江苏专版2018高考数学大一轮复习第二章函数与基本初等函数Ⅰ8函数的图象和周期性课件文

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(江苏专用)2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.8函数与方程课件理苏教版

零点 .
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数 y ＝ f(x) 在区间 [a ， b] 上的图象是一条不间断的曲线，且
有 f(a)· f(b)<0 ，那么，函数y＝f(x)在区间 (a，b) 上有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个 c 也就是方程f(x)＝0的根. 2.二分法
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.( √ )
(5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)· f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有
一个零点.( √ )
考点自测
1.(教材改编)函数f(x)＝ x －(
答案解析
1 2
1 x ) 的零点个数为 1 . 2
f(b)<0 的函数 y ＝ f(x) ，通过不断地对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)·
把函数 f ( x ) 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 二次函数y＝ax2＋ Δ＝0 Δ<0
答案解析
由题意知，f(x)是周期为2的偶函数.
在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及
y＝log3|x|的图象，如图，
观察图象可以发现它们有4个交点，
即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点.
思维升华
(1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法. (2)判断函数零点个数的方法： ①解方程法； ②零点存在性定理、结合函数的性质； ③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数.

江苏专用2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.4二次函数与幂函数课件理

§2.4 二次函数与幂函数
内容索引
基础知识题型分类
自主学习深度剖析
课时作业
基础知识
自主学习
知识梳理
1.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ ax2＋bx＋c(a≠0) .
②顶点式：f(x)＝ a(x－m)2＋n(a≠0) .
③零点式：f(x)＝ a(x－x1)(x－x2)(a≠0) .
答案解析
m2 m2 m f(x)＝2(x－ 4 ) ＋3－ 8 ，由题意 4 ＝2，
∴m＝8，∴f(1)＝2×12－8×1＋3＝－3.
4.已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的
[1，2] 取值范围为________.
答案解析
几何画板展示
如图，由图象可知m的取值范围是[1，2].
跟踪训练2 (1)设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1<x<4的一切x值都有
1 ，＋ ∞ 2 f(x)>0，则实数a的取值范围为___________.
答案
解析
2 2 由题意得 a>x－x2对 1<x<4 恒成立，
1 1 2 2 1 1 1 2 又x －x2＝－2x－2 ＋2，4< x<1， 2 2 1 1 ∴x－x2max＝2，∴a>2.
(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点
一定是原点.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 2 4ac－b 2 (1)二次函数y＝ax ＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是 .( × ) 4a (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数.( × )

江苏专用高考数学大一轮复习第二章函数2.8函数的图象教案含解析

江苏专用高考数学大一轮复习第二章函数2.8函数的图象教案含解析§2.8 函数的图象考情考向分析函数图象和函数性质的综合应用；利用图象解方程或不等式，题型以填空题为主，中档难度．1．函数的图象将自变量的一个值x 0作为横坐标，相应的函数值f (x 0)作为纵坐标，就得到了坐标平面上的一个点的坐标，当自变量取遍定义域A 内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)用符号表述为{(x ，y )|y ＝f (x )，x ∈A }，所有这些点组成的图形就是函数的图象． 2．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象． 3．图象变换 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )―――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )―――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )；③y ＝f (x )―――――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x(a >0且a ≠1)―――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)． (3)伸缩变换①y ＝f (x )―――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1a倍，纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的1a倍，纵坐标不变y ＝f (ax )．②y ＝f (x )―――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )． (4)翻折变换①y ＝f (x )――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|. ②y ＝f (x )―――――――――――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．概念方法微思考1．函数f (x )的图象关于直线x ＝a 对称，你能得到f (x )解析式满足什么条件？提示 f (a ＋x )＝f (a －x )或f (x )＝f (2a －x )．2．若函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象关于点(a ，b )对称，则f (x )，g (x )的关系是______________．提示 g (x )＝2b －f (2a －x )题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝f (1－x )的图象，可由y ＝f (－x )的图象向左平移1个单位得到．( × ) (2)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．( × ) (3)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于原点对称．( × )(4)函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称即函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称．( × ) 题组二教材改编2．[P30练习T3]若f (x )的图象如图所示，则f (x )＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈[－1，0]，－12x ，x ∈(0，2]3．[P31习题T6]方程|x －1|＝1x的正实数根的个数是________．答案 14．[P87习题T14改编]任取x 1，x 2∈(a ，b )，且x 1≠x 2，若f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>12[f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )是(a ，b )上的凸函数．在下列图象中，为凸函数图象的是________．(填序号)答案 ④ 题组三易错自纠5．把函数f (x )＝ln x 的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到的图象的函数解析式是________________．答案 y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x解析根据伸缩变换方法可得，所求函数解析式为y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x . 6．下列图象是函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，x －1，x ≥0的图象的是________．(填序号)答案 ③7．若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是__________．答案 (0，＋∞)解析在同一个坐标系中画出函数y ＝|x |与y ＝a －x 的图象，如图所示．由图象知，当a >0时，方程|x |＝a －x 只有一个解．题型一作函数的图象分别画出下列函数的图象： (1)y ＝|lg(x －1)|；(2)y ＝2x ＋1－1；(3)y ＝x 2－|x |－2；(4)y ＝2x －1x －1.解 (1)首先作出y ＝lg x 的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y ＝lg(x －1)的图象，再把所得图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，即得所求函数y ＝|lg(x －1)|的图象，如图①所示(实线部分)．(2)将y ＝2x 的图象向左平移1个单位，得到y ＝2x ＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y ＝2x ＋1－1的图象，如图②所示．(3)y ＝x 2－|x |－2＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2，x ≥0，x 2＋x －2，x <0，其图象如图③所示．(4)∵y ＝2＋1x －1，故函数的图象可由y ＝1x的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图④所示．思维升华图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋1x的函数．(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．题型二函数图象的变换例1作出函数f(x)＝x2＋2x－3的图象，然后根据f(x)的图象作出函数y＝－f(x)的图象，并说明两函数图象的关系．解f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，y＝f(x)的图象是开口向上的抛物线，其顶点为(－1，－4)，与x轴的两个交点是(－3,0)，(1,0)，和y轴交点是(0，－3)，图象如图(1)，y＝－f(x)的图象如图(2)．两图象关于x轴对称．引申探究本例中，通过图象的变换分别画出函数y＝f(－x)，y＝－f(－x)，y＝f(|x|)，y＝|f(x)|，y＝f(x＋1)，y＝f(x)＋1的图象，并说明各图象和函数f(x)图象的关系．解各个函数图象如下图实线部分所示：各图象和y＝f(x)的图象关系如下：(1)函数y＝f(－x)的图象与y＝f(x)的图象关于y轴对称；(2)函数y ＝－f (－x )的图象与y ＝f (x )的图象关于原点对称；(3)函数y ＝f (|x |)＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，即在y 轴上及其右侧图象与函数y ＝f (x )图象相同，再将y 轴右侧图象作y 轴的对称图象可得x <0时的图象；(4)函数y ＝|f (x )|＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≥0，－f (x )，f (x )<0，即在x 轴上及其上方的图象与函数y ＝f (x )图象相同，再将x 轴下方的图象作x 轴的对称图象可得f (x )<0时的图象； (5)函数y ＝f (x ＋1)的图象是将y ＝f (x )的图象向左平移一个单位得到的； (6)函数y ＝f (x )＋1的图象是将y ＝f (x )的图象向上平移一个单位得到的．思维升华根据图象的变换作函数的草图要遵循函数的基本性质，在函数图象的应用中经常用到．跟踪训练1若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝－f (x ＋1)的图象大致为________．(填序号)答案 ③解析要想由y ＝f (x )的图象得到y ＝－f (x ＋1)的图象，需要先将y ＝f (x )的图象关于x 轴对称得到y ＝－f (x )的图象，然后再向左平移一个单位得到y ＝－f (x ＋1)的图象，根据上述步骤可知③正确．题型三函数图象的应用命题点1 研究函数的性质例2(1)已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是________．(填序号) ①f (x )是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞) ②f (x )是偶函数，单调递减区间是(－∞，1) ③f (x )是奇函数，单调递减区间是(－1,1) ④f (x )是奇函数，单调递增区间是(－∞，0) 答案 ③解析将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．③正确，其余错误．(2)已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝________. 答案 9解析作出函数f (x )＝|log 3x |的图象，观察可知0<m <1<n 且mn ＝1.若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，从图象分析应有f (m 2)＝2， ∴log 3m 2＝－2，∴m 2＝19.从而m ＝13，n ＝3，故nm＝9.命题点2 解不等式例3函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f(x)cos x <0的解集为________________．答案⎝⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎪⎫1，π2解析当x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，y＝cos x>0.当x∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，4时，y＝cos x<0.结合y＝f(x)，x∈[0,4]上的图象知，当1<x<π2时，f(x)cos x<0.又函数y＝f(x)cos x为偶函数，所以在[－4,0]上，f(x)cos x<0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－π2，－1，所以f(x)cos x<0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.命题点3 求参数的取值范围例4(1)已知函数12log,0,()2,0,xx xf xx≤若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是________．答案(0,1]解析作出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示，由图可知k∈(0,1]．(2)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是__________．答案⎝⎛⎭⎪⎫12，1解析先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.思维升华(1)注意函数图象特征与性质的对应关系．(2)方程、不等式的求解可转化为函数图象的交点和上下关系问题．