高中数学人教b版选修1-1课时作业：1.3.3 命题的四种形式(1) 含解析
高中数学选修1-1(人教B版)第一章常用逻辑用语1.3知识点总结含同步练习题及答案
q ”，那么
1 时，mx 2 − x + 1 = 0 无实数根； 4
1 ，则 mx 2 − x + 1 = 0 无实数根，真命题； 4
写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假． （1）若 m ⋅ n < 0 ，则方程 mx 2 − x + n = 0 有实数根； （2）若 m ⩽ 0 或 n ⩽ 0，则 m + n ⩽ 0 ． 解：（1）逆命题：若方程 mx 2 − x + n = 0 有实数根，则 m ⋅ n < 0 ，假命题 ； 否命题：若 m ⋅ n ⩾ 0 ，则方程 mx2 − x + n = 0 没有实数根，假命题 ； 逆否命题：若方程 mx 2 − x + n = 0 没有实数根，则 m ⋅ n ⩾ 0 ，真命题． （2）逆命题：若 m + n ⩽ 0 ，则 m ⩽ 0 或 n ⩽ 0 ，真命题； 否命题：若 m > 0 且 n > 0，则 m + n > 0 ，真命题 ； 逆否命题：若 m + n > 0 ，则 m > 0 且 n > 0 ，假命题 ．
因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以 A ⫋ B．故
{ 1 + m ⩾ 10, 或{ 1 + m > 10, 1 − m < −2, 1 − m ⩽ −2,
解得 m ⩾ 9 ，故实数 m 的取值范围是 [9, +∞)．
2.若则命题的四种形式 描述： 若则命题 命题的常见形式为“若 p 则 q ”，其中 p 叫做命题的条件， q 叫做命题的结论． 逆命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称 为互逆命题．其中一个命题称为原命题（original proposition），另一个称为原命题的逆命 题（inverse proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么它的逆命题 为“若 q ，则 p ”． 否命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么 这两个命题称为互否命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题（negative proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么它的否命题为“若 ¬p ，则 ¬q ”． 逆否命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么 这两个命题称为互为逆否命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命
人教新课标版数学高二B版选修1-1课时作业 1.3.2命题的四种形式
一、选择题1．命题“若綈p，则q”是真命题，则下列命题一定是真命题的是() A．若p，则綈q B．若q，则綈pC．若綈q，则p D．若綈q，则綈p【解析】若“綈p，则q”的逆否命题是“若綈q，则p”，又互为逆否命题真假性相同．∴“若綈q，则p”一定是真命题．【答案】 C2．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是() A．互逆命题B．互否命题C．互为逆否命题D．以上都不正确【解析】设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”，故q与r为互逆命题．【答案】 A3．(2013·台州高二检测)已知命题p：若a＞0，则方程ax2＋2x＝0有解，则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为()A．3B．2C．1D．0【解析】易知原命题和逆否命题都是真命题，否命题和逆命题都是假命题．故选B.【答案】 B4．(2013·大庆高二检测)下列判断中不正确的是()A．命题“若A∩B＝B，则A∪B＝A”的逆否命题为真命题B．“矩形的两条对角线相等”的逆否命题为真命题C．“已知a，b，m∈R，若am2<bm2，则a＜b”的逆命题是真命题D．“若x∈N*，则(x－1)2＞0”是假命题【解析】若A∩B＝B，则有B⊆A，从而有A∪B＝A，∴A正确；B中的逆否命题“若一个四边形两条对角线不相等，则它不是矩形”为真命题，∴B正确．C中的逆命题“已知a，b，m∈R，若a＜b，则am2＜bm2”为假命题，故C 不正确．D中x＝1时，(x－1)2＝0显然是假命题．故D正确．【答案】 C5．下列命题中，不是真命题的为()A．“若b2－4ac≥0，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”的逆否命题B．“四边相等的四边形是正方形”的逆命题C．“若x2＝9，则x＝3”的否命题D．“对顶角相等”的逆命题【解析】A中命题为真命题，其逆否命题也为真命题；B中命题的逆命题为“正方形的四边相等”，为真命题；C中命题的否命题为“若x2≠9，则x≠3”为真命题；D中命题的逆命题为“相等的角为对顶角”是假命题．【答案】 D二、填空题6．命题“若A∪B＝B，则A⊆B”的否命题是________．【答案】若A∪B≠B，则A B7．已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则1＜x＜2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．【解析】由已知得，若1＜x＜2成立，则m－1＜x＜m＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2，∴1≤m ≤2. 【答案】 [1,2]8．(2013·菏泽高二检测)给定下列命题：①若a ＞0，则方程ax 2＋2x ＝0有解；②“等腰三角形都相似”的逆命题；③“若x －32是有理数，则x 是无理数”的逆否命题；④“若a ＞1且b ＞1，则a ＋b ＞2”的否命题．其中真命题的序号是________．【解析】 显然①为真，②为假．对于③中，原命题“若x －32是有理数，则x 是无理数”为假命题，∴逆否命题为假命题．对于④中，“若a ＞1且b ＞1，则a ＋b ＞2”的否命题是“若a ≤1或b ≤1，则a ＋b ≤2”为假命题．【答案】 ①三、解答题9．设原命题是“当c ＞0时，若a ＞b ，则ac ＞bc ”，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假．【解】 原命题是真命题．逆命题是“当c ＞0时，若ac ＞bc ，则a ＞b ”，是真命题．否命题是“当c ＞0时，若a ≤b ，则ac ≤bc ”，是真命题．逆否命题是“当c ＞0时，若ac ≤bc ，则a ≤b ”，是真命题．10．已知命题p ：“若ac ≥0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”．(1)写出命题p 的否命题；(2)判断命题p 的否命题的真假，并证明你的结论．【解】 (1)命题p 的否命题为：“若ac ＜0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根”．(2)命题p的否命题是真命题，证明如下：∵ac＜0，∴－ac＞0⇒Δ＝b2－4ac＞0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．∴该命题是真命题．11．已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求证：a＋b≥0.【证明】假设a＋b＜0，则a＜－b.∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)＜f(－b)，又∵f(x)为奇函数．∴f(－b)＝－f(b)，∴f(a)＜－f(b)．即f(a)＋f(b)＜0.∴原命题的逆否命题为真，故原命题为真.。
高中数学人教B版选修1-1课件：1.3.2 命题的四种形式
1.3.2 命题的四种形式
1.了解四种命题的概念，会写出某命题的逆命题、否命 题 和逆否命题． 2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系．(重点) 3.利用命题真假的等价性解决简单问题．(难点、易错点)
知识点一、四种命题的概念
【答案】 1
题目类型三、等价命题的应用
证明：如果p2＋q2＝2，则p＋q≤2. 【思路探究】 可以写出该命题的逆否命题，证明其逆否命 题正确，由原命题与其逆否命题的等价性可知原命题也正确．
证明：该命题的逆否命题为：若 p＋q＞2，则 p2＋q2≠2. 因为 p2＋q2≥12(p＋q)2. 又因为 p＋q＞2，所以(p＋q)2＞4，所以 p2＋q2＞2， 即 p＋q＞2 时，p2＋q2≠2 成立． 所以如果 p2＋q2＝2，则 p＋q≤2 成立．
的函数是单调函数”，B错．逆否命题为“单调函数不是周期函
数，C错，所以选D.
(2)根据逆否命题的定义可知命题“若α＝
π 4
，则tan
α＝1”的
逆否命题是：若tan α≠1，则α≠4π.
【答案】 (1)D (2)若tan α≠1，则α≠π4
题目类型二、四种命题真假的判断
写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，然后 判断真假．
3．互为逆否命题等价．当一个命题的真假不易判断时，可通 过判定其逆否命题的真假来判断．
有下列四个命题： ①“若b＝3，则b2＝9”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若c＜1，则x2＋2x＋c＝0有实根”的逆命题； ④“若A∩B＝A，则A⊆B”的逆否命题． 其中真命题的个数是________．
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性 没有关系 .
人教B版高中数学选修1-1课件 1.3.2命题的四种形式课件1
解：原命题条件为同位角相等， 结论为两直线平行.
否命题为：同位角不相等，两直线不平行.
(1) 若两个角是对顶角，则这两个角相等. (4) 若两个角不相等，则这两个角不是对顶角.
(4)的条件是(1)结论的否定， (4)的结论是(1)条件的否定.
如果第一个命题的条件是第二个命题条件 的否定，且第一个命题的结论是第二个命
题结论的否定，那么这两个命题叫互否命题. 其中一个命题叫做原命题，
另一个命题叫做原命题的否命题. 如果原命题的形式：若p，则q， 那么否命题的形式：若 p ，则 q.
如果原命题的形式：若p，则q， 那么否命题的形式：若 p ，则 q .
如果第一个命题的条件是第二个命题结论 的否定，且第一个命题的结论是第二个命题 条件的否定，这两个命题叫互为逆否命题. 其中一个命题叫做原命题， 另一个命题叫做原命题的逆否命题.
如果原命题的形式：若p，则q， 那么逆否命题的形式：若 q ，则 p .
如果原命题的形式：若p，则q， 那么逆否命题的形式：若 q ，则 p .
解：
(1)原命题为： x, y R,如果xy 0，则x 0；（假） 逆命题为：x, y R,如果x 0，则xy 0；（真） 否命题为：x, y R,如果xy 0，则x 0；（真） 逆否命题为：x, y R,如果x 0，则xy 0.（真）
(2)原命题为： 如果a b，则a • b 0；（真）
解：若命题s的形式为：若p，则q.
由题意可知t的形式为：若q，则p.
而r的形式为：若 q，则 p.
从而对比t和r可知：t是r的否命题.
小 结:
如果原命题的形式：若p，则q， 逆命题的形式：若q，则p. 否命题的形式：若 p ，则 q . 逆否命题的形式：若 q ，则 p .
数学人教B版选修1-1素材：预习导航1.3.2命题的四种形式含解析
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1．命题的四种形式及其概念
思考1四种命题是否是固定的？
提示：不是，原命题是我们自己规定的，其他三种命题是相对原命题而言的．
思考2一个命题的否命题与它的否定是相同的吗？
提示：不是．
命题的否定:只否定结论,它的真假与原命题的真假相反．
否命题：条件和结论同时否定，它的真假与原命题的真假可能相同,也可能相反．
2．四种命题的关系
（1)原命题和逆命题是互逆的命题;否命题和逆否命题也是互逆的命题．
(2)原命题和否命题、逆命题和逆否命题分别是互否的命题．
（3)原命题和逆否命题、逆命题和否命题分别都是互为逆否的命题．
四种命题的关系如下图：
思考3为什么互为逆否命题的两个命题是等价的？
提示：互为逆否命题的两个命题的等价性可以从集合角度给出
恰当的解释．
设A＝｛x|p（x）},B＝{x｜q（x）｝，其中p，q是集合A，B中元素的特征性质,如果A B,则意味着对于元素x要具有性质p就必须有性质q，所以可以认为A B与p q等同．由维恩图(如图所示)易发现有下面的结论：A B与U B U A等价,也就说明“p q”与“⌝q⌝p"等价．。
2019版数学人教B版选修1-1课件：1.3.2 命题的四种形式
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四种命题 【例1】 写出命题“已知a,b,c,d都是实数,若a=b,c=d,则a+c=b+d”的 逆命题、否命题与逆否命题.
