2012年北京市石景山区高三一模理科数学含答案纯word版
北京市石景山区高三数学上学期期末考试试题 理 新人教
石景山区2012—2013学年第一学期期末考试试卷高三数学（理）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则=⋃B A C U ）（（ ） A ． {}2,1 B ． {}4,32， C ． {}4,3 D ．{}4,3,2,1 【答案】B【解析】因为{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ，所以{34}U A =，ð,所以{2,3,4}U C A B ⋃=（），选B.2. 若复数i Z =1, i Z -=32,则=12Z Z （ ） A ． 13i -- B ．i +2 C ．13i + D ．i +3 【答案】A 【解析】2133113Z i i Z i i -==-=--，选A.3．AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC AD 则===u u u r u u u r u u u r（ ）A ．(2,4)B ．(3,7)C ．(1,1)D ．(1,1)-- 【答案】D【解析】因为(2,4),(1,3),AB AC ==u u u r u u u r所以(1,1)BC AC AB =-=--u u u r u u u r u u u r ，即(1,1)AD BC ==--u u u r u u u r，选D.4. 设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβC ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥βD ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ 【答案】C【解析】C 中，当//,//m m n α，所以，//,n α或,n α⊂当n β⊥，所以α⊥β，所以正确。
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16．（本小题共 14 分）
如图1，在 Rt ABC 中， C 90 ， BC 3， AC 6 ． D ､ E 分别是 AC ､ AB 上的点，且 DE / / BC ，将 ADE 沿 DE 折起到 A1DE 的位置，使 A1D CD ， 如图 2 ． （Ⅰ）求证： BC 平面 A1DC ； （Ⅱ）若 CD 2 ，求 BE 与平面 A1BC 所成角的正弦值； （Ⅲ）当 D 点在何处时， A1B 的长度最小，并求出最小值． A1
④ 函数 y f (x) 在 ( 1 , 3 ] 上是增函数． 22
则上述命题中真命题的序号是
三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题共 13 分）
已知函数 f (x) sin 2x ( sin x cos x) ． cos x
（Ⅰ）求 f (x) 的定义域及最小正周期；
1．设集合U {1, 2,3, 4}， A {1, 2}， B {2, 4} ，则 (CU A) B （ ）
Байду номын сангаас
A．{1, 2}
2．若复数 Z1 i ， Z2
A． 1 3i
B．{2，3, 4}
3 i ，则 Z 2 Z1
B． 2 i
（
3． AC 为平行四边形 ABCD 的一条对角线， AB (2, 4) ， AC (1,3) ，则 AD （
C．{3, 4}
）
C．1 3i
C． (1,1)
输入 x
D．{1, 2,3, 4}
D． 3 i
x>2
D． (1, 1)
否
y=x2 -1 y= log2 x
2012-2013学年北京市石景山区高三(上)期末数学试卷(理科)(附答案解析)
2012-2013学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 设集合U ={1, 2, 3, 4}，A ={1, 2}，B ={2, 4}，则(∁U A)∪B =( ) A.{1, 2} B.{2, 3, 4} C.{3, 4} D.{1, 2, 3, 4}2. 若复数Z 1=i ，Z 2=3−i ，则Z 2Z 1=( )A.1+3iB.2+iC.−1−3iD.3+i3. 在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →=(2,4)，AC →=(1,3)，则AD →=( ) A.(2, 4) B.(1, 1)C.(−1, −1)D.(−2, −4)4. 设m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A.若m // α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β B.若m // α，n ⊥β，m ⊥n ，则α // β C.若m // α，n ⊥β，m // n ，则α⊥β D.若m // α，n ⊥β，m // n ，则α // β5. 执行框图，若输出结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（ ）A.1B.2C.3D.46. 若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（ ） A.60种B.63种C.65种D.66种7. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ）A.83B.4C.2D.438. 在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n +k|n ∈Z}，k =0，1，2，3，4．给出如下四个结论： ①2011∈[1]； ②−3∈[3]；③Z =[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a −b ∈[0]”． 其中，正确结论的个数是（ ） A.1 B.2C.3D.4二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．已知不等式组{y ≤xy ≥−x x ≤a 表示的平面区域S 的面积为4，则a =________；若点P(x, y)∈S ，则z =2x +y 的最大值为________．如图，从圆O 外一点P 引圆O 的割线PAB 和PCD ，PCD 过圆心O ，已知PA =1，AB =2，PO =3，则圆O 的半径等于________．在等比数列{a n }中，a 1=12，a 4=−4，则公比q =________；|a 1|+|a 2|+...+|a n |=________．在△ABC中，若a=2，∠B=60∘，b=√7，则BC边上的高等于________．已知F是双曲线x24−y212=1的左焦点，A(1, 4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为________．给出定义：若m−12<x≤m+12（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f(x)=x−{x}的四个命题：①y=f(x)的定义域是R，值域是(−12，12]；②点(k, 0)是y=f(x)的图象的对称中心，其中k∈Z；③函数y=f(x)的最小正周期为1；④函数y=f(x)在(−12，32]上是增函数．则上述命题中真命题的序号是________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．已知函数f(x)=sin2x(sin x+cos x)cos x．（1）求f(x)的定义域及最小正周期；（2）求f(x)在区间[−π6，π4]上的最大值和最小值．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90∘，BC=3，AC=6．D、E分别是AC、AB上的点，且DE // BC，将△ADE 沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图2．(1)求证：BC⊥平面A1DC；(2)若CD=2，求BE与平面A1BC所成角的正弦值；(3)当D点在何处时，A1B的长度最小，并求出最小值．甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为12，13，p．且他们是否破译出密码互不影响．若三人中只有甲破译出密码的概率为14．（1）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率；（2）求p的值；（3）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X，求X的分布列和数学期望EX．已知函数f(x)=ln x−ax+1，a∈R是常数．（1）求函数y=f(x)的图象在点P（1, f(1)）处的切线l的方程，并证明函数y=f(x)(x≠1)的图象在直线l 的下方；（2）讨论函数y=f(x)零点的个数．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为√32，且经过点M(4, 1)，直线l:y=x+m交椭圆于不同的两点A、B．（1）求椭圆的方程；（2）求m的取值范围；（3）若直线l不过点M，求证：直线MA、MB的斜率互为相反数．定义：如果数列{a n}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{a n}为“三角形”数列．对于“三角形”数列{a n}，如果函数y=f(x)使得b n=f(a n)仍为一个“三角形”数列，则称y=f(x)是数列{a n}的“保三角形函数”(n∈N∗)．（1）已知{a n}是首项为2，公差为1的等差数列，若f(x)=k x(k>1)是数列{a n}的“保三角形函数”，求k的取值范围；（2）已知数列{c n}的首项为2013，S n是数列{c n}的前n项和，且满足4S n+1−3S n=8052，证明{c n}是“三角形”数列；（3）若g(x)=lg x是（2）中数列{c n}的“保三角形函数”，问数列{c n}最多有多少项？（解题中可用以下数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg2013≈3.304）参考答案与试题解析2012-2013学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.【答案】 B【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】先求出∁U A ，再由集合的并运算求出B ∪(∁U A)． 【解答】解：∵ 集合U ={1, 2, 3, 4}，A ={1, 2}， ∴ ∁U A ={3, 4} ∵ B ={2, 4}∴ (∁U A)∪B ={2, 3, 4} 故选：B ． 2.【答案】 C【考点】复数代数形式的乘除运算 【解析】把两个复数代入后运用复数的除法运算即可求得两复数的商． 【解答】解：由复数Z 1=i ，Z 2=3−i ， 则Z 2Z 1=3−i i=i(3−i)i 2=−1−3i ．故选C ． 3.【答案】 C【考点】向量的减法及其几何意义 【解析】由已知中平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB →=(2,4)，AC →=(1,3)，根据向量加减法的三角形法则，可得向量BC →的坐标，根据平行四边形的几何特征及相等向量的定义，可得AD →=BC →，进而得到答案． 【解答】解：∵ 平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线， 又AB →=(2,4)，AC →=(1,3)，∴ BC →=AC →−AB →=(−1, −1)， 故AD →=BC →=(−1, −1). 故选C . 4. 【答案】 C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系 空间中直线与直线之间的位置关系 命题的真假判断与应用【解析】利用线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面垂直的判定定理即可判断出答案． 【解答】选择支C 正确，下面给出证明． 证明：如图所示：∵ m // n ，∴ m 、n 确定一个平面γ，交平面α于直线l ． ∵ m // α，∴ m // l ，∴ l // n ． ∵ n ⊥β，∴ l ⊥β， ∵ l ⊂α，∴ α⊥β． 故C 正确． 故选：C ．5. 【答案】 C【考点】 程序框图 【解析】根据题中程序框图的含义，得到分段函数y ={x 2−1(x ≤2)log 2x(x >2)，由此解关于x 的方程f(x)=3，即可得到可输入的实数x 值的个数． 【解答】解：根据题意，该框图的含义是当x ≤2时，得到函数y =x 2−1；当x >2时，得到函数y =log 2x ．因此，若输出结果为3时，①若x≤2，得x2−1=3，解之得x=±2②当x>2时，得y=log2x=3，得x=8因此，可输入的实数x值可能是2，−2或8，共3个数故选：C6.【答案】A【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】本题是一个分类计数问题，要得到四个数字的和是奇数，需要分成两种不同的情况：3个偶数、1个奇数；1个偶数，3个奇数，利用组合知识，即可求得结论．【解答】解：由题意知，要得到四个数字的和是奇数，需要分成两种不同的情况，当取得3个偶数、1个奇数时，有C43C51=20种结果，当取得1个偶数，3个奇数时，有C41C53=40种结果，∴共有20+40=60种结果，故选A．7.【答案】B【考点】由三视图求体积【解析】由三视图可知：该三棱锥的侧面PBC⊥底面ABC，PD⊥交线BC，AE⊥BC，且AE＝3，PD＝2，CD＝3，DB ＝1，CE＝EB＝2．据此即可计算出其体积．【解答】由三视图可知：该三棱锥的侧面PBC⊥底面ABC，PD⊥交线BC，AE⊥BC，且AE＝3，PD＝2，CD＝3，DB ＝1，CE＝EB＝2．∴V P−ABC=13×S△ABC×PD=13×12×4×3×2=4．8.【答案】C【考点】同余的性质（选修3）【解析】根据题中“类”的理解，在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，对于各个结论进行分析：①∵2011÷5=402...1；②∵−3÷5=0...2，③整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④从正反两个方面考虑即可．【解答】解：①∵2011÷5=402...1，∴2011∈[1]，故①对；②∵−3=5×(−1)+2，∴对−3∉[3]；故②错；③∵整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，故Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③对；④∵整数a，b属于同一“类”，∴整数a，b被5除的余数相同，从而a−b被5除的余数为0，反之也成立，故“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a−b∈[0]”．故④对．∴正确结论的个数是3．故选C．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．【答案】2,6【考点】求线性目标函数的最值【解析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABO及其内部，根据三角形面积公式建立关于a的方程，解之可得a=2．再将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，可得当x=2，y=2时，z=2x+y取得最大值为6．【解答】解：根据题意，可得a是一个正数，由此作出不等式组{y≤xy≥−xx≤a表示的平面区域，得到如图的△ABO及其内部，其中A(a, a)，B(a, −a)，O(0, 0)∴平面区域的面积S =12×2a×a=4，解之得a=2（舍负）．设z=F(x, y)=2x+y，将直线l:z=2x+y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F(2, 2)=6故答案为：2，6【答案】√6【考点】与圆有关的比例线段【解析】由于PAB与PCD是圆的两条割线，且PA=1，AB=2，PO=3，我们可以设圆的半径为R，然后根据切割线定理构造一个关于R的方程，解方程即可求解．