高中数学第三章导数及其应用3.1导数3.1.2瞬时速度与导数3.1.3导数的几何意义预习导学案
3.1.2-3.1.3 瞬时速度与导数 导数的几何意义全面版
3.“Δx→0”的意义. 剖析:Δx与0的距离要多近有多近,即|Δx-0|可以小于给定的任意 小的正数,但始终有Δx≠0.
题型一
题型二
题型三
题型四
导数的定义
【例1】 已知函数y=f(x)在点x0处可导,试求下列各极限的值.
(1) lim
Δ ������ →0
f(x0-���������x���x)-f(x0);
f(x0+������������xx)-f(x0)=l”.
名师点拨(1)运动的瞬时速度就是路程函数y=s(t)的瞬时变化率.
(2)运动的瞬时加速度就是速度函数y=v(t)的瞬时变化率.
【做一做1】 一质点作直线运动,其位移s与时间t的关系是s=3t-
t2,则质点的初速度为
.
解析:质点的初速度即为s=3t-t2在t=0处的瞬时变化率.
答案:4
1.如何求函数y=f(x)在点x0处的导数? 剖析:(1)求函数值的改变量Δy;
(2)求平均变化率ΔΔ������������; (3)取极限得导数 f'(x0)=Δl���i���m→0 ������������yx.
2.“函数在一点处的导数”“导函数”“导数”三者之间有何区别与联
系?
剖析(1)函数在一点处的导数f'(x0)是一个常数,不是变量. (2)函数的导数是针对某一区间内任意点x而言的.函数f(x)在区间
【做一做4】 曲线y=x2在点(2,4)处的切线的斜率为
.
解析:曲线y=x2在点(2,4)处的切线的斜率就是函数y=x2在x=2处
的导数.
因此其斜率
k= lim
Δ ������ →0
(2+������x)2-22 ������x
高中数学第三章导数及其应用3.1导数的概念3.1.2瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1(2021
（江苏专用）2018-2019学年高中数学第三章导数及其应用3.1 导数的概念3.1.2 瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（江苏专用）2018-2019学年高中数学第三章导数及其应用3.1 导数的概念3.1.2 瞬时变化率—导数学案苏教版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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3.1。
2 瞬时变化率—导数学习目标：1。
理解导数的概念和定义及导数的几何意义．(重点） 2.理解运动在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度）．（难点)[自主预习·探新知］1．曲线上一点处的切线设曲线C上的一点P，Q是曲线C上的另一点，则直线PQ称为曲线C的割线；随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C。
当点Q无限逼近点P时，直线PQ 最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线．2．瞬时速度运动物体的位移S(t）对于时间t的导数，即v（t）＝S′（t）．3．瞬时加速度运动物体的速度v（t）对于时间t的导数,即a(t)＝v′（t)．4．导数设函数y＝f(x）在区间(a，b)上有定义,x0∈(a，b），当Δx无限趋近于0时，比值错误!＝错误!无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导，并称常数A为函数f（x）在点x＝x处的导数,记作f′（x0）．5．导函数若函数y＝f（x)对于区间(a,b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x）的导函数，记作f′（x）．6．函数y＝f(x）在点x＝x0处的导数f′(x0）的几何意义是曲线y＝f(x）在点(x0，f(x0）)处的切线的斜率．[基础自测］1．判断正误：(1)函数y＝f（x）在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．（)(2）在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．( )（3）在导数的定义中，错误!＞0.( ）【解析】(1）√。
高中数学 第三章 导数及其应用 3.2 导数的计算 第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数
高中数学第三章导数及其应用3.2 导数的计算第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式课时提升作业2 新人教A版选修1-1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章导数及其应用3.2 导数的计算第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式课时提升作业2 新人教A版选修1-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式（25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列各式中正确的是( ）A。
（lnx)′=x B。
（cosx)′=sinxC。
(sinx）′=cosx D.（x-8)′=-x—9【解析】选C。
因为（lnx）′=，（cosx)′=—sinx，（x-8)′=-8x-9=—,所以A,B,D均不正确，C正确。
2.若y=lnx,则其图象在x=2处的切线斜率是（)A.1 B。
0 C。
2 D.【解析】选D。
因为y′=,所以当x=2时，y′=，故图象在x=2处的切线斜率为.3.（2015·西安高二检测）运动物体的位移s=3t2—2t+1,则此物体在t=10时的瞬时速度为( )A.281B.58 C。
85 D.10【解析】选B。
因为s=3t2-2t+1，所以s′=6t-2.当t=10时,s′=6×10—2=58.即此物体在t=10时的瞬时速度为58。
4。
正弦曲线y=sinx上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是（)A.∪B。
高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 导数 3.1.2 瞬时速
瞬时速度与导数
• [目标导航]
• 1．掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时变化率的精 确定义．
• 2．会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻 的瞬时速度及瞬时变化率．
• 3．理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导 数的方法．
1 课堂对点训练 2 课后提升训练
课堂对点训练
知识点一
fx0＋hh－fx0＝f′(x0)，
仅与 x0 有关，与 h 无关，故选 B.
