八年级数学乘法公式因式分解华东师大版
华东师大版八年级上因式分解多种方法 Microsoft Word 文档
因式分解知识点班级：姓名：备课人：一．因式分解定义：因式分解（分解因式），把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
在数学求根作图方面有很广泛的应用。
意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一分解因式技巧掌握：①分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。
注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑二．方法因式分解常用方法1．提公因式法①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.am＋bm＋cm＝m（a+b+c）③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的.如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的.2．运用公式法：①平方差公式：.a^2－b^2＝(a＋b)(a－b)②完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.3．分组分解法：分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法.分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式.4．十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中5.拆项、补项法：是把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形.6.换元法：有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
乘法公式与因式分解
乘法公式与因式分解乘法公式和因式分解是数学中常见的概念和工具。
它们在各个数学领域都有广泛的应用，尤其是在代数和方程中。
本文将详细介绍乘法公式和因式分解的概念、原理和应用。
一、乘法公式乘法公式是指将两个或多个数相乘所遵循的规则。
在代数中，乘法公式往往涉及到字母表示的变量和表达式。
以下是常见的乘法公式：1. 两个数的乘积等于它们的因数相乘：a * b = b * a。
2. 两个数相乘再乘以另一个数等于每个因数分别乘以这个数再相乘：(a * b) * c = a * (b * c)。
3. 任何数与1相乘等于它本身：a * 1 = a。
4. 任何数与0相乘等于0：a * 0 = 0。
乘法公式在解决方程、计算等多个数学问题中起着重要作用。
它们能够简化计算过程、发现规律、推导定理等。
二、因式分解因式分解是将一个数或表达式分解成多个因数相乘的过程。
它是乘法公式的逆运算。
因式分解在求解方程、因式的化简和分析函数图像等方面具有重要意义。
1. 将一个数分解成质因数的乘积是因式分解的基本思想。
质因数是指只能被1和自身整除的数，如2、3、5、7等。
例如，将12分解成质因数的乘积等于2 * 2 * 3。
2. 除法和因式分解之间有密切的关系。
将一个数分解成两个因数相乘，可以使用除法的思想。
例如，用因式分解的方法将24分解成2 * 12，相当于24除以2得到12。
3. 多项式的因式分解需要应用乘法公式的原理。
对于多项式，我们可以先找出公因式，然后使用乘法公式将多项式分解为多个因式相乘的形式。
例如，将x^2 - 4分解成(x - 2)(x + 2)。
因式分解不仅在代数中有重要应用，也在数论、几何等数学分支中有广泛的运用。
它能够帮助我们更好地理解数学问题，简化运算，并发现问题的规律和性质。
三、乘法公式与因式分解的应用乘法公式和因式分解在数学中有广泛的应用。
以下列举其中几个常见的应用：1. 方程的求解：通过应用乘法公式和因式分解，我们可以将方程进行变形和化简，从而更容易求得方程的解。
数学：13.5《因式分解》课件(华东师大版八年级上)-P
例： 下列各恒等变形若是因式分解，打“√” ； 若不是，打“×”．并说明理由: (4)2(b＋c)(b－c)＋2＝2(b2－c2＋1) ( √ )
【理由】等式的两边恒等，且符合因式分解 的意义．
例： 下列各恒等变形若是因式分解，打“√” ； 若不是，打“×”．并说明理由:
确定公因式的方法：
1、公因式的系数是多项式各项系数的最 大公约数。 2、字母取多项式各项中都含有的相同字 母。 3、相同字母的指数取各项中最小的一个， 即最低次幂。
例： 下列各恒等变形若是因式分解，打“√” ； 若不是，打“×”．并说明理由:
2a3b4+6a2b3=2ab3(a2b+3a)
( ×)
隐藏：包～｜暗～｜～龙卧虎｜他～起来了。可以看到当时学生运动的一个～。参加：～军｜～赛。②名盛饮料或其他液体的器具：酒～｜水～。②烟袋荷 包的坠饰。【镡】（鐔）Ｃｈáｎ名姓。【残忍】ｃáｎｒěｎ形狠读：手段凶狠～。③用在同类而意思相对的词或词素的前面， ９７８上下。废八股， 【补液】 ｂǔｙè①（－∥－）动把生理盐水等输入患者静脉， 也叫上苍。有天然的和人工的两种。②旧时称低级武职：武～｜马～。③（Ｂì）名姓。【不休】
【解】 原式＝an－1(an＋1－a2－1)．
1、概念.
2、几点注意：
（1）在多项式中找公因式应对系数和字母分 别考虑，公因式的系数是各项系数 的最大公约 数，字母是各项相同的字母 ，字母的指数取最 低的.
（2）提取公因式的依据是乘法分配律的变形.
（3）提取公因式要一次提尽.
