湖南省衡阳县第二中学高二数学上学期第一次月考试题文

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《解析》湖南省衡阳县第二中学2016-2017学年高二第一次月考理科数学试卷Word版含解析

2016-2017年湖南省衡阳县第二中学高二第一次月考理科数学一、选择题：共12题1．设命题：对，则为A. B.C. D.【答案】C【解析】本题主要考查的是命题的否定，意在考查考生的逻辑推理能力.根据全称命题的否定是特称命题得到命题的否定为：，故选C.2．在△ABC中，a＝2，b＝3，C＝135°，则△ABC的面积等于A. B.3 C.3 D.【答案】A【解析】本题主要考查的是三角形面积的求法，意在考查考生的运算求解能力.在△ABC中，a＝2，b＝3，C＝135°，则△ABC的面积,故选A.3．已知数列满足，，则此数列的通项等于A. B. C. D.【答案】D【解析】本题主要考查的是等差数列通项公式的求法，意在考查考生的运算求解能力.由数列满足，可得数列是等差数列，,故,故选D.4．“tanα＝1”是“α＝”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】本题主要考查的是充分条件和必要条件的判断，意在考查考生的逻辑推理能力.若tanα＝1，则,充分性不成立；若α＝，则tanα＝1，必要性成立，故“tanα＝1”是“α＝”的必要不充分条件，故选B.5．若a<1，b>1，那么下列命题中正确的是A. B.>1 C.a2<b2 D.ab<a＋b－1【答案】D【解析】本题主要考查的是不等式的基本性质，意在考查考生的逻辑推理能力.因为a<1，b>1，所以,故,整理得ab<a＋b－1，故选D.6．在中，若，则的形状是A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不能确定【答案】A【解析】本题主要考查的是正、余弦定理的运用，意在考查考生分析问题、解决问题的能力. 在中，，结合正弦定理可得：,又由余弦定理可得：,所以,是钝角三角形，选A.7．已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x－y的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查的是二元一次不等式组和简单的线性规划，意在考查考生的数形结合能力.作出不等式组所表示的平面区域，如图所示：由可得,因为为直线在轴上的截距，截距越大，越小，结合图形可知，当直线平移到B时，最小，平移到C时最大，由可得，由可得，所以，故选A.8．不等式ax2＋5x＋c>0的解集为{x|<x<}，则a，c的值为A.a＝6，c＝1B.a＝－6，c＝－1C.a＝1，c＝1D.a＝－1，c＝－6【答案】B【解析】本题主要考查的是一元二次不等式与相应的一元二次方程之间的关系，意在考查考生的运算求解能力.由不等式ax2＋5x＋c>0的解集为{x|<x<}，可得是方程ax2＋5x＋c=0的两个实根，且,所以，解得,故选B.9．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且b2＝ac，则B的取值范围是A.(0，]B.[，π]C.(0，]D.[，π)【答案】A【解析】本题主要考查的是余弦定理的运用，意在考查考生的运算求解能力.在△ABC中，由余弦定理可得把b2＝ac代入上式得，，所以,(当且仅当时等号成立)，因为,所以，故选A.10．在中是角成等差数列的A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.即不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题主要考查的是等差数列的性质和三角函数的诱导公式，意在考查考生分析问题、解决问题的能力.在中=+-==1==角成等差数列;当角成等差数列时，，但角有可能取，不成立，故是角成等差数列的充分不必要条件，选A.11．已知不等式(x＋y)()≥9对任意正实数x、y恒成立，则正数a的最小值是A.2B.4C.6D.8【答案】B【解析】本题主要考查的是基本不等式的运用，意在考查考生的运算求解能力.(x＋y)()==,因为不等式(x＋y)()≥9对任意正实数x、y恒成立，所以,即,所以,即正实数的最小值4，故选C.12．设等差数列的前项和为且满足则最大的项为A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查的是等差数列的性质，意在考查考生的运算求解能力.因为数列数列，且，所以,即，则的前8 项为正，第项为负，且前8项中，分子不断变大，分母不断减小，故中最大的是，选A.二、填空题：共4题13．设S n是等差数列{a n}(n∈N*)的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S5＝______.【答案】25【解析】本题主要考查的是等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，意在考查考生的运算能力.因为a1＝1，a4＝7，所以.14．△_________.【答案】或【解析】本题主要考查的是正弦定理的应用，意在考查考生的运算能力.△根据正弦定理可得：,所以，所以或.15．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________. 【答案】(－∞，1)【解析】本题主要考查的是充分条件和必要条件，意在考查考生的推理能力和计算能力. p：1－x<0，解得,因为p是q的充分不必要条件，所以故a的取值范围是(－∞，1).16．已知点与点在直线的两侧，给出下列说法：①；②当时，有最小值，无最大值；③；④当且时，的取值范围是.其中所有正确说法的序号是__________.【答案】③④【解析】本题主要考查的是命题的真假判断与应用，线性规划的简单应用，意在考查考生分析问题、解决问题的能力.因为点与点在直线的两侧，故点在如图所示的平面区域内，故,即①错误；当时，,即无最小值，也无最大值，故②错误；设原点到直线的距离为，则，则，故③正确；且时，表示点与点连线的斜率，当时，,又因为直线的斜率为，故的取值范围是，故④正确.三、解答题：共6题17．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量与平行.(1)求A；(2)若，b＝2，求△ABC的面积.【答案】(1)因为∥，所以－＝0，由正弦定理得－＝0，又≠0，从而，由于0<A<π，所以.(2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，而a＝，b＝2，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，因为c>0，所以c＝3.故△ABC的面积为.【解析】本题主要考查的是正、余弦定理的应用以及向量共线的充要条件，意在考查考生的运算求解能力.(1)利用向量平行，列出方程，计算求解即可;(2)利用余弦定理求出，然后用面积公式计算即可.18．已知关于x，y的二元一次不等式组(1)求函数u＝3x－y的最大值和最小值；(2)求函数z＝x＋2y＋2的最大值和最小值.【答案】(1)作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图所示.由u＝3x－y，得y＝3x－u，得到斜率为3，在y轴上的截距为－u，随u变化的一组平行线，由图可知，当直线经过可行域上的C点时，截距－u最大，即u最小.解方程组得C(－2,3)，∴u min＝3×(－2)－3＝－9.当直线经过可行域上的B点时，截距－u最小，即u最大，解方程组得B(2,1)，∴u max＝3×2－1＝5.∴u＝3x－y的最大值是5，最小值是－9.(2)作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图所示.由z＝x＋2y＋2，得y＝－＋－1，得到斜率为－，在y轴上的截距为－1，且随z变化的一组平行线.由图可知，当直线经过可行域上的A点时，截距－1最小，即z最小，解方程组得A(－2，－3)，∴z min＝－2＋2×(－3)＋2＝－6.当直线y＝－＋－1与直线x＋2y＝4重合时，截距－1最大，即z最大，∴z max＝x＋2y＋2＝4＋2＝6.∴z＝x＋2y＋2的最大值是6，最小值是－6.【解析】本题主要考查的是简单线性规划的应用，意在考查考生分析问题、解决问题的能力.(1)作出不等式组对应的平面区域，利用u的几何意义即可求出函数u＝3x－y的最大值和最小值;(2)作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可求出函数z＝x＋2y＋2的最大值和最小值;19．设{a n}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.(1)求{a n}的通项公式；(2)设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n＋b n}的前n项和S n.【答案】(1)设q为等比数列{a n}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2，所以{a n}的通项为a n＝2·2n－1＝2n(n∈N*).(2)S n＝＋n×1＋×2＝2n＋1＋n2－2.【解析】本题主要考查的是等比数列的通项公式和求和，意在考查考生的运算求解能力.(1)由{a n}是公比为正数的等比数列，设出公比q，根据a1＝2，a3＝a2＋4，求得,得到{a n}的通项公式；(2)利用等差数列和等比数列的前项和公式即可求得数列{a n＋b n}的前n项和.20．某企业要建造一个容积为18m3，深为2m的长方体形无盖贮水池，如果池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，怎样设计该水池可使得能总造价最低？最低总造价为多少？【答案】将水池的地面设计成边长为3m的正方形时总造价最低，最低总造价为5400元.设底面的长为x m，宽为y m，水池总造价为z元，则由容积为18m3，可得：2xy=16，因此xy=9，z=200×9+150(2×2x+2×2y)=1800+600(x+y)≥1800+600•2=5400当且仅当x=y=3时，取等号.所以，将水池的地面设计成边长为3m的正方形时总造价最低，最低总造价为5400元.【解析】本题主要考查的是基本不等式在最值问题中的应用，意在考查考生分析问题、解决问题的能力.设底面的长为x m，宽为y m，水池总造价为z元，建立函数关系式，求出的最小值.21．已知函数f(x)＝，数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝f(a n)(n∈N*).(1)证明数列{}是等差数列，并求出数列{a n}的通项公式；(2)记S n＝a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1，求S n.【答案】(1)由已知，得a n＋1＝.∴＝＋3.即－＝3.∴数列{}是首项＝1，公差d＝3的等差数列.∴＝1＋(n－1)×3＝3n－2，∴a n＝ (n∈N*).(2)∵a n a n＋1＝＝ (－)，∴S n＝a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)＝.【解析】本题主要考查的是等差数列的证明和裂项法求和，意在考查考生的运算求解能力.(1)由已知得：－＝3，根据等差数列的定义可得：数列{}是等差数列，进而求得通项公式；(2)用裂项求和的方法得到答案.22．已知函数.(1)求的值；(2)数列满足求证：数列是等差数列(3,，试比较与的大小.【答案】(1)f(x)对任意.令.(2)证明：f(x)对任意x∈R都有则令∵∴∴=++∴∴∴∴{a n}是等差数列.(3)解：由(2)有∴∴=<=.【解析】本题主要考查的是等差数列的定义和通项公式，数列的求和以及不等式的证明，意在考查考生对知识的综合运用能力.(1)分别令，结合条件，即可求出结果；(2)令，再应用倒序相加，求出a n，再由等差数列的定义，即可得证；(3)先对化简，再将放缩，用裂项相消法求和，整理得到答案.。

