最新-高中数学 16微积分基本定理(1)课件 新人教A版选修2-2 精品
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高中数学 1.6微积分基本定理课件 新人教A版选修2-2
首页 1 2
XINZHIDAOXUE 新知 ZHONGNANTANJIU 重难探究 DANGTANGJ 当堂 导学 检测
练一练 1
若 f'(x)=ex ,则 f(x)可以是( ) A.ex +x B.ex +x2 C.ex +ln x D.ex +C(C 为常数) 答案 :D
练一练 2
2 1
1 + ������
试一试
曲线 y=cos x ������∈ 0, 为
3π 2
与 x 轴、y 轴围成的图形的面积
. 解析 :如图,阴影部分面积即为所求.
∴S=
sin
3π 2
0
π 2
cos xd x-
-sin
π 2
3 π 2 π 2
cos xd x=sin x|0 -sin x|
π 2
3π 2 π 2
= sin -sin0 −
(4) 思路分析:根据导数与定积分的关系,求定积分要先找到一个导数等于 被积函数的原函数,再根据牛顿—莱布尼茨公式写出答案,找原函数可结合 导数公式表.
首页 探究 一
∴
探究 探究 探究 二 三 四 1 3 解 :(1)∵ ������ + ������ 2 + 3������ '=x2+2x+3,
首页 探究 一 探究 二 探究 三 探究 四
XINZHIDAOXUE 新知 ZHONGNANTANJIU 当堂 重难探究 DANGTANGJ 导学 检测
典型例题 1
计算下列定积分: 2 (1) 1 (x2+2x+3)d x; (2) (3)
0 x (cos xe )d x; -π e 1 d x; 1 ������ 3 2 ������3-1 d x. 1 ������2
高中数学选修2-2微积分基本定理课件
3 dx
-1 1 + x2
= arctanx
3 -1
= arctan 3 - arctan -1
=
π 3
-
-
π 4
=
7 12
π
新知探究
例2. 计算
3 1
2x
-
1 x2
dx
解: 因为x2来自'=2x,
1 x
'
=
-
1 x2
,
由微积分基本定理得:
3
1
2x
-
1 x2
dx
=
3
2xdx -
课前导入
学习微积分,数学和思维水平都将进入一个新的阶段,能切实地训练学生的辨证思维.毫不夸张地 说,不学或未学懂微积分,思维难以达到较高的水平,难以适应21世纪对高中学生素质的要求. 利用本节学习的微积分基本定理,我们就能轻松解决首页的问题.
课前导入
学习微积分的意义 微积分是研究各种科学的工具,在中学数学中是研究初等函数最有效的工具.恩格斯称之为“17 世纪自然科学的三大发明之一”. 微积分的产生和发展被誉为“近代技术文明产生的关键事件之一,它引入了若干极其成功的、对 以后许多数学的发展起决定性作用的思想.” 微积分的建立,无论是对数学还是对其他科学以至于技术的发展都产生了巨大的影响,充分显示 了数学对于人的认识发展、改造世界的能力的巨大促进作用.
新知探究
变速直线运动
如图,一个作变速直线运动的物体的运动规律是y=y(t).由导数的概念的可知,它在任意时刻t的
速度
v t = y' t .设这个物体在时间段[a,b]内的位移为s,你能分别用y(t),v(t)表示s吗?