分析:先分清命题的条件和结论,再由四种命题的定义写出即可. 条件“a=b,c=d”是“p且q”形式的命题,其否定为“a≠b或c≠d”.
解:逆命题:已知a,b,c,d都是实数,若a+c=b+d,则a=b,c=d; 否命题:已知a,b,c,d都是实数,若a≠b或c≠d,则a+c≠b+d; 逆否命题:已知a,b,c,d都是实数,若a+c≠b+d,则a≠b或c≠d.
反思写已知命题的逆命题、否命题与逆否命题时,应把已知命题看 成原命题,首先分清原命题的条件和结论,然后利用四种命题的定 义写出其他三种命题.
C.若两个角是对顶角,则这两个角不相等
D.若两个角不相等,则这两个角不是对顶角
答案:A
-12-
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3与命题“若a·b=0,则a⊥b”等价的命题是( )
A.若a·b≠0,则a不垂直于b
B.若a⊥b,则a·b=0
C.若a不垂直于b,则a·b≠0
D.若a·b≠0,则a⊥b
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典例透析随堂演练源自【做一做2】 与命题“如果x>2,则x2>4”互逆的命题是 ( ) A.如果x>2,则x2<4 B.如果x≤2,则x2≤4 C.如果x2≤4,则x≤2 D.如果x2>4,则x>2 答案:D
高中数学选修1-1课时作业4：1.3.3 非(not)
1.3.3“非”一、选择题1．如果原命题的结构是“p且q”的形式，那么否命题的结构形式为()A．¬p且¬q B．¬p或¬qC．¬p或q D．¬q或p2．若p、q是两个简单命题，“p或q”的否定是真命题，则必有()A．p真q真B．p假q假C．p真q假D．p假q真3．命题p：a2＋b2<0(a、b∈R)；命题q：a2＋b2≥0(a、b∈R)，下列结论中正确的是() A．“p∨q”为真B．“p∧q”为真C．“¬p”为假D．“¬q”为真4．对命题p：A∩∅＝∅，命题q：A∪∅＝A，下列说法正确的是()A．p且q为假B．p或q为假C．非p为真D．非p为假5．对于命题p和q，若p且q为真命题，则下列四个命题：①p或¬q是真命题；②p且¬q是真命题；③¬p且¬q是假命题；④¬p或q是假命题．其中真命题是()A．①②B．③④C．①③D．②④6．如果命题“p或q”为真，命题“p且q”为假，则()A．命题p和命题q都是假命题B．命题p和命题q都是真命题C．命题p和命题“非q”真值不同D．命题p和命题“非q”真值相同7．设语句p：x＝1，¬q：x2＋8x－9＝0，则下列各选项为真命题的是()A．p∧q B．p∨qC ．若q 则¬pD ．若¬p 则q8．已知全集为R ，A ⊆R ，B ⊆R ，如果命题p ：x ∈A ∩B ，则“非p ”是( )A ．x ∈AB ．x ∈∁R BC ．x ∉(A ∪B )D ．x ∈(∁R A )∪(∁R B ) 二、填空题9．命题p ：2不是质数，命题q ：2是无理数，在命题“p ∧q ”、命题“p ∨q ”“¬p ”“¬q ”中，假命题是________，真命题是________．10．已知命题p ：∅{0}，q ：∅∈{1,2}．由它们构成的“p ∨q ”“p ∧q ”和“¬p ”形式的复合命题中，为真命题的是________．三、解答题11．写出下列命题的否定：(1)a 、b 、c 都相等；(2)y ＝cos x 是偶函数且是周期函数；(3)(x －2)(x ＋5)>0.12．已知命题p ：|x 2－x |≥6，q ：x ∈Z ，若“p ∧q ”与“¬q ”都是假命题，求x 的值．13．已知p ：⎝⎛⎭⎫x －432≤4，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，若¬p ⇒¬q 为假命题，¬q ⇒¬p 为真命题，求m 的取值范围．[[答案]]1．[[[答案]]] B[[[解析]]]“且”的否定形式为“或”．2．[[[答案]]] B[[[解析]]]“p或q”的否定是：“¬p且¬q”是真命题，则¬p、¬q都是真命题，故p、q都是假命题．3．[[[答案]]] A[[[解析]]]因为p为假q为真．所以“p∧q”为假；“p∨q”为真；“¬p”为真；“¬q”为假．4．[[[答案]]] D[[[解析]]]命题p真，命题q真，故p且q真，p或q真，非p假，非q假，故选D.5．[[[答案]]] C[[[解析]]]若p且q为真命题，则p真，q真，¬p假，¬q假，所以p或¬q真，¬p且¬q假，故选C.6．[[[答案]]] D[[[解析]]]“p或q”为真，“p且q”为假，则p、q一个真一个假，故命题p和命题“非q”真值相同．7．[[[答案]]] C[[[解析]]]¬q为x＝1或x＝－9.8．[[[答案]]] D[[[解析]]]由韦恩图可知选D.9．[[[答案]]]“p∧q”“¬q”“p∨q”“¬p”[[[解析]]]因为命题p假，命题q真，所以命题“p∧q”假，命题“p∨q”真，“¬p”真，“¬q”假．10．[[[答案]]]p∨q[[[解析]]]∅是任何非空集合的真子集，故p正确，集合与集合之间用“”“⊆”“＝”表示，元素与集合之间用“∈”“∉”表示，故q错误．11．[[[解析]]](1)a、b、c不都相等，也就是说a、b、c中至少有两个不相等．(2)y＝cos x不是偶函数或不是周期函数．(3)因为(x－2)(x＋5)>0表示x<－5或者x>2，所以它的否定是x≥－5且x≤2，即－5≤x≤2.另解：(x－2)(x＋5)>0的否定是(x－2)(x＋5)≤0，即－5≤x≤2.12．[[[解析]]] 非q 假，∴q 真，又p 且q 假，∴p 假．∴⎩⎪⎨⎪⎧ |x 2－x |<6x ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧－6<x 2－x <6x ∈Z， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2<x <3x ∈Z ，∴x ＝－1、0、1、2. 13． [[[解析]]] 设p ，q 分别对应集合P ，Q ，则P ＝{x |－2≤x ≤10}，Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }，由¬q ⇒¬p 为真，¬p ⇒¬q 为假，得PQ ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－21＋m >10m >0或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－21＋m ≥10m >0，解得m ≥9.。
数学人教B版选修1-1课件：第一章 1.3.2 命题的四种形式
(2)当x>3时，x2－4x＋3>0；
解 原命题：若x>3，则x2－4x＋3>0； 逆命题：若x2－4x＋3>0，则x>3； 否命题：若x≤3，则x2－4x＋3≤0； 逆否命题：若x2－4x＋3≤0，则x≤3.
(3)正方形的对角线互相平分.
解 原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分； 逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形； 否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分； 逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形.
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1 自主学习
PART ONE
知识点一 四种命题的概念 四种命题的定义 命题“如果p，则(那么)q”是由条件p和结论q组成的，对p，q进行“换位” 或“换质”后，一共可以构成四种不同形式的命题. (1)原命题：如果p，则q； (2)条件和结论“ 换位 ”：如果q，则p，这称为原命题的 逆命题 ； (3)条件和结论“ 换质 ”(分别否定)：如果綈p，则綈q，这称为原命题的 否命题 . (4)条件和结论“换位”又“换质”：如果綈q，则綈p，这称为原命题的 逆否命题 .
反思感悟 四种命题的写法 (1)由原命题写出其它三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件和 结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换 的同时进行否定即得逆否命题. (2)如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时， 必须注意各命题中的大前提不变.
(4)当1<x<2时，x2－3x＋2<0；
解 逆命题：若x2－3x＋2<0，则1<x<2. 否命题：若x≤1或x≥2，则x2－3x＋2≥0. 逆否命题：若x2－3x＋2≥0，则x≤1或x≥2.