跟踪训练2(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，x 3，－1≤x ≤1，若关于x 的方程f (x )＝k (x ＋1)有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，12解析在同一个直角坐标系中，分别作出函数y ＝f (x )及y ＝k (x ＋1)的图象，则函数f (x )max ＝f (1)＝1，设A (1,1)，B (－1,0)，函数y ＝k (x ＋1)过点B ，则由图可知，要使关于x 的方程f (x )＝k (x ＋1)有两个不同的实数根，则0<k <k AB ＝12.(2)设函数f (x )＝|x ＋a |，g (x )＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f (x )≥g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是__________．答案 [－1，＋∞)解析如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象，观察图象可知，当且仅当－a ≤1，即a ≥－1时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．高考中的函数图象及应用问题高考中考查函数图象问题主要有函数图象的识别，函数图象的变换及函数图象的应用等，多以小题形式考查，难度不大，常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决．熟练掌握高中涉及的几种基本初等函数是解决前提．一、函数的图象和解析式问题例1(1)已知函数f (x )＝log a (x ＋b )(a >0且a ≠1，b ∈R )的图象如图所示，则a ＋b 的值是________．答案 92解析由图象可知，函数过点(－3,0)，(0，－2)，所以得⎩⎪⎨⎪⎧0＝log a (－3＋b )，－2＝log a b 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝4，故a ＋b ＝92.(2)函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x关于y 轴对称，则f (x )＝________. 答案 e－x －1解析与y ＝e x图象关于y 轴对称的函数为y ＝e －x.依题意，f (x )的图象向右平移一个单位长度，得y ＝e －x的图象．∴f (x )的图象由y ＝e －x的图象向左平移一个单位长度得到．∴f (x )＝e－(x ＋1)＝e－x －1.(3)已知a >0，且a ≠1，若函数y ＝|a x－2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，23解析 ①当0<a <1时，作出函数y ＝|a x－2|的图象，如图a.若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x－2|(0<a <1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a <2，所以0<a <23.②当a >1时，作出函数y ＝|a x－2|的图象，如图b ，若直线y ＝3a 与函数y ＝|a x－2|(a >1)的图象有两个交点，则由图象可知0<3a <2，此时无解，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23.二、函数图象的应用例2(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是____________．答案 (3，＋∞)解析在同一坐标系中，作y ＝f (x )与y ＝b 的图象．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，所以要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3. (2)不等式3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －12log x <0的整数解的个数为________．答案 2解析不等式3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －12log x <0，即3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x <12log x .设f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ，g (x )＝12log x ，在同一坐标系中分别作出函数f (x )与g (x )的图象，由图象可知，当x 为整数3或7时，有f (x )<g (x )，所以不等式3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －12log x <0的整数解的个数为2.(3)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sinπx ，0≤x ≤1，log 2020x ，x >1，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是__________．答案 (2,2021)解析函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sinπx ，0≤x ≤1，log 2020x ，x >1的图象如图所示，不妨令a <b <c ，由正弦曲线的对称性可知a ＋b ＝1，而1<c <2020，所以2<a ＋b ＋c <2021.1．已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，则函数y ＝f (x －3)＋2的图象经过的定点为________．答案 (3,2)解析由于函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，故它的图象过原点．又由于y ＝f (x )的图象向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度可得到函数y ＝f (x －3)＋2的图象，故y ＝f (x －3)＋2的图象过点(3,2)．2．若函数y ＝f (2x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (x )图象的对称轴方程是________．答案 x ＝1解析因为f (2x ＋1)是偶函数，所以f (2x ＋1)＝f (－2x ＋1)，所以f (x )＝f (2－x )，所以f (x )图象的对称轴为直线x ＝1.3．在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________．答案－12解析由图(图略)知，当且仅当直线y ＝2a 过函数y ＝|x －a |－1图象的最低点(a ，－1)时，符合题意，故2a ＝－1，即a ＝－12.4．方程2－x＋x 2＝3的实数解的个数为________．答案 2解析画出函数y ＝2－x与y ＝3－x 2的图象(图略)，可知两函数图象有两个交点，故方程2－x＋x 2＝3的实数解的个数为2.5.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x <－1，ln (x ＋a )，x ≥－1的图象如图所示，则f (－3)＝________.答案－1解析由图象可得－a ＋b ＝3，ln(－1＋a )＝0，解得a ＝2，b ＝5，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5，x <－1，ln (x ＋2)，x ≥－1，故f (－3)＝2×(－3)＋5＝－1. 6．设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x －a的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则a ＝________. 答案－2解析由函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x －a 的图象关于直线y ＝－x 对称，可得f (x )＝－a －log 2(－x )，由f (－2)＋f (－4)＝1，可得－a －log 22－a －log 24＝1，解得a ＝－2.7．设函数y ＝f (x ＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x －1)f (x )≤0的解集为______________．答案 {x |x ≤0或1<x ≤2}解析画出f (x )的大致图象如图所示．不等式(x －1)f (x )≤0可化为⎩⎪⎨⎪⎧x >1，f (x )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <1，f (x )≥0.由图可知符合条件的解集为{x |x ≤0或1<x ≤2}．8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )＋1，－1≤x <0，x 3－3x ＋2，0≤x ≤a的值域为[0,2]，则实数a 的取值范围是__________．答案 [1，3]解析先作出函数f (x )＝log 2(1－x )＋1，－1≤x <0的图象，再研究f (x )＝x 3－3x ＋2,0≤x ≤a 的图象．令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝1(x ＝－1舍去)，由f ′(x )>0，得x >1，由f ′(x )<0，得0<x <1.又f (0)＝f (3)＝2，f (1)＝0.所以1≤a ≤ 3.9．已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且在[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1(k ∈R ，k ≠－1)有四个根，则k 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0解析由题意作出f (x )在[－1,3]上的示意图如图所示，记y ＝k (x ＋1)＋1，∴函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象过定点A (－1,1)．记B (2,0)，由图象知，方程有四个根，即函数f (x )与y ＝kx ＋k ＋1的图象有四个交点，故k AB <k <0，k AB ＝0－12－(－1)＝－13，∴－13<k <0.10．给定min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，b <a ，已知函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4，若动直线y ＝m与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，则实数m 的取值范围为__________．答案 (4,5)解析作出函数f (x )的图象，函数f (x )＝min{x ，x 2－4x ＋4}＋4的图象如图所示，由于直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点，数形结合可得m 的取值范围为(4,5)．11．已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f (x －1)，x >0，若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同实根，则a 的取值范围为________．答案 (－∞，1)解析当x ≤0时，f (x )＝2－x－1，当0<x ≤1时，－1<x －1≤0，f (x )＝f (x －1)＝2－(x －1)－1.类推有f (x )＝f (x －1)＝22－x －1，x ∈(1,2]，…，也就是说，x >0的部分是将x ∈(－1,0]的部分周期性向右平移1个单位长度得到的，其部分图象如图所示．若方程f (x )＝x ＋a 有两个不同的实数根，则函数f (x )的图象与直线y ＝x ＋a 有两个不同交点，故a <1，即a 的取值范围是(－∞，1)． 12．已知函数f (x )＝2x，x ∈R .(1)当m 取何值时，方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？ (2)若不等式f 2(x )＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求m 的取值范围．解 (1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x－2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示．由图象可知，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个解． (2)令f (x )＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，t >0，因为H (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以H (t)>H (0)＝0.因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．13．已知定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg|x |，x ≠0，1，x ＝0，关于x 的方程f (x )＝c (c 为常数)恰有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝________. 答案 0解析方程f (x )＝c 有三个不同的实数根等价于y ＝f (x )与y ＝c 的图象有三个交点，画出函数f (x )的图象(图略)，易知c ＝1，且方程f (x )＝c 的一根为0，令lg|x |＝1，解得x ＝－10或10，故方程f (x )＝c 的另两根为－10和10，所以x 1＋x 2＋x 3＝0. 14．已知函数f (x )＝x |x －1|，g (x )＝1＋x ＋|x |2，若f (x )<g (x )，则实数x 的取值范围是________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1＋52∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，＋∞解析f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x －1，x >1，－1＋11－x ，x <1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ，x ≥0，1，x <0，作出两函数的图象如图所示．当0≤x <1时，由－1＋11－x ＝x ＋1，解得x ＝5－12；当x >1时，由1＋1x －1＝x ＋1，解得x＝5＋12.结合图象可知，满足f (x )<g (x )的x 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，5－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，＋∞.15．已知函数213,1,()log ,1,x x x f x x x≤g (x )＝|x －k |＋|x －2|，若对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，则实数k 的取值范围为____________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，74∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞ 解析对任意的x 1，x 2∈R ，都有f (x 1)≤g (x 2)成立，即f (x )max ≤g (x )min .观察213,1,()log ,1,x x x f x x x≤的图象可知，当x ＝12时，函数f (x )max ＝14.因为g (x )＝|x －k |＋|x －2|≥|x －k －(x －2)|＝|k －2|，所以g (x )min ＝|k －2|，所以|k －2|≥14，解得k ≤74或k ≥94.故实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，74∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞.16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2，0≤x ≤2，14x －12，2<x ≤6.若在该函数的定义域[0,6]上存在互异的3个数x 1，x 2，x 3，使得f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝f (x 3)x 3＝k ，则实数k 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎦⎥⎤0，16解析由题意知，直线y ＝kx 与函数y ＝f (x )的图象至少有3个公共点．函数y ＝f (x )的图象如图所示，由图知k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，16.。

