高二数学试卷

高二数学期末模拟试卷一．填空题（共14小题，满分70分）1．若数据2，x，2，2的方差为0，则x．2．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50，75）中的频数为100，则n的值为．3．双曲线﹣=1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e=．4．命题“若实数a满足a≤2，则a2＜4”的否命题是命题（填“真”、“假”之一）．5．从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x，则log2x为整数的概率为．6．若直线2x+（m+1）y+4=0与直线mx+3y+4=0平行，则m=．7．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣=l的右焦点，则双曲线的离心率为．8．设f（x）=4x3+mx2+（m﹣3）x+n（m，n∈R）是R上的单调增函数，则m的值为．9．在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是．10．已知点P在抛物线y2=4x上运动，F为抛物线的焦点，点M的坐标为（3，2），当PM+PF取最小值时点P的坐标为．11．已知动圆C与圆（x+1）2+y2=1及圆（x﹣1）2+y2=25都内切，则动圆圆心C 的轨迹方程为．12．以知f（x）是定义在区间[﹣1，1]上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x（x﹣1），则关于m的不等式f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0的解集为．13．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），B（1，0）均在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2外，且圆C上存在唯一一点P满足AP⊥BP，则半径r的值为．14．当x，y满足条件|x﹣1|+|y+1|＜1时，变量u=的取值范围是．二．解答题（共6小题,满分90分）15．根据我国发布的《环境空气质量指数AQI技术规定》（试行），AQI共分为六级：[0，50）为优，[50，100）为良，[100，150）为轻度污染，[150，200）为中度污染，[200，250），[250，300）均为重度污染，300及以上为严重污染．某市2013年11月份30天的AQI的频率分布直方图如图所示：（1）该市11月份环境空气质量优或良的共有多少天？（2）若采用分层抽样方法从30天中抽取10天进行市民户外晨练人数调查，则中度污染被抽到的天数共有多少天？（3）空气质量指数低于150时市民适宜户外晨练，若市民王先生决定某天早晨进行户外晨练，则他当天适宜户外晨练的概率是多少？16．已知a为实数，p：点M（1，1）在圆（x+a）2+（y﹣a）2=4的内部；q：∀x∈R，都有x2+ax+1≥0．（1）若p为真命题，求a的取值范围；（2）若q为假命题，求a的取值范围；（3）若“p且q”为假命题，且“p或q”为真命题，求a的取值范围．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．18．为了制作广告牌，需在如图所示的铁片上切割出一个直角梯形，已知铁片由两部分组成，半径为1的半圆O及等腰直角三角形EFH，其中FE⊥FH．为裁剪出面积尽可能大的梯形铁片ABCD（不计损耗），将点A，B放在弧EF上，点C、D放在斜边EH上，且AD∥BC∥HF，设∠AOE=θ．（1）求梯形铁片ABCD的面积S关于θ的函数关系式；（2）试确定θ的值，使得梯形铁片ABCD的面积S最大，并求出最大值．19．在平面直角坐标系中，设△ABC的顶点分别为A（0，2），B（﹣1，0），C（2，0），圆M是△ABC的外接圆，直线l的方程是（2+m）x+（2m﹣1）y﹣3m﹣1=0（m∈R）（1）求圆M的方程；（2）证明：直线l与圆M相交；（3）若直线l被圆M截得的弦长为3，求l的方程．20．已知a为实数，函数f （x）=a•lnx+x2﹣4x．（1）是否存在实数a，使得f （x）在x=1处取极值？证明你的结论；（2）若函数f （x）在[2，3]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（3）设g（x）=2alnx+x2﹣5x﹣，若存在x0∈[1，e]，使得f （x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围．高二数学试卷参考答案与试题解析一．填空题（共14小题，满分70分）1．若数据2，x，2，2的方差为0，则x=2．【解答】解：因为数据2，x，2，2的方差为0，由其平均数为，得到=0，解得x=2；故答案为：2．2．为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中，其频率分布直方图如图所示．