高中数学_16微积分基本定理(1)课件_新人教A版选修2-2
a a
b
a
f ( x)dx F ( x) | F (b) F (a)
b a
例 2.计算下列定积分 3 1 2 1 (3x - x2 )dx 解:∵ (x ) = 3x ,
3 2
原式 = 3x dx
2 1
3
3
1
3 3 1 1 2 dx 3x dx ( 2 )dx 2 1 1 x x
s (b ) ) s (a
S s(b) s(a) s1 s2 si sn
ba S s1 s2 si sn Si v(t ) n i 1 i 1
并且F’(x)=f(x),则
b a
b
a
f ( x )dx F(b) F(a )
或 f ( x )dx F ( x ) |b a F (b ) F ( a )
(F(x)叫做f(x)的原函数,f(x)就是F(x)的导函数)
关 b b f ( x)dx F ( x) |a F (b) F (a) 键: a
性质 3 不论a,b,c的相对位置如何都有
a f (x)dx a f (x)dx c
y
b
c
b
f (x)dx。
y=f ( x)
f )( dx x)dx f (x f )( dx x) dx f (x )f dx (x f )( dx x dx f (。 x)dx a fa(x a)。 a a a c c c
注意:高中教材省略了常数C
把上 述8 个导 数公 式从 右向 左看
常 用 微 积 分 公 式
复习: 定积分的基本性质
b
a
f ( x)dx F ( x) | F (b) F (a)
b a
例 2.计算下列定积分 3 1 2 1 (3x - x2 )dx 解:∵ (x ) = 3x ,
3 2
原式 = 3x dx
2 1
3
3
1
3 3 1 1 2 dx 3x dx ( 2 )dx 2 1 1 x x
s (b ) ) s (a
S s(b) s(a) s1 s2 si sn
ba S s1 s2 si sn Si v(t ) n i 1 i 1
并且F’(x)=f(x),则
b a
b
a
f ( x )dx F(b) F(a )
或 f ( x )dx F ( x ) |b a F (b ) F ( a )
(F(x)叫做f(x)的原函数,f(x)就是F(x)的导函数)
关 b b f ( x)dx F ( x) |a F (b) F (a) 键: a
性质 3 不论a,b,c的相对位置如何都有
a f (x)dx a f (x)dx c
y
b
c
b
f (x)dx。
y=f ( x)
f )( dx x)dx f (x f )( dx x) dx f (x )f dx (x f )( dx x dx f (。 x)dx a fa(x a)。 a a a c c c
注意:高中教材省略了常数C
把上 述8 个导 数公 式从 右向 左看
常 用 微 积 分 公 式
复习: 定积分的基本性质
高中数学 1.6微积分基本定理课件 新人教A版选修22
=12π2-π6+14sinπ-sinπ3
=π6+14-
23=π6-
3 8.
第二十七页,共36页。
分段函数的定积分(jīfēn)计算
2
求-2|x2-x|dx. [分析] 由于被积函数是含绝对值的函数,需在积分区间 (qū jiān)[-2,2]上分段积分,这里零点是x=0,x=1.
第二十八页,共36页。
典例探究学案
第十九页,共36页。
利用牛顿—莱布尼茨公式(gōngshì)求定积分
求下列定积分:
(1)21xdx; 1
(2)1x3dx; 0
1
(3)
exdx.
-1
[分析] 根据导数(dǎo shù)与积分的关系,求定积分要先找
到一个导数(dǎo shù)等于被积函数的原函数,再根据牛顿—莱
布尼茨公式写出答案,找原函数可结合导数(dǎo shù)公式表.
[答案(dáàn)] 4x+3
第十二页,共36页。
[解析] 设f(x)=ax+b(a≠0),则
1f(x)dx=1(ax+b)dx
0
0
=12ax2+bx01 =12a+b=5,
①
10xf(x)dx=10(ax2+bx)dx=13ax3+12bx201
=13a+12b=167.
②
由①②得ab= =43 ,∴f(x)=4x+3.
第七页,共36页。
微积分基本(jīběn)定理 思维导航 我们已经(yǐ jing)知道利用定积分可以解决一些实际问题, 但用定义求解却很麻烦,有没有简捷有效的计算方法呢?
第八页,共36页。
新知导学 1.微积分基本定理 如果F(x)是区间[a,b]上的连_续__(l_iá_n_x函ù) 数,并且F ′(x)= __f_(x_)___,那么bf(x)dx=_F_(_b)_-__F_(_a_)_.
( 人教A版)高中数学选修22:1.6微积分基本定理课件 (共38张PPT)
1 1
f(x)dx=-4,求
a,b,c
的值.
解析:由 f(1)=2,得 a+b+c=2.①
f′(x)=2ax+b,又 f′(0)=0,所以 b=0.②
因为
1 1
f(x)dx=
1 1
(ax2+bx+c)dx
=(13ax3+12bx2+cx)1-1 =-4,
所以23a+2c=-4,③ 联立①②③,得 a=6,b=0,c=-4.
怎样解答微积分基本定理的应用问题? (1)含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查,先利用微积分 基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提. (2)计算含有参数的定积分,必须分清积分变量与被积函数 f(x)、积分上限与积 分下限、积分区间与函数 F(x)等概念.
3.已知 f(x)=ax2+bx+c,且 f(1)=2,f′(0)=0,
1.6 微积分基本定理
考纲定位
重难突破
1.了解并掌握微积分基 重点:1.微积分基本定理.
本定理的含义.
2.利用微积分基本定理求定积分.
2.会利用微积分基本定 难点:用微积分基本定理解决与之相关
理求函数的积分.
