八年级数学竞赛讲座 实数
八年级数学赛课获奖课件实数2,
0.75 0.75
2 1 5 3
比较大小：
3 2与2 3
※有理数的运算扩充到实数范围内时仍然适用. ※通过用不同的方法比较两个无理数的大小，如 估算法、平方法、作差法、求近似值法等．
※学习了利用计算器进行实数的四则运算.
1.如果整数a满足 2 a 3 64,则a _2_或__3__ .
(2)正数大于负数
3、怎样比较 3 与 7 的大小
结论：- 3 7
（3）两个负数比较大小绝对值大的反而小
问题二：
1.怎样比较 0.5 与 0.5的大小
可用平方法，把两个正数都化成带根号或 不带根号的式子，从而比较出它们的大小
2.怎样比较 1.5 与 7 的大小
可用估算法，运用有理数估算一个无理数 的大致范围.
数学赛课一等奖课件
实数（2）
实数的分类：
正有理数 有限小数或循环小
有理数 零
数
负有理数
实数
无理数 正无理数 无限不循环小数 负无理数
正实数 实数 零
负实数
正有理数
正无理数 负有理数
负无理数
实数的分类：
有理数
实数 无理数
正整数 自
然
整数 零
数
负整数
分数 正分数
有限小数或无 限循环小数
负分数
正无理数 负无理数
a(a＜0)
3 0.9 -a -a
绝对值
3 1 2
2.5
3 0.9 a -a
倒数
1 3
2
1 2.5
1
1 3 0.9 1 a 1 a
1.a是一个实数,它的相反数为___a_；
1
如果，a≠0那么它的倒数为___a___.
数学竞赛中的“实数”
。
、
y
为 实数 )
，
求 ( 、 丁 )” ／
的值
．
3
A 4
．
如果
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则 12
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如果 6+何
叶
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订
3
的小 数 部 分分别 是
口
和 b
，
不 用 计 算 器 和
查 表
．
求
6 的
：
值
1
．
参 考答 案
B
2
．
2
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．
C
4
．
＝ｍ ， 以 所 ＋ ：一 ＋ ０． ｅ ｒ ｍ＝
所 以 、 ＋ ／
的 值 为 ２ 或 ０ ｍ ．
侧 了 若 ｍ 适 合 关 系 式 Ｖ＇ｘ ５ — － ＋Ｎ ＇ ＋ ｙ ｍ一 — ＋ ｙ ２ ｍ ／ ｘ ３ － ＝、 ３ － ￣ ２
．
％ ９ ／１ ９－ － ｘ ｙ
．
试确 定 ｍ 的值．
联 Ｉ／ ＋Ｉ。．解 、 ± ｌ—－ ． 立｛／。５Ｉ７ 得 ／ １ ， １— ３Ｔ 一３６Ｓ， ’ ｘ ＝ ： ９ ６ ４ １３ Ｓ ２ Ｎ ６＝ ９
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因 为
≥ ０， １ ０， 以 Ｉ＞ ｂｌ 所
—
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—
解 得一
八年级奥数实数知识点归纳
八年级奥数实数知识点归纳实数是我们在学习数学过程中会接触到的一种数，它是包括有理数和无理数的一种数集。
下面我们来归纳一下八年级奥数实数知识点。
一、实数的分类实数可以分为有理数和无理数两种。
其中有理数包括整数、正整数、负整数、分数和小数，无理数主要包括π 和√2 等无限不循环小数。
二、实数的运算1.实数加减法实数加减法遵循交换律、结合律和分配律。
例如，a+b=b+a，a+(b+c)=(a+b)+c，a×(b+c)=a×b+a×c。
2.实数乘法实数乘法同样可以遵循交换律、结合律和分配律。
此外，为了便于计算，我们通常会将分数化为最简形式。
3.实数除法在实数除法中，我们除数不能为 0。
如果被除数和除数同时为整数或者分数，我们可以直接进行除法运算。
如果被除数或者除数为无理数，我们可以采用近似的方法进行计算。
三、实数的大小比较实数的大小比较需要根据实数的正负性和绝对值进行分析。
例如，负数的绝对值大于正数的绝对值，而正数的绝对值又大于 0。
四、实数的表示实数可以通过分数和小数两种方式进行表示。
在小数中，我们还可以使用科学计数法来表示大数。
