两数和(差)的平方
2 两数和(差)的平方 课件 -2024-2025学年华东师大版八年级数学上册
成果交流 例 运用完全平方公式计算 (1)(4m+n)2;
解：
(a+b)2= a2 + 2ab + b2
巩固练习
合作探究
推导两数差的平方公式(a方法一b：)2（=直接计算）
a2?- 2ab + b2
(2)ab
总结：完全平方公式的常见变形：
例题讲解
例3 已知x－y＝6，xy＝－8.求:
(1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值.
解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8，
∵ (x－y)2＝x2－2xy＋y2， ∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy
＝36－16＝20； (2)∵x2＋y2＝20，xy＝－8，
方法二：（整体代入）
合作探究
完全平方公式
两数和的平方公式：
(a+b)2=_a_2_+_2_a_b_+_b_2_
公式特征：
左边：两数和（差）的平方
右边：
1.积为二次三项式；
2.前后两项为两数的平方和；
3.中间项是两数积的2倍；
两数差的平方公式：
(a-b)2=_a_2_-_2_a_b_+_b_2 _
简记为：
3.已知ab=2,(a+b)2=9,则(a-b)2的值为___1___ 变式：若题目条件不变，则a-b的值为___±_1_
例题讲解
例4 运用乘法公式计算: (1) (x+2y-3)(x-2y+3) ;
(2) (a+b+c)2.
解: (1) 原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)] = x2-(2y- = x2-(4y2-
两数和(差)的平方教案华东师大版数学八年级上册
12.3.2 两数和（差）的平方教学目标：1、知识与技能：使学生能正确叙述两数和（差）的平方公式，并能运用它进行计算；培养学生分析问题、解决问题的能力，以及运算能力.2、过程与方法：在公式的形成过程的教学中，培养学生观察、归纳、猜想、论证的能力，以及分析、综合、抽象和概括的能力；了解“特殊一般特殊”的认识规律，体现和学习研究问题的方法；渗透由特殊到一般再由一般到特殊的思想；渗透数形结合思想.3、情感态度与价值观：通过学生自己分析得出结论，使他们感受成功的喜悦从而激发学生学习兴趣。
教学重、难点：教学重点：两数和（差）的平方公式的推导及结构特征和公式直接运用；教学难点：对具体问题会运用公式及理解公式中的字母的广泛含义。
教学方法：（1）、"探究式学习”。
在教学中，突出学生的主动性，让学生通过观察特点——分析——归纳总结——得出结论，初步掌握探究的学习方法。
（2）、在学生的主体参与互动中，培养学生能力，帮助学生结合公式结构特点，分析式子结构，运用转化思想加以解决。
（3）、利用ppt课件教学过程：（一）、温故新知1、两数和乘以这两数差的乘法公式是什么？(a+b)(ab)=a2b2 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差.2、口述多项式乘以多项式法则。
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
情景导入（童话故事）很久很久以前,有一个国家的公主被妖怪抓到了森林里,两个农夫一起去森林打猎时打死了妖怪救出了公主。
国王要赏赐他们, 这两个农夫原来各有一块边长为a米的正方形土地, 第一个农夫就对国王说：“您可不可以再给我一块边长为b米的正方形土地呢？”国王答应了他，国王问第二个农夫：“你是不是要跟他一样啊?”第二个农夫说：“不，我只要您把我原来的那块地的边长增加b米就好了。
国王想不通了，他说：“你们的要求不是一样的吗？”你认为他们的要求一样吗聪明的孩子们，你们能画图拼一拼么！用不同的形式表示第二个农夫田地的总面积,并进行比较,你发现了什么?我们共同发现：(a+b)2= a2+2ab+b22、交流，讨论，发现规律：（多媒体展示）两数和（差）的平方公式的文字叙述：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加上（或减去）它们乘积的2倍。
两个数和差的平方
两数和（差）的平方
(1)（2x+1）(2x+1) （2）(a b)2
(3) a 22
(4)(2a 3b)2
方法1:
a b2 a ba b
a2 ab ab b2
a2 2ab b2
a b a b 方法2 a2 b2
(a b)2 a2 -2ab + b2
完全平方公式有怎样的结构特征呢？ 你能用语言叙述这两个公式吗？
这两个公式我们又称为完全平方公式
式子
首项
尾项 结果的中间项
结果
符号 系数 完全平方式
(x+2y)2
(2a-5) 2 (-2s+t)2 (-3x-4y)2
(a b)2 a2 +2ab + b2
(a b)2 a2 -2ab + b2
首平方，尾平方，首尾乘积的2倍中间放.