【分析】首先确定各项的公因式为2xyz，于 是多项式可以写为
2xyz·3xy2＋2xyz·(－2y)＋2xyz·x2 m·a ＋ m·b ＋ m·c
八年级数学乘法公式因式分解华东师大版
初二数学乘法公式因式分解华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：乘法公式 因式分解教学目标：1. 会由整式的乘法推导乘法公式，了解两个乘法公式的几何背景。
2. 体会公式在运算中的应用，熟练地利用公式进行简单的计算。
3. 了解因式分解的意义，感受因式分解与整式乘法之间的互逆变形。
4. 会用提公因式法，公式法进行因式分解。
知识内容： 一. 乘法公式重点：理解掌握平方差公式，两数和的完全平方公式的结构特征，正确地应用公式。
1. 平方差公式：()()a b a b a b +-=-22它的结构特征是：①左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一个完全相同，另一个互为相反数。
②右边是乘式中两个项的平方差。
③公式中的a ，b 可以是任意一个整式（数、字母、单项式或多项式） 2. 两数和的完全平方公式：()a b a ab b +=++2222它的结构特征是：①左边是两个相同的二项式相乘。
②右边是二次三项式，首尾两项分别是二项式两项的平方，中间一项是二项式中两项积的2倍。
③式中的a ，b 可以是数，单项式或多项式。
3. 两数差的完全平方公式：()a b a ab b -=-+2222二. 因式分解重点：理解因式分解的含义，会用提公因式法和公式法进行因式分解。
1. 因式分解把一个多项式化为几个整式的乘积形式，就是因式分解。
因式分解与整式乘法互为逆运算。
2. 提公因式法多项式ma ＋mb ＋mc 中的每一项都含有一个相同的因式m ，我们称之为公因式。
把公因式提出来，多项式ma ＋mb ＋mc 就可以分解为两个因式m 和（a ＋b ＋c ）的乘积了，像这样因式分解的方法，叫提公因式法。
am bm cm m a b c ++=++()3. 公式法利用乘法公式对多项式进行因式分解的方法，叫公式法。
a b a b a b 22-=+-()() a ab b a b 2222++=+() a ab b a b 2222-+=-() 4. 分组分解法要把多项式am ＋an ＋bm ＋bn 分解因式，没有公因式可提，也不能直接运用公式，如果先把前两项分成一组，并提出公因式a ，把它的后两项分成另一组，提出公因式b ，从而得到a m n b m n ()()+++，这时又有公因式()m n +，于是提出()m n +，从而得到()()m n a b ++，这种方法叫分组分解法。
华东师大版八年级数学上册因式分解公式法课件
1002－2×100×99+99² 解：原式=（100－99)²
=1.
本题利用完全平方 公式分解因式的方 法，大大减少计算 量，结果准确.
当堂练习
1.把下列各式分解因式：
(1) 16a2-9b2
(4a+3b)(4a-3b)
(2) (a+b)2-(a-b)2
4ab
(3) 9xy3-36x3y
9xy(y+2x)(y-2x)
a2 ± 2 . a . b + b2
下列各式是不是完全平方式？
首2 2 首 尾 尾2
（1）a2－4a+4;
是 （2）1+4a²; 不是
（3）4b2+4b-1; （5）x2+x+0.25.
不是 （4）a2+ab+b2; 不是 是
分析： （2）因为它只有两项；
（3）4b²与-1的符号不统一； （4）因为ab不是a与b的积的2倍.
2、m²-6m+9=( m)²- 2·(m ) ·(3 )+( 3 )²=(m - 3 )² 3、a²+4ab+4b²=(a )²+2·( a ) ·(2b )+(2b )²=( a + 2b )²
a2 ± 2 . a . b + b2 = （ a ± b )²
首2 2 首 尾 尾2 (首 尾)2
三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止） 分解因式的一般步骤
二 运用完全平方公式因式分解
完全平方公式: a2 2ab b2 =（a ± b）2 完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍. 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成 完全平方形式，便实现了因式分解.
八年级数学上：12.5因式分解(第1课时)课件华师大版版
拓展 提升
1．已知：a＋b＝3，ab＝2，求下列各 式的值： (1)a2b＋ab2； (2)2（a+b)-3ab(a+b) 2. 先化简，再求值： 5x(a－2)＋4x(2－a)，其中x＝0.4，a＝102.
3.长和宽分别为a，b的长方形，它的周长为
14，面积为10，则a2b＋ab2的值是多少？
1、什么叫因式分解？
[归纳总结] 运用提公因式法因式分解的基本步骤： (1)确定应提取的公因式； (2)用公因式去除这个多项式，所得的商作为另一个因式； (3)把多项式写成这两个因式的积的形式． 注意：(1)公因式既可以是单项式，也可以是多项式． (2)确定一个多项式的公因式时，不仅要考虑字母因式，还 要考虑系数．对于系数，取各项系数的最大公因数作为公因式 的系数，对于字母因式，取相同字母因式的最低次幂． (3)若首项系数是负数，一般要先提出负号． (4)提公因式时，如果某项就是公因式或与公因式互为相反 数，提取后不能漏掉± 1. (5)将多项式因式分解时，必须分解到不能再分解为止．
[归纳总结] 在计算求值时， 若式子各项还有公因数， 先 提取公因数再计算，可使运算简便.
阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： 1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2 ＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)] ＝(1＋x)2(1＋x) ＝(1＋x)3 (1)上述分解因式的方法是___ ，共应用了____次． (2)若分解1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2004，则需 应用上述方法2004次，结果是____ ． (3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n （n为正整数)．
把一个多项式化成几个整式的积的形式，象这样的 式子变形叫把这个多项式因式分解。
华东师大版八年级：因式分解
因式分解1、了解因式分解的意义及其与整式的乘法之间的关系。
2、会用提公因式法、公式法进行因式分解。
一、因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式解。
注意: （1） 因式分解的对象是多项式；（2）因式分解的结果一定是整式乘积的形式；（3）分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止； （4） 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；（5） 结果如有相同因式，应写成幂的形式；（6）题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；（7） 因式分解的一般步骤是：①通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；②若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法； 二、因式分解的方法 1. 提公因式法提公因式法：多项式中的每一项都含有相同的因式，这个相同的因式叫做公因式．把多项式的公因式提出来，化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法．（公因式：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式）形如：)(c b a m mc mb ma ++=++教学目标学习内容知识梳理2．公式法(1)平方差公式：))((22b a b a b a -+=-. (2)完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±. 其中，222b ab a +±叫做完全平方式.(3)补充：2222)(222c b a ac bc ab c b a ++=+++++3．分组分解法形如：))(()()()()(b a n m n m b n m a bn bm an am bn bm an am ++=+++=+++=+++，把多项式进行适当的分组，分组后能够有公因式或运用公式，这样的因式分解方法叫做分组分解法. （1）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
乘法公式与因式分解
乘法公式与因式分解乘法公式和因式分解是数学中常见且重要的概念。
它们在代数运算和解决各种数学问题时起着关键作用。
本文将详细介绍乘法公式和因式分解的概念、应用以及解题方法。
一、乘法公式乘法公式是指一些常见的数学公式，用于求解乘法式子的结果。
常见的乘法公式包括：1. 两个整数相乘：a × b = c2. 平方的乘法公式：(a + b) × (a - b) = a^2 - b^23. 两个二次根式相乘：(a + b) × (c + d) = ac + ad + bc + bd4. 两个多项式相乘：(a + b)(c + d + e) = ac + ad + ae + bc + bd + be这些乘法公式在解决数学问题和代数运算时非常有用。
通过熟练掌握这些公式，可以简化计算过程，提高解题效率。
二、因式分解因式分解指将一个多项式分解成若干个乘法因子的过程。
因式分解的目的是简化多项式的形式，方便问题的求解。
因式分解可以根据多项式的不同形式采用不同的方法。
1. 提公因式法：对于一个多项式，如果各项之间存在公因子，可以将公因子提到括号外，并将其余部分化简为一个新的多项式。
例如，对于表达式4x + 8y，可以提取出2作为公因子，得到2(2x + 4y)。
2. 二次因式分解法：对于一个二次多项式，可以通过因式分解的方法将其分解为两个一次因式的乘积。
例如，对于多项式x^2 + 5x + 6，可以进行二次因式分解，得到(x + 2)(x + 3)。
3. 公式法：对于一些特定的多项式，可以利用一些常见的因式分解公式进行分解。
例如，对于多项式x^2 - 4，可以使用平方差公式进行因式分解，得到(x + 2)(x - 2)。
因式分解在解决代数方程、求解方程根和简化运算等方面具有广泛的应用。
熟练掌握因式分解的方法和技巧，可以帮助我们更好地解决各种数学问题。
三、应用举例下面通过几个具体的数学问题来展示乘法公式与因式分解的应用。
华师大版初中数学八年级上因式分解说课稿
一、课题介绍本节课选自华东师范大学出版社2007版初中数学八年级（上）第十三章整式的乘除第五节的内容的第一课时.二、教材分析1、本节在教材中的地位和作用因式分解是华东师大版八年级数学上册第十三章《整式的乘除》第五节课的内容.因式分解是代数式的一种重要恒等变形．又是分式通分、约分的基础知识, 就本节课而言，着重阐述了两个方面，一是因式分解的概念，二是与整式乘法的相互关系,它是继乘法的基础上来讨论因式分解概念，继而，通过探究与整式乘法的关系，来寻求因式分解的原理．这一思想实质贯穿后继学习的各种因式分解方法. 通过本节课的学习，不仅使学生掌握因式分解的概念和原理，而且又为后面学习因式分解作好了充分的准备,因此，它起到了承上启下的作用.2、目标分析根据新课程标准的要求以及结合本节教材内容的地位、作用、特点等，考虑初二年级学生的认知水平，我从以下三个方面确定本节课的教学目标：(1)知识目标（认知目标）：(a)理解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系；(b)理解公因式的概念和提公因式的方法；(c)会用提公因式法分解因式.(2)能力目标：通过对因式分解的学习，培养学生的创新意识和观察、抽象、概括类比、分析解决问题的能力.(3)情感目标：(a)感悟数学的简洁美;(b)培养学生学习数学的兴趣，增加学习的信心.3、教学重点与难点本节课理解因式分解的概念的本质属性是学习整章因式分解的关键，而学生由乘法到因式分解的变形是一个逆向思维．在前两节整式乘法的较长时间的学习，造成思维定势，学生容易产生“倒摄抑制”作用，阻碍学生新概念的形成．因此确定本节课的重点和难点如下：重点：用提公因式法分解因式;难点：确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式.