五、实数的应用在学习数学的过程中，实数的应用非常广泛。
例如，在物理学、化学和金融等领域，实数可以用来描述物理量、计算化学反应和进行金融投资分析等。
总结通过上文的介绍和归纳，相信大家对于八年级奥数实数知识点有了更加清晰的认识和了解。
在实际学习过程中，我们需要注重实际应用，同时也需要不断进行练习和巩固，从而更好地掌握实数的概念和运用。
《实数》精品课件精品公开课
《实数》精品课件精品公开课一、教学内容本节课选自《数学》八年级下册教材第五章“实数”的第一节“实数的概念与性质”。
详细内容包括：实数的定义与分类、实数与数轴的关系、实数的性质（包括大小比较、运算律等）。
二、教学目标1. 理解实数的定义，掌握实数的分类，能将实数与数轴上的点一一对应。
2. 掌握实数的大小比较方法，了解实数的运算律，并能应用于实际计算。
3. 培养学生的数感和逻辑思维能力，提高解决实际问题的能力。
三、教学难点与重点教学难点：实数的性质及其在数轴上的应用。
教学重点：实数的定义与分类，实数的大小比较和运算。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、实数教学挂图。
2. 学具：直尺、圆规、练习本、铅笔。
五、教学过程1. 实践情景引入（5分钟）通过播放一段关于温度计的视频，引导学生关注温度计上的实数，引出实数的概念。
2. 新课导入（15分钟）（1）讲解实数的定义与分类，让学生了解实数包括有理数和无理数。
（2）通过数轴上点的移动，让学生理解实数与数轴的关系。
3. 例题讲解（20分钟）讲解实数的大小比较、实数的运算等性质，结合例题进行分析。
4. 随堂练习（10分钟）让学生完成教材上的练习题，巩固所学知识。
六、板书设计1. 实数的定义与分类2. 实数与数轴的关系3. 实数的性质① 大小比较② 运算律七、作业设计1. 作业题目：（2）比较下列各组实数的大小：2. 答案：（1）实数：有理数、无理数；不是实数：虚数。
（2）根据实数的大小比较法则进行判断。
（3）根据实数的运算规律进行计算。
八、课后反思及拓展延伸本节课通过实践情景引入，让学生了解实数在生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
在讲解实数的性质时，结合例题进行分析，让学生掌握实数的运算方法。
课后，教师应关注学生对实数概念的理解，加强个别辅导，提高学生的数学素养。
拓展延伸方面，可以引导学生研究实数在实际问题中的应用，如物理、化学等领域的计算问题。
重点和难点解析1. 实数的定义与分类2. 实数与数轴的关系3. 实数的大小比较方法4. 实数的运算规律5. 教学过程中的实践情景引入6. 作业设计中的题目难度与答案解析一、实数的定义与分类实数的定义：实数包括有理数和无理数，有理数是可以表示为两个整数之比的数，无理数则不能表示为两个整数之比。
奥数专题讲座 实数(完整资料).doc
此文档下载后即可编辑奥数专题讲座实数【知识概要】实数包括有理数与无理数，有理数的所有运算性质和运算律都适用于实数。
开不尽方的算数平方根是一类重要的无理数，实数运算的关键是算数平方根的化简和运算，其中以下三点必须引起注意：⑴多重根式的化简和计算：。
⑵分母有理化：的一个有理化因式是；的一个有理化因式是。
⑶实数的整数部分和小数部分；先通过估算已知无理数，确定其整数部分a的值，再用已知无理数与a的差表示小数部分。
【赛题精析】例1化简 (第三届“希望杯”全国数学邀请赛初二第一试试题)〔分析〕解本题的关键是将化成一个平方数，这里3＝2＋1＝，所以利用完全平方公式就可以得到。
例2化简 (1993年北京市初二数学竞赛初赛试题) 〔分析〕解本题可以将与分别化成一个平方数进行化简；另外由于与是互为有理化因式，并且（）（）＝4，因此原式平方后是一个正整数，我们也可以利用这一特点求解。
例3求的值。
(第三届“希望杯”全国数学邀请赛初二第一试试题)〔分析〕不是的形式，不能直接配方，所以要把化成后，分子再配方；也可以将原式配方后再求值。
例4已知，求xy的值。
(1998年北京市初二竞赛复赛试题)〔分析〕∵，∴例5计算。
(第七届美国数学邀请赛试题)〔分析〕可以利用“四个连续自然数的积与1的和是一个完全平方数”来求解。
例6计算：⑴。
(北京市竞赛题)⑵。