(4x +5y)2 (2x - 3)2
(-3b +2c)2
(-2b-5)2
［（a+b）+c] 2
（1）判断：
① b 4c2 b2 16c2
（ ×）
② x 2 yz2 x2 4xyz 4 y2z（2 ×）
这个公式我们称为两数和的平方公式
(a b)2
a b2
b ab b²
a a² ab
(a-b)²
ab
(a b)2 a 2ab ab b2
a2 2ab b2
计算下列各题
(a b)2
解：
a
1 2 2
两数和（差）的平方公式
第8课 两数和（差）的平方公式班别： 姓名： 。
一、 两数和的平方：总结特征：一个二项式的完全平方，其结果有三项，其中两项是这个二项式各项的平方，还有一项是这个二项式中各项乘积的两倍。
注意：（a ＋b ）2并不等价于a 2 ＋b 2 ，两者一般情况下是不等的。
例：计算：（1）（2a ＋2b ）2 （2）（2x －3y ）2 (3) 20012;解：（1）原式＝（2a ）2＋2 • 2a • 2b＋（2b ）2 ＝4a 2＋2ab ＋4b 2 （2）原式＝（ ）2－2 •（ ）•（ ）＋（ ）2＝(3) 20012 =( + ) 2=即学即练：计算：（1）（x ＋2）2； (2)（3x ＋2y ）2； (3）（0.5a －2b ）2；三、巩固练习：（A组）1、判断题；（1）（a－b）2=a2－b 2 （）（2）(a＋2b)2=a2＋2ab＋2b2 （）（3）（－a－b）2= -a2－2ab＋b 2 （）（4）（a－b）2=（b－a）2 （）2、计算：（1）（x＋3）2；（2）（2x＋y）21n）2（3）（5x－3y）2；（4）（2m－2（5）（－4m＋n）2；（6）（－4m－n）23、要给一边长为a米的正方形桌子铺上桌布，四周均留出0.1米宽，问桌布面积需要多大？4.填空：（1）x 2＋ ＋9＝（ ＋ ）2；（2）4a 2＋kab ＋9b 2是完全平方式，则k ＝ ；（3）（ ）2－8xy ＋y 2＝（ - y ）25.已知x 2＋y 2＝15，xy ＝5，求（x ＋y ）2和（x －y ）2的值。
巩固练习1． 运用平方差或完全平方公式计算：（1）（2a ＋5b ）（2a －5b ）； （2）（－2a －1）（－2a ＋1）；（3）（2a －4b ）2； （4）（2a ＋31b ）2（5）（21a －31b ）2 (6) 100222.新世纪中学教学楼前有一块边长为a 米的正方形空地。
现准备将这块空地四周均留出b 米宽修筑围坝，中间修建喷泉水池。
乘法公式2两数和(或差)的平方
通过乘法公式和向量外积计算三角 形的面积。
体积计算
01
02
03
长方体体积
通过乘法公式计算长方体 的体积，即长乘以宽乘以 高。
圆柱体体积
利用乘法公式和圆的面积 公式计算圆柱体的体积。
圆锥体体积
通过乘法公式和圆的面积 公式以及高计算圆锥体的 体积。
长度计算
向量的模
通过乘法公式计算向量的 模，即向量各分量的平方 和的平方根。
空间中两点的距离
利用乘法公式和向量减法 计算空间中两点的距离。
圆的周长
通过乘法公式和圆的半径 计算圆的周长。
05 乘法公式在物理中的应用
运动学问题
匀变速直线运动
利用乘法公式推导位移与时间的 关系，如$s = v_0t + frac{1}{2}at^2$。
抛体运动
将乘法公式应用于抛体运动的水 平位移和竖直位移，求解物体的
通过乘法公式的运用， 可以简化复杂的多项 式表达式，降低计算 难度。
方程求解
利用乘法公式将方程化为标准形式， 便于求解未知数。
通过对方程的变形和化简，可以更容 易地找到方程的解，提高解题效率。
在解方程时，可以根据乘法公式的特 点，选择合适的变形方式，简化求解 过程。
不等式证明
利用乘法公式证明不等式，可 以将复杂的不等式化为简单的 形式，便于证明。
运动轨迹。
圆周运动
通过乘法公式计算向心加速度、 线速度、角速度等物理量之间的
关系。
动力学问题
1 2
牛顿第二定律
结合乘法公式，推导物体加速度与作用力、质量 之间的关系，即$F = ma$。
动量定理
应用乘法公式求解物体动量变化与冲量之间的关 系，如$Delta p = Ft$。
两数和(差)的平方
