高三数学考点大扫描限时训练021

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北师大版2021高考数学文科一轮复习课后限时集训2附解析

课后限时集训(二)(建议用时：40分钟)A组基础达标一、选择题1．已知a，b∈R，命题“若ab＝2，则a2＋b2≥4”的否命题是( )A．若ab≠2，则a2＋b2≤4B．若ab＝2，则a2＋b2≤4C．若ab≠2，则a2＋b2＜4D．若ab＝2，则a2＋b2＜4C[命题“若ab＝2，则a2＋b2≥4”的否命题是“若ab≠2，则a2＋b2＜4”，故选C.] 2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”B[命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”，故选B.]3．已知函数f(x)的定义域为R，则f(0)＝0是f(x)为奇函数的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件B[f(0)＝0D/⇒f(x)是奇函数，但f(x)在R上是奇函数⇒f(0)＝0，因此f(0)＝0是f(x)为奇函数的必要不充分条件，故选B.]4．已知x∈R，则“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[由x2－3x＋2＞0得x＜1或x＞2，所以“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件，故选A.]5．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪、非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的( ) A．充要条件B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件D ．必要不充分条件D [“非有志者不能至也”的等价说法是“到达奇伟、瑰怪，非常之观的人是有志的人”，因此“有志”是“到达奇伟，瑰怪，非常之观”的必要条件，但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件，故选D.]6．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”C [对于C ，命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0”，由Δ＝1＋4m ≥0得m ≥－14，故C 错误．] 7．若x ＞5是x ＞a 的充分条件，则实数a 的取值范围为( )A ．a ＞5B ．a ≥5C ．a ＜5D ．a ≤5 D [由x ＞5是x ＞a 的充分条件知，{x |x ＞5}⊆{x |x ＞a }．∴a ≤5，故选D.]二、填空题8．有下列几个命题：①命题“若α＝β，则sin α＝sin β”的逆否命题为真命题；②命题“若a ＜b ，则ac 2≤bc 2”的逆命题为真命题；③“常数m 是2与8的等比中项”是“m ＝4”的必要不充分条件；④“x ＜－1”是“ln(x ＋2)＜0”的充分不必要条件．其中真命题的序号是________．①③ [对于①，原命题为真命题，∴逆否命题为真命题，故①正确；对于②，逆命题为“若ac 2≤bc 2，则a ＜b ”，当c ＝0时不成立，故②错误；对于③，由m 是2与8的等比中项得m 2＝16，解得m ＝±4.因此，“常数m 是2与8的等比中项”是“m ＝4”的必要不充分条件，故③正确；对于④，由ln(x ＋2)＜0得，0＜x ＋2＜1，即－2＜x ＜－1，因此“x ＜－1”是“ln(x ＋2)＜0”的必要不充分条件，故④错误．]9．“m ＜14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的________条件．充分不必要 [x 2＋x ＋m ＝0有实数解等价于Δ＝1－4m ≥0，即m ≤14，因为m ＜14⇒m ≤14，反之不成立．故“m ＜14”是“一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解”的充分不必要条件．] 10．已知集合A ＝{x |y ＝lg(4－x )}，集合B ＝{x |x ＜a }，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．(4，＋∞) [A ＝{x |x ＜4}，由题意知A B ，所以a ＞4.]B 组能力提升 1．“不等式x 2－x ＋m ＞0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A ．m ＞14B ．0＜m ＜1C ．m ＞0D ．m ＞1 C [由Δ＝1－4m ＜0得m ＞14，由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞应是所求的一个真子集，故选C.] 2．若向量a ＝(a －1,2)，b ＝(b,4)，则“a∥b ”是“a ＝1，b ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件B [由a∥b 可知4(a －1)－2b ＝0，即2a －b ＝2，推不出“a ＝1，b ＝0”；而a ＝1，b ＝0，满足2a －b ＝2，可推出“a∥b ”．故选B.]3．已知“命题p ：(x －m )2＞3(x －m )”是“命题q ：x 2＋3x －4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．(－∞，－7]∪[1，＋∞) [由命题p 中的不等式(x －m )2＞3(x －m )，得(x －m )(x －m －3)＞0，解得x ＞m ＋3或x ＜m .由命题q 中的不等式x 2＋3x －4＜0，得(x －1)(x ＋4)＜0，解得－4＜x ＜1.因为命题p 是命题q 的必要不充分条件，所以q ⇒p ，即m ＋3≤－4或m ≥1，解得m ≤－7或m ≥1.所以m 的取值范围为m ≥1或m ≤－7.]4．能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a >b >c ，则a ＋b >c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为________．－1，－2，－3(答案不唯一) [只要取一组满足条件的整数即可．如－1，－2，－3；－3，－4，－6；－4，－7，－10等．]。

高三数学考点大扫描限时训练013

2011届高三数学考点大扫描限时训练0131. 某单位为了了解用电量y 度与气温C x 0之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程ˆybx a =+中2b =-，预测当气温为04C -时，用电量的度数约为______.2. 已知函数2f (x )f ()sin x conx π'=+，则()4f π= . 3. 若曲线()2f x ax lnx =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 .4. 若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，则a 等于 .5. 已知5102cos 2sin =-αα，1222(,),tan(),(,)ππαππββπ∈-=∈，求βα2+的值．6. 已知函数2()21x f x xe ax x =+++在1x =-处取得极值.（1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若函数x y xe = 与22y x x m =--+的图象有惟一的交点，试求实数m 的值.参考答案：1.68；2.0；3. (),0-∞；4. 1-或25-64；5.解：由sin cos 22αα-=52sin 1=-α，所以53sin =α，因为),,2(ππα∈所以54cos -=α，43tan -=α。

因为21)tan(=-βπ，),,2(ππβ∈所以21tan -=β，34tan 1tan 22tan 2-=-=βββ。

因为),,2(ππα∈),,2(ππβ∈所以32(,3),2παβπ+∈1)34()43(2tan tan =-⋅-=βα，所以.252πβα=+ 6.（1）/()22(1)22,x x x f x e xe ax e x ax =+++=+++由/(1)0f -=得 220,a -+= 1a ∴=，2()21x f x xe x x =+++，/()(1)22(1)(2),x x f x e x x x e =+++=++由/()0,f x > 得 1;x >- 由/()0,f x < 得 1;x <-故函数)(x f 的单调增区间为(1,)-+∞，单调减区间为(,1)-∞-.………………………8分（2）函数x y xe = 与22y x x m =--+的图象有惟一的交点等价于方程22x xe x x m =--+ ，即()1f x m =+有惟一解，由（1）)(x f 在(,1)-∞-递减，(1,)-+∞递增，故)(x f 在1x =-时取极小值（最小值）1e-. ……………12分从而方程()1f x m =+有惟一解的充要条件是11(1)m f e+=-=-. 所以，函数x y xe =与22y x x m =--+的图象有惟一交点时11m e =--……16分。

高三数学：2024届新结构“8+3+3”选填限时训练1_10(解析版)