(1997年陕西省竞赛题)〔分析〕若一开始就把分母有理化，则计算必定繁难；仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分拆等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解。
例7设，求的整数部分。
(1998年全国初中数学竞赛试题) 〔分析〕先将已知代入原式中求出该式的值再来估算整数部分。
人教版初二数学上册优秀公开课《实数PPT课件》
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环 无穷。机遇孕育着挑战，挑战中孕育着机遇，这是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选
八年级数学竞赛讲座实数的概念及性质附答案
第六讲 实数的概念及性质数是随着客观实际与社会实践的需要而不断扩充的．从有理数到无理数，经历过漫长曲折的过程，是一个巨大的飞跃，由于引入无理数后，数域就由有理数域扩充到实数域，这样，实数与数轴上的点就建立了一一对应的关系．由于引入开方运算，完善了代数的运算．平方根、立方根的概念和性质，是学习二次根式、一元二次方程等知识的基础．平方根、立方根是最简单的方根，建立概念的方法，以及它们的性质是进一步学习偶次方根、奇次方根的基础．有理数和无理数统称为实数，实数有下列重要性质：1．有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数pq的形式；无理数是无限不循环小数，不能写成分数pq的形式，这里p 、q 是互质的整数，且0≠p ． 2．有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数． 例题求解【例1】若a 、b 满足b a 53+3=7，则S ＝b a 32-的取值范围是 ．(全国初中数学联赛试题)思路点拨 运用a 、b 的非负性，建立关于S 的不等式组．注： 古希腊的毕达哥拉斯学派认为，宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比．但是该学派的成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示，这严重地冲击了当时希腊人的传统见解，这一事件在数学史上称为第一次数学危机．希伯索斯的发现没有被毕达哥拉斯学派的信徒所接受，相传毕氏学派就因这一发现而把希伯索斯投入海中处死． 【例2】 设a 是一个无理数，且a 、b 满足ab －a －b+1=0，则b 是一个( )A ．小于0的有理数B ．大于0的有理数C ．小于0的无理数D ．大于0的无理数(武汉市选拔赛试题)思路点拨 对等式进行恰当的变形，建立a 或b 的关系式． 【例3】已知a 、b 是有理数，且032091412)121341()2331(=---++b a ，求a 、b 的值． 思路点拔 把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于a 、b 的方程组． 【例4】(1) 已知a 、b 为有理数，x ，y 分别表示75-的整数部分和小数部分，且满足axy+by 2＝1，求a+b 的值． (南昌市竞赛题)(2)设x 为一实数，表示不大于x 的最大整数，求满足=x+1的整数x 的值．(江苏省竞赛题)思路点拨 (1)运用估算的方法，先确定x ，y 的值，再代入xy+by 2＝1中求出a 、b 的值；(2)运用的性质，简化方程．注： 设x 为一实数，则表示不大于x 的最大整数，]又叫做实数x 的整数部分，有以下基本性质： (1)x －1<≤x (2)若y< x ，则≤ (3)若x 为实数，a 为整数，则= + a ．【例5】 已知在等式s dcx bax =++中，a 、b 、c 、d 都是有理数，x 是无理数，解答： (1)当a 、b 、c 、d 满足什么条件时，s 是有理数； (2) 当a 、b 、c 、d 满足什么条件时，s 是无理数． ( “希望杯”邀请赛试题)思路点拨 (1)把s 用只含a 、b 、c 、d 的代数式表示；(2)从以下基本性质思考： 设a 是有理数，r 是无理数，那么①a+r 是无理数；②若a ≠0，则a r 也是无理数；③r 的倒数r1也是无理数，解本例的关键之一还需运用分式的性质，对a 、b 、c 、d 取值进行详细讨论．注：要证一个数是有理数，常证这个数能表示威几十有理数的和，差，积、商的形式；要证一个数是无理数，常用反证法，即假设这个数是有理数，设法推出矛盾．