【解答】解：设⊙O的半径为R则PC=PO−OC=3−RPD =PO +OD =3+R 又∵ PA =1，AB =2， ∴ PB =PA +AB =3 由切割线定理易得： PA ⋅PB =PC ⋅PD即1×3=(3−R)×(3+R) 解得R =√6． 故答案：√6． 【答案】 −2,2n−1−12【考点】等比数列的前n 项和 【解析】先利用等比数列的通项公式求得公比；|a n |是以a 1为首项，|q|为公比，进而利用等比数列的求和公式求解． 【解答】解：q =√a4a13=√−83=−2，|a 1|+|a 2|+⋯+|a n |=12(1−2n )1−2=2n−1−12.故答案为：−2；2n−1−12. 【答案】 3√32【考点】 正弦定理 【解析】根据余弦定理b 2=a 2+c 2−2ac cos B ，结合题中数据算出c =3，从而得到△ABC 的面积S =12ac sin B =3√32，再由△ABC 的面积S =12a ⋅ℎ（ℎ是BC 边上的高），即可算出ℎ的大小，从而得到BC 边上的高． 【解答】解：∵ △ABC 中，a =2，b =√7，且∠B =60∘， ∴ 根据余弦定理，得b 2=a 2+c 2−2ac cos B ，可得7=4+c 2−4c cos 60∘，化简得c 2−2c −3=0，解之得c =3（舍负） ∴ △ABC 的面积S =12ac sin B =12×2×3×sin 60∘=3√32又∵ △ABC 的面积S =12a ⋅ℎ（ℎ是BC 边上的高） ∴ ℎ=2S a=3√32×22=3√32故答案为：3√32【答案】9【考点】 双曲线的定义 【解析】根据A 点在双曲线的两支之间，根据双曲线的定义求得a ，进而根据PA|+|PF′|≥|AF′|=5两式相加求得答案． 【解答】解：∵ A 点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′(4, 0)， ∴ 由双曲线性质|PF|−|PF′|=2a =4， 而|PA|+|PF′|≥|AF′|=5，两式相加得|PF|+|PA|≥9，当且仅当A 、P 、F′三点共线时等号成立． 故答案为：9． 【答案】 ①③ 【考点】命题的真假判断与应用 【解析】依据函数定义，得到f(x)=x −{x}∈(−12，12]，再对四个命题逐个验证后，即可得到正确结论．【解答】解：由题意知，{x}−12<x ≤{x}+12，则得到f(x)=x −{x}∈(−12，12]，则命题①为真命题；由于k ∈Z 时，f(k)=k −{k}=k −k =0，但由于f(x)∈(−12，12]，故函数不是中心对称图形，故命题②为假命题；由题意知，函数f(x)=x −{x}∈(−12，12]的最小正周期为1，则命题③为真命题；由于，{x}−12<x ≤{x}+12，则得到f(x)=x −{x}为分段函数，且在(−12，12]，(12，32]为增函数，但在区间(−12，32]上不是增函数，故命题④为假命题．正确的命题为①③故答案为①③．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 【答案】解：（1）由函数的解析式可得cos x ≠0，所以x ≠kπ+π2，k ∈Z ．所以函数f(x)的定义域为{x|x ≠kπ+π2，k ∈Z}．… 再由f(x)=sin 2x(sin x+cos x)cos x=2sin x(sin x +cos x)=2sin 2x +sin 2x =√2sin (2x −π4)+1，…可得函数的周期T =2π2=π．…（2）因为−π6≤x ≤π4，所以−7π12≤2x −π4≤π4．… 故当2x −π4=π4时，即x =π4时，函数f(x)取得最大值为√2×√22+1=2； …当2x−π4=−π2时，即x=−π8时，函数f(x)取得最小值为√2×(−1)+1=−√2+1．…【考点】求两角和与差的正弦求二倍角的正弦求二倍角的余弦三角函数的周期性及其求法正弦函数的定义域和值域【解析】（1）由函数的解析式可得cos x≠0，所以x≠kπ+π2，k∈Z．由此求得函数f(x)的定义域．再利用三角函数的恒等变换化简函数f(x)的解析式为√2sin(2x−π4)+1，由此可得函数的周期T=2π2．（2）根据−π6≤x≤π4，利用正弦函数的定义域和值域求得最大值和最小值．【解答】解：（1）由函数的解析式可得cos x≠0，所以x≠kπ+π2，k∈Z．所以函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ+π2，k∈Z}．…再由f(x)=sin2x(sin x+cos x)cos x =2sin x(sin x+cos x)=2sin2x+sin2x=√2sin(2x−π4)+1，…可得函数的周期T=2π2=π．…（2）因为−π6≤x≤π4，所以−7π12≤2x−π4≤π4．…故当2x−π4=π4时，即x=π4时，函数f(x)取得最大值为√2×√22+1=2；…当2x−π4=−π2时，即x=−π8时，函数f(x)取得最小值为√2×(−1)+1=−√2+1．…【答案】(1)证明：∵在△ABC中，∠C=90∘，DE // BC，∴AD⊥DE，可得A1D⊥DE．又∵A1D⊥CD，CD∩DE=D，∴A1D⊥面BCDE．∵BC⊂面BCDE，∴A1D⊥BC．∵BC⊥CD，CD∩A1D=D，∴BC⊥面A1DC．(2)以C为原点，CD、CB所在直线分别为x、y轴，建立空间直角坐标系，如图所示．可得D(2, 0, 0)，E(2, 2, 0)，B(0, 3, 0)，A1(2, 0, 4)，设n→=(x, y, z)为平面A1BC的一个法向量，∵CB→=(0,3,0)，CA1→=(2,0,4)，BE→=(2,−1,0)，∴{3y=02x+4z=0，令x=2，得y=0，z=−1．所以n→=(2, 0, −1)为平面A1BC的一个法向量．设BE与平面A1BC所成角为θ，则sinθ=|cos<BE→⋅n→>|=√5⋅√5=45．所以BE与平面A1BC所成角的正弦值为45．(3)以(2)建立的空间直角坐标系为基础，如图所示：设D(x, 0, 0)，则A1(x, 0, 6−x)，B(0,3,0)，∴A1B=√(x−0)2+(0−3)2+(6−x−0)2=√2x2−12x+45，根据二次函数的图象与性质，可得当x=3时，A1B取得最小值，A1B的最小值是3√3，此时点D为AC的中点，即D为AC中点时，A1B的长度最小，最小值为3√3．【考点】用空间向量求直线与平面的夹角直线与平面所成的角空间两点间的距离公式 直线与平面垂直的判定【解析】（1）由Rt △ABC 中，∠C =90∘且DE // BC ，证出A 1D ⊥DE ．结合A 1D ⊥CD ，可得A 1D ⊥面BCDE ，从而得到A 1D ⊥BC ．最后根据线面垂直判定定理，结合BC ⊥CD 可证出BC ⊥面A 1DC ；（2）以C 为原点，CD 、CB 所在直线分别为x 、y 轴，建立空间直角坐标系如图所示．可得D 、E 、B 、A 1各点的坐标，从而算出CB →、CA 1→的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出n →=(2, 0, −1)为平面A 1BC 的一个法向量．根据空间向量的夹角公式和直线与平面所成角的性质，即可算出BE 与平面A 1BC 所成角的正弦值；（3）设D(x, 0, 0)，可得A 1(x, 0, 6−x)，由此得到A 1B =√2x 2−12x +45，结合二次函数的图象与性质可得当D 为AC 中点时A 1B 的长度最小，并且这个最小值为3√3．【解答】(1)证明：∵ 在△ABC 中，∠C =90∘，DE // BC ， ∴ AD ⊥DE ，可得A 1D ⊥DE ． 又∵ A 1D ⊥CD ，CD ∩DE =D ， ∴ A 1D ⊥面BCDE ． ∵ BC ⊂面BCDE ， ∴ A 1D ⊥BC ．∵ BC ⊥CD ，CD ∩A 1D =D ， ∴ BC ⊥面A 1DC ．(2)以C 为原点，CD 、CB 所在直线分别为x 、y 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．可得D(2, 0, 0)，E(2, 2, 0)，B(0, 3, 0)，A 1(2, 0, 4)， 设n →=(x, y, z)为平面A 1BC 的一个法向量， ∵ CB →=(0,3,0)，CA 1→=(2,0,4)，BE →=(2,−1,0)， ∴ {3y =02x +4z =0，令x =2，得y =0，z =−1．所以n →=(2, 0, −1)为平面A 1BC 的一个法向量． 设BE 与平面A 1BC 所成角为θ，则sin θ=|cos <BE →⋅n →>|=√5⋅√5=45．所以BE 与平面A 1BC 所成角的正弦值为45． (3)以(2)建立的空间直角坐标系为基础，如图所示：设D(x, 0, 0)，则A1(x, 0, 6−x)，B(0,3,0)，∴ A 1B =√(x −0)2+(0−3)2+(6−x −0)2=√2x 2−12x +45， 根据二次函数的图象与性质，可得当x =3时，A 1B 取得最小值， A 1B 的最小值是3√3，此时点D 为AC 的中点，即D 为AC 中点时，A 1B 的长度最小，最小值为3√3．【答案】解：记甲、乙、丙三人各自破译密码的事件为A 1，A 2，A 3，且，A 1，A 2，A 3相互独立， 则P(A 1)=12，p(A 2)=13，p(A 3)=p ，（1）甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率 p 1=1−p(A 1¯A 2¯)=1−(1−12)(1−13)=23． （2）∵ 三人中只有甲破译出密码的概率为14．∴ 12×(1−13)×(1−p)=14， 解得p =14．（3）X 的可能取值为0，1，2，3， p(X =0)=(1−12)(1−13)(1−14)=14．p(X =1)=12×(1−13)×(1−14)+(1−12)×13×(1−14)+(1−12)×(1−13)×14=1124． p(X =2)=12×13×(1−14)+12×(1−13)×14+(1−12)×13×14=14． p(X =3)=12×13×14=124． ∴ X 的分布列是EX =0×14+1×1124+2×14+3×124=1312．【考点】离散型随机变量的期望与方差 相互独立事件的概率乘法公式 离散型随机变量及其分布列【解析】（1）记甲、乙、丙三人各自破译密码的事件为A 1，A 2，A 3，且，A 1，A 2，A 3相互独立，P(A 1)=12，p(A 2)=13，p(A 3)=p ，甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率p 1=1−p(A 1¯A 2¯)．（2）由三人中只有甲破译出密码的概率为14．知12×(1−13)×(1−p)=14，由此能求出p =14． （3）X 的可能取值为0，1，2，3，p(X =0)=14．p(X =1)=1124．p(X =2)=14．p(X =3)=124．由此能求出X 的分布列和期望．【解答】解：记甲、乙、丙三人各自破译密码的事件为A 1，A 2，A 3，且，A 1，A 2，A 3相互独立， 则P(A 1)=12，p(A 2)=13，p(A 3)=p ，（1）甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率 p 1=1−p(A 1¯A 2¯)=1−(1−12)(1−13)=23． （2）∵ 三人中只有甲破译出密码的概率为14． ∴ 12×(1−13)×(1−p)=14， 解得p =14．（3）X 的可能取值为0，1，2，3， p(X =0)=(1−12)(1−13)(1−14)=14．p(X =1)=12×(1−13)×(1−14)+(1−12)×13×(1−14)+(1−12)×(1−13)×14=1124． p(X =2)=12×13×(1−14)+12×(1−13)×14+(1−12)×13×14=14． p(X =3)=12×13×14=124． ∴ X 的分布列是EX =0×14+1×1124+2×14+3×124=1312．【答案】 解：（1）f(1)=−a +1，k 1=f′(1)=1−a ，所以切线l 的方程为 y −f(1)=k 1×(x −1)，即y =(1−a)x作F(x)=f(x)−(1−a)x =ln x −x +1，x >0，则 F′(x)=1x−1=1x(1−x)，解F′(x)=0得x =1．所以任意x >0且x ≠1，F(x)<0，f(x)<(1−a)x ，即函数y =f(x)(x ≠1)的图象在直线l 的下方．（2）令y =0，即ln x =ax −1，画图可知当a ≤0时，直线y =ax −1与y =ln x 的图象有且只有一个交点，即一个零点； 当a >0时，设直线y =ax −1与y =ln x 切于点(x 0, ln x 0)，切线斜率为k =1x 0∴ 切线方程为y −ln x 0=1x 0(x −x 0)，把(0, −1)代入上式可得x 0=1，k =1∴ 当0<a <1时，直线y =ax −1与y =ln x 有两个交点，即两个零点； 当a =1时直线y =ax −1与y =ln x 相切于一点，即一个零点； 当a >1时直线y =ax −1与y =ln x 没有交点，即无零点．综上可知，当a >1时，f(x)无零点；当a =1或a ≤0时，f(x)有且仅有一个零点； 当0<a <1时，f(x)有两个零点． 【考点】利用导数研究函数的单调性 根的存在性及根的个数判断【解析】（1）已知f(x)=ln x −ax +1，对你进行求导，根据导数和斜率的关系，求出切线的方程；（2）令y =0，进行变形ln x =ax −1，利用数形结合的方法，进行分类讨论，讨论函数y =f(x)的零点； 【解答】 解：（1）f(1)=−a +1，k1=f′(1)=1−a，所以切线l的方程为y−f(1)=k1×(x−1)，即y=(1−a)x作F(x)=f(x)−(1−a)x=ln x−x+1，x>0，则F′(x)=1x −1=1x(1−x)，解F′(x)=0得x=1．所以任意x>0且x≠1，F(x)<0，f(x)<(1−a)x，即函数y=f(x)(x≠1)的图象在直线l的下方．（2）令y=0，即ln x=ax−1，画图可知当a≤0时，直线y=ax−1与y=ln x的图象有且只有一个交点，即一个零点；当a>0时，设直线y=ax−1与y=ln x切于点(x0, ln x0)，切线斜率为k=1x0∴切线方程为y−ln x0=1x0(x−x0)，把(0, −1)代入上式可得x0=1，k=1∴当0<a<1时，直线y=ax−1与y=ln x有两个交点，即两个零点；当a=1时直线y=ax−1与y=ln x相切于一点，即一个零点；当a>1时直线y=ax−1与y=ln x没有交点，即无零点．综上可知，当a>1时，f(x)无零点；当a=1或a≤0时，f(x)有且仅有一个零点；当0<a<1时，f(x)有两个零点．【答案】解：（1）设椭圆的方程为x 2a2+y2b2=1，因为e=√32，所以c2a2=a2−b2a2=34，所以a2=4b2，又因为M(4, 1)在椭圆上，所以16a2+1b2=1，两式联立解得b2=5，a2=20，故椭圆方程为x 220+y25=1；（2）将y=x+m代入x 220+y25=1并整理得5x2+8mx+4m2−20=0，△=(8m)2−20(4m2−20)>0，解得−5<m<5；（3）设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，只要证明k1+k2=0即可．设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1+x2=−8m5，x1x2=4m2−205．k1+k2=y1−1x1−4+y2−1x2−4=(y1−1)(x2−4)+(y2−1)(x1−4)(x1−4)(x2−4)．分子=(x1+m−1)(x2−4)+(x2+m−1)(x1−4)=2x1x2+(m−5)(x1+x2)−8(m−1)=2(4m2−20)5−8m(m−5)5−8(m−1)=0．所以直线MA、MB的斜率互为相反数．【考点】圆锥曲线的综合问题椭圆的标准方程【解析】（1）由椭圆的离心率，椭圆经过点M和隐含条件a2=b2+c2联立解方程组可求得椭圆的标准方程；（2）直接把直线方程和椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程后由判别式大于0即可求得m的取值范围；（3）设出两直线斜率，把两直线的斜率和转化为直线与椭圆的两个交点的坐标之间的关系，利用根与系数关系代入化简整理即可得到答案．