽子的受欢迎程度，店员连续10天记录了这两款粽子的销售量(单位：个)，如表所示.天数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 花生粽销售量 103 93 98 93 106 86 87 94 91 90 肉粽销售量8897989510198103106103111(2)根据统计学知识，请评述哪款粽子更受欢迎；(3)求肉粽销售量y 关于天数t 的线性回归方程，并预估第15天肉粽的销售量．(回归方程的系数精确到0.01)参考数据：∑i ＝110(t i －t －)(y i －y －)＝155.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b^＝∑i＝1n(t i－t－)(y i－y－)∑i＝1n(t i－t－)2，a^＝y－－b^t－.【解析】(1)根据两组数据填写茎叶图，如图所示.(2)由茎叶图知肉粽的销售量均值较花生粽高，两种粽子的销售量波动情况相当，所以可以认为肉粽更受欢迎．(3)t－＝12×(1＋10)＝112，∑i＝110(t i－t－)2＝14×(92＋72＋52＋32＋12)×2＝1652，y－＝100＋110×(－12－3－2－5＋1－2＋3＋6＋3＋11)＝100，所以b^＝∑i＝110(t i－t－)(y i－y－)∑i＝110(t i－t－)2＝155×2165＝6233≈1.88，a^＝y－－b^t－＝100－1.88×112＝89.66.所以y关于t的线性回归方程为y^＝1.88t＋89.66.所以预估第15天肉粽的销售量y^＝1.88×15＋89.66＝117.86≈118(个)．。
2020届高考数学(理)复习课件：第六单元单元总结
π 12
,
∴将函数
y=sin
3x
的图象沿
x
轴方向向右平移 π 个单位长度可以得到函数
12
y= 22(sin 3x-cos 3x)的图象.
答案 解析
(2)关于 f(x)=3sin
2������
+
π 4
,有以下命题:
①若 f(x1)=f(x2)=0,则 x1-x2=kπ(k∈Z);
②f(x)的图象与 g(x)=3cos
目
1
专题透析
录
2
真题演练
专题透析
微专题一 三角函数
三角函数是高考的热点和必考内容,一般以选择题或填空题的形式出现,考查的主 要内容为:三角函数图象与性质(图象的解析式,值域或最值,单调区间和对称性 等)、图象的变换,而基本关系式和诱导公式通常会与上述知识点相结合.复习时, 应做到: 1.理解记忆同角三角函数基本关系式和诱导公式,通过训练加强公式运用能力的 培养,寻找化简与求值中的规律. 2.会作三角函数的图象,理解三种图象的变换,通过图象研究三角函数性质,同时 会对三角函数进行恒等变形,然后讨论图象和性质. 3.注重函数与方程、转化与化归、数形结合等数学思想方法的应用.
4
答案 解析
3.(2018 年全国Ⅱ卷)在△ABC 中,cos���2���= 55,BC=1,AC=5,则 AB=( A ).
A.4 2
B. 30
C. 29
D.2 5
【解析】∵cos���2���= 55,∴cos C=2cos2���2���-1=2×
5 5
2-1=-35.
在△ABC 中,由余弦定理,得 AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos C=52+12-
【精选】理科数学(2020版)备考指南第7章 第6讲
第七章 第6讲[A 级 基础达标]1．用数学归纳法证明“2n ＞2n ＋1对于n ≥n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( )A ．2B ．3C ．5D ．6 【答案】B【解析】n ＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n ＞2n ＋1不成立；n ＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n ＞2n ＋1不成立；n ＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n ＞2n ＋1成立．所以n 的第一个取值n 0＝3.2．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k (k ∈N *)时该命题成立，那么可以推出n ＝k ＋1时该命题也成立．现已知n ＝5时该命题成立，那么( )A ．n ＝4时该命题成立B ．n ＝4时该命题不成立C ．n ≥5，n ∈N *时该命题都成立D ．可能n 取某个大于5的整数时该命题不成立【答案】C【解析】显然A ，B 错误，由数学归纳法原理知C 正确，D 错误．3．利用数学归纳法证明不等式“1＋12＋13＋…＋12n －1>n 2(n ≥2，n ∈N *)”的过程中，由“n ＝k ”变到“n ＝k ＋1”时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．2k －1项D ．2k 项 【答案】D【解析】左边增加的项为12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，共2k 项．故选D ． 4．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上( )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C ．(k ＋1)4＋(k ＋1)22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2【答案】D【解析】当n ＝k 时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2.当n ＝k ＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2，故当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.故选D ．5．对于不等式n 2＋n <n ＋1(n ∈N ＋)，某学生采用数学归纳法证明过程如下： (1)当n ＝1时， 12＋1<1＋1，不等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N ＋)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2< (k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1.故当n ＝k ＋1时，不等式成立． 所以n 2＋n <n ＋1(n ∈N ＋)．上述证法( )A ．过程全部正确B ．n ＝1的验证不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确【答案】D【解析】n ＝1的验证及归纳假设都正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．6．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是________．【答案】1(2k ＋1)(2k ＋2)【解析】不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋2). 7．(2018年咸阳模拟)用数学归纳法证明：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ＝2n n ＋1时，由n ＝k 到n ＝k ＋1左边需要添加的项是________． 【答案】2(k ＋1)(k ＋2)【解析】因为n ＝k 时，左边最后一项为2k (k ＋1)，n ＝k ＋1时，左边最后一项为2(k ＋1)(k ＋2)，所以从n ＝k 到n ＝k ＋1，不等式左边需要添加的项为一项为2(k ＋1)(k ＋2).8．已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝1＋a n 1＋a n(n ∈N *)．用数学归纳法证明：a n ＜a n ＋1(n ∈N *)．【证明】当n ＝1时，a 2＝1＋a 11＋a 1＝32，a 1＜a 2，所以n ＝1时，不等式成立． 假设n ＝k (k ∈N *)时，a k ＜a k ＋1成立，则n ＝k ＋1时，a k ＋2－a k ＋1＝1＋a k ＋11＋a k ＋1－⎝⎛⎭⎫1＋a k 1＋a k ＝a k ＋11＋a k ＋1－a k 1＋a k ＝a k ＋1－a k (1＋a k ＋1)(1＋a k )＞0.所以n ＝k ＋1时，不等式也成立．综上所述，不等式a n ＜a n ＋1(n ∈N *)成立．[B 级 能力提升]9．不等式1＋12＋14＋…＋12n －1>12764，n ≥n 0且n ∈N *恒成立，则n 0的最小值为( ) A ．7B ．8C ．9D ．10 【答案】B【解析】左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n 1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 0的最小值是8. 10．设函数f (n )＝(2n ＋9)·3n ＋1＋9，当n ∈N *时，f (n )能被m (m ∈N *)整除，猜想m 的最大值为( )A ．9B ．18C ．27D ．36【答案】D【解析】f (n ＋1)－f (n )＝(2n ＋11)·3n ＋2－(2n ＋9)·3n ＋1＝4(n ＋6)·3n ＋1.当n ＝1时，f (1)＝108＝36×3，据此可得f (n )能被36整除．故选D ．11．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立．”那么，下列命题总成立的是( )A ．若f (1)<1成立，则f (10)<100成立B ．若f (2)<4成立，则f (1)≥1成立C ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立D ．若f (4)≥16成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立【答案】D【解析】选项A，B的答案与题设中不等号方向不同，故A，B错；选项C中，应该是k≥3时，均有f(k)≥k2成立；选项D符合题意．12．一个正六边形的序列如图所示，则第n个图形的边数为________．【答案】5n＋1【解析】第①图共6条边，第②图共11条边，第③图共16条边，…，其边数构成等差数列，则第n图的边数为a n＝6＋(n－1)×5＝5n＋1.13．(2018年无锡模拟)一个与自然数有关的命题，若n＝k(k∈N)时命题成立可以推出n ＝k＋1时命题也成立．现已知n＝10时该命题不成立，那么下列结论正确的是________．