学力训练1．已知x 、y 是实数， 096432=+-++y y x ，若y x axy =-3，则a= ． (2002年个数的平方根是22b a +和1364+-b a ，那么这个数是 ． 3．方程0185=++-+y y x 的解是 ．4．请你观察思考下列计算过程：∵112＝121，∴11121=；同样∵1112=12321，∴11112321=；…由此猜想=76543211234567898． (济南市中考题)5．如图，数轴上表示1、2的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数是( ) A ．12- B ．21- C ．22- D ．22-(江西省中考题)6．已知x 是实数， 则πππ1-+-+-x x x 的值是( )A ．π11-B ．π11+C ．11-πD ．无法确定的( “希望杯”邀请赛试题)7．代数式21-+-+x x x 的最小值是( ) A ．0 B ．21+ C ．1 D ．不存在的 ( “希望杯”邀请赛试题)8．若实数a 、b 满足032)2(2=+-+-+a b b a ，求2b+a －1的值．(山西省中考题)9．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题． 21)1(2=+，211=S ；31)2(2=+，222=S ；41)3(2=+，233=S ；…(1)请用含有n(n 是正整数)的等式表示上述变化规律； (2)推算出OA 10的长；(3)求出S l 2+S 22+S 32+…+S 210的值． (烟台市中考题) 10．已知实数 a 、b 、c 满足0412212=+-+++-c c c b b a ，则a(b+c)= ． 11．设x 、y 都是有理数，且满足方程04)231()321(=--+++πππy x ，那么x －y 的值是 ．( “希望杯’邀请赛试题)12．设a 是一个无理数，且a 、b 满足ab+a －b ＝1，则b= ． (四川省竞赛题)13．已知正数a 、b 有下列命题：①若a=1，b ＝1，则1≤ab ； ②若25,21==b a ，则23≤ab ； ③若a ＝2，b=3，则25≤ab ； ④若a=1，b=5，则3≤ab ． 根据以上几个命题所提供的信息，请猜想，若a=6，b=7，则≤ab ． (黄冈市竞赛题) 14．已知：11=-a a ，那么代数式a a+1的值为( ) A ．25 B ．25- C ．5- D ．5 (重庆市竞赛题)15．设表示最接近x 的整数(x ≠n+0.5，n 为整数)，则+++…+的值为( )A ．5151B ．5150C ．5050D ．5049( “五羊杯”邀请赛试题) 16．设a<b<0，ab b a 422=+，则ba ba -+的值为( ) A ．3 B ．6 C ．2 D ．3 (全国初中数学竞赛题)17．若a 、b 、c 为两两不等的有理数，求证：222)(1)(1)(1a c c b b a -+-+-为有理数．18．某人用一架不等臂天平称一铁块a 的质量，当把铁块放在天平左盘中时，称得它的质量为300克，当把铁块放在天平的右盘中时，称得它的质量为900克，求这一铁块的实际质量． (安徽省中考题)．19．阅读下面材料，并解答下列问题：在形如a b =N 的式于中，我们已经研究过两种情况：①已知a 和b ，求N ，这是乘方运算，②已知b 和N ，求a ，这是开方运算． 现在我们研究第三种情况；已知a 和N ，求b ，我们把这种运算叫做对数运算． 定义：如果a b =N (a>0，a ≠1，N>0)，则b 叫做以a 为底的N 的对数，记作b=log a N ． 例如：因为23=8，所以log 28=3；因为2-3=81，所以log 281=－3．(1)根据定义计算:①log 3 81= ；②log 33= ；③log 3l= ；④如果log x 16=4，那么x= ． (2)设a x =M ，a y ＝N ，则log a M=x ；log a N ＝y(a>0，a ≠1，N>0，M ，N 均为正数)． 用log A M ，log A N 的代数式分别表示log a MN 及log a NM，并说明理由． (泰州市中考题) 20．设dcx bax y ++=，a 、b 、c 、d 都是有理数，x 是无理数．求证： (1)当bc=ad 时，y 是有理数；(2)当bc ≠ad 时，y 是无理数．设△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，且0448222=--++bc ab b c a ，试求AABC 的形状．。