两数和（差）的平方课前知识管理1、完全平方公式有两个：〔a+b 〕2=a2+2ab+b2,〔a-b 〕2=a2-2ab+b2.即，两数和〔或差〕的平方，等于这两个数的平方和，加上〔或者减去〕这两个数的积的2倍.这两个公式叫做完全平方公式.它们可以合写在一起，为〔a ±b 〕2=a2±2ab+b2.为便于记忆，可形象的表达为：〝首平方、尾平方，2倍乘积在中央〞.几何背景：如图，大正方形的面积可以表示为〔a+b 〕2，也可以表示为S ＝S Ⅰ+ S Ⅱ+ S Ⅲ+S Ⅳ，同时S ＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2.从而验证了完全平方公式〔a+b 〕2＝a2+2ab+b2.2、完全平方公式的特征：左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上〔这两项相加时〕或减去〔这两项相减时〕这两项乘积的2倍.公式中的字母可以表示具体的数〔正数或负数〕，也可以表示单项式或多项式等代数式.只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式.3、在使用完全平方公式时应注意问题：〔1〕千万不要发生类似〔a ±b 〕2=a2±b2的错误；〔2〕不要与公式〔ab 〕2=a2b2混淆；〔3〕切勿把〝乘积项〞2ab 中的2漏掉；〔4〕计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，那么可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形为公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，那么运用乘法法那么进行计算.名师导学互动典例精析：知识点1：改变公式中b a ,的符号：例1、运用完全平方公式计算： ()252y x +-【解题思路】本例改变了公式中b a ,的符号，处理方法之一：把两式分别变形为()()[]225252y x y x --=+-()252y x -=再用公式计算〔反思得：()()()()2222;b a b a a b b a +=---=-〕； 方法二：把两式分别变形为：()()222552x y y x -=+-后直接用公式计算；方法三：把两式分别变形为()()[]225252y x y x +-=+-后直接用公式计算.【解】()252y x +-=()()()22222420252252525x xy y x x y y x y +-=+⨯⨯-=-.【方法归纳】对乘法公式的最初运用是模仿套用，套用的前提是确定是否具备使用公式的条件，关键是正确确定〝两数〞即〝a 〞和〝b 〞.对应练习：()2b a --知识点2：改变公式中的项数例2、计算：()2c b a ++【解题思路】完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾.所以在运用公式时， ()2c b a ++ 可先变形为()[]2c b a ++ 或()[]2c b a ++ 或者()[]2b c a ++ ，再进行计算．【解】()2c b a ++=()[]2c b a ++【方法归纳】运用整体思想可以使计算更为简便，快捷.对应练习：〔2a －b ＋4〕2知识点3：改变公式的结构例3、运用公式计算： 〔1〕()()y x y x 22++； 〔2〕()()b a b a --+.【解题思路】本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特征，但仔细观察易发现，只要将其中一个因式作适当变形就可以了.【解】〔1〕()()y x y x 22++=()2222422y xy x y x ++=+；〔2〕()()b a b a --+=()2222b ab a b a ---=+-.【方法归纳】观察到两个因式的系数有倍数关系或相反关系是正确变形并利用公式的前提条件.对应练习：计算：()()a b b a --知识点4：利用公式简便运算例4：计算：9992【解题思路】本例中的999接近1000，故可化成两个数的差，从而运用完全平方公式计算.【解】()=+-=+-=-=120001000000120001000110009992222998001.