2021年湖南省衡阳市县汉中学高二数学文月考试卷含解析

2021年湖南省衡阳市县汉中学高二数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数，若同时满足条件：①，为的一个极大值点；②，。

则实数的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：A略2. 已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f'（x），满足f'（x）＜f（x），且f（x+3）为偶函数，f（6）=1，则不等式f（x）＞e x的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）参考答案：A【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】令g（x）=，利用导数和已知即可得出其单调性．再利用函数的对称性和已知可得g（0）=1，从而求得不等式f（x）＞e x的解集．【解答】解：设g（x）=，则g′（x）=．∵f′（x）＜f（x），∴g′（x）＜0．∴函数g（x）是R上的减函数，∵函数f（x+3）是偶函数，∴函数f（﹣x+3）=f（x+3），∴函数关于x=3对称，∴f（0）=f（6）=1，原不等式等价为g（x）＞1，∴不等式f（x）＜e x等价g（x）＞1，即g（x）＞g（0），∵g（x）在R上单调递减，∴x＜0．∴不等式f（x）＞e x的解集为（﹣∞，0）．故选：A 3. 若直线mx＋ny＋2＝0(m＞0，n＞0)截得圆(x＋3)2＋(y＋1)2＝1的弦长为2，则最小值为A．4 B．12 C．16D．6参考答案：D∵直线截得圆的弦长为直径，∴直线mx＋ny＋2＝0过圆心(－3，－1)，即－3m－n＋2＝0，∴3m＋n＝2，时取等号，故选D．考点：直线与圆的位置关系及基本不等式的应用．4. 函数，给出下列结论正确的是（）A．f（x）的最小正周期为B．f（x）的一条对称轴为C．f（x）的一个对称中心为D．是奇函数参考答案：D【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】化简函数f（x），求出f（x）的最小正周期T，判断出A错误；把x=代入2x+中计算，根据正弦函数图象的对称性，判断出B、C错误；化简f（x﹣），得出f（x﹣）是定义域R上的奇函数，判断出D正确．【解答】解：函数=sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为T==π，A错误；又当x=时，2x+=≠kπ+，k∈Z，∴x=不是f（x）的对称轴，B错误；同理x=时，2x+=≠kπ，k∈Z，∴（，0）不是f（x）的对称中心，C错误；又f（x﹣）=sin[2（x﹣）+]=sin2x，∴f（x﹣）是定义域R上的奇函数，D正确．故选：D．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数的恒等变换问题，是基础题目．5. 函数的单调递减区间为 ( )A．（1,1] B．（0,1] C．[1，+∞） D．（0，+∞）参考答案：D6. “”是“”的（）A．充分而不必要条件 B 必要而不充分条件C．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件参考答案：A略7. 有不同的语文书9本,不同的数学书7本,不同的英语书5本,从中选出不属于同一学科的书2本,则不同的选法有( )种A．21 B.315 C.143 D.153参考答案：C8. 当为任意实数时，直线恒过定点P，则过点P的抛物线的标准方程是（）A．或 B．或C．或 D．或参考答案：C略9. 设点，若在圆上存在点Q，使得，则a的取值范围是A． B. C. D.参考答案：A10. 在空间中，a，b是两不重合的直线，是两不重合的平面，则下列条件中可推出a∥b的是( )．A．a?，b?，?∥?B．a∥?，b?C．a⊥?，b⊥?D．a⊥?，b?参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知是奇函数，若且，则_______参考答案：12. 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线,则被抛物线截得的弦长为参考答案： 16 略13. 已知O 是△ABC 的外心，AB=2a ，AC=，∠BAC=120°，若=x+y，则x+y 的最小值是．参考答案：2考点：向量在几何中的应用．专题：平面向量及应用．分析：建立直角坐标系，求出三角形各顶点的坐标，因为O 为△ABC 的外心，把AB 的中垂线 m 方程和AC 的中垂线 n 的方程，联立方程组，求出O 的坐标，利用已知向量间的关系，待定系数法求x 和y 的值，最后利用基本不等式求最小值即可．解答：解：如图：以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立直角系：则A （0，0），B （2a ，0），C （﹣，），∵O 为△ABC 的外心，∴O 在AB 的中垂线 m ：x=a 上，又在AC 的中垂线 n 上，AC 的中点（﹣，），AC 的斜率为tan120°=﹣，∴中垂线n 的方程为 y ﹣=（x+）．把直线 m 和n 的方程联立方程组，解得△ABC 的外心O （a ，+），由条件 =x +y ，得（a ，+）=x （2a ，0）+y （﹣，）=（2ax ﹣，），∴，解得x=+，y=，∴x+y=++=+（）=2．当且仅当a=1时取等号．故答案为：2．点评：本题考查求两条直线的交点坐标的方法，三角形外心的性质，向量的坐标表示及向量相等的条件，待定系数法求参数值．属中档题．14. 不等式ax+ bx + c＞0 ，解集区间（- ，2），对于系数a、b、c，则有如下结论：① a ＞0 ②b＞0 ③ c＞0 ④a + b + c＞0 ⑤a – b + c＞0，其中正确的结论的序号是________________________________.参考答案：2 、3、 415. 下表给出了一个“三角形数阵”：Ks**5u依照表中数的分布规律，可猜得第10行第6个数是。

湖南省衡阳县第二中学2017-2018学年高二上学期第一次月考数学(文)试题 Word版含答案

衡阳县二中2017-2018学年上期高二第一次月考数学（文）试题第I 卷选择题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的. 请把答案填写在答题卷相应位置上. 1．设p ：对x e R x x ln ,>∈∀+，则p ⌝为（） A ．00ln ,0x e R x x <∈∃+ B ．x e R x x ln ,<∈∀+ C ．00ln ,0x e R x x ≤∈∃+ D ．x e R x xln ,≤∈∀+2.在△ABC 中，a ＝2，b ＝3，C ＝135°，则△ABC 的面积等于( )A.322B ．3 2C ．3D.3323.已知数列{}n a 满足21=a ，11-=-+n n a a ()+∈N n ，则此数列的通项n a 等于（） A.12+n B.1+n C.n -1D.n -34．“tan α＝1”是“α＝π4”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5.若a <1，b >1，那么下列中正确的是( )A.1a >1bB.b a>1 C ．a 2<b 2D ．ab <a ＋b －16．在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +<，则ABC ∆的形状是 ( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定7．已知变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+≥+144222y x y x y x ，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是（）A．[]6,1- D 8．不等式ax 2＋5x ＋c >0的解集为{x |13<x <12}，则a ，c 的值为( )A ．a ＝6，c ＝1B ．a ＝－6，c ＝－1C ．a ＝1，c ＝1D ．a ＝－1，c ＝－69．已知等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，若396a a +=，则11S = ( ) A ．12 B ．33 C ．66 D ．99 10.在ABC ∆中,sin 2cos cos cos 2sin sin A C AA C A+=-是角,,A B C 成等差数列的（） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．即不充分也不必要条件11.已知不等式(x ＋y )(1x ＋ay)≥9对任意正实数x 、y 恒成立，则正数a 的最小值是( )A ．2B ．4C ．6D ．812. 在锐角△ABC 中，设.cos cos ,sin sin B A y B A x ⋅=⋅=则x , y 的大小关系为( ) . A.y x ≤ B.y x > C.y x < D.y x ≥第II 卷非选择题二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．设S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，且a 1＝1，a 4＝7，则S 5＝______. 45,A ∠则15．条件p ：1－x <0，条件q ：x >a ，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________． 16．已知数列{}n a 中，31=a ，62=a ，n n n a a a -=++12，则________2015=a 三、解答题17（10分）．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.向量()m a =与(cos ,sin )n A B =平行．（1）求A ；（2）若a =b ＝2，求△ABC 的面积18．已知关于x ，y 的二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0(1)求函数u ＝3x －y 的最大值和最小值； (2)求函数z ＝x ＋2y ＋2的最大值和最小值．19．(本小题满分12分)设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .20.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知m ＝(cos C 2，sin C 2)，n ＝(cos C 2，－sin C2)，且m n ＝12.(1)求角C ；(2)若c ＝72，△ABC 的面积S ＝332，求a ＋b 的值．21．某企业要建造一个容积为18m 3，深为2m 的长方体形无盖贮水池，如果池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，怎样设计该水池可使得能总造价最低？最低总造价为多少？22.已知函数f(x)＝x3x＋1，数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝f(a n)(n∈N*)．(1)证明数列{1a n}是等差数列，并求出数列{a n}的通项公式；(2)记S n＝a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1，求S n.参考答案一、选择题二、填空题13. 25 14、(－∞，1) 16．-6 三、解答题17.（1）因为m ∥n ，所以sin a B cos A ＝0，由正弦定理得sin sin A B cos B A ＝0，又sin B ≠0，从而tan A =0<A<π，所以3A π=.（2）由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，而a b ＝2，3A π=得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0，因为c>0，所以c ＝3.故△ABC 的面积为1sin 2b A =18. 解：(1)作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0.表示的平面区域，如图所示．由u ＝3x －y ，得y ＝3x －u ，得到斜率为3，在y 轴上的截距为－u ，随u 变化的一组平行线，由图可知，当直线经过可行域上的C 点时，截距－u 最大，即u 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝4，x ＋2＝0，得C (－2,3)，∴u min ＝3×(－2)－3＝－9.当直线经过可行域上的B 点时，截距－u 最小，即u 最大，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝4，x －y ＝1，得B (2,1)，∴u max ＝3×2－1＝5.∴u ＝3x －y 的最大值是5，最小值是－9.(2)作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0表示的平面区域，如图所示．由z ＝x ＋2y ＋2，得y ＝－12x ＋12z －1，得到斜率为－12，在y 轴上的截距为12z－1，且随z 变化的一组平行线．由图可知，当直线经过可行域上的A 点时，截距12z －1最小，即z 最小，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，x －y ＝1，得A (－2，－ 3)，∴z min ＝－2＋2×(－3)＋2＝－6.当直线y ＝－12x ＋12z －1与直线x ＋2y ＝4重合时，截距12z －1最大，即z 最大，∴z max ＝x ＋2y ＋2＝4＋2＝6.∴z ＝x ＋2y ＋2的最大值是6，最小值是－6.19、解：(1)设q 为等比数列{a n }的公比，则由a 1＝2，a 3＝a 2＋4得2q 2＝2q ＋4，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因此q ＝2，所以{a n }的通项为a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)．(2)S n ＝－2n1－2＋n ×1＋n n －2×2＝2n ＋1＋n 2－2.20.解：(1)依题知得m ·n ＝cos 2C 2－sin 2C 2＝12.也就是cos C ＝12，又0<C <π，所以C ＝π3.(2)S ＝12ab sin C ＝34ab ，且S ＝332，所以ab ＝6.c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝(a ＋b )2－18，且c ＝72，所以(a ＋b )2－18＝494，即a ＋b ＝112.21．将水池的地面设计成边长为3m 的正方形时总造价最低，最低总造价为5400元. 设底面的长为xm ，宽为ym ，水池总造价为z 元，则由容积为18m 3，可得：2xy=16，因此xy=9，z=200×9+150（2×2x+2×2y ）=1800+600（x+y ）≥1800+600•2=5400当且仅当x=y=3时，取等号．所以，将水池的地面设计成边长为3m的正方形时总造价最低，最低总造价为5400元.22.解：(1)由已知，得a n＋1＝a n3a n＋1.∴1a n＋1＝1a n＋3.即1a n＋1－1a n＝3.∴数列{1a n }是首项1a1＝1，公差d＝3的等差数列．∴1a n＝1＋(n－1)×3＝3n－2，∴a n＝13n－2(n∈N*).(2)∵a n a n＋1＝1n－n＋＝13(13n－2－13n＋1)，∴S n＝a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1＝1 3＝13(1－13n＋1)＝n3n＋1.。