八年级奥数实数知识点
八年级奥数实数知识点实数是指全体有理数和无理数的集合。
实数是数学中最常见的一类数，我们在学习数学时也离不开实数。
在八年级的奥数学习中，实数是一个非常重要的知识点。
本文将全面介绍八年级奥数实数知识点。
一、实数的定义实数是由有理数和无理数组成的数集。
其中有理数是可以表示成p/q（p和q为整数，且q≠0）的数字，无理数则无法表示成有理数的数字。
二、实数的分类实数可以分为三类，分别是正数、负数和零。
正数是大于零的实数，负数则是小于零的实数，零是和零相等的实数。
三、实数的运算1.加法运算：两个实数相加时，先将它们的小数点对齐，按位相加即可。
同时注意进位。
2.减法运算：两个实数相减时，可以将减法转化为加法，即a-b=a+(-b)。
若要计算两个实数相减的结果，应先将它们的小数点对齐，再按位相减。
同时注意借位。
3.乘法运算：两个实数相乘的结果等于它们的积。
在计算过程中，应注意小数点的位置。
4.除法运算：两个实数相除的结果等于它们的商。
在计算过程中，应注意小数点的位置。
若被除数不够除，则应在被除数末尾添零继续除。
四、实数的度量实数之间的大小可以用数轴上的位置来表示。
数轴上的每一个点都对应着一个实数，数轴上的正方向表示正数，数轴上的负方向表示负数。
任何一个实数都可以用数轴上的一个唯一的点来表示。
实数a和b之间的距离为|a-b|。
五、实数的性质1.实数具有传递性，即若a<b，b<c，则a<c。
2.实数具有对称性，即若a=b，则b=a。
3.实数具有割裂性，即对于任意实数a和b，都有且只有下列三种情况之一成立：a<b，a=b，或a>b。
4.实数具有区间性，即将实数分为开区间、闭区间、半开区间三种。
六、实数的应用实数在我们日常生活中有着广泛的应用。
比如，在科学计算、经济学、物理学、化学、生物学等领域中，实数都起着重要作用。
在奥数竞赛中，实数也是一个重要的知识点。
只有熟练掌握实数的概念、性质和运算，才能在竞赛中获得好成绩。
初二上竞赛辅导资料第1讲 实数的性质
第一讲 实数的性质例1.一个正数x 的平方根分别是1a +与3a -，则a 的值为（ ）. A .2 B .-1 C .1 D .0例2.设x =a 是x 的小数部分，b 是x -的小数部分，则333a b ab ++=__________.例3.设,,a b c.求证：222a b c a b c ++++是一个整数.例4.已知y =,x y 均为实数），则y 的最大值与最小值的差为（ ）.A 3B .3C 3 D例 5.已知实数,x y ，满足（x ）（y ）=2008，则2232332007x y x y -+--的值为（ ）.A .-2008B .2008C .-1D .1练习： 一．选择题1.如图，数轴上,A B 两点表示的数分别为-1点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数为（ ）.A .2-B .1-C .2-D .12.如图，数轴上,A B 两点分别对应实数,a b ，则下列结论正确的是（ ）.A .0a b +>B .0ab >C .0a b -> C .0a b ->3.若1a ≤ ）.A .(a -B .(1a -C .(a -D .(1a -4. ）.A .12 B .4 C .38 D .175.已知实数m 满足2009m m -=，那么22009m -=（ ）.A .2008B . 2009C . 2010D . 2007二．填空题6.观察分析下列数据，寻找规律：已知一列实数1…，则第n 个数是__________.7.已知a ，b 为实数，且满足0b a >>，224a b ab +=，则a ba b-+的值等于_________.8.已知,a b 是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对（,a b ）共____对.9.设12a =，则5432322a a a a a a a +---+-=__________.10.不超过6的最大整数是_____________.