人教新课标版数学高二B版选修1-1学案 1.3.2 命题的四种形式
1．3.2命题的四种形式学习目标 1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题．知识点一四种命题的概念思考给出以下四个命题：(1)当x＝2时，x2－3x＋2＝0；(2)若x2－3x＋2＝0，则x＝2；(3)若x≠2，则x2－3x＋2≠0；(4)若x2－3x＋2≠0，则x≠2.你能说出命题(1)与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？答案命题(1)的条件和结论与命题(2)的条件和结论恰好互换了．命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定．命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定．梳理对命题的条件和结论进行“换位”和“换质”(否定)后，可以构成四种不同形式的命题：(1)原命题：如果p，则q；(2)逆命题：如果q，则p(“换位”)；(3)否命题：如果綈p，则綈q(“换质”)；(4)逆否命题：如果綈q，则綈p(“换位”又“换质”)．知识点二命题的四种形式之间的关系思考1为了书写方便常把p与q的否定分别记作“綈p”和“綈q”，如果原命题是“如果p，则q”，那么它的逆命题、否命题、逆否命题该如何表示？答案逆命题：如果q，则p.否命题：如果綈p，则綈q.逆否命题：如果綈q，则綈p.思考2原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其否命题呢？答案互逆、互否、互为逆否．梳理四种命题间的相互关系知识点三四种命题的真假关系思考1知识点一的“思考”中四个命题的真假性是怎样的？答案(1)真命题，(2)假命题，(3)假命题，(4)真命题．思考2如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的否命题呢？它的逆否命题呢？答案原命题为真，其逆命题不一定为真，其否命题不一定为真，其逆否命题一定是真命题．梳理(1)在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是逆否命题．(2)两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性没有关系．(1)任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题．(√)(2)原命题与逆命题的真假性无关，但原命题与否命题的真假性一定相反．(×)(3)一个命题的否命题和这个命题的逆命题的真假性相同．(√)(4)否命题其实就是命题的否定．(×)类型一四种命题及其相互关系命题角度1四种命题的概念例1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)若x∈A，则x∈A∪B；(2)若a，b都是偶数，则a＋b是偶数；(3)在△ABC中，若a>b，则A>B.考点四种命题题点四种命题概念的理解解(1)逆命题：若x∈A∪B，则x∈A.否命题：若x∉A，则x∉A∪B.逆否命题：若x∉A∪B，则x∉A.(2)逆命题：若a＋b是偶数，则a，b都是偶数．否命题：a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数．逆否命题：若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数．(3)逆命题：在△ABC中，若A>B，则a>b.否命题：在△ABC中，若a≤b，则A≤B.逆否命题：在△ABC中，若A≤B，则a≤b.反思与感悟四种命题的转换方法(1)交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题．(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题．跟踪训练1命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是()A．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数考点四种命题题点四种命题概念的理解答案B解析直接根据逆否命题的定义，将其条件与结论进行否定，再互换，值得注意的是“是减函数”的否定不能写成“是增函数”，而应写成不是减函数．命题角度2四种命题的相互关系例2若命题p：“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题为q，命题q的逆命题为r，则r与p的逆命题的关系是()A．互为逆命题B．互为否命题C．互为逆否命题D．同一命题考点四种命题的相互关系题点四种命题相互关系的应用答案B解析已知命题p：若x＋y＝0，则x，y互为相反数．命题p的否命题q为：若x＋y≠0，则x，y不互为相反数，命题q的逆命题r为：若x，y不互为相反数，则x＋y≠0，∴r是p的逆否命题，∴r是p的逆命题的否命题，故选B.反思与感悟判断四种命题之间四种关系的两种方法(1)利用四种命题的定义判断．(2)巧用“逆、否”两字进行判断，如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”一个字，是互否关系；而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字，其关系为逆否关系．跟踪训练2已知命题p的逆命题是“若实数a，b满足a＝1且b＝2，则a＋b<4”，则命题p的否命题是__________________________________．考点四种命题的相互关系题点四种命题相互关系的应用答案若实数a，b满足a＋b≥4，则a≠1或b≠2解析由命题p的逆命题与其否命题互为逆否命题可得．类型二四种命题的真假判断例3有以下命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题，其中真命题为()A．①②B．②③C．④D．①②③考点四种命题的真假判断题点由四种命题的关系判断命题的真假答案D解析①②③显然正确；对于④，若A∩B＝B，则B⊆A，所以原命题为假，故它的逆否命题也为假．反思与感悟原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，与逆命题或否命题的真假性没有关系．逆命题与否命题也总是具有相同的真假性．跟踪训练3命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b，c∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．0 B．2 C．3 D．4考点四种命题的真假判断题点由四种命题的关系判断命题的真假答案B解析命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b，c∈R)”是假命题，则其逆否命题是假命题．该命题的逆命题为“若ac2>bc2，则a>b(a，b，c∈R)”是真命题，则其否命题是真命题．故选B.类型三等价命题的应用例4判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．考点四种命题的相互关系题点逆否证法解方法一原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为∅，判断如下：二次函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，令x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＝0，则Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.因为a<1，所以4a－7<0，即关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为∅.故此命题为真命题．方法二利用原命题的真假去判断逆否命题的真假．因为关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，所以(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，＞1，即4a－7≥0，解得a≥74所以原命题为真，故其逆否命题为真．引申探究判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0的解集为R，则a<74”的逆否命题的真假．解先判断原命题的真假如下：因为a，x为实数，关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0的解集为R，且二次函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7<0，所以a<74.所以原命题是真命题．因为互为逆否命题的两个命题同真同假，所以原命题的逆否命题为真命题．反思与感悟由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的两个命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题．跟踪训练4证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.考点四种命题的相互关系题点逆否证法证明“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a ＋1＝0”．∵a＝2b＋1，∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0，∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确.1．命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是()A．若a∉A，则b∉B B．若a∈A，则b∉BC．若b∈B，则a∉A D．若b∉B，则a∉A考点四种命题题点四种命题概念的理解答案B解析命题“若p，则q”的否命题是“若非p，则非q”，“∈”与“∉”互为否定形式．2．命题“如果x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()A．如果x2≥1，则x≥1，或x≤－1B．如果－1<x<1，则x2<1C．如果x>1或x<－1，则x2>1D．如果x≥1或x≤－1，则x2≥1考点四种命题题点四种命题概念的理解答案D解析原命题结论“－1<x<1”的否定是“x≤－1或x≥1”，原命题条件“x2<1”的否定是“x2≥1”，故逆否命题是如果x≥1或x≤－1，则x2≥1.3．如果一个命题的否命题是真命题，那么这个命题的逆命题是()A．真命题B．假命题C．不一定是真命题D．不一定是假命题考点四种命题的真假判断题点由四种命题的关系判断命题的真假答案A解析由否命题与逆命题互为逆否命题，可知这个命题的逆命题是真命题．4．下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“正三角形的三个内角均为60°”的否命题；③“若k<0，则方程x2＋(2k＋1)x＋k＝0必有两相异实数根”的逆否命题．其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3考点 四种命题的真假判断题点 由四种命题的关系判断命题的真假答案 C解析 ①的逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题；②的否命题“不是正三角形的三个内角不全为60°”为真命题；③当k <0时，Δ＝(2k ＋1)2－4k ＝4k 2＋1>0，方程有两相异实根，原命题与其逆否命题均为真命题．5．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________． 考点 四种命题的真假判断题点 由四种命题的真假求参数的范围答案 [1,2]解析 命题：“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为“若1<x <2，则m －1<x <m ＋1”． ∵该逆命题为真命题，∴由⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2，得1≤m ≤2.1．写四种命题时，可以按下列步骤进行：(1)找出命题的条件p 和结论q ；(2)写出条件p 的否定綈p 和结论q 的否定綈q ；(3)按照四种命题的结构写出所有命题．2．一个命题都有条件和结论，要分清条件和结论．3．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．一、选择题1．“如果x ＞y ，则x 2＞y 2”的逆否命题是( )A．如果x≤y，则x2≤y2B．如果x＞y，则x2＜y2C．如果x2≤y2，则x≤yD．如果x＜y，则x2＜y2考点四种命题题点四种命题概念的理解答案C解析由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．2．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是()A．互逆命题B．互否命题C．互为逆否命题D．以上都不正确考点四种命题的相互关系题点四种命题相互关系的应用答案A解析设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”．故q与r为互逆命题．3．命题p：若A∩B＝B，则A⊆B；命题q：若A⊈B，则A∩B≠B，那么命题p与命题q的关系是()A．互逆命题B．互否命题C．互为逆否命题D．不能确定考点四种命题的相互关系题点四种命题相互关系的应用答案C解析由逆否命题的定义可得．4．下列命题中为真命题的是()A．命题“若x>2 016，则x>0”的逆命题B．命题“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的逆否命题C．命题“若x2＋x－2＝0，则x＝1”D．命题“若x2≥1，则x≥1”的逆否命题考点四种命题的真假判断题点由四种命题的关系判断命题的真假答案B解析A选项，“若x>2 016，则x>0”的逆命题为“若x>0，则x>2 016”是假命题；B选项，“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的逆否命题为“若x≠0且y≠0，则xy≠0”是真命题；C选项，由x2＋x－2＝0，得x＝1或x＝－2，故C是假命题；D选项，“若x2≥1，则x≥1”是假命题，故其逆否命题是假命题．5．已知命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”，则它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3考点四种命题的真假判断题点由四种命题的关系判断命题的真假答案B解析命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”是真命题，故其逆否命题是真命题．该命题的逆命题为“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”是假命题，故其否命题也是假命题，故选B.6．已知命题“如果ab≤0，则a≤0或b≤0”，则下列结论正确的是()A．真命题，否命题：“如果ab>0，则a>0或b>0”B．真命题，否命题：“如果ab>0，则a>0且b>0”C．假命题，否命题：“如果ab>0，则a>0或b>0”D．假命题，否命题：“如果ab>0，则a>0且b>0”考点四种命题题点四种命题概念的理解答案B解析如果ab≤0，则a与b至少有一个小于等于0，故“如果ab≤0，则a≤0或b≤0”是真命题，该命题的否命题为“如果ab>0，则a>0且b>0”．7．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，p的逆命题为t，则s是t的()A．逆否命题B．逆命题C．否命题D．原命题考点四种命题的相互关系题点四种命题相互关系的判断答案C解析特例：p：△ABC中，若∠A＝∠B，则a＝b；r：△ABC中，若∠A≠∠B，则a≠b；s：△ABC中，若a≠b，则∠A≠∠B；t：△ABC中，若a＝b，则∠A＝∠B.8．下列说法错误的是()A．命题“如果x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是“如果x≠3，则x2－4x＋3≠0”B．“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题D．命题p：“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”，则綈p：“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”考点四种命题题点四种命题概念的理解答案C解析C选项中，p且q为假命题，则p与q至少有一个为假命题．二、填空题9．下列命题中：①如果一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②如果一个四边形为正方形，则它的四条边相等；③如果一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．考点四种命题题点四种命题概念的理解答案②③①③①②10．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的个数是________．考点四种命题的真假判断题点由四种命题的关系判断命题的真假答案1解析原命题是真命题，则其逆否命题是真命题，该命题的逆命题是假命题，则其否命题也是假命题，故答案为1.11．已知原命题“两个无理数的积仍是无理数”，则①逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”；②否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”；③逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”．其中正确是________．(填序号)考点 四种命题的真假判断题点 由四种命题的关系判断命题的真假答案 ①②解析 原命题的逆命题、否命题叙述正确．逆否命题应为“乘积不是无理数的两个数不都是无理数”．三、解答题12．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．(1)当m >14时，mx 2－x ＋1＝0无实根； (2)当abc ＝0时，a ＝0或b ＝0或c ＝0.考点 四种命题题点 四种命题概念的理解解 (1)逆命题：当mx 2－x ＋1＝0无实根时，m >14，真命题； 否命题：当m ≤14时，mx 2－x ＋1＝0有实根，真命题； 逆否命题：当mx 2－x ＋1＝0有实根时，m ≤14，真命题． (2)逆命题：当a ＝0或b ＝0或c ＝0时，abc ＝0，真命题；否命题：当abc ≠0时，a ≠0且b ≠0且c ≠0，真命题；逆否命题：当a ≠0且b ≠0且c ≠0时，abc ≠0，真命题．13．判断命题：“若b ≤－1，则关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根”的逆否命题的真假．考点 四种命题的真假判断题点 由四种命题的关系判断命题的真假解 方法一 (利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题的真假即可．方程判别式为Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ，因为b ≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．方法二(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真．四、探究与拓展14．已知A表示点，a，b，c表示直线，α，β表示平面，给出下列命题：①a⊥α，b⊄α，如果b∥α，则b⊥a；②a⊥α，如果a⊥β，则α∥β；③a⊂α，b∩α＝A，c为b在α上的射影，如果a⊥c，则a⊥b；④a⊥α，如果b∥α，c∥a，则a⊥b，c⊥b.其中逆命题为真的是________．考点四种命题的真假判断题点由四种命题的关系判断命题的真假答案①②③解析④的逆命题：“a⊥α，如果a⊥b，c⊥b，则b∥α，c∥a”，而b，c均可以在α内，故不正确．15．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，对命题“如果a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．”(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．考点四种命题的真假判断题点由四种命题的关系判断命题的真假解(1)逆命题：如果f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0，为真命题．由于逆命题与否命题具有相同的真假性，因此可转化为证明其否命题为真，即证明“如果a ＋b＜0，则f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)”为真命题．因为a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a.因为f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，则f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，所以f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．因此否命题为真命题，即逆命题为真命题．(2)逆否命题：如果f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b＜0，为真命题．因为逆否命题与原命题具有相同的真假性，所以先证原命题成立．证明：因为a＋b≥0，所以a≥－b，所以f(a)≥f(－b)，同理f(b)≥f(－a)，所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，即原命题成立．所以逆否命题是真命题．。
人教版B版高中数学选修1-1(B版)命题的四种形式
[说明] 命题的否定形式及否命题是两 个不同的概念，要注意区别，不能混淆．从 形式上看，否命题既否定条件，又否定结论， 而命题的否定，条件不变，只否定结论．
有下列四个命题：
(1)“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的否命题；
(2)“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；
(3)“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；
(2)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1，为 真命题．
否命题：若q>1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，真命 题．
逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q>1，真命 题.