三、教法分析根据建构主义的学习理论，学习是学习者主动建构新知识的过程在教学中，老师不仅要传授知识给学生，还要成为他们学习活动的促进者、指导者．初二学生已经接触过一些因式分解的类型，因此本节课主要通过师生之间的探索，引导学生归纳出因式分解的定义，让学生参与思考，主动探究，通过讲练结合的方式让学生掌握内容.本节课所渗透的数学思想有类比思想、归纳思想等.四、学法分析根据新课程标准理念，学生是学习的主体，教师只是学习的帮助者，引导者.考虑到这节课主要通过老师的引导让学生自己发现规律，在自己的发现中学到知识，提高能力，我主要引导学生自己观察、归纳、分析，采用自主探究的方法进行学习，并使学生从中体会学习的兴趣.五、教学过程1、复习引入问题：运用前面所学的知识填空：()()()()()()1__________;2523___________;3237118__________.m a b c x y z xy x y z ++=+-=+-+= 设计说明：从寻求简单算法入手的三个题目学生容易接受，由此提出因式分解的概念，一方面突出了多项式因式分解本质特征是一种式的恒等变形，另一方面也说明了它可以与因数分解进行比较，从而对因式分解的概念和方法有一个整体的认识，也渗透着数学中的类比思想.在讲解新知识之前，我先让学生先完成下面的几个填空题：()()()22221_________;210515___________;36142216________.ma mb mc x y z xy x y xy x y ++=+-=+-+= 鼓励学生根据整式乘法与逆向思维原理对上面三个题进行计算，若有学生能正确给出答案，要及时予以表扬、鼓励；若没有的话，就再次解说复习时所做的填空题，引导学生观察所填的内容和此题的题干之间的联系，等学生都把答案说出来之后，我再归纳整理并板书：像这样，把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解(factorization),也叫做把这个多项式分解因式.2、展示新知辨一辨：下列变形是否是因式分解？为什么？()()22133;x xy y y x x -+=-()()2222314;x x x +-=+-()()()2232111;x y xy xy xy +-=+-()()22141.n n n n x x x x x x ++-+=-+有了因式分解的概念之后，为巩固概念，根据变式理论我特意设置了辨一辨环节共四个小题，它们都不是因式分解，从侧面巩固了概念．在辨一辨之后，我再让学生回头看做的第二个填空题，请学生归纳我板书：多项式ma mb mc ++中的每一项都含有相同的因式m ，我们称之为公因式（common factor ）．把公因式提出来，把多项式分解成几个整式的乘积的方法叫做提公因式法.显然，由定义知，提公因式法的关键是如何正确的找到公因式．让学生观察上面的公因式的特点，找出确定公因式的方法：（1）公因式的系数应取各项系数的最大公约数；（2）字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数最低的．有了找公因式的方法，接下来当然就是练习找公因式了．我设置了如下四个例题：例1：指出下列各多项式中各项的公因式：()1;ax ay az ++()2236;mx mx -()23410;a ah +()224.x y xy +设计说明：理解清楚因式分解的概念和公因式的概念时教学继续进行的关键，而所谓的因式分解就是把多项式化为积的形式，分清它与整式乘法的关系对因式分解的概念的建立很有必要，而在学生中间展开辨析，讨论是一种有效的方法.3、例题讲解，运用新知（通过实例演练，形成技能）学习了新的知识，就要会用它解决问题．结合本节课开始给出的第二个填空题，加深对概念的理解记忆，同时给他们“学以致用”的思想.例2：请同学们把下列多项式分解因式：()()()()()323321812;22;341618.a b ab c a b c b c a a a ++-+-+-和学生一起解答这三个问题之后，做出点评：(1)提出公因式后，要满足另一个因式不再有公因式才行.概括为：括号里分到“底”．这里“底”是指到不能再分解为止.(2)公因式可以是单项式也可以是多项式，是多项式时应整体考虑直接提出.当1作为项的系数时，通常可以省略．但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，概括为：某项提出莫漏1.(3)如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”，是括号内的第一项的系数是正的.在提出“-”时，多项式的各项都要变号．概括为：首项有负常提负.设计说明：例题是确定公因式和如何提供因式分解方法的具体化，根据学生的心理和发展水平，此处学生自己处理会问题较多，所以我会细致讲解，要让学生清楚的知道具体的方法和步骤．讨论清楚各种类型多项式提供因式时处理的方法，是本节课的核心和关键.4、巩固练习根据夸美纽斯的教学巩固性原则，为了培养学生独立解决问题的能力，在例题讲解之后，通过请个别同学上讲台演算，其他同学在草稿本上完成练习，教师巡视的方式来掌握学生的学习情况，从而对讲解的内容做适当的补充和提醒.用提公因式法将下列各式因式分解：()()()()()133;2555;332.a b x y z x a b y a b +-+-+- 设计说明：针对本节课的重点，有目的的设计了两个练习，已达到深化理解所学内容，形成因式分解解题技能的目的，同时充分让学生暴露问题，以便查漏补缺.5、总结提炼问题：用提公因式法分解因式要注意哪些问题呢？做出概括：各项有“公”先提“公”，首项有负常提负，某项提出莫忘1，括号里面分到“底”.设计说明：每节课后设置小结环节，目的是使学生养成反思的习惯，为掌握知识、提高能力服务.6、作业布置知识的掌握需要由浅到深，由易到难．作业布置主要根据由简到难的原则，先让学生运用所学概念，再进一步到变形应用，巩固知识.（1）复习今天所学的知识点并预习这一节的另一个内容公式法分解因式；（2）书上41页练习题1,2(1)(2)和习题13.5 的1(1),2.（3）选做题：判断下面的因式分解正确吗？为什么？()3322222a b ab ab a b -=-五、板书设计板书设计的好坏直接影响这节课的效果，因此它起着举足轻重的作用．为了使整个板面重点突出，层次分明，我将黑板分为四版：第一版是新课的讲解，第二版是例1，第三版是例2，第四版作展现练习、总结以及作业；再借助小黑板板书复习引入时所用的两个填空题．这样的排版使学生一目了然.小黑板运用前面所学的知识填空：根据整式乘法和逆向思维原理填空：六、教学评价本节课时因式分解的第一节课，主要是建立因式分解的概念和用提公因式法进行因式分解．由于因式分解的主要目的是对多项式进行恒等变形，它的作用是应用于多项式的计算和化简，是数学中多时的基本运算之一，也由于因式分解的能力在具体应用中会得到不断的提高，所以现在对因式分解的题目的难度不宜过高．总之，本节课体现的是老师与学生交流，讲练结合的形式，让学生主动快乐的学习.。
华师版数学八年级上册 公式法
例4 把下列各式分解因式：
（1）3ax2 + 6axy + 3ay2；（2）(a+b)2 - 12(a + b) + 36.