2024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(1)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1对两个具有线性相关关系的变量x 和y 进行统计时，得到一组数据1,0.3 ,2,4.7 ,3,m ,4,8 ，通过这组数据求得回归直线方程为y=2.4x -2，则m 的值为()A.3B.5C.5.2D.6【答案】A【解析】易知x =1+2+3+44=52,y =13+m4，代入y =2.4x -2得13+m 4=2.4×52-2⇒m =3.故选：A2已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是()A.若m ⎳α,n ⎳α,则m ⎳nB.若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥nC.若m ⊥α，m ⊥n ，则n ⎳αD.若m ⎳α，m ⊥n ，则n ⊥α【答案】B【解析】线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确.故选：B3已知向量a ，b 满足a =3，b =23，且a ⊥a +b，则b 在a 方向上的投影向量为()A.3B.-3C.-3aD.-a【答案】D【解析】a ⊥a +b ，则a ⋅a +b =a 2+a ⋅b =9+a ⋅b =0，故a ⋅b=-9，b 在a 方向上的投影向量a ⋅b a 2⋅a =-99⋅a =-a.故选：D .4若n 为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，则二项式3x +12xn的展开式的常数项是()A.7B.8C.9D.10【答案】A【解析】因为n 为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，6×60%=3.6，所以n =8，二项式3x +12x8的通项公式为T r +1=C r 8⋅3x 8-r ⋅12x r =C r 8⋅12 r⋅x8-r 3-r，令8-r 3-r =0⇒r =2，所以常数项为C 28×12 2=8×72×14=7，故选：A5折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1).图2是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧DE ，AC 所在圆的半径分别是3和6，且∠ABC =120°，则该圆台的体积为()A.5023π B.9π C.7π D.1423π【答案】D【解析】设圆台上下底面的半径分别为r 1,r 2，由题意可知13×2π×3=2πr 1，解得r 1=1，13×2π×6=2πr 2，解得：r 2=2，作出圆台的轴截面，如图所示：图中OD =r 1=1,O A =r 2=2，AD =6-3=3，过点D 向AP 作垂线，垂足为T ，则AT =r 2-r 1=1，所以圆台的高h =AD 2-AT 2=32-1=22，则上底面面积S 1=π×12=π，S 2=π×22=4π，由圆台的体积计算公式可得：V =13×(S 1+S 2+S 1⋅S 2)×h =13×7π×22=142π3，故选：D .6已知函数f x =x 2-bx +c (b >0,c >0)的两个零点分别为x 1,x 2，若x 1,x 2,-1三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则不等式x -bx -c≤0的解集为()A.1,52B.1,52C.-∞,1 ∪52,+∞D.-∞,1 ∪52,+∞ 【答案】A【解析】由函数f x =x 2-bx +c (b >0,c >0)的两个零点分别为x 1,x 2，即x 1,x 2是x 2-bx +c =0的两个实数根据，则x 1+x 2=b ,x 1x 2=c 因为b >0,c >0，可得x 1>0,x 2>0，又因为x 1,x 2,-1适当调整可以是等差数列和等比数列，不妨设x 1<x 2，可得x 1x 2=-1 2=1-1+x 2=2x 1 ，解得x 1=12,x 2=2，所以x 1+x 2=52,x 1x 2=1，所以b =52,c =1，则不等式x -b x -c ≤0，即为x -52x -1≤0，解得1<x ≤52，所以不等式的解集为1,52.故选：A .7已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，M ，N 为双曲线一条渐近线上的两点，A 为双曲线的右顶点，若四边形MF 1NF 2为矩形，且∠MAN =2π3，则双曲线C 的离心率为()A.3B.7C.213D.13【答案】C【解析】如图，因为四边形MF 1NF 2为矩形，所以MN =F 1F 2 =2c (矩形的对角线相等)，所以以MN 为直径的圆的方程为x 2+y 2=c 2.直线MN 为双曲线的一条渐近线，不妨设其方程为y =bax ，由y =b a x ,x 2+y 2=c 2,解得x =a y =b ，或x =-a ,y =-b , 所以N a ,b ，M -a ,-b 或N -a ,-b ，M a ,b .不妨设N a ,b ，M -a , -b ，又A a ,0 ，所以AM =a +a 2+b 2=4a 2+b 2，AN =a -a 2+b 2=b .在△AMN 中，∠MAN =2π3，由余弦定理得MN 2=AM 2+AN 2-2AM AN ⋅cos 2π3，即4c 2=4a 2+b 2+b 2+4a 2+b 2×b ，则2b =4a 2+b 2，所以4b 2=4a 2+b 2，则b 2=43a 2，所以e =1+b 2a2=213.故选:C .8已知a =ln 1.2e ,b =e 0.2,c =1.2e 0.2，则有()A.a 0，则f x =e x -1x +1.当x >0时，有e x >1,1x +1<1，所以1x +1<1，所以，f (x )>0在0,+∞ 上恒成立，所以，f (x )在0,+∞ 上单调递增，所以，f (x )>f (0)=1-1=0，所以，f (0.2)>0，即e 0.2-ln1.2-1>0，所以a <b令g x =e x -x +1 ,x >0，则g x =e x -1在x >0时恒大于零，故g x 为增函数，所以x +1ex <1,x >0，而a =ln 1.2e =1+ln1.2>1，所以c <a ，所以c <a <b ，故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9已知函数f x =sin 2x +3π4 +cos 2x +3π4，则()A.函数f x -π4 为偶函数 B.曲线y =f x 对称轴为x =k π,k ∈ZC.f x 在区间π3,π2单调递增D.f x 的最小值为-2【答案】AC【解析】f x =sin 2x +3π4 +cos 2x +3π4=sin2x cos 3π4+sin 3π4cos2x +cos2x cos 3π4-sin2x sin3π4=-22sin2x +22cos2x -22cos2x -22sin2x =-2sin2x ，即f x =-2sin2x ，对于A ，f x -π4 =-2sin 2x -π2=2cos2x ，易知为偶函数，所以A 正确；对于B ，f x =-2sin2x 对称轴为2x =π2+k π,k ∈Z ⇒x =π4+k π2,k ∈Z ，故B 错误；对于C ，x ∈π3,π2 ,2x ∈2π3,π ，y =sin2x 单调递减，则f x =-2sin2x 单调递增，故C 正确；对于D ，f x =-2sin2x ，则sin2x ∈-1,1 ，所以f x ∈-2,2 ，故D 错误；故选：AC10设z 为复数，则下列命题中正确的是()A.z 2=zz B.若z =(1-2i )2，则复平面内z对应的点位于第二象限C.z 2=z 2D.若z =1，则z +i 的最大值为2【答案】ABD【解析】对于A ，设z =a +bi ，故z =a -bi ，则z 2=a 2+b 2，zz =(a +bi )(a -bi )=a 2+b 2，故z 2=zz成立，故A 正确，对于B ，z =(1-2i )2=-4i -3，z =4i -3，显然复平面内z对应的点位于第二象限，故B 正确，对于C ，易知z 2=a 2+b 2，z 2=a 2+b 2+2abi ，当ab ≠0时，z 2≠z 2，故C 错误，对于D ，若z =1，则a 2+b 2=1，而z +i =a 2+(b +1)2=2b +2，易得当b =1时，z +i 最大，此时z +i =2，故D 正确.故选：ABD11已知菱形ABCD 的边长为2，∠ABC =π3．将△DAC 沿着对角线AC 折起至△D AC ，连结BD ．设二面角D -AC -B 的大小为θ，则下列说法正确的是()A.若四面体D ABC 为正四面体，则θ=π3B.四面体D ABC 的体积最大值为1C.四面体D ABC 的表面积最大值为23+2D.当θ=2π3时，四面体D ABC 的外接球的半径为213【答案】BCD【解析】如图，取AC 中点O ，连接OB ,OD ，则OB =OD ，OB ⊥AC ,OD ⊥AC ，∠BOC 为二面角D AC -B 的平面角，即∠BOC =θ．若D ABC 是正四面体，则BD =BC ≠BO ，△OBD 不是正三角形，θ≠π3，A 错；四面体D ABC 的体积最大时，BO ⊥平面ACD ，此时B 到平面ACD 的距离最大为BO =3，而S △ACD=34×22=3，所以V =13×3×3=1，B 正确；S △ABC =S △DAC =3，易得△BAD ≅△BCD ，S △BAD=S △BCD=12×22sin ∠BCD =2sin ∠BCD ，未折叠时BD =BD =23，折叠到B ,D 重合时，BD =0，中间存在一个位置，使得BD =22，则BC 2+D C 2=BD 2，∠BCD =π2，此时S △BAD=S △BCD=2sin ∠BCD 取得最大值2，所以四面体D ABC 的表面积最大值为23+2 ，C 正确；当θ=2π3时，如图，设M ,N 分别是△ACD 和△BAC 的外心，在平面AOD 内作PM ⊥OD ，作PN ⊥OB ，PM ∩PN =P ，则P 是三棱锥外接球的球心，由上面证明过程知平面OBD 与平面ABC 、平面D AC 垂直，即P ,N ,O ,M 四点共面，θ=2π3，则∠PON =π3，ON =13×32×2=33，PN =ON tan π3=33×3=1，PB =PN 2+BN 2=12+233 2=213为球半径，D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12设集合M =x log 2x <1 ，N =x 2x -1<0 ，则M ∩N =．【答案】x 0<x <12【解析】因为log 2x <1=log 22，所以0<x <2，即M =x log 2x <1 =x 0<x <2 ，因为2x -1<0，解得x <12，所以N =x 2x -1<0 =x x <12，所以，M ∩N =x 0<x <12 .故答案为：x 0<x <12 13已知正项等比数列a n 的前n 项和为S n ，且S 8-2S 4=6，则a 9+a 10+a 11+a 12的最小值为.【答案】24【解析】设正项等比数列a n 的公比为q ，则q >0，所以，S 8=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8=a 1+a 2+a 3+a 4+q 4a 1+a 2+a 3+a 4 =S 41+q 4 ，则S 8-2S 4=S 4q 4-1 =6，则q 4>1，可得q >1，则S 4=6q 4-1，所以，a 9+a 10+a 11+a 12=q 8a 1+a 2+a 3+a 4 =S 4q 8=6q 8q 4-1=6q 4-1+1 2q 4-1=6q 4-1 2+1+2q 4-1 q 4+1=6q 4-1 +1q 4-1+2 ≥62q 4-1 ⋅1q 4-1+2 =24，当且仅当q 4-1=1q 4-1q >1 时，即当q =42时，等号成立，故a 9+a 10+a 11+a 12的最小值为24.故答案为：2414已知F 为拋物线C :y =14x 2的焦点，过点F 的直线l 与拋物线C 交于不同的两点A ，B ，拋物线在点A ,B 处的切线分别为l 1和l 2，若l 1和l 2交于点P ，则|PF |2+25AB的最小值为.【答案】10【解析】C :x 2=4y 的焦点为0,1 ，设直线AB 方程为y =kx +1，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 .联立直线与抛物线方程有x 2-4kx -4=0，则AB =y 1+y 2+2=k x 1+x 2 +4=4k 2+4.又y =14x 2求导可得y =12x ，故直线AP 方程为y -y 1=12x 1x -x 1 .又y 1=14x 21，故AP :y =12x 1x -14x 21，同理BP :y =12x 2x -14x 22.联立y =12x 1x -14x 21y =12x 2x -14x 22可得12x 1-x 2 x =14x 21-x 22 ，解得x =x 1+x 22，代入可得P x 1+x 22,x 1x 24 ，代入韦达定理可得P 2k ,-1 ，故PF =4k 2+4.故|PF |2+25AB=4k 2+4+254k 2+4≥24k 2+4 ×254k 2+4=10，当且仅当4k 2+4=254k 2+4，即k =±12时取等号.故答案为：102024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(2)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1抛物线y =12x 2的焦点坐标为()A.18,0B.12,0 C.0,18D.0,12【答案】D 【解析】由y =12x 2可得抛物线标准方程为：x 2=2y ，∴其焦点坐标为0,12 .故选：D .2二项式3x 2-1x 47的展开式中常数项为()A.-7B.-21C.7D.21【答案】A 【解析】二项式3x 2-1x47的通项公式为Tr +1=C r 7⋅3x 27-r⋅-1x4r=Cr 7⋅-1 r⋅x14-14r 3，令14-14r 3=0⇒r =1，所以常数项为C 17⋅-1 =-7，故选：A3已知集合A =x log 2x ≤1 ，B =y y =2x ,x ≤2 ，则()A.A ∪B =BB.A ∪B =AC.A ∩B =BD.A ∪(C R B )=R【答案】A【解析】由log 2x ≤1，则log 2x ≤log 22，所以0<x ≤2，所以A =x log 2x ≤1 =x 0<x ≤2 ，又B =y y =2x ,x ≤2 =y 0<y ≤4 ，所以A ⊆B ，则A ∪B =B ，A ∩B =A .故选：A ．4若古典概型的样本空间Ω=1,2,3,4 ，事件A =1,2 ，甲：事件B =Ω，乙：事件A ,B 相互独立，则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若B =Ω，A ∩B =1,2 ，则P A ∩B =24=12，而P A =24=12，P B =1，所以P A P B =P A ∩B ，所以事件A ,B 相互独立，反过来，当B =1,3 ，A ∩B =1 ，此时P A ∩B =14，P A =P B =12，满足P A P B =P A ∩B ，事件A ,B 相互独立，所以不一定B =Ω，所以甲是乙的充分不必要条件.故选：A5若函数f x =ln e x -1 -mx 为偶函数，则实数m =()A.1B.-1C.12D.-12【答案】C【解析】由函数f x =ln e x -1 -mx 为偶函数，可得f -1 =f 1 ，即ln e -1-1 +m =ln e -1 -m ，解之得m =12，则f x =ln e x -1 -12x (x ≠0)，f -x =ln e -x -1 +12x =ln e x -1 -x +12x =ln e x -1 -12x =f x故f x =ln e x -1 -12x 为偶函数，符合题意.故选：C6已知函数y =f (x )的图象恰为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)x 轴上方的部分，若f (s -t )，f (s )，f (s +t )成等比数列，则平面上点(s ，t )的轨迹是()A.线段(不包含端点) B.椭圆一部分C.双曲线一部分D.线段(不包含端点)和双曲线一部分【答案】A【解析】因为函数y =f (x )的图象恰为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)x 轴上方的部分，所以y =f (x )=b ⋅1-x 2a2(-a <x <a )，因为f (s -t )，f (s )，f (s +t )成等比数列，所以有f 2(s )=f (s -t )⋅f (s +t )，且有-a <s <a ,-a <s -t <a ,-a <s +t <a 成立，即-a <s <a ,-a <t <a 成立，由f 2(s )=f (s -t )⋅f (s +t )⇒b ⋅1-s 2a 22=b ⋅1-(s -t )2a 2⋅b ⋅1-(s +t )2a 2，化简得：t 4=2a 2t 2+2s 2t 2⇒t 2(t 2-2a 2-2s 2)=0⇒t 2=0，或t 2-2a 2-2s 2=0，当t 2=0时，即t =0，因为-a <s <a ，所以平面上点(s ，t )的轨迹是线段(不包含端点)；当t 2-2a 2-2s 2=0时，即t 2=2a 2+2s 2，因为-a <t <a ，所以t 2<a 2，而2a 2+2s 2>a 2，所以t 2=2a 2+2s 2不成立，故选：A7若tan α+π4=-2，则sin α1-sin2α cos α-sin α=()A.65B.35C.-35D.-65【答案】C【解析】因为tan α+π4 =tan α+tan π41-tan αtan π4=tan α+11-tan α=-2，解得tan α=3，所以，sin α1-sin2αcos α-sin α=sin αsin 2α+cos 2α-2sin αcos α cos α-sin α=sin αcos α-sin α 2cos α-sin α=sin αcos α-sin 2α=sin αcos α-sin 2αcos 2α+sin 2α=tan α-tan 2α1+tan 2α=3-91+9=-35.故选：C .8函数f x =2ln xx,x >0sin ωx +π6,-π≤x ≤0，若2f 2(x )-3f (x )+1=0恰有6个不同实数解，正实数ω的范围为()A.103,4B.103,4 C.2,103D.2,103【答案】D【解析】由题知，2f 2x -3f x +1=0的实数解可转化为f (x )=12或f (x )=1的实数解，即y =f (x )与y =1或y =12的交点，当x >0时，f x =2ln xx ⇒f (x )=21-ln x x 2所以x ∈0,e 时，f (x )>0，f x 单调递增，x ∈e ,+∞ 时，f (x )<0，f x 单调递减，如图所示：所以x =e 时f x 有最大值：12<f (x )max =2e<1所以x >0时，由图可知y =f (x )与y =1无交点，即方程f (x )=1无解，y =f (x )与y =12有两个不同交点，即方程f (x )=12有2解当x <0时，因为ω>0，-π≤x ≤0，所以-ωπ+π6≤ωx +π6≤π6，令t =ωx +π6，则t ∈-ωπ+π6,π6则有y =sin t 且t ∈-ωπ+π6,π6，如图所示：因为x >0时，已有两个交点，所以只需保证y =sin t 与y =12及与y =1有四个交点即可，所以只需-19π6<-ωπ+π6≤-11π6，解得2≤ω<103．故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9已知复数z 1,z 2是关于x 的方程x 2+bx +1=0(-2<b <2,b ∈R )的两根，则下列说法中正确的是()A.z 1=z 2B.z 1z 2∈R C.z 1 =z 2 =1D.若b =1，则z 31=z 32=1【答案】ACD【解析】Δ=b 2-4<0，∴x =-b ±4-b 2i 2，不妨设z 1=-b 2+4-b 22i ，z 2=-b2-4-b 22i ，z 1=z 2，A 正确；z 1 =z 2 =-b 22+4-b 222=1，C 正确；z 1z 2=1，∴z 1z 2=z 21z 1z 2=z 21=b 2-22-b 4-b 22i ，b ≠0时，z 1z 2∉R ，B 错；b =1时，z 1=-12+32i ，z 2=-12-32i ，计算得z 21=-12-32i =z 2=z 1 ，z 22=z 1=z 2 ，z 31=z 1z 2=1，同理z 32=1，D 正确．故选：ACD ．10四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，P A 与底面垂直，P A =2，AB =1，动点M 在线段PC 上，则()A.不存在点M ，使得AC ⊥BMB.MB +MD 的最小值为303C.四棱锥P -ABCD 的外接球表面积为5πD.点M 到直线AB 的距离的最小值为255【答案】BD【解析】对于A ：连接BD ，且AC ∩BD =O ，如图所示，当M 在PC 中点时，因为点O 为AC 的中点，所以OM ⎳P A ，因为P A ⊥平面ABCD ，所以OM ⊥平面ABCD ，又因为AC ⊂平面ABCD ，所以OM ⊥AC ，因为ABCD 为正方形，所以AC ⊥BD .又因为BD ∩OM =O ，且BD ，OM ⊂平面BDM ，所以AC ⊥平面BDM ，因为BM ⊂平面BDM ，所以AC ⊥BM ，所以A 错误；对于B ：将△PBC 和△PCD 所在的平面沿着PC 展开在一个平面上，如图所示，则MB +MD 的最小值为BD ，直角△PBC 斜边PC 上高为1×56，即306，直角△PCD 斜边PC 上高也为1×56，所以MB +MD 的最小值为303，所以B 正确；对于C ：易知四棱锥P -ABCD 的外接球直径为PC ，半径R =12PC =1222+12+12=62，表面积S =4πR 2=6π，所以C 错误；对于D ：点M 到直线AB 距离的最小值即为异面直线PC 与AB 的距离，因为AB ⎳CD ，且AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AB ⎳平面PCD ，所以直线AB 到平面PCD 的距离等于点A 到平面PCD 的距离，过点A 作AF ⊥PD ，因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥CD ,又AD ⊥CD ,且P A ∩AD =A ,故CD ⊥平面P AD ，AF ⊂平面P AD ，所以AF ⊥CD ，因为PD ∩CD =D ，且PD ，CD ⊂平面PCD ，所以AF ⊥平面PCD ，所以点A 到平面PCD 的距离，即为AF 的长，如图所示，在Rt △P AD 中，P A =2，AD =1，可得PD =5，所以由等面积得AF =255，即直线AB 到平面PCD 的距离等于255，所以D 正确，故选：BCD .11今年是共建“一带一路”倡议提出十周年.某校进行“一带一路”知识了解情况的问卷调查，为调动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品.设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球3个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球4个，绿球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个，要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束.若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品，已知甲同学参与了问卷调查，则()A.在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为47B.在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为1314C.甲获得奖品的概率为2449D.若甲获得奖品，则甲先抽取绿球的机会最小【答案】ACD【解析】设A 红，A 黄，A 绿，分别表示先抽到的小球的颜色分别是红、黄、绿的事件，设B 红表示再抽到的小球的颜色是红的事件，在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为：P B 红∣A 黄 =P B 红A 黄 P A 黄=27×4727=47，故A 正确；在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为：P B 红 ∣A 红 =P A 红 B 红 P A 红 =P A 黄B 红 +P A 绿B 红 P A 红 =27×37+27×1247=1328，故B 错误；由题意可知，P A 红 =37,P A 黄 =27,P A 绿 =27,P B 红∣A 红 =37,P B 红∣A 黄 =47，P B 红∣A 绿 =12，由全概率公式可知，甲获得奖品的概率为：P =P A 红 P B 红∣A 红 +P A 黄 ⋅P B 红∣A 黄 +P A 绿 ⋅P B 红∣A 绿 =37×37+27×47+27×12=2449，故C 正确；因为甲获奖时红球取自哪个箱子的颜色与先抽取小球的颜色相同，则P A 红∣B 红 =P A 红 ⋅P B 红∣A 红 P B 红=37×37×4924=38，P A 黄∣B 红 =P A 黄 ⋅P B 红∣A 黄P B 红=27×47×4924=13，P A 绿∣B 红 =P A 绿 ⋅P B 红∣A 绿 P B 红 =27×12×4924=724，所以甲获得奖品时，甲先抽取绿球机会最小，故D 正确.故选：ACD .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12已知△ABC 的边BC 的中点为D ，点E 在△ABC 所在平面内，且CD =3CE -2CA ，若AC =xAB +yBE，则x +y =．【答案】11【解析】因为CD =3CE -2CA ，边BC 的中点为D ，所以12CB=3BE -BC +2AC ，因为12CB =3BE -3BC +2AC ，所以52BC =3BE +2AC ，所以52BC =52AC -AB =3BE +2AC ，所以5AC -5AB =6BE +4AC ，即5AB +6BE =AC ，因为AC =xAB +yBE ，所以x =5，y =6，故x +y =11.