【方法归纳】有些数计算时可拆成两数〔式〕的平方差、完全平方公式的形式，正用乘法公式可使运算简捷、快速.对应练习：计算：100.12知识点5：公式的逆用例5、计算： ()()()()2233525++++-+x x x x【解题思路】此题假设直接运用乘法公式和法那么较繁琐，仔细分析可发现其结构恰似完全平方公式()2222b ab a b a +-=-的右边，不妨把公式倒过来用.【解】()()()()2233525++++-+x x x x =()()[]4352=+-+x x .【方法归纳】解题中，•假设把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思考、联想、探究，进行整体思考、整体变形，•从不同的方面确定解题策略，能使问题迅速获解．对应练习：化简()()()()223372272++++-+a a a a知识点6：公式的变形例6、实数a 、b 满足()1,102==+ab b a .求以下各式的值：〔1〕22b a +；〔2〕()2b a -【解题思路】此例是典型的整式求值问题，假设按常规思维把a 、b 的值分别求出来，非常困难；仔细探究易把这些条件同完全平方公式结合起来，运用完全平方公式的变形式很容易找到解决问题的途径.【解】〔1〕22b a +=()822=-+ab b a ； 〔2〕()()ab b a b a 422-+=-=6.【方法归纳】 ()()ab b a b a 422-+=-；()(),422ab b a b a +-=+()()ab b a b a ab b a b a 2,2222222+-=+-+=+熟悉完全平方公式的变形式，是相关整体代换求值的关键.对应练习：：x ＋y ＝－1，x2＋y2＝5，求xy 的值.知识点7：乘法公式的综合应用例7、计算：()()z y x z y x -+++【解题思路】此例是三项式乘以三项式，特点是：有些项相同，另外的项互为相反数。
初中数学八年级上册 两数和(差)的平方 人教版
B、 (5x-2y)2=25x2-10xy+4y2
C、 (-a-1)2=-a2-2a-1
D、 (-a2-0.3ab)2=a4+0.6a3b+0.09a2b2 2、无论x取何值，（x+a)2=x2-x+a2,则常数 a等于 （D ） A 、2 B 、 -2 C、1/2 D、 -1/2
新知拓展
(a＋b)2 = a2＋2ab＋b2 ①
已知x
1 x
3，
求x2
1 x2
的值.
解: x2
1 x2
(x1)2 2(x 1)
x
x
(x 1)2 2
x
32 2
7
课后作业
1、若 a2+b2 =14 , a+b=6, 求ab ； 2、若 a2- m a+25 是一个完全平 方式，求m；
3、若 a2-12ab + m 是一个完全 平方式，求m；
怎样才能拿得起？王国维《人间词话》中曾提出，古今之成大事业者，须经过三重境界。这三重境界体现的正是儒家精神，所以正是路径所在。 第一重境界是“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”。登上高楼，远眺天际，正是踌(chóu)躇(chú)满志，志存高远，高瞻远瞩，一腔抱负。人生，志向决定方向，格局决定高度；小溪只能入湖，大河则能入海。所以做事，要先立心中志向；成事，要先拓胸中格局。
两数和(差)的平方公式
b 4a 2 2ab 4
2
练习
1、计算 2 （1）(3x 4 y ) （2）(2 x 5)2 （3）(m 2n)2 （4）(2a b)2 1 2 2 （5） ( x y)
解 : 原式 9 x2 24xy 16y 2 解 : 原式 4 x2 20xy 25 解 : 原式 (m 2n)2 m2 4mn 4n2
两数和（差）的平方：
(a b)2 a2 2ab b2
口诀： 首平方，尾平方，积的2倍在中央， 中间符号照原样。
例题
利用公式计算： 2 ( 2 x 3 y ) （1） 2 2 ( 2 x ) 2 2 x 3 y ( 3 y ) 解：原式=
= 4 x2 12xy 9 y 2
（2） (2m 5n)2 解：原式= (2m)2 2 (2m) 5n (5n)2 2 2 4 m 20 m n 25 n = 2 ( 5 n 2 m ) 或 原式= 2 2 ( 5 n ) 2 5 n 2 m ( 2 m ) =