(新)江苏专用2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2_5指数与指数函数教师用书理苏教版

第二章函数概念与基本初等函数I 2.5 指数与指数函数教师用书理苏教版1.分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是mna＝na m(a>0，m，n∈N*，且n>1).正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定mna ＝1mna(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理数指数幂的运算性质：a s a t＝a s＋t，(a s)t＝a st，(ab)t＝a t b t，其中s，t∈Q，a>0，b>0.2.指数函数的图象与性质y＝a x a>10<a<1图象定义域(1)R 值域(2)(0，＋∞) 性质(3)过定点(0，1)(4)当x >0时，y >1；当x <0时，0<y <1(5)当x >0时，0<y <1；当x <0时，y >1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数1.指数函数图象画法的三个关键点画指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，(－1，1a).2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y ＝a x，(2)y ＝b x，(3)y ＝c x，(4)y ＝d x的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c >d >1>a >b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象越高，底数越大. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)na n＝(na )n＝a .( × )(2)分数指数幂m na 可以理解为m n个a 相乘.( × ) (3)24(1)-＝12(1)-＝－1.( × ) (4)函数y ＝a －x是R 上的增函数.( × ) (5)函数y ＝21x a +(a >1)的值域是(0，＋∞).( × )(6)函数y ＝2x －1是指数函数.( × )1.(教材改编)若函数f (x )＝a x(a >0且a ≠1)的图象经过点P (2，12)，则f (－1)＝________.答案2解析由题意知12＝a 2，所以a ＝22，所以f (x )＝(22)x ，所以f (－1)＝(22)－1＝ 2. 2.(2016·苏州模拟)已知函数f (x )＝a x －2＋2的图象恒过定点A ，则A 的坐标为________.答案 (2，3)解析由a 0＝1知，当x －2＝0，即x ＝2时，f (2)＝3，即图象必过定点(2，3).3.已知113344333(),(),()552a b c ---===，则a ，b ，c 的大小关系是______________.答案 c b >1，又c ＝343()2-<(32)0＝1，∴c <b <a .4.计算：133()2-×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋148×42________.答案 2解析原式＝132()3×1＋131344222()3⨯-＝2.5.若函数y ＝(a 2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________________. 答案 (－2，－1)∪(1，2)解析由y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<a 2－1<1，∴1<a 2<2，即1<a <2或－2<a <－1.题型一指数幂的运算例1 化简下列各式：(1)122.553[(0.064)]-－3338－π0；(2)41233322338(4a a b ab a--÷-+.解 (1)原式＝121553326427{[()]}()110008---1521()33523343[()][()]1102⨯-⨯=--＝52－32－1＝0. (2)原式＝11111213333333321111111223333352[()(2)]2()()(2)(2)()a a b a b a a aa ab b a a --⋅÷⨯+⋅+⋅ 51116333111336(2)2a a a a b a ba=-⨯⨯-12233.a a a a =⨯⨯=思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.化简132113321()4(0.1)()a b ---⋅⋅⋅＝________. 答案 85解析原式＝2×333223322210a b a b--⋅⋅⋅⋅＝21＋3×10－1＝85.题型二指数函数的图象及应用例2 已知f (x )＝|2x－1|. (1)求f (x )的单调区间； (2)比较f (x ＋1)与f (x )的大小；(3)试确定函数g (x )＝f (x )－x 2的零点的个数.解 (1)由f (x )＝|2x－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥0，1－2x，x <0可作出函数的图象如图所示.因此函数f (x )在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递增.(2)在同一坐标系中，分别作出函数f (x )、f (x ＋1)的图象如图所示.由图象知，当0012112x x +-=-，即x 0＝log 223时，两图象相交，由图象可知，当x <log 223时，f (x )>f (x ＋1)；当x ＝log 223时，f (x )＝f (x ＋1)；当x >log 223时，f (x )<f (x ＋1).(3)将g (x )＝f (x )－x 2的零点个数问题转化为函数f (x )与y ＝x 2的图象的交点个数问题，在同一坐标系中，分别作出函数f (x )＝|2x－1|和y ＝x 2的图象(图略)，有四个交点，故g (x )有四个零点.思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除.(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋10≤x <1，2x －12x ≥1，设a >b ≥0，若f (a )＝f (b )，则b ·f (a )的取值范围是______. 答案 [34，2)解析函数的图象如图所示.因为a >b ≥0，f (a )＝f (b )，所以0.5≤b <1且1.5≤f (a )<2.所以0.75≤bf (a )<2.题型三指数函数的性质及应用命题点1 指数函数单调性的应用例3 (1)(2016·徐州模拟)下列各式比较大小正确的是________. ①1.72.5>1.73;②0.6－1>0.62； ③0.8－0.1>1.250.2;④1.70.3<0.93.1.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是________.答案 (1)② (2)(－3，1)解析 (1)②中，∵y ＝0.6x是减函数， ∴0.6－1>0.62.(2)当a <0时，不等式f (a )<1可化为(12)a－7<1，即(12)a <8，即(12)a <(12)－3，所以a >－3.又a <0，∴－3<a <0. 当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1. 所以0≤a <1，综上，a 的取值范围为(－3，1). 命题点2 复合函数的单调性例4 (1)已知函数f (x )＝|2|2x m －(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________. (2)函数2211()()2xx f x -++=的单调减区间为________________________________________________________________________. 答案 (1)(－∞，4] (2)(－∞，1]解析 (1)令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间[m 2，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，m2]上单调递减.而y ＝2t为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4].(2)设u ＝－x 2＋2x ＋1，∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u 在R 上为减函数，∴函数f (x )＝2211()2x x -++的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间.又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]， ∴f (x )的减区间为(－∞，1]. 引申探究函数f (x )＝4x－2x ＋1的单调增区间是________.答案 [0，＋∞)解析设t ＝2x，则y ＝t 2－2t 的单调增区间为[1，＋∞)，令2x≥1，得x ≥0， ∴函数f (x )＝4x－2x ＋1的单调增区间是[0，＋∞).命题点3 函数的值域(或最值)例5 (1)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋1在区间[－3，2]上的值域是________.(2)如果函数y ＝a 2x＋2a x－1(a >0，a ≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a 的值为________.答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57 (2)13或3 解析 (1)因为x ∈[－3，2]，所以若令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，8，故y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.故所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，57.(2)令a x ＝t ，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1 ＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈[1a，a ]，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去). 当0<a <1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈[a ，1a]，又函数y ＝(t ＋1)2－2在[a ，1a]上单调递增，则y max ＝(1a ＋1)2－2＝14，解得a ＝13(负值舍去).综上，a ＝3或a ＝13.思维升华 (1)在利用指数函数性质解决相关综合问题时，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论.(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性的求解方法，要化归于指数函数来解.(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x ，a ≤x ＜0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8，1]，则实数a 的取值范围是________.(2)已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x ≥0，f －x ，x <0，则函数g (x )的最小值是________.答案 (1)[－3，0) (2)0解析 (1)当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8，1]，当a ≤x ＜0时，f (x )∈[－(12)a，－1)，所以[－12a ，－1)[－8，1]，即－8≤－12a ＜－1，即－3≤a ＜0，所以实数a 的取值范围是[－3，0).(2)当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x－12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x－12－x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.2.指数函数底数的讨论典例 (2016·南京模拟)已知函数22xxy b a +=+(a ，b 为常数，且a >0，a ≠1)在区间[－32，0]上有最大值3，最小值52，则a ，b 的值分别为________.错解展示解析令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵－32≤x ≤0，∴－1≤t ≤0.∵1a ≤a t ≤1，∴b ＋1a ≤b ＋a t ≤b ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝2.答案 2，2现场纠错解析令t ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵x ∈[－32，0]，∴t ∈[－1，0].①若a >1，函数f (x )＝a t 在[－1，0]上为增函数，∴a t ∈[1a ，1]，22x x b a ++∈[b ＋1a ，b ＋1]，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1a ＝52，b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝2.②若0<a <1，函数f (x )＝a t 在[－1，0]上为减函数，∴a t ∈[1，1a ]，则22x x b a ++∈[b ＋1，b ＋1a ]，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋1a＝3，b ＋1＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝23，b ＝32.综上①②，所求a ，b 的值为⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，b ＝32.答案 2，2或23，32纠错心得与指数函数、对数函数的单调性有关的问题，要对底数进行讨论.1.(2016·苏州模拟)设2x ＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为________.答案 27解析 ∵2x ＝8y ＋1＝23(y ＋1)，∴x ＝3y ＋3，∵9y ＝3x －9＝32y ，∴x －9＝2y ，解得x ＝21，y ＝6，∴x ＋y ＝27.2.函数f (x )＝2|x －1|的图象是________.答案 ②解析 ∵|x －1|≥0，∴f (x )≥1，排除③、④.又x ＝1时，|f (x )|min ＝1，排除①.3.已知a ＝40.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.8，则a ，b ，c 的大小关系为__________.答案 a >b >c解析由0.2<0.8，底数0.4<1知，y ＝0.4x 在R 上为减函数，所以0.40.2>0.40.8，即b >c . 又a ＝40.2>40＝1，b ＝0.40.2<1，所以a >b ，综上，a >b >c .4.已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2，1)，则f (x )的值域为__________. 答案 [1，9]解析由f (x )过定点(2，1)可知b ＝2，因为f (x )＝3x －2在[2，4]上是增函数，所以f (x )min ＝f (2)＝1，f (x )max ＝f (4)＝9.5.(2015·山东改编)若函数f (x )＝2x ＋12x －a是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值范围为__________.答案 (0，1)解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即2－x ＋12－x －a ＝－2x＋12x －a，整理得(a －1)(2x ＋1)＝0， ∴a ＝1，∴f (x )＞3即为2x ＋12x －1＞3，当x >0时，2x －1>0，∴2x ＋1>3·2x －3，解得0<x <1；当x <0时，2x －1<0，∴2x ＋1<3·2x －3，无解.∴x 的取值范围为(0，1).6.(2016·浙江改编)已知函数f (x )满足f (x )≥2x ，x ∈R .若f (a )≤2b，则a ，b 的大小关系为________.答案 a ≤b解析依题意得f (a )≥2a ，若f (a )≤2b ，则2a ≤f (a )≤2b ，∴2a ≤2b ，又y ＝2x 是R 上的增函数，∴a ≤b . 7.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x －1，x <1，13x ，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________. 答案 (－∞，8]解析当x <1时，由ex －1≤2得x ≤1＋ln 2，∴x <1时恒成立；当x ≥1时，由13x ≤2得x ≤8，∴1≤x ≤8.综上，符合题意的x 的取值范围是x ≤8.8.若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________.答案 (0，12) 解析 (数形结合法)由图象可知0<2a <1，∴0<a <12.9.(2016·镇江模拟)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数且当x ≥0时，f (x )＝－14x ＋12x ，则此函数的值域为________.答案 [－14，14]解析设t ＝12x ，当x ≥0时，2x≥1，∴0<t ≤1，f (t )＝－t 2＋t ＝－(t －12)2＋14.∴0≤f (t )≤14，故当x ≥0时，f (x )∈[0，14].∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，∴当x ≤0时，f (x )∈[－14，0].故函数的值域为[－14，14].10.已知函数f (x )＝2ax ＋2(a 为常数)，(1)求函数f (x )的定义域；(2)若a >0，试证明函数f (x )在R 上是增函数；(3)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )，x ∈(－1，3]的值域.(1)解函数f (x )＝2ax ＋2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R .(2)证明任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，由a >0，得ax 1＋2<ax 2＋2.因为y ＝2x 在R 上是增函数，所以有122222ax ax ++，即f (x 1)<f (x 2).所以函数f (x )在R 上是增函数.(3)解由(2)知，当a ＝1时，f (x )＝2x ＋2在(－1，3]上是增函数.所以f (－1)<f (x )≤f (3)，即2<f (x )≤32.所以函数f (x )的值域为(2，32].11.已知函数f (x )＝(23)|x |－a.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值等于94，求a 的值.解 (1)令t ＝|x |－a ，则f (x )＝(23)t，不论a 取何值，t 在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又y ＝(23)t 是单调递减的，因此f (x )的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞).(2)由于f (x )的最大值是94且94＝(23)－2，所以g (x )＝|x |－a 应该有最小值－2，即g (0)＝－2，从而a ＝2.12.已知函数f (x )＝2431()3ax x -+.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )有最大值3，求a 的值.解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝2431()3xx --+，令t ＝－x 2－4x ＋3，由于函数t ＝－x 2－4x ＋3在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2).(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.*13.已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋3(－1≤x ≤2). (1)若λ＝32，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )的最小值是1，求实数λ的值.解 (1)f (x )＝14x －λ2x －1＋3＝(12)2x －2λ·(12)x＋3(－1≤x ≤2).设t ＝(12)x ，得g (t )＝t 2－2λt ＋3(14≤t ≤2).当λ＝32时，g (t )＝t 2－3t ＋3＝(t －32)2＋34(14≤t ≤2).所以g (t )max ＝g (14)＝3716，g (t )min ＝g (32)＝34.所以f (x )max ＝3716，f (x )min ＝34，故函数f (x )的值域为[34，3716].(2)由(1)得g (t )＝t 2－2λt ＋3＝(t －λ)2＋3－λ2(14≤t ≤2)，①当λ≤14时，g (t )min ＝g (14)＝－λ2＋4916，令－λ2＋4916＝1，得λ＝338>14，不符合舍去；②当14<λ≤2时，g (t )min ＝g (λ)＝－λ2＋3，令－λ2＋3＝1，得λ＝2(λ＝－2<14，不符合舍去)；③当λ>2时，g (t )min ＝g (2)＝－4λ＋7，令－4λ＋7＝1，得λ＝32<2，不符合舍去.综上所述，实数λ的值为 2.14.(2017·江苏淮阴中学月考)已知f (x )＝23x ＋1＋m ，m 是实常数.(1)当m ＝1时，写出函数f (x )的值域；(2)当m ＝0时，判断函数f (x )的奇偶性，并给出证明；(3)若f (x )是奇函数，不等式f (f (x ))＋f (a )<0有解，求a 的取值范围.解 (1)当m ＝1时，f (x )＝23x ＋1＋1，定义域为R ，3x ＋1∈(1，＋∞)，则23x ＋1∈(0，2)，所以f (x )＝23x ＋1＋1∈(1，3)，即当m ＝1时，函数f (x )的值域为(1，3).(2)当m ＝0时，f (x )为非奇非偶函数.证明如下：当m ＝0时，f (x )＝23x ＋1，f (1)＝24＝12， f (－1)＝213＋1＝32，因为f (－1)≠f (1)，所以f (x )不是偶函数；又因为f (－1)≠－f (1)，所以f (x )不是奇函数.故f (x )为非奇非偶函数.(3)因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )恒成立，即23－x＋1＋m ＝－23x ＋1－m 对x ∈R 恒成立，化简整理得－2m ＝2×3x1＋3x ＋23x ＋1，即－2m ＝2，所以m ＝－1. 下面用定义法研究f (x )＝23x ＋1－1的单调性. 任取x 1，x 2∈R 且x 1<x 2， f (x 1)－f (x 2)＝1222113131x x --+++ 21212(33)0(31)(31)x x x x -=++＞，所以f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在R 上单调递减.所以f (f (x ))＋f (a )<0有解，且函数f (x )为奇函数，所以f (f (x ))<－f (a )＝f (－a )，又因为函数f (x )在R 上单调递减，所以f (x )>－a 有解，又易求函数f (x )＝23x ＋1－1的值域为(－1，1)，所以－a <1，即a >－1.。

江苏专用2018版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.2函数的单调性与最值课件文

第2讲函数的单调性与最值
考试要求 1.函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义， B级要求；2.运用函数图象研究函数的单调性，B级要求．
1．函数的单调性 (1)单调函数的定义
知识梳理
增函数
减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内
某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
定义
t 在(0，＋∞)上是
减函数，∴函数 f(x)在(－∞，－2)上是增函数，即 f(x)单调递增区间
为(－∞，－2)．
答案 (－∞，－2)
(2)解法一设－1<x1<x2<1， f(x)＝ax－x－1＋1 1＝a1＋x－1 1， f(x1)－f(x2)＝a1＋x1－1 1－a1＋x2－1 1＝ x1a－x12－xx2－1 1，由于－1<x1<x2<1，所以 x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，故当 a>0 时，f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)，函数 f(x)在(－1,1)上递减；当 a<0 时，f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)，函数 f(x)在(－1,1)上递增．
(1)对于函数 f(x)，x∈D，若对任意 x1，x2∈D，且 x1≠x2 有(x1－ x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数 f(x)在区间 D 上是增函数． ( ) (2)函数 y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． ( )
(3)对于函数 y＝f(x)，若 f(1)<f(3)，则 f(x)为增函数．
2．(必修 1P44 习题 2 改编)如果二次函数 f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b 在区间(－∞，1)上是减函数，则实数 a 的取值范围为________．解析二次函数的对称轴方程为 x＝－a－3 1，由题意知－a－3 1≥1，即 a≤－2. 答案 (－∞，－2]