答案：B
• 4．函数y＝x2在x＝1处的导数为__________．
解析：f′(1)＝ lim Δx→0
1＋Δx2－1 Δx
＝lim (2＋Δx)＝2. • 答案Δ：x→20
知识点三
导数的实际意义
• 5.一条水管中流过的水量y(单位：m3)是时间t(单位：s) 的函数y＝f(t)＝3t.求函数y＝f(t)在t＝2处的导数f′(2)， 并解释它的实际意义．
求瞬时速度
• 1．y＝f(x)＝3x＋1在点x＝2处的瞬时变化率是( )
• A．2
B．3
• C．4 D．5
解析：Δy＝f(2＋Δx)－f(2) ＝3(2＋Δx)＋1－(3×2＋1)＝3Δx， 则ΔΔyx＝3ΔΔxx＝3， • 答∴案当：BΔx 趋近于 0 时，ΔΔyx趋近于 3.故选 B.
• 2．一个物体的运动方程为s＝(2t＋1)2，其中s的单位是 米，t的单位是秒，那么该物体在1秒末的瞬时速度是 ()
ΔΔst＝Δlitm→0
(4Δt＋12)＝12(米/秒)．
• 答案：C
知识点二
导数的定义
3.函数
f(x)在
x0
处可导，则lim h→0
fx0＋hh－fx0(
高考数学大复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算教师用书 文 苏教版(2021年最新
（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.1 导数的概念及运算教师用书文苏教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.1 导数的概念及运算教师用书文苏教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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3.1 导数的概念及运算1。
导数与导函数的概念（1）设函数y＝f（x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a,b)，若Δx无限趋近于0时,比值错误!＝错误!无限趋近于一个常数A,则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f（x）在x＝x0处的导数（derivative),记作f′(x0)。
（2)如果函数y＝f（x）在开区间(a，b）内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数。
记作f′（x）或y′。
2.导数的几何意义函数y＝f（x）在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x）在点P(x0,f(x0））处的切线的斜率k，即k＝f′(x0）。
3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x）＝C(C为常数）f′（x)＝0f（x）＝xα（α为常数）f′（x）＝αxα－1f(x)＝sin x f′（x)＝cos xf(x)＝cos x f′(x）＝－sin xf（x）＝e x f′（x)＝e xf(x）＝a x（a>0，a≠1）f′(x)＝a x ln af（x）＝ln x f′(x）＝错误!f（x）＝log a x（a>0，a≠1)f′（x)＝错误!4。
人教A版高中数学选修1-1《三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的概念》优质课教案_24
1.1.2导数的概念（一）教材分析本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2-2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时.导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度.导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用.导数概念是我们今后学习微积分的基础•同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具.（二）教学目标（1）在上一节学习平均变化率的基础上，了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；（2）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；（3）会求函数在某点的导数及简单应用.（三）教学重点与难点重点：通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念. 难点：使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念.（四）教学过程1. 复习引入（1）函数y = f（x）从x i到X2的平均变化率公式；（2）函数y = f（x）从x0到X Q L X的平均变化率公式.2. 合作探究在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的. 我们把物体在某一时刻（某一位置）的速度称为瞬时速度.探究一：瞬时速度的求解从前面的学习我们知道，平均速度只能粗略地描述某段时间内物体的运动状态，不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度. 如何求运动员的瞬时速度呢？设计意图：让学生产生进一步学习的需求，即有必要知道任意时刻的速度.以高台跳水运动为例，研究运动员在某一时刻的瞬时速度.在高台跳水运动中，如果运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在关系ht =-4.9t26.5t 10.探究：如何求运动员瞬时速度？比如t =2s的瞬时速度是多少？平均速度与瞬时速度有关系吗？设计意图：问题具体化，即求运动员在t=2s时的瞬时速度.针对具体的问题情境，寻求解决问题的想法.我们求t=2s的瞬时速度是多少，先察t=2s附近平均速度的情况：(2) 我们如何表示运动员在t=2s 时的瞬时速度？ (3) 运动员在某一时刻t o 的瞬时速度怎样表示？设计意图：从特殊到一般，即从特殊点t=2上升到任意点t=t °瞬时速度的表示. (4) 函数f(x)在x=x 0处的瞬时变化率怎样表示？设计意图：舍弃具体变化率问题的实际意义，抽象为数学问题，定义导数. 探究二：导数的定义瞬时速度是平均速度—当览趋近于0时的极限.L t导数的定义：函数y =f(x)在x =x o 处的瞬时变化率是啊卡=|m f(xo：-f (xo)，我们称它为函数y = f(x)在x=x o 处的导数，记作 f (x o ) 或 y'U 即 f(x o )pm of(x x)—f(x o )注意：(1) 函数应在点X 。
高考数学一轮复习 第三章导数及其应用3.1导数、导数的计算教学案 理