故答案为：1113已知圆锥母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为时，圆锥的体积最大，最大值为．【答案】①.63②.16327π【解析】设圆锥的底面半径为r ，圆锥的母线与底面所成的角为θ,θ∈0,π2 ，易知cos θ=r 2.圆锥的体积为V =13πr 2⋅4-r 2=43πcos 2θ⋅2sin θ=8π3cos 2θ⋅sin θ=8π31-sin 2θ sin θ令x =sin θ,x ∈0,1 ，则y =1-sin 2θ sin θ=-x 3+x ，y =-3x 2+1当y >0时，x ∈0,33，当y<0时，x ∈33,1 ，即函数y =-x 3+x 在0,33 上单调递增，在33,1上单调递减，即V max =8π333-33 3 =163π27，此时cos θ=1-323 =62.故答案为：62；163π2714已知双曲线C ：x 2-y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为E ，过F 2的直线交双曲线C 的右支于A ，B 两点(其中点A 在第一象限内)，设M ，N 分别为△AF 1F 2，△BF 1F 2的内心，则当F 1A ⊥AB 时，AF 1=；△ABF 1内切圆的半径为．【答案】①.7+1##1+7②.7-1##-1+7【解析】由双曲线方程知a =1,b =3,c =2，如下图所示：由F 1A ⊥AB ，则AF 1 2+AF 2 2=F 1F 2 2=16，故AF 1 -AF 2 2+2AF 1 AF 2 =16，而AF 1 -AF 2 =2a =2，所以AF 1 AF 2 =6，故AF 2 2+2AF 2 -6=0，解得AF 2 =7-1，所以AF 1 =7+1，若G 为△ABF 1内切圆圆心且F 1A ⊥AB 可知，以直角边切点和G ,A 为顶点的四边形为正方形，结合双曲线定义内切圆半径r =12AF 1 +AB -BF 1 =12AF 1 +AF 2 +BF 2 -BF 1所以r =1227+BF 2 -BF 1 =1227-2 =7-1；故答案为：7+1，7-1；2024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(3)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1有一组按从小到大顺序排列数据：3，5，x ，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为()A.7B.7.5C.8D.6.5【答案】B【解析】依题意可得极差为10-3=7，平均数为163+5+x +8+9+10 =1635+x ，所以1635+x =7，解得x =7，所以中位线为7+82=7.5.故选：B .2已知集合A =x x -1 >2 ，B =x log 4x <1 ，则A ∩B =()A.3,4B.-∞,-1 ∪3,4C.1,4D.-∞,4【答案】A【解析】由x -1 >2，得x <-1或x >3，所以A =x x <-1或x >3 ，由log 4x <1，得0<x <4，所以B =x 0<x <4 ，所以A ∩B =x 3<x <4 .故选：A .3已知向量a =(2,0)，b =sin α,32，若向量b 在向量a 上的投影向量c =12,0 ，则|a +b |=()A.3B.7C.3D.7【答案】B【解析】由已知可得，b 在a 上的投影向量为a ⋅b |a |⋅a |a |=2sin α2×2(2,0)=(sin α,0)，又b 在a 上的投影向量c =12,0 ，所以sin α=12，所以b =12,32，所以a +b =52,32 ，所以|a +b |=52 2+322=7.故选：B .4如图是两个底面半径都为1的圆锥底面重合在一起构成的几何体，上面圆锥的侧面积是下面圆锥侧面积的2倍，AP ⊥AQ ，则PQ =()A.74B.262C.52D.3【答案】C【解析】设两圆锥的高OP =x ，OQ =y ，则AP =x 2+1，AQ =y 2+1，由AP ⊥AQ ，有AP 2+AQ 2=PQ 2，可得x 2+1+y 2+1=x +y 2，可得xy =1，又由上下圆锥侧面积之比为2:1，即π×1×P A =2×π×1×QA ，可得P A =2QA ，则有x 2+1=2y 2+1，即x 2=4y 2+3，代入y =1x整理为x 4-3x 2-4=0，解得x =2(负值舍)，可得y =12，OP =x +y =2+12=52．故选：C ．5已知Q 为直线l :x +2y +1=0上的动点，点P 满足QP=1,-3 ，记P 的轨迹为E ，则()A.E 是一个半径为5的圆B.E 是一条与l 相交的直线C.E 上的点到l 的距离均为5D.E 是两条平行直线【答案】C【解析】设P x ,y ，由QP=1,-3 ，则Q x -1,y +3 ，由Q 在直线l :x +2y +1=0上，故x -1+2y +3 +1=0，化简得x +2y +6=0，即P 轨迹为E 为直线且与直线l 平行，E 上的点到l 的距离d =6-112+22=5，故A 、B 、D 错误，C 正确.故选：C .6已知x +1 x -1 5=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5+a 6x 6，则a 1+a 3的值为()A.-1B.1C.4D.-2【答案】C【解析】在x +1 x -1 5=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5+a 6x 6中，而x +1 x -1 5=x x -1 5+x -1 5，由二项式定理知x -1 5展开式的通项为T r +1=C r 5x 5-r (-1)r ，令5-r =2，解得r =3，令5-r =3，r =2，故a 3=C 35(-1)3+C 25(-1)2=0，同理令5-r =1，解得r =4，令5-r =0，解得r =5，故a 1=C 45(-1)4+C 55(-1)5=4，故a 1+a 3=4.故选：C7已知P 为抛物线x 2=4y 上一点，过P 作圆x 2+(y -3)2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则cos ∠APB 的最小值为()A.12B.23C.34D.78【答案】C【解析】如图所示：因为∠APB =2∠APC ，sin ∠APC =AC PC=1PC，设P t ,t 24，则PC 2=t 2+t 24-3 2=t 416-t 22+9=116t 2-4 2+8，当t 2=4时，PC 取得最小值22，此时∠APB 最大，cos ∠APB 最小，且cos ∠APB min =1-2sin 2∠APC =1-21222=34，故C 正确.故选：C8已知函数f x ,g x 的定义域为R ,g x 为g x 的导函数且f x +g x =3,f x -g 4-x =3，若g x 为偶函数，则下列结论一定成立的是()A.f -1 =f -3B.f 1 +f 3 =65C.g 2 =3D.f 4 =3【答案】D【解析】对于D ，∵g x 为偶函数，则g x =g -x ，两边求导可得g x =-g -x ，则g x 为奇函数，则g 0 =0，令x =4，则f 4 -g 0 =3，f 4 =3，D 对；对于C ，令x =2，可得f 2 +g 2 =3f 2 -g 2 =3 ，则f 2 =3g 2 =0 ，C 错；对于B ，∵f x +g x =3，可得f 2+x +g 2+x =3，f x -g 4-x =3可得f 2-x -g 2+x =3，两式相加可得f 2+x +f 2-x =6，令x =1，即可得f 1 +f 3 =6，B 错；又∵f x +g x =3，则f x -4 +g x -4 =f x -4 -g 4-x =3，f x -g 4-x =3，可得f x =f x -4 ，所以f x 是以4为周期的函数，所以根据以上性质不能推出f -1 =f -3 ，A 不一定成立.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9下列结论正确的是()A.若a ab >b 2B.若x ∈R ，则x 2+2+1x 2+2的最小值为2C.若a +b =2，则a 2+b 2的最大值为2D.若x ∈(0,2)，则1x +12-x ≥2【答案】AD【解析】因为a 2-ab =a (a -b )>0，所以a 2>ab ，因为ab -b 2=b (a -b )>0，所以ab >b 2，所以a 2>ab >b 2，故A 正确；因为x 2+2+1x 2+2≥2的等号成立条件x 2+2=1x 2+2不成立，所以B 错误；因为a 2+b 22≥a +b 2 2=1，所以a 2+b 2≥2，故C 错误；因为1x +12-x =12(x +2-x )1x +12-x =122+2-x x +x 2-x ≥12(2+2)=2，当且仅当1x =12-x，即x =1时，等号成立，所以D 正确.故选：AD10若函数f x =2sin 2x ⋅log 2sin x +2cos 2x ⋅log 2cos x ，则()A.f x 的最小正周期为πB.f x 的图像关于直线x =π4对称C.f x 的最小值为-1D.f x 的单调递减区间为2k π,π4+2k π ,k ∈Z【答案】BCD【解析】由sin x >0,cos x >0得f x 的定义域为2k π,π2+2k π ,k ∈Z .对于A ：当x ∈0,π2时，x +π∈π,32π 不在定义域内，故f x +π =f x 不成立，易知f x 的最小正周期为2π，故选项A 错误；对于B ：又f π2-x =2cos 2x ⋅log 2cos x +2sin 2x ⋅log 2sin x =f x ，所以f x 的图像关于直线x =π4对称，所以选项B 正确；对于C ：因为f x =sin 2x ⋅log 2sin 2x +cos 2x ⋅log 2cos 2x ，设t =sin 2x ，所以函数转化为g t =t ⋅log 2t +1-t ⋅log 21-t ,t ∈0,1 ,g t =log 2t -log 21-t ，由g t >0得，12<t <1.g t <0得0<t <12.所以g t 在0,12 上单调递减，在12,1 上单调递增，故g (t )min =g 12=-1，即f (x )min =-1，故选项C 正确；对于D ：因为g t 在0,12 上单调递减，在12,1 上单调递增，由t =sin 2x ，令0<sin 2x <12得0<sin x <22，又f x 的定义域为2k π,π2+2k π ,k ∈Z ，解得2k π<x <π4+2k π,k ∈Z ，因为t =sin 2x 在2k π,π4+2k π 上单调递增，所以f x 的单调递减区间为2k π,π4+2k π ,k ∈Z ，同理函数的递增区间为π4+2k π,π2+2k π ,k ∈Z ，所以选项D 正确.故选：BCD .11已知数列a n 的前n 项和为S n ，且2S n S n +1+S n +1=3，a 1=α0<α<1 ，则()A.当0<α<13-14时，a 2>a 1B.a 3>a 2C.数列S 2n -1 单调递增，S 2n 单调递减D.当α=34时，恒有nk =1S k -1 <54【答案】ACD【解析】由题意可得：S n +1=32S n +1，a 1=α，由S n +1=32S n +1可知：S n +1=1⇔S n =1，但S 1=α∈0,1 ，可知对任意的n ∈N *，都有S n ≠1，对于选项A ：若0<α<13-14，则a 2-a 1=S 2-2a 1=32α+1-2α=3-2α-4α22α+1=4α+1+13 13-14-α2α+1>0，即a 2>a 1，故A 正确；对于选项B ：a 3-a 2=S 3-2S 2+S 1=6α+32α+7-62α+1+α=α-1 4α2+32α+39 2α+1 2α+7<0，即a 3<a 2，故B 错误.对于选项C ：因为S n +1-1=-2S n -1 2S n +1，S n +1+32=3S n +32 2S n +1，则S n +1-1S n +1+32=-23⋅S n -1S n +32，且S 1-1S 1+32=α-1α+32<0，可知S n -1S n+32是等比数列，则S n -1S n +32=α-1α+32⋅-23n -1，设A =α-1α+32<0，t =232n -2，可得S 2n =3-3At 3+2At =3253+2At -1 ，S 2n -1=1+32At 1-At =521-At-32，因为At =A 232n -2，可知A 23 2n -2 为递增数列，所以数列S 2n -1 单调递增，S 2n 单调递减，故C 正确；对于选项D ：因为S n +1=32S n +1，S n +1-34=32S n +1-34=33-2S n 42S n +1，由S 1=α=34，可得S 2-34>0，即S 2>34，则S 2≤65，即34<S 2≤65；由34<S 2≤65，可得S 3-34>0，即S 3>34，则S 3<65，即34<S 3<65；以此类推，可得对任意的n ∈N *，都有S n ≥S 1=α=34，又因为S n +1-1S n -1=22S n +1，则S n +1-1 ≤22α+1S n -1 =45S n -1 ，所以∑nk =1S k -1 ≤541-45 n <54，故D 正确.故选：ACD .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12在(1+ax )n (其中n ∈N *,a ≠0)的展开式中，x 的系数为-10，各项系数之和为-1，则n =.【答案】5【解析】由题意得(1+ax )n 的展开式中x 的系数为aC 1n =-10，即an =-10，令x =1，得各项系数之和为(1+a )n =-1，则n 为奇数，且1+a =-1，即得a =-2,n =5，故答案为：513已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别F 1，F 2，椭圆的长轴长为22，短轴长为2，P 为直线x =2b 上的任意一点，则∠F 1PF 2的最大值为.【答案】π6【解析】由题意有a =2，b =1，c =1，设直线x =2与x 轴的交点为Q ，设PQ =t ，有tan ∠PF 1Q =PQ F 1Q=t3，tan ∠PF 2Q =PQ F 2Q=t ，可得tan ∠F 1PF 2=tan ∠PF 2Q -∠PF 1Q =t -t31+t23=2t t 2+3=2t +3t ≤2t 23t =33，当且仅当t =3时取等号，可得∠F 1PF 2的最大值为π6.故答案为：π614已知四棱锥P -ABCD 的底面为矩形，AB =23，BC =4，侧面P AB 为正三角形且垂直于底面ABCD ，M 为四棱锥P -ABCD 内切球表面上一点，则点M 到直线CD 距离的最小值为.【答案】10-1【解析】如图，设四棱锥的内切球的半径为r ，取AB 的中点为H ，CD 的中点为N ，连接PH ，PN ，HN ，球O为四棱锥P-ABCD的内切球，底面ABCD为矩形，侧面P AB为正三角形且垂直于底面ABCD，则平面PHN截四棱锥P-ABCD的内切球O所得的截面为大圆，此圆为△PHN的内切圆，半径为r，与HN，PH分别相切于点E，F，平面P AB⊥平面ABCD，交线为AB，PH⊂平面P AB，△P AB为正三角形，有PH⊥AB，∴PH⊥平面ABCD，HN⊂平面ABCD，∴PH⊥HN，AB=23，BC=4，则有PH=3，HN=4，PN=5，则△PHN中，S△PHN=12×3×4=12r3+4+5，解得r=1.所以，四棱锥P-ABCD内切球半径为1，连接ON.∵PH⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PH，又CD⊥HN，PH,HN⊂平面PHN，PH∩HN=H，∴CD⊥平面PHN，∵ON⊂平面PHN，可得ON⊥CD，所以内切球表面上一点M到直线CD的距离的最小值即为线段ON的长减去球的半径，又ON=OE2+EN2=10.所以四棱锥P-ABCD内切球表面上的一点M到直线CD的距离的最小值为10-1.故答案为：10-12024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(4)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1已知双曲线的标准方程为x 2k -4+y 2k -5=1，则该双曲线的焦距是()A.1B.3C.2D.4【答案】C【解析】由双曲线方程可知a 2=k -4,b 2=5-k ，所以c 2=k -4+5-k =1，c =1，2c =2．故选：C2在等比数列a n 中，a 1+a x =82，a 3a x -2=81，前x 项和S x =121，则此数列的项数x 等于()A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】由已知条件可得a 1+a x =82a 3a x -2=a 1a x =81，解得a 1=1a x =81 或a 1=81a x =1 .设等比数列a n 的公比为q .①当a 1=1，a x =81时，由S x =a 1-a x q 1-q =1-81q1-q=121，解得q =3，∵a x =a 1q x -1=3x -1=81，解得x =5；②当a 1=81，a x =1时，由S x =a 1-a x q 1-q =81-q 1-q =121，解得q =13，∵a x =a 1q x -1=81×13x -1=35-x =1，解得x =5.综上所述，x =5.故选：B .3对任意实数a ，b ，c ，在下列命题中，真命题是()A.“ac 2>bc 2”是“a >b ”的必要条件B.“ac 2=bc 2”是“a =b ”的必要条件C.“ac 2=bc 2”是“a =b ”的充分条件D.“ac 2≥bc 2”是“a ≥b ”的充分条件【答案】B【解析】对于A ，若c =0，则由a >b ⇏ac 2>bc 2，∴“ac 2>bc 2”不是“a >b ”的必要条件，A 错．对于B ，a =b ⇒ac 2=bc 2，∴“ac 2=bc 2”是“a =b ”的必要条件，B 对，对于C ，若c =0，则由ac 2=bc 2，推不出a =b ，“ac 2=bc 2”不是“a =b ”的充分条件对于D ，当c =0时，ac 2=bc 2，即ac 2≥bc 2成立，此时不一定有a ≥b 成立，故“ac 2≥bc 2”不是“a ≥b ”的充分条件，D 错误，故选：B ．4已知m 、n 是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，则下列命题中正确的是()A.若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB.若α⊥β，β⊥γ，则α∥βC.若m ∥α，m ∥β，则α∥βD.若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n【答案】D【解析】A选项：令平面ABCD为平面α，A1B1为直线m，B1C1为直线n，有：m∥α，n∥α，但m∩n=B1，A错误；B选项：令平面ABCD为平面β，令平面B1BCC1为平面α，令平面A1ABB1为平面γ，有：α⊥β，β⊥γ，而α⊥β，B错误；C选项：令平面ABCD为平面α，令平面A1ABB1为平面β，C1D1为直线m，有：m∥α，m∥β，则α∥β，而α⊥β，C错误；D选项：垂直与同一平面的两直线一定平行，D正确.故选：D5将甲、乙等8名同学分配到3个体育场馆进行冬奥会志愿服务，每个场馆不能少于2人，则不同的安排方法有()A.2720B.3160C.3000D.2940【答案】D【解析】共有两种分配方式，一种是4:2:2，一种是3:3:2，故不同的安排方法有C48C24C222!+C38C35C222!A33=2940.故选：D6若抛物线y2=4x与椭圆E:x2a2+y2a2-1=1的交点在x轴上的射影恰好是E的焦点，则E的离心率为()A.2-12 B.3-12 C.2-1 D.3-1【答案】C【解析】不妨设椭圆与抛物线在第一象限的交点为A，椭圆E右焦点为F，则根据题意得AF⊥x轴，c2=a2-a2-1=1，则c=1，则F1,0，当x=1时，y2=4×1，则y A=2，则A1,2，代入椭圆方程得12a2+22a2-1=1，结合a2-1>0，不妨令a>0；解得a=2+1，则其离心率e=ca=12+1=2-1，故选：C.7已知等边△ABC 的边长为3，P 为△ABC 所在平面内的动点，且|P A |=1，则PB ⋅PC 的取值范围是()A.-32,92B.-12,112C.[1,4]D.[1,7]【答案】B【解析】如下图构建平面直角坐标系，且A -32,0 ，B 32,0 ，C 0,32，所以P (x ,y )在以A 为圆心，1为半径的圆上，即轨迹方程为x +322+y 2=1，而PB =32-x ,-y ,PC =-x ,32-y ，故PB ⋅PC =x 2-32x +y 2-32y =x -34 2+y -34 2-34，综上，只需求出定点34,34 与圆x +322+y 2=1上点距离平方范围即可，而圆心A 与34,34 的距离d =34+32 2+34 2=32，故定点34,34与圆上点的距离范围为12,52，所以PB ⋅PC ∈-12,112.故选：B 8设a 、b 、c ∈0,1 满足a =sin b ，b =cos c ，c =tan a ，则()A.a +c <2b ，ac b 2C.a +c >2b ，ac 2b ，ac >b 2【答案】A【解析】∵a 、b 、c ∈0,1 且a =sin b ，b =cos c ，c =tan a ，则c =tan a =tan sin b ，先比较a +c =sin b +tan sin b 与2b 的大小关系，构造函数f x =sin x +tan sin x -2x ，其中0<x <1，则0<sin x <1，所以，cos1<cos sin x <1，则f x =cos x +cos xcos 2sin x -2=cos x -2 cos 2sin x +cos x cos 2sin x，令g x =cos x -1-12x 2 ，其中x ∈0,1 ，则g x =x -sin x ，令p x =x -sin x ，其中0<x <1，所以，p x =1-cos x >0，所以，函数g x 在0,1 上单调递增，故g x >g 0 =0，所以，函数g x 在0,1 上单调递增，则g x =cos x -1-12x 2 >0，即cos x >1-12x 2，因为x ∈0,1 ，则0<sin x <sin1，所以，cos sin x >1-12sin 2x =1-121-cos 2x =121+cos 2x ，所以，cos 2sin x >141+cos 2x 2，因为cos x -2<0，所以，cos x -2 cos 2sin x +cos x <14cos x -2 1+cos 2x 2+cos x=14cos 5x -2cos 4x +2cos 3x -4cos 2x +5cos x -2 =14cos x -1 3cos 2x +cos x +2 <0，所以，对任意的x ∈0,1 ，f x =cos x -2 cos 2sin x +cos xcos 2sin x <0，故函数f x 在0,1 上单调递减，因为b ∈0,1 ，则f b =sin b +tan sin b -2b <f 0 =0，故a +c <2b ，由基本不等式可得0<2ac ≤a +c <2b (a ≠c ，故取不了等号)，所以，ac <b 2，故选：A .二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9某大学生做社会实践调查，随机抽取6名市民对生活满意度进行评分，得到一组样本数据如下：88、89、90、90、91、92，则下列关于该样本数据的说法中正确的是()A.均值为90B.中位数为90C.方差为2D.第80百分位数为91【答案】ABD【解析】由题意可知，该组数据的均值为x =88+89+90+90+91+926=90，故A 正确；中位数为90+902=90，故B 正确；方差为s 2=1688-90 2+89-90 2+90-90 2×2+91-90 2+92-90 2 =53，故C 错误；因为6×80%=4.8，第80百分位数为91，故D 正确.故选：ABD .10设M ，N ，P 为函数f x =A sin ωx +φ 图象上三点，其中A >0，ω>0，ϕ <π2，已知M ，N 是函数f x 的图象与x 轴相邻的两个交点，P 是图象在M ，N 之间的最高点，若MP 2+2MN ⋅NP=0，△MNP 的面积是3，M 点的坐标是-12,0 ，则()A.A =2B.ω=π2C.φ=π4D.函数f x 在M ，N 间的图象上存在点Q ，使得QM ⋅QN <0【答案】BCD【解析】MP 2+2MN ⋅NP =MP 2-2NM ⋅NP =MP 2-2NM ⋅12NM =T 4 2+A 2 -T 22=A 2-3T 216=0，而S △MNP =AT 4=3，故A =3，T =4=2πω，ω=π2，A 错误、B 正确；-12⋅π2+φ=k π，φ=k π+π4(k ∈Z )，而ϕ <π2，故φ=π4，C 正确；显然，函数f x 的图象有一部分位于以MN 为直径的圆内，当Q 位于以MN 为直径的圆内时，QM⋅QN<0，D 正确，故选:BCD .11设a 为常数，f (0)=12,f (x +y )=f (x )f (a -y )+f (y )f (a -x )，则()．A .f (a )=12B .f (x )=12成立C f (x +y )=2f (x )f (y )D .满足条件的f (x )不止一个【答案】ABC 【解析】f (0)=12,f (x +y )=f (x )f (a -y )+f (y )f (a -x )对A ：对原式令x =y =0，则12=12f a +12f a =f a ，即f a =12，故A 正确；对B ：对原式令y =0，则f x =f x f a +f 0 f a -x =12f x +12f a -x ，故f x =f a -x ，对原式令x =y ，则f 2x =f x f y +f y f x =2f x f y =2f 2x ≥0，故f x 非负；对原式令y =a -x ，则f a =f 2x +f 2a -x =2f 2x =12，解得f x =±12，又f x 非负，故可得f x =12，故B 正确；对C ：由B 分析可得：f x +y =2f x f y ，故C 正确；对D ：由B 分析可得：满足条件的f x 只有一个，故D 错误.故选：ABC .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12在复平面内，复数z =-12+32i 对应的向量为OA ，复数z +1对应的向量为OB ，那么向量AB 对应的复数是．。

