函数31

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新教材高中数学第3章函数31函数的概念与性质311第2课时函数的表示方法课件新人教B版必修第一册

法二(配凑法)：f( x ＋1)＝x＋2 x ＋1－4 x －4＋3＝( x ＋1)2－ 4( x＋1)＋3，
因为 x＋1≥1，所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1).
31
(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又f(f(x))＝4x＋8，
()
15
2．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于( )
x
1≤x<2 2 2<x≤4
f(x)
1
2
3
A．1
B．2
C．3
D．不存在
C [∵当2<x≤4时，f(x)＝3，∴f(3)＝3.]
16
3．二次函数的图像的顶点为(0，－1)，对称轴为y轴，则二次函
数的解析式可以为( )
A．y＝－14x2＋1
x－1 [由题意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x代替x可得
f(－x)－2f(x)＝1－2x，联立可得
ff（（x－）x－）－2f（2f（－xx））＝＝11＋－22xx，，消去f(－x)可得f(x)＝23x－1.]
38
分段函数的求值问题
x2－1，x≤1，【例3】已知f(x)＝－x＋1，x＞1，则f(f(－1))＝________；若 f(x)＝－1，则x＝________．
33
③当点F在HC上，即x∈(5，7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△ CEF＝12(7＋3)×2－12(7－x)2
＝－12(x－7)2＋10. 综合①②③，得函数的解析式为
12x2，x∈[0，2]， y＝2x－2，x∈（2，5]，
－12（x－7）2＋10，x∈（5，7].

excel函数公式大全文本变数字

Excel是广泛用于数据分析和管理的电子表格软件。

在Excel中，函数公式是非常重要的工具，它可以帮助用户完成各种复杂的计算和数据处理。

本文将介绍Excel中的一些常用函数公式，特别是文本转数字的函数公式，希望能够帮助大家更好地利用Excel进行数据处理和分析。

一、常用的文本转数字函数公式在Excel中，有许多函数公式可以帮助我们将文本转换为数字。

下面是一些常用的函数公式：1. VALUE函数VALUE函数可以将文本转换为数字。

其基本语法为：=VALUE(文本)。

如果A1单元格中存储了文本“123”，那么在B1单元格中输入函数公式“=VALUE(A1)”，B1单元格将显示数值123。

2. NUMBERVALUE函数NUMBERVALUE函数可以将文本形式的数字转换为实际数字。

其基本语法为：=NUMBERVALUE(文本, [小数分隔符], [千位分隔符])。

其中，文本为需要转换的文本；小数分隔符为可选参数，用于指定数字中小数部分的分隔符；千位分隔符也是可选参数，用于指定数字中的千位分隔符。

3. DATEVALUE函数DATEVALUE函数可以将文本转换为日期的数值。

其基本语法为：=DATEVALUE(文本)。

如果A1单元格中存储了文本“2023/01/01”，那么在B1单元格中输入函数公式“=DATEVALUE(A1)”，B1单元格将显示日期的数值。

4. TIMEVALUE函数TIMEVALUE函数可以将文本转换为时间的数值。

其基本语法为：=TIMEVALUE(文本)。

如果A1单元格中存储了文本“12:00:00”，那么在B1单元格中输入函数公式“=TIMEVALUE(A1)”，B1单元格将显示时间的数值。

5. CURRENCY函数CURRENCY函数可以将文本转换为货币的数值。

其基本语法为：=CURRENCY(文本, [货币符号])。

其中，文本为需要转换的文本；货币符号为可选参数，用于指定货币的符号。

4.3 一次函数的图象(第1课时)正比例函数的图象和性质课件(31张PPT) 北师大版八年级数学上册

列表、描点、连线。
y = -3x
y
4
3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 O
-1
-2
-3
-4
y = 2x
这两个函数图
象有什么共同
特征？
1 2 3 4 5 x
归纳总结
y = kx (k 是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线
y = kx (k≠0)
经过的象限
k＞0
第一、三象限
k＜0
两点
作图法
第二、四象限
15 x
，即
解：
（1） y 5
100
（2）列表 x
0
y
0
描点
连线
（3）当 x = 220 时，
.
4
3
y/元
6
5
4
3
2
1
（元）. O
1 2 34 56 7
答：该汽车行驶 220 km 所需油费是 165 元．
x/km
画正比例函数图象的一般
步骤：列表、描点、连线
正比例函
数的图象
和性质
图象：经过原点的直线.
(x2，y2)，若 x1＜x2 ，则 y1 ＞ y2.
2. 正比例函数 y = k1x 和 y = k2x 的图象如图，则 k1 和 k2
y y = k1x
的大小关系是( A )
y = k2x
A. k1＞k2
B. k1 = k2
o
x
C. k1＜k2
D. 不能确定
例3 已知正比例函数 y = mx 的图象经过点 (m，4)，且
y 的值随着 x 值的增大而减小，求 m 的值.
解：∵正比例函数 y = mx 的图象经过点(m，4)，

高考数学复习选填题专项练习31---函数零点(解析版)

高考数学复习选填题专项练习30---函数零点第I 卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.（2020·河北高三期末（文））函数131()2x f x x =-的零点所在的区间为（） A ．1(0,)4B ．11(,)43C ．11(,)32D ．1(,1)2【答案】C 【解析】【分析】先判断出函数的单调性,结合零点存在定理即可判断出零点所在区间. 【详解】函数131()2x f x x =-，所以函数在R 上单调递增，因为1113331311111033322f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1113321211111022222f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数零点在11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭故选:C【点睛】本题考查了根据零点存在定理判断零点所在区间,注意需判断函数的单调性,说明零点的唯一性,属于基础题.2．（2020·江西高三（文））方程()3sin =f x x 零点的个数是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】大致图形如图所示,接下来比较与在处的切线斜率,,时,,即在处的切线方程为轴,又,在,因此在轴右侧图象较缓,由图象可知,共有个交点,故选C ．【点晴】本题考查的是两个函数的交点个数问题．首先运用函数与方程的思想,把给定方程转化成为两个基本函数的交点问题,再通过函数的性质与比较函数在相同自变量处的函数值的大小关系画出两个基本函数图象,需要注意的是,两个函数都过点,而轴右侧的高低情况需要比较两个函数在处的切线斜率得到,为本题的易错点．3.（2019·四川高三月考（理））函数()332,0log 6,0x x f x x x ⎧->=⎨+≤⎩的零点之和为（）A ．-1B ．1C ．-2D ．2【答案】A 【解析】【分析】由函数零点与方程的根的关系可得函数()332,0log 6,0x x f x x x ⎧->=⎨+≤⎩的零点即方程320x -=，3log 60x +=的根，解方程后再将两根相加即可得解.【详解】令320x -=，解得3log 2x =，令3log 60x +=，解得3log 6x =-，则函数()f x 的零点之和为3331log 2log 6log 13-==-，故选A. 【点睛】本题考查了分段函数零点的求解，重点考查了对数的运算，属基础题.4．（2020·河南高三期末（理））已知函数()2943,02log 9,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩，则函数()()y f f x =的零点所在区间为（）A ．73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,5【答案】A 【解析】【分析】首先求得0x ≤时，()f x 的取值范围.然后求得0x >时，()f x 的单调性和零点，令()()0ff x =，根据“0x ≤时，()f x 的取值范围”得到()32log 93xf x x =+-=，利用零点存在性定理，求得函数()()y f f x =的零点所在区间.【详解】当0x ≤时，()34f x <≤.当0x ≥时，()2932log 92log 9xxx f x x =+-=+-为增函数，且()30f =，则3x =是()f x 唯一零点.由于“当0x ≤时，()34f x <≤.”，所以令()()0f f x =，得()32log 93x f x x =+-=，因为()303f =<，3377log 98 1.414log 39 3.312322f ⎛⎫=->⨯+-=> ⎪⎝⎭，所以函数()()y ff x =的零点所在区间为73,2⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A 【点睛】本小题主要考查分段函数的性质，考查符合函数零点，考查零点存在性定理，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.5．（2020·山东枣庄八中高三月考）已知()f x 是定义在[10,10]-上的奇函数，且()(4)f x f x =-，则函数()f x 的零点个数是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】【分析】由定义在[10,10]-上的奇函数可知(0)0f =且零点关于原点对称,利用(0)0f =,由()(4)f x f x =-可得到部分零点【详解】()f x Q 是定义在[10,10]-上的奇函数,(0)0f ∴=,且零点关于原点对称,∴零点个数为奇数,又()(4)f x f x =-Q ,(0)(4)0f f ∴==,(4)(4)0f f -=-=,(4)(44)(8)0f f f ∴-=+==,(8)(8)0f f -=-=,()f x ∴的零点至少有0,4,±8±这5个,【点睛】本题主要考查函数的零点、函数奇偶性的应用以及抽象函数的解析式,意在考查综合应用所学知识解答问题的能力,属于中档题.6. （2020·江西高三（理））已知函数()ln(||1)cos 2f x x a x =+++只有一个零点，则a =（）A ．2B ．4C ．3D ．2-【答案】D 【解析】【分析】判断函数为偶函数，根据偶函数的对称性即可求解.【详解】因为()ln(||1)cos()2()f x x a x f x -=-++-+=,所以函数()f x 为偶函数，又函数()f x 只有一个零点，故(0)0f =，所以2a =-.故答案为：2- 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，函数的零点，属于容易题.7．（2020·湖北高三月考（理））已知函数23()123x x f x x =+-+，若()(2020)h x f x =-的零点都在(),a b 内，其中a ，b 均为整数，当b a -取最小值时，则b a +的值为（）A ．4038B ．2019C ．4037D ．4039【答案】D 【解析】【分析】求导分析23()123x x f x x =+-+的单调性,再根据零点存在定理与函数的平移分析即可.【详解】因为2'()10f x x x =-+>恒成立.故23()123x x f x x =+-+为增函数.所以()f x 有且仅有一个零点.又(0)10=>f ,115(1)110236f -=---=-<,故()f x 零点在区间()1,0-之间.又()(2020)h x f x =-为函数()f x 往右平移2020个单位,所以()(2020)h x f x =-的零点落在()2019,2020上.由题意可知, b a -取最小值时2020,2019b a ==,所以4039b a +=.故答案为：4039【点睛】本题主要考查了函数的零点存在性定理与函数平移的问题,属于基础题.8.（2020·河南南阳中学高三月考（理））已知函数()()2sin 10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>≤ ⎪⎝⎭，其图象与直线1y =-相邻两个交点的距离为π，若()1f x >对于任意的,123x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭恒成立，则ϕ的取值范围是( )A ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．,62ππ⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】A【解析】由题意可得相邻最低点距离1个周期，T π=，2ω=，()1f x >，即()sin 20x ϕ+>，222,k x k k Z πϕππ≤+≤+∈，即,,222x k k k Z ϕϕπππ⎡⎤∈-+-++∈⎢⎥⎣⎦所以,123ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ ⊆,,222k k k Z ϕϕπππ⎡⎤-+-++∈⎢⎥⎣⎦，包含0,所以k=0, ,,222k Z ϕϕπ⎡⎤--+∈⎢⎥⎣⎦,122223πϕϕππ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪-+≥⎪⎩,63ππϕ≤≤．【点睛】由于三角函数是周期周期函数，所以不等式解集一般是一系列区间并集，对于恒成立时，需要令k为几个特殊值，再与已知集合做运算．9．（2020·天津南开中学高三月考）已知函数22,2()(2),2⎧-≤=⎨->⎩x x f x x x ，函数()3(2)g x f x =--，则函数()()y f x g x =-的零点的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】由22,2()(2),2⎧-≤=⎨->⎩x x f x x x ，()3(2)g x f x =--，所以2222231,0()()231,0244155,2⎧+-+=+-≤⎪=-=--+=-<≤⎨⎪-+-+=-+>⎩x x x x x y f x g x x x x x x x x x x 所以当0x ≤时，零点为12x --=一个，当02x <≤时，无零点，当2x >时，零点为52+一个，所以零点个数为2个，故选A ．考点：函数的零点个数的判断．【方法点睛】该题属于考查函数的零点个数的问题，在解题的过程中，需要先确定出函数解析式，根据题中所给的函数()f x 的解析式求得函数()g x 的解析式，从而得到()()f x g x -关于x 的分段函数，通过对每一段上的解析式进行分析，求得相应的函数的零点，注意结合自变量的取值范围进行相应的取舍，最后确定出该题的答案．10.（2020·河南鹤壁高中高三月考（文））已知函数2()cos2cos 1(0)222xxxf x ωωωω=+->的周期为π，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()f x m ＝恰有两个不同的实数解1x ，2x ，则()12f x x +=（） A ．2 B ．1C ．﹣1D ．﹣2【答案】B 【解析】【分析】对()f x 进行化简，利用周期为π，求出2ω=，根据()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象，得到12x x +的值，再求出()12f x x +的值.【详解】2()cos2cos 1222xxxf x ωωω=+-cos 2sin 6x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭由2T ππω== ，得2ω=．()2sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭．作出函数()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象如图：由图可知，123x x π+=，()1212sin 221362f x x ππ⎛⎫∴+=⨯+=⨯= ⎪⎝⎭．故选B 项．【点睛】本题考查正弦型函数的化简及其图像与性质，属于简单题.11. （2020·河北工业大学附属红桥中学高三月考）已知函数32,0(),0x x x f x lnx x ⎧-=⎨->⎩…，若函数()()g x f x x a=--有3个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．[0，2)B ．[0，1)C ．(-∞，2]D ．(-∞，1]【答案】A 【解析】【分析】本道题先绘制()f x 图像，然后将零点问题转化为交点问题，数形结合，计算a 的范围，即可．【详解】绘制出()f x 的图像，()f x x a =+有3个零点，令()h x x a =+与()f x 有三个交点，则()h x 介于1号和2号之间，2号过原点，则0a =，1号与()f x 相切，则()2'321,1f x x x =-==-，1y =，代入()h x 中，计算出2a =，所以a 的范围为[)0,2，故选A ．【点睛】本道题考查了数形结合思想和函数与函数交点个数问题，难度中等．12．（2020·湖南长沙一中高三月考（理））已知偶函数()y f x =的定义域为R ，当0x ≥时，()23sin ,01221,1x x x f x x π-⎧≤≤⎪=⎨⎪+>⎩函数()()2221g x x ax a a R =-+-∈，若函数()()y g f x =有且仅有6个零点，则实数a 的取值范围为（）A ．(]1,2B ．()1,2C ．(]2,3D ．()2,3【答案】B 【解析】【分析】画出()f x 的图像,先求解()22210g x x ax a =-+-=,再数形结合列出关于a 的不等式求解即可.【详解】由题意画出()f x 的图像如图所示,由()22210g x x ax a =-+-=解得11x a =+,21x a =-,由函数()()y g f x =有且仅有6个零点知113011a a <+<⎧⎨<-≤⎩,解得12a <<,【点睛】本题主要考查了数形结合解决函数零点个数的问题,需要根据函数图像与带参数的方程交点的个数,列出对应的不等式进行求解.属于中等题型.第II 卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2020高考数学专项训练《31闭区间上二次函数的最值问题》(有答案)

