(完整版)2000-2017历年考研数学一真题(答案+解析)

历年考研数学一真题1987-2017

（答案+解析）

（经典珍藏版）最近三年+回顾过去

最近三年篇（2015-2017）

2015年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．

１．设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，其二阶导数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =在(,)-∞+∞的拐点个数为

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3

【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点0x =．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C ）

2．设21123()x x

y e x e =+-是二阶常系数非齐次线性微分方程

x y ay by ce '''++=的一个特解，则

（A ）321,,a b c =-==- （B ）321,,a b c ===- （C ）321,,a b c =-== （D ）321,,a b c ===

【详解】线性微分方程的特征方程为2

0r ar b ++=，由特解可知12r =一

定是特征方程的一个实根．如果21r =不是特征方程的实根，则对应于

()x f x ce =的特解的形式应该为()x Q x e ，其中()Q x 应该是一个零次多

项式，即常数，与条件不符，所以21r =也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得213212(),a b =-+=-=⨯=，同时*x

y xe =是原来方程的一个解，代入可得1c =-应该选（A ）

３．若级数

1

n

n a

∞

=∑条件收敛，则33,x x ==依次为级数

1

1()

n

n

n na x ∞

=-∑的

（Ａ）收敛点，收敛点 （Ｂ）收敛点，发散点

(Ｃ）发散点，收敛点 （Ｄ）发散点，发散

点

【详解】注意条件级数

1

n

n a

∞

=∑条件收敛等价于幂级数

1

n n

n a

x ∞

=∑在1x =处条

件收敛，也就是这个幂级数的收敛为1，即1

1lim

n n n

a a +→∞

=，所以1

1()n n n na x ∞

=-∑的收敛半径1

11lim

()n

n n na R n a →∞

+==+，绝对收敛域为

02(,)，显然33,x x ==依次为收敛点、发散点，应该选（B ）

４．设D 是第一象限中由曲线2141,xy xy ==与直线3,y x y ==所

围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则

(,)D

f x y dxdy =⎰⎰（ ）

（

Ａ）

13214

22sin sin (cos ,sin )d f r r rdr

π

θπθ

θθθ⎰⎰

（Ｂ）

2314

22sin sin (cos ,sin )d f r r rdr π

θ

πθ

θθθ⎰⎰

（

Ｃ

）

13214

22sin sin (cos ,sin )d f r r dr

π

θπθ

θθθ⎰⎰

（Ｄ）

23

14

22sin sin (cos ,sin )d f r r dr π

θ

π

θ

θθθ⎰⎰

【详解】积分区域如图所示，化成极坐标方程：

2

2

1

212122sin cos sin sin xy r r r θθθ

θ

=⇒=⇒=⇒=

2

2

1

41412222sin cos sin sin xy r r r θθθ

θ

=⇒=⇒=⇒=

也就是D ：4

32sin sin r ππθθθ⎧<<⎪⎪⎨<<22

所以

(,)D f x y dxdy =⎰⎰23

14

22sin sin (cos ,sin )d f r r rdr π

θ

πθ

θθθ⎰⎰

，所以应该选

（B ）．

5．设矩阵2211111214,A a b d a d ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪

== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，若集合{}12,Ω=，则线性方程

组Ax b =有无穷多解的充分必要条件是

（A ）,a d ∉Ω∉Ω （B ）,a d ∉Ω∈Ω

（C ）,a d ∈Ω∉Ω （D ）,a d ∈Ω∈Ω 【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：

222211111111111120111011

140311001(,)()(B A b a

d a d a a d a d a a ⎛⎫⎛⎫⎛

⎪ ⎪

==→--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ----⎝

⎭⎝⎭⎝

方程组无穷解的充分必要条件是3()(,)r A r A b =<，也就是

120120()(),()()a a d d --=--=同时成立，当然应该选

（D ）．

6．设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为

2221232y y y +-，其中()123,,P e e e =，若()132,,Q e e e =-，

则123(,,)f x x x 在x Qy =下的标准形为

（A ）2221232y y y -+ （B ）222

1232y y y +- （C ）2221232y y y -- （D ） 222

1232y y y ++

【详解】()()132123100100001001010010,,,,Q e e e e e e P ⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭

，