(填上所有正确命题的序号)①n＝11时，该命题一定不成立；②n＝11时，该命题一定成立；③n＝1时，该命题一定不成立；④至少存在一个自然数n0，使n＝n0时，该命题成立．【答案】③【解析】n＝11时，该命题可能成立，也可能不成立，故①②不正确．由题意得，若n ＝k＋1(k∈N)时命题不成立，可以推出n＝k时命题也不成立，故由n＝10时该命题不成立，可以推出n＝9时该命题也不成立，同理可得，n＝1时该命题一定不成立，③正确．题目条件无法推出④正确．14．已知f(n)＝1＋123＋133＋143＋…＋1n3，g(n)＝32－12n2，n∈N*.(1)当n＝1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小；(2)猜想f (n )与g (n )的大小关系，并给出证明．【解析】(1)当n ＝1时，f (1)＝1，g (1)＝1，所以f (1)＝g (1)；当n ＝2时，f (2)＝98，g (2)＝118， 所以f (2)<g (2)；当n ＝3时，f (3)＝251216，g (3)＝139＝312216， 所以f (3)<g (3)．(2)由(1)，猜想f (n )≤g (n )(当且仅当n ＝1时等号成立)，下面用数学归纳法给出证明． ①当n ＝1,2,3时，不等式显然成立．②假设当n ＝k (k ≥3)时f (n )<g (n )成立，即1＋123＋133＋143＋…＋1k 3<32－12k 2. 那么，当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )＋1(k ＋1)3<32－12k 2＋1(k ＋1)3. 因为12(k ＋1)2－⎣⎡⎦⎤12k 2－1(k ＋1)3 ＝k ＋32(k ＋1)3－12k 2＝－3k －12(k ＋1)3k 2<0， 所以32－12k 2＋1(k ＋1)3＜32－12(k ＋1)2. 所以f (k ＋1)<32－12(k ＋1)2＝g (k ＋1)． 由①②可知，对一切n ∈N *，都有f (n )≤g (n )成立．。
【精选】理科数学(2020版)备考指南第2章 第4讲
第二章 第4讲[A 级 基础达标]1．已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)【答案】A【解析】f (x )的图象的对称轴为x ＝1－a 且开口向上，所以1－a ≥3，即a ≤－2.故选A ． 2．(2018年南充模拟)若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)f (2)＝3，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为( ) A ．－3 B ．－13C ．3D ．13【答案】D【解析】设f (x )＝x α(α为常数)，因为满足f (4)f (2)＝3，所以4α2α＝3，解得α＝log 23.所以f (x )＝x log 23，则f ⎝⎛⎭⎫12＝2－log 23＝13.故选D ． 3．(2018年洛阳二模)已知点⎝⎛⎭⎫a ，12在幂函数f (x )＝(a －1)x b 的图象上，则函数f (x )是( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．定义域内的减函数D ．定义域内的增函数【答案】A【解析】点⎝⎛⎭⎫a ，12在幂函数f (x )＝(a －1)x b 的图象上，所以a －1＝1，解得a ＝2.又2b ＝12，解得b ＝－1，所以f (x )＝x －1.所以函数f (x )是定义域上的奇函数，且在区间(－∞，0)和(0，＋∞)内单调递减．故选A ．4．(2018年包头校级期末)若幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫5，15，则f (21－log 23)的值为( ) A ．13B ．12C ．32D ．－1【答案】C【解析】因为幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫5，15，设f (x )＝x α，所以5α＝15，解得α＝－1.所以f (x )＝x －1.所以f (21－log 23)＝f (2－log 223)＝f ⎝⎛⎭⎫23＝⎝⎛⎭⎫23－1＝32.故选C ．5．若函数f (x )＝2x 2＋mx －1在区间[－1，＋∞)上递增，则f (－1)的取值范围是( ) A ．(－∞，－4] B ．(－∞，－3] C ．[3，＋∞) D ．[4，＋∞)【答案】B【解析】因为二次函数图象开口向上，对称轴为x ＝－m 4，所以－m4≤－1，解得m ≥4.又f (－1)＝1－m ≤－3，所以f (－1)∈(－∞，－3]．6．(2018年新疆模拟)已知点(m ,8)在幂函数f (x )＝(m －1)x n 的图象上，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫33，b ＝f (ln π)，c ＝f ⎝⎛⎭⎫22，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜a D ．b ＜a ＜c【答案】A【解析】点(m ,8)在幂函数f (x )＝(m －1)x n 的图象上，可得m －1＝1，即m ＝2,2n ＝8，可得n ＝3，则f (x )＝x 3，且f (x )在R 上递增，由a ＝f ⎝⎛⎭⎫33，b ＝f (ln π)，c ＝f ⎝⎛⎭⎫22，0＜33＜22＜1，ln π＞1，可得a ＜c ＜b ，故选A ．7．设二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在[－3,2]上有最大值4，则实数a 的值为________． 【答案】－3或38【解析】此函数图象的对称轴为直线x ＝－1.当a >0时，图象开口向上，所以x ＝2时取得最大值，f (2)＝4a ＋4a ＋1＝4，解得a ＝38；当a <0时，图象开口向下，所以x ＝－1时取得最大值，f (－1)＝a －2a ＋1＝4，解得a ＝－3.8．(2018年玉溪模拟)已知f (x )＝(m 2－2m －2)x m 是幂函数，且f (x )在其定义域上单调递增，则m ＝________.【答案】3【解析】因为f (x )＝(m 2－2m －2)x m 是幂函数，所以m 2－2m －2＝1，解得m ＝－1或3.当m ＝－1时，f (x )＝x －1在定义域上不是单调递增；当m ＝3时，f (x )＝x 3在定义域R 上单调递增．故m ＝3.9．(2018年九江模拟)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，m )和(2,8)． (1)求m 的值；(2)求函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12f (x )在区间[－1,2]上的值域．【解析】(1)设幂函数y ＝f (x )＝x α，由其图象过点(4，m )和(2,8)，得2α＝8，解得α＝3. 所以f (x )＝x 3，m ＝f (4)＝43＝64，即m 的值是64. (2)由题意知，x ∈[－1,2]时，f (x )＝x 3∈[－1,8]， 所以g (x )＝⎝⎛⎭⎫12f (x )∈⎣⎡⎦⎤1256，2， 所以g (x )的值域是⎣⎡⎦⎤1256，2.10．已知函数g (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a >0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.设f (x )＝g (x )x. (1)求a ，b 的值；(2)若不等式f (2x )－k ·2x ≥0在x ∈[－1,1]上有解，求实数k 的取值范围． 【解析】(1)g (x )＝a (x －1)2＋1＋b －a ，因为a ＞0， 所以g (x )在区间[2,3]上是增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ g (2)＝1，g (3)＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4a －4a ＋1＋b ＝1，9a －6a ＋1＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. (2)f (x )＝x ＋1x －2，所以f (2x )－k ·2x ≥0可化为2x ＋12x －2≥k ·2x ，即1＋⎝⎛⎭⎫12x 2－2·12x ≥k . 令t ＝12x ，则k ≤t 2－2t ＋1.因为x ∈[－1,1]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤12，2.记h (t )＝t 2－2t ＋1，则h (t )max ＝h (2)＝1，所以k ≤1.所以k 的取值范围是(－∞，1]．[B 级 能力提升]11．设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．[0,2]【答案】D【解析】二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0，f ′(x )＝2a (x －1)≤0，x ∈[0,1]，所以a ＞0，即函数的图象开口向上．又因为对称轴是直线x ＝1，所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2.12．函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，满足f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，若a ，b ∈R ，且a ＋b >0，ab <0，则f (a )＋f (b )的值( )A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断 【答案】A【解析】由f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，得m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1，所以f (x )＝x 3或f (x )＝x －3.对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，满足f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，则f (x )在(0，＋∞)内单调递增，所以f (x )＝x 3.由a ＋b ＞0，ab ＜0，可知a ，b 异号，且正数的绝对值大于负数的绝对值，则f (a )＋f (b )恒大于0.故选A ．13．