专题31 闭区间上二次函数的最值问题例题：已知函数f(x)＝x 2－ax ＋1，求函数f(x)在区间[－1，1]上的最值．变式1已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，1]时，f(x)≥a 恒成立，求实数a 的取值范围．变式2求二次函数f(x)＝ax 2＋(2a －1)x －3(a ≠0)在区间⎣⎡⎦⎤－32，2上的最大值．串讲1已知函数f(x)＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m 的取值范围是________________．串讲2若f(x)＝1－2a －2a cos x －2sin 2x 的最小值为g(a)． (1)求g(a)的解析式；(2)求能使g(a)＝12的a 值，并求出当a 取此值时，f(x)的最大值．若函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，证明M －m的值与b 无关．已知a 为实数，函数f(x)＝x 2＋|x －a|＋1，x ∈R . (1)求f (x )的最小值；(2)若a ＞0，g (x )＝f (x )＋a |x |，求g (x )的最小值．答案：(1)f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧34＋a ，a ≥12，a 2＋1，－12＜a ＜12，34－a ，a ≤－12.(2)g (x )min＝⎩⎨⎧a ＋1，a ≥1，－a 2＋6a ＋34，13≤a ＜1，2a 2＋1，0＜a ＜13.解析：(1)f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x －a ＋1，x ≥a ，x 2－x ＋a ＋1，x ＜a ，①当a ≤－12时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上单调递减，⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上单调递减， f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝34－a ；2分 ②当－12＜a ＜12时，f (x )在(－∞，a )上单调递减，(a ，＋∞)上单调递减，f (x )min ＝f (a )＝a 2＋1；4分③当a ≥12时，f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，12上单调递减，⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递减， f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝34＋a ；6分综上：f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧34＋a ，a ≥12，a 2＋1，－12＜a ＜12，34－a ，a ≤－12.7分(2)g (x )＝x 2＋|x －a |＋1＋a |x |＝⎩⎨⎧x 2＋（a ＋1）x －a ＋1，x ≥a ，x 2＋（a －1）x ＋a ＋1，0＜x ＜a ，x 2－（a ＋1）x ＋a ＋1，x ≤0.①当a ＋12≤a 时，即a ≥1时，－a ＋12＜0且1－a 2≤0，g (x )在(－∞，0)上单调递减，(0，＋∞)上单调递减，g (x )min ＝g (0)＝a ＋1；9分 ②当a ＋12＞a 时，即0＜a ＜1时，－a ＋12＜0且1－a 2＞0，(ⅰ)当1－a 2≤a ，即13≤a ＜1时，g (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，1－a 2上单调递减，⎝⎛⎭⎫1－a 2，＋∞上单调递减，所以g (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1－a 2＝－a 2＋6a ＋34；11分(ⅱ)当1－a 2＞a ，即0＜a ＜13时，g (x )在(－∞，a )上单调递减，(a ，＋∞)上单调递减，所以g (x )min ＝f (a )＝2a 2＋1；13分综上：g (x )min＝⎩⎨⎧a ＋1，a ≥1，－a 2＋6a ＋34，13≤a ＜1，2a 2＋1，0＜a ＜13.14分专题31例题答案：f(x)min ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ，a ＜－2，1－a24，－2≤a ≤2，2－a ，a ＞2.f(x)max ＝⎩⎨⎧2－a ，a ＜0，2＋a ，a ≥0.解法1函数f(x)＝x 2－ax ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －a 22－a 24＋1，对称轴为x ＝a 2， ①当a2＜－1时，即a ＜－2时，f(x)在[－1，1]上单调递增，f(x)min ＝f(－1)＝2＋a ，f(x)max＝f(1)＝2－a ；②当－1≤a 2＜0时，即－2≤a ＜0时，f(x)在⎝⎛⎭⎫－1，a 2上单调递减，在⎝⎛⎭⎫a 2，1上单调递增，f(x)min ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝1－a24，f(x)max ＝f(1)＝2－a ； ③当0≤a 2＜1时，即0≤a ＜2时，f(x)在⎝⎛⎭⎫－1，a 2上单调递减，在⎝⎛⎭⎫a 2，1上单调递增，f(x)min＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝1－a24，f(x)max ＝f(－1)＝2＋a ； ④当a2≥1时，即a ≥2时，f(x)在[－1，1]上单调递减，f(x)min ＝f(1)＝2－a ，f(x)max ＝f(－1)＝2＋a.综上，f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ，a ＜－2，1－a24，－2≤a ≤2，2－a ，a ＞2.f(x)max ＝⎩⎨⎧2－a ，a ＜0，2＋a ，a ≥0.解法2函数f(x)＝x 2－ax ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －a 22－a 24＋1，对称轴为x ＝a2，先求最小值． ①当a2＜－1时，即a ＜－2时，f(x)在[－1，1]上单调递增，f(x)min ＝f(－1)＝2＋a ；②当－1≤a 2≤1时，即－2≤a ≤2时，f(x)min ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝1－a 24；③当a2≥1时，即a ≥2时，f(x)在[－1，1]上单调递减，f(x)min ＝f(1)＝2－a.再求最大值，因为抛物线开口向上，则最高点必为曲线一端点，所以f(x)max ＝max {f(－1)，f(1)}＝⎩⎨⎧2－a ，a ＜0，2＋a ，a ≥0.综上，f(x)min ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ，a ＜－2，1－a24，－2≤a ≤2，2－a ，a ＞2.f(x)max ＝⎩⎨⎧2－a ，a ＜0，2＋a ，a ≥0.变式联想变式1答案：[－3，1]．解法1研究函数f(x)＝x 2－2ax ＋2在x ∈[－1，1]时的最小值，f(x)＝x 2－2ax ＋2＝(x －a)2＋2－a 2，对称轴为x ＝a.①当a ≤－1时，f(x)在[－1，1]上单调递增，所以f(x)min ＝f(－1)＝2a ＋3，要使得f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min ≥a ，即2a ＋3≥a ，所以－3≤a ≤－1.②当－1＜a ＜1时，f(x)在[－1，1]上的最小值为f(x)min ＝f(a)＝2－a 2，要使得f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min ≥a ，即2－a 2≥a ，所以－1＜a ＜1.③当a ≥1时，f(x)在[－1，1]上单调递减，所以f(x)min ＝f(1)＝3－2a ，要使得f(x)≥a 恒成立，只需f(x)min ≥a ，即3－2a ≥a ，所以a ＝1.综上，实数a 的取值范围是[－3，1]．解法2不等式f(x)≥a 可化为a(1＋2x)≤x 2＋2①当－1≤x ＜－12时，不等式化为a ≥x 2＋22x ＋1，令g(x)＝x 2＋22x ＋1，则g′(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋22x ＋1′＝2（x 2＋x －2）（2x ＋1）2＜0，g(x)在⎣⎡⎭⎫－1，－12上单调递减，所以g(x)max ＝g(－1)＝－3，则a ≥－3.②当x ＝－12时，0≤14＋2恒成立，则a ∈R .③当－12<x ≤1时，不等式化为a ≤x 2＋22x ＋1，令g (x )＝x 2＋22x ＋1，则g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋22x ＋1′＝2（x 2＋x －2）（2x ＋1）2＜0，g (x )在⎝⎛⎦⎤－12，1上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝1，则a ≤1. 综上，实数a 的取值范围是[－3，1]．变式2答案：f(x)max ＝⎩⎪⎨⎪⎧－（2a －1）24a－3，a ＜－1，－34a －32，－1≤a ＜25且a ≠0，8a －5，a ≥25. 解析：f(x)＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋2a －12a 2－（2a －1）24a －3，对称轴为x ＝－2a －12a， (1)当a ＞0时，①当－2a －12a ≤14，即a ≥25时，f(x)max ＝f(2)＝8a －5；②当－2a －12a ＞14，即0＜a ＜25时，f(x)max ＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝－34a －32. (2)当a ＜0时，－2a －12a＜0，①当－2a －12a ≤－32时，即－1≤a ＜0时，f(x)max ＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝－34a －32； ②当－32＜－2a －12a ＜0时，即a ＜－1时，f(x)max ＝f ⎝⎛⎭⎫－2a －12a ＝－（2a －1）24a －3.综上，f(x)max ＝⎩⎪⎨⎪⎧－（2a －1）24a－3，a ＜－1，－34a －32，－1≤a ＜25且a ≠0，8a －5，a ≥25.说明：二次函数在闭区间的最值问题一般分为含参和不含参两种类型，对于不含参的定轴、定区间问题，根据轴与区间的位置关系，结合图象，确定函数的单调性即可求得最值；对于定轴、动区间，动轴、定区间，动轴、动区间的含参最值问题，常常抓住对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，分类讨论时要做到不重、不漏；不过有时直接研究函数在区间端点处的取值以回避繁琐的分类讨论显得更快捷．总之，数形结合，灵活处理是解决此类问题的关键所在．串讲激活串讲1 答案：⎝⎛⎭⎫－22，0. 解法1讨论对称轴与区间的位置关系，求出f(x)的最大值f(x)max ，解不等式f(x)max <0；解法2因为抛物线开口向上，所以最大值在区间端点处取得．则要使得任意x ∈[m ，m＋1]，都有f(x)＜0成立，只需满足⎩⎨⎧f （m ）＜0，f （m ＋1）＜0，解得－22＜m ＜0.串讲2答案：(1)g(a)＝ ⎩⎪⎨⎪⎧1－4a （a ＞2），－a22－2a －1（－2≤a ≤2），1（a ＜－2）；(2)5.解析：(1)f(x)＝2⎝⎛⎭⎫cos x －a 22－a 22－2a －1，令t ＝cos x ∈[－1，1]．当a2＜－1，即a ＜－2时，f(x)在cos x ＝－1时取得最小值，即g(a)＝1；当－1≤a2≤1，即－2≤a ≤2时，f(x)在cos x＝a 2时取得最小值，即g(a)＝－a 22－2a －1；当a2＞1，即a ＞2时，f(x)在cos x ＝1时取得最小值，即g(a)＝1－4a.综上，g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－4a （a ＞2），－a22－2a －1（－2≤a ≤2），1（a ＜－2）.(2)由g(a)＝12，得1－4a ＝12或－a 22－2a －1＝12，当1－4a ＝12，a ＝18，与a ＞2矛盾，舍去；当－a 22－2a －1＝12，得a ＝－3(舍去)或a ＝－1∈[－2，2]所以f(x)＝2⎝⎛⎭⎫cos x ＋122＋12，当cos x ＝1时，f(x)max ＝5.新题在线答案：M －m ＝⎩⎨⎧|1＋a|，a ＜－2，或a ＞0，a 24，－2≤a ≤－1，1＋a ＋a24，－1＜a ≤0.M －m 的值与b 无关．解析：函数f(x)＝x 2＋ax ＋b 的图象是开口朝上且以直线x ＝－a2为对称轴的抛物线．①当－a 2＞1或－a2＜0，即a ＜－2，或a ＞0时，函数f(x)在区间[0，1]上单调，此时M－m ＝|f(1)－f(0)|＝|1＋a|，故M －m 的值与b 无关；②当12≤－a2≤1，即－2≤a ≤－1时，函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，－a 2上单调递减，在⎣⎡⎦⎤－a 2，1上单调递增，且f(0)＞f(1)，此时M －m ＝f(0)－f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a24，故M －m 的值与b 无关； ③当0≤－a 2＜12，即－1＜a ≤0时，函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤0，－a 2上单调递减，在⎣⎡⎦⎤－a 2，1上单调递增，且f(0)＜f(1)，此时M －m ＝f(1)－f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝1＋a ＋a 24，故M －m 的值与b 无关．综上，M －m 的值与b 无关．。