已知在[50，75）中的频数为100，则n的值为1000．【解答】解：阅读时间在[50，75）中的频率为：0.004×25=0.1，样本容量为：n=100÷0.1=1000．故答案为：1000．3．双曲线﹣=1的右焦点到渐近线的距离是其到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e=．【解答】解：双曲线﹣=1的右焦点为（c，0），左顶点为（﹣a，0），右焦点到双曲线渐近线bx﹣ay=0的距离为：==b，右焦点（c，0）到左顶点为（﹣a，0）的距离为：a+c，由题意可得，b=（a+c），即有4b2=a2+c2+2ac，即4（c2﹣a2）=a2+c2+2ac，即3c2﹣5a2﹣2ac=0，由e=，则有3e2﹣2e﹣5=0，解得，e=．故答案为：．4．命题“若实数a满足a≤2，则a2＜4”的否命题是真命题（填“真”、“假”之一）．【解答】解：命题的否命题为：“若实数a满足a＞2，则a2≥4”∵a＞2∴a2＞4∴a2≥4∴否命题为真命题故答案为：真5．从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x，则log2x为整数的概率为．【解答】解：从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取一个数记为x，共有9种基本事件，其中log2x为整数的x=1，2，4，8共4种基本事件，故则log2x为整数的概率为，故答案为：．6．若直线2x+（m+1）y+4=0与直线mx+3y+4=0平行，则m=﹣3．【解答】解：∵直线2x+（m+1）x+4=0与直线mx+3y+4=0平行，∴，由，解得m=﹣3，或2，又1，∴m≠2，∴m=﹣3，故答案为：﹣3．7．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣=l的右焦点，则双曲线的离心率为2．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），则双曲线﹣=l的右焦点为（2，0），即有c==2，∴a=1，可得双曲线的离心率为e==2．故答案为：2．8．设f（x）=4x3+mx2+（m﹣3）x+n（m，n∈R）是R上的单调增函数，则m的值为6．【解答】解：根据题意，得f′（x）=12x2+2mx+m﹣3，∵f（x）是R上的单调增函数，∴f′（x）≥0，∴△=（2m）2﹣4×12×（m﹣3）≤0即4（m﹣6）2≤0，所以m=6，故答案为：6．9．在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是．【解答】解：双曲线﹣y2=1的右准线：x=，双曲线渐近线方程为：y=±x，所以P（，），Q（，﹣），F1（﹣2，0）．F2（2，0）．则四边形F1PF2Q的面积是：=2．故答案为：2．10．已知点P在抛物线y2=4x上运动，F为抛物线的焦点，点M的坐标为（3，2），当PM+PF取最小值时点P的坐标为（1，2）．【解答】解：设点P在准线上的射影为D，由抛物线的定义可知PF=PD，∴要求PM+PF的最小值，即求PM+PD的最小值，只有当D，P，M三点共线时PM+PD最小，且最小值为3﹣（﹣1）=4令y=2，可得x=1，∴当PM+PF取最小值时点P的坐标为（1，2）．故答案为：（1，2）．11．已知动圆C与圆（x+1）2+y2=1及圆（x﹣1）2+y2=25都内切，则动圆圆心C的轨迹方程为．【解答】解：设圆（x+1）2+y2=1的圆心O1（﹣1，0），半径r1=1；圆（x﹣1）2+y2=25的圆心O2（1，0），半径r2=5．设动圆C的圆心C（x，y），半径R．∵动圆C与圆（x+1）2+y2=1及圆（x﹣1）2+y2=25都内切，∴|O1C|=R﹣1，|O2C|=5﹣R．∴|O1C|+|O2C|=5﹣1=4＞|O1O2|=2，因此动点C的轨迹是椭圆，设其标准方程为：．则2a=4，2c=2，解得a=2，c=1，∴b2=a2﹣c2=3．因此动圆圆心C的轨迹方程是．故答案为：．12．以知f（x）是定义在区间[﹣1，1]上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x（x﹣1），则关于m的不等式f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0的解集为[0，1）．【解答】解：由题意，奇函数f（x）是定义在[﹣1，1]上的减函数，不等式f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，即f（1﹣m）＜f（m2﹣1），则，即，解得0≤m＜1，即m∈[0，1）．故答案为：[0，1）．13．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），B（1，0）均在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=r2外，且圆C上存在唯一一点P满足AP⊥BP，则半径r的值为4．