高二数学上学期第一次月考试题

2019届高二第一学期第一次月考数学试卷一、选择题1．已知集合{10}{lg(1)}M x x N x y x =+>==-，，则M N =（）A ．{11}x x -<<B ．{1}x x >C ．{11}x x -≤<D ．{1}x x ≥-2．函数21)(--=x x x f 的定义域为（）（A ）[1，2）∪（2，+∞）（B ）（1，+∞）（C ）[1，2）（D ）[1，+∞）3．执行如图所示的程序框图，输出的T =（）（A ）29 （B ）44 （C ）52 （D ）624．已知0x >，0y >，且231x y +=，则23x y+的最小值为（ ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．2565．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（） A．3π+ B．23π+ C．π D．2π6．已知平面向量(12)=，a ，(32)=-，b ，若k +a b 与3-a b 垂直，则实数值为（）（A ）13-（B ）119（C ）（D ）7．已知函数()()cos (0)f x A x ωϕω=+>的部分图象如图所示，下面结论错误的是（）A. 函数()f x 的最小周期为23πB. 函数()f x 的图象关于,012π⎛⎫-⎪⎝⎭中心对称C. 函数()f x 的图象关于直线12x π=对称D. 函数()f x 的最小值为8．在数列{}n a 中，11a =，12n n a a +=，22221234n S a a a a =-+-+…22212n n a a -+-等于（）A.()1213n - B. ()41125n - C. ()1413n - D. ()1123n - 9．若sin()cos(2)1sin cos()2πθθπθπθ-+-=++，则tan θ=（）A ．B ．C ．D ．10.已知y x z c y x y x x y x +=⎪⎩⎪⎨⎧≥++-≤+≥302,42,且目标函数满足的最小值是5，则z 的最大值是（）A ．10B ．12C ．14D ．1511.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为，，是线段11B D 上的两个动点，且2EF =，则下列结论错误．．的是（） A. AC BF ⊥B. 直线AE 、BF 所成的角为定值C. EF ∥平面ABCDD. 三棱锥A BEF -的体积为定值12．已知直线0x y k +-=(0)k >与圆224x y +=交于不同的两点、，是坐标原点，且有3||||OA OB AB+≥，那么的取值范围是（） A.)+∞B.C.)+∞D. 二、填空题13．在ABC ∆中，角，，所对的边分别为，，，若60C ∠=，2b =，c =，则__________． 14．数列{}n a 的前项和*23()n n S a n N =-∈，则数列{}n a 的通项公式为n a =．15．函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________. 16．在底面边长为2 的正三棱锥V-ABC 中，E 是BC 的中点，若VAE ∆的面积是41，则该正三棱锥的体积为__________________三、解答题 17．化简或求值：（1）1242--（2）2(lg 2)lg 2lg5+ 18．xx x f 1)(+=已知 (1) 判断并证明f(x)的奇偶性； (2) 证明f(x)在),1[+∞的单调性。

高二数学上学期第一次月考测试题和答案

高二数学上学期第一次月考测试题和答案高二数学月底考试是检测学习成效的重要手段，只有平时认真对待每一次数学月考，才能够在高考数学考试中超常发挥。

以下是店铺为大家收集整理的高二数学月考测试题，希望对大家有所帮助!高二数学上学期第一次月考测试题(理科卷)(考试时间：120分钟总分：150分)一、(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符合题目要求的)1.以两点A(-3，-1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是( )A.(x-1)2+(y+2)2=100B.(x-1)2+(y-2)2=100C.(x-1)2+(y-2)2=25D.(x+1)2+(y+2)2=252. 某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内应填(A) k>4?(B)k>5?(C) k>6?(D)k>7?(第3题)3、某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是( )A. B. C. D.4. 将51转化为二进制数得 ( )A.100 111(2)B.110 110(2)C.110 011(2)D.110 101(2)5.读程序回答问题：甲乙I=1S=0WHILE i<=5S= S+iI= i+1WENDPRINT SENDI= 5S= 0DOS = S+iI = i-1LOOP UNTIL i<1PRINT SEND对甲、乙两程序和输出结果判断正确的是( )A 程序不同，结果不同B 程序不同，结果相同C 程序相同，结果不同D 程序相同，结果不同6.(如图)为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是( )A. ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B. ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C. ，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D. ，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛7.如图，输入X=-10 则输出的是( )A. 1B. 0C. 20D. -208..若点P(1，1)为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为( )A. B.C. D.9. 三个数390, 455, 546的最大公约数是 ( )A.65B.91C.26D.1310. 数据，，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数和方差分别是( )A. 和B. 和C. 和D. 和11.已知点，过点的直线与圆相交于两点，则的最小值为( ). .12. 某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270;使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250;②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265;③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254;④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270;关于上述样本的下列结论中，正确的是( )A.②、③都不能为系统抽样B.②、④都不能为分层抽样C.①、④都可能为系统抽样D.①、③都可能为分层抽样二、题(本大题共4小题,每小题4分,满分16分.把答案填在题中横线上)13. 某校高中生共有900人,其中高一年级300人,高二年级200人,高三年级400人,现采取分层抽样抽取容量为45的样本,那么高一?高二?高三各年级抽取的人数分别为________.14. 已知多项式函数f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7，当x=5时由秦九韶算法v0=2 v1=2×5-5=5 则v3= ________.15. 把容量为100的某个样本数据分为10组，并填写频率分布表，若前七组的累积频率为0.79，而剩下三组的频数成公比大于2的整数等比数列，则剩下三组中频数最高的一组的频数为___________.16.若集合A={(x，y)y=1+4-x2}，B={(x，y)y=k(x-2)+4}.当集合A∩B有4个子集时，实数k的取值范围是________________.三、解答题(本大题共6小题,满分74分.解答应写出必要的文字说明?证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)对甲?乙的学习成绩进行抽样分析,各抽5门功课,得到的观测值如下甲6080709070乙8060708075问:甲?乙两人谁的平均成绩高?谁的各门功课发展较平衡?质量(单位克)数量(单位袋)26128218.(本小题满分12分)某种袋装产品的标准质量为每袋100克，但工人在包装过程中一般有误差，规定误差在2克以内的产品均为合格.由于操作熟练，某工人在包装过程中不称重直接包装，现对其包装的产品进行随机抽查，抽查30袋产品获得的数据如下：(1)根据表格中数据绘制产品的频率分布直方图;(2)估计该工人包装的产品的平均质量的估计值是多少.19.(本小题满分12分)某种产品的广告费支出x与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x24568y3040605070(1)画出散点图;(2)求回归直线方程;(3)试预测广告费支出为10百万元时，销售额多大?参考公式：20. (本小题满分12分)据报道，某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5 5005 0003 5003 0002 5002 0001 500(1) 求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数;(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么?(精确到元)(3) 你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平?结合此问题谈一谈你的看法.21.(本小题满分12分)如图所示程序框图中,有这样一个执行框 =f( )其中的函数关系式为，程序框图中的D为函数f(x)的定义域.，(1)若输入，请写出输出的所有 ;(2)若输出的所有xi都相等,试求输入的初始值 .22.(本小题满分14分)已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0(1)若m=4，求直线l被圆C所截得弦长的最大值;(2)若直线l是圆心下方的切线，当a在0，4的变化时，求m的取值范围.高二数学月考测试题参考答案一、题号123456789101112选项CAABCDDBDCDD二、题(13)、 15..10..20 (14)、 108. (15 ) 16 (16) 512三、解答题1718. 解析】 (1)频率分布直方图如图…………6分(2) (克) …………12分19. 解答：(1)根据表中所列数据可得散点图如下：————————3分(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算.i12345xi24568yi3040605070xiyi60160300300560因此，x=255=5，y=2505=50，i=15x2i=145，i=15y2i=13 500，i=15xiyi=1 380.于是可得b=i=15xiyi-5x yi=15x2i-5x2=1 380-5×5×50145-5×52=6.5; ——————7分a=y-bx=50-6.5×5=17.5，因此，所求回归直线方程是=6.5x+17.5. ——9分(3)据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10百万元时，=6.5×10+17.5=82.5(百万元)，即这种产品的销售收入大约为82.5百万元. ————————————12分20. 【解析】：(1)平均数是=1 500+≈1 500+591=2 091(元).中位数是1 500元，众数是1 500元. ——————————————4分(2)平均数是≈1 500+1 788=3 288(元).中位数是1 500元，众数是1 500元. ————————————————8分(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平.因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平. ——————————————————12分21.-------------------------------------6分(2) 要使输出的所有数xi都相等,则xi=f(xi-1)=xi-1.此时有x1=f(x0)=x0,即 ,解得x0=1或x0=2,所以输入的初始值x0=1或x0=2时,输出的所有数xi都相等.——————————————12分22. 解析：(1)已知圆的标准方程是(x+a)2+(y-a)2=4a(0则圆心C的坐标是(-a，a)，半径为2a. ——————————2分直线l的方程化为：x-y+4=0.则圆心C到直线l的距离是-2a+42=22-a. ——————————3分设直线l被圆C所截得弦长为L，由圆、圆心距和圆的半径之间关系是：L=2(2a)2-(22-a)2 ——————————5分=2-2a2+12a-8=2-2(a-3)2+10.∵0(2)因为直线l与圆C相切，则有m-2a2=2a，——————————8分即m-2a=22a.又点C在直线l的上方，∴a>-a+m，即2a>m. ——————————10分∴2a-m=22a，∴m=2a-12-1.∵0。