2024届高考一轮复习数学教案(新人教B版)：函数的概念及其表示

§2.1函数的概念及其表示考试要求 1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．知识梳理1．函数的概念给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2．函数的三要素(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．(2)如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4．分段函数如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．常用结论1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(×)(2)函数y ＝f (x )的图象可以是一条封闭曲线．(×)(3)y ＝x 0与y ＝1是同一个函数．(×)(4)函数f (x )－1，x ≥0，2，x <0的定义域为R .(√)教材改编题1．(多选)下列所给图象是函数图象的是()答案CD 解析A 中，当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；B 中，当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；CD 中，每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．2．下列各组函数表示同一个函数的是()A ．y ＝x －1与y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x －1与y ＝－1xC ．y ＝2x 2与y ＝2xD ．y ＝2x －1与v ＝2t －1答案D 解析y ＝x －1的定义域为R ，y ＝x 2－1x ＋1的定义域为{x |x ≠－1}，定义域不同，不是同一个函数，故选项A 不正确；y ＝x －1＝1x 与y ＝－1x的对应关系不同，不是同一个函数，故选项B 不正确；y ＝2x 2＝2|x |与y ＝2x 的对应关系不同，不是同一个函数，故选项C 不正确；y ＝2x －1与v ＝2t －1的定义域都是(－∞，1)∪(1，＋∞)，对应关系也相同，所以是同一个函数，故选项D 正确．3．已知函数f (x )x ，x >0，x ，x ≤0，则函数f ()A ．3B ．－3 C.13D ．－13答案C解析由题意可知，f ln 13＝－ln 3，所以f f (－ln 3)＝e －ln 3＝13.题型一函数的定义域例1(1)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为()A ．(－4，－1)B ．(－4,1)C ．(－1,1)D ．(－1,1]答案C解析＋1>0，x 2－3x ＋4>0，解得－1<x <1，故定义域为(－1,1)．(2)已知函数f (x )的定义域为(－4，－2)，则函数g (x )＝f (x －1)＋x ＋2的定义域为________．答案[－2，－1)解析∵f (x )的定义域为(－4，－2)，要使g (x )＝f (x －1)＋x ＋2有意义，4<x －1<－2，＋2≥0，解得－2≤x <－1，∴函数g (x )的定义域为[－2，－1)．思维升华(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x 的取值集合；(2)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(3)若复合函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则函数f (x )的定义域为g (x )在[a ，b ]上的值域．跟踪训练1(1)函数f (x )＝1ln (x －1)＋3－x 的定义域为()A ．(1,3]B ．(1,2)∪(2,3]C ．(1,3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，3)答案B解析－1>0，－1≠1，－x ≥0，所以1<x <2或2<x ≤3，所以函数的定义域为(1,2)∪(2,3]．(2)(2023·南阳检测)已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，则函数g (x )＝f (x －1)＋2x －1的定义域是()A ．{x |x >2或x <0}|12≤x <2C ．{x |x >2}|x ≥12答案B 解析要使f (x )＝lg 1－x 1＋x 有意义，则1－x 1＋x>0，即(1－x )(1＋x )>0，解得－1<x <1，所以函数f (x )的定义域为(－1,1)．要使g (x )＝f (x －1)＋2x －1有意义，1<x －1<1，x －1≥0，解得12≤x <2，所以函数g (x )|12≤x <2题型二函数的解析式例2(1)已知f (1－sin x )＝cos 2x ，求f (x )的解析式；(2)已知f x 2＋1x2，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是一次函数且3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式．(4)已知f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝3x ，求f (x )的解析式．解(1)(换元法)设1－sin x ＝t ，t ∈[0,2]，则sin x ＝1－t ，∵f (1－sin x )＝cos 2x ＝1－sin 2x ，∴f (t )＝1－(1－t )2＝2t －t 2，t ∈[0,2]．即f (x )＝2x －x 2，x ∈[0,2]．(2)(配凑法)∵f x 2＋1x2＝－2，∴f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(3)(待定系数法)∵f (x )是一次函数，可设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∴3[a (x ＋1)＋b ]－2[a (x －1)＋b ]＝2x ＋17.即ax ＋(5a ＋b )＝2x ＋17，＝2，a ＋b ＝17，＝2，＝7.∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.(4)(解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②由①②解得f(x)＝3x.思维升华函数解析式的求法(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．跟踪训练2(1)已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是() A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7C．f(x)＝x2＋2x－3D．f(x)＝x2＋6x－10答案A解析f(x－1)＝x2＋4x－5，设x－1＝t，x＝t＋1，则f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，故f(x)＝x2＋6x.(2)若f ＝x1－x，则f(x)＝________.答案1x－1(x≠0且x≠1)解析f(x)＝1x1－1x＝1x－1(x≠0且x≠1)．(3)已知函数f(x)满足f(x)＋2f3x，则f(2)等于()A．－3B．3C．－1D．1答案A解析f(x)＋2f3x，①则f2f(x)＝－3x，②联立①②解得f(x)＝－2x－x，则f(2)＝－22－2＝－3.题型三分段函数例3(1)已知函数f(x)x－1)，x>0，ln(x＋e)＋2，x≤0，则f(2024)的值为() A．－1B．0C．1D．2答案C解析因为f (x )x －1)，x >0，ln (x ＋e )＋2，x ≤0，所以f (2024)＝f (2023)＝f (2022)＝…＝f (1)，又f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝－ln(0＋e)＋2＝－1＋2＝1，所以f (2024)＝1.(2)已知函数f (x )x 2－3x ＋2，x <－1，x －3，x ≥－1，若f (a )＝4，则实数a 的值是________；若f (a )≥2，则实数a 的取值范围是________．答案－2或5[－3，－1)∪[4，＋∞)解析若f (a )＝4，<－1，a 2－3a ＋2＝4≥－1，a －3＝4，解得a ＝－2或a ＝5.若f (a )≥2，<－1，a 2－3a ＋2≥2≥－1，a －3≥2，解得－3≤a <－1或a ≥4，∴a 的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞)．思维升华分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．跟踪训练3(1)已知函数f (x )＋2，x ≤0，＋1x ，x >0，若f (f (a ))＝2，则a 等于()A ．0或1B ．－1或1C ．0或－2D ．－2或－1答案D 解析令f (a )＝t ，则f (t )＝2，可得t ＝0或t ＝1，当t ＝0时，即f (a )＝0，显然a ≤0，因此a ＋2＝0⇒a ＝－2，当t ＝1时，即f (a )＝1，显然a ≤0，因此a ＋2＝1⇒a ＝－1，综上所述，a ＝－2或－1.(2)(2023·重庆质检)已知函数f (x )2x ，x >1，2－1，x ≤1，则f (x )<f (x ＋1)的解集为________．答案－12，＋∞解析当x ≤0时，x ＋1≤1，f (x )<f (x ＋1)等价于x 2－1<(x ＋1)2－1，解得－12<x ≤0；当0<x ≤1时，x ＋1>1，此时f (x )＝x 2－1≤0，f (x ＋1)＝log 2(x ＋1)>0，∴当0<x ≤1时，恒有f (x )<f (x ＋1)；当x >1时，x ＋1>2，f (x )<f (x ＋1)等价于log 2x <log 2(x ＋1)，此时也恒成立．综上，不等式f (x )<f (x ＋1)－12，＋课时精练1．函数f (x )＝lg(x －2)＋1x －3的定义域是()A ．(2，＋∞)B ．(2,3)C ．(3，＋∞)D ．(2,3)∪(3，＋∞)答案D 解析∵f (x )＝lg(x －2)＋1x －3，－2>0，－3≠0，解得x >2，且x ≠3，∴函数f (x )的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．2．(2023·北京模拟)已知集合A ＝{x |－2<x ≤1}，B ＝{x |0<x ≤4}，则下列对应关系中是从集合A 到集合B 的函数是()A ．y ＝x ＋1B ．y ＝e xC ．y ＝x 2D ．y ＝|x |答案B 解析对于A ，当x ＝－1时，由y ＝x ＋1得y ＝0，但0∉B ，故A 错误；对于B ，因为从A ＝{x |－2<x ≤1}中任取一个元素，通过y ＝e x 在B ＝{x |0<x ≤4}中都有唯一的元素与之对应，故B 正确；对于C ，当x ＝0时，由y ＝x 2得y ＝0，但0∉B ，故C 错误；对于D ，当x ＝0时，由y ＝|x |得y ＝0，但0∉B ，故D 错误．3．已知f (x 3)＝lg x ，则f (10)的值为()A ．1 B.310 C.13 D.1310答案C 解析令x 3＝10，则x ＝1310，∴f (10)＝lg 1310＝13.4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h ，注水时间为t ，则下面选项中最符合h 关于t 的函数图象的是()答案A 解析水壶的结构：底端与上端细、中间粗，所以在注水恒定的情况下，开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后又变快，由图可知选项A 符合．5．函数y ＝1＋x －1－2x 的值域为()－∞，32D.32，＋∞答案B解析设1－2x ＝t ，则t ≥0，x ＝1－t 22所以y ＝1＋1－t 22－t ＝12(－t 2－2t ＋3)＝－12(t ＋1)2＋2，因为t ≥0，所以y ≤32.所以函数y ＝1＋x －1－2x ∞，32.6．已知函数f (x )x 2＋2x ＋3，x ≤2，＋log a x ，x >2(a >0且a ≠1)，若函数f (x )的值域是(－∞，4]，则实数a 的取值范围是()B.22，C ．(1，2]D ．(1，2)答案B 解析当x ≤2时，f (x )＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，当x ＝1时，f (x )＝－x 2＋2x ＋3取得最大值4，所以当x ≤2时，函数f (x )的值域是(－∞，4]，所以当x >2时，函数f (x )＝6＋log a x 的值域为(－∞，4]的子集，当a >1时，f (x )＝6＋log a x 在(2，＋∞)上单调递增，此时f (x )>f (2)＝6＋log a 2>6，不符合题意，当0<a <1时，f (x )＝6＋log a x 在(2，＋∞)上单调递减，此时f (x )<f (2)＝6＋log a 2≤4，即log a 2≤－2，所以a 2≥12，可得22≤a <1，所以实数a 的取值范围是22，7．(多选)下列四个函数，定义域和值域相同的是()A ．y ＝－x ＋1B ．133,0,1,0x x y x x⎧≤⎪=⎨⎪>⎩C ．y ＝ln|x |D ．y ＝2x －1x －2答案ABD 解析对A ，函数的定义域和值域都是R ；对B ，根据分段函数和幂函数的性质，可知函数的定义域和值域都是R ；对C ，函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R ；对D ，因为函数y ＝2x －1x －2＝2＋3x －2，所以函数的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．所以ABD 是定义域和值域相同的函数．8．(多选)函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数”，则下列对应法则f 满足函数定义的有()A ．f (x 2)＝|x |B ．f (x 2)＝xC ．f (cos x )＝xD ．f (e x )＝x 答案AD 解析令t ＝x 2(t ≥0)，f (t )＝|±t |＝t ，故A 符合函数定义；令t ＝x 2(t ≥0)，f (t )＝±t ，设t ＝4，f (t )＝±2，一个自变量对应两个函数值，故B 不符合函数定义；设t ＝cos x ，当t ＝12时，x 可以取±π3等无数多个值，故C 不符合函数定义；令t ＝e x (t >0)，f (t )＝ln t ，故D 符合函数定义．9．已知函数f (x )x ，x <0，x －π)，x >0，则f ________.答案12解析由已知得f f f f f ＝12.10．已知f (x )＝x －1，则f (x )＝________.答案x 2－1(x ≥0)解析令t ＝x ，则t ≥0，x ＝t 2，所以f (t )＝t 2－1(t ≥0)，即f (x )＝x 2－1(x ≥0)．11．已知函数f (x )的定义域为[－2,2]，则函数g (x )＝f (2x )＋1－2x 的定义域为__________．答案[－1,0]解析2≤2x ≤2，－2x ≥0，解得－1≤x ≤0，所以函数g (x )的定义域是[－1,0]．12．已知f (x )x ＋3，x >0，2－4，x ≤0，若f (a )＝5，则实数a 的值是__________；若f (f (a ))≤5，则实数a 的取值范围是__________．答案1或－3[－5，－1]解析①当a >0时，2a ＋3＝5，解得a ＝1；当a ≤0时，a 2－4＝5，解得a ＝－3或a ＝3(舍)．综上，a ＝1或－3.②设t ＝f (a )，由f (t )≤5得－3≤t ≤1.由－3≤f (a )≤1，解得－5≤a ≤－1.13．(2022·广州模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足，f (1－x )＋2f (x )＝x 2＋1，则f (1)等于()A ．－1B ．1C ．－13 D.13答案B解析∵定义在R 上的函数f (x )满足，f (1－x )＋2f (x )＝x 2＋1，∴当x ＝0时，f (1)＋2f (0)＝1，①当x ＝1时，f (0)＋2f (1)＝2，②②×2－①，得3f (1)＝3，解得f (1)＝1.14．(2023·南昌模拟)已知函数f (x )3，x ≤0，x >0，若f (a －3)＝f (a ＋2)，则f (a )等于()A ．2 B.2C ．1D ．0答案B解析作出函数f (x )的图象，如图所示．因为f (a －3)＝f (a ＋2)，且a －3<a ＋2，－3≤0，＋2>0，即－2<a ≤3，此时f (a －3)＝a －3＋3＝a ，f (a ＋2)＝a ＋2，所以a ＝a ＋2，即a 2＝a ＋2，解得a ＝2或a ＝－1(不满足a ＝a ＋2，舍去)，则f (a )＝ 2.15．∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中最大者，M(x)＝{|x|－1,1－x2}，若M(n)<1，则实数n 的取值范围是()A．(－2,2)B．(－2,0)∪(0,2)C．[－2,2]D．(－2，2)答案B解析当x≥0时，若x－1≥1－x2，则x≥1，当x<0时，若－x－1≥1－x2，则x≤－1，所以M(x)||－1，x≥1或x≤－1，1－x2，－1<x<1，若M(n)<1，则当－1<n<1时，1－n2<1⇒－n2<0⇒n≠0，即－1<n<0或0<n<1，当n≥1或n≤－1时，|n|－1<1，解得－2<n≤－1或1≤n<2，综上，－2<n<0或0<n<2.16．(多选)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数F(x)＝1，x为有理数，0，x为无理数被称为狄利克雷函数．关于狄利克雷函数，下列说法正确的是() A．F(F(x))＝0B．对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立C．任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)对任意实数x均成立D．存在三个点A(x1，F(x1))，B(x2，F(x2))，C(x3，F(x3))，使得△ABC为等边三角形答案BD解析∵当x为有理数时，F(x)＝1，当x为无理数时，F(x)＝0，当x为有理数时，F(F(x))＝F(1)＝1，当x为无理数时，F(F(x))＝F(0)＝1，所以F(F(x))＝1恒成立，故A错误；因为有理数的相反数是有理数，无理数的相反数是无理数，所以对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立，故B正确；若x是有理数，T是有理数，则x＋T是有理数；若x是有理数，T是无理数，则x＋T是无理数；若x是无理数，则x＋T是无理数或有理数，所以任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)不恒成立，故C错误；取x1＝－33，x2＝0，x3＝33，可得F(x1)＝0，F(x2)＝1，F(x3)＝0，所以A－33，0，B(0,1)，C33，0△ABC为等边三角形，故D正确．。

单调函数的定义(老黄学高数第31讲)

老黄学高数
第31讲单调函数的定义
设f为定义在D上的函数。若对任何x1,x2∈D，当x1< x2时，总有 (1)f(x1)≤f(x2)，则称f为D上的增函数，当f(x1)<f(x2)时，称f为D上的严格增函数； (2)f(x1)≥f(x2)，则称f为D上的减函数，当f(x1)>f(x2)时，称f为D上的严格减函数. 增函数和减函数统称单调函数，
(2)y=sinx在[ (2)设x1,x2∈[
]上严格递增； ]，且x1<x2，则有
<0,
∴cos
>0；sin
<0，从而
y1-y2=sinx1-sinx2=2cos 即y1<y2； ∴y=sinx在[
sin
<0,
]上严格递增.
证明下列函数在指定区间上的单调性； (3)y=cosx在[0, π]上严格递减. (3)设x1,x2∈[0, π]，且x1<x2，则有
0<பைடு நூலகம்
<π，
∴sin
>0；sin
<0，从而
y1-y2=cosx1-cosx2=-2sin
sin
>0,
即y1>y2； ∴y=cosx在[0, π]上严格递减.
证明下列函数在指定区间上的单调性； (1)y=3x-1在(-∞,+∞)上严格递增；
证：(1)设x1,x2∈(-∞,+ ∞)，且x1<x2，则 y1-y2=3x1-1-(3x2-1)=3(x1-x2)<0，即y1<y2， ∴y=3x-1在(-∞,+ ∞)上严格递增.
证明下列函数在指定区间上的单调性；
严格增函数和严格减函数统称严格单调函数.