分析：（1）中有公因式 3a，应先提出公因式，再进一 步分解因式；（2）中将 a + b 看成一个整体，设 a + b = m，则原式化为 m2 - 12m + 36. 解：(1)原式 = 3a(x2 + 2xy + y2) = 3a(x + y)2.
解：(1)原式 = ( x2 )2 - ( y2 )2
= ( x2 + y2 )( x2 - y2 ) = ( x2 + y2 )( x - y )( x - y ).
分解因式的 一般步骤
(2) 原式 = ab(a2 -1) ………… 一提（公因式） = ab(a +1)(a -1). …… 二套（公式）
(2)原式 = (a + b)2 - 2·(a + b)·6 + 62 = (a + b - 6)2.
例5 利用两数和(或差)平方公式简便计算：
(1) 1002 - 2×100×99 + 99²；
(2) 342 + 34×32 + 162.
本题利用两数和(或
解：(1) 原式 = (100 - 99)²
= (4m + n)(3n - 2m) = -(4m + n)(2m - 3n). 当 4m + n = 40，2m - 3n = 5 时，
原式 = -40×5 = -200.
公式法 因式分
解
公式
平方差公式：a2-b2 = (a + b)(a - b)
(完整版)最新华东师大版八年级数学上册知识点总结
第十一章：数的开方
知识点
内容
概念:如果一个数的平方等于 a，那
么这个数叫做 a 的平方根
算术平方根：正数 a 的正的平方根
平方根
立方根
实数
记作：√a
性质：正数有两个平方根，它们互
为相反数，0 的平方根是 0，负数
没有平方根
概念：如果一个数的立方等于 a,
那么这个数叫做 a 的立方根
= ( + )（ − ）
第十三章：全等三角形
知识点
全等三角形
内容
备注
性质：全等三角形的对应边和对应角相等
三角形全等的判定：
1. （边边边）S.S.S.：如果两个三角形的三条
边都对应地相等，那么这两个三角形全等。
2.（边、角、边）S.A.S.：如果两个三角形的其
中两条边都对应地相等，且两条边夹着的角都
第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么
这两个命题叫做互逆命题
考点：判断一个命题或定理
的逆命题为真为假
五个基本的作图方法：
考点：综合考察，例如用尺
规作图画直角三角形，等腰
三角形等等
①作一条线段等于已知线段
②作一个角等于已知角③作已知角的平分线
④过一点作已知线段的垂线
⑤作已知线段的垂直平分线
D
A
性质：①是特殊的等腰三角形，因此具有等腰
对应地相等，那么这两个三角形全等。
3.（角、边、角）A.S.A.：如果两个三角形的其
中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都
对应地相等的话，那么这两个三角形全等。
4.（角、角、边）A.A.S.：如果两个三角形的其
中两个角都对应地相等，且对应相等的角所对
华师大八上数学-因式分解方法汇总
解法四：添加两项 x2 x2
对应练习
分解因式：
（1）x9 x6 x 3 3
（2）(m2 1)(n2 1) 4mn
方法七：配方法
把一个式子或一个式子的部分写成完全 平方式或几个完全平方式的和的形式， 这种方法叫配方法。配方法的关键是通 过拆项或添项，将原多项式配上某些需 要的项，以便得到完全平方式 ，然后在 此基础上分解因式。
（3）按系数分组：把系数相同的项写在一起进行分 组。
在分组分解法时有时要用到拆项、添项的技巧。
例题1多项式
x2 y y2z z2x x2z y2x z2 y 2xyz
因式分解后的结果是 解：将原式重新整理成关于x的二次三项式，
则 原式= ( y z)x2 ( y2 z2 2 yz)x (zy 2 z2 y)
分组除具有尝试性外，还具有目的性，或者分组后能 出现公因式，或者能运用分式。分组分解法是因式分 解的基本方法，体现了化整体为局部，又有全局的思 想。如何分组是解题的关键。常见的分组方法有：
（1）按字母分组：把相同的字母的代数式写在一起；
（2）按次数分组：把多项式写成某一个字母的降幂 排列，再分组；
x3 1 2x2 5x 7 (x 1)(x2 x 1) (x 1)(2x 7) (x 1)(x 3)(x 2)
(12)原式= a4 2a2b2 b4 2ab(a2 b2 ) a2b2 (a2 b2 )2 2ab(a2 b2 ) a2b2
（3） (x y)(x y 2xy) (xy 1)(xy 1)
（4） 1999 x2 (1999 2 1)x 1999
2022秋八年级数学上册第12章整式的乘除12.5因式分解2公式法__平方差公式课件新版华东师大版
答案显示
a2－b2＝_(_a_＋__b_)_(a_－__b_)_，即两个数的平方差，等于这 两个数的和与这两个数的差的积．
1．【2020·金华】下列多项式中，能运用平方差公式分 解因式的是( C )
A．a2＋b2 B．2a－b2 C．a2－b2 D．－a2－b2
2．【中考·济宁】多项式4a－a3分解因式的结果是( B ) A．a(4－a2) B．a(2－a)(2＋a) C．a(a－2)(a＋2) D．a(2－a)2
(3)因式分解与整式乘法有互逆关系，请你利用a2－b2＝(a＋ b)(a－b)简算：
①999.92－0.12；
解：999.92－0.12 ＝(999.9－0.1)×(999.9＋0.1) ＝999.8×1 000 ＝99962 ＝356－3316×356＋3316 ＝－1138×1 ＝－1138.