[例2] 写出下列命题的否命题及命题的否定形式，并 判断真假．
(1)若m>0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实根． (2)若x、y都是奇数，则x＋y是奇数． (3)若abc＝0，则a、b、c中至少有一个为0.
判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋ (2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真 假．
[解析] 原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a<1， 则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集．
判断真假如下： 抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上， 判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.
[误解] ∵p：|5x－2|>3，∴¬p：|5x－2|≤3， ∴－3≤5x－2≤3，即－15≤x≤1， 又∵q：x2＋41x－5>0，¬q：x2＋41x－5≤0， ∴x2＋4x－5<0，即－5<x<1，∴¬p⇒/ ¬q 且¬q⇒/ ¬p， 故¬p 是¬q 的既不充分也不必要条件．
[辨析] 将命题 q：x2＋41x－5>0 的否定形式错误地认 为：¬q：x2＋41x－5≤0，∴x2＋4x－5<0 导致错误．
选修1-1命题的四种形式课时作业
课时作业6命题的四种形式时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共30分)1．若x2＝1，则x＝1的否命题为()A．若x2≠1，则x＝1 B．若x2＝1，则x≠1C．若x2≠1，则x≠1 D．若x≠1，则x2≠1【答案】 C【解析】一个命题的否命题，既否定条件，又否定结论，而一个命题的否定形式，只否定结论，不否定条件．2．命题“若a＝5，则a2＝25”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题是()A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题【答案】 D【解析】∵原命题为真，逆命题为假，∴逆否命题为真，否命题为假．3．与命题“若a∈A，则b∉A”等价的命题是()A．a∈A或b∉A B．若b∉A，则a∉AC．若a∉A，则b∈A D．若b∈A，则a∉A【答案】 D【解析】根据四种命题间的相互关系，原命题与逆否命题等价，故选D.4．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4【答案】 C【解析】 本题主要考查命题的四种形式．由题意知：写逆否命题将原命题的题设结论否定再交换．关键点是原命题与逆否命题关系．5．a 、b 、c 是三条直线，α、β是两个平面，b ⊂α，c ⊄α，则下列命题不成立的是( )A ．若α∥β，c ⊥α，则c ⊥bB ．“若b ⊥β，则α⊥β”的逆命题C ．若a 是c 在α内的射影，b ⊥a ，则c ⊥bD ．“若b ∥c ，则c ∥α”的逆否命题【答案】 B【解析】 选项B 的逆命题为“若α⊥β，则b ⊥β”，又知b ⊂α，故直线b 与平面β还可以平行或斜交，故逆命题不正确，故选B.6．有下列三个命题：(1)“若x ＋y ＝0，则x 、y 互为相反数”的逆命题；(2)“若m >n ，则m 2>n 2”的逆否命题；(3)“若y ≤－3，则y 2－y －6>0”的否命题．其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C．2 D．3【答案】 B【解析】(1)若x，y互为相反数，则x＋y＝0，这是真命题；(2)若m2≤n2，则m≤n，这是假命题；(3)若y>－3，则y2－y－6≤0，这是假命题．二、填空题(每小题10分，共30分)7．用反证法证明命题：“a、b∈N，ab可被5整除，那么a、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为________．【答案】a、b都不能被5整除【解析】“至少有一个”的否定为“一个也没有”，即假设的内容应当是“a、b都不能被5”整除．8．原命题：在空间中，若四点不共面，则这四个点中任何三点都不共线．其逆命题为________(真、假)．【答案】假【解析】假如：正方形ABCD的四个顶点，任意三点不共线，但这四点共面．9．下列四个命题：①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④“若A∪B＝B，则B⊆A”的逆否命题．其中真命题的序号为________．【答案】①③【解析】由倒数的定义知①正确；②的否命题为“不相似的三角形的周长不相等”，显然错误；③当b≤－1时，Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b≥4>0，∴方程有实根，∴原命题为真，根据原命题与逆否命题真假相同，知③正确；④∵A∪B＝B，∴A⊆B，∴原命题为假，根据原命题与逆否命题真假相同，知④错误．三、解答题(本题共3小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)10．(13分)写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断其真假．(1)末尾数字是0或5的整数，能被5整除；(2)若a＝2，则函数y＝a x是增函数．【分析】依据四种命题的定义分别写出逆命题、否命题、逆否命题．“0或5”的否定是“不是0且不是5”，“是”的否定词是“不是”，“等于”的否定词是“不等于”．【解析】(1)逆命题：能被5整除的整数，末尾数字是0或5；(真) 否命题：末尾数字不是0且不是5的整数，不能被5整除；(真) 逆否命题：不能被5整除的整数，末尾数字不是0且不是5；(真)(2)逆命题：若函数y＝a x是增函数，则a＝2；(假)否命题：若a≠2，则函数y＝a x不是增函数；(假)逆否命题：若函数y＝a x不是增函数，则a≠2.(真)11．(13分)写出下列命题的否定及其否命题．(1)面积相等的三角形是全等三角形；(2)如果x 2－x ≠0，那么x ≠0，且x ≠1；(3)a >0时函数y ＝ax ＋b 的值随x 的增加而增加．【解析】 (1)否定：面积相等的三角形不是全等三角形． 否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形．(2)否定：如果x 2－x ≠0，那么x ＝0，或x ＝1.否命题：如果x 2－x ＝0，那么x ＝0，或x ＝1.(3)否定：a >0时，函数y ＝ax ＋b 的值不随x 的增加而增加． 否命题：a ≤0时，函数y ＝ax ＋b 的值不随x 的增加而增加．【规律方法】 命题的否定是只否定结论不否定条件，而否命题则条件、结论均否定．12．(14分)判断命题“若m ≥－13，则关于x 的方程x 2＋2x －3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．【分析】 可以从逆否命题直接判断，也可以先判断原命题的真假，然后利用原命题与逆否命题的等价关系使问题获解．【解析】 解法1：因为m ≥－13，所以12m ＋4≥0.所以方程x 2＋2x －3m ＝0的判别式Δ＝12m ＋4≥0.所以原命题“若m ≥－13，则x 2＋2x －3m ＝0有实数根”为真．又因为原命题与它的逆否命题等价，所以“若m ≥－13，则x 2＋2x －3m ＝0有实数根”的逆否命题也为真．解法2：原命题“若m ≥－13，则x 2＋2x －3m ＝0有实数根”的逆否命题为“若x 2＋2x －3m ＝0无实数根，则m <－13”．因为x 2＋2x －3m ＝0无实数根，所以Δ＝12m ＋4<0，所以m <－13.所以“若x 2＋2x －3m ＝0无实数根，则m <－13”为真． 解法3：设p ：m ≥－13，q ：x 2＋2x －3m ＝0有实数根．非p ：m <－13，非q ：x 2＋2x －3m ＝0无实数根．设非p ：A ＝{m |m <－13}，非q ：B ＝{m |方程x 2＋2x －3m ＝0无实数根}＝{m |m <－13}． 因此B ＝A ，所以“若非q ，则非p ”为真，即“若方程x 2＋2x －3m ＝0无实根，则m <－13”为真．。
高中人教B版数学选修1-1练习：1.3.2 命题的四种形式 Word版含解析
1.3.2命题的四种形式课时过关·能力提升1.命题“在△ABC中,若∠C=90°,则∠A,∠B都是锐角”的否命题是()A.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B都不是锐角B.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不都是锐角C.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B必有一钝角D.在△ABC中,若∠A,∠B都是锐角,则∠C=90°答案:B2.下列说法正确的是()A.一个命题的否命题为真,则它的逆命题为假B.一个命题的逆命题为真,则它的否命题为真C.一个命题的否命题为真,则它的逆否命题为真D.一个命题的逆否命题为真,则它的逆命题为真解析:由四种命题的关系可知,一个命题的否命题与它的逆命题是互为逆否关系,根据互为逆否命题的两个命题是等价的,可得选项B正确.答案:B3.命题“若f(x)是奇函数,则f(-x)是奇函数”的否命题是()A.若f(x)是偶函数,则f(-x)是偶函数B.若f(x)不是奇函数,则f(-x)不是奇函数C.若f(-x)是奇函数,则f(x)是奇函数D.若f(-x)不是奇函数,则f(x)不是奇函数答案:B4.与命题:“若x∈M,则y∉M”等价的命题是()A.若x∉M,则y∉MB.若y∉M,则x∉MC.若x∉M,则y∈MD.若y∈M,则x∉M解析:与命题“若x∈M,则y∉M”等价的命题是其逆否命题:“若y∈M,则x∉M”.答案:D5.下列命题中,是真命题的为()A.“若二次方程ax2+bx+c=0有实根,则b2-4ac>0”的逆否命题B.“正方形的四条边相等”的逆命题C.“若x2-4=0,则x=2”的否命题D.“对顶角相等”的逆命题解析:对于A项,原命题是假命题,故其逆否命题也为假命题;对于B项,逆命题为“四条边相等的四边形是正方形”是假命题;对于C项,否命题为“若x2-4≠0,则x≠2”为真命题;对于D项,逆命题为“相等的角是对顶角”为假命题.答案:C6.命题“到一个角的两边距离相等的点在该角的平分线上”的否命题是.答案:到一个角的两边距离不相等的点不在该角的平分线上7.命题“若x,y是偶数,则x+y是偶数(x∈Z,y∈Z)”的逆否命题是,它是命题.(填“真”或“假”)答案:若x+y不是偶数,则x,y不都是偶数(x∈Z,y∈Z)真★8.有下列四个命题:①如果xy=1,则lg x+lg y=0;②“如果sin α+cos αα是第一象限角”的否命题;③“如果b≤0,则方程x2-2bx+b=0有实数根”的逆否命题;④“如果A∪B=B,则A⊆B”的逆命题.其中是真命题的有.(填序号)解析:命题①显然错误,例如:x=-1,y=-1时,lg x+lg y无意义.对于②,其否命题为“如果sin α+cosα≠α不是第一象限角”,因当α=60°时,sin α+cos α.对于命题③,因当b≤0时,Δ=4b2-4b≥0恒成立,故方程x2-2bx+b=0有实数根.由原命题与其逆否命题真假相同,可知命题③是真命题.对于④,其逆命题为“若A⊆B,则A∪B=B”,显然为真.答案:③④9.写出命题“正n(n≥3)边形的n个内角全相等”的否定和否命题.分析:对该命题的结论加以否定得到其否定为:正n(n≥3)边形的n个内角不全相等.对该命题的条件和结论分别加以否定得到其否命题为:不是正n(n≥3)边形的n个内角不全相等.解:命题的否定:正n(n≥3)边形的n个内角不全相等.否命题:不是正n(n≥3)边形的n个内角不全相等.★10.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并分别判断其真假.(1)末尾数字是0或5的整数,能被5整除;(2)若a=2,则函数y=a x是增函数.分析:依据四种命题的定义分别写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题.“0或5”的否定是“不是0且不是5”,“是”的否定词是“不是”,“等于”的否定词是“不等于”.解:(1)逆命题:能被5整除的整数,末尾数字是0或5;(真)否命题:末尾数字不是0且不是5的整数,不能被5整除;(真)逆否命题:不能被5整除的整数,末尾数字不是0且不是5;(真)(2)逆命题:若函数y=a x是增函数,则a=2;(假)否命题:若a≠2,则函数y=a x不是增函数;(假)逆否命题:若函数y=a x不是增函数,则a≠2.(真)。
2018版高中数学人教B版选修1-1学案1.3.2 命题的四种形式
命题的四种形式
[学习目标].了解四种命题的概念，会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.会利用命题的等价性解决问题．
[知识链接]
下列四个命题：
()如果()是正弦函数，则()是周期函数；
()如果()是周期函数，则()是正弦函数；
()如果()不是正弦函数，则()不是周期函数；
()如果()不是周期函数，则()不是正弦函数．
观察命题()与命题()()()的条件和结论之间分别有什么关系？
答：命题()的条件是命题()的结论，且命题()的结论是命题()的条件．
对于命题()和()．其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定；
对于命题()和()．其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定．
[预习导引]
．四种命题的定义
命题“如果，则(那么)”是由条件和结论组成的，对，进行“换位”和“换质”，一共可以构成四种不同形式的命题．
()原命题：如果，则；
()条件和结论“换位”：
如果，则，这称为原命题的逆命题；
()条件和结论“换质”(分别否定)：
如果綈，则綈，这称为原命题的否命题；
()条件和结论“换位”又“换质”：
如果綈，则綈，这称为原命题的逆否命题．
．四种命题的相互关系
．四种命题的真假性
()四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况.