《高考调研》高三数学第一轮复习第三章《函数极限和连续性、导数》课件31

A．a＝－2，b＝4 B．a＝2，b＝－4 C．a＝－2，b＝－4 D．a＝2，b＝4
【解析】 ∵lxi→m1 (1－a x－1－b x2)＝lxi→m1 ax1＋－ax－2 b＝1 ∴ax＋a－b＝a(x－1)，且－a2＝1. ∴a＝－2，b＝－4.
【答案】 C
• 题型二函数的连续性
eax＋b，x<0 例 3 已知函数 f(x)＝1a， ·23xx＋＋x＝11－0b，x >0
1 21 2
(2)xl→im＋∞
x x＋1＋
x－1＝________.
x
【(2答)xl→i案m＋∞】
x＋1 1＋ 2
x－1＝________.
【答案】
1 2
例 2 (1)(08·湖北卷)已知 m∈N*，a，b∈R，若lxi→m0
1＋xxm＋a＝b，则 a·b＝(
)
A．－m
B．m
C．－1
D．1
【解析】由lxi→m0 x＝0 知，当 x＝0 时，(1＋x)m＋a
(1)lxi→m∞ x2＋2x－3 (2)xl→im＋∞ x( x＋3－ x－2) (3)lxi→m1 (1－3 x3－1－1 x)
x＋3－2 (4)lxi→m1 x－1
【解析】
(1)lxi→m∞ x22＋x2－ 2x－4x3＝lxi→m∞ 1＋2－2x－4x x32＝2
(2)原式＝xl→im＋∞
2．如何判断函数在点 x0 处的连续性 (1)初等函数在定义域内都连续，因此其不连续点即函数无定义点；而连续函数极限符号“xl→imx0”与函数对应关系“f”可交换顺序，确定是否连续即可代入 x0 值．
(2)考虑函数的连续性时还常常借助图象的直观性，即数形结合．
2010x，x>1 1．(2011·衡水调研卷)已知 f(x)＝ 0， x＝1

第31讲波函数

量子理论认为：微观现象只受统计性的因果律支配。量子理论认为：微观现象只受统计性的因果律支配。即：过程发生的几率表现出因果性，理论上只可能过程发生的几率表现出因果性，预言大量过程的统计平均性。个别过程的发生完全大量过程的统计平均性预言大量过程的统计平均性。个别过程的发生完全是随机的和不可预测的，完全没有空间和时间关联。是随机的和不可预测的，完全没有空间和时间关联。 1）放射性物质的放射性衰变问题）有一放射性物质，按照指数衰减规律衰变，有一放射性物质，按照指数衰减规律衰变，因而可以精确地预言在每段时间内将有多少比例的放射性核发生衰变。 ——统计性的因果律射性核发生衰变。统计性的因果律设在某一时刻观察到从这块物质的左半部分发生一次衰变过程。那么下次衰变会发生在什么时间，生一次衰变过程。那么下次衰变会发生在什么时间，哪个部分？无法预测!!! ——随机过程哪个部分？无法预测随机过程
4. 自由粒子的波函数
不受外力场的作用的粒子
考虑沿x轴正向传播的频率为波长为λ的平面考虑沿轴正向传播的频率为v 、波长为的平面轴正向传播的频率为简谐波， ——机械波简谐波，其波函数可表示为机械波
y ( x, t ) = A cos 2π (vt −
= R e[ Ae
− i 2 π ( vt −
波函数本身并没有直接的物理意义，波函数本身并没有直接的物理意义，有物理意义的是波函数模的平方。的是波函数模的平方。从这点来说，物质波在本质上与电磁波、从这点来说，物质波在本质上与电磁波、机械波是不同的，物质波是一种几率波，它反映微观粒子运是不同的，物质波是一种几率波，动的统计规律。动的统计规律。量子力学中，波函数只有复数形式。量子力学中，波函数只有复数形式。特别说明：特别说明：使用下式的前提条件是Ψ(x, y, z, t) 进行了归一化处理。进行了归一化处理。使用下式的前提条件是 P(x, y, z, t) =|Ψ(x, y, z, t) |2 否则，否则，应写成 P(x, y, z, t) ∝|Ψ(x, y, z, t) |2

3-1函数极限

0, N N ， n N，有 xn a ,
定义
注2. lim f ( x) A的几何解释
x
x
lim f ( x ) A 0, M 0, x M，有 f ( x ) A .
y
A
y f ( x)
1 当x是有理数，其中D( x) 0 当x是无理数。
证明：实数x0 , 下证 lim D( x)不存在。
1 当x是有理数，其中D( x) 0 当x是无理数。 1 情形一： lim D( x) 0.因为 0 = , 0, x x0 2 有理数x*: 0 | x * x0 | , 有 D( x*) 0 1 0；
极限A，记为 :
1 证： 0, M 0, x M , 有 x
1 例. lim 0 x + x
x
lim f ( x) A或f ( x) A( x )
1
注. lim f ( x) A与 lim an a定义比较
x n
§3.1 函数的极限的概念一、函数在无穷远处的极限
“ M ”
定义设f ( x)在[a, )上有定义，A是一个定实数.若 0,
M 0(M a), x M时，有 f ( x) A , 则称A是f ( x)在
正无穷远处的极限，或称f ( x （当 ) x 时）存在
x
定义设f ( x)在{x || x | a}上有定义，函数在无穷远处的极限 lim f ( x) A
x
0, M 0, x M，有 f ( x) A .
3x 2x 2 例. lim 3 2 x x 1

微专题31 三角函数的最值问题求解策略(解析版)