(2018年天津模拟)已知定义在R 上的函数f (x )＝x 2＋2tx ＋5(t 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 125)，b ＝log 23，c ＝f (－1)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a 【答案】C【解析】由f (x )＝x 2＋2tx ＋5(t 为实数)为偶函数，得t ＝0，即f (x )＝x 2＋5.那么a ＝f (log 125)＝f (－log 25)＝(－log 25)2＋5＞9，b ＝log 23＜2，c ＝f (－1)＝1＋5＝6.所以b ＜c ＜a .故选C ．14．(2018年湖北月考)已知幂函数f (x )＝xm 2－4m (m ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在区间(0，＋∞)上为减函数，则m 的值为________．【答案】2【解析】幂函数f (x )＝xm 2－4m (m ∈Z )在区间(0，＋∞)上为减函数，所以m 2－4m ＜0，解得0＜m ＜4.又m ∈Z ，所以m ＝1或m ＝2或m ＝3.当m ＝1时，f (x )＝x －3，图象不关于y 轴对称； 当m ＝2时，f (x )＝x －4，图象关于y 轴对称； 当m ＝3时，f (x )＝x －3，图象不关于y 轴对称． 综上，m 的值为2.15．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]内恒成立，试求b 的取值范围． 【解析】(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2，所以f (x )＝(x ＋1)2.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0. 所以F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]内恒成立， 即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0,1]内恒成立．又1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2. 所以－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2,0]．16．(2018年永州二模)已知幂函数f (x )＝(m －1)2x －2m ＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k .(1)求m 的值；(2)当x ∈[1,2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ；设命题p ：f (x )∈A ；命题q ：g (x )∈B ；若命题p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围．【解析】(1)依题意得(m －1)2＝1，解得m ＝0或m ＝2.当m ＝2时，f (x )＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去．当m ＝0时，f (x )＝x 2，在(0，＋∞)上单调递增，符合题意．所以m ＝0.(2)由(1)得f (x )＝x 2.当x ∈[1,2)时，f (x )∈[1,4)，即A ＝[1,4)． 当x ∈[1,2)时，g (x )∈[2－k,4－k )，即B ＝[2－k,4－k )．若命题p 是q 成立的必要条件，则B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧2－k ≥1，4－k ≤4，解得0≤k ≤1.。
2020版高考数学(理)新增分大一轮人教通用版讲义：第六章 数列与数学归纳法 6.4 含解析
§6.4 数学归纳法数学归纳法一般地，证明一个与自然数相关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N ＋)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N ＋)时命题成立的前提下，推出当n ＝k ＋1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对n 取第一个值后面的有正整数成立. 概念方法微思考1.用数学归纳法证题时，证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N ＋)时命题成立.因为n 0∈N ＋，所以n 0＝1.这种说法对吗？提示 不对，n 0也可能是2,3,4，….如用数学归纳法证明多边形内角和定理(n －2)π时，初始值n 0＝3. 2.数学归纳法的第一个步骤可以省略吗？提示 不可以，数学归纳法的两个步骤相辅相成，缺一不可. 3.有人说，数学归纳法是合情推理，这种说法对吗？提示 不对，数学归纳法是一种证明与自然数有关的命题的方法，它是演绎推理.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.( × ) (2)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.( × )(3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，项数都增加了一项.( × ) (4)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n ＋2＝2n ＋3－1”，验证n ＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23.( √ )(5)用数学归纳法证明凸n 边形的内角和公式时，n 0＝3.( √ ) 题组二 教材改编2.在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验n 等于( )A.1B.2C.3D.4 答案 C解析 凸n 边形边数最小时是三角形， 故第一步检验n ＝3.3.已知{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ∈N ＋，且a 1＝2，则a 2＝________，a 3＝________，a 4＝________，猜想a n ＝________. 答案 3 4 5 n ＋1 题组三 易错自纠4.用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1，n ∈N ＋)，在验证n ＝1时，等式左边的项是( ) A.1 B.1＋a C.1＋a ＋a 2 D.1＋a ＋a 2＋a 3答案 C解析 当n ＝1时，n ＋1＝2， ∴左边＝1＋a 1＋a 2＝1＋a ＋a 2.5.对于不等式n 2＋n <n ＋1(n ∈N ＋)，某同学用数学归纳法证明的过程如下： (1)当n ＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立.(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则当n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1. ∴当n ＝k ＋1时，不等式成立. 则上述证法( ) A.过程全部正确 B.n ＝1验证的不正确 C.归纳假设不正确D.从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确 答案 D解析 在n ＝k ＋1时，没有应用n ＝k 时的假设，不是数学归纳法.6.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n ＝2n －1＋22n －1(n ∈N ＋)时，假设当n ＝k 时命题成立，则当n ＝k＋1时，左端增加的项数是__________. 答案 2k解析 运用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋2n ＝2n －1＋22n －1(n ∈N ＋).当n ＝k 时，则有1＋2＋3＋…＋2k ＝2k －1＋22k －1(k ∈N ＋)，左边表示的为2k 项的和.当n ＝k ＋1时，则左边＝1＋2＋3＋…＋2k ＋(2k ＋1)＋…＋2k ＋1，表示的为2k＋1项的和，增加了2k ＋1－2k ＝2k 项.题型一 用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n (2n ＋2)＝n 4(n ＋1)(n ∈N ＋). 证明 ①当n ＝1时， 左边＝12×1×(2×1＋2)＝18.右边＝14×(1＋1)＝18.左边＝右边，所以等式成立.②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时等式成立，即有 12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＝k 4(k ＋1)， 则当n ＝k ＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＋12(k ＋1)[2(k ＋1)＋2]＝k 4(k ＋1)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝k (k ＋2)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝(k ＋1)24(k ＋1)(k ＋2)＝k ＋14(k ＋2) ＝k ＋14(k ＋1＋1).所以当n ＝k ＋1时，等式也成立. 由①②可知对于一切n ∈N ＋等式都成立. 思维升华 用数学归纳法证明恒等式应注意 (1)明确初始值n 0并验证当n ＝n 0时等式成立.(2)由n ＝k 证明n ＝k ＋1时，弄清左边增加的项，且明确变形目标. (3)掌握恒等变形常用的方法：①因式分解；②添拆项；③配方法. 题型二 用数学归纳法证明不等式例1 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N ＋，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图象上. (1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N ＋)，证明：对任意的n ∈N ＋，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1成立.(1)解 由题意得，S n ＝b n ＋r ， 当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r .所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1).