衡阳县高中2019-2020学年高二上学期第一次月考试卷数学

衡阳县高中2019-2020学年高二上学期第一次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．设x ，y ∈R ，且满足，则x+y=（）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知函数f （x ）满足f （x ）=f （π﹣x ），且当x ∈（﹣，）时，f （x ）=e x+sinx ，则（）A ．B ．C ．D ．3．设{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）A ．1B ．2C ．4D ．6 4．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A 、()f x =x 与()f x =2x xB 、()1f x x =- 与()f x =C 、()f x x =与()f x =D 、()f x x =与2()f x =5． 5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为（）A ．35B ．C ．D ．536．已知一组函数f n （x ）=sin n x+cos n x ，x ∈[0，]，n ∈N *，则下列说法正确的个数是（）①∀n ∈N *，f n （x ）≤恒成立②若f n （x ）为常数函数，则n=2③f 4（x ）在[0，]上单调递减，在[，]上单调递增．A ．0B ．1C ．2D ．37．已知直线x+y+a=0与圆x 2+y 2=1交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，且，那么实数a 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．8．已知抛物线C ：y x 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FQ PF 2=，则=QF （） A ．6B ．3C ．38 D ．34 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）9．已知tan （﹣α）=，则tan （+α）=（）A ．B ．﹣C ．D ．﹣10．若集合A={x|﹣2＜x ＜1}，B={x|0＜x ＜2}，则集合A ∩B=（） A ．{x|﹣1＜x ＜1} B ．{x|﹣2＜x ＜1} C ．{x|﹣2＜x ＜2} D ．{x|0＜x ＜1}11．如果双曲线经过点P （2，），且它的一条渐近线方程为y=x ，那么该双曲线的方程是（）A ．x 2﹣=1 B ．﹣=1 C ．﹣=1 D ．﹣=1 12．命题：“∀x ＞0，都有x 2﹣x ≥0”的否定是（）A ．∀x ≤0，都有x 2﹣x ＞0B ．∀x ＞0，都有x 2﹣x ≤0C ．∃x ＞0，使得x 2﹣x ＜0D ．∃x ≤0，使得x 2﹣x ＞0二、填空题13．一个总体分为A ，B ，C 三层，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为15的样本，若B 层中每个个体被抽到的概率都为，则总体的个数为．14．平面内两定点M （0，一2）和N （0,2），动点P （x ，y ）满足，动点P 的轨迹为曲线E ，给出以下命题： ①∃m ，使曲线E 过坐标原点； ②对∀m ，曲线E 与x 轴有三个交点；③曲线E 只关于y 轴对称，但不关于x 轴对称；④若P 、M 、N 三点不共线，则△ PMN 周长的最小值为＋4;⑤曲线E 上与M,N 不共线的任意一点G 关于原点对称的另外一点为H ，则四边形GMHN 的面积不大于m 。

高二上册数学第一次月考文科试卷

第一次月考高二文科数学注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

2、本堂考试120分钟，满分150分。

3、答题前，考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并使用2B 铅笔填涂。

4、考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题12个小题，每题5分，共60分,请将答案涂在答题卡上) 1、已知复数（是虚数单位），则（）A.B.C.D.2、已知集合{}2|20A x x x =-≤，{}1,0,2,3B =-，则A ⋂B =（）A ．{}0,1,2B ．{}0,2C ．{}1,3-D ．{}1,0,1,2,3-3、命题“1sin ,≤∈∀x R x ”的否定是 ( )1sin ,.00≤∈∃x R x A 1sin ,.00>∈∃x R x B 1sin ,.>∈∀x R x C 1sin ,.00≥∈∃x R x D4、某篮球队甲、乙两名运动员练习投篮，每人练习10组，每组投篮40个．命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是( )A. 甲的极差是29B. 乙的众数是21C. 甲的命中率比乙高D. 甲的中位数是245、已知直线b a 、是平面α内的两条直线，l 是空间中一条直线. 则“b l a l ⊥⊥,”是 “α⊥l ”的 ( ).A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件 6、某市政府调查市民收入与旅游欲望时，采用独立性检验法抽取3 000人，计算发现χ2＝6.023，则根据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入增减与旅游欲望有关系的把握是( )……C ．97.5%D ．99.5%7、古希腊数学家阿基米德用穷竭法建立了这样的结论：“任何由直线和抛物线所包围的弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四．”如图，已知直线x ＝2交抛物线y 2＝4x 于A ，B 两点．点A ，B 在y 轴上的射影分别为D ，C .从长方形ABCD 中任取一点，则根据阿基米德这一理论，该点位于阴影部分的概率为( )A.12 B ．13 C.23 D ．258、在极坐标系中，点)4,2(π到直线23)3sin(-=-πθρ的距离是 ( ▲ )1.A 21.B 31.C 41.D 9、若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m ，n ，则点P (m ，n )在直线x ＋y ＝4上的概率是( )A.13 B.14 C.16 D.11210、11、设1F ，2F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若126PF PF a +=，且12PF F △的最小内角为30︒，则C 的离心率为（）A B ．32C D 12、甲、乙、丙三人中,一人是工人,一人是农民,一人是知识分子。

湖南省2022学年高二数学上学期第一次月考试题

高二数学上学期第一次月考试题一、选择题（每题5分，共60分）1．椭圆221259x y +=的离心率为（）A ．1B ．13 C ．43D ．452．已知命题p ：“0a ∃>，有12a a+<成立”，则命题p ⌝为（） A ．0a ∀≤，有12a a +≥成立B ．0a ∀>，有12a a+≥成立C ．0a ∃>，有12a a+≥成立D ．0a ∃>，有12a a+>成立 3．已知椭圆C ：2221(0)4x y a a +=>，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，P 为椭圆C 上任一点，若1242PF PF +=，则12F F =（） A ．4B ．23C ．2D ．34．下列各结论：①“0xy >”是“0x y >”的充要条件；②“1x >”是“11x<”的充要条件；③“a b =” 是“222a b ab +≥”的充分不必要条件；④“二次函数2y ax bx c =++的图象过点(1,0)”是“0a b c ++=” 的充要条件。

