宿迁中学2016-学年度第一学期高二年级期中考试数学试题(含答案)

宿迁中学2016-2017学年度第一学期高二年级期中考试数学试题试卷满分（160分） 考试时间（120分钟）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 命题“0x ∀>，sin x x <”的否定是_______▲________.2.“1x >”是“11x<”的________▲________条件(请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分又不必要”中选择一个合适的填空). 3. 抛物线22y x =-的准线方程为_____▲_____. 4. 运行如图所示的伪代码，其输出的结果S 为 ▲ ．5．执行如图所示的算法流程图，则输出k 的值为 ▲ ．6. 若双曲线221x my +=过点()2，则该双曲线的虚轴长为 ▲ ．7. 若命题“存在x R ∈，240ax x a ++≤”为假命题，则实数a 的取值范围是_____▲_____.8. 已知直线l 过点(6,5)P ，它在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的3倍，则此直线l 的方程为_____▲_____.9. 与椭圆22143x y +=具有相同的离心率且过点(2,的椭圆的标准方程是 ▲ ． 10．设F 是双曲线的一个焦点，点P 在双曲线上，且线段PF 的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为▲________．k k ＋1 n 13，k 0 （第5题图）I ←0While I <9S ←2I + 1 I ←I +3(第4题图)11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知过原点O 的动直线l 与圆C ：22650x y x +-+=相交于不同的两点,A B ，若点A 恰为线段OB 的中点，则圆心C 到直线l 的距离为 ▲ ． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，点(1,0)A -,(1,0)B ,动点P满足PA =，动点(,2)()Q a a a +∈R ，则线段PQ 长度的最小值为 ▲ ．13．已知经过点(1,2)P 的两个圆1C ，2C 都与直线11:3l y x =，2:3l y x =相切，则这两圆的圆心距12C C 等于 ▲ ．14．如图，设椭圆221169y x +=的左右焦点分别为1F 、2F ，过左焦点1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若2ABF ∆的内切圆的面积为π，设A 、B 两点的坐标分别为()11,A x y 、()22,B x y ，则12||y y -值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知命题p :“方程221y x k m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆”；命题q :“方程22121x y k k +=--表示双曲线”． （1）当0m =时，若p q ∧为假，p q ∨为真，求实数k 的取值范围; （2）若p 是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.（第14题）16．（本小题满分14分）已知光线从点(3,1)A --发出，被直线:10l x y --=反射后经过点(4,4)B -,记反射点为C .（1）求点C 的坐标； （2）求ABC ∆的面积.17．（本小题满分14分）已知点(4,4)A 和圆22:280C x y x +--=. （1）若直线l 经过点A 且倾斜角为4π，求直线l 被圆C 截得的弦长； （2）求经过点A 且与圆C 相切的直线的方程； （3）求以A 为圆心且与圆C 相切的圆的标准方程.18．（本小题满分16分）如图，某隧道的截面由抛物线AED 和矩形ABCD 构成，整个图形是轴对称图形，矩形的长BC 为8m ，宽AB 为2m ，抛物线的顶点E 到地面距离为6m ． （1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的方程； （2）一辆货运卡车高，宽，它能通过该隧道吗（3）如果该隧道内设双行道，为了安全起见，在隧道正中间设有的隔离带，则该辆货运卡车还能通过隧道吗19．（本小题满分16分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为23，一条准线方程为433x =，过点()0,2-的直线l 交椭圆于,A C 两点（异于椭圆的顶点），椭圆的上顶点为B ，直线AB ,BC 的斜率分别为1k ，2k . （1）求椭圆C 的标准方程；（2）当090CAB ∠=,求直线l 的斜率； （3）当直线l 的斜率变化时，求12k k g 的值.y xABCO20．（本小题满分16分）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于,C D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（1）证明:EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（2）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于,M N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于,P Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围.