高三数学试题-限时训练2-教师版

2025届高三数学选填（2）命题人：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}12A x x =-≤，{},B t t =-，且B A ⊆，则实数t 的取值范围是（）A ．[]1,1-B ．[]3,3-C ．[)(]1,00,1-D ．[)(]3,00,3- 【答案】C【分析】利用集合间的关系，建立不等式求解，注意集合元素的互异性．由B A ⊆，得1313t t t t -≤≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪≠-⎩，解得110t t -≤≤≠且．故实数t 的取值范围是[)(]1,00,1-⋃.故选：C.2.已知椭圆()222:10x C y a a +=>，则“2a =”是“椭圆C的离心率为2”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由椭圆C 的方程()22210x y a a+=>，可得：当1a >时，可得c =c e a ==，由2e ==2a =；当01a <<时，可得c =，此时椭圆的离心率为1ce ==由e =，解得12a =，所以所以2a =是椭圆CA.3．某班有4名同学报名参加校运会的六个比赛项目，若每项至多报一人，且每人只报一项，则报名方法的种数为（）A ．240B ．360C ．480D ．640【答案】B【详解】每项限报一人，且每人只报一项，因此可由人选项目.第一个人有6种不同的选法，第二个人有5种不同的选法，第三个人有4种不同的选法，第四个人有3种不同的选法，由分步计数原理得报名方法共有6543360⨯⨯⨯=种.故选：B4．已知0,0x y >>，且满足341x y+=，则（）A ．xy 的最小值为48B ．xy 的最小值为148C ．xy 的最大值为48D ．xy 的最大值为148【答案】A【详解】由题意得234()xy xy x y =+，所以2291624()xy xy x y xy=++，所以9162424y x xy x y =++≥=48，当且仅当916y x x y =时取等，此时6,8x y ==，故A 正确.故选：A5．甲、乙两选手进行象棋比赛，每局比赛相互独立，如果每局比赛甲获胜的概率均为23，比赛没有和局的情况，比赛采用5局3胜制，则甲通过4局比赛获得胜利的概率是（）A ．3281B ．827C ．1681D ．12【答案】B【详解】因为比赛采用5局3胜制，则甲通过4局比赛获得胜利时前3局胜2局第4局胜共有23C 种情况，所以甲通过4局比赛获得胜利的概率是2232128C ×=33327⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B.6．设202620250.2026log 2025,log 2024,log 0.2025a b c ===，则（）A ．c<a<bB ．b a c <<C ．b a c <<D ．a b c<<【答案】B【详解】由对数函数的性质得202620262026log 1log 2025log 2026<<，所以01a <<，同理，01b <<，而0.20260.2026log 0.2025log 0.20261c =>=，所以c a >，,c b >220262025log 2025ln 2025ln 2024(ln 2025)log 2024ln 2026ln 2025ln 2024ln 2026a b ==÷=⋅，而(22ln 2024ln 2026ln 2024ln 20262+⎛⎫⋅<= ⎪⎝⎭2220242026ln (ln 2025)2+⎛⎫<= ⎝⎭，所以1>ab，即b a <，综上，.b a c <<故选：B.7．已知函数22,1()1,12x ax x f x a x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是（）A ．4(0,)5B ．4(0,]5C ．(0,1)D ．(0,1]【答案】B【详解】由22,1()1,12x ax x f x a x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩是R 上的增函数，得1021122a a aa ⎧⎪≤⎪⎪>⎨⎪⎪-≤-⎪⎩，解得405a <≤，所以实数a 的取值范围是4(0,]5.故选：B8．已知ABC 三个内角A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、c ，且π3A =，4a =.则下列结论不正确的是（）A ．ABC面积的最大值为B．cos cos b C c B +=C ．BA BC ⋅的最大值为8+D ．cos cos B C 的取值范围为()1,2,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【详解】对于A 选项，因为π3A =，4a =，由余弦定理和基本不等式可得22222162cos 2a b c bc A b c bc bc bc bc ==+-=+-≥-=，即16bc ≤，当且仅当4b c ==时，等号成立，故11πsin sin 16223ABC S bc A bc bc ==⨯=△ABC的面积的最大值为A 正确；对于B 选项，222222cos cos 422a b c a c b b C c B b c a ab ac +-+-+=⋅⋅==，故B 错误；对于C选项，由正弦定理可得sin sin c a C A ==则sin 3c C =，因为π3A =，则2π03B <<，所以ππ5π2333B <+<，由平面向量数量积的定义可得cos 4cos cos BA BC ca B c B C B ⋅=== 323π32313cos sin cos cos 33322B B B B B ⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2sin cos 16cos 28cos 2133B B B B B =+=++π28cos 282883B B B ⎛⎫=++=++≤+ ⎪⎝⎭当且仅当ππ232B +=时，即当π12B =时，等号成立，故BA BC ⋅的最大值为83+，故C 正确；对于D 选项，因为π3A =，则2π03C <<，由题意可知，cos 0C ≠，所以，ππ2π0,,223C ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2π1cos cos cos 1322cos cos cos 2c C CB C C C C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==-,当π02C <<时，tan 0C >，则cos 11cos 22=->-B C C ；当π2π23C <<时，tan C <cos 1312cos 222=-<--=-B C C .综上所述，cos cos B C 的取值范围为()1,2,2∞∞⎛⎫--⋃-+ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若方程230x x λ++=在区间()2,0-上有实数根，则实数λ的取值可以是（）A ．0B ．14C ．54D ．94【答案】BCD【详解】由题意23x x λ=--在()2,0-上有解，()223992,0,30,244x x x x λ⎛⎫⎛⎤∈-∴=--=-++∈⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦.故选：BCD ．10．某中学为了调查学生热爱阅读是否与学生的性别有关，从1200名女生和1500名男生中通过分层抽样的方式随机抽取180名学生进行问卷调查，将调查的结果得到等高堆积条形图如图所示，则附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++．a 0.0500.0100.001ax 3.8416.63510.828A ．可以估计该校学生中热爱阅读的女生人数比男生多B ．用样本的频率估计总体概率，从该校学生中任选1人，其热爱阅读的概率为0.65C ．根据小概率值0.01α=的2χ独立性检验，可以认为学生是否热爱阅读与性别有关D ．根据小概率值0.01α=的2χ独立性检验，可以认为学生是否热爱阅读与性别无关【答案】AC【详解】由题意可知：抽取的女生人数为12001808012001500⨯=+，抽取的男生人数为150018010012001500⨯=+，对于女生：热爱阅读的人数为800.864⨯=，不热爱阅读的人数为800.216⨯=；对于男生：热爱阅读的人数为1000.550⨯=，不热爱阅读的人数为1000.550⨯=；对于选项A ：因为6450>，所以可以估计该校学生中热爱阅读的女生人数比男生多，故A 正确；对于选项B ：其热爱阅读的频率为64500.63180+≈，用样本的频率估计总体概率，从该校学生中任选1人，其热爱阅读的概率为0.63，故B 错误；对于选项CD ：根据题意可得列联表性别热爱阅读合计是否女生641680男生5050100合计11466180零假设0H ：学生是否热爱阅读与性别无关，则220.01180(64501650)17.225 6.6358010011466x ⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯χ，根据根据小概率值0.01α=的2χ独立性检验，可知零假设0H 不成立，所以可以认为学生是否热爱阅读与性别有关，故C 正确，D 错误；故选：AC.11．已知函数2cos π()1xf x x x =-+，则下列判断正确的是（）A ．3(4)f x <B ．|()|1||f x x ≤C ．函数()y f x =的图象存在对称轴D ．函数()y f x =的图象存在对称中心【答案】ABD【详解】对于选项A ：因为cos π1x ≤，当2π,Z x k k =∈时等号成立；221331244x x x ⎛⎫-+=-+≥ ⎪⎝⎭，当12x =时等号成立，则两个式子中等号不会同时成立，所以由不等式性质可得2cos π4()13x f x x x =<-+；故选项A 正确；对于选项B ：显然0x ≠.因为当0x >时，12x x+≥，当且仅当1x =时等号成立，此时111x x +-≥；当0x <时，12x x +≤-，当且仅当=1x -时等号成立，此时113x x+-≤-；所以111x x +-≥，则21111x x x x x-+=+-≥.又因为cos π1x ≤，所以21cos πx x x x-+≤，即2cos π11x x x x ≤-+，故选项B 正确；对于选项C ：因为2cos π()1x f x x x =-+，()()()()()222cos π2cos π2(2)41421221a x a x f a x x a x a a a x a x ---=--+-+---+，R a ∈.显然()(2)f x f a x ≠-，所以函数()y f x =的图象不存在对称轴，故选项C 错误；对于选项D ：因为()()()22cos π1cos π()(1)01111x x f x f x x x x x -+-=+=-+---+，所以函数()y f x =的图象关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，故选项D 正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知22252259x x ax ax c x x ++≤++≤++对任意x ∈R 恒成立，则a c +=．【答案】172/8.5【详解】由225259x x x x ++=++，可得2x =-，从而7c =，再由22527x x ax ax ++≤++，222259ax ax c x x ++≤++，对任意x ∈R 恒成立，利用判别式法求解，得解.令225259x x x x ++=++，解得2x =-，故7447a a c ≤-+≤，即7c =，则22527x x ax ax ++≤++，所以()()212120a x a x -+-+≥对任意x ∈R 恒成立，所以()()210,Δ21810,a a a ->⎧⎪⎨=---≤⎪⎩即()21,230,a a >⎧⎪⎨-≤⎪⎩解得32a =，同理222259ax ax c x x ++≤++对任意x ∈R 恒成立可得32a =，综上得32a =，则17.2a c +=故答案为：17213．统计学中，协方差(,)Cov x y 用来描述两个变量之间的总体的误差.设一组数据12,,,n x x x 的平均值为x ，另一组数据12,,,n y y y 的平均值为y ，则协方差()()11(,)ni i i Cov x y x xy y n ==--∑.某次考试结束后，抽取了高一年级10名学生的数学成绩x 、物理成绩y 如下表：序号12345678910数学成绩i x 135124118107958774635344物理成绩iy 97788283776567524445已知10166840i i i x y ==∑，则(,)Cov x y =.【答案】474【详解】由已知得1(135124118107958774635344)9010x =+++++++++=，1(97788283776567524445)6910y =+++++++++=，则()()1011(,)10i i i Cov x y x x y y ==--∑()()()()()()112210101[]10x x y y x xy y x x y y =--+--+⋅⋅⋅+--()()112210101210121011010x y x y x y x x x y y y y x x y =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅++⋅⎡⎤⎣⎦10101111(101010)668490694741010i i i i i i x y x y x y x y x y x y -==-⋅-⋅+⋅=-⋅=-⨯=∑∑.故答案为：474.14．已知双曲线E ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F .过点2F 的直线与y 轴交于点B ，与E交于点A ，且2232F B F A =-，点1F 在以AB 为直径的圆上，则E 的渐近线方程为.【答案】5y =±【详解】依题意，设22AF m =，则2113,22BF m BF AF a m ===+，因为点1F 在以AB 为直径的圆上，则190AF B ∠= ，在Rt 1ABF 中，2229(22)25m a m m ++=，则(3)()0a m a m +-=，故a m =或3a m =-(舍去)，所以12214,2,3AF a AF a BF BF a ====，则||5AB a =，故11244cos 55AF a F AF ABa ∠===，所以在12AF F △中，12cos F AF ∠=222164442425a a c a a +-=⨯⨯，整理得2259c a =，则()22259a b a +=，则2254b a =，则2245b a =，故E的渐近线方程为5y =±.故答案为：5y =±.四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知双曲线2222;1(0,0)x y C a b a b -=>>经过点3,2⎛ ⎝⎭，右焦点为(),0F c ，且222,,c a b 成等差数列.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的右支交于,P Q 两点（P 在Q 的上方），PQ 的中点为,M M 在直线:2l x =上的射影为,N O 为坐标原点，设POQ △的面积为S ，直线,PN QN 的斜率分别为12,k k ，试问12k k S-是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，说明理由.【答案】(1)22163x y -=(2)是定值，定值为23【详解】（1）因为2c ，2a ，2b 成等差数列，所以2222a c b =+，又222c a b =+，所以222a b =.将点⎛ ⎝⎭的坐标代入C 的方程得2269412b b-=，解得23b =，所以26a =，所以C 的方程为22163x y -=.（2）依题意可设PQ ：3x my =+，由223163x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()222630m y my -++=,设()11,P x y ，()22,Q x y ，12y y >，则1221226232m y y m y y m -⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩.1212,22x x y y M ++⎛⎫ ⎝⎭，122,2y y N +⎛⎫⎪⎝⎭，则1221122112121222222211PN QN y y y y y y y y k k k kx x my my -----=-=-=---++()()()121221212221y y m y y m y y m y y ⎡⎤-++⎣⎦=⎡⎤+++⎣⎦，而()()12121322S OF y y y y =⋅-=-，所以()()121221212231m y y k k S m y y m y y ++-=⎡⎤+++⎣⎦22222222624422663363122m m m m m m m m -+---===--⎛⎫-++ ⎪--⎝⎭，所以12k k S -是定值，定值为23.。