2018版高考数学文江苏专用大一轮复习讲义文档第二章

1.函数的奇偶性2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【知识拓展】1.函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.2.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a(a>0).(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则T＝2a(a>0).【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.(×)(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称.(√)(3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数.(√)(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.(√)(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.(√)1.(教材改编)对于定义域是R的任意奇函数f(x)，下列结论正确的有________.(填序号)①f(x)－f(－x)＞0；②f(x)－f(－x)≤0；③f(x)·f(－x)≤0; ④f(x)·f(－x)＞0.答案③解析①②显然不正确.对任意奇函数f(x)，有f(－x)＝－f(x)，∴f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0，故③正确，④不正确.2.(教材改编)函数y＝f(x)为(－∞，＋∞)上的偶函数，且f(|a|)＝3，则f(－a)＝________.答案 3解析若a≥0，则f(－a)＝f(a)＝f(|a|)＝3；若a<0，则f(－a)＝f(|a|)＝3.故对a∈R，总有f(－a)＝3.3.(教材改编)若函数f(x)＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝________.答案 1解析∵f(x)＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a为偶函数，∴f(－x)＝f(x)对任意x∈R恒成立，∴(1－a)x＝(a－1)x恒成立，∴1－a＝0，∴a＝1.4.(教材改编)设函数y＝f(x)是偶函数，它在[0,1]上的图象如图所示，则它在[－1,0]上的解析式为________.答案f(x)＝x＋2解析由题意知f(x)在[－1,0]上为一条线段，且过(－1,1)、(0,2)，设f(x)＝kx＋b，代入解得k＝1，b＝2.所以f(x)＝x＋2.5.(2016·四川)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (2)＝________. 答案－2解析 ∵f (x )为定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又0<x <1时，f (x )＝4x，∴f (12)＝124＝2，∴f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (2) ＝－f ⎝⎛⎭⎫52＋f (2) ＝－f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0) ＝－2＋0＝－2.题型一判断函数的奇偶性例1 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是________. ①y ＝1＋x 2； ②y ＝x ＋1x ；③y ＝2x ＋12x ；④y ＝x ＋e x .答案 ④解析 ①中的函数是偶函数；②中的函数是奇函数；③中的函数是偶函数；只有④中的函数既不是奇函数也不是偶函数.(2)判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0的奇偶性.解当x >0时，－x <0，f (x )＝－x 2＋x ， ∴f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )；当x <0时，－x >0，f (x )＝x 2＋x ， ∴f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x ).∴对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，均有f (－x )＝－f (x ). ∴函数f (x )为奇函数.思维升华 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围取相应的解析式化简，判断f (x )与f (－x )的关系，得出结论，也可以利用图象作判断.(1)(2016·北京海淀区模拟)下列函数中为偶函数的是________.①y ＝1x ；②y ＝lg|x |； ③y ＝(x －1)2；④y ＝2x .(2)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)＝________. 答案 (1)② (2)3解析 (1)②中，函数y ＝lg|x |的定义域为{x |x ≠0}且lg|－x |＝lg|x |， ∴函数y ＝lg|x |是偶函数.(2)∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，∴－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (1)＝4，得g (1)＝3. 题型二函数的周期性例2 (1)(2016·淮安模拟)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 017)＋f (2 019)＝________.(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝______. 答案 (1)0 (2)2.5解析 (1)由题意，得g (－x )＝f (－x －1)，又∵f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数， ∴g (－x )＝－g (x )，f (－x )＝f (x )， ∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，∴f (x )＝－f (x ＋2)，∴f (x )＝f (x ＋4)， ∴f (x )的周期为4，∴f (2 017)＝f (1)，f (2 019)＝f (3)＝f (－1)，又∵f (1)＝f (－1)＝g (0)＝0， ∴f (2 017)＋f (2 019)＝0.(2)由已知，可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x ).故函数的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5).∵2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5.∴f (105.5)＝2.5. 引申探究例2(2)中，若将f (x ＋2)＝－1f (x )改为f (x ＋2)＝－f (x )，其他条件不变，则f (105.5)的值为________. 答案 2.5解析 f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数的周期为4(下同例题).思维升华函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值.定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝________. 答案 339解析 ∵f (x ＋6)＝f (x )，∴T ＝6. ∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1， f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1， f (6)＝f (0)＝0，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＋f (2 016) ＝1×2 0166＝336.又f (2 017)＝f (1)＝1，f (2 018)＝f (2)＝2， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝339. 题型三函数性质的综合应用命题点1 解不等式问题例3 (1)(2016·南通模拟)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是____________.(2)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为______.答案 (1)(13，23) (2)(－1,4)解析 (1)因为f (x )是偶函数，所以其图象关于y 轴对称，又f (x )在[0，＋∞)上单调递增，f (2x －1)<f (13)，所以|2x －1|<13，所以13<x <23.(2)∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1<1，即a －4a ＋1<0，解得－1<a <4. 命题点2 求参数问题例4 (1)函数f (x )＝lg(a ＋21＋x)为奇函数，则实数a ＝________.(2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________. 答案 (1)－1 (2)－10解析 (1)根据题意得，使得函数有意义的条件为a ＋21＋x>0且1＋x ≠0，由奇函数的性质可得f (0)＝0.所以lg(a ＋2)＝0，即a ＝－1，经检验a ＝－1满足函数的定义域. (2)因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12且f (－1)＝f (1)，故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.思维升华 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题. (2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：①f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (|x |).②若奇函数在x ＝0处有意义，则f (0)＝0.(1)若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.(2)奇函数f (x )的定义域为R .若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝________. 答案 (1)－32(2)1解析 (1)函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e －3x＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln 1＋e 3xe 3x ＋e 6x ＝2ax ＝ln e 2ax ，即1＋e 3xe 3x ＋e 6x ＝e 2ax ，整理得e 3x ＋1＝e 2ax ＋3x(e 3x ＋1)，所以2ax ＋3x ＝0，解得a ＝－32.(2)由f (x ＋2)是偶函数可得f (－x ＋2)＝f (x ＋2)，又由f (x )是奇函数得f (－x ＋2)＝－f (x －2)，所以f (x ＋2)＝－f (x －2)，f (x ＋4)＝－f (x )， f (x ＋8)＝f (x )，故f (x )是以8为周期的周期函数，所以f (9)＝f (8＋1)＝f (1)＝1，又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，所以f (8)＝f (0)＝0，故f (8)＋f (9)＝1.2.抽象函数问题考点分析抽象函数问题在高考中也时常遇到，常常涉及求函数的定义域，由函数的周期性求函数值或判断函数的奇偶性等.一般以填空题来呈现，有时在解答题中也有所体现.此类题目较为抽象，易失分，应引起足够重视. 一、抽象函数的定义域典例1 已知函数y ＝f (x )的定义域是[0,8]，则函数g (x )＝f (x 2－1)2－log 2(x ＋1)的定义域为________.解析要使函数有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧0≤x 2－1≤8，x ＋1>0，2－log 2(x ＋1)≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧1≤x 2≤9，x >－1，x ≠3，解得1≤x <3，所以函数g (x )的定义域为[1,3). 答案 [1,3)二、抽象函数的函数值典例2 若定义在实数集R 上的偶函数f (x )满足f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )，对任意x ∈R 恒成立，则f (2 019)＝________. 解析因为f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )，所以f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1f (x ＋2)＝11f (x )＝f (x )，即函数f (x )的周期是4，所以f (2 019)＝f (505×4－1)＝f (－1). 因为函数f (x )为偶函数，所以f (2 019)＝f (－1)＝f (1).当x ＝－1时，f (－1＋2)＝1f (－1)，得f (1)＝1f (1).即f (1)＝1，所以f (2 019)＝f (1)＝1. 答案 1三、抽象函数的单调性与不等式典例3 设函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y ).若f (3)＝1，且f (a )>f (a －1)＋2，求实数a 的取值范围. 规范解答解因为f (xy )＝f (x )＋f (y )且f (3)＝1，所以2＝2f (3)＝f (3)＋f (3)＝f (9).又f (a )>f (a －1)＋2，所以f (a )>f (a －1)＋f (9). 再由f (xy )＝f (x )＋f (y )，可知f (a )>f [9(a －1)]，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，从而有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，9(a －1)>0，a >9(a －1)，解得1<a <98.故所求实数a 的取值范围是(1，98).1.(教材改编)已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，则f(x)＝____________. 答案x2－2解析f(－x)＋g(－x)＝x2－x－2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，得f(x)－g(x)＝x2－x－2，又f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，两式联立得f(x)＝x2－2.2.(2016·苏州模拟)设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的有________.(填序号)①f(x)f(－x)是奇函数；②f(x)|f(－x)|是奇函数；③f(x)－f(－x)是奇函数；④f(x)＋f(－x)是偶函数.答案③④解析对于①，设g(x)＝f(x)f(－x)，g(－x)＝f(－x)f(x)＝g(x)，∴f(－x)f(x)是偶函数；对于②，设g(x)＝f(x)|f(－x)|，g(－x)＝f(－x)|f(x)|≠g(x)，g(－x)≠－g(x)，∴f(x)|f(－x)|是非奇非偶函数；对于③，设g(x)＝f(x)－f(－x)，g(－x)＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－g(x)，∴f(x)－f(－x)是奇函数；对于④，设g(x)＝f(x)＋f(－x)，g(－x)＝f(－x)＋f(x)＝g(x)，∴f(x)＋f(－x)是偶函数.3.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(－2,0)时，f(x)＝2x2，则f(2 019)＝________.答案 2解析由f(x＋4)＝f(x)知，f(x)是周期为4的周期函数，f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)，又f(x＋4)＝f(x)，∴f(3)＝f(－1)，由－1∈(－2,0)得f(－1)＝2，∴f(2 019)＝2.4.(2016·南京模拟)若函数f (x )＝2x －k ·2－x2x ＋k ·2－x(k 为常数)在定义域内为奇函数，则k 的值为________. 答案 ±1解析依题意，得f (－x )＝2－x －k ·2x2－x ＋k ·2x＝－2x －k ·2－x 2x ＋k ·2－x ，整理得k 2＝1，k ＝±1. 5.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos π6x (0＜x ≤8)，log 2x (x >8)，则f (f (－16))＝________. 答案 12解析由题意f (－16)＝－f (16)＝－log 216＝－4，故f (f (－16))＝f (－4)＝－f (4)＝－cos4π6＝12. 6.(2016·盐城模拟)已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________. 答案 13解析依题意得f (－x )＝f (x )， ∴b ＝0，又a －1＝－2a ， ∴a ＝13，∴a ＋b ＝13.7.(2017·苏北四市联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，g (x )，x <0，若f (x )为奇函数，则g (－14)＝________.答案 2解析 g (－14)＝f (－14)＝－f (14)＝－log 214＝－log 22－2＝2.8.(2016·常州模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝________. 答案 0解析由f (x ＋1)是偶函数得f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x ＋1)＝－f (x －1)，即－f (x －1)＝f (x ＋1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，即f (x )＋f (x ＋2)＝0，所以f (1)＋f (3)＝0，f (2)＋f (4)＝0，因此f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0.9.函数f (x )在R 上为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________. 答案－－x －1解析 ∵f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x ＋1，∴当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x ＋1＝－f (x )，即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1.10.(2016·南京模拟)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数.如果实数t 满足f (ln t )＋f (ln 1t)≤2f (1)，那么t 的取值范围是________. 答案 [1e，e] 解析由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (ln t )＝f (ln 1t)，由f (ln t )＋f (ln 1t)≤2f (1)，得f (ln t )≤f (1).又函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增函数，所以|ln t |≤1，即－1≤ln t ≤1，故1e≤t ≤e. 11.(2016·江苏苏北四市二调)定义在R 上的奇函数f (x )满足当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)＋(a －1)x ＋b (a ，b 为常数)，若f (2)＝－1，则f (－6)的值为________.答案 4解析由已知得f (0)＝0＝1＋b ，∴b ＝－1，又f (2)＝2＋2(a －1)－1＝－1，∴a ＝0，∴f (x )＝log 2(x ＋2)－x －1(x ≥0)，∴f (－6)＝－f (6)＝－3＋6＋1＝4.12.(2016·江苏扬州中学开学考试)已知f (x )是定义在[－2，2]上的奇函数，且当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m ，如果∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2，2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数m 的取值范围是____________.答案 [－5，－2]解析 ∵f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，∴f (0)＝0，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1的值域为(0,3]，∴当x ∈[－2,2]时，f (x )的值域为[－3,3]，若∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2,2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则g (x )max ≥3且g (x )min ≤－3，∵g (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1，∴当x ∈[－2,2]时，g (x )max ＝g (－2)＝8＋m ，g (x )min ＝g (1)＝m －1，故8＋m ≥3且m －1≤－3，解得m ≥－5且m ≤－2，故－5≤m ≤－2.13.设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积.解 (1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数.∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x ).从而可知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称.又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示.设当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×(12×2×1)＝4.。

2018届江苏高考数学一轮复习课件函数的图象

易错警示：注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
[ 变式训练 1] 分别画出下列函数的图象： (1)y＝|lg x|；(2)y＝sin|x|. lg x，x≥1， [ 解] (1)∵y＝|lg x|＝－lg x，0＜x＜1.
∴函数 y＝|lg x|的图象，如图①. (2)当 x≥0 时，y＝sin|x|与 y＝sin x 的图象完全相同，又 y＝ sin|x|为偶函数，图象关于 y 轴对称，其图象如图②.
1 ＝2x 的图象中
x＞0 部分关于 y 轴的对称部分，即得
1 y＝2|x|的图象，如图①实
线部分．
①
②
(2)将函数 y＝log2x 的图象向左平移一个单位，再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上去，即可得到函数 y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.
1 1 (3)∵y＝2＋，故函数图象可由 y＝x图象向右平移 1 个单位，再向上平 x－1 移 2 个单位得到，如图③.
e
－x－1
[依题意，与曲线 y＝ex 关于 y 轴对称的曲线是 y＝e x，于是 f(x)相当
－
于 y＝e－x 向左平移 1 个单位的结果，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.]
4．(2016· 浙江高考改编)函数 y＝sin x2 的图象是________．(填序号)
图 102
④ [∵y＝sin(－x)2＝sin x2，
第二章函数概念与基本初等函数(Ⅰ)
第 10 课函数的图象
1．利用描点法作函数的图象方法步骤：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数的解析式； (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)； (4)描点连线．
2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换

江苏专用2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.2函数的单调性与最值课件文

一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A.
图象描述
下降的上升的自左向右看图象是_______ 自左向右看图象是_______ (2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间.
2.函数的最值前提条件结论设函数y＝f(x)的定义域为A，如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有 f(x)≤f(x0) __________ f(x0)为最大值对于任意的x∈A，都有 f(x)≥f(x0) __________ f(x0)为最小值
知识拓展
函数单调性的常用结论
fx1－fx2 fx1－fx2 (1)对∀x1，x2∈D(x1≠x2)， >0⇔f(x)在 D 上是增函数， x1－x2 x1－x2 <0⇔f(x)在 D 上是减函数. a (2)对勾函数 y＝x＋ (a>0)的增区间为(－∞，－ a]和[ a，＋∞)，减区间 x 为[－ a，0)和(0， a].
2 ax1x2 － ax － ax x ax2－x1x1x2＋1 2 1 2 1＋ax2 ∵－1<x1<x2<1，＝＝ 2 2 2 2 x1－1x 2－1 x1－1x2－1
2 ∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x2 － 1)( x 1 2－1)>0.
又∵a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，
2
1 ①当 a＝时，求函数 f(x)的最小值； 2
解答
几何画板展示
1 1 又x∈[1，＋∞)，当 a＝时，f(x)＝x＋＋2， 2 2x
1 所以 f′(x)＝1－ 2>0，即 f(x)在[1，＋∞)上是增函数， 2x