25n 2 20mn 4m2
探究发现
计算下列各式，你能发现什么规律？
( p 1)2 ( p 1)( p 1) p2 2 p 1
( x 3)2
(a b)2
( x 3)( x 3) x 2 6 x 9
(a b)(a b) a2 2ab b2
两数和的平方
小结
两数和（差）的平方公式： (a b)2 a2 2ab b2 特点：
公式的左边是二项式（两数和（差））的平方； 公式的右边是一个三项式，其中有两项是这两个数的 平方，另一项是这两个数积的2倍。
12.3.2两数和(差)的平方
图12.3.2课题： 12.3.2两数和（差）的平方一、【学习目标】1、使学生通过自主探索两数和（差）的平方公式的过程2、了解公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并能熟练运用公式进行简单的计算。
【学习重点】熟记公式，熟练地运用公式进行简单的计算。
【学习难点】完全平方公式的推理过程 二 、旧知链接：利用多项式乘多项式的方法计算下列各题：（1）（2x+1）(2y-3) (2). 22）（+m (3) 23）（+p三、新知探究： 展示单元一：两数和的平方公式1、观察旧知链接（2）、（3）的规律，你能很快地写出：（a+b ）2 ＝ 。
2、思考：你能说明a ²+b ²与(a+b)²的关系吗？3、图形演示：让学生直观感知：a ²+b ²≠(a+b)²（1）几何探究（整体考虑，分割思考）：试一试：先观察图12.3.2，你能用一个代数式来表示该大正方形的面积吗？还有其他不同的表示方法吗？再用等式表示下图中图形面积的运算：＝ ＋ ＋ ．概括：我们得到了一个非常重要而且十分有用的结果：两数和的平方公式：（a+b ）2 ＝ 。
感悟规律：你发现公式有何特征吗？在代数学习的过程中，常把几何知识运用进来，注意“ ”的思想。
展示单元二：小试牛刀23b)(1)(2a +2)22)(2(b a + 222)23)(3(b a +展示单元三：两数差的平方公式试一试，你一定也能发现：（a －b ）2＝ 同学们大胆进行自主探索或相互讨论，然后发表其思路和结论。
模仿练习： （2x －3y ）2 （2m －5）2我能行：计算：（1）（－2m ＋n ）2 （2）（－2m －n ）2注意：2倍乘积的符号。
总结： （a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2．重点识记：1、两数和的平方，等于它们的平方和加上这两数积的2倍．2、两数差的平方，等于它们的平方和减去这两数积的2倍3、（a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 24、识记口诀：首平方，尾平方，首尾2倍放中央。
两数和差的平方
两数和差的平方公式可以应用于二次方程的求解以及不等式 的证明等问题中。例如，在求解二次方程时，可以利用公式 将方程转化为(a+b)^2=c的形式，从而简化计算过程。
公式的扩展及推广
公式的扩展
通过对公式的扩展，可以得到其他类似的公式。例如，对于两数和差的立方公式 ，可以类似地推导得到(a+b)^3=(a-b)^3+3(a-b)ab+3(a-b)ba=(a-b)^3+6(ab)ab。
圆内接矩形对角线乘积之和
总结词
圆内接矩形对角线乘积之和等于两对角线端点所连线 段的平方和的两倍。
详细描述
设圆内接矩形ABCD的对角线AC和BD的长度分别为a 和b，则根据勾股定理，我们有：AB^2 + BC^2 = AC^2，AD^2 + DC^2 = BD^2。将两式相加，得到 ：2(AB^2 + BC^2 + AD^2 + DC^2) = a^2 + b^2
符号表示
公式中用到的符号包括加号(+)、减号(-)、平方 符号(²)和括号()。
3
数学模型
公式可以表示为(a+b)²=(a-b)²+4ab，其中a和 b是两个数。
公式推导
推导过程
根据完全平方公式的推导方法，可以将(a+b)²的展开式展开为a²+2ab+b²， 同时将(a-b)²的展开式展开为a²-2ab+b²，再结合两者得到(a+b)²=(ab)²+4ab。
