《应用数理统计》期末考试-2011

《应用数理统计》期末考试试题

（2011-11-26上午8：30—10：30）

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注意：所有题目答案均做在答题纸上，该试卷最后随答题纸一同上交，否则成绩无效。

1、（20分）设总体X 服从正态分布(0,1)N ，12,X X 为来自总体X 的简单样本，设112212; Y X X Y X X =+=-。

（1）求二维随机变量12(,)Y Y 的联合密度()21,y y f ；

（2）分别求12,Y Y 的边缘密度函数()()2121,y f y f Y Y ；

（3）12,Y Y 是否独立？说明根据。

（4）叙述2χ分布的构造性定义。能否通过取适当的常数c ，使得2212()c Y Y +服从2χ分布？若可以，求出c ，并写出所服从的2χ分布的自由度。

2、（20分）设12,,,n X X X 是来自正态总体()

2~0,X N σ的简单样本，记 22221

21111ˆˆ();1n n i i i i X X X n n σσ===-=-∑∑，其中11n i i X X n ==∑， （1）证明：21ˆσ是2

σ的渐近有效估计量； （2）证明：22ˆσ是2

σ的有效估计量； （3）试分别以21ˆσ，22ˆσ为基础构造2

σ的两种1α-置信区间。你认为你得到的哪个估计区间会更好一些？为什么？

3、（20分）（1）简述假设检验的一般步骤；

（2）某厂生产一批产品，质量检查规定：若次品率0.05p ≤，则这批产品可以出厂，否则不能出厂。现从这批产品中抽查400件产品，发现有30件是次品，问：在显著性水平0.05α=下，这批产品能否出厂？若取显著性水平0.02α=，会得出什么结论？α是越小越好吗？对你的答案说明理由。

要求：将此问题转化成统计问题，利用所学知识给出合理的、令人信服的推断，推断过程的每一步要给出理由或公式。分位点定义如下：

若随机变量W ，对任意的()1,0∈α，有()α=≤x W P ，称x 为W 的α分位点，记作αx 。

可能用到的标准正态分布的分位点有：0.900.950.9750.981.28, 1.65, 1.96, 2.05u u u u ====。

4、（20分）单因素方差分析中，设A 是所试验的因素，s A A A ,,,21 是A 的s 个不同的水平，为证实因素A 对试验结果是否有显著影响，在水平j A 下进行了j n 次试验，得结果ij X ，其中s j n i j ,,2,1;,,2,1 ==，根据这些数据进行方差分析，回答下列问题：

（1）试写出进行方差分析的数学模型及方差分析要做检验的原假设；

（2）对总偏差平方和()∑∑==-=s j n i ij T j X X

S 112进行分解，写出E A S S ,的表达式，使E

A S S ,分别表示主要由因素A 所引起的偏差平方和以及误差引起的偏差平方和；其中

1111, j

n

s s ij j j i j X X n n n =====∑∑∑。 （3）在模型假设下求E A S S ,的均值，说明原假设成立与否对E A S S ,有何影响，并用所得的结论在方差分析中确定检验的检验统计量及拒绝域。

5、（20分）在某一元线性回归分析问题中，n i Y x i i ,,2,1),,( =是该问题的一组简单样本，设2,...(0,)i i i i Y a bx i i d N εεσ=++，试：

（1）利用该样本求出,a b 的最小二乘估计量ˆˆ,a

b ，并证明ˆˆ,a b 分别是,a b 的无偏估计，求出ˆˆ,a b 所服从的分布。（要有求解具体步骤）

（2）求参数2

σ的无偏估计。 （3）求参数,a b 的1α-置信区间。（关于2

σ的估计的分布及该估计与ˆˆ,a b 的独立性可以直接使用课上讲过定理的结论）