专练02 单选提升(50题)2021高考数学考点必杀500题(新高考) (原卷版)

专练02单选题-提升（50题）（新高考）1．（2021·吉林长春市·东北师大附中高一期中）如图，在等边ABC 中，=3BD DC →→，向量AB →在向量上的AD →投影向量为（）A ．713AD →B ．813AD →C ．913AD→D ．1013AD→2．（2021·江苏苏州市·高一期中）若平面向量a 、b 、c 两两的夹角相等，且1a =，1b =，4c =，则22a b c +-=（） A ．0B ．6C ．0或6D ．0或63．（2021·湖北高三二模）在ABC 中，4AB =，6AC =，5BC =，点O 为ABC 的外心，若AO AB AC λμ→→→=+，则λμ+=（） A ．23B ．35C ．47D ．594．（2021·天津南开区·南开中学高一期中）在梯形ABCD 中，已知//,5,25,1AB CD AB AD CD ===，且7AC BD ⋅=，设点P 为BC 边上的任一点，则AP DP ⋅的最小值为（）A ．95B ．115C ．3D ．15-5．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三三模（文））若3AB =，2AC CB =，平面内一点P 满足PA PC PB PC PAPB⋅⋅=，则sin PAB ∠的最大值是（） A 3B ．12C ．13D 226．（2020·全国高三专题练习）如图所示，设P 为ABC ∆所在平面内的一点，并且1255AP AB AC =+，则ABP ∆与ABC ∆的面积之比等于（）A ．15B ．12C ．25D ．17．（2020·全国高一课时练习）一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知成角，且的大小分别为2和4，则的大小为 A ．6B ．2C ．D ．8．（2021·河南洛阳市·高三三模（理））设函数()()()sin cos f x x x ωϕωϕ=+++（0>ω，π2ϕ≤）的最小正周期为π，且过点(2，则下列判断正确的为（） A ．π4ϕ=-B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．将函数()f x 的图象向左平移π4个单位，所得函数的解析式为22y x = 9．（2021·西藏拉萨市·高三二模（文））已知函数()sin cos sin f x x x x =+，下列关于函数()f x 的说法中： ①2π是()f x 的一个周期； ②()f x 是偶函数； ③()f x 的图象关于直线2x π=对称； ④()f x 的最小值是334-．其中所有正确说法的序号为（） A ．①②B ．①④C ．②③④D ．①②④10．（2021·四川成都市·石室中学高一月考）函数()31cos 2f x x x =-，则下列结论错误的是（） A ．f (x )的一个周期为2π- B ．()y f x =的图象关于直线83x π=对称 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 11．（2021·陕西高三二模（理））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作倾斜角为θ的直线l 交双曲线C 的右支于A 、B 两点，其中点A 在第一象限，且1cos 4θ=-．若1AB AF =，则双曲线C 的离心率为（）A ．4B ．15C ．2D ．3212．（2021·湖南高三月考）已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在半径为R 的球面上，且3BAC π∠=，2BC =，若三棱锥P ABC -体积的最大值为32R ，则该球的表面积为（） A ．649πB ．329πC ．6427πD ．169π13．（2021·河南高三月考（文））如图所示的直角坐标系中，角α(π02α<<)、角β(π02β-<<)的终边分别交单位圆于,A B 两点，若B 点的纵坐标为513-，且满足14OABS =，则3sin cos 3sin 2222ααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的值为（）A ．513-B ．1213-C ．1213D ．51314．（2021·浙江高一单元测试）如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于A ．32B ．22C 3 1D 2115．（2021·广东湛江市·高二期末）如图，某人在一条水平公路旁的山顶P 处测得小车在A 处的俯角为30，该小车在公路上由东向西匀速行驶7.5分钟后，到达B 处，此时测得俯角为45．已知小车的速度是20km/h ，且33cos 8AOB ∠=-，则此山的高PO =（）A ．1 kmB 2 kmC 3 kmD 2 km16．（2020·长垣市第十中学高二月考（文））在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2223a c ac b +=+，则cos sin A C +的取值范围为（）A ．332⎫⎪⎪⎝⎭B ．33⎝C ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．32⎤⎥⎝⎦17．（2020·全国高三专题练习（理））已知数列{}n a 为等比数列，且2343,,4a a a 成等差数列，则2457a a a a +=+（） A ．18或278 B ．14 C ．14或94D ．1818．（2020·安徽滁州市·高二月考（理））在数列{}n a 中，412n n a a a +==，则7a =（）A ．121B ．144C ．169D ．19619．（2021·安徽高三月考（文））在数列{}n a 中，112a =且()12n n n a na ++=，则它的前30项和30S =（） A ．3031B ．2930C ．2829 D ．192920．（2021·全国高三月考）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-()*N n ∈，则数列221log nn a a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的最大项为（） A ．1316B ．1716C ．1D ．5421．（2021·苏州市第三中学校高一期中）设i 是虚数单位，则2320202342021i i i i ++++的值为（）A ．10111010i -B ．10101010i -C ．10101012i -D ．10111010i --22．（2021·辽宁大连市·高三一模）如图所示，在三棱锥A BCD -中，平面ACD ⊥平面BCD ，ACD △是以CD 为斜边的等腰直角三角形，AB BC ⊥，24AC CB ==，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A ．32πB ．40πC ．4010π D ．642π 23．（2021·陕西宝鸡市·高三三模（理））已知圆锥的顶点为P ，高和底面的半径之比为2:1，设AB 是底面的一条直径，C 为底面圆周上一点，且6BAC π∠=，则异面直线PB 与AC 所成的角为（）A ．3πB ．6πC ．4π D ．512π 24．（2021·江西上高二中高二月考（理））在三棱锥S ABC -中，SA 、SB 、SC 两两垂直且2SA SB SC ===，点M 为S ABC -的外接球上任意一点，则MA MB ⋅的最大值为（） A ．4B ．2C ．23D ．232+25．（2021·安徽芜湖市·高二期末（文））如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为a ，E 是DD 1的中点，则（）A ．直线B 1E //平面A 1BD B ．11B E BD ⊥C ．三棱锥C 1-B 1CE 的体积为313aD ．直线B 1E 与平面CDD 1C 1所成的角正切值为2526．（2021·江西赣州市·高二期末（理））如图，已知棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，点G 是1BC 的中点，点,H E 分别为1,GD C D 的中点，GD ⊥平面,HE α⊂平面α，平面11AC D 与平面α相交于一条线段，则该线段的长度是（）A ．144B ．114C ．142D ．11227．（2021·新疆高三其他模拟（文））若211212ln 21x x x y y --==，则()()221212x x y y -+-的最小值是（） A ．12B ．22C 2D ．228．（2021·浙江高三其他模拟）设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为(),0F c ，右顶点为A ，过F 作AF的垂线与双曲线交于B 、C 两点，过B 、C 分别作AC 、AB 的垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于a c +，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（） A ．()()1,00,1-⋃ B ．()(),11,-∞-⋃+∞C ．()(2,02-⋃D ．((),22,-∞-+∞29．（2020·全国高三二模（文））已知抛物线C :()220x py p =>的焦点为F ，P 为抛物线C 上的一点，过PF 的中点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，且30FPN ∠=︒，2FN =，则p 的值是（） A ．1B ．2C ．3D ．430．（2021·安徽高三二模（文））已知圆()221:210C x y x my m R +-++=∈关于直线210x y ++=对称，圆2C 的标准方程是()()222316x y ++-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（） A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含31．（2021·安徽蚌埠市·高三三模（文））已知圆C ：22272544x y p ⎛⎫++= ⎪⎝⎭(0p >)，若抛物线E ：22y px =与圆C 的交点为A ，B ，且4sin 5ABC ∠=，则p =（） A ．6B ．4C ．3D ．232．（2021·河南高三三模（文））已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，若椭圆C 上存在一点P ，使得2112sin sin PF F cPF F a∠=∠，则椭圆C 的离心率的取值范围为（） A．0,2⎛ ⎝⎭B．()1C．)1,1D．2⎛⎫⎪⎪⎝⎭33．（2021·山西高三二模（理））椭圆C 的焦点分别为()11,0F -，()21,0F ，直线l 与C 交于A ，B 两点，若112AF F B =，2120AF F F ⋅=，则C 的方程为（）A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=34．（2021·浙江高三其他模拟）已知点P在曲线y =Q 在圆()22:21C x y ++=上，则PQ 的取值范围为（）A．1,4⎤⎦B．⎤⎦C．1,2⎤⎦D．1,4⎤⎦35．（2021·山东日照市·高三一模）函数3xy a-=（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点A ，若点A 在椭圆221x y m n+=（0m >，0n >）上，则m n +的最小值为（） A ．12B ．14C ．16D ．1836．（2020·全国高三其他模拟（文））在平面直角坐标系xOy 中，1F 、2F 分别为椭圆()222210x ya b a b+=>>的左、右焦点，P 为椭圆上的点，PQ 为12F PF ∠的外角平分线，2F T PQ ⊥于点T ，则点T 的轨迹为（） A ．双曲线B ．抛物线C ．椭圆D ．圆37．（2021·全国高二课时练习）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F .2F 也是抛物线()2:20E y px p =>的焦点，点A 为C 与E 的一个交点，且直线1AF 的倾斜角为45︒，则C 的离心率为（）AB1 C．3D138．（2020·河北承德市·高三其他模拟（理））过椭圆2213627x y +=上一点P 分别向圆()221:34C x y ++=和圆()222:31C x y -+=作切线，切点分别为M 、N ，则222PM PN +的最小值为（）A ．90B ．102C ．107D ．16539．（2021·曲靖市第二中学高三二模（文））“()()22log 2log 21a b x y +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是（） A ．0a b <⎪⎩，则不等式()1f x <的解集为（）A ．()1,7B ．()0,8C ．()1,8D ．(),8-∞41．（2021·安徽黄山市·高三二模（理））设1ln 3a =，1b e -=-，31log 2c =，则（） A ．b c a <>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．b c a >>43．（2021·江西鹰潭市·高三一模（文））已知曲线()x f x ke -=在点0x =处的切线与直线210x y --=垂直，若1x ，2x 是函数()()|ln |g x f x x =-的两个零点，则（） A ．122x x ->B ．12x x e +>C ．12211x x e<< D ．1211x x e<< 44．（2021·江西南昌市·高三二模（理））已知2(0,1)()log ,[1,2)a ax x f x x x ⎧∈=⎨∈⎩，，若()2af x =有两解，则a 的取值范围是（） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(1,2]D ．(1,2)45．（2021·全国（理））若曲线21sin 242y x x =+在()11,A x y ，()22,B x y 两点处的切线互相垂直，则12x x -的最小值为（） A ．3πB ．2π C ．23π D ．π46．（2021·安徽蚌埠市·高三三模（理））若2222log log 41a a a b b b -+=-++，则（） A ．2a b > B ．2a b < C ．21a b >+D ．21b a >+47．（2021·安徽蚌埠市·高三三模（理））关于函数32()sin cos 3f x x x =-，下列命题正确的是（） A ．()f x 不是周期函数B ．()f x 在区间[]0,π上单调递减C ．()f x 的值域为[]1,1-D ．x π=是曲线()y f x =的一条对称轴48．（2021·湖北十堰市·高三二模）已知函数322()232f x x mx nx m =+++在1x =处有极小值，且极小值为6，则m =（） A ．5B ．3C ．2-D ．2-或549．（2021·新疆高三其他模拟（理））定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且0x >时，()ln 1x f x x -=.若关于x 的方程()1f x kx e=-有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（） A ．11,0,e e ⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．11,00,e e ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．2211,0,e e ⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．2211,00,e e ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭50．（2021·山西临汾市·高三二模（理））已知曲线()ln 2f x x x =+与曲线()()2g x a x x =+有且只有两个公共点，则实数a 的取值范围为（） A ．()0,1B ．(]0,1C ．(),0-∞D ．()0,∞+。