【解答】解：根据题意，点A（﹣1，0），B（1，0），若点P满足AP⊥BP，则点P在以AB为直径为圆上，设AB的中点为M，则M的坐标为（0，0），|AB|=2，则圆M的方程为x2+y2=1，若圆C上存在唯一一点P满足AP⊥BP，则圆C与圆M只有一个交点，即两圆外切，则有r+1=|MC|==5，解可得r=4，故答案为：4．14．当x，y满足条件|x﹣1|+|y+1|＜1时，变量u=的取值范围是（﹣，）．【解答】解：作出不等式|x﹣1|+|y+1|＜1对应的区域如图：u==，则u的几何意义表示点M（1，2）与点P（x，y）两点连线的斜率的倒数．画出可行域如图，当点P为区域内的点（0，﹣1）时，u max=，当点P为区域内的点（2，﹣1）时，u min=，故u的取值范围是（﹣，），故答案为：（﹣，）．二．解答题（共6小题,满分90分）15．根据我国发布的《环境空气质量指数AQI技术规定》（试行），AQI共分为六级：[0，50）为优，[50，100）为良，[100，150）为轻度污染，[150，200）为中度污染，[200，250），[250，300）均为重度污染，300及以上为严重污染．某市2013年11月份30天的AQI的频率分布直方图如图所示：（1）该市11月份环境空气质量优或良的共有多少天？（2）若采用分层抽样方法从30天中抽取10天进行市民户外晨练人数调查，则中度污染被抽到的天数共有多少天？（3）空气质量指数低于150时市民适宜户外晨练，若市民王先生决定某天早晨进行户外晨练，则他当天适宜户外晨练的概率是多少？【解答】解：（1）∵11月份共30天，∴由题意知样本容量为30，∵环境空气质量优或良的概率为（0.002+0.002）×50=0.2∴该市11月份环境空气质量优或良的共有0.2×30=6天；（2）∵中度污染的概率为0.006×50=0.3，∴11月份30天中由9天是中度污染，又每一天被抽到的概率相等，∴抽取10天，中度污染被抽到的天数共有0.3×10=3天；（3）设“市民王先生当天适宜户外晨练”为事件A，则P（A）=（0.002+0.002+0.008）×50=0.6．16．已知a为实数，p：点M（1，1）在圆（x+a）2+（y﹣a）2=4的内部；q：∀x∈R，都有x2+ax+1≥0．（1）若p为真命题，求a的取值范围；（2）若q为假命题，求a的取值范围；（3）若“p且q”为假命题，且“p或q”为真命题，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵p：点M（1，1）在圆（x+a）2+（y﹣a）2=4的内部∴（1+a）2+（1﹣a）2＜4，解得﹣1＜a＜1，故p为真命题时a的取值范围为（﹣1，1）．（2）∵q：∀x∈R，都有x2+ax+1≥0∴若q为真命题，则△=a2﹣4≤0，解得﹣2≤a≤2，故q为假命题时a的取值范围（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．（3）∵“p且q”为假命题，且“p或q”为真命题∴p与q一真一假，从而①当p真q假时有，无解；②当p假q真时有，解得﹣2≤a≤﹣1或1≤a≤2．∴实数a的取值范围是[﹣2，﹣1]∪[1，2]．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e==，则a=2c，①椭圆的准线方程x=±，由2×=8，②由①②解得：a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：；（2）方法一：设P（x 0，y0），则直线PF2的斜率=，则直线l2的斜率k2=﹣，直线l2的方程y=﹣（x﹣1），直线PF 1的斜率=，则直线l2的斜率k1=﹣，直线l1的方程y=﹣（x+1），联立，解得：，则Q（﹣x0，），由P，Q在椭圆上，P，Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则y0=，∴y02=x02﹣1，则，解得：，则，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．方法二：设P（m，n），由P在第一象限，则m＞0，n＞0，当m=1时，不存在，解得：Q与F 1重合，不满足题意，当m≠1时，=，=，由l 1⊥PF1，l2⊥PF2，则=﹣，=﹣，直线l1的方程y=﹣（x+1），①直线l2的方程y=﹣（x﹣1），②联立解得：x=﹣m，则Q（﹣m，），由Q在椭圆方程，由对称性可得：=±n2，即m2﹣n2=1，或m2+n2=1，由P（m，n），在椭圆方程，，解得：，或，无解，又P在第一象限，所以P的坐标为：P（，）．18．为了制作广告牌，需在如图所示的铁片上切割出一个直角梯形，已知铁片由两部分组成，半径为1的半圆O及等腰直角三角形EFH，其中FE⊥FH．为裁剪出面积尽可能大的梯形铁片ABCD（不计损耗），将点A，B放在弧EF上，点C、D放在斜边EH上，且AD∥BC∥HF，设∠AOE=θ．