由于b >0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列. 又a 1＝S 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，所以当a 2a 1＝b ，即b (b －1)b ＋r ＝b ，解得r ＝－1.(2)证明 由(1)及b ＝2知a n ＝2n －1.因此b n ＝2n (n ∈N ＋)，所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n >n ＋1.①当n ＝1时，左式＝32，右式＝2，左式>右式，所以结论成立.②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时结论成立， 即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k>k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…·2k ＋12k ·2k ＋32(k ＋1)>k ＋1·2k ＋32(k ＋1)＝2k ＋32k ＋1， 要证当n ＝k ＋1时结论成立， 只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2，即证2k ＋32≥(k ＋1)(k ＋2)，由均值不等式得2k ＋32＝(k ＋1)＋(k ＋2)2≥(k ＋1)(k ＋2)成立，故2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立，所以当n ＝k ＋1时，结论成立.由①②可知，当n ∈N ＋时，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立.思维升华 用数学归纳法证明与n 有关的不等式，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化. 跟踪训练1 数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15·…·⎝⎛⎭⎫1＋12n －1> 2n ＋12均成立. 证明 ①当n ＝2时，左边＝1＋13＝43，右边＝52.∵左边>右边，∴不等式成立.②假设当n ＝k (k ≥2，且k ∈N ＋)时不等式成立， 即⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15·…·⎝⎛⎭⎫1＋12k －1>2k ＋12. 则当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15·…·⎝⎛⎭⎫1＋12k －1⎣⎡⎦⎤1＋12(k ＋1)－1 >2k ＋12·2k ＋22k ＋1＝2k ＋222k ＋1＝4k 2＋8k ＋422k ＋1>4k 2＋8k ＋322k ＋1＝2k ＋32k ＋122k ＋1＝2(k ＋1)＋12.∴当n ＝k ＋1时，不等式也成立.由①②知对一切大于1的自然数n ，不等式都成立.题型三 归纳—猜想—证明命题点1 与函数有关的证明问题例2 设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数. (1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N ＋，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围. 解 由题设得g (x )＝x1＋x (x ≥0).(1)由已知，得g 1(x )＝x1＋x ，g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x1＋2x ，g 3(x )＝x 1＋3x ，…，可猜想g n (x )＝x 1＋nx. 下面用数学归纳法证明.①当n ＝1时，g 1(x )＝x 1＋x，结论成立.②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时结论成立， 即g k (x )＝x1＋kx.则当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k (x )1＋g k (x )＝x 1＋kx 1＋x 1＋kx ＝x1＋(k ＋1)x ，即结论成立.由①②可知，结论对n ∈N ＋恒成立. (2)已知f (x )≥ag (x )恒成立， 即ln(1＋x )≥ax1＋x 恒成立.设φ(x )＝ln(1＋x )－ax1＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x －a(1＋x )2＝x ＋1－a (1＋x )2， 当a ≤1时，φ′(x )≥0(当且仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)， ∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增. 又φ(0)＝0，∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立， ∴当a ≤1时，ln(1＋x )≥ax1＋x恒成立(当且仅当x ＝0时等号成立). 当a >1时，对x ∈(0，a －1]，有φ′(x )≤0， ∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a －1)<φ(0)＝0.即当a >1时，存在x >0，使φ(x )<0， ∴ln(1＋x )≥ax1＋x不恒成立.综上可知，a 的取值范围是(－∞，1]. 命题点2 与数列有关的证明问题例3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－23，且S n ＋1S n ＋2＝a n (n ≥2).(1)计算S 1，S 2，S 3，S 4的值，猜想S n 的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论. (1)解 S 1＝a 1＝－23，S 2＋1S 2＋2＝S 2－S 1⇒S 2＝－34，S 3＋1S 3＋2＝S 3－S 2⇒S 3＝－45，S 4＋1S 4＋2＝S 4－S 3⇒S 4＝－56.由此猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2(n ∈N ＋).(2)证明 ①当n ＝1时，左边＝S 1＝a 1＝－23，右边＝－1＋11＋2＝－23.∵左边＝右边，∴原等式成立.②当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，假设S k ＝－k ＋1k ＋2成立，则当n ＝k ＋1时，S k ＋1＋1S k ＋1＋2＝S k ＋1－S k ，得1S k ＋1＝－S k －2＝k ＋1k ＋2－2＝k ＋1－2k －4k ＋2 ＝－k －3k ＋2＝－k ＋3k ＋2， ∴S k ＋1＝－k ＋2k ＋3＝－(k ＋1)＋1(k ＋1)＋2，∴当n ＝k ＋1时，原等式也成立.综合①②得对一切n ∈N ＋，S n ＝－n ＋1n ＋2成立.命题点3 存在性问题的证明例4 是否存在a ，b ，c 使等式⎝⎛⎭⎫1n 2＋⎝⎛⎭⎫2n 2＋⎝⎛⎭⎫3n 2＋…＋⎝⎛⎭⎫n n 2＝an 2＋bn ＋c n 对一切n ∈N ＋都成立，若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明你的结论. 解 取n ＝1,2,3，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，8a ＋4b ＋2c ＝5，27a ＋9b ＋3c ＝14，解得a ＝13，b ＝12，c ＝16.下面用数学归纳法证明⎝⎛⎭⎫1n 2＋⎝⎛⎭⎫2n 2＋⎝⎛⎭⎫3n 2＋…＋⎝⎛⎭⎫n n 2＝2n 2＋3n ＋16n ＝(n ＋1)(2n ＋1)6n . 即证12＋22＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)，①当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，∴等式成立； ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时等式成立， 即12＋22＋…＋k 2＝16k (k ＋1)·(2k ＋1)成立，则当n ＝k ＋1时，等式左边＝12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＝16k (k ＋1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2 ＝16[k (k ＋1)(2k ＋1)＋6(k ＋1)2] ＝16(k ＋1)(2k 2＋7k ＋6) ＝16(k ＋1)(k ＋2)·(2k ＋3)， ∴当n ＝k ＋1时等式成立； 综合①②得当n ∈N ＋时等式成立， 故存在a ＝13，b ＝12，c ＝16使已知等式成立.思维升华 “归纳—猜想—证明”属于探索性问题的一种，一般要经过计算、观察、归纳，然后猜想出结论，再用数学归纳法证明.在用这种方法解决问题时，应保证猜想的正确性和数学归纳法步骤的完整性.跟踪训练2 已知正项数列{a n }中，对于一切的n ∈N ＋均有a 2n ≤a n －a n ＋1成立. (1)证明：数列{a n }中的任意一项都小于1； (2)探究a n 与1n的大小关系，并证明你的结论.证明 (1)由a 2n ≤a n －a n ＋1，得a n ＋1≤a n －a 2n .∵在数列{a n }中，a n >0， ∴a n ＋1>0，∴a n －a 2n >0， ∴0<a n <1，故数列{a n }中的任何一项都小于1. (2)由(1)知0<a 1<1＝11，那么a 2≤a 1－a 21＝－⎝⎛⎭⎫a 1－122＋14≤14<12， 由此猜想a n <1n.下面用数学归纳法证明：当n ≥2，且n ∈N ＋时猜想正确. ①当n ＝2时已证；②假设当n ＝k (k ≥2，且k ∈N ＋)时，有a k <1k 成立，那么1k ≤12，a k ＋1≤a k －a 2k＝－⎝⎛⎭⎫a k －122＋14 <－⎝⎛⎭⎫1k －122＋14＝1k －1k 2＝k －1k 2<k －1k 2－1＝1k ＋1， ∴当n ＝k ＋1时，猜想正确.综上所述，对于一切n ∈N ＋，都有a n <1n.1.若f (n )＝1＋12＋13＋…＋16n －1(n ∈N ＋)，则f (1)的值为( )A.1B.15C.1＋12＋13＋14＋15D.非以上答案答案 C解析 等式右边的分母是从1开始的连续的自然数，且最大分母为6n －1，则当n ＝1时，最大分母为5，故选C.2.