高中数学必修四三角函数的诱导公式习题课.ppt
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高中数学必修四三角函数的诱导公式习题课.ppt
3
3
3
cos[ ( )] cos( )
3
3
sin( 2 ) cos2( 4 )
3
3
sin( ) cos2( ) 3 [1 ( 3 )2 ] 3 2
3
3
3
3
3
三、针对性练习
4、化简：sin[(k 1) ] cos[(k 1) ] (k Z ) sin(k ) cos(k )
2
2
(1)化简f ( )； (2)若 31 , 求f ( )的值。
3
解：f ( )
cos
cos
cos ( cos 1) cos cos cos
1
1
2
1 cos
1 cos
sin2
二、典例分析
例1、已知：f
(
)
cos( ) cos[sin(3
)
1]
2
cos(
cos(2 ) )sin( ) sin(3
)
f ( )
2
sin2
➢题结：
2
2
(1)化(1简)化或简变形f (通)常；先(2用)若诱导公式3，1将,三求角f (函 )数的式值的。角
度统一后，再用同角三角函数关系3式，这可避免公式 解交：Q错s使in(用 时31导)致 的sin混(乱31。 6 2 ) sin 5 sin
(0(值23°))，求 对~f见3任一(6值0意 些)°知角 特内3(角的 殊的s”i三 角n2角。角 的3，)函三2最数角后(3值函化2一数2为3 )般值2锐先要角83用熟进公记行式，求3一 做值将 到。“角见化角为3 知
tan( 2k ) tan (k Z ) tan( + ) tan
高中数学人教A版必修4PPT课件：三角函数诱导公式
cos x tan y
x
sin( ) y
cos( ) x
tan( ) y y
x x
公式二
sin( ) sin
cos( ) cos tan( ) tan
高中数学人教A版必修4PPT课件：三角 函数诱 导公式
公式二
公式二
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
高中数学人教A版必修4PPT课件：三角 函数诱 导公式
高中数学人教A版必修4PPT课件：三角 函数诱 导公式
公式三
sin y cos x tan y
x
sin( ) y
cos( ) x
tan( ) y y
xx
公式三
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
（公式四）
0~π 锐角
例题
例2
化简：
s
cos in
180 180
sin 360 cos 180
．
1.诱导公式
小结
函数名不变，符号看象限
2.做题规律
（公式三）
（公式一）
（公式二）
负角
正角 k 2 0~2π
（公式四）
0~π 锐角
课后活动
诱导公式
• 大家对 0 ~ 90的 三角函数值非常熟悉. • 本节课的目的就是用 0 ~ 90的三角函数值
来求任意角的三角函数值.
课中活动
？
sin 2100 sin(1800 300 ) sin 300
cos1350 cos( 180 0 450 ) ？cos 450
？
和
公式二
sin y
• P29 2 ，3 • 完成P15“新知导学”的预习
人教版2017高中数学(必修四)1.3第1课时 三角函数诱导公式二～四 PPT课件
－cos αsin α [解] (1)原式＝ －sin（ α＋180° ）cos（180° ＋ α） －cos α· sin α ＝ ＝1. sin α · （－cos α）
sin[（ π＋ α）＋2nπ]＋ 2sin[（ α－ π）－2nπ] (2)原式＝ sin（ α－2nπ） cos（ 2nπ－ α） sin（ π＋ α）＋2sin（ α－ π） ＝ sin αcos α － sin α－ 2sin α 3 ＝ ＝－ . sin αcos α cos α
4π 25π 5π (4)sin · cos · tan 3 6 4 π π π ＝ sin(π＋ )cos(4π＋ )tan(π＋ ) 3 6 4 π π π ＝－sin cos tan 3 6 4 3 3 3 ＝ (－ )× ×1＝－ . 2 2 4
三角函数式的化简问题
cos（180° ＋α）· sin（α＋360° ） 化简： (1) . sin（－ α－180° ）· cos（－180° － α） sin[α＋（2n＋1）π]＋2sin[α－（2n＋1）π] (2) (n∈ Z)． sin（α－2nπ）cos（2nπ－α） (链接教材 P25 例 2)
第一章
三角函数
1．3 三角函数的诱导公式
第一章
三角函数
学习导航
1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用． 学习 2．理解诱导公式的推导过程． 目标 3．能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求 值、化简和证明问题. π 由角π ＋ α、π － α、－ α、 － α 的终边与角 α 的 2
终边之间的位置关系，找出它们与单位圆交点的 学法 坐标，再由正弦函数、余弦函数的定义得出其三 指导 角函数的关系，体现学习知识的“发生”、“发 现”过程，培养研究问题、发现问题、解决问题 的能力 .