【解答】解：（1）设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1，因为e=√32，所以c2a2=a2−b2a2=34，所以a2=4b2，又因为M(4, 1)在椭圆上，所以16a2+1b2=1，两式联立解得b2=5，a2=20，故椭圆方程为x220+y25=1；（2）将y=x+m代入x220+y25=1并整理得5x2+8mx+4m2−20=0，△=(8m)2−20(4m2−20)>0，解得−5<m<5；（3）设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，只要证明k1+k2=0即可．设A(x1, y1)，B(x2, y2)，则x1+x2=−8m5，x1x2=4m2−205．k1+k2=y1−1x1−4+y2−1x2−4=(y1−1)(x2−4)+(y2−1)(x1−4)(x1−4)(x2−4)．分子=(x1+m−1)(x2−4)+(x2+m−1)(x1−4)=2x1x2+(m−5)(x1+x2)−8(m−1)=2(4m2−20)5−8m(m−5)5−8(m−1)=0．所以直线MA、MB的斜率互为相反数．【答案】（1）解：显然a n=n+1，a n+a n+1>a n+2对任意正整数都成立，即{a n}是三角形数列．因为k>1，显然有f(a n)<f(a n+1)<f(a n+2)<…，由f(a n)+f(a n+1)>f(a n+2)得k n+k n+1>k n+2第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页解得1−√52<k <1+√52．所以当k ∈(1,1+√52)时，f(x)=k x 是数列{a n }的保三角形函数．…（2）证明：由4s n+1−3s n =8052，得4s n −3s n−1=8052， 两式相减得4c n+1−3c n =0，所以c n =2013(34)n−1…经检验，此通项公式满足4s n+1−3s n =8052． 显然c n >c n+1>c n+2，因为c n+1+c n+2=2013(34)n +2013(34)n+1=2116⋅2013(34)n−1>c n ， 所以{c n }是三角形数列．…（3）解：g(c n )=lg [2013(34)n−1]=lg 2013+(n −1)lg (34)，所以{g(c n )}单调递减．由题意知，lg 2013+(n −1)lg (34)>0①且lg c n−1+lg c n >lg c n−2②， 由①得(n −1)lg 34>−lg 2013，解得n <27.4， 由②得n lg 34>−lg 2013，解得n <26.4． 即数列{b n }最多有26项．… 【考点】数列与不等式的综合 数列的应用【解析】（1）确定{a n }是三角形数列，再利用函数的单调性，可得不等式，即可求k 的取值范围； （2）求得数列{c n }的通项，再利用定义进行证明即可；（3）确定{g(c n )}单调递减，利用定义可得不等式lg 2013+(n −1)lg (34)>0且lg c n−1+lg c n >lg c n−2，由此可得n 的范围，从而可得结论．【解答】（1）解：显然a n =n +1，a n +a n+1>a n+2对任意正整数都成立，即{a n }是三角形数列． 因为k >1，显然有f(a n )<f(a n+1)<f(a n+2)<…， 由f(a n )+f(a n+1)>f(a n+2)得k n +k n+1>k n+2 解得1−√52<k <1+√52．所以当k ∈(1,1+√52)时，f(x)=k x 是数列{a n }的保三角形函数．…（2）证明：由4s n+1−3s n =8052，得4s n −3s n−1=8052， 两式相减得4c n+1−3c n =0，所以c n =2013(34)n−1… 经检验，此通项公式满足4s n+1−3s n =8052． 显然c n >c n+1>c n+2，因为c n+1+c n+2=2013(34)n +2013(34)n+1=2116⋅2013(34)n−1>c n ，所以{c n }是三角形数列．…（3）解：g(c n )=lg [2013(34)n−1]=lg 2013+(n −1)lg (34)， 所以{g(c n )}单调递减．由题意知，lg 2013+(n −1)lg (34)>0①且lg c n−1+lg c n >lg c n−2②，由①得(n −1)lg 34>−lg 2013，解得n <27.4， 由②得n lg 34>−lg 2013，解得n <26.4．即数列{b n }最多有26项．…。
2012北京市高三一模理科数学分类汇编7：圆锥曲线
2012北京市高三一模数学理分类汇编7：圆锥曲线【2012北京市丰台区一模理】9．已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，一条渐近线方程为34y x =，则该双曲线的离心率是 。
【答案】45 【2012北京市房山区一模理】14. F 是抛物线22y px =()0>p 的焦点，过焦点F 且倾斜角为θ的直线交抛物线于,A B 两点，设,AF a BF b ==，则：①若ο60=θ且b a >，则ba 的值为______；②=+b a ______（用p 和θ表示）.【答案】① 3 ；②θ2sin 2pAB =或()θθ22tan 1tan 2+p 【2012北京市海淀区一模理】（10）过双曲线221916x y -=的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 . 【答案】43200x y --=【2012北京市门头沟区一模理】7．已知点P 在抛物线24y x =上，则点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和到直线2:1l x =- 的距离之和的最小值为（A ）3716(B ）115（C ）2（D ）3【答案】C【2012北京市东城区一模理】（13）抛物线2y x =的准线方程为 ；经过此抛物线的焦点是和点(1,1)M ，且 与准线相切的圆共有 个． 【答案】14x =-2 【2012北京市朝阳区一模理】9. 已知双曲线的方程为2213x y -=，则此双曲线的离心率为 ，其焦点到渐近线的距离为 .【答案】31【2012北京市石景山区一模理】19．（本小题满分13分）已知椭圆12222=+by a x （0>>b a1，短轴长为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点F 的直线与椭圆分别交于A 、B 两点，若三角形OAB 的，求直线AB 的方程． 【答案】解：（Ⅰ）由题意，2221a c b a b c ⎧-=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩-------1分解得1a c ==. ------------2分即：椭圆方程为.12322=+y x ------------3分 （Ⅱ）当直线AB 与x轴垂直时，AB =此时AOB S ∆=不符合题意故舍掉； -----------4分 当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为：)1(+=x k y ， 代入消去y 得：2222(23)6(36)0k x k x k +++-=. ------------6分设1122(,),(,)A x y B x y ，则212221226233623k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， -----------7分 所以AB =. ------------9分 原点到直线的AB距离d =所以三角形的面积12S AB d ==由224S k k =⇒=⇒= ------------12分所以直线0AB l y -=或0AB l y +=. ---------13分 【2012北京市朝阳区一模理】19. （本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为1(F，2F .点(1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点N 的坐标为(3,2)，点P 的坐标为(,)(3)m n m ≠.过点M 任作直线l 与椭圆 C 相交于A ，B 两点，设直线AN ，NP ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，若 1322k k k +=，试求,m n 满足的关系式. 【答案】解:（Ⅰ）依题意，c = 1b =，所以a = 故椭圆C 的方程为2213x y +=. ……………4分 （Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时，由221,13x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,x y ==.不妨设A，(1,B ，因为132233222k k -++=+=，又1322k k k +=，所以21k =，所以,m n 的关系式为213n m -=-，即10m n --=. ………7分 ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2213x y +=整理化简得，2222(31)6330k x k x k +-+-=. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122631k x x k +=+,21223331k x x k -=+. ………9分又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-. 所以12122113121222(2)(3)(2)(3)33(3)(3)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=---- 12211212[2(1)](3)[2(1)](3)3()9k x x k x x x x x x ---+---=-++121212122(42)()6123()9kx x k x x k x x x x -++++=-++222222223362(42)6123131336393131k k k k k k k k k k k -⨯-+⨯++++=--⨯+++ 222(126)2.126k k +==+………12分所以222k =，所以2213n k m -==-，所以,m n 的关系式为10m n --=.………13分 综上所述，,m n 的关系式为10m n --=. ………14分 【2012北京市门头沟区一模理】19．（本小题满分14分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(2,1)A，过点(3,0)B 的直线l 与椭圆交于不同的两点,M N ． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求BM BN u u u u r u u u rg 的取值范围．【答案】（Ⅰ）解:，可设,2c a t ==，则b = 因为22221(0)x y a b a b+=>>经过点(2,1)A所以2241142t t +=，解得232t =，所以226,3a b == 椭圆方程为22163x y += …………………4分 （Ⅱ）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(3)y k x =-，直线l 与椭圆的交点坐标为1122(,),(,)M x y N x y …………………5分由22(3)163y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消元整理得：2222(12)121860k x k x k +-+-= (7)分2222(12)4(12)(186)0k k k ∆=-+-> 得201k ≤< …………………8分21221212k x x k +=+，212218612k x x k-=+…………………9分 BM BN u u u u r u u u rg 11221212(3,)(3,)(3)(3)x y x y x x y y =--=--+g …………………10分21212(1)[3()9]k x x x x =+-++223(1)12k k =+⨯+231(1)212k =++………11分因为201k ≤<，所以2312(1)3212k<+≤+ 所以BM BN u u u u r u u u rg 的取值范围是(2,3]．…………………14分【2012北京市东城区一模理】（19）（本小题共13分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率是12，其左、右顶点分别为1A ，2A ，B为短轴的端点，△12A BA的面积为 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）2F 为椭圆C 的右焦点，若点P 是椭圆C 上异于1A ，2A 的任意一点，直线1A P ，2A P与直线4x =分别交于M ，N 两点，证明：以MN 为直径的圆与直线2PF 相切于点2F ．【答案】（Ⅰ）解：由已知2221,2.c a ab a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩…………2分解得2a =，b =…………4分故所求椭圆方程为22143x y +=． …………5分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知()12,0A -，()22,0A ，()21,0F ． 设()()00,2P x y x≠±，则2203412x y +=． 于是直线1A P 方程为 ()0022y y x x =++，令4x =，得0062M yy x =+； 所以(M 4,0062y x +)，同理(N 4,0022y x -)． …………7分 所以2F M =u u u u r (3,0062y x +)，2F N =u u u u r (3,0022y x -).所以 22F M F N ⋅=u u u u r u u u u r (3,0062y x +)⋅(3,0022y x -)000062922y y x x =+⨯+- ()220022003123129944x y x x -=+=+-- ()2029499904x x -=-=-=-．所以 22F M F N ⊥，点2F 在以MN 为直径的圆上． …………9分 设MN 的中点为E ，则(4,E 00204(1)4y x x --)． …………10分又2F E =u u u u r (3,00204(1)4y x x --)，()2001,,F P x y =-u u u u r所以22F E F P ⋅=u u u u r u u u u r (3,00204(1)4y x x --)()()()20000020411,314y x x y x x -⋅-=-+-()()()()()20020123131313104x x x x x x --=-+=---=-．所以 22F E F P ⊥． …………12分因为2F E 是以MN 为直径的圆的半径，E 为圆心，22F E F P ⊥， 故以MN 为直径的圆与直线2PF 相切于右焦点． …………13分 【2012年北京市西城区高三一模理】19.（本小题满分14分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为3，定点(2,0)M ，椭圆短轴的端点是1B ，2B ，且12MB MB ⊥.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于A ，B 两点.试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（Ⅰ）解：由 222222519a b b e a a -===-， 得 23b a =. ………2分依题意△12MB B 是等腰直角三角形，从而2b =，故3a =. ………4分所以椭圆C 的方程是22194x y +=. ………5分 （Ⅱ）解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 的方程为2x my =+.将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去x 得 22(49)16200m y my ++-=. ………7分所以 1221649m y y m -+=+，1222049y y m -=+. ………8分 若PF 平分APB ∠，则直线PA ，PB 的倾斜角互补，所以0=+PB PA k k . ……9分 设(,0)P a ，则有12120y y x a x a+=--. 