原命题逆命题否命题逆否命题
真真真真
真假假真
假真真假
假假假假()四种命题的真假性之间的关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．。
高中数学选修1-1各章节作业练习题(附答 案解析)
第一章常用逻辑用语§1.1 命题及其关系1.1.1命题课时目标 1.了解命题的概念，会判断一个命题的真假.2.会将一个命题改写成“若p，则q”的形式．1．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断________的__________叫做命题．其中判断为______的语句叫做真命题，判断为______的语句叫做假命题．2．在数学中，“若p，则q”是命题的常见形式，其中p叫做命题的________，q叫做命题的________．一、选择题1．下列语句中是命题的是()A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin 45°＝1C．x2＋2x－1>0D．梯形是不是平面图形呢？2．下列语句中，能作为命题的是()A．3比5大B．太阳和月亮C．高年级的学生D．x2＋y2＝03．下列命题中，是真命题的是()A．{x∈R|x2＋1＝0}不是空集B．若x2＝1，则x＝1C．空集是任何集合的真子集D．x2－5x＝0的根是自然数4．已知命题“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，那么下列命题：①M的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有P的元素；④M中元素不都是P的元素．其中真命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．45．命题“6的倍数既能被2整除，也能被3整除”的结论是()A．这个数能被2整除B．这个数能被3整除C．这个数既能被2整除，也能被3整除D．这个数是6的倍数6．在空间中，下列命题正确的是()A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行题号123456答案7．下列命题：①若xy ＝1，则x ，y 互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac 2>bc 2，则a >b .其中真命题的序号是________．8．命题“奇函数的图象关于原点对称”的条件p 是__________________________，结论q 是________________________________．9．下列语句是命题的是________． ①求证3是无理数； ②x 2＋4x ＋4≥0；③你是高一的学生吗？④一个正数不是素数就是合数； ⑤若x ∈R ，则x 2＋4x ＋7>0. 三、解答题10．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假． (1)偶数能被2整除．(2)当m >14时，mx 2－x ＋1＝0无实根．11．设有两个命题：p ：x 2－2x ＋2≥m 的解集为R ；q ：函数f (x )＝－(7－3m )x 是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围．能力提升12．设非空集合S ＝{x |m ≤x ≤l }满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下三个命题：①若m ＝1，则S ＝{1}；②若m ＝－12，则14≤l ≤1；③若l ＝12，则－22≤m ≤0.其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．313．设α，β，γ为两两不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③若α∥β，l ⊂α，则l ∥β；④若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．41．判断一个语句是否为命题的关键是能否判断真假，只有能判断真假的语句才是命题． 2．真命题是可以经过推理证明正确的命题，假命题只需举一反例说明即可．3．在判断命题的条件和结论时，可以先将命题改写成“若p 则q ”的形式，改法不一定唯一．第一章 常用逻辑用语 §1.1 命题及其关系1．1.1 命题答案知识梳理1．真假 陈述句 真 假 2．条件 结论 作业设计1．B [A 、D 是疑问句，不是命题，C 中语句不能判断真假．]2．A [判断一个语句是不是命题，关键在于能否判断其真假．“3比5大”是一个假命题．]3．D [A 中方程在实数范围内无解，故是假命题；B 中若x 2＝1，则x ＝±1，故B 是假命题；因空集是任何非空集合的真子集，故C 是假命题；所以选D.]4．B [命题②④为真命题．]5．C [命题可改写为：如果一个数是6的倍数，那么这个数既能被2整除，也能被3整除．]6．D 7．①④解析 ①④是真命题，②四条边相等的四边形也可以是菱形，③平行四边形不是梯形． 8．若一个函数是奇函数 这个函数的图象关于原点对称 9．②④⑤解析 ①③不是命题，①是祈使句，③是疑问句．而②④⑤是命题，其中④是假命题，如正数12既不是素数也不是合数，②⑤是真命题，x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2≥0恒成立，x 2＋4x ＋7＝(x ＋2)2＋3>0恒成立．10．解 (1)若一个数是偶数，则这个数能被2整除，真命题．(2)若m >14，则mx 2－x ＋1＝0无实数根，真命题．11．解 若命题p 为真命题，可知m ≤1； 若命题q 为真命题，则7－3m >1，即m <2.所以命题p 和q 中有且只有一个是真命题时，有p 真q 假或p 假q 真， 即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤1，m ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧m >1，m <2.故m 的取值范围是1<m <2.12．D [①m ＝1时，l ≥m ＝1且x 2≥1， ∴l ＝1，故①正确．②m ＝－12时，m 2＝14，故l ≥14.又l ≤1，∴②正确．③l ＝12时，m 2≤12且m ≤0，则－22≤m ≤0，∴③正确．]13．B [①由面面垂直知，不正确；②由线面平行判定定理知，缺少m 、n 相交于一点这一条件，故不正确； ③由线面平行判定定理知，正确；④由线面相交、及线面、线线平行分析知，正确． 综上所述知，③，④正确．]1.1.2四种命题课时目标 1.了解四种命题的概念.2.认识四种命题的结构，会对命题进行转换．1．四种命题的概念：(1)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的______________，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．(2)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的______________________________，我们把这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．(3)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的______________________________，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．2．四种命题的结构：用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p，綈q分别表示p和q的否定，四种形式就是：原命题：若p成立，则q成立．即“若p，则q”．逆命题：________________________.即“若q，则p”．否命题：______________________.即“若綈p，则綈q”．逆否命题：________________________.即“若綈q，则綈p”．一、选择题1．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．42．命题“若A∩B＝A，则A⊆B”的逆否命题是()A．若A∪B≠A，则A⊇BB．若A∩B≠A，则A⊆BC．若A⊆B，则A∩B≠AD．若A⊇B，则A∩B≠A3．对于命题“若数列{a n}是等比数列，则a n≠0”，下列说法正确的是()A．它的逆命题是真命题B．它的否命题是真命题C．它的逆否命题是假命题D．它的否命题是假命题4．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④若“A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．其中的真命题是()A．①②B．②③C．①③D．③④5．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()A．4 B．3 C．2 D．06．命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是()A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数题号123456答案二、填空题7．命题“若x>y，则x3>y3－1”的否命题是________________________．8．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的逆否命题是________________________；逆命题是______________________；否命题是________________________．9．有下列四个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题；②若a2＋b2＝0，则a，b全为0；③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆命题．其中是真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)．三、解答题10．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等．11．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)实数的平方是非负数；(2)等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．能力提升12．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数13．命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．1．对条件、结论不明显的命题，可以先将命题改写成“若p则q”的形式后再进行转换．2．分清命题的条件和结论，然后进行互换和否定，即可得到原命题的逆命题，否命题和逆否命题．1．1.2四种命题答案知识梳理1．(1)结论和条件(2)条件的否定和结论的否定(3)结论的否定和条件的否定2．若q成立，则p成立若綈p成立，则綈q成立若綈q成立，则綈p成立作业设计1．B[由a>－3⇒a>－6，但由a>－6 a>－3，故真命题为原命题及原命题的逆否命题，故选B.]2．C[先明确命题的条件和结论，然后对命题进行转换．]3．D 4.C5．C[原命题和它的逆否命题为真命题．]6．A[由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．]7．若x≤y，则x3≤y3－18．不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除9．②③10．解(1)原命题：“若a是正数，则a的平方根不等于0”．逆命题：“若a的平方根不等于0，则a是正数”．否命题：“若a不是正数，则a的平方根等于0”．逆否命题：“若a的平方根等于0，则a不是正数”．(2)原命题：“若x＝2，则x2＋x－6＝0”．逆命题：“若x2＋x－6＝0，则x＝2”．否命题：“若x≠2，则x2＋x－6≠0”．逆否命题：“若x2＋x－6≠0，则x≠2”．(3)原命题：“若两个角是对顶角，则它们相等”．逆命题：“若两个角相等，则它们是对顶角”．否命题：“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．逆否命题：“若两个角不相等，则它们不是对顶角”．11．解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高．否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高．(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧．逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．12．B[命题“若p，则q”的否命题为“若綈p，则綈q”，而“是”的否定是“不是”，故选B.]13．解逆命题：已知a、b为实数，若a2－4b≥0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．否命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2－4b<0.逆否命题：已知a、b为实数，若a2－4b<0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集．原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．1.1.3四种命题间的相互关系课时目标1．认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系．2．会利用命题的等价性解决问题．1．四种命题的相互关系2．四种命题的真假性(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假(2)四种命题的真假性之间的关系①两个命题互为逆否命题，它们有______的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性______________．一、选择题1．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是()A．若q不正确，则p不正确B．若q不正确，则p正确C．若p正确，则q不正确D．若p正确，则q正确2．下列说法中正确的是()A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价C．“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真3．与命题“能被6整除的整数，一定能被2整除”等价的命题是()A．能被2整除的整数，一定能被6整除B．不能被6整除的整数，一定不能被2整除C．不能被6整除的整数，不一定能被2整除D．不能被2整除的整数，一定不能被6整除4．命题：“若a 2＋b 2＝0 (a ，b ∈R )，则a ＝b ＝0”的逆否命题是( ) A ．若a ≠b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0 B ．若a ＝b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0C ．若a ≠0，且b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0D ．若a ≠0，或b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠05．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真6．设α、β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β.那么( )A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．①②都是假命题 题号 1 2 3 4 5 6 答案 二、填空题7．“已知a ∈U (U 为全集)，若a ∉∁U A ，则a ∈A ”的逆命题是______________________________________，它是______(填“真”“或”“假”)命题．