高中数学人教版必修4课件：1.3三角函数的诱导公式(共27张PPT)
2
2
cos x
1
1
2
3.
2
2
4.已知 cos( x) 3 , x ( ,2 ),
5
则tanx等于（ D ）
A. 3
B. 4
C. 3
D.
4
3
4
3
解析 cos( x) cos x 3 ,
cos x 3 0.
5
5
x ( , 3 ).
锐角的三角函数值有何关系呢？
数学探究
给定一个角α
(1)角π＋α的终边与角α的终边有什么关系?
它们的三角函数值之间有什么关系?
关于原点对称
sin(π＋α) = －sinα
cos(π＋α) = －cosα 公式二
y
P(x,y)
tan(π＋α) = tanα
π +α α
O
x
作用：第三象限角→锐角.
P(－x, － y)
数学应用
例1 利用公式求下列三角函数值：
(1) c os11
=
2 2
;(2) sin 10
=
3 2
;
4
(3)tan 480 =
3
3
;(4) sin 17 =
1 2
;
6
小结
利用诱导公式把任意角的三角函数转化 为锐角函数的一般步骤:
“负化正，正化主，主化锐。”
学习目标
1. 识记诱导公式； 2. 理解和掌握公式的内涵及结构特征， 会初步运用诱导公式求三角函数的值， 并进行简单三角函数式的化简和证明。
重、难点：
函数名称与正负号的正确判断。
1.3《三角函数的诱导公式》课件(新人教A必修4)
1 已知角的终边上的一点P(3a,4a) (a<0)
则cos(5400-)的值是 3/5 。
2 cos(-8/3)+cos(+13/3)=
0.
3 2sin2(11/4)+tan2 (33/4)·cot (3/4)=
0.
第37页，共39页。
例4 化简 例题与练习
sin[(k 1) ] cos[(k 1) ] (k Z ) sin(k ) cos(k )
牛刀小试
tan( ) 3,求下式的值
sin( )cos( )
第27页，共39页。
能力提升
sin(2 )cos( )cos( )cos(11 )
1:化简
cos(
)sin(3
2
)sin(
2
)sin(9
)
2
2 :是第三象限，求
sin( )cos(2 )sin( 3 )
f ( )
2
cos(3 )cos( )
2
第28页，共39页。
规律探索
1 : sin sin 2 sin 3 sin2
2
2
2
2 : sin sin 2 sin 3 sin 4 sin 5 sin2
3
3 13
3
3
原
0
0理
解
释
-1
第29页，共39页。
3 : cos
cos
2
cos
A 为不等于/2的任意角 B 锐角 C R D k+/2,kZ且R
第35页，共39页。
例题与练习
例3 已知sin(x+/6)=1/4, 求sin(7/+x)+sin2(5/6-x)的值。
必修4三角函数诱导公式第一课时(PPT课件)
故公式对任意角都适用！ tan y
x
α仅s是in一(个 ) y 锐角co吗s(？ ) x
tan( ) y y
x x
sin( ) sin
公式二
cos( ) cos
tan( ) tan
开放式探究 互动式讨论
启发式引导 反馈式评价
教学手段：结合多媒体网络教学环境 构建学生自主探究的教学平台
四、学法分析
学案导学，以学生为主，教师起引导作用
自主探究 合作交流
观察发现 归纳总结
五、教学程序
问题引入
设计意图：
1、问题的提出
使学生明确研究的方向
求下列特殊角的正弦函数值：
度 00 300 450 600 900 1200 1800 2400 2700 3000 3600
①左右两边的函数名称有什么关系？ ②函数值前面的正、负号的放置有什 么规律？（视α为锐角时）
公式一：
公式四：
sin( 2k ) sin
sin( ) sin
cos( 2k ) cos (k Z ) cos( ) cos
tan( 2k ) tan
？ ？ ？ 正
弦
01 2
2 31
22
0
-1
0
2、如何解决？ 1、利用定义 2、转化为锐角三角函数
利用定义
1200
设计意图：
使学生懂得如何把这个问题逐步具体化 与明确化。即要做什么？怎样去做？
2400
3000
转化为锐角
1200=1800-600 2400=1800+600 3000=3600-600
x
α仅s是in一(个 ) y 锐角co吗s(？ ) x
tan( ) y y
x x
sin( ) sin
公式二
cos( ) cos
tan( ) tan
开放式探究 互动式讨论
启发式引导 反馈式评价
教学手段：结合多媒体网络教学环境 构建学生自主探究的教学平台
四、学法分析
学案导学，以学生为主，教师起引导作用
自主探究 合作交流
观察发现 归纳总结
五、教学程序
问题引入
设计意图：
1、问题的提出
使学生明确研究的方向
求下列特殊角的正弦函数值：