2020新课标高考数学(理)二轮总复习(课件+专题限时训练)1-2-1

专题限时训练 (小题提速练)(建议用时：45分钟)一、选择题1．(2018·高考全国卷Ⅰ)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．12答案：B解析：设该等差数列的公差为d ，根据题中的条件可得3⎝ ⎛⎭⎪⎫3×2＋3×22×d ＝2×2＋d ＋4×2＋4×32×d ，整理解得d ＝－3，所以a 5＝a 1＋4d ＝2－12＝－10，故选B.2．(2017·江西省五市联考)已知等差数列{a n }的前10项和为30，a 6＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．958 C ．948 D ．18 答案：C解析：法一因为等差数列{a n }的前10项和为30，所以a 1＋a 10＝6，即a 5＋a 6＝6，因为a 6＝8，所以a 5＝－2，公差d ＝10，所以－2＝a 1＋4×10，即a 1＝－42，所以a 100＝－42＋99×10＝948，故选C.法二设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎨⎧a 1＋5d ＝8，10a 1＋10×92d ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－42，d ＝10，所以a 100＝－42＋99×10＝948，故选C. 3．已知数列{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．110答案：D解析：a 7是a 3与a 9的等比中项，公差为－2，所以a 27＝a 3·a 9. 所以a 27＝(a 7＋8)(a 7－4)，所以a 7＝8，所以a 1＝20，所以S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110.故选D.4．(2019·吉林模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若1a 1＋1a 2＋1a 3＝2，a 2＝2，则S 3＝( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．4答案：A解析：1a 1＋1a 2＋1a 3＝a 1＋a 3a 1a 3＋1a 2＝a 1＋a 2＋a 3a 22＝S 34＝2，则S 3＝8.故选A.5．(2019·怀化三模)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中有一道题为：今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何？若记堤与枝的个数分别为m ，n ，一等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝m ，S 6＝n ，则a 5为( ) A ．18 B ．81 C ．234 D ．243 答案：C解析：∵a 2＝9，S 6＝93， ∴729＝6(a 2＋a 5)2＝3(a 5＋9)，∴a 5＝234.故选C.6．(2018·昆明市调研测试)已知等差数列{a n }的公差为2，且a 4是a 2与a 8的等比中项，则{a n }的通项公式a n ＝( ) A ．－2nB ．2nC ．2n －1D ．2n ＋1答案：B解析：由题意，得a 2a 8＝a 24.又a n ＝a 1＋2(n －1)，所以(a 1＋2)(a 1＋14)＝(a 1＋6)2，解得a 1＝2，所以a n ＝2n .故选B.7．在等差数列{a n }中，首项a 1＝0，公差d ≠0，若a k ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7，则k ＝( ) A ．22 B ．23 C ．24 D ．25答案：A解析：{a n }为等差数列，所以a k ＝a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4，则a 1＋(k －1)d ＝7(a 1＋3d )．因为a 1＝0，所以(k －1)d ＝21d ，d ≠0，解得k ＝22，故选A.8．正项等比数列{a n }中的a 1，a 4 037是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －3的极值点，则log6a 2 019＝()A ．1B ．2 C. 2 D ．－1答案：A解析：因为f ′(x )＝x 2－8x ＋6，且a 1，a 4 037是方程x 2－8x ＋6＝0的两根，所以a 1·a 4 037＝a 22 019＝6，即a 2 019＝6，所以log6a 2 019＝1，故选A.9．(2018·湖北八校联考)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1a 6＝2a 3，a 4与2a 6的等差中项为32，则S 5＝( ) A ．36 B ．33 C ．32 D ．31答案：D解析：设{a n }的公比为q (q >0)，因为a 1a 6＝2a 3，而a 1a 6＝a 3a 4，所以a 3a 4＝2a 3，所以a 4＝2.又a 4＋2a 6＝3，所以a 6＝12，所以q ＝12，a 1＝16，所以S 5＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝31.故选D.10．(2018·大连模拟)在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意正整数m ，k ，总有a m ＋k ＝a m ＋a k ，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．n (3n －1) B ．n (n ＋3)2 C ．n (n ＋1) D ．n (3n ＋1)2答案：C解析：依题意得a n ＋1＝a n ＋a 1，即有a n ＋1－a n ＝a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项，2为公差的等差数列，a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1)，选C.11．已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( ) A.32 B ．53 C.256 D ．不存在答案：A解析：∵a 7＝a 6＋2a 5，∴a 5q 2＝a 5q ＋2a 5，∴q 2－q －2＝0，∴q ＝2.∵存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，∴a m a n ＝16a 21，∴q m ＋n －2＝16＝24，而q ＝2，∴m ＋n －2＝4，∴m ＋n ＝6，∴1m ＋4n ＝16(m ＋n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥16×(5＋4)＝32，当且仅当m ＝2，n ＝4时，等号成立，∴1m ＋4n 的最小值为32.故选A.12．数列{a n }的通项a n ＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2n π3－sin 2n π3，其前n 项和为S n ，则S 30为( )A ．470B ．490C ．495D ．510答案：A解析：由于cos 2n π3－sin 2n π3＝cos 2n π3以3为周期，故S 30＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋222＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－42＋522＋62＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－282＋2922＋302＝∑k ＝110⎣⎢⎡⎦⎥⎤－(3k －2)2＋(3k －1)22＋(3k )2 ＝∑k ＝110 ⎝ ⎛⎭⎪⎫9k －52＝9×10×112－25＝470.二、填空题13．(2019·北京四中热身卷)若等差数列{a n }满足a 1＝12，a 4＋a 6＝5，则a 2 019＝________. 答案：2 0192解析：∵等差数列{a n }满足a 1＝12，a 4＋a 6＝5， ∴12＋3d ＋12＋5d ＝5，解得d ＝12，∴a 2 019＝12＋2 018×12＝2 0192.14．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1，S 3，S 2成等差数列，则{a n }的公比q ＝__________. 答案：－12解析：由题意得，2S 3＝S 1＋S 2，∴2(a 1＋a 2＋a 3)＝a 1＋(a 1＋a 2)，整理得a 2＋2a 3＝0，∴a 3a 2＝－12，即公比q ＝－12.15．(2017·石家庄市高三质量检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为12，13，23，14，24，34，15，25，35，45，…，1n ，2n ，…，n －1n ，…，若S k ＝14，则a k ＝__________.答案：78解析：因为1n ＋2n ＋…＋n －1n ＝1＋2＋…＋n －1n ＝n 2－12，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋nn ＋1＝1＋2＋…＋n n ＋1＝n 2，所以数列12，13＋23，14＋24＋34，…，1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1是首项为12，公差为12的等差数列，所以该数列的前n 项和T n ＝12＋1＋32＋…＋n 2＝n 2＋n4.令T n ＝n 2＋n 4＝14，解得n ＝7，所以a k ＝78.16．(2018·云南师大附中月考)已知数列{a n }满足a 1＝2，且a n ＝2na n －1a n －1＋n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a n ＝________.答案：n ·2n2n －1解析：由a n ＝2na n －1a n －1＋n －1，得n a n ＝n －12a n －1＋12，于是n a n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n －1a n －1－1(n ≥2，n ∈N *)．又1a 1－1＝－12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n －1是以－12为首项，12为公比的等比数列，故n a n－1＝－12n ，∴a n ＝n ·2n 2n－1(n ∈N *)．专题限时训练 (大题规范练)(建议用时：60分钟)1．(2019·河北模拟)已知数列{a n }满足a 1＝2且a n ＋1＝3a n ＋2n －1(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n ＋n }为等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式； (3)求数列{a n }的前n 项和S n .解析：(1)数列{a n }满足a 1＝2且a n ＋1＝3a n ＋2n －1，可得a n ＋1＋n ＋1＝3a n ＋3n ＝3(a n ＋n )，可得数列{a n ＋n }是首项为3，公比为3的等比数列． (2)a n ＋n ＝3n ，即a n ＝3n －n (n ∈N *)． (3)S n ＝(3＋9＋…＋3n )－(1＋2＋…＋n ) ＝3(1－3n )1－3－12n (n ＋1)＝32(3n －1)－12n (n ＋1)．2．(2017·山西省八校联考)已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝1，且2a 2，a 4,3a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝2na n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：(1)由2a 2，a 4,3a 3成等差数列可得2a 4＝2a 2＋3a 3，即2a 1q 3＝2a 1q ＋3a 1q 2. 又q >1，a 1＝1，故2q 2＝2＋3q ，即2q 2－3q －2＝0，得q ＝2，因此数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)b n ＝2n ×2n －1＝n ×2n ，T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ， ① 2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1， ② ①－②得－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1，－T n ＝2(2n －1)2－1－n ×2n ＋1，T n ＝(n －1)×2n ＋1＋2.3．(2017·福建省高中毕业班质量检测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝2，S 5＝15，数列{b n }的前n 项和T n 满足T n ＝(n ＋5)a n . (1)求a n ；(2)求数列{1a nb n}的前n 项和．解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝2，S 5＝15，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，5a 1＋10d ＝15，解得a 1＝d ＝1，所以a n ＝n .(2)由(1)得，a n ＝n ，所以T n ＝n (n ＋5)．当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝n (n ＋5)－(n －1)(n ＋4)＝2n ＋4，当n ＝1时，b 1＝T 1＝6也满足上式，所以b n ＝2n ＋4(n ∈N *)．所以1a n b n ＝1n (2n ＋4)＝12n (n ＋2)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2. 设{1a nb n }的前n 项和为P n ，则当n ≥2时，P n ＝1a 1b 1＋1a 2b 2＋…＋1a n b n ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1n －⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋14＋…＋1n ＋1n ＋1＋1n ＋2 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝38－14(n ＋1)－14(n ＋2).当n ＝1时，P 1＝1a 1b 1＝16也满足上式．综上，P n ＝38－14(n ＋1)－14(n ＋2).4．已知数列{a n }满足：a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)(n ∈N *)． (1)若b n ＝a nn ＋1，试证明数列{b n }为等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式a n 及其前n 项和S n .解析：(1)证明：由na n ＋1＝2(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)得a n ＋1n ＋1＝2a nn ＋1，得a n ＋1n ＋1＋1＝2a n n ＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n ＋1，即b n ＋1＝2b n .又b 1＝2，所以数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知b n ＝2n ，得a nn ＋1＝2n ，即a n ＝n (2n －1)，∴S n ＝1×(2－1)＋2×(22－1)＋3×(23－1)＋…＋n (2n －1) ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n －(1＋2＋3＋…＋n ) ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n－n (n ＋1)2.令T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ，则2T n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1，两式相减，得－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1，∴T n ＝2(1－2n )＋n ·2n ＋1＝(n －1)·2n ＋1＋2，n(n＋1)∴S n＝(n－1)·2n＋1＋2－2.。

江苏省扬中市第二高级中学2013届高三数学复习限时训练(1-7)

高三数学复习限时训练（01）1、设集合{}R x x x x A ∈+≤-=,112)2(2，则集合*⋂N A 中有个元素。

2、若()35cos =+απ且⎪⎭⎫⎝⎛∈ππα，2，则()απ-2sin =__________ 3、已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若137a S =，则等比数列{}n a 的公比等于_____4、已知函数2()f x x x =-，若2(1)(2)f m f --<，则实数m 的取值范围是．5、已知直线1l ：32+=x y ，直线2l 与直线1l 关于直线x y -=对称，则直线2l 的斜率为_______6、已知函数xbe ax x f +=)(图象上在点)2,1(-P 处的切线与直线x y 3-=平行，则函数)(x f 的解析式为_____7、已知等差数列{}n a 的前n 项和为()21,n S a n a =++某三角形三边之比为234::a a a ，则该三角形最大角为 ____8、已知直线0132=+++y x 与圆032-22=-+x y x 交于N M ,两点，则弦MN 的垂直平分线方程为__________9、在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足(2)cos cos a c B b C -=．（1）求角B 的大小；（2）设(sin ,1),(3,cos2)m A n A ==，试m n ⋅ 求的取值范围．限时训练（01）参考答案1.72. 23-3.24. (1,1)-5. 0.56. 12.50.5x y x e +=--7. 1208. 3x-2y-3=09．（1）60B = ，（2）17(2,]8高三数学复习限时训练（02）1、若复数2(3)(,()z a a i a R =--∈2007=2、若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是___________3、已知点A 、B 、C 3=4=5=，则⋅+⋅+⋅的值是____.4、ABC ∆的三内角A ，B ，C 所对边长分别是c b a ,,，设向量),sin ,(C b a +=)sin sin ,3(A B c a -+=，若n m //，则角B 的大小为_____________5、已知：}2|1||{<-=x x A ，}11|{+<<-=m x x B ,若B x ∈成立的一个充分不必要条件是A x ∈ ，则实数m 的取值范围6、过点()0,4-作直线l 与圆0204222=--++y x y x 交于A 、B 两点，若AB=8，则直线l 的方程为______7、已知||1a = ，||2b = ，()a a b ⊥+，则a 与b 夹角的度数为 .8、若]2,0[πθ∈，且54sin =θ，则2tan θ= 9、已知向量a = (1，1)，向量b 与向量a 的夹角为34π，且a ·b = －1.（1）求向量b ；（2）若向量b 与q =（1，0）的夹角为2π，向量p =2(cos ,2cos )2CA ，其中A ，C 为△ABC 的内角，且A + C =23π，求|b + p |的最小值.限时训练（02）参考答案12、53、 25-4、π655、),2(+∞ 6.、 020125=++y x 或4-=x7、23π 8、21 9、（1）b =(－1,0)或b =(－1,0).；（2）22高三数学复习限时训练（03）1、函数x x y 22-=的定义域为{}3,2,1,0，那么其值域为_____2、设复数1212,()z i z x i x =-=+∈R ，若12z z ⋅为实数，则x = ．3、已知{}n a 为等差数列，且74321,0a a a -=-=,则公差d ＝4、有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘的序号5、设命题014,::22>++∈∀<cx x R x q c c p 对和命题，若p 和q 有且仅有一个成立，则实数c 的取值范围是 6、1tan 2a =，则sin cos a a = 7、过定点P (1,2)的直线在x y 轴与轴正半轴上的截距分别为a b 、,则422a b +的最小值为 .8、设等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ,已知38S =，67S =,则789a a a ++= .9、已知函数()ln f x x ax =-()a ∈R . (Ⅰ) 求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ) 当a >0时，求函数()f x 在[1,2]上最小值.限时训练（03）参考答案1. {}0,1,3-2. 21-3. －124. （1）5. 121021<≤≤<-c c 或6. 527. 32 8.819． (Ⅰ) 1()f x a x '=-(0x >),①当a ≤ 0时，1()f x a x'=->0，故函数()f x 增函数，即函数()f x 的单调增区间为(0,)+∞． ②当0a >时，令1()0f x a x '=-=，可得1x a=, 当10x a <<时，1()0ax f x x -'=>；当1x a>时，1()0ax f x x -'=<，故函数()f x 的单调递增区间为1(0,]a,单调减区间是1[,)a +∞.(Ⅱ)①当11a≤,即1a ≥时,函数()f x 在区间[1,2]上是减函数,∴()f x 的最小值是(2)ln 22f a =-.②当12a ≥，即12a ≤时，函数()f x 在区间[1,2]上是增函数， ∴()f x 的最小值是(1)f a =-.③当112a <<，即112a <<时，函数()f x 在1[1,]a 上是增函数，在1[,2]a是减函数．又(2)(1)ln 2f f a -=-，∴当1ln 22a <<时,最小值是(1)f a =-；当ln 21a ≤<时,最小值为(2)ln 22f a =-.综上可知,当0ln 2a <<时, 函数()f x 的最小值是min ()f x a =；当l n2a ≥时，函数()f x 的最小值是min ()ln 2f x =.高三数学复习限时训练（04）1、=︒+︒-︒570sin 2135cos 315sin 。

高考数学客观题限时训练习题及参考答案(十一套)

高考数学客观题限时训练习题（十一套）高考数学客观题限时训练一班级姓名学号记分1、已知集合{}{}|12,|35A x a x a B x x =-≤≤+=<<，则能使A B ⊇成立的实数a 的取值范围是（）A ．{}|34a a <≤B ．{}|34a a <<C ．{}|34a a ≤≤D ．∅ 2、等比数列{}n a 中，0n a >且21431,9a a a a =-=-，则45a a +等于（） A ．16 B ．27 C ．36 D ．27- 3、不等式2103x x -≤的解集为（）A ．{|2x x ≤≤ B ．{}|25x x -≤≤ C ．{}|25x x ≤≤ D ．{}5x x ≤ 4、曲线24y x =关于直线2x =对称的曲线方程是（）A ．2164y x =-B ．284y x =-C ．248y x =-D ．2416y x =-5、已知()321233y x bx b x =++++是R 上的单调增函数，则b 的范围（）A ．1b <-或2b >B ．1b ≤-或2b ≥C ．12b -<<D ．12b -≤≤6、直线l 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右准线，以原点为圆心且过双曲线的焦点的圆被直线l 分成弧长为21∶的两段圆弧，则该双曲线的离心率是（）A B C D7、空间四点A B C D 、、、，若直线,,AB CD AC BD AD BC ⊥⊥⊥同时成立，则A B C D 、、、四点的位置关系是（）A ．一定共面B ．一定不共面C ．不一定共面D ．这样的四点不存在8、()f x 是定义在R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则2T f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（）A ．0B ．2TC ．TD ．2T-9、已知实数x y 、满足22326x y +=，则2x y +的最大值为（） A ．4 BC． D10、函数222x y e -=的图象大致是（）选择题答案栏11、直线20x y m ++=按向量()1,2a =--平移后与圆22:240C x y x y ++-=相切，则实数m 的值为____________.12、在()()10211x x x ++-的展开式中，4x 项的系数是_______________.13、12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有____________14、函数()f x =是奇函数的充要条件是____________ABCD15、260100x y x x y +-≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩,z mx y =+取得最大值的最优解有无数个，则m 等于16、在下列四个命题中，①函数2cos sin y x x =+的最小值是1-。