8．“若x ≠1，则x 2－1≠0”的逆否命题为________命题．(填“真”或“假”)9．下列命题：①“若k >0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题；②“若1a >1b，则a <b ”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题．其中是假命题的是________．三、解答题10．已知命题：若m >2，则方程x 2＋2x ＋3m ＝0无实根，写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假．11．已知奇函数f (x )是定义域为R 的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥0，求证：a ＋b ≥0.能力提升12．给出下列三个命题：①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b1＋b；②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则m (n －m )≤n2；③设P (x 1，y 1)是圆O 1：x 2＋y 2＝9上的任意一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心，且半径为1.当(a－x1)2＋(b－y1)2＝1时，圆O1与圆O2相切．其中假命题的个数为() A．0B．1C．2D．313．a、b、c为三个人，命题A：“如果b的年龄不是最大的，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c的年龄不是最小的，那么a的年龄最大”都是真命题，则a、b、c的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由．1．互为逆否的命题同真假，即原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假．四种命题中真命题的个数只能是偶数个，即0个、2个或4个．2．当一个命题是否定形式的命题，且不易判断其真假时，可以通过判断与之等价的逆否命题的真假来达到判断该命题真假的目的．1．1.3四种命题间的相互关系答案知识梳理1．若q，则p若綈p，则綈q若綈q，则綈p2．(2)①相同②没有关系作业设计1．D[原命题的逆命题和否命题互为逆否命题，只需写出原命题的否命题即可．] 2．D 3.D4．D[a＝b＝0的否定为a，b至少有一个不为0.]5．D[原命题是真命题，所以逆否命题也为真命题．]6．D7．已知a∈U(U为全集)，若a∈A，则a∉∁U A真解析“已知a∈U(U为全集)”是大前提，条件是“a∉∁U A”，结论是“a∈A”，所以原命题的逆命题为“已知a∈U(U为全集)，若a∈A，则a∉∁U A”．它为真命题．8．假9.①②10．解逆命题：若方程x2＋2x＋3m＝0无实根，则m>2，假命题．否命题：若m≤2，则方程x2＋2x＋3m＝0有实根，假命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋3m＝0有实根，则m≤2，真命题．11．证明假设a＋b<0，即a<－b，∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)<f(－b)．又f(x)为奇函数，∴f(－b)＝－f(b)，∴f(a)<－f(b)，即f(a)＋f(b)<0.即原命题的逆否命题为真，故原命题为真．∴a＋b≥0.12．B[①用“分部分式”判断，具体：a1＋a≥b1＋b⇔1－11＋a≥1－11＋b⇔11＋a≤11＋b，又a≥b>－1⇔a＋1≥b＋1>0知本命题为真命题．②用基本不等式：2xy≤x2＋y2 (x>0，y>0)，取x＝m，y＝n－m，知本命题为真．③圆O1上存在两个点A、B满足弦AB＝1，所以P、O2可能都在圆O1上，当O2在圆O1上时，圆O1与圆O2相交．故本命题为假命题．]13．解能确定．理由如下：显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此应该从它的逆否命题来考虑．①由命题A为真可知，当b不是最大时，则a是最小的，即若c最大，则a最小，所以c>b>a；而它的逆否命题也为真，即“a不是最小，则b是最大”为真，所以b>a>c.总之由命题A为真可知：c>b>a或b>a>c.②同理由命题B为真可知a>c>b或b>a>c.从而可知，b>a>c.所以三个人年龄的大小顺序为b最大，a次之，c最小．§1.2充分条件与必要条件课时目标 1.结合实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.会判断(证明)某些命题的条件关系．1．如果已知“若p，则q”为真，即p⇒q，那么我们说p是q的____________，q是p 的____________．2．如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作________．这时p是q的______________条件，简称________条件，实际上p与q互为________条件．如果p⇒q且q⇒p，则p是q的________________________条件．一、选择题1．“x>0”是“x≠0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．设p：x<－1或x>1；q：x<－2或x>1，则綈p是綈q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件题号123456答案7．用符号“⇒”或“⇒”填空.(1)a>b________ac2>bc2；(2)ab≠0________a≠0.8．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x<－1，则a的取值范围是________．9．函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是__________．三、解答题10．下列命题中，判断条件p 是条件q 的什么条件： (1)p ：|x |＝|y |，q ：x ＝y .(2)p ：△ABC 是直角三角形，q ：△ABC 是等腰三角形； (3)p ：四边形的对角线互相平分，q ：四边形是矩形．11.已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，若x ∈P 是x ∈Q 的必要条件，求实数a 的取值范围．能力提升12．记实数x 1，x 2，…，x n 中的最大数为max {}x 1，x 2，…，x n ，最小数为min {}x 1，x 2，…，x n .已知△ABC 的三边边长为a ，b ，c (a ≤b ≤c )，定义它的倾斜度为l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ，则“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的( ) A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝(n ＋1)2＋c ，探究{a n }是等差数列的充要条件．1．判断p 是q 的什么条件，常用的方法是验证由p 能否推出q ，由q 能否推出p ，对 于否定性命题，注意利用等价命题来判断．2．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清必要性、充分性是证明怎样的一个式子成立．“A 的充要条件为B ”的命题的证明：A ⇒B 证明了必要性；B ⇒A 证明了充分性．“A 是B 的充要条件”的命题的证明：A ⇒B 证明了充分性；B ⇒A 证明了必要性．§1.2 充分条件与必要条件 答案知识梳理1．充分条件 必要条件2．p ⇔q 充分必要 充要 充要 既不充分又不必要 作业设计1．A [对于“x >0”⇒“x ≠0”，反之不一定成立． 因此“x >0”是“x ≠0”的充分而不必要条件．] 2．A [∵q ⇒p ，∴綈p ⇒綈q ，反之不一定成立，因此綈p 是綈q 的充分不必要条件．]3．B [因为N M .所以“a ∈M ”是“a ∈N ”的必要而不充分条件．]4．A [把k ＝1代入x －y ＋k ＝0，推得“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”；但“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”不一定推得“k ＝1”．故“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的充分而不必要条件．]5．A [l ⊥α⇒l ⊥m 且l ⊥n ，而m ，n 是平面α内两条直线，并不一定相交，所以l ⊥m 且l ⊥n 不能得到l ⊥α.]6．B [当a <0时，由韦达定理知x 1x 2＝1a<0，故此一元二次方程有一正根和一负根，符合题意；当ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根时，a 可以为0，因为当a ＝0时，该方程仅有一根为－12，所以a 不一定小于0.由上述推理可知，“a <0”是“方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根”的充分不必要条件．]7．(1) ⇒ (2)⇒ 8．a >2解析 不等式变形为(x ＋1)(x ＋a )<0，因当－2<x <－1时不等式成立，所以不等式的解为－a <x <－1.由题意有(－2，－1)(－a ，－1)，∴－2>－a ，即a >2.9．b ≥－2a解析 由二次函数的图象可知当－b2a≤1，即b ≥－2a 时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在[1，＋∞)上单调递增．10．解 (1)∵|x |＝|y |⇒x ＝y ， 但x ＝y ⇒|x |＝|y |，∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．(2)△ABC 是直角三角形⇒△ABC 是等腰三角形． △ABC 是等腰三角形⇒△ABC 是直角三角形． ∴p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件． (3)四边形的对角线互相平分⇒四边形是矩形． 四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分． ∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件． 11．解 由题意知，Q ＝{x |1<x <3}，Q ⇒P ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤1a ＋4≥3，解得－1≤a ≤5. ∴实数a 的取值范围是[－1,5]．12．A [当△ABC 是等边三角形时，a ＝b ＝c ，∴l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝1×1＝1.∴“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的必要条件．∵a ≤b ≤c ，∴max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝ca .又∵l ＝1，∴min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝ac，即a b ＝a c 或b c ＝a c， 得b ＝c 或b ＝a ，可知△ABC 为等腰三角形，而不能推出△ABC 为等边三角形． ∴“l ＝1”不是“△ABC 为等边三角形”的充分条件．] 13．解 当{a n }是等差数列时，∵S n ＝(n ＋1)2＋c ，∴当n≥2时，S n－1＝n2＋c，∴a n＝S n－S n－1＝2n＋1，∴a n＋1－a n＝2为常数．又a1＝S1＝4＋c，∴a2－a1＝5－(4＋c)＝1－c，∵{a n}是等差数列，∴a2－a1＝2，∴1－c＝2.∴c＝－1，反之，当c＝－1时，S n＝n2＋2n，可得an＝2n＋1 (n≥1)为等差数列，∴{an}为等差数列的充要条件是c＝－1.§1.3简单的逻辑联结词课时目标 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.会用逻辑联结词联结两个命题或改写某些数学命题，并能判断命题的真假．1．用逻辑联结词构成新命题(1)用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作__________，读作__________．(2)用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作________，读作__________．(3)对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作________，读作________或____________．2．含有逻辑联结词的命题的真假判断p q p∨q p∧q綈p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真一、选择题1．已知p：2＋2＝5；q：3>2，则下列判断错误的是()A．“p∨q”为真，“綈q”为假B．“p∧q”为假，“綈p”为真C．“p∧q”为假，“綈p”为假D．“p∨q”为真，“綈p”为真2．已知p：∅{0}，q：{2}∈{1,2,3}．由它们构成的新命题“綈p”，“綈q”，“p∧q”，“p∨q”中，真命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个3．下列命题：①2010年2月14日既是春节，又是情人节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形．其中使用逻辑联结词的命题有()A．0个B．1个C．2个D．3个4．设p、q是两个命题，则新命题“綈(p∨q)为假，p∧q为假”的充要条件是() A．p、q中至少有一个为真B．p、q中至少有一个为假C．p、q中有且只有一个为假D．p为真，q为假5．命题p：在△ABC中，∠C>∠B是sin C>sin B的充分不必要条件；命题q：a>b是ac2>bc2的充分不必要条件．则()A．p假q真B．p真q假C．p∨q为假D．p∧q为真6．下列命题中既是p∧q形式的命题，又是真命题的是()A．10或15是5的倍数B．方程x2－3x－4＝0的两根是－4和1C．方程x2＋1＝0没有实数根D．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形题号123456答案二、填空题7．“2≤3”中的逻辑联结词是________，它是________(填“真”，“假”)命题．8．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的范围是____________．9．已知a、b∈R，设p：|a|＋|b|>|a＋b|，q：函数y＝x2－x＋1在(0，＋∞)上是增函数，那么命题：p∨q、p∧q、綈p中的真命题是________．三、解答题10．写出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“綈p”形式的复合命题，并判断真假．(1)p：1是质数；q：1是方程x2＋2x－3＝0的根；(2)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p：0∈∅；q：{x|x2－3x－5<0}⊆R；(4)p：5≤5；q：27不是质数．11．已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．能力提升12．命题p：若a，b∈R，则|a|＋|b|>1是|a＋b|>1的充分而不必要条件；命题q：函数y ＝|x－1|－2 的定义域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)，则()A．“p或q”为假B．“p且q”为真C．p真q假D．p假q真13．设有两个命题．命题p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是∅；命题q：函数f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数．