微专题31 三角函数的最值问题求解策略【方法技巧与总结】三角函数的最值问题主要涉及三角恒等变形，其主要思想是通过适当的三角变形或换元，将复杂的三角问题转化为基本三角函数或基本初等函数问题，再通过三角函数的有界性或求函数最值的方法进行处理．【题型归纳目录】题型一：恒等变形的应用，形如sin cos y a x b x =+ 题型二：二次函数型，形如2sin sin y a x b x c =++题型三：形如2(sin cos )(sin cos )(sin cos )y a x x b x x c x x =++++⋅ 题型四：分式结构，形如sin cos a x by c x d+=+【典型例题】题型一：恒等变形的应用，形如sin cos y a x b x =+例1．（2022秋•景洪市校级期中）求函数sin 3y x x =+的周期，最大值和最小值．【解析】解：化简可得sin 3y x x =+ 132(sin )2x x =+2(cos sin sin cos )33x x ππ=+ 2sin()3x π=+ ∴原函数的周期为2T π=，最大值为2，最小值为2-例2．（2022秋•镇江期末）已知函数()2sin (sin 3)1f x x x x =+-．（1）求函数()f x 的最小正周期和增区间；（2）当[0x ∈，]2π时，求函数()f x 的最大值和最小值．【解析】解：（1）()2sin (sin 3)1f x x x x =-22sin 23sin cos 1x x x =+- 3sin 2cos2x x =-2sin(2)6x π=-，22T ππ∴==，令2[262x k πππ-∈-，2][26k x k ππππ+⇒∈-，]3k ππ+，k Z ∈． ∴函数的增区间为：[6k ππ-，]3k ππ+，k Z ∈（2）[0x ∈，]2π时2[66x ππ⇒-∈-，5]6π；∴当266x ππ-=-即0x =时，()1min f x =-，当262x ππ-=即3x π=时，()2max f x =．例3．（2022•浙江模拟）已知函数()(3cos )cos f x x x x m =++的最大值为2．（Ⅰ）求()12f π的值；（Ⅱ）当[0x ∈，]2π时，求[()1][()1]12y f x f x π=-+-的最值以及取得最值时x 的集合．【解析】解：（Ⅰ）2()(3cos )cos 3cos cos f x x x x m x x x m =++=++31cos212sin(2)262x x m x m π+=++=+++的最大值为2， 1122m ∴++=，可得12m =， ()sin(2)16f x x π∴=++，3()sin(2)1sin 11121263f ππππ∴=⨯++=+=+．（Ⅱ）当[0x ∈，]2π时，3113[()1][()1]sin(2)sin(2)(2cos2)(sin 22)126322y f x f x x x x x x x πππ=-+-=++=+ 22333122sin 2cos2sin 42x x x x x =+=，当8x π=时，即{|}8x x x π∈=时，32max y += 当38x π=时，即3{|}8x x x π∈=时，32min y -=．变式1．（2022秋•六枝特区校级月考）已知函数11()sin 322f x x x =．（1）求()f x 的最小正周期和对称轴；（2）当[6x π∈，9)4π时，求()f x 的最大值和最小值．【解析】解：（1）函数111()sin 3cos 2sin()2223f x x x x π==-；故函数的最小正周期为2412ππ=，令1232x k πππ-=+，()k Z ∈，整理得523x k ππ=+，()k Z ∈．故函数的对称轴方程为523x k ππ=+，()k Z ∈．（2）由于[6x π∈，9)4π时，所以119[,)23424x πππ-∈-，故12sin()[23x π-∈．当6x π=时，函数取得最小值为2，当56x π=时，函数取得最大值为1．变式2．已知函数cos 4()22)4x f x x π=++，求：（1）函数的周期；（2）当x 为何值时函数()f x 取得最大值？最大值为多少？【解析】解：（1）cos 4()22)4x f x x π=++2222(cos2sin 2)22x x =-sin2cos22x x =++2)24x π=++，故22T ππ==；（2）令22()42x k k z πππ+=+∈，解得：8x k ππ=+，故()8x k k z ππ=+∈时，()f x 取得最大值22题型二：二次函数型，形如2sin sin y a x b x c =++例4．（2022秋•梅州期末）函数2cos sin y x x =-+的值域为( ) A ．[1-，1]B ．5[4-，1]-C ．5[4-，1]D ．[1-，5]4【解析】解：2cos sin y x x =-+， 2sin sin 1x x =+-， 215(sin )24x =+-，当12sinx =-时，54min y =-．当sin 1x =时95.144max y =-=，故函数的值域为：5[,1]4-．故选：C ．例5．（2022春•衡水期中）函数2sin sin 1y x x =+-的值域为( ) A ．[1-，1]B ．5[4-，1]-C ．5[4-，1]D ．[1-，54【解析】解：2sin sin 1y x x =+-，令sin x t =，则有21y t t =+-，[1t ∈-，1]，函数的对称轴：12t =-，开口向上，当12t =-及1t =时，函数取最值，代入21y t t =+-可得5[4y ∈-，1]．故选：C ．例6．（2022•湖南一模）函数11cos2sin 22y x x =-+-的值域为( )A ．[1-，1]B ．5[4-，1]C ．5[4-，1]-D ．[1-，5]4【解析】解：函数222111115cos2sin (12sin )sin sin sin 1(sin )222224y x x x x x x x =-+-=--+-=+-=+-1sin 1x -，∴当1sin 2x =-时，函数y 有最小值为54-．sin 1x =时，函数y 有最大值为1，故函数y 的值域为5[4-，1]，故选：B ．变式3．（2022秋•天河区校级月考）函数()cos26cos()2f x x x π=+-的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】解：2()cos26cos()2sin 6sin 12f x x x x x π=+-=-++，令sin t x =，[1t ∈-，1]，则函数()f x 可转化为关于t 的二次函数2261y t t =-++，[1t ∈-，1]，图象开口向下，对称轴为32t =，所以函数2261y t t =-++在[1-，1]上单调递增，所以当1t =时，函数取得最大值为5，故选：B ．变式4．（2022•浙江）已知4k <-，则函数cos2(cos 1)y x k x =+-的最小值是( ) A ．1 B ．1-C ．21k +D ．21k -+【解析】解：2cos2(cos 1)2cos cos 1y x k x x k x k =+-=+--令cos t x =，则221(11)y t kt k t =+---是开口向上的二次函数，对称轴为14kx =-> 当1t =是原函数取到最小值1 故选：A ．变式5．（2022秋•崇川区校级期中）已知函数41()(sin cos )cos42f x m x x x =++在[0,]2x π∈时有最大值为72，则实数m 的值为 1 ．【解析】解：函数41()(sin cos )cos42f x m x x x =++21(12sin cos )cos42m x x x =++221(12sin 2sin 2)(12sin 2)2m x x x =+++-21(1)sin 22sin 22m x m x m =-+++． ①当1m =时，函数化为：12sin 212x ++．当sin21x =时，函数取得最大值，172122++=．满足题意． ②当1m >时，函数化为：21(1)(sin 2)121m mm x m m -++---，当sin21x =时，函数取得最大值，可得171222m m m -+++=，解得1m =，不满足题意． ③当12m时，[1,1]1m m ∈--，当sin 21m x m =--时，函数取得最大值，此时17212m m -=-，解得34m =，不满足题意． ④当112m <<时，sin21x =时函数取得最大值，此时有171222m m m -+++=，解得1m =不满足题意．综上，1m =．故答案为：1．变式6．已知函数444()2(sin cos )(sin cos )f x x x m x x =+++在[0x ∈，)2π上的最大值为5，求实数m 的值．【解析】解：设sin a x =，cos b x =，且[0x ∈，)2π，则2222sin cos 1a b x x +=+=，1sin cos sin 22ab x x x ==，102ab∴； 444()2()()f x a b m a b ∴=+++222222222[()2](2)a b a b m a b ab =+-+++2224()(12)ab m ab =-++ 2224()[144()]ab m ab ab =-+++ 24(1)()42m ab mab m =-+++，当1m =时，()432sin 23f x ab x =+=+，在4x π=时取到最大值5，符合题意；当1m ≠时，21()4(1)[]12(1)1m f x m ab m m =-++---，由抛物线性质，知：当1m >时，111()()4(1)42415242max f x f m m m m ==-⨯+⨯++=+=，解得1m =，不符条件，舍去；当1m <时，若102(1)2mm -，则102m ， 1()[]152(1)1max m f x f m m ==-=--，解得34m =，不符条件，舍去；若112m <<，则1()()4152max f x f m ==+=，解得1m =，不符条件，舍去；若0m <，则()(0)25max f x f m ==+=，解得3m =，不符条件，舍去；综上，只有一个解1m =；即()f x 在[0x ∈，)2π上的最大值为5时，1m =．题型三：形如2(sin cos )(sin cos )(sin cos )y a x x b x x c x x =++++⋅例7．（2022春•习水县校级期末）函数sin cos sin cos y x x x x =++，[0x ∈，]3π的最大值是 122．【解析】解：令sin cos 2)4t x x x π=+=+，[0x ∈，]3π，可得[44x ππ+∈，7]12π，1sin()[42x π∴+∈，1]，2[2t ∴∈2]，21sin cos 2t x x -=． ∴函数2211sin cos sin cos (1)122t y x x x x t t -=++=+=+-，故当2t =y 取得最大值为122，故答案为：122．例8．求函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值．【解析】解：令sin cos 2)4t x x x π=+=+，则22t-，则21sin cos 2t x x -=，故22111(1)1(22)222y t t t t=+-=+--，对称轴是1t =-，故当2t =y 有最大值122．例9．（2022春•香洲区校级期中）已知sin cos x x t -= （Ⅰ）用t 表示33sin cos x x -的值；（Ⅱ）求函数sin cos sin cos y x x x x =-+，[0x ∈，]π的最大值和最小值．