2019_2020学年高中数学第2章数列2.4等比数列第1课时等比数列的概念及通项公式练习新人教A版必修5

第一课时 等比数列的概念及通项公式

课时分层训练

‖层级一‖|学业水平达标|

1．如果数列{a n }是等比数列，那么( ) A ．数列{a 2

n }是等比数列 B ．数列{2a n }是等比数列 C ．数列{lg a n }是等比数列

D ．数列{na n }是等比数列

解析：选A 利用等比数列的定义验证即可．

2．(2019·信阳调研)已知等比数列{a n }的公比q >0，且a 5·a 7＝4a 2

4，a 2＝1，则a 1＝( ) A.12 B ．

22

C. 2

D ．2

解析：选B 因为{a n }是等比数列，

所以a 5a 7＝a 2

6＝4a 2

4，所以a 6＝2a 4，q 2

＝a 6a 4

＝2，又q >0， 所以q ＝2，a 1＝a 2q ＝

2

2

.故选B. 3．在首项a 1＝1，公比q ＝2的等比数列{a n }中，当a n ＝64时，项数n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6

D ．7

解析：选D 因为a n ＝a 1q n －1

，所以1×2

n －1

＝64，即2

n －1

＝26

，得n －1＝6，解得n ＝7.

故选D.

4．若{a n }为等比数列，且2a 4＝a 6－a 5，则公比为( ) A ．0 B ．1或－2 C ．－1或2

D ．－1或－2

解析：选C 设等比数列的公比为q ，由2a 4＝a 6－a 5得，2a 4＝a 4q 2

－a 4q ，∵a 4≠0，∴q 2

－q －2＝0，解得q ＝－1或2.故选C.

5．等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5>a 2，则a n 等于( ) A ．(－2)

n －1

B ．－(－2)

n －1

C ．(－2)n

D ．－(－2)n

解析：选A 设公比为q ，则a 1q 4

＝－8a 1q ， 又a 1≠0，q ≠0，所以q 3

＝－8，q ＝－2， 又a 5>a 2，所以a 2<0，a 5>0， 从而a 1>0，即a 1＝1，故a n ＝(－2)

n －1

.故选A.

6．等比数列{a n }中，a 1＝－2，a 3＝－8，则a n ＝ .

解析：∵a 3a 1＝q 2，∴q 2

＝－8－2

＝4，即q ＝±2.

当q ＝－2时，a n ＝a 1q n －1

＝－2×(－2)

n －1

＝(－2)n

；

当q ＝2时，a n ＝a 1q

n －1

＝－2×2n －1

＝－2n

.

答案：(－2)n

或－2n

7．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝ . 解析：由已知可得(a ＋1)2

＝(a －1)(a ＋4)， 解得a ＝5，所以a 1＝4，a 2＝6，

所以q ＝a 2a 1＝64＝32，所以a n ＝4×⎝ ⎛⎭

⎪⎫32n －1

.

答案：4×⎝ ⎛⎭

⎪⎫32n －1

8．数列{a n }的前

n 项和为S n ，若S n ＝2a n －1，则a n

＝ .

解析：∵S n ＝2a n －1，① ∴S n －1＝2a n －1－1(n ≥2)，② ①－②得a n ＝2a n －2a n －1， 即a n ＝2a n －1.

∵S 1＝a 1＝2a 1－1，即a 1＝1，

∴数列{a n }为首项是1，公比是2的等比数列， 故a n ＝2n －1

.

答案：2

n －1

9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2－a n ，求证：数列{a n }是等比数列． 证明：∵S n ＝2－a n ，∴S n ＋1＝2－a n ＋1.

∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(2－a n ＋1)－(2－a n )＝a n －a n ＋1. ∴a n ＋1＝1

2

a n .

又∵S 1＝2－a 1，∴a 1＝1≠0. 又由a n ＋1＝1

2a n 知a n ≠0，

∴

a n ＋1a n ＝1

2

. ∴{a n }是等比数列．

10．已知：a ，－32，b ，－243

32

，c 这五个数成等比数列，求a ，b ，c 的值．

解：由题意知b 2

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－24332＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫326，

∴b ＝±27

8

.

当b ＝278时，ab ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫－322

，解得a ＝23.

bc ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－

243322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3210，解得c ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫327.

同理，当b ＝－278时，a ＝－23，c ＝－⎝ ⎛⎭

⎪⎫327

.

综上所述，a ，b ，c 的值分别为23，278，⎝ ⎛⎭⎪⎫327或－23，－278，－⎝ ⎛⎭⎪⎫327

.

‖层级二‖|应试能力达标|

1．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则此数列的公比等于( ) A ．1 B ．2 C ．－2

D ．－1

解析：选B 设等比数列{a n }的公比为q ，因为4a 1,2a 2，a 3成等差数列，所以4a 1q ＝4a 1

＋a 1q 2

，即q 2

－4q ＋4＝0，解得q ＝2.故选B.

2．在数列{a n }中，a 1＝2，当n 为奇数时，a n ＋1＝a n ＋2；当n 为偶数时，a n ＋1＝2a n －1，则

a 12等于( )

A ．32

B ．34

C ．66

D ．64

解析：选C 依题意，a 1，a 3，a 5，a 7，a 9，a 11构成以2为首项，2为公比的等比数列，故a 11＝a 1×25

＝64，a 12＝a 11＋2＝66.故选C.

3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ∈N *

)，则S 6＝( ) A ．44

B ．45

C.13

×(46

－1) D ．14

×(45

－1) 解析：选B 由a n ＋1＝3S n ，得a 2＝3S 1＝3.当n ≥2时，a n ＝3S n －1，则a n ＋1－a n ＝3a n ，n ≥2，即a n ＋1＝4a n ，n ≥2，则数列{a n }从第二项起构成等比数列，所以S 6＝a 73＝3×45

3

＝45

.故选B.

4．若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2

＝( ) A ．－1 B ．1 C.1

2

D ．－2

解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，