的综合问题.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
一、微积分基本定理
2x, x∈[2,3]
在区间[0,3]上的定积分;
(2)求3 (|2x+3|+|3-2x|)dx. -3
[解析] (1)3f(x)dx=1f(x)dx+2f(x)dx+3f(x)dx
0
0
1
2
=1x3dx+2 xdx+32xdx
0
1
2
=14x410+23x
3 2
【数学】16微积分基本定理课件人教A版选修2-2-精品文档
S
B
hn
ΔSn
t ss
S
hi hi
ΔSi
A
h1
t1
h1
ΔS1
btn
o
at0
t i1
t
i
t n 1
a 段 ts' t设 这 个 物 体 在 时 时刻 t的 速 v 度 ,b 间 t 内的位移 S ,你 为能 分 别 s 用 、 vt 表示 S 吗 ?
t V Δ t st Δ t与 S 的近似程度就越好 .
i 1 ' i 1 i 1 i 1
n
n
ba 由定积分的定义有 Slim vti1 n n i 1
n
b b ba ' ' v t dt s tdt . lim s t i 1 a a n i 1 n
x 微 积 分 基 本 定,理 计表 算明 定积 dx 的关键 f分
b a
3 1 1 例 1计 算 下 : 1 列 dx ;定 2 2 积 x 2 分 dx . 1 1 x x 2
21 1 2 , 所以 解 1 因为 ln x dx ln x | 1 1 x x ln 2 ln 1 ln 2 .
第一章 导数及其应用 1.6 微积分基本定理
从前面的学习中可以发 现 ,虽然被积函数 f xx3
3 非常简单 ,但直接用定积分的定义 计算 x 的值 dx 0 1
请你尝试利用定积分 却比较麻烦 .对于有些定积 21 几 乎 不 可 能 定义计算 2 1dx. 分 ,例如 dx , 1 x 1 x 直接用定义计算 .那么 ,有没有更 加简便、有效的 方法求定积分呢 ?另外 ,我们已经学习了微积分 学 中两个最基本和最重要 的概念 导数和定积分 , 这两个概念之间有没有 内在的联系呢 ? 我们能否 利用这种联系求定积分 呢? 我们先来探究一下导数 和定积分的联系 .
数学:16《微积分基本定理》课件新人教选修2-2
(3) 2 (x3 - 2x)dx;
4
(4)
5
dx;
0
0 x2
(5) 2 (x2 1 )dx;
(6) (x cos x)dx;
1
x
0
(7) cos 2xdx;
(8) 2 sin2 xdx.
0
0
1/29/2020
19
小结
微积分基本公式
b
a f (x)dx = F(b) - F(a)
Sn = f (x1)Dx f(x 2)Dx f(x n )Dx
如果 Dx 无限趋近于0时,Sn无限趋近于常数S,那
么称常数S为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记
作: S = b f(x)dx . a
1/29/2020
5
问题情景
比由较定麻积烦分(四的步定曲义)可,有以没计有算更加01 x简2dx便=有13 效, 的但
T2 v(t)dt
T1
=
T2 T1
s(t
)dt
=
s(T2
)
-
s(T1
).
8
对于一般函数 f (x) ,设 F(x) = f (x)
是否也有
b
f (x)dx =
b
F(x)dx = F(b) - F(a).
a
a
若上式成立,我们就找到了用 f (x的) 原函数
即满足 F(x) = f (x)) 的数值差 F(b) - F(a)
1/29/2020
16
例:计算
2 0
f
( x)dx,其中
f
(x)
=
2x,
高中数学人教A版选修2-2课件:1-6 微积分基本定理
反思求函数f(x)在某个区间上的定积分时,要注意: (1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则,正确求解导数 等于被积函数的函数.当这个函数不易求时,可将被积函数适当变 形后再求解.具体方法是能化简的化简,不能化简的变为幂函数、 正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数与常数的和或差. (2)准确定位积分区间,分清积分下限与积分上限.
1 eπ
0 -π
2 1
������2d������ +
2 1
2������d������ +
2 1
3d������
cos xdx−
0 -π
e������d������
0 =sin ������|0 − e ������ | = -π -π
− 1.
(3) = =
1 2 1 2
������ sin2 d������ 0 2
������ ������
������ (������)d������ = ������ (������)|������ = ������ (������) − ������ (������). ������
栏目 导引
第一章 典例透析三角函数
题型一 题型二 题型三 题型四
利用微积分基本定理计算定积分 【例1】 计算下列定积分:
1-������ , ������2
第一章 典例透析三角函数
题】 计算下列定积分:
(1) (2) (3)
π 2
-1 3 0 2 0
������ 2 ,������ ≤ 0, ������(������)d������, 其中������ (������) = cos������-1,������ > 0; |������2 − 4|d������ ; (|������ − 1| + |������ − 3|)d������.