第三章 导数及其应用3.1 导数、导数的计算考纲要求1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义．3．能根据导数定义，求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 的导数．4．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．能求简单复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数．1．导数的概念一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0ΔyΔx ＝__________，称其为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或0|x x y =.2．导函数如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 都是可导的，则称f (x )在区间(a ，b )可导．这样，对开区间(a ，b )内每一个值x ，都对应一个确定的导数f ′(x )．于是在区间(a ，b )内____构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f (x )的导函数，记为f ′(x )或y ′.3．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率．相应地，切线方程为______________．45(1)[f (x )±g (x )]′＝__________；(2)[f (x )·g (x )]′＝__________；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝__________(g (x )≠0)． 6．复合函数的导数设u ＝v (x )在点x 处可导，y ＝f (u )在点u 处可导，则复合函数y ＝f [v (x )]在点x 处可导，且f ′(x )＝________，即y ′x ＝________.1．若函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx等于( )．A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2Δx 22．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是( )． A ．0秒 B ．1秒末 C ．2秒末D ．1秒末和2秒末3．曲线y ＝x 3在点P 处的切线的斜率为3，则点P 的坐标为( )．A ．(－1,1)B ．(－1，－1)C ．(1,1)或(－1，－1)D ．(1，－1)4．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )．A ．－1B ．－2C ．2D ．05．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为__________．6．y ＝sin 2x 的导数为__________． 一、根据导数的定义求函数的导数【例1－1】已知f ′(2)＝2，f (2)＝3，则lim x →2f (x )－3x －2＋1的值为( )．A ．1B ．2C ．3D ．4【例1－2】用导数的定义求函数y ＝f (x )＝1x在x ＝1处的导数．方法提炼1．根据导数的概念求函数的导数是求导的基本方法．确定y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数有两种方法：一是导数的定义法，二是导函数的函数值法．2．求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的求解步骤：请做演练巩固提升1二、利用求导公式、法则求导 【例2】求下列函数的导数：(1)y ＝(2x －3)2； (2)y ＝tan x ；(3)y ＝x 2＋2x ＋5. 方法提炼一般来说，分式函数求导，要先观察函数的结构特征，可化为整式函数或较为简单的分式函数的要先化简；对数函数的求导，可先化为和、差的形式；三角函数的求导，先利用三角函数公式转化为和或差的形式．请做演练巩固提升2三、导数的几何意义【例3】已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为1的曲线的切线方程． 方法提炼1．求曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线方程(1)求出函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)即为曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线斜率；(2)由切点(x 0，f (x 0))和斜率f ′(x 0)，用点斜式写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，再化为一般式即可．特别地，如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴，则此时导数f ′(x 0)不存在，由切线定义可知，切线方程为x ＝x 0.2．求曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线方程可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝f (x 1)，y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1)解出x 1，进而确定过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 1)(x －x 0)，再化为一般式即可．3．“过某点”与“在某点处”的切线是不同的，过某点的切线，此点并不一定是切点，在某点处的切线才表明此点是切点．无论是求函数在某点的切线还是过某点的切线，首先都是求(或设)切点坐标得出切线的斜率，再解决问题．曲线在某点处的切线只有一条，而过某点的切线可以不止一条．请做演练巩固提升4对“在某点处”与“过某点”字眼的区分【典例】若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x－9都相切，则a 等于( )．A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解析：因为点(1,0)不在曲线y ＝x 3上，所以应从设切点入手来求切线方程，再利用切线与曲线y ＝ax 2＋154x －9相切求a 的值．设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 03)，所以切线方程为y －x 03＝3x 02(x －x 0)，即y ＝3x 02x －2x 03.又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1，所以选A ．答案：A答题指导：1．在解答本题时有两个易错点：(1)审题不仔细，未对点(1,0)的位置进行判断，误认为(1,0)是切点；(2)当所给点不是切点时，无法与导数的几何意义联系，而必须设出切点．2．解决与导数的几何意义有关的问题时，以下几点在备考时要高度关注：(1)首先确定已知点是否为曲线的切点是求解关键；(2)基本初等函数的导数和导数的运算法则要熟练掌握； (3)对于直线的方程与斜率公式的求解，要熟练掌握．1．