将 112x my =+，222x my =+代入上式， 整理得1212122(2)()0(2)(2)my y a y y my a my a +-+=+-+-，所以 12122(2)()0my y a y y +-+=. ……………12分将 1221649m y y m -+=+，1222049y y m -=+代入上式， 整理得 (29)0a m -+⋅=. …………13分 由于上式对任意实数m 都成立，所以 92a =. 综上，存在定点9(,0)2P ，使PM 平分APB ∠. ………14分 【2012北京市海淀区一模理】(19)（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为1(1,0)F -， P 为椭圆G 的上顶点，且145PF O ∠=︒. （Ⅰ）求椭圆G 的标准方程；（Ⅱ）已知直线1l ：1y kx m =+与椭圆G 交于A ，B 两点，直线2l ：2y kx m =+（12m m ≠）与椭圆G 交于C ，D 两点，且||||AB CD =，如图所示.（ⅰ）证明：120m m +=;（ⅱ）求四边形ABCD 的面积S 的最大值.【答案】（Ⅰ）解：设椭圆G 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>.因为1(1,0)F -，145PF O ∠=︒，所以1b c ==.所以 2222a b c =+=. ………………………………………2分所以 椭圆G 的标准方程为2212x y +=. ………………………………………3分 （Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y .（ⅰ）证明：由122,1.2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：22211(12)4220k x km x m +++-=.则2218(21)0k m ∆=-+>，1122211224,1222.12km x x km x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………………………………………5分 所以||AB ====同理||CD =………………………………………7分 因为 ||||AB CD =,所以=. 因为 12m m ≠，所以 120m m +=. ………………………………………9分 （ⅱ）解：由题意得四边形ABCD 是平行四边形，设两平行线,AB CD 间的距离为d ,则d =.因为 120m m +=， 所以d =. ………………………………………10分所以||S AB d =⋅=2221121k m m -++=≤=（或S ==≤ 所以 当221212k m +=时， 四边形ABCD 的面积S取得最大值为.【2012北京市房山区一模理】19.（本小题共14分）已知椭圆G 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，一个顶点为()0,1A -，离心率为36． （I ）求椭圆G 的方程；（II ）设直线m kx y +=与椭圆相交于不同的两点,M N ．当AN AM =时，求m 的取值范围．【答案】解：（I ）依题意可设椭圆方程为 1222=+y a x ，则离心率为==ac e 36故3222=ac ，而12=b ，解得32=a ， ……………………4分故所求椭圆的方程为1322=+y x . ……………………5分 （II ）设()()()P P M M N N P x y M x y N x y ，、，、，，P 为弦MN 的中点，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1322y x mkx y 得 0)1(36)13(222=-+++m mkx x k ， Q 直线与椭圆相交，()()()2226431310mk k m ∴∆=-+⨯->⇒1322+<k m ，① …………7分23231M N P x x mk x k +∴==-+，从而231P P my kx m k =+=+，（1）当0≠k 时21313P AP P y m k k x mk+++∴==-(0=m 不满足题目条件) ∵,AM AN AP MN =∴⊥，则kmk k m 13132-=++- ，即 1322+=k m ， ② …………………………9分把②代入①得 22m m < ，解得 20<<m ， …………………………10分由②得03122>-=m k ，解得21>m ．故221<<m ………………………11分（2）当0=k 时∵直线m y =是平行于x 轴的一条直线，∴11<<-m …………………………13分 综上，求得m 的取值范围是21<<-m ． …………………………14分。
北京石景山区2012届一模理综(2012石景山一模)(答案缺)
北京石景山区2012届高三统一测试理科综合能力测试本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分300分，考试用时150分钟。
第I卷（选择题，共20题，每题6分，共120分）可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 O 16 Fe 56在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
请把答案涂在机读卡上。
1．下表列出某动物肝细胞和胰腺外分泌细胞膜结构的相对含量（%），下列说法错误．．的是A．细胞甲呼吸强度大于细胞乙B．细胞乙为胰腺外分泌细胞C．细胞乙合成的分泌蛋白多于细胞甲D．不同细胞膜结构的含量不同取决于基因2．研究人员用菠萝和柳蜜桃两种植物为实验材料，测量在30℃～65℃范围内光合作用和呼吸作用速率以及细胞离子渗出量，结果如右图所示（注：以30℃时记录的实验数据作为对照）。
下列说法错误．．的是A．高温下两种植物的光合作用和呼吸作用均受到抑制且光合作用更加敏感B．当温度超过40℃时，菠萝停止生长，柳蜜桃生长不受影响C．高温影响生物膜的结构和功能，使ATP合成速率大大降低D．两种植物在生长季节长期处于不致死的高温环境下，“果实”甜度会下降3．下图表示某动物初级精母细胞中的两对同源染色体，在减数分裂过程中，同源染色体发生了交叉互换，结果形成了①～④所示的四个精细胞。
这四个精细胞中，来自同一个次级精母细胞的是A．①和②B．③和④C．①和③D．②和③4．下表为光照和含生长素的琼脂块对水稻种子根尖弯曲生长的影响，相关说法正确的是A．表格中a表示“向贴有琼脂块一侧生长”B．①组与③组说明单侧光照引起根尖生长素分布不均C．根尖负向光性生长说明生长素对根尖生长有抑制作用D．实验表明单侧光照越强，根尖背光侧生长素含量越多5．研究人员对某煤矿区周边土壤进行采样分析, 研究土壤中藻类的种类变化和生物量（用叶绿素含量表示）的变化及其与土壤因子之间的关系。
下列可能用到的研究方法是①样方法②标志重捕法③显微镜直接计数法④制备土壤浸出液⑤土壤理化分析⑥有机溶剂提取色素⑦显微镜观察并记录A．①②③④⑤B．①②④⑤⑥C．①③④⑤⑥D．①④⑤⑥⑦6．下列说法不正确的是A．赤潮、白色污染、绿色食品中的“赤”“白”“绿”均指相关物质的颜色B．可以用Si3N4、Al2O3制作高温结构陶瓷制品C．污水处理的方法有多种，常用的化学方法有：混凝法、中和法、沉淀法D．是世界通用的循环再生标志，简称回收标志7．青霉素是一种良效广谱抗生素，经酸性水解后得到青霉素氨基酸分子的结构简式如图，下列关于该物质的叙述不正确．．．的是A．属于α-氨基酸B．能发生加聚反应生成多肽C．核磁共振氯谱上共有5个峰D．青霉素过敏严重者会导致死亡，用药前一定要进行皮肤敏感试验8．已知短周期元素的四种离子：a A2+、b B+、c C3-、d D—都具有相同的电子层结构，则下列叙述中正确的是A．原子序数d>c>b>aB．单质的还原性D<C<B<AC．离子半径C3->D—> B+>A2+D．A、B、C最高价氧化物对应水化物溶液（等物质的燕浓度）的pH值C>B>A9．下列各组离子能大量共存的是①“84”消毒液的水溶液中：Fe2+、Cl—、Ca2+、Na+②加入KSCN显红色的溶液：K+、NH+4、Cl—、S2—③能够与金属Cu常温下反应放出气体的溶液；Fe3+、Al3+、SO2—4、K+④pH=2的溶液中：NH+4、Na+、Cl—、Cu2+⑤无色溶液中：K+、CH3COO—、HCO—3、MnO—4A．②③B．①③C．①⑤D．③④10．弱酸酸式盐的酸根离子电离和水解并存，已知HSO—3电离大子水解。
北京市石景山区高三一模考试数学(理)试题 及答案
北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x|2x﹣1＜0}，B={x|0≤x≤1}，那么A∩B等于（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．D．{x|0≤x＜}2．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值是（）A．4 B．6 C．10 D．123．直线被圆ρ=1所截得的弦长为（）A．1 B．C．2 D．4 4．设θ∈R，“sinθ=cosθ“是“cos2θ=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．我国南宋数学家秦九韶（约公元1202﹣1261年）给出了求n（n∈N*）次多项式a n x n+a n﹣1x n﹣1+…+a1x+a0，当x=x0时的值的一种简捷算法．该算法被后人命名为“秦九韶算法”，例如，可将3次多项式改写为a3x3+a2x2+a1x+a0=（（a3x+a2）x+a1）x+a0，然后进行求值．运行如图所示的程序框图，能求得多项式（）的值．A．x4+x3+2x2+3x+4 B．x4+2x3+3x2+4x+5C．x3+x2+2x+3 D．x3+2x2+3x+46．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．B．C．D．57．如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若•=，则•的值是（）A．2﹣B．1 C．D．28．如图，将正三角形ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个灰色菱形，这个灰色菱形可以分割成n个边长为1的小正三角形．若m：n=47：25，则三角形ABC的边长是（）A．10 B．11 C．12 D．13二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．若复数是纯虚数，则实数a的值为．=﹣2（n=1，2，3，…），那么a8等于．10．在数列{a n}中，a1=1，a n•a n+111．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣y2=1的右顶点重合，则p= ．12．如果将函数f（x）=sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜0）的图象向左平移个单位所得到的图象关于原点对称，那么φ=．13．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是．（用数字作答）14．已知．①当a=1时，f（x）=3，则x= ；②当a≤﹣1时，若f（x）=3有三个不等实数根，且它们成等差数列，则a= ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（12分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的三条对边，且c2=a2+b2﹣ab．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求cosA+cosB的最大值．16．（12分）某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的1200个数据（数据均在区间（0，50]内）中，按照5%的比例进行分层抽样，统计结果按（0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，整理如下图：（Ⅰ）写出频率分布直方图（图乙）中a的值；记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶日销售量的方差分别为，，试比较与的大小（只需写出结论）；（Ⅱ）从甲种酸奶日销售量在区间（0，20]的数据样本中抽取3个，记在（0，10]内的数据个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）估计1200个日销售量数据中，数据在区间（0，10]中的个数．17．（14分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，E为PC中点，点F在PB上，且PB⊥平面DEF，连接BD，BE．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC；（Ⅱ）试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅲ）已知AD=2，，求二面角F﹣AD﹣B的余弦值．18．（14分）已知函数f（x）=1nx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：当x＞0时，；（Ⅲ）若x﹣1＞a1nx对任意x＞1恒成立，求实数a的最大值．19．（14分）已知椭圆E ：+=1（a ＞b ＞0）过点（0，1），且离心率为． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设直线l ：y=+m 与椭圆E 交于A 、C 两点，以AC 为对角线作正方形ABCD ，记直线l 与x 轴的交点为N ，问B ，N 两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．20．（14分）已知集合R n ={X |X=（x 1，x 2，…，x n ），x i ∈{0，1}，i=1，2，…，n }（n ≥2）．对于A=（a 1，a 2，…，a n ）∈R n ，B=（b 1，b 2，…，b n ）∈R n ，定义A 与B 之间的距离为d （A ，B ）=|a 1﹣b 1|+|a 2﹣b 2|+…|a n ﹣b n |=．（Ⅰ）写出R 2中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；（Ⅱ）若集合M 满足：M ⊆R 3，且任意两元素间的距离均为2，求集合M 中元素个数的最大值并写出此时的集合M ；（Ⅲ）设集合P ⊆R n ，P 中有m （m ≥2）个元素，记P 中所有两元素间的距离的平均值为，证明．北京市石景山区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x|2x﹣1＜0}，B={x|0≤x≤1}，那么A∩B等于（）A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．D．{x|0≤x＜}【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={x|2x﹣1＜0}={x|x＜），B={x|0≤x≤1}∴A∩B={x|0≤x＜}故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值是（）A．4 B．6 C．10 D．12【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，2），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为10．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．3．直线被圆ρ=1所截得的弦长为（）A．1 B．C．2 D．4【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】首先把极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用圆心到直线的距离求出弦心距，最后利用勾股定理求出弦长．【解答】解：圆ρ=1的极坐标方程转化成直角坐标方程为：x2+y2=1．直线转化成直角坐标方程为：x=．所以：圆心到直线x=的距离为．则：弦长l=2=．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离及勾股定理的应用．