三．解答题11.=,,a x y .12.为了求2320081222...2+++++的值，可令2320081222...2S =+++++，则234200922222...2S =+++++.因此2009221S S -=-，所以23200820091222 (2)21+++++=-， 仿照以上推理计算求2320091555...5+++++的值.13.细心观察图形，解答下列问题:22212312,13,14,S S S+==+==+==.（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出10OA的长；（3）求出222212310...S S S S+++的值.14.是整数，求所有满足条件的正整数a的和.111111S5S4S3S2S1A6A5A4A3A2A1O。
初中数学公开课获奖课件《实数》
有理数包括整数和分数，而无理数则 是一些无法表示为两个整数的商的无 限不循环小数。
实数的性质
实数具有完备性，即实数集具有算术 运算的所有基本性质，如加法、减法 、乘法和除法的封闭性。
实数具有稠密性，即任意两个不同的 实数之间都存在无数个其他实数。
实数具有连续性，即实数集中的任何 两个不同的数都可以被一个介于它们 之间的数所连接。
详细描述
实数的减法运算可以通过加法来实现，即a-b=a+(-b)。通过实例演示，让学生 理解减法运算的规则，掌握实数减法的计算方法，并了解减法在实际问题中的应 用。
乘法运算
总结词
理解乘法运算的意义和规则
详细描述
实数的乘法运算与有理数的乘法运算类似，但实数范围更广，包括有理数和无理数。通过实例演示，让学生理解 乘法运算的意义和规则，掌握实数乘法的计算方法。
教学目标
让学生掌握实数的概念、性质和 运算规则。
培养学生的逻辑思维和推理能力 。
引导学生将数学知识应用于实际 生活，提高数学素养。
02 实数的定义与性质
实数的定义
实数是有理数和无理数的总称，包括 所有可以表示为两个整数的商的数（ 有理数）和无法表示为两个整数的商 的数（无理数）。
实数集是数学中最基本和最重要的概 念之一，它是所有数学运算的基础。
实数还具有阿基米德性质，即对于任 意正实数a和b，存在一个正实数c， 使得a^c < b。
实数与数轴
数轴是表示实数的直观工具，它由所有实数构成的直线 ，每个实数都有一个在数轴上的唯一对应点。
通过数轴，我们可以直观地比较两个实数的大小，也可 以进行加法、减法等运算。
数轴上的每个点都对应一个实数，而每个实数都可以用 数轴上的一个点来表示。
章节实数有关概念市公开课金奖市赛课一等奖课件
A. 0
B. 1
C.2
D.3
4. 在实数中 ， 2， 0，3， 3.14， 4
，无理数有（ ）
5
A.1 个 B.2个
C.3个 D.4个
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五.能力训练
（二）填空题
5. 若a相反数是27，则 a＝ .
6.（·江西）如图2，数轴上
点A所表示是实数a，则点A到原点距离是________.
7. 已知 a 3 b 1 0 ，则实数（a+b）相反数
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四.典型例题
例2 （·北京海淀） 已知x，y是实数，且满足
x 42 y 1 0 ，则x+y值是_________.
思绪分析：由非负数意义知： x 4 0 ，
y
1
0
可得 x 4 ，计算出结果.
y
1
知识考察：非负数意义及其性质和方程组知识. 解：-3.
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四.典型例题
例3 （年·哈尔滨）若x相反数是3， y 5 , 则 x y 值为( ).
A. － 8 B. 2 C. 8或－2 D. －8或2
思绪分析：由相反数、绝对值意义可知：3相反
数出是结－果3. ，由y 5 y 得5
，分类计算
知识考察：相反数、绝对值意义及其性质和数 学分类思想.
解：D.
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（一）选择题
五.能力训练
1. (·重庆)下列各数中，互为相反数是（ ）
A.2与 B.12 与1 C. - 1与 12 D. 2与 2
.