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0f (1)－f (1－2x )2x＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为( )．A ．2B ．－1C ．1D ．－22．y ＝cos(x 2＋3)的导数y ′＝__________.3．若曲线f (x )＝ax 3＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是__________．4．(2012安徽高考)设定义在(0，＋∞)上的函数f (x )＝ax ＋1ax＋b (a ＞0)．(1)求f (x )的最小值；(2)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 2．f ′(x )3．y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)4．nx n －1 cos x －sin x a xln a (a ＞0)e x1x ln a (a ＞0，且a ≠1) 1x5．(1)f ′(x )±g ′(x )(2)f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )(3)f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]26．f ′(u )·v ′(x ) y u ′·u x ′ 基础自测1．C 解析：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－1＝4Δx ＋2(Δx )2， ∴ΔyΔx＝4＋2Δx . 2．D 解析：∵s ＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t )＝t 2－3t ＋2.令v ＝0，得t 2－3t ＋2＝0，t 1＝1，t 2＝2.3．C 解析：y ′＝3x 2，∴3x 2＝3. ∴x ＝±1.当x ＝1时，y ＝1，当x ＝－1时，y ＝－1.4．B 解析：∵f ′(x )＝4ax 3＋2bx 为奇函数，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.5．4x －y －3＝0 解析：设切点为(x 0，y 0)，y ′＝4x 3,4x 03＝4， ∴x 0＝1.∴y 0＝1.∴l 的方程为4x －y －3＝0. 6．y ′＝2cos 2x 考点探究突破【例1－1】C 解析：令Δx ＝x －2，则lim x →2f (x )－3x －2＋1 ＝lim Δx →0f (Δx ＋2)－f (2)Δx＋1 ＝f ′(2)＋1＝2＋1＝3.【例1－2】解：Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －11＝1－1＋Δx 1＋Δx＝－Δx1＋Δx (1＋1＋Δx ).∴Δy Δx ＝－11＋Δx (1＋1＋Δx )， ∴lim Δx →0Δy Δx＝lim Δx →0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－11＋Δx (1＋1＋Δx ) ＝－12.∴f ′(1)＝－12.【例2】解：(1)y ′＝(4x 2－12x ＋9)′＝8x －12.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′ ＝(sin x )′cos x －sin x (cos x )′cos 2x＝cos x cos x －sin x (－sin x )cos 2x＝1cos 2x. (3)y ′＝(x 2＋2x ＋5)′ ＝12(x 2＋2x ＋5)－12·(2x ＋2)＝x ＋1x 2＋2x ＋5.【例3】解：(1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率为：y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为：y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，13x 03＋43，则切线的斜率为：0|x x y '=＝x 02.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 03＋43＝x 02(x －x 0)，即y ＝x 02·x －23x 03＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 02－23x 03＋43，即x 03－3 x 02＋4＝0，∴x 03＋x 02－4x 02＋4＝0，∴x 02(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0， 解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. (3)设切点为(x 0，y 0)，则x 02＝1，x 0＝±1，切点为(－1,1)或⎝⎛⎭⎪⎫1，53，∴切线方程为y －1＝x ＋1或y －53＝x －1，即x －y ＋2＝0或3x －3y ＋2＝0. 演练巩固提升1．B 解析：lim x →0f (1)－f (1－2x )2x＝lim x →0f (1－2x )－f (1)－2x＝－1，即y ′|x ＝1＝－1，则y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为－1.2．－2x sin(x 2＋3) 解析：y ′＝[cos(x 2＋3)]′＝2x ·[－sin(x 2＋3)]＝－2x sin(x 2＋3)．3．(－∞，0) 解析：f ′(x )＝3ax 2＋1x(x ＞0)，若函数存在垂直于y 轴的切线，即3ax 2＋1x ＝0有解，a ＝－13x3.∵x ＞0，∴－13x 3＜0.∴a ＜0.4．解：(1)(方法一)由题设和基本不等式可知，f (x )＝ax ＋1ax＋b ≥2＋b ，其中当且仅当ax ＝1时，等号成立，即当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b .(方法二)f (x )的导数f ′(x )＝a －1ax 2＝a 2x 2－1ax 2，当x ＞1a时，f ′(x )＞0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞上递增； 当0＜x ＜1a 时，f ′(x )＜0，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上递减．所以当x ＝1a时，f (x )取最小值为2＋b .(2)f ′(x )＝a －1ax 2.由题设知，f ′(1)＝a －1a ＝32，解得a ＝2或a ＝－12(不合题意，舍去)．将a ＝2代入f (1)＝a ＋1a ＋b ＝32，解得b ＝－1.所以a ＝2，b ＝－1.。
高中数学第3章导数及其应用3.1.2瞬时变化率——导数(二)111数学
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跟踪训练(xùnliàn)3 求过点(－1,0)与曲线y＝x2＋x＋1相切的直线方程.