度 00 300 450 600 900 1200 1800 2400 2700 3000 3600
①左右两边的函数名称有什么关系？ ②函数值前面的正、负号的放置有什 么规律？（视α为锐角时）
公式一：
公式四：
sin( 2k ) sin
sin( ) sin
cos( 2k ) cos (k Z ) cos( ) cos
tan( 2k ) tan
？ ？ ？ 正
弦
01 2
2 31
22
0
-1
0
2、如何解决？ 1、利用定义 2、转化为锐角三角函数
利用定义
1200
设计意图：
使学生懂得如何把这个问题逐步具体化 与明确化。即要做什么？怎样去做？
2400
3000
转化为锐角
1200=1800-600 2400=1800+600 3000=3600-600
(2024年)高中数学三角函数诱导公式ppt课件
波动问题
波动是物理学中另一个重要的研究领域。在波动问题中，三角函数同样扮演着重 要的角色。利用三角函数诱导公式，可以求解波动方程，得到波的传播速度、波 长、频率等关键参数。
21
拓展延伸：复数域内三角函数性质探讨
复数域内三角函数的定义
在复数域内，三角函数可以通过欧拉公式进行定义。这使得三角函数在复数域内具有了许多独特的性质。
α)等。
12
利用同角关系求值或化简表达式
已知一个角的三角函 数值，求其他角的三 角函数值。
通过同角关系式证明 三角恒等式。
2024/3/26
利用同角关系式化简 复杂的三角函数表达 式。
13
典型例题解析
例题1
已知sinα = 3/5，求cosα ，tanα的值。
2024/3/26
例题2
化简表达式(sinα
5
三角函数值域和极值点
值域
正弦函数和余弦函数的值域均为$[-1, 1]$；正切函数的值域 为$R$。
2024/3/26
极值点
正弦函数在$frac{pi}{2} + kpi(k in Z)$处取得最大值1，在 $frac{3pi}{2} + kpi(k in Z)$处取得最小值-1；余弦函数在 $2kpi(k in Z)$处取得最大值1，在$pi + kpi(k in Z)$处取得 最小值-1。
关注三角函数与其他知识点的 联系，如向量、数列、不等式
等。
2024/3/26
26
THANKS
感谢观看
2024/3/26
27
18
05
实际应用举例与拓展延伸
2024/3/26
19
在几何图形中求解角度问题
波动是物理学中另一个重要的研究领域。在波动问题中，三角函数同样扮演着重 要的角色。利用三角函数诱导公式，可以求解波动方程，得到波的传播速度、波 长、频率等关键参数。
21
拓展延伸：复数域内三角函数性质探讨
复数域内三角函数的定义
在复数域内，三角函数可以通过欧拉公式进行定义。这使得三角函数在复数域内具有了许多独特的性质。
α)等。
12
利用同角关系求值或化简表达式
已知一个角的三角函 数值，求其他角的三 角函数值。
通过同角关系式证明 三角恒等式。
2024/3/26
利用同角关系式化简 复杂的三角函数表达 式。
13
典型例题解析
例题1
已知sinα = 3/5，求cosα ，tanα的值。
2024/3/26
例题2
化简表达式(sinα
5
三角函数值域和极值点
值域
正弦函数和余弦函数的值域均为$[-1, 1]$；正切函数的值域 为$R$。
2024/3/26
极值点
正弦函数在$frac{pi}{2} + kpi(k in Z)$处取得最大值1，在 $frac{3pi}{2} + kpi(k in Z)$处取得最小值-1；余弦函数在 $2kpi(k in Z)$处取得最大值1，在$pi + kpi(k in Z)$处取得 最小值-1。
关注三角函数与其他知识点的 联系，如向量、数列、不等式
等。
2024/3/26
26
THANKS
感谢观看
2024/3/26
27
18
05
实际应用举例与拓展延伸
2024/3/26
19
在几何图形中求解角度问题
相关主题
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2
诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限
二、典例分析
例1、已知：f
(
)
cos( ) cos[sin(3
)
1]
2
cos(2 )
cos( )sin( ) sin(3 )
2
2
(1)化简f ( )； (2)若 31 , 求f ( )的值。
3
解：f ( )
cos
cos
sin( ) sin
cos( ) cos
cos( ) cos
tan( ) tan
tan( ) －tan
一、复习回顾 三角函数的诱导公式 （a 可以是任意角）
公 式
sin
2
cos
五
cos
2
sin
公 式
sin
2
cos
六
cos
2
sin
通过诱导公式可用角的三角函数值表示 角 k ，k Z的三角函数值