(vip免费)【数学】1.6《微积分基本定理(第1课时)》课件(人教A版选修2-2)
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校: 北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任 孙烨:杨蕙心是一个目标高远 的学生,而且具有很好的学习品质。学 习效率高是杨蕙心的一大特点,一般同 学两三个小时才能完成的作业,她一个 小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力 很强,这一点在平常的考试中可以体现 。每当杨蕙心在某科考试中出现了问题 ,她能很快找到问题的原因,并马上拿 出解决办法。
Si
t
s'
(ti 1 )
b
n
a
v(ti 1 )
S s1 s2
si
sn
n i 1
Si
n i 1
b a v(t) n
n
n ba
S
lim
n
i 1
Si
lim
n
i 1
n
v(t)
b
v(t)dt
a
b s' (t)dt s(b) s(a)
a
由定积分的定义得
b
b
S a v(t)dt a s '(t)dt s(b) s(a)
公式1:
b a
1dx x
=
lnx|ab
公式2:
b a
xndx
=
nxn++11|ab
作业:P62 A 1 (2)(3)(5)(6)
语文
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附赠 中高考状元学习方法
前言
高考状元是一个特殊的群体,在许多 人的眼中,他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通,但他们 有是不平凡不普通的,他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性,又有 着一些共性,而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
高中数学 1.6 微积分基本定理课件 新人教A版 选修22
第二十三页,共37页。
解析: (1)图象如图所示,
5-1f(x)dx=- 1 1x2dx+13xdx+533dx=13x3|
1-1+12x2|
31+3x|
5 3
=23+4+6=1023.
第二十四页,共37页。
(2)f(x)=x42--x42, ,
x≥2或x≤-2, -2<x<2,
3
2
3
∴0|x2-4|dx=0(4-x2)dx+2(x2-4)dx
a2-1=3, ∴a>1,
a=2,
∴a=2.
答案: 2
第十二页,共37页。
4.已知
f(x)=xco2,s x-1,
x≤0, x>0,
1
试求-1f(x)dx.
解析: - 1 1f(x)dx=0-1x2dx+01(cos x-1)dx =13x3| 0-1+(sin x-x)| 10=sin 1-23.
第六页,共37页。
定积分和曲边梯形面积(miàn jī)的关系
设曲边梯形在x轴上方的面积为S上,在x轴下方的面积为S
则 下.
b
(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时,如图①,则
a
f(x)dx=
__S_上___.
第七页,共37页。
b
(2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时,如图②,则af(x)dx= ____-__S_下___.
3 2
=6×3-32-33+14×34-6×2-22-23+14×24
=94-4=-1.75.
第二十一页,共37页。
(3)
3 1
x+ 1x26xdx=31x+1x+26xdx
3
= 1
(6x2+6+12x)dx
16微积分基本定理课件人教A版选修2-2
D
ΔSi
sti1
P Δt
hi C
o
t i1
ti
t
图1.62
结合图1.61,可得物体总位移
n
n
n
n
S ΔSi hi vti1Δt s' ti1Δt.
i1
i1
i1
i1
显 ,n 越 然 ,即 大 Δ t越 ,区 小 a ,b 间 的分,划
n
n
Vti1Δt s'ti1Δt与S的近似程度就. 越好
Formula).
为 了 ,我 方 们 F 便 b 常 F a 记 常 F x 成 把 |b a ,即
a bfx d x F x |b aF b F a .
微 积 分 基 本 定,理 计表 算明 定 积abf分 xdx的 关 键
是 找 到 满F'足 xfx的 函F数x.通 常 ,我 们 可 以
3当 位 于x 轴 上 方 的 曲 边 y
梯形的面积等于x位轴于1
下方的曲边梯形面积时,
o
1
定积分的值0(图 为1.65),
ysinx π
图1.65
2π x
且等于位x于轴上方的曲
边梯形的面积减去x轴 位下 于方的曲边梯形. 面积
微 积 分 基 本 定 理 揭导示数了和 定积 分 之 间 的 内
在 联 系,同 时 它 也 提 供 了 计积算分定的 一 种 方. 法
2π x
图1.64
可 以 发 ,定现 积 分 的 值 可也能可取能正取值负 还可能 0: 是
1当 对 应 的 曲 边 x轴梯 上形 方 (图 位 1.时 6于 3),
定 积 分 的,值 且取 等正 于值 曲 边;梯 形 的
相关主题
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3
2xdx
1
=
x2
|13
32
12
8
练习:
(1)
1
1dx
=
___1___
0
1
(2)0
xdx
=
__1_/_2__
(3) 1 0
x3dx
=
_1_/_4___
(4) 2 x3dx = _1_5_/_4__ -1
公式2:
b a
xndx
=
xn+1 n+1
|ab
复习: 定积分的基本性质
b
b
性质1.