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解答
达标 检测 (dá biāo)
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1.已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小(dàxiǎo)关系是f′(xA)<f′(xB) ____________.
∴函数(hánshù)f(x)在x＝1处的导数为0.
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解答
命题角度(jiǎodù)2 求函数的导函数 例2 求函数y＝－x2＋3x的导函数.
解 ∵ΔΔyx＝－x＋Δx2＋3xΔ＋xΔx－－x2＋3x＝3－2x－Δx， ∴当Δx→0时，3－2x－Δx→3－2x， 故函数(hánshù)f(x)的导函数为f′(x)＝3－2x.
No 点x＝x0处的切线方程的步骤：。令2a＝2，得a＝1.。规律与方法
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解答
类型二 导数(dǎo shù)几何意义的应用 例3 (1)求曲线(qūxiàn)y＝f(x)＝x3＋2x－1在点P(1,2)处的切线方程；
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解答
(2)求曲线y＝2x2－7过点P(3,9)的切线(qiēxiàn)方程.
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梳理 设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近
fx0＋Δx－fx0
高中数学《第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.2导数的概念...》90PPT课件 一等奖名师
（1）求运动员在 t=1 时的瞬时速度. 分析： 我们先考察在 t=1 附近的情况.
在 t=1 之后（或之前），任选一个
时刻 1+t ， 计算 1，1+t（ 或1+t，1）
上的平均速度，在表格中填入数据.
实例引入 h(t) 4.9t2 6.5t 10
下表是计算问题1中 t 1 附近平均速度的表格.请 小组合作，完成表格.观察平均速度的变化情况，猜 想运动员在 t 1 时的瞬时速度，并说明理由.
人教A版数学(选修1-1)
3.1.2 导数的概念
情景引入
情景引入
利用激光反射测出指定时间内汽车的移 动距离，通过计算得出这段时间的平均速度.测 速时间非常短，因此可用这段时间的平均速度近 似刻画这段时间内任意时刻的瞬时速度.
实例引入
问题1.已知高台跳水运动员距水面的高度 （h 单位:m） 与起跳后的时间 t（单位:s）存在函数关系
v h(1 t) h(1) 4.9t 3.3
t
从物理角度看，时间间隔 t 无限变小时，平均速 度 v 就无限趋近于 t=1 时的瞬时速度.
因此，运动员在 t=1 时的瞬时速度是 3.3m / s.
实例引入
（ 2 ）求运动员在t 2 时的瞬时速度.
v h(2 t) h(2) = 4.9t 13.1 t
当t 0 时，在1,1+t内，v h(1 t) h(1) 当t 0 时，在1+t,1内，v h(1) h(1 t)
(1 t) 1
1 (1 t)
t
v= 4.9t 3.3
t
v= 4.9t 3.3
0.01 0.001 0.0001 0.00001
2019_2020学年高中数学第三章导数及其应用3.1.2导数的概念课件新人教A版选修1_1
故 e＝f′(x0)．
故 a＝d＝e.故选 B.
【警示】fx0＋ΔΔxx－fx0中的 x0 是常数，Δx 是可趋 近于 0 的变量，其形式可以变化，如变成－Δx,2Δx 等，要 正确表示出相应的导数，应保持分子和分母同步变化．
1．函数 y＝f(x)在某一点 x＝x0 处的导数就是函数 y＝f(x)
3．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是
米，t的单位是秒，那么物体在t＝3秒时的瞬时速度是( )
A．7米/秒
B．6米/秒
C．5米/秒
D．8米/秒
【答案】C
4．设f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，则a＝________.