4．设θ∈R，“sinθ=cosθ“是“cos2θ=0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义以及三角函数的性质判断即可．【解答】解：若sinθ=cosθ，则θ=kπ+，（k∈z），故2θ=2kπ+，故cos2θ=0，是充分条件，若cos2θ=0，则2θ=kπ+，θ=+，（k∈z），不是必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查三角函数的性质，是一道基础题．5．我国南宋数学家秦九韶（约公元1202﹣1261年）给出了求n（n∈N*）次多项式a n x n+a n﹣x n﹣1+…+a1x+a0，当x=x0时的值的一种简捷算法．该算法被后人命名为“秦九韶算法”，例如，1可将3次多项式改写为a3x3+a2x2+a1x+a0=（（a3x+a2）x+a1）x+a0，然后进行求值．运行如图所示的程序框图，能求得多项式（）的值．A．x4+x3+2x2+3x+4 B．x4+2x3+3x2+4x+5C．x3+x2+2x+3 D．x3+2x2+3x+4【考点】程序框图．【分析】由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的k，S的值，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得k=0，S=1，k=1，S=x+1，满足条件k＜4，执行循环体，k=2，S=（x+1）x+2=x2+x+2满足条件k＜4，执行循环体，k=3，S=（x2+x+2）x+3=x3+x2+2x+3满足条件k＜4，执行循环体，k=4，S=（x3+x2+2x+3）x+4=x4+x3+2x2+3x+4不满足条件k＜4，退出循环，输出能求得多项式x4+x3+2x2+3x+4的值．故选：A．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图应用问题，是基础题目．6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．B．C．D．5【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是侧棱垂直于底面的三棱锥，画出图形，结合图形求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的三棱锥，且侧棱PC⊥底面ABC；=×2×2=2，所以，S△ABCS△PAC=S△PBC=×1=，S△PAB=×2=；所以，该三棱锥的表面积为S=2+2×+=2+2．故选B．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题时应根据三视图画出几何图形，求出各个面的面积和，是基础题7．如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若•=，则•的值是（）A．2﹣B．1 C．D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，可分别以边AB，AD所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，然后可得出点A，B，E的坐标，并设F（x，2），根据即可求出x值，从而得出F点的坐标，从而求出的值．【解答】解：据题意，分别以AB、AD所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，0），B（，0），E（，1），设F（x，2）；∴；∴x=1；∴F（1，2），；∴．故选C．【点评】考查通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，向量数量积的坐标运算．8．如图，将正三角形ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个灰色菱形，这个灰色菱形可以分割成n个边长为1的小正三角形．若m：n=47：25，则三角形ABC的边长是（）A．10 B．11 C．12 D．13【考点】三角形中的几何计算．【分析】设正△ABC的边长为x，根据等边三角形的高为边长的倍，求出正△ABC的面积，再根据菱形的性质结合图形表示出菱形的两对角线，然后根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半表示出菱形的面积，然后根据所分成的小正三角形的个数的比等于面积的比列式计算即可得解．【解答】解：设正△ABC的边长为x，则高为x，S△ABC=x•x=x2，∵所分成的都是正三角形，∴结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为x﹣，较短的对角线为（x﹣）×=﹣1；∴黑色菱形的面积S′=（x﹣）（﹣1）=（x﹣2）2，若m：n=47：25，则=，解可得x=12或x=（舍），所以，△ABC的边长是12；故选：C．【点评】本题考查菱形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握有一个角等于60°的菱形的两条对角线的关系是解题的关键，本题难点在于根据三角形的面积与菱形的面积列出方程．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．若复数是纯虚数，则实数a的值为1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用两个复数代数形式的乘除法法则求得z的值，再根据它是纯虚数，求得实数a 的值．【解答】解：∵复数==为纯虚数，故有a﹣1=0，且a+1≠0，解得a=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．10．在数列{a n}中，a1=1，a n•a n+1=﹣2（n=1，2，3，…），那么a8等于﹣2．【考点】数列递推式．【分析】由已知求得a2，且得到a n﹣1•a n=﹣2（n≥2），与原递推式两边作比可得（n ≥2），即数列{a n}中的所有偶数项相等，由此求得a8的值．【解答】解：由a1=1，a n•a n+1=﹣2，得a2=﹣2，•a n=﹣2（n≥2），又a n﹣1∴（n≥2），∴数列{a n}中的所有偶数项相等，则a8=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，是中档题．11．若抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣y2=1的右顶点重合，则p=4．【考点】抛物线的标准方程．【分析】确定双曲线﹣y2=1的右顶点坐标，从而可得抛物线y2=2px的焦点坐标，由此可得结论．【解答】解：双曲线﹣y2=1的右顶点坐标为（2，0），∵抛物线y2=2px的焦点与双曲线﹣y2=1的右顶点重合，∴=2，∴p=4．故答案为：4．【点评】本题考查双曲线、抛物线的几何性质，确定双曲线的右焦点坐标是关键．12．如果将函数f（x）=sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜0）的图象向左平移个单位所得到的图象关于原点对称，那么φ=﹣．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的值．【解答】解：将函数f（x）=sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜0）的图象向左平移个单位，所得到y=sin[3（x+）+φ]=sin（3x++φ）的图象，若所得图象关于原点对称，则+φ=kπ，k∈Z，又﹣π＜φ＜0，∴φ=﹣，故答案为：．【点评】本题主要考查y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．13．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，则不同的分法的总数是36．（用数字作答）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】本题是一个分步计数问题，先选两个元素作为一个元素，问题变为三个元素在三个位置全排列，得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，4位同学分到三个不同的班级，每个班级至少有一位同学，先选两个人作为一个整体，问题变为三个元素在三个位置全排列，共有C42A33=36种结果，故答案为：36．【点评】本题考查分步计数原理，是一个基础题，也是一个易错题，因为如果先排三个人，再排最后一个人，则会出现重复现象，注意不重不漏．14．已知．①当a=1时，f（x）=3，则x=4；②当a≤﹣1时，若f（x）=3有三个不等实数根，且它们成等差数列，则a=．【考点】分段函数的应用．【分析】①当a=1时，f（x）=3，利用分段函数建立方程，即可求出x的值；②由f（x）=3，求得x=﹣1，或x=4，根据x1＜x2＜x3，且它们依次成等差数列，可得a≤﹣1，f（﹣6）=3，由此求得a的值．【解答】解：①x≥1，x﹣=3，可得x=4；x＜1，2﹣（x+）=3，即x2+x+4=0无解，故x=4；②由于当x＞a时，解方程f（x）=3，可得x﹣=3，求得x=﹣1，或x=4．∵x1＜x2＜x3，且它们依次成等差数列，∴x2=﹣1，x3=4，x1 =﹣6，∴a≤﹣1．∴x＜a时，方程f（x）=3只能有一个实数根为﹣6，再根据f（﹣6）=2a+6+=3，求得a=，满足a≤﹣1．故答案为4，．【点评】本题主要考查分段函数，利用函数的单调性求函数的最值，等差数列的性质，体现了分类讨论以及转化的数学思想，属于中档题．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（12分）（2017•石景山区一模）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的三条对边，且c2=a2+b2﹣ab．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求cosA+cosB的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）根据余弦定理直接求解角C的大小．（Ⅱ）根据三角形内角和定理消去B，转化为三角函数的问题求解最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）c2=a2+b2﹣ab．即ab=a2+b2﹣c2由余弦定理：cosC==，∵0＜C＜π，∴C=．（Ⅱ）∵A+B+C=π，C=．∴B=，且A∈（0，）．那么：cosA+cosB=cosA+cos（）=sin（），∵A∈（0，）．∴，故得当=时，cosA+cosB取得最大值为1．【点评】本题主要考查了余弦定理的运用和三角函数的有界限求解最值问题．属于基础题．16．（12分）（2017•石景山区一模）某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的1200个数据（数据均在区间（0，50]内）中，按照5%的比例进行分层抽样，统计结果按（0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，整理如下图：（Ⅰ）写出频率分布直方图（图乙）中a的值；记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶日销售量的方差分别为，，试比较与的大小（只需写出结论）；（Ⅱ）从甲种酸奶日销售量在区间（0，20]的数据样本中抽取3个，记在（0，10]内的数据个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）估计1200个日销售量数据中，数据在区间（0，10]中的个数．【考点】离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由频率和为1，列方程求出a的值，根据图甲的频率分布比图乙分散些，它的方差较大，得出；（Ⅱ）根据X的所有可能取值，计算对应的概率，写出分布列；（Ⅲ）由甲种和乙种酸奶的日销售量数据在区间（0，10]内的频率和频数，计算在1200个数据中应抽取的数据个数．【解答】解：（Ⅰ）由图（乙）知，10（a+0.02+0.03+0.025+0.015）=1，解得a=0.01，根据图甲的频率分布比图乙分散些，它的方差较大，∴；（Ⅱ）X的所有可能取值1，2，3；则，，，其分布列如下：（Ⅲ）由图（甲）知，甲种酸奶的数据共抽取2+3+4+5+6=20个，其中有4个数据在区间（0，10]内，又因为分层抽样共抽取了1200×5%=60个数据，乙种酸奶的数据共抽取60﹣20=40个，由（Ⅰ）知，乙种酸奶的日销售量数据在区间（0，10]内的频率为0.1，故乙种酸奶的日销售量数据在区间（0，10]内有40×0.1=4个．故抽取的60个数据，共有4+4=8个数据在区间（0，10]内．所以，在1200个数据中，在区间（0，10]内的数据有160个．【点评】本题考查了频率分布直方图与离散型随机变量的分布列问题，是综合题．17．（14分）（2017•石景山区一模）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，E为PC中点，点F在PB上，且PB⊥平面DEF，连接BD，BE．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PBC；（Ⅱ）试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（Ⅲ）已知AD=2，，求二面角F﹣AD﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）推导出BC⊥PD．BC⊥DC，从而BC⊥面PDC，进而DE⊥BC，再求出DE⊥PC，由此能证明DE⊥面PBC．（Ⅱ）四面体DBEF是鳖臑，，．（Ⅲ）以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣AD﹣B的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）因为PD⊥面ABCD，BC⊂面ABCD，所以BC⊥PD．因为四边形ABCD为矩形，所以BC⊥DC．PD∩DC=D，所以BC⊥面PDC．DE⊂面PDC，DE⊥BC，在△PDC中，PD=DC，E为PC中点，所以DE⊥PC．又PC∩BC=C，所以DE⊥面PBC．解：（Ⅱ）四面体DBEF是鳖臑，其中，．（Ⅲ）以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．则D（0，0，0），A（2，0，0），，，．设，则．DF⊥PB得，解得．所以．设平面FDA的法向量，则，令z=1得x=0，y=﹣3．平面FDA的法向量，平面BDA的法向量，，．二面角F﹣AD﹣B的余弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．18．（14分）（2017•石景山区一模）已知函数f（x）=1nx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：当x＞0时，；（Ⅲ）若x﹣1＞a1nx对任意x＞1恒成立，求实数a的最大值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出导函数，求出斜率f'（1）=1，然后求解切线方程．（Ⅱ）化简=．求出，令，解得x=1．判断函数的单调性求出极小值，推出结果．（Ⅲ）设h （x ）=x ﹣1﹣a1nx （x ≥1），依题意，对于任意x ＞1，h （x ）＞0恒成立．，a ≤1时，a ＞1时，判断函数的单调性，求解最值推出结论即可．【解答】解：（Ⅰ），f'（1）=1，又f （1）=0，所以切线方程为y=x ﹣1；（Ⅱ）证明：由题意知x ＞0，令=．令，解得x=1．易知当x ＞1时，g'（x ）＞0，易知当0＜x ＜1时，g'（x ）＜0． 即g （x ）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增， 所以g （x ）min =g （1）=0，g （x ）≥g （1）=0即，即x ＞0时，；（Ⅲ）设h （x ）=x ﹣1﹣a1nx （x ≥1）， 依题意，对于任意x ＞1，h （x ）＞0恒成立．，a ≤1时，h'（x ）＞0，h （x ）在[1，+∞）上单调递增，当x ＞1时，h （x ）＞h （1）=0，满足题意．