勾股定理拓展提高题

3、如图2,直线I 上有三个正方形

a, b, c ,若a, c 的面积分别为5和11,则b 的面积

4、如图3,数轴上的点 A 所表示的数为x ，则X 2

—10的立方根为 ___________

5、如图4, 一只蚂蚁沿棱长为 a 的正方体表面从顶点 A 爬到顶点B,则它走过的最短路程为

6、2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方 图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图 5所

示）.如果大正方形的面积是 13,小正方形的面积是1,直角三角形的较短直角边为 a,较 长直角边为b ,那么（a + b f 的值为（ ）

7、已知△ ABC 的三边长满足 a • b = 10,ab = 18 , c = 8，则为 ______ 三角形

勾股定理拓展提高题

1、如图，长方体的底面边长分别为 1cm 和3cm,咼为6cm ①如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点 B,

那么所用细线最短需要 ___________ cm

②如果从点A 开始经过4个侧面缠绕3圈到达点B, 那么所用细线最短需要 ___________ cm

2、如图1,每个小正方形的边长为 1, A B C 是小正方形的顶点，则/ ABQ 的度数

图1

图

2

(A ) 13

(B ) 19 (C ) 25

(D ) 169

8、如图，铁路上A, B 两点相距25km, C,D 为两村庄，DAIAB 于A, CB 丄AB 于B,已知DA=15km

CB=10km 现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站 E ，使得C, D 两村到E 站的距离相 等，则E 站应建在离 A 站多少km 处？

9、已知：正方形 ABCD 的边长为1,正方形 ABCD 的边长为1，正方形 EFGH 内接于 ABCD

2

AE =a

，AF=b,且 S

正方形

EFGH

「。求:

AB=AC 点D 是斜边BC 的中点，点E 、F 分别为AB AC 边上的点,

且 DEI DF 。

(1)说明：BE 2 • CF 2 二 EF 2

⑵若BE=12,CF=5,试求 DEF 的面积。

勾股定律逆定理应用

考点一 证明三角形是直角三角形

例1、已知：如图，在△ ABC 中，CD 是 AB 边上的高，且 CD=AD ・BD.

求证：△ ABC 是直角三角形.

b - a 的值。

10、在等腰直角三角形中

,

针对训练： 1、已知：在厶 ABC 中，/ A 、/ B 、/ C 的对边分别是 a 、b 、c ，满足 2 2 2

a +

b +

c +338=10a+24b+26c.试判断△ ABC 的形状.

求证：A D=A C+B D.

4、如图，长方形 ABCD 中, AD=8cm,CD=4cm.

⑴若点P 是边AD 上的一个动点，当P 在什么位置时 PA=PC?

15

⑵在⑴中，当点P 在点P/时，有P'A^P'C , Q 是AB 边上的一个动点，若AQ 二一时,

4

QP'与P'C 垂直吗？为什么?

2（如图） 在正方形 ABCD 中, F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且 丄

EC=4 BC, 求证: .

EFA=90.

3、如图, 已知：在厶ABC 中，.C=90 , M 是BC 的中点, MD AB 于

考点二运用勾股定理的逆定理进行计算例、如图，等腰△ABC中，底边BC= 20, D为AB上一点，CD= 16, BD= 12,

求厶ABC的周长。

针对训练：1、•已知：如图，四边形 ABCD AD// BC AB=4, BC=6 CD=5 AD=3.

求：四边形ABCD的面积•

3.已知：如图， DE=m,BC=n上EBW £DCB互余 ,求B D+C D.

考点三、与勾股定理逆定理有关的探究和应用

例1.阅读下列解题过程：已知a、b、c ABC的三边，且满足 a2c2- b2c2=a4— b4，试判断△ ABC的形状.

2 2 . 2 2 4 . 4 2Z2.2、Z2.2、Z2 . 2 2 2.2

解：.a c — b c =a — b , (A) •• c (a — b )=(a +b )(a — b ) , (B) •• c =a +b , ( C) - •△ ABC

是直角三角形.

问：①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_____________ ;

②错误的原因是________________ ;③本题的正确结论是 ____________ .

例2.学习了勾股定理以后,有同学提出“在直角三角形中,三边满足a2 b2二c2,或许其他的三角形三边也有这样的关系”•让我们来做一个实验！

（1）画出任意的一个锐角三角形，量出各边的长度（精确到1毫米）,较短的两条边长分别是

a = ______ mm；

b =________ mm 较长的一条边长C=___________ mm

比较a2十b2 ____ c2（填写“〉”，“v”,或“=”）；

（2）画出任意的一个钝角三角形，量出各边的长度（精确到1毫米）,较短的两条边长分别是

a =_______ mm

b = __________ mm 较长的一条边长

c = _________ mm

比较a2 +b2_______ c2（填写“〉”，“v”，或“=”）；

（3）根据以上的操作和结果，对这位同学提出的问题，你猜想的结论是：

⑷对你猜想a2 b2与c2的两个关系，任选其中一个结论利用勾股定理证明。

分，我国反走私艇 A发现正东方有一走私艇 C以每小时13海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇B密切注意•反走私艇A通知反走私艇 B:A和C 两艇的距离是13海里，A B两艇的距离是 5海里.反走私艇B测得距离C艇是12海里,

若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海?

针对训练：1 观察下列各式：32 + 42 = 52; 82 + 62 = 102; 152+ 82= 172; 242+ 102= 262…，你有没有发现其中的规律？请用含n的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式

子.