已知f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的关系是( ) A.f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2 B.f (k ＋1)＝f (k )＋(k ＋1)2 C.f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋2)2 D.f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2 答案 A解析 f (k ＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋[2(k ＋1)]2＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.3.利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<f (n )(n ≥2，n ∈N ＋)的过程中，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加了( )A.1项B.k 项C.2k －1项D.2k 项 答案 D解析 令不等式的左边为g (n )，则g (k ＋1)－g (k )＝1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1－⎝⎛⎭⎫1＋12＋13＋…＋12k －1＝12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1， 其项数为2k ＋1－1－2k ＋1＝2k ＋1－2k ＝2k .故左边增加了2k 项.4.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( )A.k 2＋1B.(k ＋1)2C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22D.(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2答案 D解析 等式左边是从1开始的连续自然数的和，直到n 2.故n ＝k ＋1时，最后一项是(k ＋1)2，而n ＝k 时，最后一项是k 2，应加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2.5.设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足当f (k )≥k ＋1成立时，总能推出f (k ＋1)≥k ＋2成立，那么下列命题总成立的是( ) A.若f (1)<2成立，则f (10)<11成立B.若f (3)≥4成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k ＋1成立C.若f (2)<3成立，则f (1)≥2成立D.若f (4)≥5成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k ＋1成立 答案 D解析 当f (k )≥k ＋1成立时，总能推出f (k ＋1)≥k ＋2成立，说明如果当k ＝n 时，f (n )≥n ＋1成立，那么当k ＝n ＋1时，f (n ＋1)≥n ＋2也成立，所以如果当k ＝4时，f (4)≥5成立，那么当k ≥4时，f (k )≥k ＋1也成立.6.用数学归纳法证明122＋132＋…＋1(n ＋1)2>12－1n ＋2，假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是_________________________________. 答案122＋132＋…＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋3解析 观察不等式中分母的变化便知.7.已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)，经计算得f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，则其一般结论为________________________________________________________________________. 答案 f (2n )>n ＋22(n ≥2，n ∈N ＋)解析 观察规律可知f (22)>2＋22，f (23)>3＋22，f (24)>4＋22，f (25)>5＋22，…，故得一般结论为f (2n )>n ＋22(n ≥2，n ∈N ＋).8.用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是________________. 答案1(2k ＋1)(2k ＋2)解析 不等式的左边增加的式子是 12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋2). 9.若数列{a n }的通项公式a n ＝1(n ＋1)2，记c n ＝2(1－a 1)·(1－a 2)…(1－a n )，试通过计算c 1，c 2，c 3的值，推测c n ＝________.答案 n ＋2n ＋1解析 c 1＝2(1－a 1)＝2×⎝⎛⎭⎫1－14＝32， c 2＝2(1－a 1)(1－a 2)＝2×⎝⎛⎭⎫1－14×⎝⎛⎭⎫1－19＝43， c 3＝2(1－a 1)(1－a 2)(1－a 3)＝2×⎝⎛⎭⎫1－14×⎝⎛⎭⎫1－19×⎝⎛⎭⎫1－116＝54， 故由归纳推理得c n ＝n ＋2n ＋1. 10.用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ·1·3·5…(2n －1)(n ∈N ＋)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时左边需增乘的代数式是________.答案 4k ＋2解析 用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n )＝2n ·1·3·5…(2n －1)(n ∈N ＋)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时左边需增乘的代数式是(k ＋1＋k )(k ＋1＋k ＋1)k ＋1＝2(2k ＋1). 11.求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N ＋). 证明 ①当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16>56，不等式成立. ②假设n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时命题成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56. 当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1) ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋⎝⎛⎭⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1 >56＋⎝⎛⎭⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1 >56＋⎝⎛⎭⎫3×13k ＋3－1k ＋1＝56. ∴当n ＝k ＋1时不等式亦成立.∴原不等式对一切n ≥2，n ∈N ＋均成立.12.已知点P n (a n ，b n )满足a n ＋1＝a n ·b n ＋1，b n ＋1＝b n 1－4a 2n(n ∈N ＋)，且点P 1的坐标为(1，－1). (1)求过点P 1，P 2的直线l 的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于n ∈N ＋，点P n 都在(1)中的直线l 上.(1)解 由点P 1的坐标为(1，－1)知，a 1＝1，b 1＝－1.所以b 2＝b 11－4a 21＝13，a 2＝a 1·b 2＝13. 所以点P 2的坐标为⎝⎛⎭⎫13，13.所以直线l 的方程为2x ＋y －1＝0.(2)证明 ①当n ＝1时，2a 1＋b 1＝2×1＋(－1)＝1成立.②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，2a k ＋b k ＝1成立，则2a k ＋1＋b k ＋1＝2a k ·b k ＋1＋b k ＋1＝b k 1－4a 2k (2a k ＋1) ＝b k 1－2a k ＝1－2a k 1－2a k＝1， 所以当n ＝k ＋1时，命题也成立.由①②知，对n ∈N ＋，都有2a n ＋b n ＝1，即点P n 都在直线l 上.13.平面内有n 条直线，最多可将平面分成f (n )个区域，则f (n )的表达式为( )A.n ＋1B.2nC.n 2＋n ＋22D.n 2＋n ＋1 答案 C解析 1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n 条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n )＝1＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋22个区域. 14.用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N ＋)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情况，只需展开( )A.(k ＋3)3B.(k ＋2)3C.(k ＋1)3D.(k ＋1)3＋(k ＋2)3答案 A解析 假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除.当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可.15.已知x i >0(i ＝1,2,3，…，n )，我们知道(x 1＋x 2)·⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2≥4成立. (1)求证：(x 1＋x 2＋x 3)⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＋1x 3≥9. (2)同理我们也可以证明出(x 1＋x 2＋x 3＋x 4)·⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＋1x 3＋1x 4≥16.