（参考公式：3322()())a b a b a ab b -=-++【解析】解：由sin cos x x t -=，得212sin cos x x t -=，即21sin cos 2t x x -=，（Ⅰ）233313sin cos (sin cos )(1sin cos )(1)22t t t x x x x x x t ---=-+=+=；（Ⅱ）由题设知：2)4t x π=-，3444x πππ--，2sin()14x π-， 2221111(1)12222t y t t t t -∴=+=-++=--+，且[1t ∈-，2]，∴当1t =时，1max y =；当1t =-时，1min y =-．变式7．已知[6x π∈-，]2π，求函数(sin 1)(cos 1)y x x =++的最大值和最小值．【解析】解：函数(sin 1)(cos 1)y x x =++ sin cos sin cos 1x x x x =+++，令sin cos 2)4t x x x π=++，[6x π∈-，]2π，[412x ππ∴+∈，3]4π，62sin()[4x π-∴+∈1]， 31[t -∴∈2]，又212sin cos t x x =+，21sin cos 2t x x -∴=， 22111(1)22t y t t -∴=++=+，对称轴：1t =-，区间31[-，2]在对称轴的右边，为递增区间． 213123(2min y ++∴==， 21322(21)22max y +==．变式8．设sin cos a x x =，sin cos b x x =+．（1）求a ，b 的关系式；（2）若(0,)2x π∈，求sin cos sin cos y x x x x =++的最大值．【解析】解：（1）sin cos b x x =+，22(sin cos )12sin cos 12b x x x x a ∴=+=+=+；（2）由（1）21(1)2a b =-，2)(14b x π=+∈2]．2211(1)(1)122y a b b b b =+=-+=+-，2b ∴=sin cos sin cos y x x x x =++的最大值为122．题型四：分式结构，形如sin cos a x by c x d+=+例10．求函数3(sin 2)5sin 2x y x +-=+的值域．【解析】解：由3(sin 2)553sin 2sin 2x y x x +-==-++．当sin 1x =时，43max y =，当sin 1x =-时，2min y =-．∴函数的值域为4[2,]3-．例11．已知[0x ∈，2)π，求函数1cos sin 2xy x -=+的值域．【解析】解：1cos sin 2xy x -=+sin 21cos y x y x ∴+=-， sin cos 12y x x y ∴+=-，∴21)12y x y θ++=-，其中2tan 1yθ=+2sin()1x yθ∴++，[0x ∈，2)π， (,2)x θθπθ∴+∈+ 1sin()1x θ∴-+， 212111y y-∴-+，解得403y即函数的值域为[0，4]3．例12．求函数sin 2sin 1x y x =+，[6x π∈，]2π的值域．【解析】解：函数11sin sin 11222sin 12sin 124sin 2x x y x x x +-===-+++，[6x π∈，]2π 可得4sin 2[4x +∈，6]，111[,]4sin 264x ∈+，sin 11[,]2sin 143x y x =∈+．变式9．用至少2种方法求函数sin cos 2xy x =-的值域．【解析】解：方法1: cos 20x -≠，(cos 2)sin y x x ∴-= sin cos 2x y x y ⇔-=- ⇔21)2y x y θ++=-⇔2sin()1x y θ+=+，sin()[1x θ+∈-，1]，∴22111y y --+，解得333y ， ∴函数的值域为：33[．方法22222tan212tan222:11322212x x x tan y x x tan tan xtan +==--+-+，令tan ()2x t t R =∈，则2213ty t =-+，当0t =时，0y =，当0t ≠时，213y t t=-+，13(,23][23,)t t+∈-∞-+∞，33[y ∈⋃． ∴函数的值域为：33[．故答案为：33[．变式10．（1）求cos 2cos 1xy x =+值域（2）求1sin 3cos xy x+=+的值域．【解析】解：（1）由cos 2cos 1xy x =+可得，cos 12y x y =-，由于1cos 1x -，即为||112yy-，即2(1)(31)0(12)y y y ---，解得1y 或13y，则值域为(-∞，1][13，)+∞；（2）1sin 3cos xy x+=+，3cos 1sin y y x x ∴+=+，即sin cos 31x y x y -=-，∴21)31y x y θ++=-，2sin()1x yθ∴++，又1sin()1x θ-+， 231111y y-∴-+，解得304y ，即函数1sin 3cos x y x +=+的值域是[0，3]4．【过关测试】一．选择题1．（2022秋•湖州期末）函数sin (cos sin )y x x x =-，x R ∈的值域是( ) A ．1[2-，3]2B ．1212[22C ．31[,]22-D ．1212[22-- 【解析】解：函数211121sin (cos sin )sin cos sin sin 2cos2)22242y x x x x x x x x x π=-=-=-+=+-．1sin(2)14x π-+∴2121222y --．故选：D ．2．函数sin(2)()3y x x R π=-∈的值域为( )A ．[1-，1]B ．[2-，2]C ．1[2-，1]2D ．(1,1)-【解析】解：函数sin(2)()3y x x R π=-∈的值域为[1-，1]，故选：A ．3．（2022春•渝中区校级期中）函数2sin sin 1()y x x x R =-+∈的值域是( ) A ．3[4，3]B ．[1，2]C ．[1，3]D ．1[2，3]【解析】解：令sin x t =，则22131()24y t t t =-+=-+，[1t ∈-，1]，由二次函数性质，当12t =时，y 取得最小值34．当1t =-时，y 取得最大值3，3[4y ∴∈，3]故选：A ．4．（2022秋•武冈市校级期中）函数23()sin 3cos ,([0,])42f x x x x π=-∈的最大值是( )A ．1B 334C ．334- D ．14【解析】解：2231()3cos 3cos 44f x sin x x cos x x =-=-+，令cos t x =，[0x ∈，]2π，cos [0t x ∴=∈，1]，则原函数化为2134y t t =-+，其对称轴方程为3t =， ∴当3t =时，y 有最大值为1．故选：A ．5．（2022秋•鄂尔多斯期中）设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos (θ= )A 25B 5C ．25D ．5 【解析】解：由题意可得()sin 2cos 5()555f θθθθθ=-=∴155θθ=．再结合22sin cos 1θθ+=，求得sin 5θ=25cos 5θ== 故选：C ．6．（2022秋•贵阳期末）当02x π<<时，函数2228()sin 2cos x sin xf x x +=的最小值为( )A ．2B ．23C ．4D ．43【解析】解：当02x π<<时，tan 0x >，∴函数2222282cos 8sin 11()4tan 24tan 4sin 22sin cos tan tan cos x sin x x x f x x x x x x x x++===+⨯，当且仅当1tan 2x =时，取等号，故()f x 的最小值为4，故选：C ．7．（2022秋•镜湖区校级期末）已知函数2()sin 2sin xf x x =+，则()f x 的最大值为( )A ．2-B ．1-C ．0D ．1【解析】解：24()sin 24sin 2sin 2sin x f x x x x ==++-++，令sin 2t x =+，[1t ∈，3]，则44y t t=+-，由对勾函数的性质可知44y t t =+-在[1，2]上单调递减，在(2，3]上单调递增，当1t =时，1y =，3t =时，13y =，所以函数()f x 的最大值为1．故选：D ．8．（2022秋•诸暨市校级月考）已知当4x π=-时，函数()sin cos f x a x x =+取到最大值，则3()4f x π+是()A ．奇函数，在0x =时取到最小值B ．偶函数，在0x =时取到最小值C ．奇函数，在x π=时取到最小值D ．偶函数，在x π=时取到最小值【解析】解：由于当4x π=-时，函数()sin cos f x a x x =+取到最大值，故2221a +=+1a =-，故()cos sin 2)4f x x x x π=-+，所以3()cos()cos 4f x x x ππ+=+=-，故函数3()4f x π+为偶函数，在0x =时，函数取得最小值1-．故选：B ．二．填空题9．（2022春•南关区校级期中）函数21sin 2sin 2y x x =+，x R ∈的值域是．【解析】解：函数2111cos2122212sin 2sin sin 2(2))222224x y x x x x x x π-=+=+==-，1sin(2)14x π--，222sin(2)242x π-， ∴12122222y -+，故函数的值域为2121[]22+，故答案为2121[]22+． 10．（2022•江西）设()33cos3f x x x =+，若对任意实数x 都有|()|f x a ，则实数a 的取值范围是．【解析】解：不等式|()|f x a 对任意实数x 恒成立，令()|()|33cos3|F x f x x x ==+，则()max a F x ．()3sin3cos32sin(3)6f x x x x π=+=+2()2f x ∴- 0()2F x ∴ ()2max F x =2a ∴．即实数a 的取值范围是2a 故答案为：2a ．11．（2022秋•南昌期末）若6x π=是函数()3sin 2cos2f x x a x =+的一条对称轴，则函数()f x 的最大值是．【解析】解：2()3sin 2cos 29)f x x a x a x θ=+=++（其中tan )3aθ=，又6x π=是函数的一条对称轴，262k ππθπ∴⨯+=+，即6k πθπ=+，k Z ∈．由3tan 3tan()3tan 366a k ππθπ==+==299323a ++=∴函数()f x 的最大值是3故答案为：2312．（2022秋•阆中市校级月考）函数3()sin(2)3cos 2f x x x π=+-的值域为．【解析】解：22317()cos23cos 2cos 3cos 12(cos )48f x x x x x x =--=--+=-++，1cos 1x -，∴当cos 1x =时，()4min f x =-，故函数()f x 的最小值为4-，∴当3cos 4x =-时，()f x 最大为178，故函数()f x 的最小值为178， ()f x ∴的值域为[4-，17]8．故答案为：[4-，17]8． 13．函数(2sin )(2cos )y x x =+-的最大值是．【解析】解：函数(2sin )(2cos )y x x =+- 42(sin cos )sin cos x x x x =+--，设sin cos t x x =-，则2)[24t x π-∈-2]；212sin cos t x x =-，21sin cos 2t x x -∴=， 2211342(2)222t y t t -∴=+-=++，当[2t ∈-2]时，函数y 单调递增； 2t ∴=y 取得最大值是9222．