（三）解答题
8. 若a、b互为相反数，c、d 互为倒数，m绝对值是2，
求
ab 2m 2 1 4m 3cd
值.
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期八年级数学上册2实数本章复习全国公开课一等奖百校联赛微课赛课特等奖PPT课件
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• 1. 对于平方根求法，一定要看清所给数形式。 如：求 平方8根1 不能认为是±9.因为 =9，其实81就是求9平方根，所以 平方根
81应该是±3.
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2.实数分类.
①并不是全部带根号数都是无理数.如：√4=2，
它是有理数.
②无限循环小数不能认为是无理数.
如 理数0..3
的结果
aa
有直接的关系。
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本节复习课你能完整地回顾相关 实数知识点吗？ 你以为哪些地方需要给大家提醒， 能够与大家一起分享.
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• 1.布置作业：复习题中选取. • 2. 完成中本课时习题.
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而（ 2 3） 6 2 6 3 6； 这两种形式要认真了解才能算得准确.
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是设a,b 为任意两个正实数，先估算出a，b两数或两数 中某个数取值范围，再进行比较.
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先化简二次根式，要保证被开方数开出来
分析：
结果的正确性，这与a
1
和a
1
1 3
，它是分数，是有理数而不是无
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• 3.二次根式运算. ①只有化简后假如被开方数相同，才能将它们
进行合并.如 2 3 5，因为它们本身就是
最简二次根式，而且被开方数也不相同，不 能直接把被开方数相同. ②有一个形式二次根式除法运算不能利用分配 律.如： 6 （ 2 3） 6 2 6 3；
八年级数学竞赛讲座实数
八年级数学竞赛讲座 实数一、知识要点： 1、实数的分类；2、实数与数轴上的点的对应关系；平方根、立方根的存在性；3、实数的运算；4、实数a 的)0(,|,|2≥a a a a 的非负性；5、二次根式的有关性质； 二、典型例题： 1、计算下列各题：（1）552442)4(|3|)34()5(---+--- （2）9199)999(2ΛΛ+1999个9 1999个9（3）1998199819981998999357153)37(++⋅ （4）已知1211422++-+-=x x x y ，求yx +)2(（5）设a 、b 、c 为实数，若14261412--++++=++c b a c b a ，求3+++ca bc ab 的值；（6）设3819-的整数部分为x ，小数部分为y ，试求yy x 1++的值；（7）求满足条件y x a -=-62的自然数a ，x ，y 。
（8）在实数范围内，设2002)115111|)|1)(2()1|)(|2((a a aa a a a x -++-+--+--=，求x 的个位数字；2、设M 是无理数，a 、b 是有理数，b ≠0，试证：M b a +是无理数；3、求方程|x+1|－|x －2|=|2x －1|的实数解；4、比较大小： （1）4757++与433533-- （2）21++a a 与32++a a5、已知实数x 与y ，使得yxxy y x y x ,,,-+四个数中的三个有相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x ，y ）。
6、若a dcx bax y ,++=、b 、c 、d 都是有理数，x 是无理数，求证：（1）bc=ad 时，y 是有理数；（2）当bc ≠ad ，y 是无理数；7、已知三个数89，12，3进行如下运算：取其中任意两个数求其和再除以2，同时求其差再除以2，试问：能否经过若干次上述运算，得到三个数90，14，10证明你的结论。