如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围．1．从集合的角度理解“且”“或”“非”．设命题p：x∈A.命题q：x∈B.则p∧q⇔x∈A且x∈B⇔x∈A∩B；p∨q⇔x∈A或x∈B ⇔x∈A∪B；綈p⇔x∉A⇔x∈∁U A.2．对有逻辑联结词的命题真假性的判断当p、q都为真，p∧q才为真；当p、q有一个为真，p∨q即为真；綈p与p的真假性相反且一定有一个为真．3．含有逻辑联结词的命题否定“或”“且”联结词的否定形式：“p或q”的否定形式“綈p且綈q”，“p且q”的否定形式是“綈p或綈q”，它类似于集合中的“∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)，∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)”．§1.3简单的逻辑联结词答案知识梳理1．(1)p∧q“p且q”(2)p∨q“p或q”(3)綈p“非p”“p的否定”作业设计1．C[p假q真，根据真值表判断“p∧q”为假，“綈p”为真．]2．B[∵p真，q假，∴綈q真，p∨q真．]3．C[①③命题使用逻辑联结词，其中，①使用“且”，③使用“非”．]4．C[因为命题“綈(p∨q)”为假命题，所以p∨q为真命题．所以p、q一真一假或都是真命题．又因为p∧q为假，所以p、q一真一假或都是假命题，所以p、q中有且只有一个为假．] 5．C[命题p、q均为假命题，∴p∨q为假．]6．D[A中的命题是p∨q型命题，B中的命题是假命题，C中的命题是綈p的形式，D中的命题为p∧q型，且为真命题．]7．或真8．[1,2)解析x∈[2,5]或x∈(－∞，1)∪(4，＋∞)，即x∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于命题是假命题，所以1≤x<2，即x∈[1,2)．9．綈p解析对于p，当a>0，b>0时，|a|＋|b|＝|a＋b|，故p假，綈p为真；对于q，抛物线y＝x2－x＋1的对称轴为x＝12，故q假，所以p∨q假，p∧q假．这里綈p应理解成|a|＋|b|>|a＋b|不恒成立，而不是|a|＋|b|≤|a＋b|.10．解(1)p为假命题，q为真命题．p或q：1是质数或是方程x2＋2x－3＝0的根．真命题．p且q：1既是质数又是方程x2＋2x－3＝0的根．假命题．綈p：1不是质数．真命题．(2)p为假命题，q为假命题．p 或q ：平行四边形的对角线相等或互相垂直．假命题． p 且q ：平行四边形的对角线相等且互相垂直．假命题． 綈p ：有些平行四边形的对角线不相等．真命题． (3)∵0∉∅，∴p 为假命题，又∵x 2－3x －5<0，∴3－292<x <3＋292，∴{x |x 2－3x －5<0} ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |3－292<x <3＋292⊆R 成立． ∴q 为真命题．∴p 或q ：0∈∅或{x |x 2－3x －5<0}⊆R ，真命题， p 且q ：0∈∅且{x |x 2－3x －5<0}⊆R ，假命题，綈p ：0∉∅，真命题．(4)显然p ：5≤5为真命题，q ：27不是质数为真命题，∴p 或q ：5≤5或27不是质数，真命题，p 且q ：5≤5且27不是质数，真命题，綈p ：5>5，假命题．11．解 若方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，－m <0，解得m >2，即p ：m >2. 若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根， 则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0， 解得1<m <3，即q ：1<m <3.因p 或q 为真，所以p 、q 至少有一个为真． 又p 且q 为假，所以p 、q 至少有一个为假．因此，p 、q 两命题应一真一假，即p 为真，q 为假，或p 为假，q 为真．所以⎩⎪⎨⎪⎧ m >2，m ≤1或m ≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3.解得m ≥3或1<m ≤2.12．D [当a ＝－2，b ＝2时，从|a |＋|b |>1不能推出|a ＋b |>1，所以p 假，q 显然为真．] 13．解 对于p ：因为不等式x 2－(a ＋1)x ＋1≤0的解集是∅，所以Δ＝[－(a ＋1)]2－4<0. 解不等式得：－3<a <1.对于q ：f (x )＝(a ＋1)x 在定义域内是增函数， 则有a ＋1>1，所以a >0.又p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题， 所以p 、q 必是一真一假．当p 真q 假时有－3<a ≤0，当p 假q 真时有a ≥1. 综上所述，a 的取值范围是(－3,0]∪[1，＋∞)．§1.4 全称量词与存在量词课时目标 1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.2.会判定全称命题和特称命题的真假.3.能正确的对含有一个量词的命题进行否定.4.知道全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．1．全称量词和全称命题(1)短语“______________”“____________”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“______”表示，常见的全称量词还有“对一切”“对每一个”“任给”“所有的”等．(2)含有______________的命题，叫做全称命题．(3)全称命题：“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为____________．2．存在量词和特称命题(1)短语“______________”“________________”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“________”表示，常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．(2)含有______________的命题，叫做特称命题．(3)特称命题：“存在M中的一个x0，有p(x0)成立”，可用符号简记为____________．3．含有一个量词的命题的否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：____________；(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：____________.4．命题的否定与否命题命题的否定只否定________，否命题既否定______，又否定________．一、选择题1．下列语句不是全称命题的是()A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高二(一)班绝大多数同学是团员D．每一个向量都有大小2．下列命题是特称命题的是()A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于等于33．下列是全称命题且是真命题的是()A．∀x∈R，x2>0 B．∀x∈Q，x2∈QC．∃x0∈Z，x20>1 D．∀x，y∈R，x2＋y2>04．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是()A．斜三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x0，使x20>0C．任一无理数的平方必是无理数D．存在一个负数x0，使1x0>25．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则()A．綈p：∃x0∈R，sin x0≥1B．綈p：∀x∈R，sin x≥1C．綈p：∃x0∈R，sin x0>1D．綈p：∀x∈R，sin x>16．“存在整数m0，n0，使得m20＝n20＋2 011”的否定是()A．任意整数m，n，使得m2＝n2＋2 011B．存在整数m0，n0，使得m20≠n20＋2 011C．任意整数m，n，使得m2≠n2＋2 011D．以上都不对题号123456答案。
人教B版选修1-1高中数学1.3.2《命题的四种形式》word基础过关
1.3.2命题的四种形式一、基础过关1．设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是() A．若a≠－b，则|a|≠|b|B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－bD．若|a|＝|b|，则a＝－b2．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为() A．1 B．2 C．3 D．43．以下说法错误的是() A．如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题B．如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定为真命题C．原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数D．一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题4．“如果x、y∈R且x2＋y2＝0，则x、y全为0”的否命题是() A．若x、y∈R且x2＋y2≠0，则x、y全不为0B．若x、y∈R且x2＋y2≠0，则x、y不全为0C．若x、y∈R且x、y全为0，则x2＋y2＝0D．若x、y∈R且xy≠0，则x＋y≠05．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是() A．3 B．2 C．1 D．06．有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．其中真命题的序号为()A．①②B．②③C．①③D．③④二、能力提升7．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②正方形的四条边相等；③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有__________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．(填序号)8．命题“正数的绝对值等于它本身”的逆命题是_____________________，这是________命题．9．给定下列命题：①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若x＋y≠8，则x≠2或y≠6；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy＝0，则x、y中至少有一个为0”的否命题．其中真命题的序号是________．10．写出下列各命题的否定及其否命题：(1)菱形的四条边都相等；(2)面积相等的三角形是全等三角形；(3)若x2－x－2≠0，则x≠－1，且x≠2；(4)若A∪B＝B，则A⊆B.11．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．三、探究与拓展12．求证：如果p2＋q2＝2，则p＋q≤2.答案1．D 2．B 3．B 4．B 5．C 6．C7．②和③ ①和③ ①和②8．如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是正数 假9．①②④10．解 (1)命题的否定：菱形的四条边不都相等．否命题：若四边形不是菱形，则它的四条边不都相等．(2)命题的否定：面积相等的三角形不都是全等三角形．否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形．(3)命题的否定：若x 2－x －2≠0，则x ＝－1或x ＝2.否命题：若x 2－x －2＝0，则x ＝－1或x ＝2.(4)命题的否定：若A ∪B ＝B ，则A B .否命题：若A ∪B ≠B ，则A B .11．解 方法一 (利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题的真假即可．方程判别式为Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ，因为b ≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．方法二 (利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0无实根，则b >－1”．方程判别式为Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b <0，所以b >0，所以b >－1成立，即原命题的逆否命题为真．12．证明 该命题的逆否命题为若p ＋q >2，则p 2＋q 2≠2.p 2＋q 2＝12[(p ＋q )2＋(p －q )2]≥12(p ＋q )2. ∵p ＋q >2，∴(p ＋q )2>4，∴p 2＋q 2>2，即p ＋q >2时，p 2＋q 2≠2成立．∴如果p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2.。
人教新课标版数学高二B版选修1-1 1.3.2 命题的四种形式 课时作业
第一章 1.3第2课时一、选择题1．(2015·山东文，5)设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0D一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论都加以否定，并且加以互换位置，故选D.2．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是()A．能被3整除的整数，一定能被6整除B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除D．能被6整除的整数，一定不能被3整除B9能被3整除，但不能被6整除，排除A；9不能被6整除，但能被3整除，排除C；12能被6整除，也能被3整除，排除D.或根据一个命题的等价命题是其逆否命题判断．3．命题“若a＝5，则a2＝25”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，假命题是()A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题D∵原命题为真，逆命题为假，∴逆否命题为真，否命题为假．4．命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的()A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．无关命题A由原命题与逆命题的关系知，选A.5．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4C本题主要考查命题的四种形式．由题意知：写逆否命题将原命题的题设结论否定再交换．关键点是原命题与逆否命题关系．6．如果命题“若p ，则q ”的逆命题是真命题，则下列命题一定为真命题的是( ) A ．若p ，则q B ．若¬p ，则¬q C ．若¬q ，则¬p D ．以上都不对 B因为命题，“若q ，则p ”为真，所以“若¬p ，则¬q ”为真． 二、填空题7．命题“若x ≤－3，则x 2＋x －6>0”的否命题是____________________． 若x >－3，则x 2＋x －6≤08．命题“若x ＝3，y ＝5，则x ＋y ＝8”的逆命题是____________________；否命题是__________________；逆否命题是____________________．逆命题：若x ＋y ＝8，则x ＝3，y ＝5； 否命题：若x ≠3，或y ≠5，则x ＋y ≠8； 逆否命题：若x ＋y ≠8，则x ≠3，或y ≠5. 三、解答题9．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假． (1)若x 2－5x －14＝0，则x ＝7或x ＝－2；(2)已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＝b ，c ＝d ，则a ＋c ＝b ＋d . (1)逆命题：若x ＝7或x ＝－2，则x 2－5x －14＝0.