8
3
8
3、若sin( ) 3 ，求 sin( 2 ) cos2( 4 )。
3
3
3
3
3、若
sin(
)
3 ，求 sin( 2 ) cos2( 4 )。
3
3
3
3
解：Q sin( 2 ) sin[ ( )] sin( )
3
3
3
cos( 4 ) cos[( 4 )] cos( 4 )
Q cos(750 ) 1 0, 且为第三象限角，
750
3
为第四象限角，
sin(750
)
2
2 3
,
cos(1050 ) sin( 1050 ) 1 2 2
3
二、典例分析
例3、已知A, B,C为ABC的三个内角，求证：
（1）cos(2A B C) cos A
(2)tan A B tan 3 C
体验、已知cos(750 ) 1 , 其中为第三象限角，
3
求cos(1050 ) sin( 1050 )的值。
解：cos(1050 ) cos[1800 (750 )] cos(750 ) 1
3
sin( 1050 ) sin[(750 ) 1800] sin(750 )
度统一后，再用同角三角函数关系3式，这可避免公式 解交：Q错s使in(用 时31导)致 的sin混(乱31。 6 2 ) sin 5 sin
(0(值23°))，求 对~f见3任一(6值0意 些)°知角 特内3(角的 殊的s”i三 角n2角。角 的3，)函三2最数角后(3值函化2一数2为3 )般值2锐先要角83用熟进公记行式，求3一 做值将 到。“角见化角为3 知
∴cos α＝12， ∴α 是第一或第四象限角．
①若 α 是第一象限角，
则 sin(2π－α)＝－sin α＝－
1－cos2α＝－
3 2.
②若 α 是第四象限角，
则 sin(2π－α)＝－sin α＝
1－cos2α＝
3 2.
三、例题分析 例 2、(1)已知 cos(π＋α)＝－12，求 sin(2π－α)的值；
4
4
➢题结：
注意隐含的条件：在三角形ABC中，内角A、B、
C满足 A+B+C=π
三、针对性练习
1、已知f ( x) a sin( x ) bcos( x )，其中
，，a，b均为非零实数，若f (2007) 1，则
f (2008)
1
1
2、已知sin( 3 + ) 1 ,则cos( - ) ___3___
三、例题分析
思考、化简：
sin(n ) cos(n ) tan(n ) cos( 2n 1 ) sin( 2n 3 )
,
n
Z
2
2
三、例题分析 例 2、(1)已知 cos(π＋α)＝－12，求 sin(2π－α)的值；
(解2)：已(知1)∵sinco(π3s(－π＋α)α＝)＝12，－求coscαo＝s(π6－＋12α，)的值．
cos ( cos 1) cos cos cos
1
1
2
1 cos
1 cos
sin2
二、典例分析
例1、已知：f
(
ห้องสมุดไป่ตู้
)
cos( ) cos[sin(3
)
1]
2
cos(
cos(2 ) )sin( ) sin(3
)
f ( )
2
sin2
➢题结：
2
2
(1)化(1简)化或简变形f (通)常；先(2用)若诱导公式3，1将,三求角f (函 )数的式值的。角
3
3
3
cos[ ( )] cos( )
3
3
sin( 2 ) cos2( 4 )
3
3
sin( ) cos2( ) 3 [1 ( 3 )2 ] 3 2
3
3
3
3
3
三、针对性练习
4、化简：sin[(k 1) ] cos[(k 1) ] (k Z ) sin(k ) cos(k )
(2)已知 sin(π3－α)＝12，求 cos(π6＋α)的值．
解： (2)∵(π3－α)＋(π6＋α)＝π2，
∴cos(π6＋α)＝cos[π2－(π3－α)]＝sin(π3－α)＝12. ➢题结：给值求值——观察分析各角的内在联系，再 利用诱导公式或同角关系式进行求值。——角的变换
二、典例分析
一、复习回顾
三角函数的诱导公式 （a 可以是任意角）
公式一：
公式二：
sin( 2k ) sin
sin( ) －sin
cos( 2k ) cos
cos( ) cos
tan( 2k ) tan (k Z ) tan( + ) tan
公式三：
公式四：
sin( ) sin
诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限
二、典例分析
例1、已知：f
(
)
cos( ) cos[sin(3
)
1]
2
cos(2 )
cos( )sin( ) sin(3 )
2
2
(1)化简f ( )； (2)若 31 , 求f ( )的值。
3
解：f ( )
cos
cos
sin( ) sin
cos( ) cos
cos( ) cos
tan( ) tan
tan( ) －tan