(整理版)高三数学考点大扫描限时训练010

高三数学考点大扫描限时训练0101. 下列图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的外表积是_____________(不作过高要求)．主视图左视图俯视图2.函数f(x)的定义域为),2[+∞-，局部对应值如右表：()f x '为()f x 的导函数，函数()y f x '=的图象如下图，假设两正数a ，b 满足f (2a +b )<1，那么33++a b 的取值范围是________________． 3.假设向量b a ,满足2||,1||==b a ，且a 与b 的夹角为3π，那么||b a +=________________． 4. 53)4cos(,430=+<<παπα，那么=αtan ． 5. 向量R x x x x n x x m ∈-=-=),cos 32sin ,(cos ),sin ,(cos ，令n m x f ⋅=)(， (1)求函数()f x 的单调递增区间； (2)当[0,]4x π∈时，求函数()f x 的值域．6. 在几何体ABCDE 中，∠BAC=2π，DC⊥平面ABC ，EB⊥平面ABC ， F 是BC 的中点，AB=AC=BE=2，CD=1 〔1〕求证：DC∥平面ABE ；〔2〕求证：AF⊥平面BCDE ；〔3〕求证：平面AFD⊥平面AFE ．ABCDEF参考答案：1. 12π；2. 37(,)53； 4.71。

5. (1) n m x f ⋅=)(2cos sin (sin )x x x x =--cos22x x =2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……〔4分〕∵函数sin y x =的单调增区间为[2,2]22k k ππππ-+，k Z∈，∴222262k x k πππππ-≤+≤+，∴36k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，∴函数f (x )的单调递增区间为[,]36k k ππππ-+，k Z ∈……〔8分〕，(2)当[0,]4x π∈时，22663x πππ≤+≤，∴12sin 226x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，∴函数f (x )的值域为[1,2]……〔14分〕6. (1) ∵DC⊥平面ABC ，EB⊥平面ABC ，∴DC//EB，又∵DC ⊄平面ABE ，EB ⊂平面ABE ，∴DC∥平面ABE ……〔4分〕(2)∵DC⊥平面ABC ，∴DC⊥AF，又∵AF⊥BC，∴AF⊥平面BCDE ……〔8分〕 (3)由(2)知AF⊥平面BCDE ，∴AF⊥EF，在三角形DEF 中，由计算知DF⊥EF， ∴EF⊥平面AFD ，又EF ⊂平面AFE ，∴平面AFD ⊥平面AFE ．……〔14分〕。

高三数学考点大扫描限时训练020

高三数学考点大扫描限时训练0201. 曲线313y x x =+在点413⎛⎫ ⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为． 2．对于任意[]21,1,()(4)24k f x x k x k ∈-=+--+函数的值恒大于零，那么x 的取值范围是 .3. 函数2()f x x x =-，假设2(1)(2)f m f --<，那么实数m 的取值范围是．4．假设两个函数的图象经过假设干次平依后能够重合，那么称这两个函数为“同形〞函数．给出以下四个函数：①()1sin cos ,f x x x =+②()2f x x =+()3sin f x x =，④()4cos ),f x x x =+其中“同形〞函数有．5. 复数ααsin cos 1i z +=， ββsin cos 2i z +=， 55221=-z z ，求：〔1〕求)cos(βα-的值；〔2〕假设202π<α<<β<π-,且135sin -=β,求αsin 的值．6. 某个体户方案经销A 、B 两种商品，据调查统计，当投资额为x ()0x ≥万元时，在经销A 、B 商品中所获得的收益分别为)(x f 万元与)(x g 万元、其中2)1()(+-=x a x f 〔0>a 〕；()6ln()g x x b =+〔0>b 〕投资额为零时，收益为零．〔1〕试求出a 、b 的值；〔2〕如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其收入的最大值、〔精确到0.1，参考数据：10.13ln ≈〕．参考答案： 1. 19； 2．(,1)(3,)-∞+∞；3. (1,1)-；4．①② ；5. 解：〔1〕∵)sin (sin )cos (cos 21βαβα-+-=-i z z ，55221=-z z ， 552)sin (sin )cos (cos 22=-+-∴βαβα，∴cos(α-β)=532542=-. 〔2〕∵-202π<α<<β<π,∴0<α-β<π,由〔1〕得cos(α-β)=53, ∴sin(α-β)=54. 又sin β=-135,∴cosβ= 1312. ∴sinα=sin ［(α-β)+β］=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β =54×6533)135(531312=-⨯+． 6. 解：〔1〕根据问题的实际意义，可知：0)0(=f ，0)0(=g ；即⎩⎨⎧==+-0ln 602b a ， ∴⎩⎨⎧==12b a 。

高三数学考点大扫描限时训练025

2011届高三数学考点大扫描限时训练0251．已知函数()()()56(4)462xa xf x ax x-⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩, 数列{}n a满足()()+∈=Nnnfan，且数列{}n a是单调递增数列，则实数a的取值范围是。

2．下列三个命题：①若函数()sin(2)f x xϕ=+的图象关于y轴对称，则2πϕ=；②若函数2()1axf xx-=-的图象关于点（1，1）对称，则1=a；③函数()|||2|f x x x=+-的图象关于直线1=x对称。

其中真命题的序号是。

（把真命题的序号都填上）3.已知向量(sinaθ=,(1,cos)bθ=,(,)22ππθ∈-.（1）若a b⊥,求θ；（2）求||a b+的最大值.4. 已知函数421,0()3,1c ccx x cf xx x c x+<<⎧=⎨+≤<⎩满足29()8f c=；（1）求常数c的值；（2）解不等式()2f x<．参考答案：1. ()4,8；2. ②③。

3. 解：（1）因为a b ⊥,所以sin 0θθ=…………（3分）得tan θ=（用辅助角得到0)3sin(=π+θ同样给分） ………（5分）又(,)22ππθ∈-,所以θ=3π- ……………………………………（7分）（2）因为222||(sin 1)(cos a b θθ+=++ ………………………（9分） =54sin()3πθ++…………………………………………（11分）所以当θ=6π时, 2||a b +的最大值为5＋4=9 …………………（13分）故||a b +的最大值为3 ………………………………………（14分）4. 解：（1）因为01c <<，所以2c c <；由29()8f c =，即3918c +=，12c = （2）由（1）得211122()31x x f x x x x ⎧⎛⎫+0<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨1⎛⎫⎪+< ⎪⎪2⎝⎭⎩，，≤ 由()2f x <得，当102x <<时，解得102x <<，当112x <≤时，2320x x +-<解得1223x <≤，所以()2f x <的解集为203x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．。

高三数学考点大扫描限时训练026

2011届高三数学考点大扫描限时训练0261. 函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =_______2. 对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2=x 处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+1n a n 的前n 项和=n S . 3. 如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花园AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知AB=3米，AD=2米，(1)要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长应在什么范围内?(2)当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小?并求最小面积；(3)若AN 的长度不少于6米，则当AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小面积。

4. 已知函数()f x 是一次函数，且(8)15,f =(2),(5),(14)f f f 成等比数列，设()n a f n =，(n N *∈)（1）求123n n T a a a a =++++；（2）设2n n b =，求数列{}n n a b 的前n 项和n S 。

参考答案： 1. 51-；2. .2221)21(21-=--=+n n n S3.. 解：（1）设x AN =米，()2>x ，则2-=x ND ，∵AM AN DC ND = ∴AM x x =-32 ∴23-=x x AM ，∴3223>>-x x x ∴0643232>+-x x ∴0)8)(83(>--x x ∴382<<x 或8>x 。

（2）212)2(12)2(32322-+-+-=-=x x x x x S AMPN 12212)2(3212)2(12)2(32+-+-=-+-+-=x x x x x 2412362=+≥，此时4=x 。

(整理版)高三数学考点大扫描限时训练013

高三数学考点大扫描限时训练0131. 某为了了解用电量y 度与气温C x 0之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据得线性回归方程ˆybx a =+中2b =-，预测当气温为04C -时，用电量的度数约为______.2. 函数2f (x )f ()sin x conx π'=+，那么()4f π= . 3. 假设曲线()2f x ax lnx =+存在垂直于y 轴的切线，那么实数a 的取值范围是 .4. 假设存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和21594y ax x =+-都相切，那么a 等于 .5. 5102cos 2sin=-αα，1222(,),tan(),(,)ππαππββπ∈-=∈，求βα2+的值．6. 函数2()21x f x xe ax x =+++在1x =-处取得极值.〔1〕求函数)(x f 的单调区间；〔2〕假设函数x y xe = 与22y x x m =--+的图象有惟一的交点，试求实数m 的值.参考答案：1.68；2.0；3. (),0-∞；4. 1-或25-64；5.解：由sin cos 22αα-=52sin 1=-α，所以53sin =α，因为),,2(ππα∈所以54cos -=α，43tan -=α。

因为21)tan(=-βπ，),,2(ππβ∈所以21tan -=β，34tan 1tan 22tan 2-=-=βββ。

因为),,2(ππα∈),,2(ππβ∈所以32(,3),2παβπ+∈1)34()43(2tan tan =-⋅-=βα，所以.252πβα=+ 6.〔1〕/()22(1)22,x x x f x e xe ax e x ax =+++=+++由/(1)0f -=得 220,a -+= 1a ∴=，2()21x f x xe x x =+++，/()(1)22(1)(2),x x f x e x x x e =+++=++由/()0,f x > 得 1;x >- 由/()0,f x < 得 1;x <-故函数)(x f 的单调增区间为(1,)-+∞，单调减区间为(,1)-∞-.………………………8分〔2〕函数x y xe = 与22y x x m =--+的图象有惟一的交点等价于方程22x xe x x m =--+ ，即()1f x m =+有惟一解，由〔1〕)(x f 在(,1)-∞-递减，(1,)-+∞递增，故)(x f 在1x =-时取极小值〔最小值〕1e-. ……………12分从而方程()1f x m =+有惟一解的充要条件是11(1)m f e+=-=-. 所以，函数x y xe =与22y x x m =--+的图象有惟一交点时11m e =--……16分。

高三数学考点大扫描限时训练029

高三数学考点大扫描限时训练0291. 函数x tan x sin )x (f +=.项数为27的等差数列{}n a 满足⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈22ππ，n a ，且公差0≠d .假设0)()()(2721=+⋯++a f a f a f ，那么当k =____________时，0)(=k a f .2. 某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。

假设以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点)22(，-，)13(，，)43(，，)32(，-，)54(，，)66(，为报刊零售点.请确定一个格点〔除零售点外〕__________为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短.3. 过圆22(1)(1)1C x y -+-=：的圆心，作直线分别交x 、y 正半轴于点A 、B ，AOB ∆被圆分成四局部〔如图〕，假设这四局部图形面积满足|||,S S S S I ∏+=+那么直线AB 有__________条。

4. 设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，假设目标函数z=ax+by 〔a>0，b>0〕的最大值为12，那么23a b+的最小值为 . 5．在数列{}n a 中，11111,(1)2n n n n a a a n ++==++. 〔I 〕设n n a b n =，求数列{}n b 的通项公式〔II 〕求数列{}n a 的前n 项和n S参考答案：1. 14 2．〔3，3〕 3.1 4.256. 5. 〔I 〕由有1112n n n a a n n +=++112n n n b b +∴-=，利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式: 1122n n b -=-(*n N ∈) 〔II 〕由〔I 〕知122n n n a n -=-,∴n S =11(2)2n k k k k -=-∑111(2)2n n k k k k k -===-∑∑，而1(2)(1)n k k n n ==+∑,又112n k k k -=∑是一个典型的错位相减法模型，易得1112422n k n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1242n n -++-。

高三数学考点大扫描限时训练012 试题

2021届高三数学考点大扫描限时训练0121. 双曲线的中心在坐标原点,一个焦点为(10,0)F ,两条渐近线的方程为43y x =±,那么该双曲线的HY 方程为 . 2. 函数sin3y x π=在区间[]0,t 上恰好获得2个最大值，那么实数t 的取值范围是 . 3. 命题21:"[1,2],ln 0"2p x x x a ∀∈--≥与命题2:",2860"q x R x ax a ∃∈+--=都是真命题,那么实数a 的取值范围是 .4. 过定点P 〔1,2〕的直线在x y 轴与轴正半轴上的截距分别为a b 、,那么422a b +的最小值为 .5. 直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点,且椭圆C 上的点到点F 的最大间隔为8. 〔1〕求椭圆C 的HY 方程；〔2〕圆22:1O x y +=,直线:1l mx ny +=.试证明当点(,)P m n 在椭圆C 上运动时,直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围.6. 直角梯形ABCD 中, //AB CD ,,1,2,1AB BC AB BC CD ⊥===+过A 作AE CD ⊥,垂足为E ,G 、F 分别为AD 、CE的中点,现将ADE ∆沿CDEF·DAE 折叠,使得DE EC ⊥.〔1〕求证：BC CDE ⊥面；〔2〕求证：//FG BCD 面；〔3〕在线段AE 上找一点R ,使得面BDR ⊥面DCB ,并说明理由.参考答案：1.2213664x y -=；2. 1527,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭；3. (]1,42,2⎡⎤-∞-⋃-⎢⎥⎣⎦；4. 32。

5.〔1〕由(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈,得(23)(4312)0x y k x y --++-=,那么由23043120x y x y --=⎧⎨+-=⎩,解得F 〔3,0〕.………………………………………………〔3分〕设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>,那么22238c a c a b c =⎧⎪+=⎨⎪=+⎩,解得543a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩………………………〔6分〕所以椭圆C 的方程为2212516x y += ………………………………………………〔7分〕〔2〕因为点(,)P m n 在椭圆C 上运动,所以222212516m n m n =+<+, 从而圆心O 到直线:1l mx ny +=的间隔1d r =<=.所以直线l 与圆O 恒相交………………………〔11分〕又直线l被圆O截得的弦长为L ===………〔13分〕由于2025m ≤≤,所以2916162525m ≤+≤,那么L ∈, 即直线l 被圆O截得的弦长的取值范围是L ∈……………………〔15分〕 6. 〔1〕证明：由得：,DE AE DE EC ⊥⊥, DE ABCE ∴⊥面…………〔2分〕 DE BC ∴⊥, BC CE ⊥又,BC DCE ∴⊥面……………………〔5分〕〔2〕证明：取AB 中点H ，连接GH ,FH ,//GH BD ∴， //FH BC , //GH BCD ∴面， //FH BCD 面……………〔7分〕 //FHG BCD ∴面面, //GF BCD ∴面 …………………………〔10分〕〔3〕分析可知，R 点满足3AR RE =时，BDR BDC ⊥面面 ……………………〔11分〕证明：取BD 中点Q ，连结DR ．BR ．CR ．CQ ．RQ容易计算513212,,,,2222CD BD CR DR CQ =====, 在BDR 中521,,2122BR DR BD ===,可知52RQ =, ∴在CRQ 中,222CQ RQ CR += ,∴CQ RQ ⊥……………………………〔13分〕又在CBD 中,,CD CB Q BD CQ BD =∴⊥为中点,CQ BDR∴⊥面,BDC BDR ∴⊥面面…………………………………………………………〔15分〕〔说明:假设设AR x =,通过分析,利用BDC BDR ⊥面面推算出12x =,亦可,不必再作证明〕创作人：历恰面日期： 2020年1月1日。