【答案】1
求瞬时速度
【例1】 一辆汽车按规律s＝2t2＋3作直线运动，求这辆汽 车在t＝2时的瞬时速度(时间单位：s，位移单位：m)．
对导数定义式的理解易错
【示例】 已知 a＝Δlxi→m 0 fx0＋ΔΔxx－fx0，
b＝Δlxi→m 0 fx0－ΔΔxx－fx0，c＝Δlxi→m 0 fx0＋2ΔΔxx－fx0，
d＝Δlxi→m 0 fx0＋Δx2－Δxfx0－Δx，e＝Δlxi→m 0 fxx－－fx0x0，
则 b，c，d，e 中与 a 相等的是( )
B．圆
C．椭圆
D．抛物线
【答案】A 【解析】当 f(x)＝b 时，瞬时变化率 liΔxm→0 ΔΔyx＝liΔxm→0 bΔ－xb＝0，∴f(x)的图象为一条直线．
3．某炼油厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，
如果第
x
小 时 时 ， 原 油 温 度 ( 单 位 ： ℃) 为
f(x)
＝
1 3
刻的瞬时速度 v 就是运动物体在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内的平均
高中数学第三章导数及其应用3.1导数3.1.2瞬时速度与导数3.1.3导数的几何意义自我小测新人教B版选修1_1
3.1.2 瞬时速度与导数 3.1.3 导数的几何意义自我小测1．如果质点A 按照规律s ＝3t 2运动，则t ＝3时的瞬时速度为( ) A ．6 B ．18 C ．54 D ．812．已知曲线y ＝x 3过点(2,8)的切线方程为12x －ay －16＝0，则实数a 的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2 3．若lim Δx →0f (x 0)－f (x 0＋3Δx )2Δx＝1，则f ′(x 0)等于( )A.32B.23 C ．－32 D ．－234．设P 0为曲线f (x )＝x 3＋x －2上的点，且曲线在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则点P 0的坐标为( )A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)或(－1，－4)D ．(2,8)或(－1，－4) 5．曲线y ＝13x 3＋2在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，73处切线的倾斜角为( )A ．30° B．45° C ．135° D．60° 6．f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝4，则lim Δx →0f (x 0＋2Δx )Δx＝__________.7．已知函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数为2，则lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx＝__________.8．已知函数f (x )在区间[0,3]上的图象如图所示，记k 1＝f ′(1)，k 2＝f ′(2)，k 3＝f (2)－f (1)，则k 1，k 2，k 3之间的大小关系为__________．(请用＞连接)9．已知曲线y ＝x 2－1在x ＝x 0点处的切线与曲线y ＝1－x 3在x ＝x 0点处的切线互相平行，求x 0的值．10．若一物体的运动方程如下：(位移单位：m ，时间单位：s)s ＝2232(3)293(3)(03)t t t t ⎧≥⎪⎨≤⎪⎩＋，①＋－＜，②求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．参考答案1. 解析：Δs ＝3(3＋Δt )2－3×32＝18Δt ＋3(Δt )2，Δs Δt ＝18＋3Δt ，当Δt →0时，ΔsΔt→18. 答案：B2. 解析：k ＝y ′|x ＝2＝lim Δx →0(2＋Δx )3－23Δx ＝lim Δx →0[12＋6Δx ＋(Δx )2]＝12， 所以过点(2,8)的切线方程为y －8＝12(x －2)， 即y ＝12x －16，所以a ＝1. 答案：B 3. 解析：lim Δx →0f (x 0)－f (x 0＋3Δx )2Δx ＝lim Δx →0f (x 0＋3Δx )－f (x 0)－2Δx＝－32lim Δx →0f (x 0＋3Δx )－f (x 0)3Δx ＝－32f ′(x 0)＝1.所以f ′(x 0)＝－23.答案：D4. 解析：根据导数的定义可求得f ′(x )＝3x 2＋1，由于曲线f (x )＝x 3＋x －2在P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，所以f (x )在P 0处的导数值等于4.设P 0(x 0，y 0)，故f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，解得x 0＝±1，这时P 0点的坐标为(1,0)或(－1，－4)，选C.答案：C5. 解析：Δy ＝13(1＋Δx )3－13×13＝Δx ＋(Δx )2＋13(Δx )3，Δy Δx ＝1＋Δx ＋13(Δx )2，lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋Δx ＋13(Δx )2＝1，所以曲线y ＝13x 3＋2在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，73处切线的斜率是1，倾斜角为45°.