多物体碰撞

1.（重庆第25题）某兴趣小组设计了一种实验装置，用来研究碰撞问题，其模型如图所示不用完全相同的轻绳将N个大小相同、质量不等的小球并列悬挂于一水平杆、球间有微小间隔，从左到右，球的编号依次为1、2、3……N，球的质量依次递减，每球质量与其相邻左

球质量之比为k（k＜1。将1号球向左拉起，然后由静止释放，使其与2号球碰撞，2号

球再与3号球碰撞……所有碰撞皆为无机械能损失的正碰。（不计空气阻力，忽略绳的伸长，g取10m/s2）

（1）设与n+1号球碰撞前，n号球的速度为v n，求n+1号球碰撞后的速度。

（2）若N＝5，在1号球向左拉高h的情况下，要使5号球碰撞后升高16h（16h小于绳长），问k值为多少？

（3）在第（2）问的条件下，悬挂哪个球的绳最容易断。为什么？

解：（1）设n号球质量为m，n+1，碰撞后的速度分别为取水平向右为正方向，据题意有n号球与n+1号球碰撞前的速度分别为v n、0、m n+1

根据动量守恒，有①

根据机械能守恒，有=②

由①、②得

设n+1号球与n+2号球碰前的速度为E n+1

据题意有v n-1=

得v n-1==③

（2）设1号球摆至最低点时的速度为v1，由机械能守恒定律有

④

v1=⑤

同理可求，5号球碰后瞬间的速度

⑥

由③式得⑦

N=n=5时，v5=⑧

由⑤、⑥、⑧三式得

k=⑨

（3）设绳长为l，每个球在最低点时，细绳对球的拉力为F，由牛顿第二定律有

⑩

则⑾

⑾式中E kn为n号球在最低点的动能

由题意1号球的重力最大，又由机械能守恒可知1号球在最低点碰前的动能也最大，根据⑾式可判断在1号球碰前瞬间悬挂1号球细绳的张力最大，故悬挂1号球的绳最容易断。

2. （1995年全国高考）如图10-3所示，一排人站在沿x 轴的水平轨道旁，原点O 两侧的人的序号都记为n （n =1,2,3……）.每人只有一个沙袋，x ＞0一侧的每个沙袋质量为m =14 kg ，x ＜0

一侧的每个沙袋质量为m ′=10 kg.一质量为M =48 kg 的小车以某初速度从原点出发向正x 方向滑行.不计轨道阻力.当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度v 朝与车速相反的方向沿车面扔到车上，u 的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n 倍（n 是此人的序号数）.

（1）空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行？ （2）车上最终有大小沙袋共多少个？

命题意图：以动量守恒定律及碰撞等知识为载体，创设人扔沙袋的物理情境，考查选取研究对象的能力，分析能力，推理归纳能力以及临界条件的挖掘能力.B 级要求.

解题方法与技巧：解法一：虚设法依题意，空车出发后，车上堆积了几个沙袋时就反向滑行，说明车的速度由向右变为向左，于是我们可虚设一个中间状态：v =0，设抛第n 个沙袋前车的速度为v n -1，则抛第n 个沙袋的速度为2nv n -1，抛后小车速度为零，由动量守恒可得：

［M +（n -1）m ］v n -1-2nmv n -1=0

解得：n =34/14,因沙袋必须是整数，所以空车出发后堆积三个沙袋车就反向滑行. 再设向x 负方向运行时虚设一中间状态v =0，设抛n 个m ′沙袋后车速为零，则由动量守恒定律得：［M +3m +（n -1）m ′］v n -1-2nm ′v n -1=0

解得：n =8,故车上最终有大小沙袋11个.

本题的难点是选取研究对象并寻找反向的条件.车反向的条件是由速度大于零变到速度小于零，而在本题解的过程中，用"虚设法"虚设了临界状态速度等于零，抓住这一临界状态并合理选取研究对象［把车和（n -1）个扔到车上的沙袋及第n 个要扔到车上的沙袋作为一个系统］是正确解答该类运动方向发生变化问题的关键.本题也可不设速度为零的临界状态，而用V （n -1）＞0和v n ＜0讨论分析.

解法二：

图10-3

（1）小车在x 轴正方向时，令第n 个沙袋扔到车上后的车速为v n ,则根据动量守恒定律，有：［M +（n -1）m ］v n -1-2nmv n -1=（M +nm ）v n

所以v n =

nm

M m

n M ++-)1(v n -1

小车反向运动的条件是v n -1＞0,v n ＜0 所以M -nm ＞0.M -（n +1）m ＜0 所以n ＜

n m M 1448=＞14

301=-m M 所以n =3.

（2）车朝负x 方向滑行的过程中，设第（n -1）个沙袋扔到车上后［车和前面扔上的三个沙袋及现在扔上的（n -1）个沙袋当作一个物体］车速为v n -1′,第n 个沙袋扔到车上后车速度为v n ′（取向左方向为正）.

由动量守恒定律，有：

［M +3m +（n -1）m ′］v n -1′-2nm ′v n -1′=（M +3m +nm ′）v n ′ 所以v n ′=

m n m M m n m M '

++'

+-+3)1(3v n -1′

车不再向左滑行的条件是v n -1′＞0,v n ′≤0 所以M +3m -nm ′＞0,M +3m -（n +1）m ′≤0 故：n ＜

m m M '+3=9,n ≥

813=-'

+m m

M 取n =8时，车停止滑行，所以车上最终共有大小沙袋11个.

3.如图所示，有n 个相同的货箱停放在倾角为θ的斜面上，质量皆为m ，每个货箱的长

度为l ，相邻两货箱间距离也为l ，最下端的货箱到斜面底端的距离也为l ，已知货箱与斜面间的动摩擦因数为μ．现给第1个货箱一初速度υ0使之沿斜面下滑，其余所有货箱都静止.在每次发生碰撞后，发生碰撞的货箱都粘合在一起运动，最后第n 个货箱恰好停在斜面底端．求：

(1) 第1个货箱碰撞前在斜面上运动时的加速度大小。 (2) 第一次碰撞前第1个货箱的动能E 1.

(3) 第一次碰撞过程中系统损失的机械能ΔE 1与E 1的比值. (4)整个过程中由于碰撞而损失的总机械能。