2021年高三数学上学期限时训练(5)

2021年高三数学上学期限时训练（5）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1．已知集合，则 ▲ ．2．在复平面内，复数对应的点在第 ▲ 象限．3．为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名教师中抽取20名教师，调查他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如右图．据此估计该校上学期200名教师中，使用多媒体进行教学次数在内的人数为 ▲ ．4．已知等比数列的各项均为正数则 ▲ ． 5．已知函数为奇函数则实数的值为 ▲6．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出两个小球,则取出的小球上标注的数字之和为5或7的概率是▲ ． 7．已知与均为单位向量，它们的夹角为，那么等于 ▲ ． 8．已知，，则= ▲ ．9．已知圆与直线相交于两点则当的面积最大时此时实数的值为 ▲ ． 10．将的图像向右平移单位（），使得平移后的图像过点则的最小值为 ▲ ．11．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等圆柱、球的表面积分别记为、则有 ▲ . 12.如图是半径为3的圆的直径是圆上异于的一点是线段上靠近的三等分点且则的值为 ▲ 13、在三角形ABC 中，已知AB=3，A=,的面积为，则的值= ▲ . 14. 已知点P 是函数的图像上一点，在点P 处的切线为，交x 轴于点M ，过点P 作的垂线，交x 轴于点N ，MN 的中点为Q ，则点Q 的横坐标的最大值为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知ΔABC 的面积为S ，且。

求B 的大小；若，且，试求ΔABC 最长边的长度。

2 93 3 5 6 71 2 3 416．（本题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD 中，四边形ABCD 是矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，M 为PC 中点．求证：（1）PA ∥平面MDB ；（2）PD ⊥BC ．17．（本小题满分14分）已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求等差数列{an}的通项公式；(2)若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n 项和． 18．（本小题满分16分）如图，某市新体育公园的中心广场平面图如图所示，在y 轴左侧的观光道曲线段是函数sin()(0,0,0)y A x A ωϕωϕπ=+>><<，时的图象且最高点B （-1，4），在y 轴右侧的曲线段是以CO 为直径的半圆弧． ⑴试确定A ，和的值；⑵现要在右侧的半圆中修建一条步行道CDO （单位：米），在点C 与半圆弧上的一点D 之间设计为直线段（造价为2万元/米），从D 到点O 之间设计为沿半圆弧的弧形（造价为1万元/米）．设(弧度)，试用来表示修建步行道的造价预算，并求造价预算的最大值？（注：只考虑步行道的长度，不考虑步行道的宽度）PM D CB A19.（本小题满分16分）已知函数．（1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；（2）若函数在上的最小值为3，求实数的值．20．（本题满分16分）设首项为1的正项数列的前n项和为，数列的前n项和为，且，其中为常数. （1）求的值；（2）求证：数列为等比数列；（3）证明：“数列，，成等差数列，其中x、y均为整数”的充要条件是“，且”．淮海中学xx届高三Ⅲ级部第一学期数学限时训练（5）参考答案一、填空题1.；2.三； 3, 100； 4. ； 5.1； 6.； 7. ； 8. ； 9. ； 10. ;11. 3:2; 12. 24 13. 14.二、解答题16．证明：(1)连结交于点O，连结OM，则因为四边形ABCD是矩形所以O为AC的中点，又M为PC的中点．所以．……3分又因为平面MDB，而平面MDB所以PA∥平面MDB．……7分(2)因为平面PCD⊥平面ABCD，且平面PCD平面ABCD，所以平面PCD．……12分又平面PCD，所以PD⊥BC．……14分17、解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a1＋3d＝－3，a1a1＋d a1＋2d＝8，……2分解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝2，d＝－3，或⎩⎪⎨⎪⎧a1＝－4，d＝3.……5分所以由等差数列通项公式可得an＝2－3(n－1)＝－3n＋5，或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7.故an＝－3n＋5，或an＝3n－7. ……7分(2)当an＝－3n＋5时，a2，a3，a1分别为－1，－4,2，不成等比数列；当an＝3n－7时，a2，a3，a1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．PMD CBA故|an|＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n≥3. … …9分记数列{|an|}的前n 项和为Sn.当n ＝1时，S1＝|a1|＝4；当n ＝2时，S2＝|a1|＋|a2|＝5；……10分当n≥3时，Sn ＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an| ＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7) ＝5＋n －2[2＋3n －7]2＝32n2－112n ＋10. ……12分当n ＝1时，不满足此式，当n ＝2时，满足此式．综上，Sn ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，32n2－112n ＋10，n>1. ……14分18.⑴因为最高点B （-1，4），所以A=4；，因为 ……3分代入点B （-1，4），，又； ……6分 ⑵由⑴可知：，得点C 即，取CO 中点F ，连结DF ，因为弧CD 为半圆弧，所以，即，则圆弧段造价预算为万元，中，，则直线段CD 造价预算为万元所以步行道造价预算，． ……10分由'()43(sin )2323(12sin )g x θθ=-+=-得当时，，当时，，即在上单调递增；当时，，即在上单调递减所以在时取极大值，也即造价预算最大值为（）万元．…14分 19【答案】（1）；（2）. 【解析】试题分析：（1）这是一个由函数在某区间上是增函数，求参数取值范围的问题，可转化为其-1E 24DF（2）由（1）得，．①若，则，即在上恒成立，此时在上是增函数．所以，解得（舍去）．②若，令，得．当时，，所以在上是减函数，当时，，所以在上是增函数．所以，解得（舍去）．③若，则，即在上恒成立，此时在上是减函数．所以，所以．考点：函数与导数、函数的单调性.20、解：（1）n 1时，由得p 0或2，…………………………2分若p 0时，，当时，，解得或，…………4分而，所以p 0不符合题意，故p 2；…………………………5分（2）当p 2时，①，则②，②①并化简得③，则④，④③得（），又易得，所以数列{an}是等比数列，且；………………………………10分（3）充分性：若x 1，y 2，由知，，依次为，，，满足，即an，2xan1，2yan2成等差数列；………………………12分[来源: 必要性：假设，，成等差数列，其中x、y均为整数，又，所以，化简得………………………………13分显然，设，……………………………………………………14分因为x、y均为整数，所以当时，或，故当，且当，且时上式成立，即证．………………………………16分_%27353 6AD9 櫙 36114 8D12 贒25036 61CC 懌E20571 505B 偛20656 50B0 傰A T32627 7F73 罳35752 8BA8 讨。

2021年高三数学上学期限时训练(1)

2021年高三数学上学期限时训练（1）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．若复数满足（是虚数单位），则．2．已知集合A = {－1，0，1}，B = {0，1，2，3}，则A ∩B = ．3．若以连续掷两次骰子得到的点数分别作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线上的概率为．4．已知且，则．5．已知定义域为的函数是奇函数，则．6．右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是．7．在中，已知，，则＝．8．在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量为1600，则中间一组（即第五组）的频数为． 9.在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为 .10．函数，且）的图象恒过点A ，若点A 在直线上，其中，则的最小值是．11．已知是等差数列的前项和，若，，则数列的前20项和为．12．已知三棱锥的所有棱长都相等，现沿，，三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为，则三棱锥的体积为．13.已知是定义在R 上且周期为3的函数,当时,.若函数在区间上有10个零点(互不相同),则实数的取值范围是 .14．设a 、b 均为大于1的自然数，函数，，若存在实数k ，使得，则．二、解答题：本大题共六小题，共计90分．请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）样本数据频率组距第 8 题图开始结束是否100k ≥3s s k←+1,0k s ←←S输出2k k ←+第6题图已知分别为三个内角的对边，（1）求（2）若，的面积为；求.16．（本小题14分）如图，四棱锥中，⊥底面，⊥．底面为梯形，，，，点在棱上，且．（1）求证：平面⊥平面；（2）求证：∥平面．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点B 的坐标为，连结并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结．（1）若点C 的坐标为，且，求椭圆的方程；PAD B CE（2）若，求椭圆离心率e的值．18．（本小题满分16分）如图，在海岸线l一侧C处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在l上设立了A，B 两个报名点，满足A，B，C中任意两点间的距离为10 km.公司拟按以下思路运作：先将A，B 两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处(点D异于A，B两点)，然后乘同一艘游轮前往C岛．据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2元，游轮每千米耗费12元．设∠CDA＝α，每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本为S元．(1)写出S关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；(2)问：中转点D距离A处多远时，S最小？19．（本小题满分16分）已知数列中，，，其前项和满足,其中，．（1）求证；数列为等差数列，并求其通项公式；（2）设，为数列的前n项和，求使>2的n的取值范围．（3）设为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立．20.（本小题满分16分）已知函数，. (1)求的最大值；(2)若关于的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；(3)若关于的方程恰有一解，其中是自然对数的底数，求实数的值.淮海中学xx 届高三Ⅲ级部第一学期数学限时训练（1）参考答案一.填空题： 1．； 2．{0，1}； 3．； 4．； 5．2； 6．7500；7．4； 8．360； 9．； 10．8 ； 11．55；12．； 13．(0，1/2) 14．4 二、解答题 15．【答案】（1）由正弦定理得：cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C +--=⇔-=+sin cos sin sin()sin 1cos 1sin(30)2303060A C A C a C CA A A A A ︒︒︒︒⇔=++⇔-=⇔-=⇔-=⇔=----------------------7分（2）----------------------7分 16.解析：（1）∵PA ⊥底面ABCD ，∴，又AB ⊥BC ，，∴⊥平面．又平面，∴平面⊥平面． ----------------------7分（2）∵PA ⊥底面ABCD ，∴AC 为PC 在平面ABCD 内的射影．又∵PC ⊥AD ，∴AC ⊥AD ．在梯形中，由AB ⊥BC ，AB =BC ，得， ∴．又AC ⊥AD ，故为等腰直角三角形． ∴．连接，交于点，则在中，，∴ 又PD 平面EAC ，EM 平面EAC ，∴PD ∥平面EAC ． ----------------------7分 17. 【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力. 满分14分. （1）∵，∴∵，∴，∴ ∴椭圆方程为（2）设焦点∵关于x 轴对称，∴ ∵三点共线，∴，即① ∵，∴，即②①②联立方程组，解得 ∴ ∵C 在椭圆上，∴，化简得，∴, 故离心率为18.解：(1)由题知在△ACD 中，∠CAD ＝π3，∠CDA ＝α，AC ＝10，∠ACD ＝2π3－α.由正弦定理知CD sin π3＝AD sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝10sin α，………2分即CD ＝53sin α，AD ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－αsin α，………4分所以S ＝4AD ＋8BD ＋12CD ＝12CD －4AD ＋80＝603－40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－αsin α＋80 ………6分＝203·3－cos αsin α＋60⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＜α＜2π3.………8分(2)S ′＝203·1－3cos αsin 2α，令S ′＝0得cos α＝13. ………10分当cos α＞13时，S ′＜0；当cos α＜13时，S ′＞0，………12分所以当cos α＝13时，S 取得最小值，………14分此时sin α＝223，AD ＝53cos α＋5sin αsin α＝20＋564，所以中转点D 距A 处20＋564km 时，运输成本S 最小．………16分19．（本题满分16分）已知数列中，，，其前项和满足,其中，．（1）求证；数列为等差数列，并求其通项公式；（2）设，为数列的前n 项和，求使>2的n 的取值范围；（3）设为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有成立．解：（1）由已知，（，）， ………………2分即（，），且．∴数列是以为首项，公差为1的等差数列．∴．……………………………………………………………………………4分 (2) ∵，∴21231111123(1) (1)22221111123(1)..........(2)22222n n n n n n T n n T n n -+∴=⨯+⨯++⋅++⋅=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅++23111111(1)(2)1(1)22222n n n T n +-=++++-+⋅得： ∴ …………………………………………………6分代入不等式得：设022)()1(,123)(1<+-=-+-+=+n n n n f n f n n f 则 ∴在上单调递减， ………………………………………………8分∵041)3(,041)2(,01)1(<-=>=>=f f f ， ∴当n =1,n=2时,，所以n 的取值范围．为 …………………………………………10分（3）,要使恒成立，即1211144(1)2(1)20n n n n n n n n c c λλ++-++-=-+--->恒成立，恒成立，∴恒成立，…………………12分（i ）当为奇数时，即恒成立，当且仅当时，有最小值为，．（ii ）当为偶数时，即恒成立，当且仅当时，有最大值，．即，又为非零整数，则．…………………15分综上所述：存在，使得对任意的，都有．……………16分20．（1）因为，所以，…………………………………2分由，且，得，由，且，，…………………4分所以函数的单调增区间是，单调减区间是，所以当时，取得最大值；………………………………………………………6分（2）因为对一切恒成立，即对一切恒成立，亦即对一切恒成立，…………………………………………8分设，因为，故在上递减，在上递增，，所以． …………………………………………………………………………10分（3）因为方程恰有一解，即恰有一解，即恰有一解，由（1）知，在时，，…………………………………………12分c3427585E3 藣O33913 8479 葹38293 9595 閕40164 9CE4 鳤\32127 7D7F 絿22219 56CB 囋U29001 7149 煉30341 7685 皅$36592 8EF0 軰。

高三数学考点大扫描限时训练006

2011届高三数学考点大扫描限时训练0061. 2275157515cos cos cos cos ++的值等于． 2. 如果实数.x y 满足不等式组22110,220x x y x y x y ≥⎧⎪-+≤+⎨⎪--≤⎩则的最小值是．3. 北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x 元（x ∈N *）．（1）写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y （元）与每枚纪念章的销售价格x 的函数关系式（并写出这个函数的定义域）；（2）当每枚纪念销售价格x 为多少元时，该特许专营店一年内利润y （元）最大，并求出这个最大值．4. 对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为理想函数．(1) 若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值；(2)判断函数()21xg x =-])1,0[(∈x 是否为理想函数，并予以证明；(3)若函数()f x 为理想函数，假定∃[]00,1x ∈，使得[]0()0,1f x ∈，且00(())f f x x =，求证00()f x x =．参考答案： 1. 54；2.5； 3. 解：（I ）依题意[2000400(20)](7),[2000100(20)](7),x x y x x +--⎧=⎨---⎩**720,2040,x x N x x N <≤∈<<∈…………………3分 ∴ 400(25)(7),100(40)(7),x x y x x --⎧=⎨--⎩**720,2040,x x N x x N <≤∈<<∈ ………………………5分此函数的定义域为*{|740,}x x x N <<∈ ………………………7分（Ⅱ）22400[(16)81],271089100[(),24x y x ⎧--+⎪=⎨--+⎪⎩**720,2040,x x N x x N <≤∈<<∈ …………………………9分当720x <≤，则当16x =时，max 32400y =（元）；…………………………11分当2040x <<，因为x ∈N *，所以当x ＝23或24时，max 27200y =（元）；……13分综合上可得当16x =时，该特许专营店获得的利润最大为32400元．……………15分4. 解：（1）取021==x x 可得0)0()0()0()0(≤⇒+≥f f f f ．……………………1分又由条件①0)0(≥f ，故0)0(=f ．………………………3分（2）显然12)(-=x x g 在[0，1]满足条件①0)(≥x g ；...........................4分也满足条件②1)1(=g ． (5)若01≥x ，02≥x ，121≤+x x ，则)]12()12[(12)]()([)(21212121-+---=+-++x x x x x g x g x x g0)12)(12(1222122121≥--=+--=+x x x x x x ，即满足条件③，..................8分故)(x g 理想函数． (9)（3）由条件③知，任给m 、∈n [0，1]，当n m <时，由n m <知∈-m n [0，1]， )()()()()(m f m f m n f m m n f n f ≥+-≥+-=∴．………………………11分若)(00x f x <，则000)]([)(x x f f x f =≤，前后矛盾；………………………13分若)(00x f x >，则000)]([)(x x f f x f =≥，前后矛盾．………………………15分故)(00x f x = ． ………………………16分。