故答案为：9222． 14．函数3sin xy 的值域是．【解析】解：由3sin xy =3cos 2x y x y +=，∴23)2y x y α++=，2sin()3x yα∴+=+2|13y+，解得11y -故答案为：[1-，1]．15．（2022•湖南）若(0,)2x π∈则2tan tan()2x x π+-的最小值为．【解析】解：12tan tan()2tan 2tan x x x xπ+-=+(0,)2x π∈，tan 0x ∴>，112tan 22tan 22tan tan x x x x ∴+⋅2tan x =时，等号成立）故答案为：2216．（2022春•蚌埠期末）当02x π<<时，函数21cos28sin ()sin 2x xf x x ++=的最小值为．【解析】解：2221cos28sin 8sin 2cos 4sin cos ()4sin 22sin cos cos sin x x x x x x f x x x x x x+++===+当且仅当224sin cos x x =时等号成立．故答案为：417．（2022秋•东城区期末）已知函数()sin 3f x x x =+，则()f x 的最大值为．【解析】解：函数()sin 3cos 2sin()3f x x x x π==+，()f x ∴的最大值为2，故答案为：2．18．（2022秋•台江区校级期末）当04x π<<时，函数221sin ()cos sin sin xf x x x x -=⋅-的最小值是．【解析】解：222cos 1()sin cos sin tan tan x f x x x x x x==--．当04x π<<时，tan (0,1)x ∈，2111tan tan 244x x⇒--=， ()4f x ∴．19．（2022秋•杭州期末）函数()2sin(2)6f x x π=-在[4x π∈-，]4π上的最大值为．【解析】解：[4x π∈-，]4π， 2(2)[63x ππ∴-∈-，]3π， 2sin(2)[26x π∴-∈-3]，∴函数()2sin(2)6f x x π=-在[4x π∈-，]4π3 3 三．解答题20．（2022春•石门县校级期末）已知函数()2)4f x x π=+，x R ∈．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的单调递增区间和单调递减区间；（3）当[0x ∈，]2π，求()f x 值域．【解析】解：（1）由解析式得3ω=，则函数的最小正周期223T ππω==．（2）由232242k x k πππππ-++，k Z ∈，得323244k x k ππππ-+，k Z ∈，即2234312k k x ππππ-+，k Z ∈，即函数的单调递增区间为2[34k ππ-，2]312k ππ+，k Z ∈，由3232242k x k πππππ+++，k Z ∈，得225312312k k x ππππ++，k Z ∈，即函数的单调递减区间为2[312k ππ+，25]312k ππ+，k Z ∈．（3）当[0x ∈，]2π时，3[0x ∈，3]2π，3[44x ππ+∈，7]4π，则当342x ππ+=时，函数()f x 取得最大值，此时()222f x π=，当3342x ππ+=时，函数()f x 取得最小值，此时3()222f x π==- 即()f x 值域为[2-2]．21．（1）求函数34cos(2)3y x π=-+，[3x π∈-，]6π的最大值和最小值及相应的x 值．（2）求函数2cos 2sin 2y x x =+-，x R ∈的值域．（3）若函数2()sin cos 2f x x a x =-++，[0x ∈，]2π的最小值为12，求a 的值．【解析】解：（1）34cos(2)3y x π=-+，[3x π∈-，]6π， 2[33x ππ+∈-，2]3π， ∴当203x π+=时取最小值，最小值为1-，即6x π=-，2233x ππ+=时取最大值，最大值为5，即6x π=，6x π∴=-时，y 取最小值为1-，6x π=时，y 取最大值为5；（2）2cos 2sin 2y x x =+-， 2sin 2sin 1x x =-+-，令sin x t =，[1t ∈-，1]，221y t t ∴=-+-，[1t ∈-，1]，由二次函数图象可知，对称轴为1， y ∴在定义域[1-，1]上单调递增，y 的值域为[4-，0]，∴函数2cos 2sin 2y x x =+-，x R ∈的值域[4-，0]；（3）2()sin cos 2f x x a x =-++，[0x ∈，]2π，2()cos cos 1f x x a x ∴=++，[0x ∈，]2π，令cos x t =，[0t ∈，1]，2()1f t t at ∴=++，[0t ∈，1]，由二次函数性质可知：0a <，当对称轴12at =->，即2a <-时， ∴最小值为f （1）12=， 322a ∴=->-，不成立，当012a-，20a -，当2at =-取最小值，2a ∴=-．22．（2022秋•南阳期中）已知函数22()2cos ()sin 3f x x x π=-+-．（1）求函数()y f x =的单调递增区间；（2）若函数()()(0)2g x f x πϕϕ=+<<的图像关于点(,1)2π中心对称，求()y g x =在[,]63ππ上的值域．【解析】解：（1）22222131cos(2)cos 2cos sin 2sin 1cos 2211cos 21cos 21cos 233322()2cos ()sin 2223222222x x x x x x x x f x x x ππππ++-+-+---=-+-=--=--=--13cos 2211cos 2333313222cos 221(2sin 2)1)122423x x x x x x x x π-+-=--=+=++=++，即3())13f x x π++，令222,232k x k k Z πππππ-++∈，解得5,1212k x k k Z ππππ-+∈，所以函数的单调递增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-+∈．（2）因为33()())]12)133g x f x x x ππϕϕϕ=+=+++=+++，又()g x 的图像关于点(,1)2π中心对称，所以2,3k k Z ππϕπ++=∈，解得21,32k k Z πϕπ=-+∈，因为02πϕ<<，所以3πϕ=，所以33())121g x x x π=++=+，当[,]63x ππ∈时，22[,]33x ππ∈，所以3sin 2[x ∈，所以31()[1,]4g x ∈，即()y g x =在[,]63ππ上的值域为31[1]4．23．（2022春•浦东新区校级期中）已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x =-．（1）求函数()y f x =的最小正周期和严格递减区间；（2）若()()1g x f x =+，[0,]2x π∈，求函数2()()2g x y g x =+的值域．【解析】解：（1）2()2sin cos 2cos sin 2(1cos2)2)14f x x x x x x x π=-=-+=--，所以最小正周期22T ππ==，令2(242x k πππ-∈+，32)2k ππ+，k Z ∈，则3(8x k ππ∈+，7)8k ππ+，k Z ∈，故最小正周期为π，严格递减区间为3(8k ππ+，7)8k ππ+，k Z ∈．（2）()()12)4g x f x x π=+-，因为[0,]2x π∈，所以2[44x ππ-∈-，3]4π，所以()[1g x ∈-2]，故2()2(()2)442[2()2()2()2g x g x y g x g x g x +-===-∈-+++，222]-+．24．（2022秋•硚口区期末）已知函数22()(sin cos )233f x x x x =+- （1）求()f x 的单调递增区间；（2）求函数()12y f x π=+，[0,]2x π∈的值域．【解析】解：（1）由三角函数公式化简可得： 1cos2()1sin 22332xf x x +=+-sin 23cos212sin(2)13x x x π=+=-+，由222232k x k πππππ--+可得5,1212k x k k Z ππππ-+∈，()f x ∴的单调递增区间为：5[,],1212k k k Z ππππ-+∈；（2）由（1）可得()2sin(2)1126y f x x ππ=+=-+，2x π，∴52666x πππ--，∴1sin(2)126x π--，03y ∴∴函数的值域为：[0，3]25．（2022春•柳州期末）已知函数2()(sin cos )cos(2)16f x x x x π=+++-．求：（1）函数()f x 的最小正周期；（2）方程()0f x =的解集；（3）当[,]44x ππ∈-时，函数()y f x =的值域．【解析】解：（1）函数231()(sin cos )cos(2)11sin 2sin 2162f x x x x x x x π=+++-=+--sin 23sin(2)23x x x π==+，故它的最小正周期为22ππ=．（2）由()0f x =，可得sin(2)03x π+=，23x k ππ∴+=，k Z ∈，求得26k x ππ=-，k Z ∈，故方程()0f x =的解集为{|26k x x ππ=-，k Z ∈}．（3）当[,]44x ππ∈-时，2[36x ππ+∈-，5]6π，1sin(2)[32x π∴+∈-，1]，故函数()y f x =的值域为1[2-，1]． 26．（2022秋•汶上县校级月考）已知函数()2sin(2)6f x x aa R π=++∈，a 是常数（1）求5()3f π的值（2）若函数()f x 在[,]44ππ-3a 的值．【解析】解：（1）()2sin(2)6f x x a π=++，a R ∈， 510()2sin()2336f a a πππ∴=++=-+⋯（3分）（2）因为[4x π∈-，]4π， 2[63x ππ∴+∈-，2]3π， 3sin(2)[6x π∴+∈，1]⋯（6分） 3()2a f x a ∴-+⋯（9分）即2max y a =+，3min y a =，由已知得323a a -++=31a ∴⋯（12分）27．（2022春•兴庆区校级期末）已知函数2()2cos 2222x x x f x =．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间[π-，0]上的值域．【解析】解：（1）211cos 2()2cos 22sin 2sin()222224x x x x f x x x π-=-=+， ()f x ∴的最小正周期为221ππ=．（2）[x π∈-，0]，3[44x ππ∴+∈-，]4π，sin()[14x π∴+∈-2，22sin()[14x π∴+-，0]，故()f x 的值域为2[1--． 28．求函数cos 21y x +- 【解析】解：函数cos 21y x =+-，sin 1cos 20x y x y y ∴-=+-=，即sin cos (21)1x y x y -=+， 21)(21)1y x y θ++=+，即2(21)1sin()1y x y θ-++=+．根据|sin()|1x θ+，求得2(21)111y y -++，平方化简可得2(222)2(21)y y -，即(1)0y y -，解得1y ，或0y ，即函数的值域为{|1x y ，或0}y ．。