答案：B 6. 解析：lim Δx →0f (x 0＋2Δx )Δx ＝2lim Δx →0f (x 0＋2Δx )－f (x 0)2Δx＝2f ′(x 0)＝8. 答案：8 7. 答案：－28. 解析：由导数的几何意义可知k 1，k 2分别为曲线在A ，B 处切线的斜率，而k 3＝f (2)－f (1)＝f (2)－f (1)2－1为直线AB 的斜率，由图象易知k 1＞k 3＞k 2.答案：k 1＞k 3＞k 29. 解：对于曲线y ＝x 2－1在x ＝x 0处， y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0[(x 0＋Δx )2－1]－(x 20－1)Δx ＝lim Δx →02x 0·Δx ＋(Δx )2Δx ＝lim Δx →0(2x 0＋Δx )＝2x 0. 对于曲线y ＝1－x 3在x ＝x 0处，y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0[1－(x 0＋Δx )3]－(1－x 30)Δx ＝lim Δx →0－3x 20Δx －3x 0(Δx )2－(Δx )3Δx＝lim Δx →0[－320x －3x 0·Δx －(Δx )2]＝－320x . 又曲线y ＝1－x 3与曲线y ＝x 2－1在x ＝x 0点处的切线互相平行， 所以2x 0＝－3x 20，解得x 0＝0或x 0＝－23.10. 解：(1)因为物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2， 物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，所以物体在t ∈[3,5]内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v 0即求物体在t ＝0时的瞬时速度． 因为物体在t ＝0附近的平均变化率为Δs Δt ＝f (0＋Δt )－f (0)Δt＝29＋3[(0＋Δt )－3]2－29－3(0－3)2Δt ＝3Δt －18，所以物体在t ＝0处的瞬时变化率为li m Δt →0 ΔsΔt＝li m Δt →0 (3Δt －18)＝－18， 即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． 因为物体在t ＝1附近的平均变化率为Δs Δt ＝f (1＋Δt )－f (1)Δt＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3(1－3)2Δt ＝3Δt －12，所以物体在t ＝1处的瞬时变化率为lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0(3Δt －12)＝－12， 即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.。
高中数学第三章导数及其应用3.1导数3.1.2瞬时速与导数b11b高二11数学
4．函数的导数 (1)函数可导的定义 如果 f(x)在开区间(a，b)内每一点 x_导__数__都__存__在__，则称 f(x) 在区间(a，b)内可导． (2)导函数的定义 若 f(x)在区间(a，b)内可导，则对开区间(a，b)内每个值 x， 都对应一个___确__定__的__导__数__f′_(_x_) _，于是在区间(a，b)内 f′(x) 构成一个新的函数，把这个函数称为函数 y＝f(x)的导函数， 记为___f_′_(x_)_(_或__y_′x_、__y_′)______．导函数通常简称为导数．
12/13/2021
解：因为Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4a Δt＋a(Δt)2，所以ΔΔst＝4a＋aΔt. 在 t＝2 s 时，瞬时速度为Δlit→m0ΔΔst＝4a， 即 4a＝8，所以 a＝2.
12/13/2021
求函数在某点处的导数 求函数 y＝x＋1x在 x＝1 处的导数．
x＋1Δx＝Δx（x（x2＋ x＋x·ΔΔxx）－1），
所以 y′＝Δlxim→0
ΔΔxy＝Δlxim→0
x2＋x·Δx－1 x（x＋Δx）
＝x2x－2 1＝1－x12.
所以 y′|x＝1＝1－1＝0.
12/13/2021
求函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数的三个步骤
简称：一差，二比，三极限．
时速度为( )
A．3
B．4
C．5
D．6
答案：D
12/13/2021
3．一直线运动的物体，从时间 t 到 t＋Δt 时，物体的位移
为Δs，则Δlit→m0 ΔΔst为(
)
A．从时间 t 到 t＋Δt 一段时间内该物体的平均速度
高中数学第三章导数及其应用3.1.2瞬时速与导数(第1课时)b11b高二11数学
D．f′(x0)＝b
【解析】 ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0＝a＋b·Δx，
x＝Δlixm→0
(a＋b·Δx)＝a.
【答案】 C
第二十六页，共三十页。
4．一物体运动的方程是 s＝3＋t2，求物体在 t＝2 时的瞬时速 度．
解：Δs＝(2＋Δt)2－4＝4Δt＋(Δt)2. ∴ΔΔst＝4＋Δt. ∴当 Δt→0 时，瞬时速度为 4.