宿迁中学2016-2017学年度第一学期高二年级期中考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 0,sin x x x ∃>≥；2.充分不必要；3.18y =； ； ； ； 7.()2,+∞ ；8. 3210x y +-=或560x y -=； 9. 22186x y +=或221252534y x +=11.12.2；13.4 ；14.7 .二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．15. （1）解：若p 为真：“方程221y x k+=表示焦点在y 轴上的椭圆”，则1k >； 若q 为真：“方程22121x y k k +=--表示双曲线”， 则1k <或2k >. ……………（4分） 因为p q ∧为假，p q ∨为真，则p ，q 一真一假． 若p 真q 假，此时1＜k ≤2． 若p 假q 真，此时k<1．综上实数k 的取值范围是()(],11,2-∞U ．……………（7分） （2）q ⌝：12k ≤≤，p ：1k m ->若p 是q ⌝的必要不充分条件，则11m +<，0m <.所以实数m 的取值范围是(),0-∞.………………………（14分）16.解：（1）点(3,1)A --关于直线:10l x y --=对称点D (0,4)- , ………………（5分） 直线BD 方程为2x +y +4=0，点C 为直线l 与直线BD 交点，坐标为（-1，-2）. ………………………（8分） （2）点A 到直线BD， ………………………（10分） BC距离为， ………………………（12分）1922S == . ………………………（14分）17. 解：（1）直线l 方程为0x y -=，圆心C （1,0），半径为3，圆心C 到直线l距离为2，………………………（4分）（2）当斜率不存在时：4x =， ………………………（6分）当斜率存在时：724680x y -+=………………………（9分） （3）点A 、C 距离为5，当圆A 与圆C 外切时，圆A 方程为：22(4)(y 4)4x -+-= ；…………………（12分） 当圆A 与圆C 内切时，圆A 方程为：22(4)(y 4)64x -+-=；…………………（14分） 18. 解:（1）以隧道顶点为坐标原点,拱高所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,则D 点的坐标为(4,4-)，设隧道所在抛物线方程为22x py =- 代入得2p =,∴抛物线方程为x 2=4y ………………………（5分）（2）将()1.2,y 代入抛物线方程,得0.36y =-此时高度60.36 5.64 4.5h =-=>，∴卡车能通过该隧道 ………………………（10分） （3）由题意，将()2.6,y 代入抛物线方程,得 1.69y =-此时高度6 1.69 4.31 4.5h =-=<，∴卡车不能通过该隧道. ………………………（16分）19.解：（1）椭圆C 的标准方程为2214x y += ………………………（4分） （2）设00(,)A x y ，∵090CAB ∠=，∴0AB AD =u u u r u u u rg得到：2200020x y y ++-=…………（6分）又220044x y +=，两式联立解得：023y =-或01y =（舍去） ∴053x =±，即252(,)33A -或52()33A -- ∴255k =或55k =- ………………………（10分） （3）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设l 的方程为：2y kx =-联立：22244y kx x y =-⎧⎨+=⎩，得()221416120k x kx +-+=∴1221614k x x k +=+，1221214x x k =+g ………………………（12分） 则12121212121211()+1y y y y y y k k x x x x ---+==g g 21212123()993124k x x k x x x x -++=== ………………………（16分）20.解：（Ⅰ）证明：圆x 2+y 2+2x ﹣15=0即为（x+1）2+y 2=16， 可得圆心A （﹣1，0），半径r=4， 由BE ∥AC ，可得∠C=∠EBD ， 由AC=AD ，可得∠D=∠C ， 即为∠D=∠EBD ，即有EB=ED ， 则|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|=4， 故E 的轨迹为以A ，B 为焦点的椭圆， 且有2a=4，即a=2，c=1，b==，则点E 的轨迹方程为+=1（y ≠0）；………………（6分）（Ⅱ）椭圆C 1：+=1，设直线l ：x=my+1，由PQ ⊥l ，设PQ ：y=﹣m （x ﹣1）， 由可得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9=0，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 可得y 1+y 2=﹣，y 1y 2=﹣，则|MN|=•|y 1﹣y 2|=•………………………（9分） =•=12•，A到PQ的距离为d==，|PQ|=2=2=，………………………（12分）则四边形MPNQ面积为S=|PQ|•|MN|=••12•=24•=24，………………………（14分）当m=0时，S取得最小值12，又＞0，可得S＜24•=8，即有四边形MPNQ面积的取值范围是[12，8）．………………………（16分）。