(新)江苏专用2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2_9函数模型及其应用教师用书理苏教

第二章函数概念与基本初等函数I 2.9 函数模型及其应用教师用书理苏教版1.几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型 f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数且a ≠0) 反比例函数模型f (x )＝kx＋b (k ，b 为常数且k ≠0)二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数，a ≠0)指数函数模型f (x )＝ba x ＋c(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1)对数函数模型 f (x )＝b log a x ＋c(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1)幂函数模型f (x )＝ax n ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)2.三种函数模型的性质函数性质y ＝a x (a >1)y ＝log a x (a >1)y ＝x n (n >0)在(0，＋∞)上的单调递增单调递增单调递增【知识拓展】 1.解函数应用题的步骤2.“对勾”函数形如f (x )＝x ＋a x(a >0)的函数模型称为“对勾”函数模型： (1)该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减. (2)当x >0时，x ＝a 时取最小值2a ，当x <0时，x ＝－a 时取最大值－2a . 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.( √ )(2)幂函数增长比直线增长更快.( × ) (3)不存在x 0，使0x a <0nx <log a x 0.( × )(4)在(0，＋∞)上，随着x 的增大，y ＝a x(a >1)的增长速度会超过并远远大于y ＝x a(a >0)的增长速度.( √ )(5)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a ·b x＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻.( × )1.(教材改编)某商人将彩电先按原价提高40%，然后“八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚270元，那么每台彩电原价是________元. 答案 2 250解析设每台原价是a 元，则a (1＋40%)·80% ＝a ＋270，解得a ＝2 250.2.(教材改编)某汽车油箱中存油22千克，油从管道中匀速流出，200分钟流尽，油箱中剩油量y (千克)与流出时间x (分钟)之间的函数关系式为________. 答案 y ＝22－11100x (0≤x ≤200)解析流速为22200＝11100，x 分钟可流11100x ，则y ＝22－11100x (0≤x ≤200).3.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________________. 答案p ＋1q ＋1－1解析设年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(1＋p )(1＋q )， ∴x ＝1＋p1＋q －1.4.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________. 答案 3解析设隔墙的长度为x (0<x <6)，矩形面积为y ，则y ＝x ×24－4x 2＝2x (6－x )＝－2(x －3)2＋18，∴当x ＝3时，y 最大.5.(教材改编)有两个相同的桶，由甲桶向乙桶输水，开始时，甲桶有a L 水，t min 后，剩余水y L 满足函数关系y ＝a e－nt，那么乙桶的水就是y ＝a －a e－nt，假设经过5 min ，甲桶和乙桶的水相等，则再过________ min ，甲桶中的水只有a8 L.答案 10解析由题意可得，5 min 时，a e －5n＝12a ，n ＝15ln 2，那么ln 25et a ＝18a ，∴t ＝15，即再过10 min ，甲桶中的水只有a8L.题型一用函数图象刻画变化过程例1 某民营企业生产A 、B 两种产品，根据市场调查和预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图①所示；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②所示(单位：万元).分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式.解设投资为x 万元，A 产品的利润为f (x )万元，B 产品的利润为g (x )万元. 由题意设f (x )＝k 1x (x ≥0)，g (x )＝k 2x (x ≥0). 由图①知f (1)＝14，∴k 1＝14.由图②知g (4)＝52，∴k 2＝54.∴f (x )＝14x (x ≥0)，g (x )＝54x (x ≥0).思维升华判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象. (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式.其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x (min)与通话费y (元)的关系如图所示.(1)分别求出通话费y 1、y 2与通话时间x 之间的函数关系式； (2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.解 (1)设y 1＝k 1x ＋29，y 2＝k 2x ，把点B (300,35)，C (300，15)分别代入得k 1＝150，k 2＝120.∴y 1＝150x ＋29，y 2＝120x .(2)令y 1＝y 2，即150x ＋29＝120x ，得x ＝96623.当x ＝96623时，两种卡收费一致；当x ＜96623时，y 1＞y 2，即“如意卡”便宜；当x ＞96623时，y 1＜y 2，即“便民卡”便宜.题型二已知函数模型的实际问题例2 我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系.声音的强度用瓦/米2(W/m 2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L 1表示，它们满足以下公式：L 1＝10 lg II 0(单位为分贝，L 1≥0，其中I 0＝1×10－12，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端).回答下列问题：(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12W/m 2，耳语的强度是1×10－10W/m 2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8W/m 2，试分别求出它们的强度水平；(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I 的范围为多少？解 (1)由题意知树叶沙沙声的强度水平为L 2＝10 lg I 2I 0＝10 lg 1＝0(分贝)；耳语的强度水平为L 3＝10 lg I 3I 0＝10 lg102＝20(分贝)；恬静的无线电广播的强度水平为L 4＝10 lg I 4I 0＝10lg 104＝40(分贝).(2)由题意知0≤L 1<50，即0≤10lg I I 0<50，所以1≤I I 0<105，即1×10－12≤I <1×10－7.所以新建的安静小区的声音强度I 大于等于1×10－12W/m 2，同时小于1×10－7 W/m 2.思维升华求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数. (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数. (3)利用该模型求解实际问题.(1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为________kg.(2)我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税.已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x 元(叫做税率x%)，则每年销售量将减少10x万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为________.答案(1)19 (2)2解析(1)由图象可求得一次函数的解析式为y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19.(2)由分析可知，每年此项经营中所收取的附加税额为104·(100－10x)·70·x100，令104·(100－10x)·70·x100≥112×104，解得2≤x≤8.故x的最小值为2. 题型三构造函数模型的实际问题命题点1 构造二次函数模型例3 将出货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定________元. 答案 95解析设每个售价定为x 元，则利润y ＝(x －80)·[400－(x －90)·20]＝－20[(x －95)2－225].∴当x ＝95时，y 最大.命题点2 构造指数函数、对数函数模型例4 光线通过一块玻璃，强度要损失10%.设光线原来的强度为k ，通过x 块这样的玻璃以后强度为y .(1)写出y 关于x 的函数解析式；(2)至少通过多少块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的14以下？(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)解 (1)光线通过1块玻璃后，强度y ＝(1－10%)k ＝0.9k ；光线通过2块玻璃后，强度y ＝(1－10%)·0.9k ＝0.92k ；光线通过3块玻璃后，强度y ＝(1－10%)·0.92k ＝0.93k ； ……光线通过x 块玻璃后，强度y ＝0.9xk . 故y 关于x 的函数解析式为y ＝0.9x k (x ∈N *). (2)由题意，得0.9xk <k4，即0.9x <14，两边取对数，得x lg 0.9<lg 14.因为lg 0.9<0，所以x >lg 14lg 0.9.又lg 14lg 0.9＝－2lg 22lg 3－1＝－0.602 00.954 2－1＝－0.602 0－0.045 8≈13.14，且x ∈N *，所以x min ＝14.故至少通过14块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的14以下.命题点3 构造分段函数模型例 5 (2017·盐城质检)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数.(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值.(精确到1辆/小时)解 (1)由题意可知当0≤x <20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，显然v (x )＝ax ＋b 在[20,200]上是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003，故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0≤x <20，13200－x ， 20≤x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ， 0≤x <20，13x 200－x ， 20≤x ≤200，当0≤x <20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20≤x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13[x ＋200－x 2]2＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立，所以，当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值10 0003.综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约3 333辆/小时.思维升华构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.(1)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么，此人至少经过________小时才能开车.(精确到1小时)(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R 与门面经营天数x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，则总利润最大时，该门面经营的天数是________. 答案 (1)5 (2)300解析 (1)设经过x 小时才能开车. 由题意得0.3(1－25%)x≤0.09，∴0.75x≤0.3，x ≥log 0.750.3≈4.19.∴x 最小为5. (2)由题意，总利润y ＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2－100x －20 0000≤x ≤400，60 000－100x x >400，当0≤x ≤400时，y ＝－12(x －300)2＋25 000，所以x ＝300时，y max ＝25 000，当x >400时，y ＝60 000－100x <20 000，综上，当该门面经营的天数为300时，总利润最大为25 000元.2.函数应用问题典例 (14分)已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 思维点拨根据题意，要利用分段函数求最大利润.列出解析式后，比较二次函数和“对勾”函数的最值的结论. 规范解答解 (1)当0<x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40) ＝－6x 2＋384x －40，[3分]当x >40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40) ＝－40 000x－16x ＋7 360.所以W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x >40. [5分](2)①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6 104，所以W max ＝W (32)＝6 104；[8分]②当x >40时，W ＝－40 000x－16x ＋7 360，由于40 000x＋16x ≥240 000x×16x ＝1 600，当且仅当40 000x＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号，所以W 取最大值为5 760. [12分] 综合①②知，当x ＝32时，W 取得最大值6 104万美元.[14分]解函数应用题的一般程序第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论；第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.1.某商品定价为每件60元，不加收附加税时年销售量约80万件，若征收附加税，税率为p ，且年销售量将减少203p 万件.则每年征收的税金y 关于税率p 的函数关系为________.答案 y ＝60(80－203p )p解析征收附加税后年销售为(80－203p )万件，故每年征收的税金y ＝60(80－203p )p .2.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图象正确的是________.答案①解析前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有①，③图象符合要求，而后3年年产量保持不变.3.(教材改编)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km.答案9解析出租车行驶不超过3 km，付费9元；出租车行驶8 km，付费9＋2.15×(8－3)＝19.75元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，故出租车行驶里程超过8 km，且22.6－19.75＝2.85，所以此次出租车行驶了8＋1＝9 km.4.(2017·盐城月考)某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m 3的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m 3的，超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为________ m 3. 答案 13解析设该职工用水x m 3时，缴纳的水费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx 0<x ≤10，10m ＋x －10·2mx >10，则10m ＋(x －10)·2m ＝16m ，解得x ＝13.5.(2016·北京朝阳区统一考试)设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正常数).公司决定从原有员工中分流x (0<x <100，x ∈N *)人去进行新开发的产品B 的生产.分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x %.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是________. 答案 16解析由题意，分流前每年创造的产值为100t (万元)，分流x 人后，每年创造的产值为(100－x )(1＋1.2x %)t ，则由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <100，x ∈N *，100－x1＋1.2x %t ≥100t ，解得0<x ≤503.因为x ∈N *，所以x 的最大值为16.6.(2016·南通模拟)某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是________万元. 答案 43解析设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1(x －212)2＋0.1×2124＋32.因为x ∈[0,16]且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元.7.(2016·四川改编)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是________年.(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) 答案 2019解析设x 年后该公司全年投入的研发资金为200万元，由题可知，130(1＋12%)x＝200，解得x ＝log 1.12200130＝lg 2－lg 1.3lg 1.12≈3.80，因资金需超过200万，则x 取4，即2019年.8.(2016·苏州模拟)某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt(其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则k ＝__________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个. 答案 2ln 2 1 024解析当t ＝0.5时，y ＝2，∴2＝12e k ，∴k ＝2ln 2，∴y ＝e 2t ln 2，当t ＝5时，y ＝e10ln 2＝210＝1 024.9.(2016·淮安模拟)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m. 答案 20解析设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0<x <40)，当x ＝20时，S max ＝400.*10.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b >a )以及实数x (0<x <1)确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a ).这里，x 被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项.据此可得，最佳乐观系数x 的值等于________. 答案5－12解析依题意得x ＝c －a b －a，(c －a )2＝(b －c )(b －a )， ∵b －c ＝(b －a )－(c －a )，∴(c －a )2＝(b －a )2－(b －a )(c －a )，两边同除以(b －a )2，得x 2＋x －1＝0，解得x ＝－1±52.∵0<x <1，∴x ＝5－12.11.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋b log 3Q10(其中a 、b 是实数).据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a 、b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝－1＋log 3Q 10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，即－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q10≥3，解得Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位. 12.经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t (天)的函数，且销售量近似地满足f (t )＝－2t ＋200(1≤t ≤50，t ∈N ).前30天价格为g (t )＝12t ＋30(1≤t ≤30，t ∈N )，后20天价格为g (t )＝45(31≤t ≤50，t ∈N ).(1)写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系； (2)求日销售额S 的最大值. 解 (1)依题意得S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2t ＋200⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋301≤t ≤30，t ∈N ，45－2t ＋20031≤t ≤50，t ∈N ，即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋40t ＋6 0001≤t ≤30，t ∈N ，－90t ＋9 00031≤t ≤50，t ∈N .(2)①当1≤t ≤30，t ∈N 时，S ＝－(t －20)2＋6 400， ∴当t ＝20时，S 取得最大值为6 400. ②当31≤t ≤50，t ∈N 时，S ＝－90t ＋9 000为递减函数，∴当t ＝31时，S 取得最大值为6 210.综上知，当t ＝20时，日销售额S 有最大值6 400.*13. (2016·常州模拟)某旅游景点2016年1月份起前x 个月的旅游人数的和p (x )(单位：万人)与x 的关系近似地满足p (x )＝12x (x ＋1)(39－2x )(x ∈N *，且x ≤12).已知第x 个月的人均消费额q (x )(单位：元)与x 的近似关系是q (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧35－2x x ∈N *，且1≤x ≤6，160xx ∈N *，且7≤x ≤12.(1)写出2016年第x 个月的旅游人数f (x )(单位：人)与x 的函数关系式； (2)试问2016年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少万元？解 (1)当x ＝1时，f (1)＝p (1)＝37，当2≤x ≤12，且x ∈N *时，f (x )＝p (x )－p (x －1)＝12x (x ＋1)(39－2x )－12(x －1)x (41－2x ) ＝－3x 2＋40x ，验证x ＝1也满足此式，所以f (x )＝－3x 2＋40x (x ∈N *，且1≤x ≤12). (2)第x 个月旅游消费总额为g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x 2＋40x 35－2x x ∈N *，且1≤x ≤6，－3x 2＋40x ·160x x ∈N *，且7≤x ≤12，即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧6x 3－185x 2＋1 400x x ∈N *，且1≤x ≤6，－480x ＋6 400x ∈N *，且7≤x ≤12.①当1≤x ≤6，且x ∈N *时，g ′(x )＝18x 2－370x ＋1 400，令g ′(x )＝0，解得x ＝5或x ＝1409(舍去).当1≤x <5时，g ′(x )>0，当5<x ≤6时，g ′(x )<0，∴当x ＝5时，g (x )max ＝g (5)＝3 125(万元).②当7≤x ≤12，且x ∈N *时，g (x )＝－480x ＋6 400是减函数， ∴当x ＝7时，g (x )max ＝g (7)＝3 040(万元).综上，2016年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3 125万元.14.(2016·江苏扬州中学质检)某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30 km(忽略内、外环线长度差异).(1)当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10 min ，求内环线列车的最小平均速度；(2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为25 km/h ，外环线列车平均速度为30 km/h.现内、外环线共有18列列车投入运行，问：要使内、外环线乘客的最长候车时间之差最短，则内、外环线应各投入几列列车运行？解 (1)设内环线列车运行的平均速度为v km/h ，由题意可知309v ×60≤10⇒v ≥20.所以，要使内环线乘客最长候车时间为10 min ，列车的最小平均速度是20 km/h.(2)设内环线投入x 列列车运行，则外环线投入(18－x )列列车运行，设内、外环线乘客最长候车时间分别为t 1 min 、t 2 min ，则t 1＝3025x ×60＝72x ，t 2＝303018－x ×60＝6018－x.设内、外环线乘客的候车时间之差为t min ，于是有t ＝|t 1－t 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪72x －6018－x＝⎩⎪⎨⎪⎧72x ＋60x －18，1≤x ≤9，x ∈N *，－72x ＋60x －18，10≤x ≤17，x ∈N *，该函数在(1,9)上递减，在(10,17)上递增.又t (9)>t (10)，所以当内环线投入10列列车运行，外环线投入8列列车运行时，内、外环线乘客最长候车时间之差最短.。