05
两数和差的平方的深入研究
公式的深入推导
公式推导的必要性
两数和差的平方公式是数学中的一个 重要公式，对于解决二次方程和不等 式等问题具有关键作用。通过对公式 的深入推导，可以更好地理解其背后 的数学原理，加深对数学知识的掌握 。
两数和(差)的平方
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谢谢
两数和(差)的平方
目录
CONTENTS
• 两数和的平方公式 • 两数差的平方公式 • 两数和(差)平方公式的性质 • 两数和(差)平方公式的应用 • 两数和(差)平方公式的扩展
01
CHAPTER
两数和的平方公式
公式推导
公式形式
两数和的平方公式为 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。
n个数的和(差)的平方公式
公式
$sum_{i=1}^{n} a_i^2 + sum_{i=1}^{n-1} sum_{ j=i+1}^{n} 2a_ia_j$
解释
该公式是两数和(差)平方公式的进一步扩展，适用于任意个数的和(差)的平方计算。通过将两数和(差)平方公式中 的$ab$项扩展到任意多个数的组合，得到n个数的和(差)的平方公式。
平方差公式
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
平方差公式推导
利用二项式定理展开$(a-b)^2$，得到$a^2 - 2ab + b^2$。
平方差公式应用
在代数、几何等领域中，平方差公式常用于计算和证明相关问题。
平方和与平方差的关系
01
关系表达式
$(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$
公式证明
证明方法
证明意义
通过代数运算，我们可以证明两数和 的平方公式。
证明两数和的平方公式有助于我们更 好地理解和应用该公式，提高数学运 算能力。
证明过程
首先，我们将 $(a+b)^2$ 展开得到 $a^2 + 2ab + b^2$，然后通过代数 运算证明该等式成立。
两数和(差)的平方课件讲
在解决一些三维图形的体积问题时，如长方体、圆柱体等，利用两数和(差)的平方公式可以快速求出 其体积。特别是对于一些不规则的图形，通过合理地运用该公式，能够大大简化计算过程，提高解题 效率。
线性方程问题
总结词
线性方程问题中经常涉及到平方项的计算，利用两数和(差)的平方公式可以简化计算过 程。
公式证明
证明方法一
利用多项式乘法展开$(a+b)^2$，证明得到$a^2 + 2ab + b^2$。
证明方法二
利用二项式定理展开$(a+b)^2$，证明得到$a^2 + 2ab + b^2$。
02
CHAPTER
两数差的平方公式
公式推导
公式推导方法一
利用多项式展开和代数运算，将两数差的平方表示为单一多 项式。
详细描述
在解决线性方程问题时，如一元二次方程、二元一次方程等，经常会遇到需要计算平方 项的情况。利用两数和(差)的平方公式，可以快速准确地求出方程的解，特别是对于一 些较为复杂的方程，能够大大简化计算过程，提高解题效率。同时，该公式在解决一些
与平方相关的数学问题时也具有广泛的应用。
THANKS
谢谢
03
CHAPTER
两数和与差的混合平方公式
公式推导
01
02
03
公式推导方法一
利用平方差公式和完全平 方公式推导
公式推导方法二
通过代数变形和恒等变换 推导
公式推导方法三
利用几何意义和勾股定理 推导
公式应用
代数运算
在代数运算中，两数和与差的混合平 方公式常用于简化复杂的代数表达式。
几何应用
解决实际问题
该公式在实际问题中也有广泛应用， 如物理学中的位移、速度和加速度的 计算，以及统计学中的数据分析和处 理等。
华东师大版八年级数学上册第12章第3节《两数和(差)的平方》课件
当堂练习
1.运用完全平方公式计算：
(1) 1022； 解： 1022 = (100+2)2
解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37； a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43.