其中正确的个数是（ ) A ．1B ．2C ．3D ．45．设，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且，则（） A. B.C. D.6．双曲线的焦距为（）A.B.C.D.7．点为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在点使（为坐标原点）为正三角形，则椭圆的离心率为（） A.B.C.D.8．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的两焦点为12,F F ，若椭圆上存在点P ，使012120F PF ∠=，则椭圆的离心率e 的取值范围为( ). A ．3(0,]2B ．3(0,]4C ．3[,1)2D ．3[,1)49．下列命题是真命题的是（）A ．()2x ∀∈+∞，，22x x >B ．设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件 C ．“2560x x +>－”是“2x >”的充分不必要条件 D ．a b ⊥的充要条件是0a b ⋅=10．已知12,F F 为双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=，则12PF PF ⋅=（） A ．2 B ．4 C ．6 D ．811 、下列结论错误的是A ．命题：“若2320x x -+=，则2x =”的逆否命题是“若2x ≠，则2320x x -+≠”B ．“a b >”是“22ac bc >”的充分不必要条件C ．命题：“x R ∃∈， 20x x ->”的否定是“x R ∀∈， 20x x -≤”D ．若“p q ∨”为假命题，则,p q 均为假命题 12．已知椭圆的左右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（） A ．B ．C ．D ．二、填空题（每题5分）13．命题：“x R ∀∈，x e x ≤”的否定是________．14．已知P 是椭圆2214x y +=上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是______． 15．设是双曲线的两个焦点，是该双曲线上一点，且，则的面积等于__________．16．设命题p ：函数()()2lg 21f x ax x =-+的定义域为R ；命题q ：当122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，1x a x+>恒成立，如果命题“p ∧q ”为真命题，则实数a 的取值范围是________．三、解答题 17．（1）求经过点且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程.（2）已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率35e =，经过点532A ⎫-⎪⎪⎝⎭，求椭圆的标准方程．18．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()(sin sin )(sin sin )a b A B c A C +-=-.（1）求角B 的大小；（2）若27a c +=2b =，求ABC ∆的面积．19．（12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，E 为1DD 中点．（1）求证：1//BD 平面ACE ；（2）求证：1BD AC ⊥．20．（12分）已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且离心率12e =.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆交于不同的两点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线过定点1,05P ⎛⎫⎪⎝⎭，求k 的取值范围．21．（12分）命题p ：关于x 的不等式2240x ax ++>对一切x ∈R 恒成立；命题q ：函数()a f x lag x =在(0,)+∞上递增，若p q ∨为真，而p q ∧为假，求实数a 的取值范围。

湖南省高二数学上学期第一次月考试题文无答案

湖南省醴陵市第二中学2018-2019学年高二数学上学期第一次月考试题文（无答案）一、选择题1、命题0,:2≥∈∀x R x p 的否定是( )A. 0,2≥∈∃x R xB. 0,2<∈∃x R xC. 0,2<∈∀x R xD. 0,2>∈∃x R x2、已知等差数列{a n }中，79416,1a a a +==，则12a 的值是( )A ．15B ．30C ．31D ．643、已知,a b 是实数,则22log log a b <是22a b <的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4、下列不等式中成立的是（）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若a b >，则22a b >C ．若0a b << ，则22a ab b <<D ．若0a b <<，则11a b >5、在△ABC ，已知∠A ＝45°，AB ＝2，BC ＝2，则∠C 等于 ( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．30°或150°6、已知点(1,3)和点(-4,-2)在直线2x y m +=的同侧，则实数m 的取值范围为（）A.(5,10)-B.(10,5)-C. (,10)(5,)-∞-+∞D. (,5)(10,)-∞-+∞7、对于数列{}n a ，114,()n n a a f a +==，依照如表，则2018a =（）A ．2B ．1C ．4D ．58、若0,0x y >>且182=+yx ，则xy 有（） A ．最大值64 B ．最小值64 C ．最小值21 D ．最小值641 9、已知命题:p 平行四边形的对角线互相平分，命题:q 平行四边形的对角线相等，则下列命题中为真命题的是（）A 、()()p q ⌝∨⌝B 、p q ∧C 、()()p q ⌝∧⌝D 、()p q ⌝∨10、已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于 ( )A ．－165B ．－33C ．－30D ．－2111、若互不相等的实数a 、b 、c 成等差数列，c 、a 、b 成等比数列，且103=++c b a ，则a =（）A ．4B ．2C ．－2D ．－412、已知等比数列}{n a 的各项均为正数，公比q ≠1，设0.550.571(log log )2P a a =+，390.5Q log 2a a +=， P 与Q 的大小关系是（） A ．P ≥Q B ．P ＞Q C ． P ≤Q D ．P ＜Q二、填空题13、若变量,x y 满足约束条件22,1,0,x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则13y z x +=+的最大值为 .14、在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且a =1，ABC S b ∆=则,3等于 .15、在38和227之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为．16、已知p：x2－x≥2，q：|x－2|≤1，且p∧q与﹁q同时为假命题，则实数x的取值范围为________．三、解答题17、(10分)（1）求不等式－1< x2＋2x－1 ≤ 2的解集．（2）求不等式133xx-≥+的解集．18、(12分)设p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负根，q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．19、(12分) 在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若cos B cos C －sin B sin C ＝12. (1)求A ； (2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．20、(12分)某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m 2的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。

高二数学上学期第一次月考试题文试题 13(共12页)

上高二中2021-2021学年(xuénián)高二数学上学期第一次月考试题文一、单项选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分〕1．假设直线与圆相切，那么〔〕A．B．C．D．0或者42．圆上存在两点关于直线对称，那么的最小值为A．8 B．9C．16 D．183某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为A． B．2 C． D．4.如图，平行四边形O＇A＇B＇C＇是程度放置的一个平面图形的直观图，其中OA＇＝4，O＇C＇＝2，∠A＇O＇C＇＝30°，那么以下表达正确的选项是A．原图形是正方形B．原图形是非正方形的菱形C．原图形的面积是D．原图形的面积是5.空间坐标系中，点M〔2,5,8〕关于xoy平面对称的点N 的坐标为〔〕A.(-2,5,8) B、〔2，-5,8〕C、〔2,5，-8〕D、〔-2，-5,8〕6．圆，由直线上一点向圆引切线，那么切线长的最小值为( )A．1 B．2 C．D．7．如图，在正方体中，M， N分别(fēnbié)为棱的中点，以下四个结论：①直线DM与是相交直线；②直线AM与NB是平行直线；③直线BN与是异面直线；④直线AM与是异面直线．其中正确的个数为〔〕8. 半径为2，圆心在x轴的正半轴上的圆C与直线相切，那么圆C的方程为〔〕A、B、C、D、9．三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，那么异面直线CC所成的角的余弦值为〔〕与1A． B. C．D．10. 过点(3,1)作圆的两条切线,切点分别为A, B,那么直线AB的方程为〔〕A．B．D．11．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，那么面积的取值范围是〔〕A．B．C．D．12．如下图，在三棱，点在上，且，点是内〔含边界〕的一个动点，且有平面平面，那么动点M的轨迹是〔〕A．平面(píngmiàn) B．直线C．线段，但只含1个端点D．圆二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．〕(其中侧视图中的圆弧是半圆)〕，那么该几何体的外表积为。