2018版高考数学(江苏专用理科)大一轮复习配套作业第二章函数概念与基本初等函数2-8Word版含答案

第8讲函数与方程基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点为________．解析由已知得b ＝－2a ，所以g (x )＝－2ax 2－ax ＝－a (2x 2＋x )．令g (x )＝0，得x 1＝0，x 2＝－12.答案 0，－122．(2017·苏州期末)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,2)内的零点个数是________．解析因为函数y ＝2x ，y ＝x 3在R 上均为增函数，故函数f (x )＝2x ＋x 3－2在R 上为增函数，又f (0)＜0，f (2)＞0，故函数f (x )＝2x＋x 3－2在区间(0,2)内只有一个零点．答案 13．函数f (x )＝|x |－k 有两个零点，则实数k 的取值范围是________．解析函数f (x )＝|x |－k 的零点就是方程|x |＝k 的根，在同一坐标系内作出函数y ＝|x |，y ＝k 的图象，如图所示，可得实数k 的取值范围是(0，＋∞)．答案 (0，＋∞)4．(2017·徐州月考)若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)内存在一个零点，则a 的取值范围是________．解析当a ＝0时，f (x )＝1与x 轴无交点，不合题意，所以a ≠0；函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)内是单调函数，所以f (－1)·f (1)＜0，即(5a －1)(a ＋1)＞0，解得a ＜－1或a ＞15.答案 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ 5．若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的取值为________．解析当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根．∴Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14.综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点．答案 0或－146．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________.解析求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e ＝1，所以f (2)＜0，f (3)＝2＋ln 3＞0，所以函数f (x )的零点位于区间(2,3)内，故n ＝2.答案 27．(2015·湖北卷)函数f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________．解析 f (x )＝4cos 2x2sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x2－1－|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|，令f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.在同一坐标系中作出两个函数y ＝sin 2x 与函数y ＝|ln(x ＋1)|的大致图象如图所示．观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f (x )有2个零点．答案 28．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图．由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得：0＜m ＜1，即m ∈(0,1)．答案 (0,1) 二、解答题9．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e2x(x ＞0)．(1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．解 (1)法一 ∵g (x )＝x ＋e2x≥2e 2＝2e ，图1等号成立的条件是x ＝e ，故g (x )的值域是12．(2017·镇江调研)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x >0，12－12＋x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝kx －k 至少有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为________．解析关于x 的方程f (x )＝k (x －1)至少有两个不相等的实数根，即y ＝f (x )与y ＝k (x －1)的图象至少有两个不同的交点，作出函数图象如图，函数在点(1,0)处的切线斜率为1，即当k ＝1时，方程f (x )＝k (x －1)只有一个实数根，当直线y ＝k (x －1)经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12时，k ＝－13，故实数k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1∪(1，＋∞)．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1∪(1，＋∞)13．(2016·山东卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．解析在同一坐标系中，作y ＝f (x )与y ＝b 的图象．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0. 又m >0，解得m >3. 答案 (3，＋∞)14．(2017·南通阶段检测)是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．解令f (x )＝0，则Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝9a 2－16a ＋8＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫a －892＋89＞0恒成立，即f (x )＝0有两个不相等的实数根，∴若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可．f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，∴a ≤－15或a ≥1.检验：(1)当f (－1)＝0时，a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x . 令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1. 方程在上有两个实数根，不合题意，故a ≠1. (2)当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解得x ＝－25或x ＝3.方程在上有两个实数根，不合题意，故a ≠－15.综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－15∪(1，＋∞).。

2018版高考数学江苏专用文科大一轮复习讲义：第二章

第2讲函数的单调性与最值基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是上的最大值为________．解析由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.答案 6 4．(2017·南京、盐城模拟)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －log 2(x ＋2)在区间上的最大值为________．解析由于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在上递增，所以f (x )在上单调递减，故f (x )在上的最大值为f (－1)＝3.答案 35．函数f (x )＝log (x 2－4)的单调递增区间为________．解析因为y ＝log t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．答案 (－∞，－2)6．f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是________．解析 2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f ≤f (9)，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，x －8>0，x x －≤9，解得8<x ≤9.答案 (8,9] 7．(2017·无锡期末)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.答案 (－∞，1]∪(a 为实数)．(1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的值域；(2)求函数y ＝f (x )在区间(0,1]上的最大值及最小值，并求出当函数f (x )取得最值时x 的值．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝2x －1x，任取1≥x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝2(x 1－x 2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2 ＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1x 1x 2.∵1≥x 1＞x 2＞0，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0.∴f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0,1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值1，所以f (x )的值域为(－∞，1]．(2)当a ≥0时，y ＝f (x )在(0,1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值2－a ；当a ＜0时，f (x )＝2x ＋－a x，当－a2≥1，即a ∈(－∞，－2]时，y ＝f (x )在(0,1]上单调递减，无最大值，当x ＝1时取得最小值2－a ；当－a 2＜1，即a ∈(－2,0)时，y ＝f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，－a 2上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a 2，1上单调递增，无最大值，当x ＝－a2时取得最小值2－2a . 能力提升题组(建议用时：20分钟) 11．(2017·泰州一检)若函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)在上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在，即－b 2＋4b －3>－1，即b 2－4b ＋2<0，解得2－2b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．解析依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2.当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数，当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数，∴h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1.答案 114．已知函数f (x )＝lg(x ＋a x－2)，其中a 是大于0的常数．(1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．解 (1)由x ＋a x －2＞0，得x 2－2x ＋a x＞0，当a ＞1时，x 2－2x ＋a ＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)，当a ＝1时，定义域为{x |x ＞0且x ≠1}，当0＜a ＜1时，定义域为{x |0＜x ＜1－1－a 或x ＞1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x－2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时， ∴g ′(x )＝1－a x 2＝x 2－a x 2>0. 因此g (x )在[2，＋∞)上是增函数，∴f (x )在[2，＋∞)上是增函数．则f (x )min ＝f (2)＝ln a 2. (3)对任意x ∈[2，＋∞)，恒有f (x )>0.即x ＋a x－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立．∴a >3x －x 2.令h (x )＝3x －x 2，x ∈[2，＋∞)．由于h (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋94在[2，＋∞)上是减函数， ∴h (x )max ＝h (2)＝2.故a >2时，恒有f (x )>0.因此实数a 的取值范围为(2，＋∞).。