任意两个奇数的平方差是8的倍数．
(3)说明这个规律的正确性．
解：设m、n为两个整数，两个奇数可分别表示为2m＋1和 2n＋1，则(2m＋1)2－(2n＋1)2＝4(m－n)(m＋n＋1)．①当 m、n同是奇数或同是偶数时，m－n一定为偶数，所以4(m －n)一定是8的倍数；②当m、n一奇一偶时，m＋n＋1一 定为偶数，所以4(m＋n＋1)一定是8的倍数．综上所述， 任意两个奇数的平方差是8的倍数．
【点拨】设较小的偶数为2n，则较大的偶数为2n＋2， 则(2n＋2)2－(2n)2＝(2n＋2＋2n)(2n＋2－2n)＝2(4n＋2) ＝4(2n＋1)． ∴能被4整除，故选C.
15．【中考·宜昌】小强是一位密码编译爱好者，在他的
密码手册中，有这样一条信息：a－b、x－y、x＋y、
a＋b、x2－y2、a2－b2分别对应下列六个字：昌、爱
华师大版初中数学八年级上册电子课本
（1） 144 的平方根是什么? （2） 0 的平方根是什么?
4
（3） 25 的平方根是什么? （4） －４有没有平方根?为什么? 请你自己也编三道求平方根的题目，并给出解答．
概括
一个正数如果有平方根数的范围从有理数扩充到实数以后（本章 第２节），每一个正实数必定有两个平方根．，那么必定有两个，它们 互为相反数．显然，如果我们知道了这两个平方根中的一个，那么立 即可以得到它的另一个平方根．
本章主要研究整式的乘法与除法运算其运算法则从根本上说是幂的运算amananm?amananm?amnamnabnanbn单项式乘以单项式单项式乘以多项式多项式乘以多项式因式分解提公因式法公式法单项式除以单项式多项式除以单项式乘法公式ababa2b2ab2a22abb2第44页共132页运用了数的运算律最终都可以归结为单项式乘以单项式与单项式除以单项式其中幂的运算是它们的基础
华东师大版八年级数学上册教材
目录 第 12 章 数的开方 §12.1 平方根与 立方根 1.平方根 2.立方根 §12.2 实 数 与 数 轴 阅 读 材料 为 什么 说 2 不是有理数
5 的算法 小结
复习题
第 13 章整式的乘除
§13.1 幂的运算 1. 同底数幂的乘法 2. 幂的乘方 3. 积的乘方 4. 同底数幂的除法
思考
负数有平方根吗?
求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．将一个正数开平方，
关键是找出它的一个算术平方根．
在例 1 中，100 的算术平方根是 100＝10，100 的平方根是±100
＝±１０．
例 2 将下列各数开平方：
（1）49；
（2）1.69
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解（1） 因为 7 2 ＝49，所以 49 ＝7，因此 49 的平方根为±７；
华师大版八年级数学上册《因式分解及提取公因式》课件
例3. 把 -24x3 –12x2 +28x 分解因式.
解：原式= (24x3 12x2 28x ) = 4x (24x3÷4x+12x2÷4x-28x÷4x) = 4x (6x2+3x-7)
当多项式第一项系数是 负数时，通常先提出“-” 号，使括号内第一项系 数变为正数，注意括号
内各项都要变号。
• 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月下午6时20分22.4.1218:20April 12, 2022 • 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022年4月12日星期二6时20分57秒18:20:5712 April 2022 • 书籍是屹立在时间的汪洋大海中三看指数
例1 把8a3b2 + 12ab3c 分解因式.
最大公约数
相同字母 最低指数
4
一看系数
a,b
4ab2
二看字母 三看指数
解:8a3b2+12ab3c =4ab2•2a2+4ab2•3bc =4ab2(2a2+3bc).
例2 把 2a(b+c) -3(b+c)分解因式. 分析:( b+c)是这个式子的公因式 解: 2a(b+c) – 3(b+c) =(b+c)(2a-3).
分解因式与整式乘法有何关系?