由上述几个不等式，请你猜测一个与x 1＋x 2＋…＋x n 和1x 1＋1x 2＋…＋1x n(n ≥2，n ∈N ＋)有关的不等式，并用数学归纳法证明. (1)证明 方法一 (x 1＋x 2＋x 3)⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＋1x 3≥33x 1x 2x 3·331x 1·1x 2·1x 3＝9(当且仅当x 1＝x 2＝x 3时，等号成立). 方法二 (x 1＋x 2＋x 3)⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＋1x 3＝3＋⎝⎛⎭⎫x 2x 1＋x 1x 2＋⎝⎛⎭⎫x 3x 1＋x 1x 3＋⎝⎛⎭⎫x 3x 2＋x 2x 3≥3＋2＋2＋2＝9(当且仅当x 1＝x 2＝x 3时，等号成立).(2)解 猜想：(x 1＋x 2＋…＋x n )⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x n≥n 2(n ≥2，n ∈N ＋).证明如下：①当n ＝2时，由已知得猜想成立；②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时，猜想成立，即(x 1＋x 2＋…＋x k )⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x k≥k 2， 则当n ＝k ＋1时，(x 1＋x 2＋…＋x k ＋x k ＋1)⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x k ＋1x k ＋1 ＝(x 1＋x 2＋…＋x k )⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x k ＋(x 1＋x 2＋…＋x k )1x k ＋1＋x k ＋1⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x k ＋1 ≥k 2＋(x 1＋x 2＋…＋x k )1x k ＋1＋x k ＋1⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x k ＋1 ＝k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x k ＋1＋x k ＋1x 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x k ＋1＋x k ＋1x 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x k x k ＋1＋x k ＋1x k ＋1≥k 2＋2＋2＋…＋2＋1k 个＝k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2，所以当n ＝k ＋1时不等式成立.综合①②可知，猜想成立.。
【精选】理科数学(2020版)备考指南第9章 第8讲
第九章 第8讲[A 级 基础达标]1．方程x ＝1－y 2表示的图形是( ) A ．两个半圆 B ．两个圆 C ．圆 D ．半圆【答案】D【解析】由x ＝1－y 2，两边平方得x 2＋y 2＝1(x ≥0)，所以方程x ＝1－y 2表示的图形是半圆．2．方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( ) A ．两条直线 B ．两条射线C ．两条线段D ．一条直线和一条射线 【答案】D【解析】由(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0，得2x ＋3y －1＝0或x －3－1＝0，即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，表示的曲线是一条直线和一条射线．3．(2018年衡阳月考)对于曲线C ：x 24－k ＋y 2k －1＝1，给出下面四个命题：①曲线C 不可能表示椭圆；②“1＜k ＜4”是“曲线C 表示椭圆”的充分不必要条件； ③“曲线C 表示双曲线”是“k ＜1或k ＞4”的必要不充分条件； ④“曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆”是“1＜k ＜52”的充要条件．其中真命题的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 【答案】B【解析】①当1＜k ＜4且k ≠2.5时，曲线表示椭圆，所以①错误；②当k ＝2.5时，4－k ＝k －1，此时曲线表示圆，所以②错误；③若曲线C 表示双曲线，则(4－k )(k －1)＜0，解得k ＞4或k ＜1，所以“曲线C 表示双曲线”是“k ＜1或k ＞4”的充要条件，所以③错误；④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧k －1>0，4－k >0，4－k >k －1，解得1＜k ＜2.5，所以④正确．故选B ．4．已知点Q 是曲线y ＝x 2上的动点，点A 的坐标为(1,0)，则线段QA 的中点P 的轨迹方程是( )A ．y ＝2⎝⎛⎭⎫x －122 B ．y ＝(2x －1)2 C ．y ＝⎝⎛⎭⎫x －122 D ．y ＝12(x －1)2【答案】A【解析】设P (x ，y )，Q (x 0，y 0)，则由中点坐标公式得⎩⎨⎧x ＝x 0＋12，y ＝y2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y .因为点Q 在曲线y ＝x 2上，所以y 0＝x 20，所以2y ＝(2x －1)2，化简，得y ＝2⎝⎛⎭⎫x －122，故P 点的轨迹方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －122. 5．设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则点P 的轨迹方程是( )A ．y 2＝2xB ．(x －1)2＋y 2＝4C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝2【答案】D【解析】如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)，连接MA ，则MA ⊥P A ，且|MA |＝1，又因为|P A |＝1，所以|PM |＝|MA |2＋|P A |2＝2，即|PM |2＝2，所以(x －1)2＋y 2＝2.6．平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线【答案】A【解析】设C (x ，y )，因为OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，所以(x ，y )＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎨⎧λ1＝y ＋3x 10，λ2＝3y －x10.又λ1＋λ2＝1，所以y ＋3x 10＋3y －x10＝1，即x ＋2y ＝5，所以点C 的轨迹为直线．故选A ．7．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积为________．【答案】4π【解析】设P (x ，y )，由|P A |＝2|PB |， 得(x ＋2)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2， 所以3x 2＋3y 2－12x ＝0，即x 2＋y 2－4x ＝0. 所以P 的轨迹为以(2,0)为圆心、半径为2的圆． 所以轨迹所包围的面积等于4π.8．已知点A (1,0)，直线l ：y ＝2x －4，点R 是直线l 上的一点，若RA →＝AP →，则点P 的轨迹方程为________________________．【答案】y ＝2x【解析】设P (x ，y )，R (x 1，y 1)，由RA →＝AP →知，点A 是线段RP 的中点， 所以⎩⎨⎧x ＋x12＝1，y ＋y12＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2－x ，y 1＝－y . 因为点R (x 1，y 1)在直线y ＝2x －4上，所以y 1＝2x 1－4，所以－y ＝2(2－x )－4，即y ＝2x .9．如图所示，已知点A (－2,0)，B (2,0)．当△P AB 的周长为10时，求点P 的轨迹方程．【解析】根据题意知P A ＋PB ＋AB ＝10，即P A ＋PB ＝6>4＝AB ，故P 点的轨迹是椭圆且除去椭圆上和A ，B 共线的两点，且2a ＝6,2c ＝4，即a ＝3，c ＝2，b ＝5，因此P 点的轨迹方程为x 29＋y 25＝1(y ≠0)．10．已知A (－2,0)，B (2,0)，点C ，D 满足|AC →|＝2，AD →＝12(AB →＋AC →)，求点D 的轨迹方程．【解析】设C ，D 点的坐标分别为C (x 0，y 0)，D (x ，y )，则AC →＝(x 0＋2，y 0)，AB →＝(4,0)． AB →＋AC →＝(x 0＋6，y 0)，所以AD →＝12(AB →＋AC →)＝⎝⎛⎭⎫x 02＋3，y 02. 又AD →＝(x ＋2，y )，故⎩⎨⎧x 02＋3＝x ＋2，y2＝y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －2，y 0＝2y .代入|AC →|＝(x 0＋2)2＋y 20＝2，得x 2＋y 2＝1，即为所求点D 的轨迹方程．[B 级 能力提升]11．已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →，则动点P 的轨迹C 的方程为( )A ．x 2＝4yB ．y 2＝3xC ．x 2＝2yD ．y 2＝4x【答案】A【解析】设点P (x ，y )，则Q (x ，－1)． 因为QP →·QF →＝FP →·FQ →，所以(0，y ＋1)·(－x,2)＝(x ，y －1)·(x ，－2)， 即2(y ＋1)＝x 2－2(y －1)，整理得x 2＝4y . 所以动点P 的轨迹C 的方程为x 2＝4y .12．已知△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( )A ．x 29－y 216＝1B ．x 216－y 29＝1C ．x 29－y 216＝1(x >3)D ．x 216－y 29＝1(x >4)【答案】C【解析】如图，|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6<10＝|AB |，根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支(y ≠0)，方程为x 29－y 216＝1(x >3)．