(
1 x
)
1 x2
原式=
3 3x2dx
31 dx
3 3x2dx
31 ( )dx
1
1 x2
1
1 x2
=
x3 |13
1 x
|13(3313 )(1 31) 1
76 3
练习:
(1) 1(-3t2 + 2)dt _1_____ 0
(2) 2(x + 1)2dx = _2_3_/_6__
1.6 微积分基本定理
三: 定积分的基本性质
性质1.
b
b
a kf ( x )dx ka f ( x )dx
性质2.
b
b
b
[ f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx
a
a
a
三: 定积分的基本性质
性质3. 定积分关于积分区间具有可加性
b
c
b
a f ( x )dx a f ( x )dx c f ( x )dx
kf ( x )dx k f ( x )dx
a
a
b
b
b
性质2.
[ f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx
a
a
a
b a
f
(x)dx
F ( x)
|ba
F (b)
F (a)
例 2.计算下列定积分
3(3x2 - 1 )dx
1
x2
解:∵ (x3 ) = 3x2 ,
F ( x)
|ba
F (b)
F (a)
例1 计算下列定积分
找出f(x)的原 函数是关健
(1) 2 1 dx 1x
(2) 3 2xdx 1
解(1)∵ (lnx) = 1
x
2 1 dx
1x
= lnx|12 = ln2 - ln1 = ln2
公式1:
b a
1dx x
=
lnx|ab
ln
b
ln
a
(2)
cos
xdx
sin
x
|02
sin
2
sin 0 1 0 1
思考: (a)
2 cosxdx的几何意义是什么?
0
(b) cosxdx = __0_____ 0
(c) 2 cosxdx = __0_____ 0
三、小结
微积分基本公式
b
a f ( x)dx F(b) F(a)
牛顿-莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之 间的关系.
公式1:
b a
1dx x
=
lnx|ab
公式2:
b a
xndx
=
nxn++11|ab
1
x
(3) 2(3x2 + 2x -1)dx = __9____ -1
(4) 2 (ex 1)dx = _e_2_-_e_+_1 1
b a
f
(x)dx
F ( x)
|ba
F (b)
F (a)
例 3.计算下列定积分
(1) sinxdx 0
(2) 2 cosxdx 0
解 (1)∵ (co s x)' sin x
c
f
c(xf)(dxxb)df x(bx)fbd(xxf)(dxxc)。 dfx(。x)dx
b
f (x)dx。
aa
aa
a cc
a
c
Oa
c
bx
一、引入
1.比由较定麻积烦分(四的步定曲义)可,有以没计有算更加01 x简2dx便有13 效,的但
方法求定积分呢?
2 x2dx 8
0
3
1(t2 2)dt 5
二、牛顿—莱布尼茨公式
定理 (微积分基本定理)
如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,
并且F’(x)=f(x),则ab f (x)dx F(b) F(a)
或
b a
f
( x)dx
F ( x) |ba
F(b) F(a)
(F(x)叫做f(x)的原函数,f(x)就是F(x)的导函数)
b a
f
(x)dx
0
3
2 (t2 2)dt 22
0
3
探究:如图,一个作变速直线运动的物体的运动规律是s=s(t), 由导数的概念可知,它在任意时刻t的速度v(t)=s’(t).设这个 物体在时间段[a,b]内的位移为S,你能分别用s(t),v(t)表示S 吗?
s(b)
s(a)
S s(b) s(a) s1 s2 si sn
y yf (x)
Oa
C bx
b f ( x )dx
c1 f ( x )dx
c2 f ( x )dx
b
f ( x )dx
a
a
c1
c2
性质 3 不论a,b,c的相对位置如何都有
b
c
b
f (x)dx f (x)dx
f (x)dx。
a
a
c
y y=f(x)
b
f
b
(xf)(dxx)dx
Si
t
s'
(ti 1 )
b
n
a
v(ti 1 )
S s1 s2
si
sn
n i 1
Si
n i 1
b a v(t) n
n
n ba
S
lim
n
i 1
Si
lim
n
i 1
n
v(t)
b
v(t)dt
b s' (t)dt s(b) s(a)
a
a
由定积分的定义得
b
b
S a v(t)dt a s '(t)dt s(b) s(a)
0
sin
xdx
(co
s
x)
|0
cos
( cos 0) 11 2
思考: (a) sinxdx的几何意义是什么? 0 (b) 2 sinxdx = __0_____ 0
(c) 2 sinxdx = __1_____ 0
(2) 2 cosxdx 0
解 (sin x)' cos x
2 0