整式的积 多项式 多项式 整式的积
3x(x-1)= 3x2 -,3x 3x2-3x=3_x_(_x_-_1_)___
整式乘法
分解因式
分解因式与整式乘法有什么关系？
分解因式与整式乘法是互逆 过程
如图，一块场地由三个矩形组成， 这些矩形的长分别是a、b、c，宽 都是m，如何计算这块场地的面积 呢？
12.5 因式分解(第2课时 运用两数和乘以这两数的差公式因式分解)
利用因式分解计算
巩固
4. 计算：
(65 1 )2 (34 1 )2
2
2
探究 根据数的开方知识填空：
4 ( )2
3 ( )2
结论：
a ( a )2 (a 0)
范例 例4 在实数范围内因式分解：
(1)x2 3
(2) 5 4a2
巩固 5.在实数范围内因式分解：
4
范例 例2 因式分解：
(1)16(x y)2 9(x y)2 (2) 4 (2m n)2
25
把括号看作一个整体
巩固 4. 把下列各式因式分解：
(1)(a b)2 c2 (2)( x p)2 (x q)2 (3)( x y)2 (z m)2
范例 例3 简便计算：
作业
2.已知 a b 3, a2 b2 12， 求 a b 的值。
范例 例1 因式分解：
(1)x2 4 (2) 4n2 9m2
先确定a2和b2
巩固
2.下列多项式能否用两数和乘以这两数 的差的公式因式分解？
x2 y2
x2 y2
x2 y2
x2 y2
a2和b2的符号相反
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
巩固 3. 因式分解：
(1) 9 4x2 (2)x2 y2 1 z2
探究
Ⅰ.怎样将多项式 a 2 b2 进行因式分
解？
(a b)(a b) a2 b2
整式乘法
a2 b2 (a b)(a b)
因式分解
归纳
因式分解方法
公式法分解因式：
两数的平方差，等于这两数的和 与这两数差的积。
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初二数学乘法公式因式分解华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：乘法公式 因式分解教学目标：1. 会由整式的乘法推导乘法公式，了解两个乘法公式的几何背景。
2. 体会公式在运算中的应用，熟练地利用公式进行简单的计算。
3. 了解因式分解的意义，感受因式分解与整式乘法之间的互逆变形。
4. 会用提公因式法，公式法进行因式分解。
知识内容：一. 乘法公式重点：理解掌握平方差公式，两数和的完全平方公式的结构特征，正确地应用公式。
1. 平方差公式：()()a b a b a b +-=-22它的结构特征是：①左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一个完全相同，另一个互为相反数。
②右边是乘式中两个项的平方差。
③公式中的a ，b 可以是任意一个整式（数、字母、单项式或多项式） 2. 两数和的完全平方公式：()a b a ab b +=++2222 它的结构特征是：①左边是两个相同的二项式相乘。
②右边是二次三项式，首尾两项分别是二项式两项的平方，中间一项是二项式中两项积的2倍。
③式中的a ，b 可以是数，单项式或多项式。
3. 两数差的完全平方公式：()a b a ab b -=-+2222二. 因式分解重点：理解因式分解的含义，会用提公因式法和公式法进行因式分解。
1. 因式分解把一个多项式化为几个整式的乘积形式，就是因式分解。
因式分解与整式乘法互为逆运算。
2. 提公因式法多项式ma ＋mb ＋mc 中的每一项都含有一个相同的因式m ，我们称之为公因式。
把公因式提出来，多项式ma ＋mb ＋mc 就可以分解为两个因式m 和（a ＋b ＋c ）的乘积了，像这样因式分解的方法，叫提公因式法。
am bm cm m a b c ++=++() 3. 公式法利用乘法公式对多项式进行因式分解的方法，叫公式法。
a b a b a b 22-=+-()() a ab b a b 2222++=+() a ab b a b 2222-+=-() 4. 分组分解法要把多项式am ＋an ＋bm ＋bn 分解因式，没有公因式可提，也不能直接运用公式，如果先把前两项分成一组，并提出公因式a ，把它的后两项分成另一组，提出公因式b ，从而得到a m n b m n ()()+++，这时又有公因式()m n +，于是提出()m n +，从而得到()()m n a b ++，这种方法叫分组分解法。
5. 分解的步骤一般是： （1）先提公因式提公因式时，公因式的系数是多项式中各因式的最大公约数，公因式中字母的指数应是各因式中相同字母的指数取最小的。
【典型例题】例1. 分解因式（1）553x x - （2）x 24-（3）a a b ab 3222-+分析：（1）先提公因式5x ，提公因式后另一个因式为12-x ，仍可用平方差公式继续分解。
解：555151132x x x x x x x -=-=+-()()() 分析：（2）可直接用平方差公式 解：x x x 2422-=-+()()分析：（3）各项都含有公因式a ，应先提公因式，再用完全平方公式继续分解。
解：a a b ab a a ab b a a b 32222222-+=-+=-()()例2. 下列式子中，总能成立的是（ ） A. ()a a -=-1122 B. ()a a a +=++1122 C. ()()a a a a +-=-+1112 D. ()()a a a +-=-1112分析：根据平方差公式和完全平方公式的结构特征()a a a -=-+12122，()a a a +=++12122，()()a a a +-=-1112，故A 、B 、C 均不正确；D 中将a +1化为1+a ，()()()()a a a a +-=+-1111符合平方差公式的结构特征。
答案：D方法提炼：例题是让同学们把握平方差公式与两数和的完全平方公式的项和结构特征，能正确地应用公式，同时提醒只有符合公式的特征，才能运用公式，不可滥用公式。
难点：正确的应用公式进行简便计算：注意有的学生容易把平方差公式：()()a b a b a b +-=-22与完全平方公式：()a b a ab b +=++2222混淆，这两个公式左边不一样，完全平方公式的左边是两个相同的二项式，而平方差公式左边两个二项式不一样，里面有一项相同，另一项互为相反数。
例3. 运用乘法公式计算： （1）1997×2003 （2）1032.（3）()99232分析：本例中的计算如按常规计算，计算量大且较麻烦，根据这些算式的特征。