8、1993)3||33||42(aa a a ax --+--+-=，求x 的个位数字；9、化简： （1）53262++ （2）)303223)(532(-+++（3）)23)(36(23346++++ （4）3102831028--+（5）117237773321+++++ （6）2524242513223121121++++++Λ10、（1）已知52-=x ，求1168234+-+-x x x x 的值（2）设)5(3)(,0,0b a b b a a b a +=+>>，求abb a ab b a +-++32；（3）已知01621)3(244224=+-+--+-x x x xa x x x ，求a 的值；（4）已知2152522=+--x x ，求221525x x ++-；（5）已知：1111,333=++==zy x cz by ax ，求证：3333222c b a cz by ax ++=++； 作业题：1、化简：（1）521028521028+-+++（2）)02(2222222222>>----+-b a b a b a b a a b a（3）当231+=x 时，求1111111+--⋅+----++x x x x xx x 的值；（4）已知)0,0(122>>+=b a b ab x ，化简xa x a xa x a -++--+；（5）已知04|16|232=+-+-a a b a ，求ab ba b ab a bb a a a ba ÷-+-⋅+--)22(的值；2、设a 、b 、c 是两两不等的有理数，试判断：222)(2)(2)(2a c c b b a -+-+-是无理数，还是有理数3、计算：Λ5555；4、求与2222222219981199711413113121121111++++++++++++Λ最接近的整数。
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八年级数学竞赛讲座 实数
一、知识要点： 1、实数的分类；
2、实数与数轴上的点的对应关系；平方根、立方根的存在性；
3、实数的运算；
4、实数a 的)0(,|,|2
≥a a a a 的非负性；
5、二次根式的有关性质； 二、典型例题： 1、计算下列各题：
（1）55
2
44
2
)4(|3|)34()5(---+--- （2）9199)999(2ΛΛ+
1999个9 1999个9
（3）1998
19981998199899935
7153)37(++⋅ （4）已知1211422++-+-=x x x y ，求y
x +)2(
（5）设a 、b 、c 为实数，若14261412--++++=++c b a c b a ，求
3+++ca bc ab 的值；
（6）设3819-的整数部分为x ，小数部分为y ，试求y
y x 1
++的值；
（7）求满足条件y x a -=-62的自然数a ，x ，y 。
（8）在实数范围内，设
2002
)115111|)|1)(2()1|)(|2((
a a a
a a a a x -++-+
--+--=，求x 的个位数字；
2、设M 是无理数，a 、b 是有理数，b ≠0，试证：M b a +是无理数；
3、求方程|x+1|－|x －2|=|2x －1|的实数解；
4、比较大小： （1）4
757++与
4
33533-- （2）
2
1++a a 与
3
2++a a
5、已知实数x 与y ，使得y
x
xy y x y x ,,,-+四个数中的三个有相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x ，y ）。
6、若a d
cx b
ax y ,++=
、b 、c 、d 都是有理数，x 是无理数，
求证：（1）bc=ad 时，y 是有理数；（2）当bc ≠ad ，y 是无理数；
7、已知三个数89，12，3进行如下运算：取其中任意两个数求其和再除以2，同时求其差再除以
2，试问：能否经过若干次上述运算，得到三个数90，14，10？证明你的结论。
8、1993)3||33||42(a
a a a a
x --+--+-=，求x 的个位数字；
9、化简： （1）5
3262++ （2）)303223)(532(-+++
（3）)
23)(36(23346++++ （4）3102831028--+
（5）11
7237773321+++++ （6）
25
24242513
22312
1121++
+++
+Λ
10、（1）已知52-=x ，求11682
34+-+-x x x x 的值？
（2）设)5(3)(,0,0b a b b a a b a +=+>>，求ab
b a ab b a +-++32；
（3）已知01621
)3(244
2
24
=+-+--
+-x x x x
a x x x ，求a 的值；
（4）已知2152522=+--x x ，求221525x x ++-；
（5）已知：11
11,3
3
3
=++==z
y x cz by ax ，求证：3333222c b a cz by ax ++=++； 作业题：
1、化简：（1）521028521028+-+++
（2）)02(2222
2
2
2
2
2
2
>>----+-b a b a b a b a a b a
（3）当2
31+=x 时，求
1
111111+--⋅+--
--++x x x x x
x x 的值；
（4）已知)0,0(122
>>+=b a b ab x ，化简x
a x a x
a x a -++--+；
（5）已知04
|
16|232=+-+-a a b a ，求ab b
a b ab a b
b a a a b
a ÷-+-⋅
+-
-)22(
的值；
2、设a 、b 、c 是两两不等的有理数，试判断：2
22)
(2
)(2)(2a c c b b a -+-+-是无理数，还是有理数？
3、计算：Λ5555；
4、求与2
222222219981199711413113121121111++++++++++++Λ最接近的整数？。