（1）求梯形铁片ABCD的面积S关于θ的函数关系式；（2）试确定θ的值，使得梯形铁片ABCD的面积S最大，并求出最大值．【解答】解：（1）连接OB，根据对称性可得∠AOE=∠BOF=θ且OA=OB=1，∴AD=1﹣cosθ+sinθ，BC=1+cosθ+sinθ，AB=2cosθ，∴，其中；（2）记，f′（θ）=2（cos2θ﹣sinθ﹣sin2θ）=．当时，f′（θ）＞0，当时，f′（θ）＜0，∴，即时，．19．在平面直角坐标系中，设△ABC的顶点分别为A（0，2），B（﹣1，0），C（2，0），圆M是△ABC的外接圆，直线l的方程是（2+m）x+（2m﹣1）y﹣3m﹣1=0（m∈R）（1）求圆M的方程；（2）证明：直线l与圆M相交；（3）若直线l被圆M截得的弦长为3，求l的方程．【解答】解：（1）∵△ABC的顶点分别为A（0，2），B（﹣1，0），C（2，0），故线段BC的垂直平分线方程为x=，线段AC的垂直平分线为y=x，再由圆心M在这2条边的垂直平分线上，可得M （，），故圆的半径为|MC|==，故圆的方程为+=．（2）根据直线l的方程是（2+m）x+（2m﹣1）y﹣3m﹣1=0（m∈R），即m（x+2y﹣3）+2x﹣y﹣1=0，由可得，故直线经过定点N（1，1）．由于MN==＜r=，故点N在圆的内部，故圆和直线相交．（3）∵直线l被圆M截得的弦长为3，故圆心M（，）到直线l的距离为d==．再根据点到直线的距离公式可得=，求得m=﹣2，或m=，故直线l的方程为y=1，或x=1．20．已知a为实数，函数f （x）=a•lnx+x2﹣4x．（1）是否存在实数a，使得f （x）在x=1处取极值？证明你的结论；（2）若函数f （x）在[2，3]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（3）设g（x）=2alnx+x2﹣5x﹣，若存在x0∈[1，e]，使得f （x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数f （x）定义域为（0，+∞），f′（x）=+2x﹣4=假设存在实数a，使f （x）在x=1处取极值，则f′（1）=0，∴a=2，…2分此时，f′（x）=，∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f （x）递增；当x＞1时，f′（x）＞0，f （x）递增．∴x=1不是f （x）的极值点．故不存在实数a，使得f （x）在x=1处取极值． (4)分（2）f′（x）=，①当a≥2时，∴f′（x）≥0，∴f （x）在（0，+∞）上递增，成立； (6)分②当a＜2时，令f′（x）＞0，则x＞1+或x＜1﹣，∴f （x）在（1+，+∞）上递增，∵f （x）在[2，3]上存在单调递增区间，∴1+＜3，解得：﹣6＜a＜2综上，a＞﹣6．…10分（3）在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）＜g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）＜0，即函数h（x）=x+在[1，e]上的最小值小于零．=，①当a+1≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，所以h（x）的最小值为q，由h（e）=e+可得a＞，因为，所以a＞；…12分②当a+1≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，所以h（x）最小值为h（1），由h（1）=1+1+a＜0可得a＜﹣2； (14)分③当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时，可得h（x）最小值为h（1+a）=2+a﹣aln （1+a），因为0＜ln（1+a）＜1，所以，0＜aln（1+a）＜a故h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）＞2此时不存在x0使h（x0）＜0成立．综上可得所求a的范围是：或a＜﹣2．…16分解法二：由题意得，存在x∈[1，e]，使得a（lnx﹣）＞x+成立．令m（x）=lnx﹣，∵m（x）在[1，e]上单调递增，且m（1）=﹣1＜0，m（e）=1﹣＞0故存在x1∈（1，e），使得x∈[1，x1）时，m（x）＜0；x∈（x1，e]时，m（x）＞0故存在x∈[1，x1）时，使得a＜成立，…（☆）或存在x∈（x1，e]时，使得a＞成立，…（☆☆）…12分记函数F（x）=，F′（x）=当1＜x≤e时，（x2﹣1）lnx﹣（x+1）2=（x2﹣1）•∵G（x）=lnx﹣=lnx﹣﹣1递增，且G（e）=﹣＜0∴当1＜x≤e时，（x2﹣1）lnx﹣（x+1）2＜0，即F′（x）＜0∴F（x）在[1，x1）上单调递减，在（x1，e]上也是单调递减，…14分∴由条件（☆）得：a＜F（x）max=F（1）=﹣2由条件（☆☆）得：a＞F（x）min=F（e）=综上可得，a＞或a＜﹣2．…16分．。