（1）可写成（2000－3）（2000＋3）运用平方差公式就简单多了。
（2）（3）可运用完全平方公式进行计算。
答案：（1）1997200320003200032000340000009399999122⨯=-+=-=-=()()； （2）1031003102100303106092222.(.)...=+=+⨯⨯+= （3）()()()992310013100210013132222=-=-⨯⨯+-=-+=10000662319993349方法提炼：有些特殊的乘法算式如果用乘法公式进行计算，既简便，又提高准确性，但应注意，算式必须完全符合乘法公式的特征。
例4. 计算()a b c ++2分析：式子()a b c ++2中有三个数，可以看作是两个数的和，从而利用公式，()[()]a b c a b c ++=++22或()[()]a b c a b c ++=++22或()[()]a b c b a c ++=++22答案：()[()]()()a b c a b c a b a b c c ++=++=++++22222=+++++=+++++a ab b ac bc cab c ab ac bc222222222222拓展延伸：几个数的和的平方，变形成两个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的乘积的2倍，例如()a b c d a b c d ab ac ad bc bd cd +++=+++++++++22222222222例5. （1）下列因式分解中错误的是（ ） A. 1913132-=+-aa a ()() B. a a a 221412-+=-()C. -+=-+mx my m x y ()D.14112112122a b ab ab -=+-()()（2）下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. ()()x x x +-=-3392B. x x x x 22121-+=-+() C. x x y y x y ()()-+=-44222D. x x x x 252438+-=+-()()分析：（1）中A 符合平方差公式，B 符合完全平方公式，D 符合平方差公式。
检验因式分解是否正确，可用整式乘法进行检验，因此C 项错误；（2）中，A 、B 不符合因式分解，D 项中将右边用多项式乘法展开后与左边不相等，故C 正确。
解：（1）C （2）C方法提炼：解答此类问题的关键是把握多项式的特征，是用提公因式法还是用公式法或两种方法的混用。
例6. 因式分解（1）33a ax b bx --+ （2）26332x x x +--分析：（1）前两项一组，后两项一组，或一三项一组，二四项一组。
（2）前两项一组，后两项一组或一三项一组，二四项一组。
解：（1）33333a ax b bx a x b x x a b --+=---=--()()()() 或原式=--+=---=--3333a b ax bx a b x a b a b x ()()()() （2）原式=+-+=+-+()()()()26321321322x x x x x x =-+()()x x 2321或原式=-+-=-+-=-+()()()()()()26323332132222x x x x x x x x拓展延伸：四项式的因式分解，通常采用“二二”分组和“一三”分组，而“二二”分组的方法有时并不唯一，分组后可用提公因式或公式法进行。
跟踪练习1：分解因式： （1）46322a b a b -+- （2）x y z yz 2222---解：（1）463223222a b a b a b a b a b -+-=+-+-()()() =-++()()223a b a b（2）x y z yz x y yz z x y z 2222222222---=-++=-+()() =++--()()x y z x y z例7. 已知()()a b a b 22228160++-+=，求a b 22+的值。
分析：此题看似麻烦，但隐含着公式条件可以化成()()a b a b 222228160+-++=，所以可以考虑用公式法进行分解从而达到降次的目的。
解：原式可化为()()a b a b 222228160+-++= ()a b 22240+-=∴+-=a b 2240 ∴+=a b 224方法提炼：用因式分解法，可以使有些计算简便，仔细观察题目，寻找题目中的隐含条件。
跟踪练习2：已知：a b b c -=+=-35，，求代数式ac bc a ab -+-2的值。
解： a b b c -=+=-35，∴+=-a c 2∴-+-=-+-=-+=⨯-=-ac bc a ab c a b a a b a b c a 2326()()()()()例8. 已知a b ab +==920，，求a b 22+的值。
分析：要求a b 22+的值，只在完全平方公式里出现了a b 22+，此题应考虑完全平方公式的变形，把完全平方公式化成含有a b 22+的形式。
答案： ()a b a b ab +=++2222∴+=+-=-⨯=a b a b ab 22222922041()方法提炼：这样的题目解决就是合理利用完全平方公式的变形()a b a ab b +=++2222，则a b a b ab 2222+=+-()，()()a b a b ab +--=224等。
【模拟试题】（答题时间：40分钟）一. 填空题1. ()()()x x x +-+=1112_________2. ()()--=-13121419224m n n m3. ()()[()][()]-+++-=-+=a b c a b c b b4. ()()()()x x x x n n n n 4216242+-++=5. ()2a b c +-=26. 若9422x m xy y ++是一个完全平方式，则m 的值是___________7. -+=+⋅x y xy x y 33()()()8. 分解因式：x a y a 2211()()-+-= 9. 分解因式：-+-=32448753x x x10. 已知x y xy +==1742，，则x y xy 22+=二. 解答题 1. 计算 （1）()()-+--2314142322m n n m（2）()()542542a b c a b c +---（3）()--a b 22（4）()x y z ++22. 已知x x 2310--=，求x x221+的值。