5.已知x+y=8,x-y=4,求xy. 解：∵x+y=8, ∴(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①; ∵x-y=4, ∴(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②;
= x2-(2y-3)2 = x2-(4y2-12y+9) = x2-4y2+12y-9.
(2) (a+b+c)2 原式 = [(a+b)+c]2
= (a+b)2+2(a+b)c+c2 = a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 = a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
解题小结：第(1)题选用平方差公式进行计算，需要分组.分组方 法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”.第(2)题要把 其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算.
3.运用完全平方公式计算:
(1) (6a+5b)2； =36a2+60ab+25b2； (3) (2m-1)2 ；
两数和(差)的平方
两数和（差）的平方要与公式（ab ）2=a 2b 2混淆；（3）切勿把“乘积项”2ab 中的2漏掉；（4）计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形为公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则运用乘法法则进行计算.名师导学互动典例精析：知识点1：改变公式中b a ,的符号：例1、运用完全平方公式计算： ()252y x +- 【解题思路】本例改变了公式中b a ,的符号，处理方法之一：把两式分别变形为()()[]225252y x y x --=+- ()252y x -=再用公式计算（反思得：()()()()2222;b a b a a b b a +=---=-）； 方法二：把两式分别变形为：()()222552x y y x -=+-后直接用公式计算；方法三：把两式分别变形为()()[]225252y x y x +-=+-后直接用公式计算.【解】()252y x +-=()()()22222420252252525x xy y x x y y x y +-=+⨯⨯-=-.【方法归纳】对乘法公式的最初运用是模仿套用，套用的前提是确定是否具备使用公式的条件，关键是正确确定“两数”即“a ”和“b ”. 对应练习：()2b a -- 知识点2：改变公式中的项数例2、计算：()2c b a ++ 【解题思路】完全平方公式的左边是两个相同的二项式相乘，而本例中出现了三项，故应考虑将其中两项结合运用整体思想看成一项，从而化解矛盾.所以在运用公式时， ()2c b a ++ 可先变形为()[]2c b a ++ 或()[]2c b a ++ 或者()[]2b c a ++ ，再进行计算．【解】()2c b a ++=()[]2c b a ++ 【方法归纳】运用整体思想可以使计算更为简便，快捷.对应练习：（2a －b ＋4）2知识点3：改变公式的结构例3、运用公式计算： （1）()()y x y x 22++； （2）()()b a b a --+.【解题思路】本例中所给的均是二项式乘以二项式，表面看外观结构不符合公式特征，但仔细观察易发现，只要将其中一个因式作适当变形就可以了.【解】（1）()()y x y x 22++=()2222422y xy x y x ++=+；（2）()()b a b a --+=()2222b ab a b a ---=+-.【方法归纳】观察到两个因式的系数有倍数关系或相反关系是正确变形并利用公式的前提条件. 对应练习：计算：()()a b b a --知识点4：利用公式简便运算例4：计算：9992【解题思路】本例中的999接近1000，故可化成两个数的差，从而运用完全平方公式计算.【解】()=+-=+-=-=120001000000120001000110009992222998001.【方法归纳】有些数计算时可拆成两数（式）的平方差、完全平方公式的形式，正用乘法公式可使运算简捷、快速.对应练习：计算：100.12知识点5：公式的逆用例5、计算： ()()()()2233525++++-+x x x x【解题思路】本题若直接运用乘法公式和法则较繁琐，仔细分析可发现其结构恰似完全平方公式()2222b ab a b a +-=-的右边，不妨把公式倒过来用.【解】()()()()2233525++++-+x x x x =()()[]4352=+-+x x .【方法归纳】解题中，•若把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思考、联想、探究，进行整体思考、整体变形，•从不同的方面确定解题策略，能使问题迅速获解．对应练习：化简()()()()223372272++++-+a a a a知识点6：公式的变形 例6、已知实数a 、b 满足()1,102==+ab b a .求下列各式的值：（1）22b a+；（2）()2b a - 【解题思路】此例是典型的整式求值问题，若按常规思维把a 、b 的值分别求出来，非常困难；仔细探究易把这些条件同完全平方公式结合起来，运用完全平方公式的变形式很容易找到解决问题的途径.【解】（1）22b a +=()822=-+ab b a ； （2）()()ab b a b a 422-+=-=6. 【方法归纳】 ()()ab b a b a 422-+=-；()(),422ab b a b a +-=+()()ab b a b a ab b a b a 2,2222222+-=+-+=+熟悉完全平方公式的变形式，是相关整体代换求值的关键.对应练习：已知：x ＋y ＝－1，x 2＋y 2＝5，求xy 的值.知识点7：乘法公式的综合应用例7、计算：()()z y x z y x -+++【解题思路】此例是三项式乘以三项式，特点是：有些项相同，另外的项互为相反数。
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利用完全平方公式计算：
9.9
2
2
199
读书不要贪多而是要多加思索这样
的读书使我获益不少
——卢梭
m2-4m+4 m2+4m+4 P2+2p+1
(3)(p-1)2 = (p-1 ) (p-1) = ________; (4) (m-2)2 = __________.