a ＞1时，随x 变化，h'（x ），h （x ）的变化情况如下表：h （x ）在（1，a ）上单调递减，所以g （a ）＜g （1）=0 即当a ＞1时，总存在g （a ）＜0，不合题意． 综上所述，实数a 的最大值为1．【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程，函数的极值以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．19．（14分）（2017•石景山区一模）已知椭圆E ： +=1（a ＞b ＞0）过点（0，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）设直线l ：y=+m 与椭圆E 交于A 、C 两点，以AC 为对角线作正方形ABCD ，记直线l 与x 轴的交点为N ，问B ，N 两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题意可知b=1，e===，即可求得a 的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得丨AC 丨及丨MN 丨，丨BN丨2=丨AC 丨2+丨MN 丨2=，即可求得B ，N 两点间距离是否为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆的焦点在x 轴上，过点（0，1），则b=1，由椭圆的离心率e===，则a=2，∴椭圆的标准方程为：；（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段中点M （x 0，y 0），则，整理得：x 2+2mx +2m 2﹣2=0，由△=（2m ）2﹣4（2m 2﹣2）=8﹣4m 2＞0，解得：﹣＜m ＜，则x 1+x 2=﹣2m ，x 1x 2=2m 2﹣2，则M （﹣m ， m ），丨AC 丨=•=•=由l 与x 轴的交点N （﹣2m ，0），则丨MN 丨==，∴丨BN 丨2=丨BM 丨2+丨MN 丨2=丨AC 丨2+丨MN 丨2=，∴B ，N 两点间距离是否为定值．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．20．（14分）（2017•石景山区一模）已知集合R n={X|X=（x1，x2，…，x n），x i∈{0，1}，i=1，2，…，n}（n≥2）．对于A=（a1，a2，…，a n）∈R n，B=（b1，b2，…，b n）∈R n，定义A与B之间的距离为d（A，B）=|a1﹣b1|+|a2﹣b2|+…|a n﹣b n|=．（Ⅰ）写出R2中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；（Ⅱ）若集合M满足：M⊆R3，且任意两元素间的距离均为2，求集合M中元素个数的最大值并写出此时的集合M；（Ⅲ）设集合P⊆R n，P中有m（m≥2）个元素，记P中所有两元素间的距离的平均值为，证明．【考点】函数的最值及其几何意义；集合的包含关系判断及应用．【分析】（Ⅰ）根据集合的定义，写出R2中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；（Ⅱ）R3中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M中的元素所对应的点，应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，即可求集合M中元素个数的最大值并写出此时的集合M；（Ⅲ），其中表示P中所有两个元素间距离的总和，根据，即可证明结论．【解答】解：（Ⅰ）R2={（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）}，A，B∈R2，d（A，B）=2．max（Ⅱ）R3中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M中的元素所对应的点，应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，所以M={（0，0，0），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}或M={（0，0，1），（0，1，0），（1，0，0），（1，1，1）}，集合M中元素个数最大值为4．（Ⅲ），其中表示P中所有两个元素间距离的总和．设P中所有元素的第i个位置的数字中共有t i个1，m﹣t i个0，则由于（i=1，2，…，n）所以从而【点评】本题考查新定义，考查函数的最值，考查集合知识，难度大．。
2012年北京石景山一模
北京石景山区2012届高三统一测试可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 O 16 Fe 56在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
请把答案涂在机读卡上。
6．下列说法不正确的是A．赤潮、白色污染、绿色食品中的“赤”“白”“绿”均指相关物质的颜色B．可以用Si3N4、Al2O3制作高温结构陶瓷制品C．污水处理的方法有多种，常用的化学方法有：混凝法、中和法、沉淀法D．是世界通用的循环再生标志，简称回收标志7．青霉素是一种良效广谱抗生素，经酸性水解后得到青霉素氨基酸分子的结构简式如图，下列关于该物质的叙述不正确．．．的是A．属于α-氨基酸B．能发生加聚反应生成多肽C．核磁共振氯谱上共有5个峰D．青霉素过敏严重者会导致死亡，用药前一定要进行皮肤敏感试验8．已知短周期元素的四种离子：a A2+、b B+、c C3-、d D—都具有相同的电子层结构，则下列叙述中正确的是A．原子序数d>c>b>aB．单质的还原性D<C<B<AC．离子半径C3->D—> B+>A2+D．A、B、C最高价氧化物对应水化物溶液（等物质的燕浓度）的pH值C>B>A9．下列各组离子能大量共存的是①“84”消毒液的水溶液中：Fe2+、Cl—、Ca2+、Na+②加入KSCN显红色的溶液：K+、NH+4、Cl—、S2—③能够与金属Cu常温下反应放出气体的溶液；Fe3+、Al3+、SO2—4、K+④pH=2的溶液中：NH+4、Na+、Cl—、Cu2+⑤无色溶液中：K+、CH3COO—、HCO—3、MnO—4A．②③B．①③C．①⑤D．③④10．弱酸酸式盐的酸根离子电离和水解并存，已知HSO—3电离大子水解。
以NaHXO3表示NaHCO3和NaHSO3。
对于NaHCO3和NaHSO3溶液，下列关系式中不正确．．．的是11．关于下列四个图象的说法正确的是A．图①表示反应B．图②内氢氧燃料电池示意图，正、负极通入的气体体积之比为2：1C．图③表示物质a、b的溶解度曲线，可以用重结晶方法从a、b混合物中提纯aD．图④可以表示压强对可逆反应的影响，且乙的压强大12．根据下列实验现象，所得结论不正确的是25．（12分）A、B、C为中学常见单质，其中一种为金属；通常情况下，A为固体，B为液体，C为气体。
精选：2012年北京高三一模汇总
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2012北京市石景山区一模理科数学试题
2012年石景山区高三统一测试数学（理科）第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【2012北京市石景山区一模理】1．设集合}032|{2<--=x x x M ,}0log |{21<=x x N ，则N M 等于（ ）A ．)1,1(-B ．)3,1(C ．)1,0(D ．)0,1(-【答案】B【解析】}31|{}032|{2<<-=<--=x x x x x M ，}1|{}0log |{21>=<=x x x x N ，所以}31{<<=x x N M ，答案选B.【2012北京市石景山区一模理】2．在复平面内，复数21ii-+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ． 第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】i i i i i i i i 2321231)1(1)1)(2(12-=-=-+--=+-）（，所以对应点在第四象限，答案选D. 3．【2012北京市石景山区一模理】圆2cos ,2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩的圆心坐标是（ ）A ．(0,2)B ．(2,0)C ．(0,2)-D ．(2,0)-【答案】A【解析】消去参数θ，得圆的方程为4)2(22=-+y x ，所以圆心坐标为)2,0(，选A. 4【2012北京市石景山区一模理】设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）A ．αα//,//,//n m n m 则若B ．βαγβγα//,,则若⊥⊥C ．n m n m //,//,//则若ααD ．n m n m ⊥⊥则若,//,αα【答案】D【解析】根据线面垂直的性质可知选项D 正确。
【2012北京市石景山区一模理】5．执行右面的框图，若输入的N 是6，则输出p 的值是（ ）A ．120B ．720C ．1440D ．5040 【答案】B【解析】第一次循环：2,1,1===k p k ，第二次循环：3,2,2===k p k ，第三次循环：4,6,3===k p k ，第四次循环：5,24,4===k p k ，第五次循环：6,120,5===k p k ，第六次循环：,720,6==p k 此时条件不成立，输出720=p ，选B.【2012北京市石景山区一模理】6．若21()n x x-展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为 （ ）A ．84-B ．84C ．36-D ．36 【答案】B【解析】二项展开式的系数和为5122=n，所以9=n ，二项展开式为k k k k k k k k k k k x C x x C x x C T )1()1()()(3189218919291-=-=-=-----+，令0318=-k ，得6=k ，所以常数项为84)1(6697=-=C T ,选B 。
北京市石景山高三一模理科数学试题及答案
北京市石景山高三一模理科数学试题及答案一、选择题（共3小题；共15分）1. 在的展开式中，的系数为______A. B. C. D.2. 如图是某个三棱锥的三视图，其中主视图是等边三角形，左视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是______A. B. C. D.3. 已知动点在椭圆上，为椭圆的右焦点，若点满足且，则的最小值为______A. B. C. D.二、解答题（共2小题；共26分）4. 如图，正三棱柱的底面边长是，侧棱长是，是的中点．（1）求证： 平面；（2）求二面角的大小；（3）在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，求出的长；若不存在，说明理由．5. 设函数．（1）若，求函数的单调区间；（2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围；（3）过坐标原点作曲线的切线，证明：切点的横坐标为．三、选择题（共5小题；共25分）6. 已知全集，集合，，那么______A. B. C. D.7. 下列函数中，在内单调递减，并且是偶函数的是______A. B. C. D.8. 已知中，，，以为直径的圆交于，则的长为______A. B. C. D.9. 在平面直角坐标系中，抛物线上纵坐标为的点到焦点的距离为，则焦点到准线的距离为______A. B. C. D.10. 阅读下面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为______A. B. C. D.四、填空题（共5小题；共25分）11. 已知命题：，则是______．12. 在等比数列中，，，则数列的通项公式 ______，设，则数列的前项和 ______．13. 已知圆的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，则圆的直角坐标方程为______，若直线与圆相切，则实数的值为______．14. 已知变量满足约束条件则的取值范围是______．15. 各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的个专业中，选择个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有______种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．五、解答题（共4小题；共52分）16. 在中，角，，的对边分别为，，，且，．（1）求角的大小；（2）若，，求边的长和的面积．17. 经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其他鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：罗非鱼的汞含量（）《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过．（1）检查人员从这条鱼中，随机抽出条，求条中恰有条汞含量超标的概率；（2）若从这批数量很大的鱼中任选条鱼，记表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求的分布列及数学期望．18. 给定椭圆：，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”．若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为．（1）求椭圆和其“准圆”的方程；（2）点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线，交“准圆”于点，．（ⅰ）当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线，的方程并证明；（ⅱ）求证：线段的长为定值．19. 对于数列，把作为新数列的第一项，把或（）作为新数列的第项，数列称为数列的一个生成数列．例如，数列的一个生成数列是．已知数列为数列的生成数列，为数列的前项和．（1）写出的所有可能值；（2）若生成数列满足，求数列的通项公式；（3）证明：对于给定的，的所有可能值组成的集合为．六、填空题（共1小题；共5分）20. 若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足：和，则称直线为和的"隔离直线"．已知函数和函数，那么函数和函数的隔离直线方程为______．答案第一部分1. B2. B3. A第二部分4. （1）连结交于，连结，，是正三棱柱，所以四边形是矩形，所以为的中点．因为是的中点，所以是三角形的中位线，所以．因为平面，平面，所以 平面．（2）作于，所以平面，所以在正三棱柱中如图建立空间直角坐标系．，，是的中点．所以，，，，所以，，．设是平面的法向量，所以即令，则，，所以是平面的一个法向量．由题意可知是平面的一个法向量，所以所以二面角的大小为．（3）设，则，设平面的法向量，所以即令，则，，，又，即解得所以存在点，使得平面平面且．5. （1）时，，所以．，，，．所以的减区间为，增区间．（2）．因为在区间上是减函数，所以对任意恒成立，即对任意恒成立，所以对任意恒成立．令，所以，易知在单调递减，所以．所以．（3）设切点为，，切线的斜率，又切线过原点，，即，所以存在性：满足方程，所以，是方程的根．再证唯一性：设，，在单调递增，且，所以方程有唯一解．综上，切点的横坐标为．第三部分6. A7. C8. D9. D 10. C第四部分11.12. ；13. ；14.15.第五部分16. （1）因为，所以因为，所以．所以．因为，且，所以．（2）因为，，所以由余弦定理得即，解得或（舍）．所以边的长为，．17. （1）记“条鱼中任选条恰好有条鱼汞含量超标”为事件，则所以条鱼中任选条恰好有条鱼汞含量超标的概率为．（2）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率．可能取，，，，则其分布列如下：所以18. （1）因为，，所以．所以椭圆方程为，其准圆方程为．（2）（ⅰ）因为准圆与轴正半轴的交点为，设过点且与椭圆相切的直线为，则由得．因为直线与椭圆相切，所以，解得，所以方程为，．因为，所以．（ⅱ）①当直线，中有一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，则为当为时，与准圆交于点，，此时为（或），显然直线垂直；同理可证当为时，直线垂直．②当，斜率存在时，设点，其中．设经过点与椭圆相切的直线为，则由得．由化简整理得．因为，所以有．设，的斜率分别为，，因为，与椭圆相切，所以满足上述方程，所以，即，垂直．综合①②知：因为，经过点，又分别交其准圆于点，，且，垂直．所以线段为准圆的直径，，所以线段的长为定值．19. （1）由已知，，，，，由于可能值为．（2），当时，，当时，，，是的生成数列，；；；所以在以上各种组合中，当且仅当，，时才成立．（3）共有种情形．，即又，分子必是奇数，满足条件的奇数共有个．设数列与数列为两个生成数列，数列的前项和为，数列的前项和为，从第二项开始比较两个数列，设第一个不相等的项为第项．由于，不妨设，，则所以，只有当数列与数列的前项完全相同时，才有．共有种情形，其值各不相同．可能值必恰为，共个．即所有可能值集合为．第六部分20.。