湖南省衡阳市2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题含答案

衡阳市2023级高二年级第一次月考试题数学试题（答案在最后）时量：120分钟分值：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2log 1A x x =≤，{}2,2x B y y x ==≤，则（）A.A B B =B.A B A =C.A B B =D.()A B R⋃=R ð【答案】A 【解析】【分析】根据对数函数的性质求出集合A ，由指数函数的性质求出集合B ，即可得到A B ⊆，即可得解.【详解】由2log 1x ≤，则22log log 2x ≤，所以02x <≤，所以{}{}2log 102A x x x x =≤=<≤，又因为{}{}2,204xB y y x y y ==≤=<≤，所以A B ⊆，{0B y y =≤R ð或}4y >，则A B B = ，A B A = ，(){2A B x x ⋃=≤R ð或}4x >，则A 正确，B 、C 、D 错误.故选：A2.椭圆2221(1)x y a a+=>的离心率为12，则a =（）A.3B.C.D.2【答案】A 【解析】【分析】由椭圆的离心率公式即可求解.【详解】由题意得112e a ==，解得3a =，故选：A.3.已知直线:(2)20m a x ay -+-=和直线:310n x ay ++=，则“73a =”是“//m n ”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据直线平行满足的系数关系即可求解.【详解】若直线:(2)20m a x ay -+-=和直线:310n x ay ++=平行，则()326a a a a a⎧-=⎨≠-⎩，解得73a =，所以“73a =”是“//m n ”的充要条件，故选：A4.在平面直角坐标系xOy 中，若满足()()x x k y k y -≤-的点(),x y 都在以坐标原点为圆心，2为半径的圆及其内部，则实数k 的取值范围是（）A.k ≤≤B.k ≤≤C.k -≤≤D.)(⎡⎣ 【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由()()x x k y k y -≤-可得点在圆心,22k k ⎛⎫⎪⎝⎭，r =结合条件列出不等式，即可得到结果.【详解】()()x x k y k y -≤-，则()220x y k x y +-+≤，222222k k k x y ⎛⎫⎛⎫-+-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，圆心,22k k ⎛⎫⎪⎝⎭，r =，(),x y 都在224x y +≤，则两圆内切或内含．2≤k ≤≤，故选:B ．5.已知向量a 与b 是非零向量，且满足a b - 在b 上的投影向量为2b - ，2a b = ，则a 与b 的夹角为（）A.120︒B.150︒C.60︒D.90︒【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量、向量数量积等知识求得正确答案.【详解】设a与b 的夹角为()0180θθ︒≤≤︒，a b - 在b上的投影向量为()22a b b b a b b b b b b-⋅⋅-⋅=⋅所以22cos 2a b bbθ⋅⋅-=-，所以222cos 12cos 12,cos 2b b b bθθθ⋅⋅-=-=-=- ，所以θ为钝角，且120θ=︒.故选：A6.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为1F ，左焦点为2F ，若椭圆上存在一点P ，满足线段1PF 相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段1PF 的中点，则该椭圆的离心率为（）A.3B.23C.2D.59【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，求出12||,||PF PF ，再利用椭圆定义计算作答.【详解】设以椭圆的短轴为直径的圆与线段1PF 相切于点M ，连结OM 、2PF ，如图，因M 、O 分别为1PF 、12F F 的中点，则2//OM PF ，且222PF MO b ==，又线段1PF 与圆O 相切于点M ，即1OM PF ⊥，即有12PF PF ⊥，在12Rt PFF △中，|12F F |=2c ，|2PF |=2b ，于是得2222112244PF F F PF c b =-=-，根据椭圆的定义，得12||||2PF PF a +=224422c b b a -=22c b a b -=-，解得23b a =，所以椭圆的离心率2253c a b e aa -===.故选：A7.已知等边ABC V 的边长为3，P 为ABC V 所在平面内的动点，且||1PA =，则PB PC ⋅的取值范围是（）A.39,22⎡⎤-⎢⎣⎦ B.111,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.[1,4]D.[1,7]【答案】B 【解析】【分析】首先建立平面直角坐标系且3(,0)2A -，3(,0)2B ，3(0,2C ，进而确定P 的轨迹圆，再利用向量数量积的坐标表示并结合所得表达式的几何意义求范围即可.【详解】如下图构建平面直角坐标系，且3(2A -，3(,0)2B ，3(0,2C ，所以(,)P x y 在以A 为圆心，1为半径的圆上，即轨迹方程为223(12x y ++=，而33(,),(,)22PB x y PC x y =--=--，故222233333()()22444PB PC x x y y x y ⋅=-+-=-+-- ，综上，只需求出定点33(,44与圆223()12x y ++=上点距离平方的范围即可，而圆心A 与33,)44的距离223333()()4242d =++=，故定点33,)44与圆上点的距离范围为15[,22，所以111[,]22PB PC ⋅∈- .故选：B8.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，设P 是棱1CC 的中点，Q 是线段1C P 上的动点（含端点），M 是正方形11BCC B 内（含边界）的动点，且1//A M 平面1D AP ，则下列结论正确的是（）A.存在满足条件的点M ，使11A M AD ⊥B.当点Q 在线段1C P 上移动时，必存在点M ，使1A M BQ ⊥C.三棱锥11C A PM -的体积存在最大值和最小值D.直线1A M 与平面11BCC B 所成角的余弦值的取值范围是11[,]32【答案】ABC 【解析】【分析】由已知，取11B C 的中点E ，1BB 的中点F ，并连接，可得点M 的轨迹为线段EF ．对于A ，连接1AC ，1B C 交1BC 于点O ，可得1⊥BC 平面11A B C ，当M 为线段EF 中点时，11BC A M ⊥，又11//BC AD ，则可判断：对于B ，分别以向量DA ，DC ，1DD的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，由空间向量坐标运算可得存在10A M BQ ⋅=，即可判断；对于C ，设点M 到1C P 的距离为h ，可知当M 与E 重合时，min 11h EC ==，当M 与F 重合时，max 2h FP ==，即可求出三棱锥11C A PM -的体积存在最大值和最小值，则可判断；对于D ，由11A B ⊥平面11BCC B 知，11A MB Ð即为直线1A M 与平面11BCC B 所成的角，在1B EF 中，可得11B M ≤≤，则得2tan θ≤≤，进而得1cos 35θ≤≤，则可判断.【详解】取11B C 的中点E ，1BB 的中点F ，连接1A E ，1A F ，EF ，1BC ，如图所示．易知11////EF BC AD ，11//A F D P ，因为EF ⊂平面1A EF ，EF ⊄平面1D AP ，所以//EF 平面1D AP ，同理，1//A F 平面1D AP ，又1A F EF F ⋂=，又1,EF A F ⊂平面1A EF ，所以平面1//A EF 平面1D AP ，又1//A M 平面1D AP ，所以1A M ⊂平面1A EF ，故点M 的轨迹为线段EF ．对于A ，连接1AC ，1B C 交1BC 于点O ，如图所示．则11BC B C ⊥，又111A B BC ⊥，1111A B B C B = ，111A B B C ⊂、平面11A B C ，所以1⊥BC 平面11A B C ，当M 为线段EF 中点时，11BC A M ⊥，因为11//BC AD ，所以11A M AD ⊥，故A 正确；对于B ，分别以向量DA ，DC ，1DD的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．则1(2,0,2)A ，()()()()2,2,0,1,2,2,2,2,1,0,2,B E F Q m ()12m ≤≤，设EM EF λ=（01λ≤≤），得(1,2,2)M λλ+-，从而1(1,2)A M λλ=-- ，又(2,0,)BQ m =- ，令10A M BQ ⋅=，得2(1)0m λλ---=，当0λ=时，显然不合题意；当01λ<≤时，由2212m λλ-≤=≤，解得1223λ≤≤，即当点Q 在线段1C P 上移动时，均存在点M ，使1A M BQ ⊥，故B 正确；对于C ，设点M 到1C P 的距离为h ，则三棱锥11C A PM -的体积为111111111111113323C A PM A C PM C PM V V S A B P h A B --==⨯=⨯⨯=△，当M 与E 重合时，min 11h EC ==，得11min 1()3C A PM V -=；当M 与F 重合时，max 2h FP ==，得11max 2()3C A PM V -=，故C 正确；对于D ，设直线1A M 与平面11BCC B 所成的角为θ、连接1B M ，如图所示．由11A B ⊥平面11BCC B 知，11A MB θ∠=，在1B EF 中，11111B E B FB M B F EF⨯=≤≤=，得2tan θ≤≤，所以2222sin 1cos 48cos cos θθθθ-≤=≤，所以1cos 35θ≤≤，故D 错误．故选：ABC ．【点睛】关键点点睛，本题关键是先找到点M 的轨迹，对于B 选项，通过设出向量的含参坐标，借助参数的范围满足条件，得到答案；对于C 选项，利用等积转化，转化成棱锥高取得最值，可得体积最值；对于D 选项，关键是找到线面角正切的范围，进而得到余弦的范围.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.关于方程221mx ny +=，下列说法正确的是（）A.若0m n >>，则该方程表示椭圆，其焦点在y 轴上B.若0m n =>C.若0n m >>，则该方程表示椭圆，其焦点在x 轴上D.若0,0m n =>，则该方程表示两条直线【答案】ACD 【解析】【分析】AC 选项，化为标准方程，结合椭圆的特征得到答案；B 选项，化为221x y n+=，得到B 正确；D 选项，化为y n=±，故D 正确.【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，因为0m n >>，所以110m n<<，即该方程表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n +=，此时该方程表示圆心在原点，半径为n的圆，故B 错误；对于C ，0n m >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n+=，由于0n m >>，所以110m n>>，故该方程表示焦点在x 轴上的椭圆，故C 正确；对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n =，即y n=±，此时该方程表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确．故选：ACD10.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy 中，已知()0,0O ，()2,0A ，点P满足PAPO=，设点P 的轨迹为圆C ，下列结论正确的是（）A.圆C 的方程是22(2)9x y ++=B.过点A 且斜率为12的直线被圆C截得的弦长为5C.圆C 与圆22(1)(4)8x y -+-=有四条公切线D.过点A 作直线l ，若圆C 上恰有三个点到直线l，该直线斜率为77【答案】BD 【解析】【分析】对A ，设(),P x y，再根据PAPO=列式化简可得圆C 的方程；对B ，根据垂径定理求解即可；对C ，根据圆心间的距离与半径和差的关系判断两圆位置关系，进而可得公切线条数；对D ，分直线斜率为0与不为0讨论，再根据圆心到直线距离与半径的关系列式求解即可.【详解】对A ，设(),P x y，由PAPO==，即()2222222x y x y -+=+，化简可得()2228x y ++=，故A 错误；对B ，过点A 且斜率为12的直线方程为()122y x =-，即220x y --=，则圆()2228x y ++=的圆心()2,0-到220x y --==，故所求弦长为5=，故B 正确；对C ，圆C 圆心到22(1)(4)8x y -+-=圆心()1,4的距离为5=，又两圆的半径和为5+=>，故两圆相交，有两条公切线，故C 错误；对D，当直线l 斜率为0时，圆C 上有四个点到直线l 不合题意，设直线:2lx ty =+，则由题意C到l的距离等于==，解得t =，故斜率直线斜率为17t =±，故D正确；故选：BD11.已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线l 与C 交于P ，Q 两点，若21:||:1:4:5F Q PQ F Q =，则（）A.12PF PF ⊥B.12QF F的面积等于26a C.直线l的斜率为2D.C 的离心率等于2【答案】ABD 【解析】【分析】由线段比例关系以及椭圆定义可知12PF PF =，且满足22211PF PQ F Q +=，即可得A 正确；易知1211226QF F QF P PF FS S a S =-= 可得B 正确；在等腰直角三角形12PF F 中，可知直线l的斜率为1-，计算可得C 的离心率等于2.【详解】由21::1:4:5F Q PQ F Q =可知，不妨设21,4,5F Q m PQ m F Q m ===，又224PQ QF PF m =+=，可得23PF m =；利用椭圆定义可知12126QF QF PF PF m +=+=，所以可得13PF m =；即123PF PF m ==，所以点P 即为椭圆的上顶点或下顶点，如下图所示：由13PF m =，14,5PQ m F Q m ==可知满足22211PF PQ F Q +=，所以12PF PF ⊥；即A 正确；所以12PF F 为等腰直角三角形，且13PF m a ==，因此12QF F 的面积为12112222212111931622226QF F QF P PF F S S S PQ PF PF PF m m m a =-=-=-== ，即B 正确；此时可得直线l 的斜率21PQ PF k k ==-，所以C 错误；在等腰直角三角形12PF F 中，易知()2222a a c +=，即可得离心率22c e a ==，即D 正确；故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若圆柱的底面半径为2，轴截面的对角线长为5，则这个圆柱侧面展开图的对角线长为_____________.【解析】【分析】根据勾股定理及圆柱与圆柱侧面展开图的关系即可求解.