P2-2p+1
我们来计算(a+b)2, (a-b)2.
(a+b)2=(a+b) (a+b) = a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2. (a-b)2 = (a-b) (a-b) = a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2
2 =x +4xy
(2) (
x – 2y2)2
1 解：( x – 2y2)2 = ( x)2– 2 •( x) •(2y2)+(2y2)2 2
(a - b)2 = a2 =
2ab
+ b2
x2 – 2xy2+4y4
例2 运用完全平方公式计算:
(1)
(4m+n)2;
(2) (y-
1 2 ) . 2
解: (1) (4m+n) 2= (4m)2 + 2•(4m)•n+n2 = 16m2+8mn +n2; 1 1 1 2 (2) (y - ) = y2 - 2•y• + ( 2 )2 2 2
完全平方公式的数学表达式：
2 (a+b) = 2 a 2 +2ab+b
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
完全平方公式的文字叙述：
两个数的和（或差）的平方， 等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍。
完全平方公式 的图形理解
完全平方和公式：
b ab a
b²
ab b
2 2
(a+b)²
a²
间的符号相同。
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
首平方，尾平方， 积的2倍在中央
4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和
多项式。
例1
运用完全平方公式计算：
2 (1)(x+2y)
解：
2 (x+2y) = x2
+2•x •2y +(2y)2 + 2 ab +
2 +4y
2 b
(a
2 +b) =
2 a
1 = y2-y + 4
例3
运用完全平方公式计算:
(1) 1022 ;
(2) 992 .
解: (1) 1022 = (100 +2) 2 = 1002 +2Χ100Χ2 + 22 = 10 000 +400 +4 = 10 404 . (2) 992 = (100 -1)2 = 1002 -2Χ100Χ1+12
a
2
( a b) a +2ab +b
完全平方公式 的图形理解
完全平方差公式：
b a
ab
b²
(a-b)²
a² ab
a b
( a b) a ab ab b 2 2 a 2ab b
2
2
2
(a+b)2= a2 +2ab+b2
公式特点：
1、积为二次三项式； 2、积中两项为两数的平方和； 3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中
= 10 000 - 200 + 1
= 9 801.
思考
(a+b)2与(-a-b)2相等吗?
(a-b)2与(b-a)2相等吗?
(a-b)2与a2-b2相等吗? 为什么?
练习
1.运用完全平方公式计算:
(1)(x+6)2;
(3) (-2x+5)2;
(2) (y-5)Βιβλιοθήκη ;(4) ( xy ) 2.
2.下面各式的计算错在哪里?应当怎样改 正? (1) (a+ b)2 = a2 +b2;
义务教育教科书（华师）八年级数学上册
多项式的乘法法则 用一个多项式的每一项乘以另一个 多项式的每一项，再把所得的积相加.
(a+b) (m+n) = am+an + bm+bn
探究
计算下列各式,你能发现什么规律?
(1)(p+1)2 = (p+1) (p+1) = ______ (2)(m+2)2= _________;