2012石景山一模(理科)附答案 纯word版
20年石景山区高三统一测试数学（理科）第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合}032|{2<--=x x x M ,}0log |{21<=x x N ，则N M 等于（ ）A ．)1,1(-B ．)3,1(C ．)1,0(D ．)0,1(-2．在复平面内，复数21ii-+对应的点位于（ ） A ．第一象限B ． 第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．圆2cos ,2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩的圆心坐标是（ ）A ．(0,2)B ．(2,0)C ．(0,2)-D ．(2,0)-4．设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）A ．αα//,//,//n m n m 则若B ．βαγβγα//,,则若⊥⊥C ．n m n m //,//,//则若ααD ．n m n m ⊥⊥则若,//,αα5．执行右面的框图，若输入的N 是6， 则输出p 的值是（ ）A ．120B ．720C ．1440D ．50406．若21()nx x-展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为 （ ）A ．84-B ．84C ．36-D ．367．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）A．8+B．8+C．83+ D ．3238．如图，已知平面l αβ= ，A 、B 是l 上的两个点，C 、D 在平面β内，且,,DA CB αα⊥⊥ 4AD =，6,8AB BC ==，在平面α上有一个 动点P ，使得APD BPC ∠=∠，则P ABCD -体积 的最大值是（ ）A．B ．16C ．48D ．144βαA C BDP第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．设向量)cos 3,1(),1,(cos θθ==b a，且b a //，则θ2cos = ．10．等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和．若40k a a +=，则k =________． 11.如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，CE 与圆相切交AB 延长线上于点E，若DF CF ==::4:2:1AF FB BE =，则线段CE 的长为 ．12．设函数21,,2()1log ,2x a x f x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩的最小值为1-，则实数a 的取值范围是 ．13．如图，圆222:O x y π+=内的正弦曲线sin y x = 与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，随机 往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的 概率是 ．14．集合{}{},|),(,,|),(a y x y x M R y R x y x U <+=∈∈={},)(|),(x f y y x P ==现给出下列函数：①xa y =，②x y a log =，③sin()y x a =+，④cos y ax =，若10<<a 时，恒有,P M C P U = 则所有满足条件的函数)(x f 的编号是 ．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且C b B c a c o s c o s )2(=-． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若cos 2A a ==，求ABC ∆的面积.16．（本小题满分13分）甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为31，乙每次投中的概率为21，每人分别进行三次投篮． （Ⅰ）记甲投中的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ； （Ⅱ）求乙至多投中2次的概率； （Ⅲ）求乙恰好比甲多投进2次的概率． 17 ．（本小题满分14分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，1AA ⊥面ABC ，2,==⊥AC BC AC BC ，13AA =，D 为AC 的中点.（Ⅰ）求证：11//BDC AB 面；（Ⅱ）求二面角C BD C --1的余弦值； （Ⅲ）在侧棱1AA 上是否存在点P ，使得1BDC CP 面⊥？请证明你的结论.18．（本小题满分14分）已知函数2()2ln f x x a x =+.（Ⅰ）若函数()f x 的图象在(2,(2))f 处的切线斜率为1，求实数a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）若函数2()()g x f x x=+在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围. 19．（本小题满分13分）已知椭圆12222=+by a x （0>>b a1，短轴长为（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点F 的直线与椭圆分别交于A 、B 两点，若三角形OAB 的面积为4，求直线AB 的方程． 20．（本小题满分13分）C 1A 1CB 1ABD若数列}{n A 满足21nn A A =+，则称数列}{n A 为“平方递推数列”．已知数列}{n a 中，21=a ，点(1,+n n a a )在函数x x x f 22)(2+=的图像上，其中n 为正整数．（Ⅰ）证明数列}1{2+n a 是“平方递推数列”，且数列)}1{lg(2+n a 为等比数列；（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前n 项之积为n T ，即)12)12)(12(21+++=n n a a a T （ ，求数列}{n a 的通项及n T 关于n 的表达式；（Ⅲ）记21log n n a n b T += ，求数列{}n b 的前n 项和n S ，并求使2012n S >的n 的最小值．2012年石景山区高三统一测试高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为C b B c a cos cos )2(=-，由正弦定理，得C B B C A cos sin cos )sin sin 2(=-． …………2分∴ A C B C B B C B A sin )sin(cos sin cos sin cos sin 2=+=+=．……4分 ∵ 0A π<<, ∴0sin ≠A ， ∴ 21cos =B ． 又∵ π<<B 0 ， ∴ 3π=B ． …………6分（Ⅱ）由正弦定理BbA a sin sin =，得b = …………8分由 cos A =可得4A π=，由3π=B ，可得sin 4C =， …………11分∴113sin 22242s ab C ==⨯=． …………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）ξ的可能取值为：0，1，2，3． …………1分;27832)0(303=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ;943231)1(213=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ ;923231)2(223=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛==C P ξ.27131)3(333=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ ξ的分布列如下表：…………4分 127139229412780=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ． …………5分 （Ⅱ）乙至多投中2次的概率为87211333=⎪⎭⎫ ⎝⎛-C ． …………8分（Ⅲ）设乙比甲多投中2次为事件A ，乙恰投中2次且甲恰投中0次为事件B 1， 乙恰投中3次且甲恰投中1次为事件B 2，则2121,,B B B B A =为互斥事件． …………10分=+=)()()(21B P B P A P 61819483278=⨯+⨯． 所以乙恰好比甲多投中2次的概率为61． …………13分 17．（本小题满分14分）（I ）证明：连接B 1C ，与BC 1相交于O ，连接OD ． …………1分 ∵BCC 1B 1是矩形，∴O 是B 1C 的中点． 又D 是AC 的中点，∴OD//AB 1． ∵AB 1⊄面BDC 1，OD ⊂面BDC 1，∴AB 1//面BDC 1． …………4分（II ）解：如图，建立空间直角坐标系， 则C 1（0，0，0），B （0，3，2）， C （0，3，0），A （2，3，0）， D （1，3，0），1(0,3,2)C B = ，1(1,3,0)C D =，…………5分设111(,,)n x y z =是面BDC 1的一个法向量，则110,0n C B n C D ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即1111320,30y z x y +=⎧⎨+=⎩，取11(1,,)32n =- . …………7分 易知1(0,3,0)C C =是面ABC 的一个法向量. …………8分1112cos ,7n C C n C C n C C==-⨯. ∴二面角C 1—BD —C 的余弦值为27.…………9分 （III ）假设侧棱AA 1上存在一点P 使得CP ⊥面BDC 1.设P （2，y ，0）（0≤y ≤3），则 (2,3,0)CP y =-， …………10分则110,0CP C B CP C D ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即3(3)0,23(3)0y y -=⎧⎨+-=⎩. …………12分 解之3,73y y =⎧⎪⎨=⎪⎩∴方程组无解. …………13分∴侧棱AA 1上不存在点P ，使CP ⊥面BDC 1. …………14分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）2222'()2a x af x x x x+=+= …………1分由已知'(2)1f =，解得3a =-. …………3分（II ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.（1）当0a ≥时, '()0f x >，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞； ……5分（2）当0a <时'()f x =.当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下：由上表可知，函数()f x 的单调递减区间是；单调递增区间是)+∞. …………8分 （II ）由22()2ln g x x a x x =++得222'()2a g x x x x=-++，…………9分 由已知函数()g x 为[1,2]上的单调减函数，则'()0g x ≤在[1,2]上恒成立，即22220ax x x -++≤在[1,2]上恒成立. 即21a x x ≤-在[1,2]上恒成立. …………11分令21()h x x x =-，在[1,2]上2211'()2(2)0h x x x x x=--=-+<，所以()h x 在[1,2]为减函数. min 7()(2)2h x h ==-,所以72a ≤-. …………14分19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意，2221a cb a bc ⎧-=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩-------1分解得1a c ==. ------------2分即：椭圆方程为.12322=+y x ------------3分 （Ⅱ）当直线AB 与x轴垂直时，AB =，此时AOB S ∆= -----------4分 当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为：)1(+=x k y ， 代入消去y 得：2222(23)6(36)0k x k x k +++-=. ------------6分设1122(,),(,)A x y B x y ，则212221226233623k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， -----------7分所以221)23k AB k+=+. ------------9分 原点到直线的AB距离d =，所以三角形的面积12S AB d ==.由224S k k =⇒=⇒=， ------------12分所以直线0AB l y -=或0AB l y +=. ---------13分 20．（本小题满分13分）解：（I ）因为2221122,212(22)1(21)++=++=++=+n n n n n n n a a a a a a a所以数列}1{2+n a 是“平方递推数列” . --------2分由以上结论21lg(21)lg(21)2lg(21)n n n a a a ++=+=+，所以数列)}1{lg(2+n a 为首项是lg5公比为2的等比数列. --------3分（II ）11121lg(21)[lg(21)]22lg5lg5---+=+⨯==n n n n a a ，11221215,(51)2--+==-n n n n a a .--------5分1l g l g (21)l g (21)(21)l g 5nn n T a a =++++=-，215nn T -=.--------7分（III ）11lg (21)lg512lg(21)2lg52---===-+n n n n n n T b a11222n n S n -=-+. --------10分112220122n n --+>110072nn +>m i n 1007n =.--------13分[注：若有其它解法，请酌情给分]。
北京市石景山高三一模理科数学试题及答案