13．已知⊙O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，⊙O ′的方程是x 2＋y 2－8x ＋10＝0，若由动点P 向⊙O 和⊙O ′所引的切线长度相等，则动点P 的轨迹方程是( )A ．x ＝12B ．x ＝32C ．y ＝12D ．y ＝32【答案】B【解析】设P (x ，y )，由圆O ′的方程为(x －4)2＋y 2＝6及已知AP ＝BP ，故OP 2－AO 2＝O ′P 2－O ′B 2，得OP 2－2＝O ′P 2－6，所以x 2＋y 2－2＝(x －4)2＋y 2－6.所以x ＝32，故动点P 的轨迹方程是x ＝32.14．在△ABC 中，A 为动点，B ，C 为定点，B ⎝⎛⎭⎫－a 2，0，C ⎝⎛⎭⎫a2，0(a ＞0)，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程是________________．【答案】16x 2a 2－16y 23a 2＝1(x ＞0且y ≠0)【解析】由正弦定理得|AB |2R －|AC |2R ＝12×|BC |2R，即|AB |－|AC |＝12|BC |，故动点A 是以B ，C 为焦点，a2为实轴长的双曲线右支．即动点A的轨迹方程为16x 2a 2－16y 23a2＝1(x ＞0且y ≠0)．15．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________________．【答案】x 24a 2＋y 24b2＝1【解析】由于OQ →＝PF 1→＋PF 2→， 又PF 1→＋PF 2→＝2PO →＝－2OP →，设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝⎝⎛⎭⎫－x 2，－y 2， 即P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－x 2，－y 2.又P 在椭圆上，则有⎝⎛⎭⎫－x 22a 2＋⎝⎛⎭⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y24b2＝1. 16．已知动点P 到直线l ：x ＝－1的距离等于它到圆C ：x 2＋y 2－4x ＋1＝0的切线长(P 到切点的距离)．记动点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)点Q 是直线l 上的动点，过圆心C 作QC 的垂线交曲线E 于A ，B 两点，设AB 的中点为D ，求|QD ||AB |的取值范围．【解析】(1)由已知得，圆心为C (2,0)，半径r ＝ 3.设P (x ，y )，依题意可得 |x ＋1|＝(x －2)2＋y 2－3，整理得y 2＝6x . 故曲线E 的方程为y 2＝6x . (2)设直线AB 的方程为my ＝x －2， 则直线CQ 的方程为y ＝－m (x －2)， 可得Q (－1,3m )．将my ＝x －2代入y 2＝6x 并整理可得y 2－6my －12＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝6m ，y 1y 2＝－12， D (3m 2＋2,3m )，|QD |＝3m 2＋3. |AB |＝23(1＋m 2)(3m 2＋4)，所以⎝⎛⎭⎫|QD ||AB |2＝3m 2＋34(3m 2＋4)＝14⎝⎛⎭⎫1－13m 2＋4∈⎣⎡⎭⎫316，14，故|QD ||AB |∈⎣⎡⎭⎫34，12.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第六章 第4讲[A 级 基础达标]1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2n －1，则数列{a n }的前100项和S 100为( ) A ．399－5051 B ．3100－5051 C ．3101－5051 D ．3102－5051【答案】B【解析】由a n ＋1＝3a n ＋2n －1得a n ＋1＋(n ＋1)＝3(a n ＋n )，所以数列{a n ＋n }是以a 1＋1＝2为首项、3为公比的等比数列．所以a n ＋n ＝2·3n －1，a n ＝2·3n －1－n ，则S 100＝2×(30＋31＋32＋…＋399)－(1＋2＋…＋100)＝2×1×(1－3100)1－3－100×(1＋100)2＝3100－5051.故选B ．2．(2018年成都模拟)已知数列{a n }满足：当n ≥2且n ∈N *时，有a n ＋a n －1＝(－1)n ×3，则数列{a n }的前200项的和为( )A ．300B ．200C ．100D ．0【答案】A【解析】由a n ＋a n －1＝(－1)n ×3，可得a 2＋a 1＝3，a 4＋a 3＝3，a 6＋a 5＝3，…，a 200＋a 199＝3，则数列{a n }的前200项的和为(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 199＋a 200)＝3×100＝300.3．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( ) A ．200 B ．－200 C ．400 D ．－400【答案】B【解析】S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.4．(2018年天水模拟)设S n 是公差不为0 的等差数列{a n }的前n 项和，S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝－52，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1(2n ＋1)a n 的前n 项和为( )A ．－n2n ＋1B ．n 2n ＋1C ．－2n2n ＋1D ．2n2n ＋1 【答案】C【解析】设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由S 1，S 2，S 4成等比数列，且a 3＝－52，可得S 22＝S 1S 4，a 1＋2d ＝－52，即有(2a 1＋d )2＝a 1(4a 1＋6d )，解得d ＝－1，a 1＝－12.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－n ＋12，即有1(2n ＋1)a n ＝－2(2n －1)(2n ＋1)＝－⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，则前n 项和T n＝－⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝－2n 2n ＋1.故选C ． 5．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2016＝( ) A ．22016－1 B ．3·21008－3 C ．3·21008－1 D ．3·21007－2【答案】B【解析】a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，又a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n＝2n ＋12n ＝2，所以a n ＋2a n ＝2.所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列；a 2，a 4，a 6，…成等比数列．所以S 2016＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 2015＋a 2016＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2015)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2016)＝1－210081－2＋2(1－21008)1－2＝3·21008－3.故选B ．6．(2018年南宁模拟)已知等差数列{a n }满足a 3＝7，a 5＋a 7＝26，b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为( )A ．10125B ．3536C ．25101D ．310【答案】C【解析】在等差数列{a n }中，a 5＋a 7＝2a 6＝26⇒a 6＝13.又数列{a n }的公差d ＝a 6－a 36－3＝13－73＝2，所以a n ＝a 3＋(n －3)·d ＝7＋(n －3)×2＝2n ＋1，所以b n ＝1a 2n －1＝14n (n ＋1)＝14⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，故S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝14⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1⇒S 100＝14⎝⎛⎭⎫1－1101＝25101.7．(2018年吴忠模拟)若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n (n ∈N *)，则a 12＋a 23＋…＋a n n ＋1＝________________________________________________________________________.【答案】2n 2＋6n【解析】令n ＝1，得a 1＝4，所以a 1＝16.当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2＋3(n －1)，与已知式相减，得a n ＝(n 2＋3n )－(n －1)2－3(n －1)＝2n ＋2，所以a n ＝4(n ＋1)2，n ＝1时，a 1适合a n .所以a n ＝4(n ＋1)2，所以a n n ＋1＝4n ＋4，所以a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝n (8＋4n ＋4)2＝2n 2＋6n .8．(2018年新乡二模)已知数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若a n －b n ＝2n ＋1，且S n ＋T n ＝2n ＋1＋n 2－2，则2T n ＝________.【答案】n (n －1)【解析】数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，又a n －b n ＝2n ＋1，则a 1－b 1＝21＋1，a 2－b 2＝22＋1，…，a n －b n ＝2n ＋1，所以S n －T n ＝21＋22＋…＋2n ＋n ＝2n ＋1－2＋n ，① S n ＋T n ＝2n ＋1＋n 2－2，②由②－①，得2T n ＝n (n －1)．