精选江苏专用2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.1函数及其表示教师用书理苏教版

第二章函数概念与基本初等函数I 2.1 函数及其表示教师用书理苏教版1.函数与映射2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为函数y＝f(x)的定义域；将所有y 组成的集合叫做函数y＝f(x)的值域.(2)函数的三要素：定义域、对应法则和值域.(3)函数的表示法表示函数的常用方法有列表法、解析法和图象法.3.分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，这样的函数，通常叫做分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.【知识拓展】求函数定义域常见结论(1)分式的分母不为零；(2)偶次根式的被开方数不小于零；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1； (5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z )；(6)零次幂的底数不能为零；(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数f ：A →B ，其值域是集合B .( × )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数.( × ) (3)映射是特殊的函数.( × )(4)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的映射.( × ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的.( × )1.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x －∞，a ，x 2，x ∈[a ，＋若f (2)＝4，则a 的取值范围为________.答案 (－∞，2]解析因为f (2)＝4，所以2∈[a ，＋∞)，所以a ≤2，则a 的取值范围为(－∞，2]. 2.(2016·江苏)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________. 答案 [－3，1]解析要使原函数有意义，需满足3－2x －x 2≥0，解得－3≤x ≤1，故函数的定义域为[－3，1]. 3.(教材改编)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为________. 答案 0解析由题意得，g (π)＝0， ∴f (g (π))＝f (0)＝0.4.(教材改编)如果f (1x )＝x1－x ，则当x ≠0，1时，f (x )＝________.答案1x －1解析令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f (1x )＝x1－x，则有f (t )＝1t 1－1t＝1t －1，∴f (x )＝1x －1.5.已知f (x )＝1x ＋1，则f (f (x ))的定义域为________. 答案 {x |x ≠－2且x ≠－1} 解析因为f (x )＝1x ＋1，所以f (x )的定义域为{x |x ≠－1}，则在f (f (x ))中，f (x )≠－1，即1x ＋1≠－1，解得x ≠－2，所以f (f (x ))的定义域为{x |x ≠－2且x ≠－1}.题型一函数的概念例1 有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －x表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.其中正确判断的序号是________. 答案 ②③解析对于①，由于函数f (x )＝|x |x的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，－x的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应法则均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是②③.思维升华函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定，当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数.值得注意的是，函数的对应法则是就结果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同).(1)(2016·南京模拟)下列所给图象中函数图象的个数为________.(2)下列各组函数中，表示同一个函数的是________.①y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1；②y ＝x 0和y ＝1；③f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2； ④f (x )＝x 2x和g (x )＝x x2.答案 (1)2 (2)④解析 (1)①中当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象，②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象.(2)①中两个函数的定义域不同；②中y ＝x 0的x 不能取0；③中两函数的对应法则不同. 题型二函数的定义域问题命题点1 求函数的定义域例2 (1)(教材改编)函数f (x )＝x －4－2x的定义域用区间表示为____________.(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f x x －1的定义域是________.答案 (1)[0，1)∪(1，2) (2)[0，1)解析 (1)要使函数有意义，需满足⎩⎨⎧x －1≠0，x ≥0，4－2x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠1，x ≥0，x <2.∴函数f (x )的定义域为[0，1)∪(1，2). (2)由0≤2x ≤2，得0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1，所以0≤x ＜1，即g (x )的定义域为[0，1). 引申探究例2(2)中，若将“函数y ＝f (x )的定义域为[0，2]”改为“函数y ＝f (x ＋1)的定义域为[0，2]”，则函数g (x )＝f x x －1的定义域为________________.答案 [12，1)∪(1，32]解析由函数y ＝f (x ＋1)的定义域为[0，2]，得函数y ＝f (x )的定义域为[1，3]，令⎩⎪⎨⎪⎧1≤2x ≤3，x －1≠0，得12≤x ≤32且x ≠1， ∴g (x )的定义域为[12，1)∪(1，32].命题点2 已知函数的定义域求参数范围例3 (1)若函数f (x )R ，则a 的取值范围为________.(2)若函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________.答案 (1)[－1，0] (2)[0，3) 解析 (1)因为函数f (x )的定义域为R ，所以222x ax a+-－1≥0对x ∈R 恒成立，即222x ax a+-≥20，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0. (2)因为函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋3＝0无实数解，即函数t ＝ax 2＋2ax ＋3的图象与x 轴无交点. 当a ＝0时，函数y ＝3的图象与x 轴无交点；当a ≠0时，则Δ＝(2a )2－4·3a <0，解得0<a <3. 综上所述，a 的取值范围是[0，3).思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍.(2)求抽象函数的定义域：①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域.(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解.(1)已知函数f (x )的定义域为[3，6]，则函数y＝______________. (2)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是______________.答案 (1)[32，2) (2)[0，34)解析 (1)要使函数y需满足⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ≤6，12log －x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧32≤x ≤3，0<2－x <1⇒32≤x <2. (2)要使函数的定义域为R ，则mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立. ①当m ＝0时，得到不等式3≠0，恒成立； ②当m ≠0时，要使不等式恒成立，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m2－4×m ×3<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，m m－或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m m－解得0<m <34.由①②得0≤m ＜34.题型三求函数解析式例4 (1)已知f (2x＋1)＝lg x ，则f (x )＝________.(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. (3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1x)x －1，则f (x )＝________.答案 (1)lg2x －1(x >1) (2)2x ＋7 (3)23x ＋13解析 (1)(换元法)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1). (2)(待定系数法) 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17，不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. (3)(消去法)在f (x )＝2f (1x )x －1中，用1x代替x ，得f (1x )＝2f (x )1x－1，将f (1x)＝2f x x－1代入f (x )＝2f (1x )x －1中，可求得f (x )＝23x ＋13.思维升华函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)消去法：已知f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x ).(1)已知f (x －1x )＝x 2＋1x2，求f (x )；(2)已知一次函数f (x )满足f (f (x ))＝4x －1，求f (x )； (3)已知f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1，求f (x ). 解 (1)设x －1x ＝t ，则x 2＋1x 2＝(x －1x)2＋2，∴f (t )＝t 2＋2，∴f (x )＝x 2＋2.(2)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f (f (x ))＝k 2x ＋kb ＋b ，即k 2x ＋kb ＋b ＝4x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，kb ＋b ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝1.故f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.(3)以－x 代替x 得f (－x )＋3f (x )＝－2x ＋1，∴f (－x )＝－3f (x )－2x ＋1，代入f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1可得f (x )＝－x ＋14.2.分类讨论思想在函数中的应用典例 (1)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为______________.(2)(2015·山东改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是____________.思想方法指导 (1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，通过分类讨论求解； (2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围.解析 (1)当a >0时，1－a <1，1＋a >1，由f (1－a )＝f (1＋a )，可得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，解得a ＝－32，不合题意.当a <0时，1－a >1，1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )，可得－(1－a )－2a ＝2(1＋a )＋a ，解得a ＝－34，符合题意.(2)由f (f (a ))＝2f (a )，得f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1.当a ≥1时，有2a≥1，∴a ≥0，∴a ≥1.综上，a ≥23.答案 (1)－34 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞1.下列各组函数中，表示同一函数的是________.①y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3；②y ＝x 2－1与y ＝x －1； ③y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)； ④y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z . 答案 ③解析 ①中两函数的定义域不同；②，④中两函数的对应法则不同. 2.(2016·江苏苏锡常镇调研)函数f (x )＝x －x 2x －1的定义域为__________.答案 (0，1)∪(1，2)解析由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 2>0，x －1≠0，解得0<x <1或1<x <2，故所求函数的定义域为(0，1)∪(1，2). 3.给出下列函数：①f (x )＝|x |；②f (x )＝x －|x |；③f (x )＝x ＋1；④f (x )＝－x .其中满足f (2x )＝2f (x )的是________.(填序号) 答案 ①②④解析将f (2x )表示出来，看与2f (x )是否相等. 对于①，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于②，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )；对于③，f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )；对于④，f (2x )＝－2x ＝2f (x ). 故只有③不满足f (2x )＝2f (x ).4.(2016·南通模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧πx 2，－1<x <0，e x －1，x ≥0满足f (1)＋f (a )＝2，则a 所有可能的值为________.答案 1或－22解析 ∵f (1)＝e 1－1＝1且f (1)＋f (a )＝2，∴f (a )＝1，当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1， ∵0<a 2<1，∴0<πa 2<π， ∴πa 2＝π2⇒a ＝－22；当a ≥0时，f (a )＝ea －1＝1⇒a ＝1.5.设f (x )＝lg 2＋x 2－x ，则f (x 2)＋f (2x )的定义域为____________.答案 (－4，－1)∪(1，4)解析 ∵2＋x 2－x ＞0，∴－2＜x ＜2，∴－2＜x 2＜2且－2＜2x ＜2，解得－4＜x ＜－1或1＜x ＜4，∴所求的定义域为(－4，－1)∪(1，4).6.(2016·江苏淮阴中学期中)从集合A 到集合B 的映射f ：x →x 2＋1，若A ＝{－2，－1，0，1，2}，则B 中至少有________个元素. 答案 3解析根据映射的定义可得x ＝±2→y ＝5，x ＝±1→y ＝2，x ＝0→y ＝1，所以集合B 为{1，2，5}，故集合B 中至少有3个元素.7.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2， x ≤0，－x 2， x ＞0.若f (f (a ))＝2，则a ＝________.答案 2解析当a ＞0时，f (a )＝－a 2＜0，f (f (a ))＝a 4－2a 2＋2＝2，解得a ＝2(a ＝0与a ＝－2舍去)；当a ≤0时，f (a )＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1＞0，f (f (a ))＝－(a 2＋2a ＋2)2＝2，此方程无解.8.(2016·苏州暑假测试)已知实数m ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －m ，x ≤2，－x －2m ，x >2，若f (2－m )＝f (2＋m )，则m 的值为____________. 答案 8或－83解析当m >0时，2－m <2，2＋m >2，所以3(2－m )－m ＝－(2＋m )－2m ，所以m ＝8；当m <0时，2－m >2，2＋m <2，所以3(2＋m )－m ＝－(2－m )－2m ，所以m ＝－83.9.(2015·浙江)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2x－3，x ≥1，x 2＋，x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________.答案 0 22－3解析 ∵f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1，∴f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x －3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号，此时f (x )min ＝22－3<0；当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，此时f (x )min ＝0.∴f (x )的最小值为22－3. *10.具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是________.答案 ①③解析对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足. 综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.11.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ f x ＋，－2<x <0，2x ＋1，0≤x ＜2，x 2－1，x ≥2.(1)求f (－32)的值； (2)若f (a )＝4且a >0，求实数a 的值. 解 (1)由题意，得f (－32)＝f (－32＋1)＝f (－12) ＝f (－12＋1)＝f (12)＝2×12＋1＝2. (2)当0<a <2时，由f (a )＝2a ＋1＝4，得a ＝32，当a ≥2时，由f (a )＝a 2－1＝4，得a ＝5或a ＝－5(舍去)，综上所述，a ＝32或a ＝ 5.。

2018版高考数学(江苏专用理科)大一轮复习配套作业第二章函数概念与基本初等函数2-1Word版含答案

第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ 第1讲函数的概念及其表示法基础巩固题组(建议用时：25分钟)1．(2017·扬州中学质检)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是________．解析使函数f (x )有意义需满足x 2＋2x －3>0，解得x >1或x <－3，所以f (x )的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．答案 (－∞，－3)∪(1，＋∞)2．(2017·衡水中学月考)设f ，g 都是由A 到A 的映射，其对应法则如下：映射f 的对应法则则f 解析由映射g 的对应法则，可知g (1)＝4，由映射f 的对应法则，知f (4)＝1，故f ＝1. 答案 13．(2016·江苏卷)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________．解析要使函数有意义，则3－2x －x 2≥0， ∴x 2＋2x －3≤0，解之得－3≤x ≤1. 答案4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 3，x <0，－tan x ，0≤x <π2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－tan π4＝－1.∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝f (－1)＝2×(－1)3＝－2. 答案－25．已知f (x )是一次函数，且f ＝x ＋2，则f (x )＝________.解析设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，又f ＝x ＋2，得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2. ∴k 2＝1，且kb ＋b ＝2，解得k ＝b ＝1. 答案 x ＋16．(2017·盐城中学一模)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x x，log 3x x，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝________.解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9. 答案 97．(2016·全国Ⅱ卷改编)在函数①y ＝x ；②y ＝lg x ；③y ＝2x；④y ＝1x中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的有________(填序号)．解析函数y ＝10lg x的定义域、值域均为(0，＋∞)，而y ＝x ，y ＝2x的定义域均为R ；y＝lg x 的值域为R ，y ＝1x的定义域和值域为(0，＋∞)．答案 ④8．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝(表示不大于x 的最大整数)可以表示为________(填序号)．①y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10；②y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310；③y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋410；④y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋510. 解析设x ＝10m ＋α(0≤α≤9，m ，α∈N )，当0≤α≤6时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋α＋310＝m ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10，当6<α≤9时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋310＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋α＋310＝m ＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 10＋1. 答案 ②9．(2016·江苏卷)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间．答案 (0,1]14．(2015·湖北卷改编)设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.给出下列四个结论：①|x |＝x |sgn x |；②|x |＝x sgn|x |；③|x |＝|x |sgn x ；④|x |＝x sgn x . 其中正确的结论是________(填序号)．解析当x >0时，|x |＝x ，sgn x ＝1，则|x |＝x sgn x ；当x <0时，|x |＝－x ，sgn x ＝－1，则|x |＝x sgn x ；当x ＝0时，|x |＝x ＝0，sgn x ＝0，则|x |＝x sgn x . 答案 ④15．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是________．解析由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1.当a ≥1时，有2a≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ 16．(2015·浙江卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－3，x ≥1，x 2＋，x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．解析 ∵f (－3)＝lg ＝lg 10＝1， ∴f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x－3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号，此时f (x )min ＝22－3<0；当x <1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，此时f (x )min ＝0.∴f (x )的最小值为22－3. 答案 0 22－3。

精选江苏专用2018版高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2.6对数与对数函数教师用书理苏教版