一、复习回顾 三角函数的诱导公式 （a 可以是任意角）
公 式
sin
2
cos
五
cos
2
sin
公 式
sin
2
cos
六
cos
2
sin
通过诱导公式可用角的三角函数值表示 角 k ，k Z的三角函数值
8
3
8
3、若sin( ) 3 ，求 sin( 2 ) cos2( 4 )。
3
3
3
3
3、若
sin(
)
3 ，求 sin( 2 ) cos2( 4 )。
3
3
3
3
解：Q sin( 2 ) sin[ ( )] sin( )
3
3
3
cos( 4 ) cos[( 4 )] cos( 4 )
Q cos(750 ) 1 0, 且为第三象限角，
750
3
为第四象限角，
sin(750
)
2
2 3
,
cos(1050 ) sin( 1050 ) 1 2 2
3
二、典例分析
例3、已知A, B,C为ABC的三个内角，求证：
（1）cos(2A B C) cos A
(2)tan A B tan 3 C
体验、已知cos(750 ) 1 , 其中为第三象限角，
3
求cos(1050 ) sin( 1050 )的值。
解：cos(1050 ) cos[1800 (750 )] cos(750 ) 1
3
sin( 1050 ) sin[(750 ) 1800] sin(750 )
度统一后，再用同角三角函数关系3式，这可避免公式 解交：Q错s使in(用 时31导)致 的sin混(乱31。 6 2 ) sin 5 sin
(0(值23°))，求 对~f见3任一(6值0意 些)°知角 特内3(角的 殊的s”i三 角n2角。角 的3，)函三2最数角后(3值函化2一数2为3 )般值2锐先要角83用熟进公记行式，求3一 做值将 到。“角见化角为3 知
∴cos α＝12， ∴α 是第一或第四象限角．
①若 α 是第一象限角，
则 sin(2π－α)＝－sin α＝－
1－cos2α＝－
3 2.
②若 α 是第四象限角，
则 sin(2π－α)＝－sin α＝
1－cos2α＝
3 2.
三、例题分析 例 2、(1)已知 cos(π＋α)＝－12，求 sin(2π－α)的值；
4
4
➢题结：
注意隐含的条件：在三角形ABC中，内角A、B、
C满足 A+B+C=π
三、针对性练习
1、已知f ( x) a sin( x ) bcos( x )，其中
，，a，b均为非零实数，若f (2007) 1，则
f (2008)
1
1
2、已知sin( 3 + ) 1 ,则cos( - ) ___3___
三、例题分析
思考、化简：
sin(n ) cos(n ) tan(n ) cos( 2n 1 ) sin( 2n 3 )
,
n
Z
2
2
三、例题分析 例 2、(1)已知 cos(π＋α)＝－12，求 sin(2π－α)的值；
(解2)：已(知1)∵sinco(π3s(－π＋α)α＝)＝12，－求coscαo＝s(π6－＋12α，)的值．
cos ( cos 1) cos cos cos
1
1
2
1 cos
1 cos
sin2
二、典例分析
例1、已知：f
(
ห้องสมุดไป่ตู้
)
cos( ) cos[sin(3
)
1]
2
cos(
cos(2 ) )sin( ) sin(3
)
f ( )
2
sin2
➢题结：
2
2
(1)化(1简)化或简变形f (通)常；先(2用)若诱导公式3，1将,三求角f (函 )数的式值的。角
3
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cos[ ( )] cos( )
3
3
sin( 2 ) cos2( 4 )
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sin( ) cos2( ) 3 [1 ( 3 )2 ] 3 2
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3
三、针对性练习
4、化简：sin[(k 1) ] cos[(k 1) ] (k Z ) sin(k ) cos(k )
(2)已知 sin(π3－α)＝12，求 cos(π6＋α)的值．
解： (2)∵(π3－α)＋(π6＋α)＝π2，
∴cos(π6＋α)＝cos[π2－(π3－α)]＝sin(π3－α)＝12. ➢题结：给值求值——观察分析各角的内在联系，再 利用诱导公式或同角关系式进行求值。——角的变换
二、典例分析
一、复习回顾
三角函数的诱导公式 （a 可以是任意角）
公式一：
公式二：
sin( 2k ) sin
sin( ) －sin
cos( 2k ) cos
cos( ) cos
tan( 2k ) tan (k Z ) tan( + ) tan
公式三：
公式四：
sin( ) sin