【详解】因为圆柱的底面半径为2，所以圆柱的底面直径为4，又因为轴截面的对角线长为5，3=，所以圆柱的侧面展开图的长为4π，宽为3，=..13.设直线1:370l x y +-=与直线2:10l x y -+=的交点为P ，则P 到直线:20l x ay a ++-=的距离的最大值为____________．【答案】【解析】【分析】先求出P 的坐标，再求出直线l 所过的定点Q ，则所求距离的最大值就是PQ 的长度.【详解】由10370x y x y -+=⎧⎨+-=⎩可以得到12x y =⎧⎨=⎩，故()1,2P ，直线l 的方程可整理为：()210x a y ++-=，故直线l 过定点()2,1Q -，因为P 到直线l 的距离d PQ ≤，当且仅当l PQ ⊥时等号成立，故max d ==.14.设I 、G 分别是()ABC AB AC ≠△的内心和重心，若GI BC ⊥于F ，则以B 、C 为焦点且过点A 的椭圆的离心率是____________．【答案】13【解析】【分析】结合图像，利用A 点坐标以及重心性质，得到G 点坐标，再由题目条件GI x ⊥轴，得到I 点横坐标，然后两次运用角平分线的相关性质得到MF ME的比值，再结合MIF 与MAE 相似，即可求得I 点纵坐标，也就是内切圆半径，再利用等面积法建立关于,,a b c 的关系式，从而求得椭圆离心率.【详解】如图，令A 点在第一象限（由椭圆对称性，其他位置同理），连接AO ，显然G 点在AO 上，连接AI 并延长交x 轴于点M ，连接G I 并延长交x 轴于点F ，GI x ⊥轴，过点A 作AE 垂直于x 轴于点E ，设点00(,)A x y ，(,0),(,0)B c C c -，则00,OE x AE y ==，因为G 为ABC 的重心，所以00(,33x y G ，因为IG x ⊥轴，所以I 点横坐标也为03x ，03xON =，因为AM 为BAC ∠的角平分线，则有02()()23x AB AC BF FC BO OF OC OF OF -=-=+--==，又因为+2AB AC a =，所以可得00,33x xAB a AC a =+=-，又由角平分线的性质可得，003=3x a BM AB x CM AC a +=-，而=BM c OM CM c OM +-所以得03cxOM a=，所以0()3a c x MF OF OM a -=-=，0(3)3a c x ME OE OM a-=-=，所以3IF MF a c AEMEa c -==-，即0()3a c y IF a c-=-，因为()1122ABC S AB AC BC IF BC AE =++= 即00()11(22)(2)232a c y a c c y a c -+=-，化简得3a c =,解得13c a =.故答案为：13.【点睛】关键点点睛：解题的关键是利用等面积法建立关于,,a b c 的关系式，同时也应用了重心坐标公式，注意数形结合.三、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知圆1C 是以点()0,0和点2,0为直径端点的圆，圆2C 是以点()0,0和点0,2为直径端点的圆．（1）求圆1C ，2C 的方程；（2）已知两圆相交于A ，B 两点，求直线AB 的方程及公共弦A 的长.【答案】（1）1C ：()2211x y -+=，2C ：()2211x y +-=（2）:AB l y x =，AB =【解析】【分析】（1）求出圆心及半径即可得圆的方程；（2）联立两圆方程，即可求出两圆交点坐标，即可得直线AB 的方程及公共弦A 的长.【小问1详解】1C 的圆心为1,0，半径112r ==，故1C ：()2211x y -+=，2C 的圆心为0,1，半径112r ==，故2C ：()2211x y +-=；【小问2详解】联立()()22221111x y x y ⎧-+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得00x y ==⎧⎨⎩或11x y =⎧⎨=⎩，则10110AB k -==-，则:AB l y x =，AB ==16.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()30a b c a b c ab +++--=.（1）求C ；（2）若π2C A <<，求a b c +的取值范围.【答案】（1）π3C=（2）2).【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求出角C .（2）利用正弦定理边化角，再利用差角的正弦及辅助角公式化简，借助正弦函数性质求出范围.【小问1详解】由()()30a b c a b c ab +++--=，得222a b c ab+-=由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，而(0,π)C ∈，所以π3C =.【小问2详解】由（1）及正弦定理得2sin sin() sin sin3sin sin3A A a b A Bc Cπ+-++==π1cos sin)22A A A=++π2sin()6A=+由π2C A<<，得ππ32A<<，即2263Aπππ<+<，则sin((,1)62Aπ+∈，所以a bc+的取值范围是2).17.如图，在棱长为a的正方体OABC O A B C''''-中，E，F分别是AB，BC上的动点，且AE BF=．（1）求证：A F C E''⊥；（2）当三棱锥B BEF'-的体积取得最大值时，求平面B EF'与平面BEF的夹角的正切值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）构建空间直角坐标系，令AE BF m==且0m a≤≤，应用向量法求证C E A F''⊥垂直即可；（2）由三棱锥体积最大，只需△BEF面积最大求出参数m，再标出相关点的坐标，求平面B EF'与平面BEF的法向量，进而求它们夹角的余弦值，即可得正切值.【小问1详解】如下图，构建空间直角坐标系O xyz-，令AE BF m==且0m a≤≤，所以(0,,)C a a '，(,0,)A a a '，(,,0)E a m ，(,,0)F a m a -，则(,,)C E a m a a '=-- ，(,,)A F m a a '=-- ，故2()0C E A F am a m a a ''⋅=-+-+=，所以C E A F ''⊥，即A F C E ''⊥.【小问2详解】由（1）可得三棱锥B BEF '-体积取最大，即BEF △面积()22112228BEFa a S m a m m ⎛⎫=-=--+⎪⎝⎭ 最大，所以当2a m =时()2max 8BEF a S = ，故E 、F 为AB 、BC 上的中点，所以,,02a E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,02a F a ⎛⎫⎪⎝⎭，(,,)B a a a '，故0,,2a EB a ⎛⎫'= ⎪⎝⎭ ，,0,2a FB a ⎛⎫'= ⎪⎝⎭ ，若(,,)m x y z = 为平面B EF '的法向量，则0202am EB y az am FB x az ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=''+=⎪⎩，令1z =-，故(2,2,1)m =- ，又面BEF 的法向量为(0,0,1)n =，所以11cos ,313m n m n m n⋅-===⨯ ，设平面B EF '与平面BEF 的夹角为θ，由图可知θ为锐角，则1cos 3θ=，所以222sin 1cos 3θθ=-=，所以sin tan 22cos θθθ==，所以平面B EF '与平面BEF 的夹角正切值为218.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右顶点为()2,0A -，()2,0B ，焦距为23O 为坐标原点，过点O 、B 的圆G 交直线1x =于M 、N 两点，直线AM 、AN 分别交椭圆E 于P 、Q .（1）求椭圆E 的方程；（2）记直线AM ，AN 的斜率分别为1k 、2k ，求12k k ⋅的值；（3）证明：直线PQ 过定点，并求该定点坐标.【答案】（1）2214x y +=（2）19-（3）证明见解析，10,013⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题意求出,a b ，即可得答案；（2）法一：设()()121,,1,M y N y ，写出圆G 的方程为：()2222112122y y y y x y -⎛⎫+⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用圆G 过(0,0)，代入圆的方程得121y y =-，化简12121(2)1(2)y yk k ⋅=⋅----，即得答案；法二：设()1,G b ，圆G 半径为r ，写出圆G 方程，圆G 过(0,0)，可得221+b r =，由此化简，121(2)1(2)b r b rk k +-⋅=⋅----，即得答案.（3）设直线:PQ y kx m =+，联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，结合34341(2)(2)9y y x x =-++，化简可得参数之间的关系式，结合直线的点斜式，即可确定定点坐标.【小问1详解】由已知得2a =，c =，则2221b a c =-=，故椭圆的标准方程为2214x y +=；【小问2详解】法一：设()()121,,1,M y N y ，则圆G 的方程为：()2222112122y y y y x y -⎛⎫+⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，圆G 过(0,0)，代入圆的方程得121y y =-，故12121121(2)1(2)99y y y y k k ⋅=⋅==-----；法二：设()1,G b ，圆G 半径为r ，则圆G 方程为：()2221()x y b r -+-=，圆G 过(0,0)，221+b r ∴=，由题意可设()()1,,1,M b r N b r +-，则221211(2)1(2)99b r b r b r k k -+-⋅=⋅==-----；【小问3详解】由题意知，当圆G 的圆心不在x 轴上时，直线PQ 斜率存在，设直线:PQ y kx m =+，3344(,),(,)P x y Q x y ，则()2222241844014y kx mk x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩，需满足()22Δ16410k m =+->，则342841km x x k +=-+，234244=41m x x k -+，则()()()22223434343424=41m k y y kx m kx m k x x km x x m k -++=+++=+，结合第一问知34341(2)(2)9y y x x =-++，即34343492()40y y x x x x ++++=，即得22222244489240414141m k m km k k k --⎛⎫⨯++⨯-+= ⎪+++⎝⎭，化简得221316200m km k --=，解得2m k =或1013m k =-，当2m k =时，直线PQ 方程为()22y kx k k x =+=+，直线PQ 过点−2,0，不合题意，当1013m k =-时，直线PQ 方程为10101313y kx k k x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，故直线PQ 过定点10,013⎛⎫⎪⎝⎭；当圆G 的圆心在x 轴上时，M ，N 关于x 轴对称，此时直线PQ 斜率不存在，圆G 方程为22(1)1x y -+=，令1x =，则1y =±，此时不妨设(1,1),(1,1)M N -，则AM 的方程为1(2)1(2)y x =+--，即1(2)3y x =+，联立2214x y +=，得21316200x x +-=，解得2x =-或1013x =，即P 点横坐标为1013x =，则直线PQ 此时也过点10,013⎛⎫⎪⎝⎭，故直线PQ 过定点10,013⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第三问中的定点问题，解答时要利用设方程，求出参数之间的关系，利用直线的点斜式确定定点坐标，要特别注意计算的复杂性.19.已知()22,f x ax bx x =++∈R .定义点集A 与()y f x =的图象的公共点为A 在()f x 上的截点.（1）若(){}1,,3,,b L x y y x L =-==∈R ∣在()f x 上的截点个数为0.求实数a 的取值范围；（2）若()(){}1,,2,0,2,a S x y y x S ===∈∣在()21f x x +-上的截点为()1,2x 与()2,2x .（i ）求实数b 的取值范围；（ii ）证明：121124x x <+<.【答案】（1）1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭（2）（i ）712b -<<-；（ii ）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意转化为223ax x -+=无解，判断可得0a ≠，则0∆<，即可求出a 的取值范围；（2）（i ）依题意可得方程()212f x x +-=在()0,2上有两个解，可化为函数22()|1|H x x bx x =++-在()0,2上有两个零点的问题，去掉绝对值，讨论函数的单调性，求出()H x 在()0,2上存在两个零点时b 的取值范围；（ii ）由（i ）可得11b x =-和2212b x x =-，消去b ，即可得到212112x x x +=，结合2x 的范围即可证明.【小问1详解】当1b =-时，()22f x ax x =-+，因为(){},3,,L x y y x L ==∈R ∣在()f x 上的截点个数为0，⇔关于x 的方程223ax x -+=无实数解，即210ax x --=无实数解，易知0a ≠，所以140a ∆=+<，解得14a <-，即a 的取值范围是1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【小问2详解】（i ）当1a =时，()22f x x bx =++，因为()(){},2,0,2,S x y y x S ==∈∣在()21f x x +-上的截点为()1,2x 与()2,2x ，所以关于x 的方程()212f x x +-=在()0,2上有两个解1x ，2x ，即2210x bx x ++-=在()0,2上有两个解1x ，2x ，不妨设1202x x <<<，令()2221,1,121, 1.bx x H x x bx x x bx x ⎧+≤⎪=++-=⎨+->⎪⎩因为(]0,1x ∈时，()1H x bx =+，所以()0H x =在(]0,1上至多一个解，若()12,1,2x x ∈，则1x ，2x 就是2210x bx +-=的解，从而12102x x =-<，这与题设矛盾.因此(]10,1x ∈，()21,2x ∈，由()10H x =得11b x =-，所以1b ≤-，由()20H x =得2212b x x =-，所以712b -<<-，当712b -<<-时，方程()212f x x +-=在()0,2上有两个解.（ii ）由11b x =-和2212b x x =-消去b 得212112x x x +=，因为()21,2x ∈，所以121124x x <+<.【点睛】关键点点睛：令()2221,1,121, 1.bx x H x x bx x x bx x ⎧+≤⎪=++-=⎨+->⎪⎩去掉绝对值号，根据一次函数及二次函数的图象与性质，分析函数零点，求出参数b 的取值范围是解题的关键.。