第二章函数概念与基本初等函数I 2.6 对数与对数函数教师用书理苏教版1.对数的概念一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b＝N ，那么就称b 是以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，N 叫做真数. 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R ). (2)对数的性质 ①log a Na＝N ；②log a a N＝N (a >0且a ≠1).(3)对数的换底公式log a N ＝log c Nlog c a (其中a >0，a ≠1；N >0，c >0，c ≠1).3.对数函数的图象与性质4.指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称. 【知识拓展】1.换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log b a； (2)log m na b ＝n mlog a b .其中a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，m ，n ∈R . 2.对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0<c <d <1<a 0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × ) (2)log a x ·lo g a y ＝log a (x ＋y ).( × )(3)函数y ＝log 2x 及y ＝13log 3x 都是对数函数.( × )(4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数.( × ) (5)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同.( √ )(6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图象只在第一、四象限.( √ )1.(教材改编)log 2716log 34的值为.答案 23解析原式＝lg 16lg 27lg 4lg 3＝lg 16·lg 3lg 27·lg 4＝2lg 4·lg 33lg 3·lg 4＝23.2.(2016·常州期末)函数f (x )＝log 2(－x 2＋22)的值域为. 答案 (－∞，32]解析由题意可得－x 2＋22>0，即－x 2＋22∈(0，22]，故所求函数的值域为(－∞，32].3.(2016·课标全国Ⅰ改编)若a >b >0，0<c <1，则log c a 与log c b 的大小关系为. 答案 log c a <log c b解析 ∵0<c <1，∴y ＝log c x 在(0，＋∞)上单调递减，又a >b >0，∴log c a <log c b . 4.(2017·徐州月考)函数y ＝log 0.5x －的定义域为.答案 (34，1]解析由log 0.5(4x －3)≥0且4x －3>0，得34<x ≤1.5.(教材改编)若log a 34<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)解析当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，∴0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，∴a >1.∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞).题型一对数的运算例1 计算下列各式：(1)12lg 25＋lg 2＋lg 10＋lg(0.01)－1； (2)2log 32－log 3329＋log 38－3log 55.解 (1)原式＝lg 112122[25210(10)]--⨯⨯⨯＝lg(5×2×1210×102) ＝lg 7210＝72.(2)原式＝log 322＋log 3(32×2－5)＋log 323－3 ＝log 3(22×32×2－5×23)－3 ＝log 332－3 ＝2－3＝－1.思维升华对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并.(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.(1)若a ＝log 43，则2a ＋2－a＝.(2)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋22－lg 2＋1＝.答案 (1)433(2)1解析 (1)∵a ＝log 43＝22log 3＝12log 23＝log 23，∴2a＋2－a＝log log 22-+＝3＋log 2＝3＋33＝433. (2)原式＝2×(12lg 2)2＋12lg 2×lg 5＋2－2＝12lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－12lg 2 ＝12lg 2＋1－12lg 2＝1. 题型二对数函数的图象及应用例2 (1)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是.①a >1，c >1; ②a >1，0<c <1； ③0<a <1，c >1; ④0<a <1，0<c <1.(2)(2016·宿迁模拟)当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是.答案 (1)④ (2)(22，1) 解析 (1)由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0<a <1，∵图象与x 轴的交点在区间(0，1)之间，∴该函数的图象是由函数y ＝log a x 的图象向左平移不到1个单位后得到的，∴0<c <1.(2)构造函数f (x )＝4x和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在(0，12]上的图象，可知f (12)<g (12)，即2<log a 12，则a >22，所以a 的取值范围为(22，1).思维升华 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.(1)若函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是.(2)已知f (x )＝|lg x |，若1c>a >b >1，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系是.答案 (1)② (2)f (c )>f (a )>f (b )解析 (1)由题意y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过(3，1)点，可解得a ＝3.①中，y ＝3－x ＝(13)x ，显然图象错误；②中，y ＝x 3，由幂函数图象性质可知正确；③中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；④中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符. (2)先作出函数y ＝lg x 的图象，再将图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折到上方，这样，我们便得到了y ＝|lg x |的图象，如图.由图可知，f (x )＝|lg x |在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，于是f (1c)＞f (a )＞f (b )，而f (1c )＝|lg 1c|＝|－lg c |＝|lg c |＝f (c ).所以f (c )＞f (a )＞f (b ).题型三对数函数的性质及应用命题点1 比较对数值的大小例3 (2015·天津改编)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为.答案 c ＜a ＜b 解析由f (x )＝2|x －m |－1是偶函数可知m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1. 所以a ＝f (log 0.53)＝0.52log 3log 321=2-－1＝2，b ＝f (log 25)＝2log 52－1＝2log 52－1＝4，c ＝f (0)＝2|0|－1＝0，所以c <a f (－a )，则实数a 的取值范围是.答案 (1)(0，23)∪(1，＋∞) (2)(－1，0)∪(1，＋∞)解析 (1)当a >1时，函数y ＝log a x 在定义域内为增函数，所以log a 23<log a a 总成立.当0<a <1时，函数y ＝log a x 在定义域内是减函数，由log a 23<log a a ，得a <23，故0<a <23.综上，a 的取值范围为(0，23)∪(1，＋∞).(2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2a >－log 2a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，12log －a2－a解得a >1或－1<a <0.命题点3 和对数函数有关的复合函数例5 已知函数f (x )＝log a (3－ax ).(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由. 解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ，则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ，当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义，即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立. ∴3－2a >0，∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a 的取值范围为(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数. ∵f (x )在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1，2]时，t (x )的最小值为3－2a ，f (x )的最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a－a ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1. 思维升华 (1)对数值大小比较的主要方法①化同底数后利用函数的单调性； ②化同真数后利用图象比较；③借用中间量(0或1等)进行估值比较.(2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题.(1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是.(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为. 答案 (1)[0，＋∞) (2)[1，2) 解析 (1)当x ≤1时，21－x≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1；当x >1时，1－log 2x ≤2，解得x ≥12，所以x >1.综上可知x ≥0.(2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1，2).3.比较指数式、对数式的大小考点分析比较大小问题是每年高考的必考内容之一：(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法.(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.典例 (1)(2016·全国乙卷改编)若a >b >0，0<c <1，则下列不等式正确的是. ①log a c <log b c; ②log c a <log c b ； ③a c c b.(2)(2016·南京模拟)若a ＝20.3，b ＝log π3，c ＝log 4cos 100，则a ，b ，c 的大小关系为. (3)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2，则下列关系中不可能成立的是. ①a b >0，所以lg a >lg b ，但不能确定lg a 、lg b 的正负，所以它们的大小不能确定，所以①错；对②：log c a ＝lg a lg c ，log c b ＝lg blg c，而lg a >lg b ，两边同乘以一个负数1lg c 改变不等号方向，所以②正确；对③：由y ＝x c在第一象限内是增函数，即可得到a c >b c，所以③错；对④：由y ＝c x在R 上为减函数，得c a <c b，所以④错.(2)因为20.3>20＝1，0＝log π1<log π3<log ππ＝1， log 4cos 100<log 41＝0，所以a >b >c .(3)由log a 2<log b 2<log c 2的大小关系，可知a ，b ，c 有如下四种可能：①1<c b >c (3)①1.(教材改编)给出下列4个等式：①log 253＝3log 25；②log 253＝5log 23；③log 84＝23；④4＝4.其中正确的等式是.(写出所有正确的序号) 答案 ①③④解析 ②中52log 3＝15log 23，故②不正确，①③④都正确.2.设a ＝log 37，b ＝21.1，c ＝0.83.1，则a ，b ，c 的大小关系为. 答案 c <a <b解析 ∵a ＝log 37，∴1<a <2. ∵b ＝21.1，∴b >2. ∵c ＝0.83.1，∴0<c <1. 即c <a 1，则f (2 018)＝.答案 2 019解析由已知f (2 018)＝f (2 017)＋1 ＝f (2 016)＋2＝f (2 015)＋3＝…＝f (1)＋2 017＝log 2(5－1)＋2 017＝2 019.5.定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1，0)时，f (x )＝2x＋15，则f (log 220)＝.答案－1解析由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，因为4＜log 220＜5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f (log 245)＝24log 51(2)5-+＝－1.6.若函数f (x )＝log a (x 2＋32x )(a >0，a ≠1)在区间(12，＋∞)内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为. 答案 (0，＋∞)解析令M ＝x 2＋32x ，当x ∈(12，＋∞)时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1，所以函数y＝log a M 为增函数，又M ＝(x ＋34)2－916，因此M 的单调递增区间为(－34，＋∞).又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32，所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞). 7.(2015·安徽)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝.答案－1解析 lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 52＋lg 22－2＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫52×4－2＝1－2＝－1. 8.(2016·浙江)已知a >b >1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝，b ＝.答案 4 2解析令log a b ＝t ，∵a >b >1，∴0<t <1，由log a b ＋log b a ＝52，得t ＋1t ＝52，解得t ＝12或t ＝2(舍去)，即log a b ＝12，∴b ＝a ，又a b ＝b a，∴＝(a )a ，即2a a =，亦即a ＝a2，解得a ＝4，∴b ＝2.9.已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间[12，23]上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是.答案 (13，1)解析当0<a <1时，函数f (x )在区间[12，23]上是减函数，所以log a (43－a )>0，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间[12，23]上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解.综上所述，实数a 的取值范围是(13，1).*10.(2016·南通模拟)关于函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0，x ∈R )有下列命题：①函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称；②在区间(－∞，0)上，函数y ＝f (x )是减函数； ③函数f (x )的最小值为lg 2；④在区间(1，＋∞)上，函数f (x )是增函数. 其中是真命题的序号为. 答案 ①③④解析 ∵函数f (x )＝lg x 2＋1|x |(x ≠0，x ∈R )，显然f (－x )＝f (x )，即函数f (x )为偶函数，图象关于y 轴对称，故①正确；当x >0时，f (x )＝lg x 2＋1|x |＝lg x 2＋1x ＝lg(x ＋1x)，令t (x )＝x ＋1x ，x >0，则t ′(x )＝1－1x2，可知当x ∈(0，1)时，t ′(x )<0，t (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，t ′(x )>0，t (x )单调递增，即在x ＝1处取得最小值为2.由偶函数的图象关于y 轴对称及复合函数的单调性可知②错误，③正确，④正确，故答案为①③④. 11.(2016·镇江期末)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－log 2x ，则不等式f (x )<0的解集是. 答案 (－2，0)∪(2，＋∞)解析当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝log 2(－x )－1， f (x )<0，即log 2(－x )－1<0，解得－2<x <0；当x >0时，f (x )＝1－log 2x ，f (x )<0，即1－log 2x <0，解得x >2，综上，不等式f (x )<0的解集是(－2，0)∪(2，＋∞).12.(2016·江苏运河中学一诊)已知f (x )＝log 2(x －2)，若实数m ，n 满足f (m )＋f (2n )＝3，则m ＋n 的最小值是. 答案 7解析由f (m )＋f (2n )＝3，得log 2[(m －2)(2n －2)]＝3⇒(m －2)(2n －2)＝23，即(m －2)(n －1)＝4，由已知得m >2，n >1，由基本不等式得(m －2＋n －12)2≥4(当且仅当m －2＝n －1＝2，即m ＝4，n ＝3时等号成立)，从而m ＋n ≥7.故m ＋n 的最小值是7.*13.已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x .(1)当x ∈[1，4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域；(2)如果对任意的x ∈[1，4]，不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立，求实数k 的取值范围. 解 (1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2，因为x ∈[1，4]，所以log 2x ∈[0，2]，故函数h (x )的值域为[0，2]. (2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x )，得(3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ，令t ＝log 2x ，因为x ∈[1，4]，所以t ＝log 2x ∈[0，2]，所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈[0，2]恒成立， ①当t ＝0时，k ∈R ；②当t ∈(0，2]时，k <－4t －tt恒成立，即k <4t ＋9t－15，因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号，所以4t ＋9t－15的最小值为－3.综上，实数k 的取值范围为(－∞，－3). *14.(2016·盐城模拟)已知函数f (x )＝lnx ＋1x －1. (1)求函数f (x )的定义域，并判断函数f (x )的奇偶性； (2)对于x ∈[2，6]，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln mx －－x恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)由x ＋1x －1>0，解得x <－1或x >1， ∴函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f (－x )＝ln－x ＋1－x －1＝ln x －1x ＋1＝ln(x ＋1x －1)－1 ＝－lnx ＋1x －1＝－f (x )， ∴f (x )＝lnx ＋1x －1是奇函数. (2)由于x ∈[2，6]时，f (x )＝ln x ＋1x －1>ln mx －－x恒成立，∴x ＋1x －1>mx －－x>0，∵x ∈[2，6]，∴0<m <(x ＋1)(7－x )在x ∈[2，6]上恒成立. 令g (x )＝(x ＋1)(7－x ) ＝－(x －3)2＋16，x ∈[2，6]，由二次函数的性质可知，x ∈[2，3]时函数g (x )单调递增，x ∈[3，6]时函数g (x )单调递减，即x ∈[2，6]时，g (x )min ＝g (6)＝7， ∴0<m <7.。

2018届江苏高考数学一轮复习课件函数的图象与性质

利用函数图象研究方程的解、不等式的解集等是高考的热点，多以填空题的形式出现，属中档题目，主要考查学生的数形结合意识以及用图象解答问题的能力．
1 0，2， cos πx，x∈ 已知 f(x)为偶函数，当 x≥0 时，f(x)＝则 1 2x－1，x∈ ，＋∞， 2
象恰有两个交点，借助函数图象(图略)可知 k≥2 或 k＝0，即实数 k 的取值范围为 k＝0 或 k≥2.
[ 规律方法] 1.利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性． 2．有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数图象的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值或范围． 3．有关不等式的问题常常转化为两个函数图象的上、下关系来解．
|a－1|
1 1 3 ＜ 2，即|a－1|＜2，所以2＜a＜2.]
☞角度 2
奇偶性与周期性结合
(2017· 南通二模)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对于任意的 x ∈[0，＋∞)，满足 f(x＋2)＝f(x)，若当 x∈[0,2)时，f(x)＝|x2－x－1|，则函数 y ＝f(x)－1 在区间[ －2,4] 上的零点个数为________．
7 [由 f(x＋2)＝f(x)可知，f(x)在[0，＋∞)上是周期为 2 的函数，又 x∈[0,2)时，f(x)＝|x2－x－1|，且 f(x)为偶函数，故 f(x)在[ －2,4] 上的图象如图所示．由图可知 y＝f(x)与 y＝1 有 7 个交点，故函数 y＝f(x)－1 在区间[ －2,4] 上有 7 个零点． ]
－ ∞，0)上单调递增．若实数 a 满足 f(2|a 1|)>f(－ 2)，则 a 的取值范围是________．

2018版高考数学江苏专用文科大一轮复习讲义：第二章

第7讲函数的图象基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(2017·扬州一检)把函数y＝(x－2)2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数解析式是________．解析把函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位，即把其中x换成x＋1，于是得y＝2＋2＝(x－1)2＋2，再向上平移1个单位，即得到y＝(x－1)2＋2＋1＝(x－1)2＋3.答案y＝(x－1)2＋32．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是________(填序号)．解析小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，排除①.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，排除④.后来为了赶时间加快速度行驶，排除②.故填③.答案③3．已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝log 2 f(x)的定义域是________．解析当f(x)>0时，函数g (x )＝log 2f (x )有意义，由函数f (x )的图象知满足f (x )>0的x ∈(2,8]．答案 (2,8]4．(2015·浙江卷改编)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为________(填序号)．解析 (1)因为f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1x cos(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x ＝－f (x )，－π≤x ≤π且x ≠0，所以函数f (x )为奇函数，排除①，②.当x ＝π时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1πcos π<0，排除③，故填④. 答案 ④5．(2017·桂林一调改编)函数y ＝(x 3－x )2|x |的图象大致是________(填序号)．解析由于函数y ＝(x 3－x )2|x |为奇函数，故它的图象关于原点对称．当0<x <1时，y <0；当x >1时，y >0. 排除①③④，故填②. 答案 ②6．(2017·南师附中调研)使log 2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值范围是________．解析在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1,0)．答案 (－1,0) 7．如图，定义在，．(3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1，当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3. 10．已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)作出函数f (x )的图象；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}．解(1)当x 2－4x ＋3≥0时，x ≤1或x ≥3，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，－x 2＋4x －3，1<x <3，∴f (x )的图象为：(2)由函数的图象可知f (x )的单调区间是(－∞，1]，(2,3)，(1,2]，，(2,3)是减区间；(1,2]，上的值不小于6，求实数a 的取值范围．解 (1)设f (x )图象上任一点坐标为(x ，y )，∵点(x ，y )关于点A (0,1)的对称点(－x,2－y )在h (x )的图象上， ∴2－y ＝－x ＋1－x ＋2，∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x.(2)由题意g (x )＝x ＋a ＋1x，且g (x )＝x ＋a ＋1x≥6，x ∈(0,2]． ∵x ∈(0,2]，∴a ＋1≥x (6－x )，即a ≥－x 2＋6x －1. 令q (x )＝－x 2＋6x －1，x ∈(0,2]，q (x )＝－x 2＋6x －1＝－(x －3)2＋8，∴当x ∈(0,2]时，q (x )是增函数，q (x )max ＝q (2)＝7. 故实数a 的取值范围是[7，＋∞).。

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