真． 否命题：若x 2－5x －14≠0，则x ≠7且x ≠－2.真． 逆否命题：若x ≠7且x ≠－2，则x 2－5x －14≠0.真．(2)“已知a 、b 、c 、d 是实数”是大前提，“a ＝b ，c ＝d ”是条件p ，“a ＋c ＝b ＋d ”是结论q ，所以逆命题是“已知a ，b ，c ，d 是实数，若a ＋c ＝b ＋d ，则a ＝b ，c ＝d ”，假．否命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ≠b 或c ≠d ，则a ＋c ≠b ＋d ”，假． 逆否命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c ≠b ＋d ，则a ≠b 或c ≠d ”，真.一、选择题1．原命题：若a ＋b ≥2，则a 、b 中至少有一个不小于1，那么原命题与其逆命题的真假情况是( )A ．原命题真，逆命题假B ．原命题假，逆命题真C ．原命题真，逆命题真D ．原命题假，逆命题假A命题“若a ＋b ≥2，则a 、b 中至少有一个不小于1”是真命题，其逆命题“若a 、b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2”是假命题，故应选A.2．命题“当AB ＝AC 时，△ABC 为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．0C当AB ＝AC 时，△ABC 为等腰三角形为真，故逆否命题为真， 逆命题：△ABC 为等腰三角形，则AB ＝AC 为假， 故否命题为假．3．命题“若x ＝3，则x 2－9x ＋18＝0”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3C命题“若x ＝3，则x 2－9x ＋18＝0”为真，故逆否命题为真，逆命题为假，故否命题为假．4．原命题为“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假Aa n＋a n＋12<a n⇔a n＋1<a n⇔{a n}为递减数列．原命题与其逆命题都是真命题，∴其否命题和逆否命题都是真命题，故选A.二、填空题5．原命题：在空间中，若四点不共面，则这四个点中任何三点都不共线．其逆命题为________(真、假)．假假如：正方形ABCD的四个顶点，任意三点不共线，但这四点共面．6．设有两个命题：(1)关于x的不等式mx2＋1>0的解集是R；(2)函数f(x)＝log m x是减函数．如果这两个命题中有且只有一个真命题，则实数m的取值范围是________．m≥1或m＝0命题p：关于x的不等式mx2＋1>0的解集是R，m≥0；命题q：函数f(x)＝log m x是减函数，0<m<1.p假：m<0；q假：m≥1或m≤0.p真q假：m≥1或m＝0；p假q真：无解．综上所述，m的取值范围是：m≥1或m＝0.三、解答题7．证明：对任意非正数c，若有a≤b＋c成立，则a≤b.若a>b，由c≤0知b≥b＋c，∴a>b＋c.∴原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题，即对任意c≤0，若有a≤b＋c成立，则a≤b.8．命题“如果m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是真命题吗？证明你的结论．证法一：是真命题．∵m >0，∴Δ＝1＋4m >0.∴方程x 2＋x －m ＝0有实根，故原命题“如果m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”是真命题． 又因原命题与它的逆否命题等价．∴命题“如果m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题也是真命题． 证法二：是真命题．原命题“如果m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题为“如果x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”．∵x 2＋x －m ＝0无实根，∴Δ＝1＋4m <0，m <－14≤0，故原命题的逆否命题为真命题．9．已知p ：⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，若¬q 为真，则¬p 必为真，求实数m 的取值范围．由题意可知，¬q ⇒¬p ，等价于p ⇒q . 设A ＝{x ||1－x －13|≤2}， B ＝{x |x 2－2x ＋1－m 2≤0，m >0}． p ⇒q 等价于A ⊆B .又|1－x －13|≤2⇒－2≤x ≤10，x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)⇒(x －1)2≤m 2(m >0)， 1－m ≤x ≤1＋m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ≥10，1－m ≤－2⇒m ≥9. 故m 的取值范围是[9，＋∞)．。
2019-2020年人教B版数学选修1-1课时分层作业6 命题的四种形式+Word版含解析
课时分层作业(六)命题的四种形式(建议用时：40分钟)[基础达标练]1．命题“a，b∈R，若a2＋b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是()A．a，b∈R，若a≠b≠0，则a2＋b2＝0B．a，b∈R，若a＝b≠0，则a2＋b2≠0C．a，b∈R，若a≠0且b≠0，则a2＋b2≠0D．a，b∈R，若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0D[a＝b＝0的否定为a≠0或b≠0；a2＋b2＝0的否定为a2＋b2≠0.故选D.] 2．命题“若一个数是负数，则这个数的平方是正数”的逆命题是()A．若一个数是负数，则这个数的平方不是正数B．若一个数的平方是正数，则这个数是负数C．若一个数不是负数，则这个数的平方不是正数D．若一个数的平方不是正数，则这个数不是负数B[原命题的逆命题：若一个数的平方是正数，则这个数是负数．故选B.] 3．已知命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()A．0 B．1C．2D．3B[因原命题为真，故逆否命题也为真；又因该题的逆命题为“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”为假命题，所以它的否命题也为假命题．] 4．原命题p：“设a，b，c∈R，若a>b，则ac2>bc2”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．0 B．1C．2D．4C[当c＝0时，ac2＝bc2，所以原命题是错误的；由于原命题与逆否命题的真假一致，所以逆否命题也是错误的；逆命题为“设a，b，c∈R，若ac2>bc2，则a>b”，它是正确的；由于否命题与逆命题的真假一致，所以逆命题与否命题都为真命题．综上所述，真命题有2个．故选C.]5．有下列四个命题：(1)“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的否命题；(2)“若x >y ，则x 2>y 2”的逆否命题；(3)“若x ≤3，则x 2－x －6>0”的否命题；(4)“等边三角形有两边相等”的逆命题．其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3B取值范围是________．[1,2] [由已知，得原命题的逆命题为“若1＜x ＜2，则m －1＜x ＜m ＋1”为真命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1m ＋1≥2，∴1≤m ≤2.] 7．给出以下命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“若a >b ，则a 2＞b 2的逆否命题；③“若x ≤－3，则x 2＋x －6>0”的否命题．其中真命题的个数为________．1 [命题①为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，是真命题；因为命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，故命题②是假命题；命题③为“若x>－3，则x2＋x －6≤0”，由x2＋x－6≤0，得－3≤x≤2，故命题③是假命题，综上知真命题只有1个．]8．给定下列命题：①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②“若x＋y≠8，则x≠2或y≠6”；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy＝0，则x，y中至少有一个为0”的否命题．其中真命题的序号是________．①②④[①∵Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，∴①是真命题．②其逆否命题为真，故②是真命题．③逆命题：“对角线相等的四边形是矩形”是假命题．④否命题：“若xy≠0，则x，y都不为零”是真命题．]9．写出命题“若定义在R上的函数f(x)，g(x)都是奇函数，则函数F(x)＝f(x)·g(x)是偶函数”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．[解]逆命题：已知f(x)，g(x)是定义在R上的函数，若函数F(x)＝f(x)·g(x)是偶函数，则函数f(x)，g(x)都是奇函数．该命题是假命题．因为函数f(x)，g(x)有可能都是偶函数．否命题：若定义在R上的函数f(x)，g(x)不都是奇函数，则函数F(x)＝f(x)·g(x)不是偶函数．该命题是假命题．逆否命题：已知f(x)，g(x)是定义在R上的函数，若函数F(x)＝f(x)·g(x)不是偶函数，则函数f(x)，g(x)不都是奇函数，该命题是真命题．10．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．”(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．[解](1)逆命题：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.为真命题．用反证法证明：假设a＋b<0，则a<－b，b＜－a，∵f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，∴f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．这与题设相矛盾，∴逆命题为真命题．(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0.为真命题．∵一个命题⇔它的逆否命题，可证明原命题为真命题．∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a.又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．∴原命题为真命题．∴逆否命题为真命题．[能力提升练]1．已知命题p：若x＝－1，则向量a＝(1，x)与b＝(x＋2，x)共线，则在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为() A．0B．2C．3 D．4B[向量a，b共线⇔x－x(x＋2)＝0⇔x＝0或x＝－1，∴命题p为真，其逆命题为假，故在命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为2.]2．给出下列命题：①命题“在△ABC中，若AB＝BC＝CA，则△ABC为等边三角形”的逆命题；②命题“若a>b>0，则3a>3b>0”的逆否命题；③命题“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)＜0的解集为R”的逆命题．其中真命题的序号为________．①②[①命题“在△ABC中，若AB＝BC＝CA，则△ABC为等边三角形”的逆命题为“若△ABC为等边三角形，则AB＝BC＝CA”，为真命题；②命题“若a ＞b＞0，则3a＞3b＞0”为真命题，故其逆否命题也为真命题；③“若m＞1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)<0的解集为R”的逆命题为“若mx2－2(m＋1)x＋(m－3)<0的解集为R，则m>1”，由于mx2－2(m＋1)x＋(m－3)＜0的解集为R⇔m＜－1，故逆命题为假命题．]5。
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选修1-1 第一章 1.3 课时作业8
一、选择题
1．[2013·江西九江一模]命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是( )
A．“若x<y，则x2<y2”B．“若x>y，则x2>y2”
C．“若x≤y，则x2≤y2”D．“若x≥y，则x2≥y2”
解析：根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．
答案：C
2．命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则
log a2<0”的逆否命题是( )
A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数
解析：由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．
答案：A
3．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )
A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数
B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数
C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数
D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数
解析：命题“若p，则q”的否命题为“若¬p，则¬q”，而“是”的否定是“不是”，故选B.
答案：B
4．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )
A．4 B．3
C．2 D．0
解析：原命题和它的逆否命题为真命题．
答案：C
二、填空题
5．命题“若x>y，则x3>y3－1”的否命题是________________________．解析：将条件、结论分别否定即可．
答案：若x≤y，则x3≤y3－1
6．[2014·江西省临川一中月考]命题“若实数a满足a≤2，则a2<4”的否命题是________命题．(填“真”或“假”)
解析：本题考查否命题及命题真假性的判断．原命题的否命题是“若实数a 满足a>2，则a2≥4”，这是一个真命题．
答案：真
7．已知命题“若m－1<x<m＋1，则1<x<2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．
解析：由已知得，若1<x<2成立，
则m －1<x<m ＋1也成立，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≤1，
m ＋1≥2.
∴1≤m ≤2. 答案：[1,2]
三、解答题
8．把下列命题写成“若p ，则q ”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．
(1)正数a 的平方根不等于0；
(2)当x ＝2时，x 2＋x －6＝0；
(3)对顶角相等．
解：(1)原命题：“若a 是正数，则a 的平方根不等于0”．
逆命题：“若a 的平方根不等于0，则a 是正数”．
否命题：“若a 不是正数，则a 的平方根等于0”．
逆否命题：“若a 的平方根等于0，则a 不是正数”．
(2)原命题：“若x ＝2，则x 2＋x －6＝0”．
逆命题：“若x 2＋x －6＝0，则x ＝2”．
否命题：“若x ≠2，则x 2＋x －6≠0”．
逆否命题：“若x 2＋x －6≠0，则x ≠2”．
(3)原命题：“若两个角是对顶角，则它们相等”．
逆命题：“若两个角相等，则它们是对顶角”．。