2024-2025学年湖南省衡阳市高二(上)第一次月考数学试题(含答案)

2024-2025学年湖南省衡阳市高二（上）第一次月考数学试题一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x|log 2x ≤1}，B ={y|y =2x ,x ≤2}，则( )A. A ∪B =BB. A ∪B =AC. A ∩B =BD. A ∪(∁R B)=R2.椭圆x 2a 2+y 2=1(a >1)的离心率为12，则a =( )A.2 33B.2C.3D. 23.已知直线m ：(a−2)x +ay−2=0和直线n ：x +3ay +1=0，则“a =73”是“m//n ”的( )A. 充要条件 B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件4.在平面直角坐标系xOy 中，若满足x(x−k)≤y(k−y)的点(x,y)都在以坐标原点为圆心，2为半径的圆及其内部，则实数k 的取值范围是( )A. − 2≤k ≤22 B. − 2≤k ≤2C. −2 2≤k ≤2D. [− 2,0)∪(0,2]5.已知向量a 与b 是非零向量，且满足a−b 在b 上的投影向量为−2b ,|a |=2|b |，则a 与b 的夹角为( )A. 120° B. 150° C. 60° D. 90°6.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F 1，左焦点为F 2，若椭圆上存在一点P ，满足线段PF 1相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF 1的中点，则该椭圆的离心率为( )A.53 B. 23C.22D. 597.已知等边△ABC 的边长为3，P 为△ABC 所在平面内的动点，且|PA |=1，则PB ⋅PC 的取值范围是( )A. [−32,92]B. [−12,112]C. [1,4]D. [1,7]二、多选题：本题共4小题，共23分。

2022年湖南省衡阳市衡山县第二中学高二数学理月考试题含解析

2022年湖南省衡阳市衡山县第二中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 5名学生相约第二天去春游，本着自愿的原则，规定任何人可以“去”或“不去”，则第二天可能出现的不同情况的种数为（）A．C B．25 C．52 D．A参考答案：B【考点】计数原理的应用．【分析】直接利用分步乘法计数原理得答案．【解答】解：不妨设5名同学分别是A，B，C，D，E，对于A同学来说，第二天可能出现的不同情况有去和不去2种，同样对于B，C，D，E都是2种，由分步乘法计数原理可得，第二天可能出现的不同情况的种数为2×2×2×2×2=25（种）．故选：B．2. 两圆相交于点A（1，3）、B（m，－1），两圆的圆心均在直线上，则的值为（）．A.0B.2C.-3D.－1参考答案：C3. 在△ABC，已知acosA=bcosB，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形参考答案：D【考点】正弦定理．【分析】根据正弦定理把等式acosA=bcosB的边换成角的正弦，再利用倍角公式化简整理得sin2A=sin2B，进而推断A=B，或A+B=90°答案可得．【解答】解：根据正弦定理可知∵acosA=bcosB，∴sinAcosA=sinBcosB，∴sin2A=sin2B，∴A=B，或2A+2B=180°即A+B=90°，所以△ABC为等腰或直角三角形．故选：D．4. 对于实数a，b，c，下列结论中正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，，则参考答案：D试题分析：对于A．若，若则故A错；对于B．若，取则是假命题；C．若，取，则是错误的，D．若，则取，又，所以，又因为同号，则考点：不等式的性质的应用5. 命题：“”，则A．是假命题；：B．是真命题；：C．是真命题；：D．是假命题；：参考答案：D6. 一个长、宽分别为和1的长方形内接于圆（如下图），质地均匀的粒子落入图中（不计边界），则落在长方形内的概率等于A. B. C. D.参考答案：A7. 对任意实数x，若表示不超过x的最大整数，则“|x﹣y|＜1”是“=”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若“=”，设=a，=a，x=a+b，y=a+c其中b，c∈=”成立能推出“|x﹣y|＜1”成立反之，例如x=1.2，y=2.1满足|x﹣y|＜1但=1，=2即|x﹣y|＜1成立，推不出=故“|x﹣y|＜1”是“=”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，正确理解的意义是解决本题的关键．8. 椭圆上的两点关于直线对称，则弦的中点坐标为（）A. B. C.D.参考答案：D9. 平面内有一长度为2的线段AB和一动点P，若满足，则的取值范围是：（）参考答案：A10. 抛物线的焦点坐标为（）A．B．C．D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 抛物线y2=2x的准线方程是．参考答案：﹣【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线方程求得p，进而根据抛物线的性质，求得答案．【解答】解：抛物线y2=2x，∴p=1，∴准线方程是x=﹣故答案为：﹣12. 在平面内，是平面的一条斜线，若已知，则与平面所成的角的余弦值等于参考答案：略13. 已知双曲线，则其渐近线方程为_________, 离心率为________.参考答案：、14. 等比数列{an}中，a1＝512，公比q＝，用πn表示它的n项之积：πn＝a1·a2·a3…an，πn 取得最大值时n＝________.参考答案：9或10略15. 设函数,定义，如下：当时，；当且时，．观察:根据以上事实，由归纳推理可得：当时，.参考答案：16. 已知矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E，F分别在线段AD，BC上，且AE=1，BF=3．如图所示，沿EF将四边形AEFB翻折成，则在翻折过程中，二面角的正切值的最大值为▲．参考答案：17. 计算=参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。