9．(2018年潍坊二模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，a n ＞0(n ∈N *)，S 6＋a 6是S 4＋a 4，S 5＋a 5的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 12a 2n －1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2b n b n ＋1的前n 项和为T n ，求T n .【解析】(1)因为S 6＋a 6是S 4＋a 4，S 5＋a 5的等差中项，所以2(S 6＋a 6)＝S 4＋a 4＋S 5＋a 5， 化简得4a 6＝a 4.因为a 1＝2，{a n }是等比数列，设公比为q ， 则q 2＝a 6a 4＝14.因为a n ＞0(n ∈N *)，所以q ＞0，所以q ＝12.所以a n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －2.(2)b n ＝log 12a 2n －1＝log 12⎝⎛⎭⎫122n －3＝2n －3，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －3. 所以1b n b n ＋1＝1(2n －3)(2n －1)＝12×⎝⎛⎭⎫12n －3－12n －1. 故2b n b n ＋1＝12n －3－12n －1.所以T n ＝(－1－1)＋⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －3－12n －1＝－1－12n －1＝－2n 2n －1. [B 级 能力提升]10．(2018年上饶二模)已知数列{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，且a 2017＋a 2018＝π，b 220＝4，则tan a 2＋a 4033b 1b 39＝( ) A ．－1 B ．22C ．1D ． 3【答案】C【解析】由等差数列与等比数列的性质可得a 2＋a 4033＝a 2017＋a 2018＝π，b 220＝4＝b 1b 39，所以tan a 2＋a 4033b 1b 39＝tan π4＝1.故选C ．11．在正数数列{a n }中，a 1＝2，且点()a 2n ，a 2n －1在直线x －9y ＝0上，则{a n }的前n 项和S n 等于( )A ．3n－1 B ．1－(－3)n2C ．1＋3n 2D ．3n 2＋n 2【答案】A【解析】在正数数列{a n }中，a 1＝2，且点(a 2n ，a 2n －1)在直线x －9y ＝0上，可得a 2n ＝9a 2n －1，即a n ＝3a n －1，可得数列{a n }为首项为2，公比为3的等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－3n )1－3＝3n －1.故选A ．12．(2018年安顺三模)各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S n ＝(a n ＋1)2对于一切n ∈N *都成立，若b n ＝2n a n ，则数列{b n }的前2018项的和为( )A ．4036×22019＋6B ．4033×22019＋6C ．4036×22018＋6D ．4033×22018＋6【答案】B【解析】当n ≥2时，4a n ＝4S n －4S n －1＝(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0.因为a n ＞0，所以a n －a n －1＝2.n ＝1时，由4a 1＝(a 1＋1)2，得a 1＝1.所以数列{a n }是等差数列，首项为1，公差为2.所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.所以b n ＝2n a n ＝(2n －1)·2n .故数列{b n }的前n 项的和T n ＝2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －1)·2n,2T n ＝22＋3×23＋…＋(2n －3)·2n ＋(2n －1)·2n ＋1，所以－T n ＝2＋2(22＋23＋…＋2n )－(2n －1)·2n ＋1＝2＋2×4(2n －1－1)2－1－(2n －1)·2n＋1，得T n ＝(2n －3)·2n ＋1＋6.所以T 2018＝4033×22019＋6.故选B ．13．设f (x )＝4x 4x ＋2，利用倒序相加法，可求得f ⎝⎛⎭⎫111＋f ⎝⎛⎭⎫211＋…＋f ⎝⎛⎭⎫1011的值为________． 【答案】5【解析】当x 1＋x 2＝1时，f (x 1)＋f (x 2)＝4x 14x 1＋2＋4x 24x 2＋2＝2×4x 1＋x 2＋2×(4x 1＋4x 2)4x 1＋x 2＋(4x 1＋4x 2)×2＋4＝1. 设S ＝f ⎝⎛⎭⎫111＋f ⎝⎛⎭⎫211＋…＋f ⎝⎛⎭⎫1011，倒序相加有2S ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫111＋f ⎝⎛⎭⎫1011＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫211＋f ⎝⎛⎭⎫911＋…＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫1011＋f ⎝⎛⎭⎫111＝10，即S ＝5.14．(2018年湖北模拟)在数列{a n }中，a n ＝n 2＋2n ＋2n 2＋2n ，其前n 项和为S n ，用符号[x ]表示不超过x 的最大整数．当[S 1]＋[S 2]＋…＋[S n ]＝63时，正整数n 的值为________．【答案】10【解析】a n ＝n 2＋2n ＋2n 2＋2n＝1＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2，所以S n ＝n ＋⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2＝n ＋⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＋⎝⎛⎭⎫12－1n ＋2.所以[S 1]＝1，[S 2]＝2，n ≥3时，[S n ]＝n ＋1.因为[S 1]＋[S 2]＋…＋[S n ]＝63,1＋2＋4＋…＋n ＋1＝63，即(n ＋1)(n ＋2)2－3＝63，解得n ＝10.15．(2018年河南郑州模拟)设正项等比数列{a n }中，a 4＝81，且a 2，a 3的等差中项为32(a 1＋a 2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝log 3a 2n －1，数列{b n }的前n 项和为S n ，数列{c n }满足c n ＝14S n －1，T n为数列{c n }的前n 项和，若T n ＜λn 恒成立，求实数λ的取值范围．【解析】(1)设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝a 1q 3＝81，a 1q ＋a 1q 2＝3(a 1＋a 1q )，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝3.所以a n ＝a 1q n －1＝3n .(2) 由(1)得，b n ＝log 332n －1＝2n －1， S n ＝n (b 1＋b n )2＝n [1＋(2n －1)]2＝n 2.所以c n ＝14S n －1＝14n 2－1＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，所以T n ＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 若T n ＝n 2n ＋1<λn 恒成立，则λ>12n ＋1(n ∈N *)恒成立，则λ>⎝⎛⎭⎫12n ＋1max ，所以λ>13.16．(2018年辽宁沈阳三模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋1，在等比数列{b n }中，b 1＝13，公比q ＝13.(1)求a n ；(2)令c n ＝a n ·b n ，设T n 为{c n }的前n 项和，求T n . 【解析】(1)因为数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋1，所以a 1＝S 1＝12＋1＝2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋1)－[(n －1)2＋1]＝2n －1.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.(2)因为在等比数列{b n }中，b 1＝13，公比q ＝13，所以b n ＝13×⎝⎛⎭⎫13n －1＝⎝⎛⎭⎫13n.所以当n ＝1时，c 1＝a 1b 1＝2×13＝23.当n ≥2时，c n ＝a n ·b n ＝(2n －1)×⎝⎛⎭⎫13n.所以c n＝⎩⎨⎧23，n ＝1，2n ·⎝⎛⎭⎫13n－⎝⎛⎭⎫13n，n ≥2.设M n ＝2×13＋4×⎝⎛⎭⎫132＋6×⎝⎛⎭⎫133＋…＋2n ×⎝⎛⎭⎫13n ，① 13M n ＝2×⎝⎛⎭⎫132＋4×⎝⎛⎭⎫133＋6×⎝⎛⎭⎫134＋…＋2n ×⎝⎛⎭⎫13n ＋1，② 由①－②得23M n ＝2⎣⎡⎦⎤13＋⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫133＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －2n ×⎝⎛⎭⎫13n ＋1＝2×13⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13－2n ×⎝⎛⎭⎫13n ＋1＝1－⎝⎛⎭⎫1＋2n 3×⎝⎛⎭⎫13n .所以M n ＝32－⎝⎛⎭⎫n ＋32×⎝⎛⎭⎫13n . 设N n ＝13＋⎝⎛⎭⎫132＋…＋⎝⎛⎭⎫13n ＝13⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13＝ 12－12⎝⎛⎭⎫13n ， 所以n ≥2时，T n ＝⎝⎛⎭⎫M n －23－⎝⎛⎭⎫N n －13＋23＝32－⎝⎛⎭⎫n ＋32×⎝⎛⎭⎫13n －12＋12⎝⎛⎭⎫13n ＋13＝43－(n ＋1)×⎝⎛⎭⎫13n.又T 1＝c 1＝23也满足上式，所以T n ＝43－(n ＋1)×⎝⎛⎭⎫13n ，n ∈N *.。