31分段函数奇偶性

⑵由于两段图像均易作出，所以在判断奇偶性时用的是图像法。对于某些不易作图的分段函数，在判断奇偶性时就需要用定义法了，下面以本题为例说说定义法如何判断：整体思想依然是找到，只是在代入过程中要注意的范围：设，则，，，即为偶函数。
【例3】已知函数，若，则的值域是_______________
【答案】
【思路】是一个分段函数，其分段标准以的大小为界，所以第一步先确定好的取值，解不等式，解得，故，分别求出每段最值，再取并集即可.
【解析】当时，，在单调递减，， ;
⑴当时，，在上单调递增， ;
⑵当时，，在上单调递减，。
综上所述，的值域是。
【例4】已知函数是定义在上的奇函数，且当时， .
⑵当时，，，，
即，，解得，，。
综上所述，实数的取值范围是。
法二：可以作出的图像，
由图可发现为偶函数，所以，故所解不等式变为，即，即。
【解后反思】⑴本题判断函数的奇偶性可以简化运算，而想到这一点是源于抓住所解不等式中的特点。由此可见，有些题目的思路源于式子中的一些暗示；
⑶对任意的，不等式恒成立，等价于 , 是在上的单调递增函数,有，
法一：原式等价于，故，解得 ;
法二：原式等价于，设，。
处理这类问题，方法主要有两种：方法一：定义法.方法二：数形结合.
【例1】判断函数的奇偶性。
【解析】由题得函数的定义域关于原点对称.
设 ,则，
设则，
所以函数是奇函数.
【点评】⑴对于分段函数奇偶性的判断，也是要先看函数的定义域，再考虑定义，由于它是分段函数，所以要分类讨论;⑵注意，当求要代入下面的解析式，因为 ,不是代入上面一段的解析式.

人教版七年级数学下册课件：19.1.2函数的图象(共31张ppt)

解：①列表（自变量x取一切实数）
x…
…
y…
…
例3（1）、画出函数y=x+0.5的图象
解：①列表（自变量x取一切实数）
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … -2.5 -1.5-0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 …
②描点
y 5
③连线
4 3
2
1
y=x+0.5
从该函数图象可以看出哪些
AB
O0
15 25 37
55
E
80 x/分
问题2：小明给菜地浇水用了多少（出时2，）小间由明横给？坐菜标地看浇
y/千米
水用了10分。（25-10）
解：由横坐标看出，小明给菜地浇水用了10分钟。
2
C
D
AB
1.1
O0
15 25 37
55
E
80 x/分
问题3：菜地离玉米地多远？小明从菜地走到玉米地用了多少时间？
探索归纳：
一、由函数图象的定义可知： (1)函数图象上的点一定满足函数解析式。
(2)满足函数解析式的点的一定在函数图象上。即：函数图象上的点与函数解析式的每一对对应值
是一一对应的。
二、判断点在函数图象上的方法：
将这个点的坐标(x, y)代入函数解析式中，若满足函数解析式，那么点就在函数的图象上；如果不满足函数解析式，那么点就不在函数的图象上。
y/千米
C
D
2
AB
1.1
O
0
15 25
37
55
E
80 x/分
问题1：菜地离小明家多远？小明走到菜地
用了多少时间？

31度正弦余弦值

31度正弦余弦值正弦和余弦是三角函数中常见的两个函数，它们在数学和物理等领域中有着广泛的应用。

本文将介绍31度正弦和余弦值的计算方法和相关概念，以及与之相关的一些重要应用和实际问题。

首先，我们需要明确正弦和余弦函数的定义。

在一个单位圆上，正弦函数给出了不同角度的点对应的纵坐标值，余弦函数则给出了这些点对应的横坐标值。

在数学上，我们通常用"x"表示角度，用"sin(x)"表示正弦值，用"cos(x)"表示余弦值。

在计算31度的正弦和余弦值之前，我们需要使用单位圆上的定义和相关公式。

单位圆是一个半径为1的圆，圆心是原点(0,0)。

我们将这个圆心和一个角度"θ"相连，这个角度的大小取决于我们要计算的正弦和余弦值。

根据三角函数的定义，我们可以得到以下公式：sin(θ) = y / 1cos(θ) = x / 1其中，y是角度θ对应的点在单位圆上的纵坐标值，x是对应的横坐标值。

所以，我们需要找到在单位圆上与31度对应的点的坐标。

要计算31度对应的正弦和余弦值，我们可以利用三角函数的周期性质。

由于正弦和余弦函数在每个周期内都会重复相同的值，我们可以使用小于360度的角度来计算。

在这种情况下，我们可以使用下面的公式：sin(θ) = sin(θ - 360)cos(θ) = cos(θ - 360)根据上述公式，我们可以将31度转化为一个小于360度的角度。

具体来说，31度可以写成360度减去329度的形式。

因此，我们可以使用329度对应的正弦和余弦值来计算31度对应的值。

为了计算329度对应的正弦和余弦值，我们可以使用三角函数表或科学计算器。

根据具体数值，我们可以得到以下结果：sin(329) ≈ -0.515cos(329) ≈ 0.857因此，31度对应的正弦值约为-0.515，余弦值约为0.857。

在实际应用中，正弦和余弦函数被广泛应用于测量和计算角度、振动和波动分析、信号处理等领域。

31倍哈希算法公式

31倍哈希算法公式
我们要找出31倍哈希算法的公式。

首先，我们需要了解哈希函数的基本概念和哈希函数的一般形式。

哈希函数是一种将输入（例如字符串）映射到固定大小的数字的函数。

哈希函数的一般形式为：H(key) = hash(key)
其中，H是哈希函数，key是输入，hash(key)是输出的哈希值。

然而，对于31倍哈希算法，其具体的公式可能因实现而异。

但一般来说，31倍哈希算法可能涉及到将输入值乘以31，然后对结果进行一些位操作或取模操作。

假设我们有一个输入值x，那么31倍哈希算法的公式可能如下：
hash(x) = (x 31) % m
其中，m是一个正整数，表示哈希表的大小。

注意：这只是一个可能的公式，实际的31倍哈希算法可能会有所不同。

为了获得准确的公式，我们需要查阅相关的文档或源代码。

31.有理函数与三角函数乘积的积分

n
e iz e iz 2 i lim lim 2 2 z i ( z i )( z 9) z 3 i ( z 1)( z 3i ) e 1 e 3 2 2 i 3 e 1 . 3 16i 48i 24e
f (z)在实轴上的所有孤立奇点，且都是1级极点, 则当广义积分 f ( x )sin mxdx m 0 收敛时，

Байду номын сангаас

f ( x )sin mxdx

f ( x )cos mxdx ?
n N imz imz Im 2 i Res f ( z )e , zk i Res f ( z )e , zk . k 1 k 1
平面内惟一的孤立奇点, 且是1级极点. 显然 f (z)满 P(z) 设 f (,z ) 是有理函数, Q(z)在足定理1 的条件所以 Q( z ) x sin x xe ix 1 1 实轴上没有零点，多项式 z)的次数至少比 P2 (zd )的 I dQ x ( Im x 2 2 2 2 x a 2 x a 次数高1次，z1 , z2 ,, zn 是 f (z)在上半平面内的所有 1 a iz Im 2 i Re s f ( z ) e , ai e . 孤立奇点，则对任何实数 m >0, 2 2

其实部(虚部为零)就是所要求的积分，即

cos x 2 d x 3 e 1 . 2 2 3 ( x 1)( x 9) 24e

例2
计算积分I 0

31度正弦余弦值

31度正弦余弦值
31度的正弦值为 0.5090，而余弦值则为 0.8608。

三角函数的正弦和余弦是用来描述平面角的三角函数度量表示，它们按照相同的刻度标准来测量角度，以便更好地表达出角度之间的关系。

31度正弦值就是在31度时所计算出来的正弦值，为0.5090，正弦值表示31度时所对应的曲线高度。

而余弦值则是在31度时所得到的余弦值，为0.8608，余弦值表示31度时所对应的曲线宽度。

正弦值和余弦值都是用于衡量特定角度时它们的位置的变化的，这也是三角函数的最基本原理。

两个变量的值的大小都会受到角度的影响，无论是正值还是负值，两个值都会随角度的变化而变化。

正弦值和余弦值可以用来确定一个角度的位置，也可以用来衡量曲率半径的大小，从而差异化不同类型的曲线。

另外，它们也可以用来求解三角函数问题和求解解析式，从而简化复杂的大数学问题。

因此，31度时的正弦值为0.5090，余弦值为0.8608，以上就是31度正弦余弦值的简介。

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