第三章 导数(dǎo shù)及其应用
3.1 导数(dǎo shù)
3.1.2 瞬时速度 与导数 (shùn shí sù dù)
第一页，共三十页。
学习 目 (xuéxí) 标
1.了解平均速度与瞬时速度、平均变化率与导数间的关系．
2.理解瞬时速度的意义，会求物体运动过程中某时刻t0的瞬时速 度．(重点) 3.掌握函数在一点处导数的定义(dìngyì)，以及函数f(x)在区间(a，b)内导 函数的概念．(重点、难点)
D．与 x0，Δx 均无关
【解析】 由定义知函数 f(x)在 x0 处的导数，只与 x0 有关．
【答案】 B
第二十五页，共三十页。
3．设函数 f(x)在点 x0 附近有定义，且有 f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx ＋b(Δx)2(a，b 为常数)，则( )
A．f′(x)＝a
B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a
Δs＝s(0＋Δt)－s(0)
＝3(0＋Δt)2＋3－(3×02＋3)＝3(Δt)2.
∴v0＝lim Δt→0
ΔΔst ＝Δlit→m0
(3Δt)＝0.
第十五页，共三十页。
(2)当 t＝2 时，s＝3t2＋3，
Δs＝s(2＋Δt)－s(2)
高中数学第三章导数及其应用3.1导数3.1.2瞬时速与导数3.1.3导数的几何意义课件新人教B版选修
(0 +Δ)-(0)
趋近于一个常数 l,则数 l 称为函数 f(x)在点 x0 的瞬
Δ
( +Δ)-(0)
时变化率.用趋近于符号“→”记作当 Δx→0 时, 0
→l.这时,
Δ
化率
还可以说,当 Δx→0 时,函数平均变化率的极限等于函数在 x0 的瞬时
y
1
∴y'= lim x = Δ++
Δ→0
x→0
1
∴y'|x=1=2.
∴Δ =
=
1
2
.
反思函数的导数(dǎo shù)与在点x0处的导数(dǎo shù)不是同一概念,
在点x0处的导数(dǎo shù)是函数的导数(dǎo shù)在x=x0处的函数值.
分子有理化是解决本题的一种重要的变形技巧,要认真体会.
Δ
故所求导数为 2.
=
2
.
(1+Δ) -12
=Δx+2,当 Δx→0 时,Δx+2→2,
Δ
答案:2
第五页，共21页。
3.导函数
如果f(x)在开区间(a,b)内每一点x处导数都存在,则称f(x)在区间(a,b)内
可导.这样,对开区间(a,b)内每个值x,都对应一个确定(quèdìng)的导数
f'(x),于是在区间(a,b)内f'(x)构成一个新的函数,我们把这个函数称为函
式变形成导数定义的结构形式来解决问题.导数定义中增量Δx的形式是
多种多样的,但不论Δx选择哪种形式,Δy也应与之相对应.
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3.1.3 导数的几何意义
预习导航
课程目标学习脉络
1.分清平均速度与瞬时速度的概念．
2．了解函数的平均变化率与导数的关系．
3．会求物体运动过程中某时刻t0的瞬时速度和函
数的瞬时变化率．
4．掌握导数的几何意义，会求函数在点(x0，y0)
处的切线斜率及切线方程.
1．瞬时变化率
思考1平均变化率与瞬时变化率相同吗？
提示：不相同．平均变化率是描述函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，瞬时变化率是描述函数值在x0点处变化的快慢．
思考2瞬时变化率定义中Δx→0的含义是什么？
提示：Δx趋近于0的距离要多近就有多近，即|Δx－0|可以小于给定的任意小的正数，且始终Δx≠0.
2．导数与导函数
思考3函数在某点处的导数与函数在该点的瞬时变化率相同吗？
提示：相同．
思考4函数f(x)在定义域内的任一点都存在导数吗？
提示：不一定．存在导数的点x0首先在区间内部，不能是区间的端点，其次是当Δx→0时，
f(x0＋Δx)－f(x0)
趋近于一个常数，否则就不存在导数．
Δx
特别提醒(1)函数在一点处的导数f′(x0)是一个常数，不是变量．
(2)函数的导数是针对某一区间内任意点x而言的．函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f′(x0)．根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，就是函数f(x)的导函数f′(x)．
(3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值，即f′(x0)＝f′(x)|x＝x0.
3．导数的几何意义
思考5曲线的切线与曲线只有一个公共点吗？
提示：不一定．切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限情况，在其他位置可能还有一
个或多个公共点．。