北京市石景山高三一模理科数学试题及答案一、选择题（共3小题；共15分）1.在的展开式中，的系数为______A.B.C.D.2.如图是某个三棱锥的三视图，其中主视图是等边三角形，左视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是______ A.B.C.D.3.已知动点在椭圆上，为椭圆的右焦点，若点满足且，则的最小值为______A.B.C.D.二、解答题（共2小题；共26分）4.如图，正三棱柱的底面边长是，侧棱长是，是的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的大小；（3）在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，求出的长；若不存在，说明理由．5.设函数．（1）若，求函数的单调区间；（2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围；（3）过坐标原点作曲线的切线，证明：切点的横坐标为．三、选择题（共5小题；共25分）第1页（共8页）6.已知全集，集合，，那么______A.A.______B.B.C.C.D.D.7.下列函数中，在内单调递减，并且是偶函数的是______8.已知中，，，以为直径的圆交于，则的长为A.B.C.D.9.在平面直角坐标系中，抛物线上纵坐标为的点到焦点的距离为，则焦点到准线的距离为______A.B.C.D.10.阅读下面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为______A.B.C.D.四、填空题（共5小题；共25分）11.已知命题：，则是______．12.在等比数列中，，，则数列的通项公式______，设，的前项和______．则数列13.已知圆的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，则圆的直角坐标方程为______，若直线与圆相切，则实数的值为______．第2页（共8页）则的取值范围是______．14.已知变量满足约束条件15.各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的个专业中，选择个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有______种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．五、解答题（共4小题；共52分）16.在中，角，，的对边分别为，，，且，．（1）求角的大小；（2）若，，求边的长和的面积．17.经调查发现，人们长期食用含高浓度甲基汞的鱼类会引起汞中毒，其中罗非鱼体内汞含量比其他鱼偏高．现从一批数量很大的罗非鱼中随机地抽出条作样本，经检测得各条鱼的汞含量的茎叶图（以小数点前的数字为茎，小数点后一位数字为叶）如下：罗非鱼的汞含量（）《中华人民共和国环境保护法》规定食品的汞含量不得超过．（1）检查人员从这条鱼中，随机抽出条，求条中恰有条汞含量超标的概率；（2）若从这批数量很大的鱼中任选条鱼，记表示抽到的汞含量超标的鱼的条数．以此条鱼的样本数据来估计这批数量很大的鱼的总体数据，求的分布列及数学期望．18.给定椭圆：，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”．若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为．（1）求椭圆和其“准圆”的方程；（2）点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线，交“准圆”于点，．（ⅰ）当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线，的方程并证明；（ⅱ）求证：线段的长为定值．19.对于数列，把作为新数列的第一项，把或（）作为新数列的第项，数列称为数列的一个生成数列．例如，数列的一个生成数列是．已知数列为数列的生成数列，为数列的前项和．（1）写出的所有可能值；（2）若生成数列满足，求数列的通项公式；（3）证明：对于给定的，的所有可能值组成的集合为．六、填空题（共1小题；共5分）20.若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足：和，则称直线为和的\隔离直线\．已知函数和函数，那么函数和函数的隔离直线方程为______．第3页（共8页）答案第一部分1.B2.B3.A第二部分4.（1）连结交于，连结，，是正三棱柱，所以四边形是矩形，所以为的中点．因为是的中点，所以是三角形的中位线，所以．因为平面，平面，所以平面．（2）作于，所以平面，所以在正三棱柱中如图建立空间直角坐标系．，，是的中点．所以，，，，所以，，．即设是平面的法向量，所以令，则，，所以是平面的一个法向量．由题意可知所以二面角是平面的一个法向量，所以的大小为．（3）设，则，设平面的法向量即，则，，，所以令，又，即．解得所以存在点，使得平面平面且5.（1）时，，所以．，，，．所以的减区间为，增区间．（2）．因为在区间上是减函数，第4页（共8页）所以对任意恒成立，即对任意恒成立，所以对任意恒成立．令，所以，易知在单调递减，所以．所以．（3）设切点为，，切线的斜率，又切线过原点，，即，所以存在性：满足方程，所以，是方程的根．再证唯一性：设，，在单调递增，且，所以方程有唯一解．综上，切点的横坐标为．第三部分6.A7.C8.D9.D10.C第四部分11.12.；13.；14.15.第五部分16.（1）因为，所以因为，所以．所以．因为，且，所以．（2）因为，，所以由余弦定理得即，解得或（舍）．所以边的长为，．17.（1）记“条鱼中任选条恰好有条鱼汞含量超标”为事件，则鱼中任选条恰好有条鱼汞含量超标的概率为．（2）依题意可知，这批罗非鱼中汞含量超标的鱼的概率．所以条第5页（共8页）可能取，，，，则其分布列如下：所以18.（1）因为，，所以．所以椭圆方程为，其准圆方程为．（2）（ⅰ）因为准圆与轴正半轴的交点为，设过点且与椭圆相切的直线为，则由得．因为直线与椭圆相切，所以，解得，所以方程为，．因为，所以．（ⅱ）①当直线，中有一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，则为，当为时，与准圆交于点，，此时为（或），显然直线垂直；同理可证当为时，直线垂直．②当，斜率存在时，设点，其中．设经过点与椭圆相切的直线为，得则由．由化简整理得．因为，所以有．设，的斜率分别为，，因为，与椭圆相切，所以满足上述方程，所以，即，垂直．综合①②知：因为，经过点，又分别交其准圆于点，，且，垂直．所以线段为准圆的直径，，所以线段的长为定值．19.（1）由已知，，，，，第6页（共8页）由于可能值为．（2），当时，，当时，，，是的生成数列，；；；所以在以上各种组合中，当且仅当，，时才成立．（3）共有种情形．，即满足条件又，分子必是奇数，的奇数共有个．设数列与数列为两个生成数列，数列的前项和为，数列的前项和为，从第二项开始比较两个数列，设第一个不相等的项为第项．由于则，不妨设，，所以，只有当数列与数列的前项完全相同时，才有．共有种情形，其值各不相同．可能值必恰为，共个．第7页（共8页）。
2012年北京市石景山高三第一次模拟考试数学试题及答案
2012年北京市石景山高三第一次模拟考试数学试题及答案北京市石景山2011—2012学年第一学期期末考试试卷高三数学（文科）考生须知 本试卷共6页，150分.考试时间长120分钟．请将所有试题答案答在．．．．．．．．答题卡上．．．．．题号 一 二 三 总分 15 16 17 18 19 20 分数第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则=⋃)(B A C U（ ）A ． }3{B ． }2{C ．}4,2,1{D ．}4,1{2．已知复数i1i1z -+=，则复数z 的模为（ ） A ． 2 B ．2C ．1D ．03．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≤x 时，xx x f -=22)(，则=)1(f （ ） 4．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为（ ） A ．38 B ．34 C ．4 D ．25．执行右面的框图，若输入实数2=x ，则输出结果为（ ） A ．22B ．41C ．12-D ．21A．-3B ．-1C ．1D ．3第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 9．在ABC∆中，若32,120,2=︒=∠=a A c ，则=∠B ． 10．统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如下图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀．则及格人数是 ；优秀率为 ．11．已知向量)1,3(=a，)1,0(=b，)3,(k c =，若b a2+与c垂直，则=k ．12．已知等差数列{}na 的前n 项和为n S ，若4518aa =-，则8S = ．13．若实数,x y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-.1,2,01x y x y x 则2x y +的最大值为 ． 14.已知函数)1,0(log )(≠>+-=a a b x x x f a 且，当2131<<a 且43<<b 时，函数)(x f 的零点*),1,(N n n n x ∈+∈，则=n ．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数x x x f 2sin 21cos 3)(2+=． （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46ππ，上的最大值和最小值．16．（本小题满分13分）甲、乙两名篮球运动员在四场比赛中的得分数据以茎叶图记录如下：甲 乙 1 8 6 0 0 2 4 4 2 3 0（Ⅰ）求乙球员得分的平均数和方差；（Ⅱ）分别从两人得分中随机选取一场的得分，求得分和超过55分的概率．MFCDA（注：方差[]222212)()()(1x x x x x x nsn -++-+-=其中x 为1x ，2x ，⋯nx 的平均数）17．（本小题满分13分）如图，矩形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD CD ⊥，AB ∥CD ，2AB AD ==，4CD =，M 为CE 的中点．（Ⅰ）求证：BM ∥平面ADEF ；（Ⅱ）求证：BC ⊥平面BDE ．18．（本小题满分14分） 已知椭圆12222=+by a x （0>>b a ）过点M （0，2），离心率36=e .（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线1+=x y 与椭圆相交于B A 、两点，求AMBS∆.19．（本小题满分14分） 已知.,ln )(R a x ax x f ∈-=（Ⅰ）当2=a 时，求曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程；（Ⅱ）若)(x f 在1=x 处有极值，求)(x f 的单调递增区间；（Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 在区间(]e ,0的最小值是3，若存在，求出a 的值； 若不存在，说明理由.20．（本小题满分13分）对于给定数列{}nc ，如果存在实常数,p q 使得1n n c pc q+=+对于任意*n N ∈都成立，我们称数列{}n c 是 “κ类数列”．（Ⅰ）若nan2=，32nnb=⋅，*n N ∈，数列{}n a 、{}nb 是否为“κ类数列”？若是，指出它对应的实常数,p q ，若不是，请说明理由；（Ⅱ）证明：若数列{}na 是“κ类数列”，则数列}{1++n na a也是“κ类数列”；（Ⅲ）若数列{}na 满足12a =，)(23*1N n t a a n n n∈⋅=++，t 为常数．求数列{}na 前2012项的和．并判断{}na 是否为“κ类数列”，说明理由．石景山区2011—2012学年第一学期期末考试试卷高三数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 ACABDBCB二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 注：两空的题第1个空3分，第2个空2分.三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）x x x f 2sin 2122cos 13)(++•= 题号 910 1112 13 14 答案 6π 800, 20%3-7242232sin 212cos 23++=x x23)32sin(++=πx ……………5分π=T……………7分（Ⅱ）因为46ππ≤≤-x ，所以ππ65320≤+≤x …………9分当232ππ=+x 时，即12π=x 时，)(x f 的最大值为231+；………11分当032=+πx 时，即6π-=x 时，)(x f 的最小值为23. ………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由茎叶图可知，乙球员四场比赛得分为18,24,24,30，所以平均数24430242418=+++=x ； ……………………2分[]18)2430()2424()2424()2418(4122222=-+-+-+-=s . ……5分（Ⅱ）甲球员四场比赛得分为20,20,26,32，分别从两人得分中随机选取一场的 得分，共有16种情况： （18，20）（18，20）（18，26）（18，32）（24，20）（24，20）（24，26）（24，32）（24，20）（24，20）（24，26）（24，32）（30，20）（30，20）（30，26）（30，32） …………9分得分和超过55分的结果有：（24，32）（24，32）(30，26)（30，32） …………11分 求得分和超过55分的概率为41. (1)3分17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）证明：取DE 中点N ，连结,MN AN ．在△EDC 中，,M N 分别为,EC ED 的中点， ………2分所以MN ∥CD ，且12MN CD =． 由已知AB ∥CD ，12AB CD =， 所以MN ∥AB ，且MN AB =．所以四边形ABMN 为平行四边形． ………4分所以BM ∥AN ．又因为AN⊂平面ADEF，且BM⊄平面ADEF，所以BM∥平面ADEF．………………………………6分（Ⅱ）证明：在矩形ADEF中，ED AD⊥．又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF平面ABCD AD=，所以ED⊥平面ABCD．所以ED BC⊥．………………………………9分在直角梯形ABCD中，2AB AD==，CD=，可得224BC=在△BCD中，22,4===，BD BC CD因为222+=，所以BC BDBD BC CD⊥．因为BD DE D⋂=,所以BC⊥平面BDE．………………………13分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得36,2==acb结合222c b a+=，解得122=a所以，椭圆的方程为141222=+y x . ………………5分（Ⅱ）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+1141222x y y x 得12)1(322=++x x ………………6分即09642=-+x x ，经验证0>∆.设),(),,(2211y x B y x A .所以49,232121-=⋅-=+x x x x ， ………………8分221221221)2)()AB x x y y x x -=-+-=（（，2103]4)[2AB 21221=-+=x x x x （ ………………11分因为点M到直线AB的距离222120=+-=d ， ………………13分所以4532221032121=⨯⨯=⨯⨯=∆d AB S AMB . (14)分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得)(x f 的定义域为(0)+∞，， 因为()ln f x ax x =-，所以'1()f x a x=- 当2a =时，()2ln f x x x =-，所以(1)2f =， 因为'1 ()2f x x=-，所以'1(1)211f =-=……………………2分所以曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程为2(1)(1)y f x '-=-，即10x y -+=. (4)分（Ⅱ）因为)(x f 在1=x 处有极值，所以(1)0f '=，由（Ⅰ）知(1)1f a '=-，所以1a =经检验，1a =时)(x f 在1=x 处有极值． …………………………5分所以()ln f x x x=-，令'1 ()10f x x=->解得10x x ><或；因为)(x f 的定义域为(0)+∞，，所以'()0f x >的解集为(1)+∞，， 即)(x f 的单调递增区间为(1)+∞，. (8)分（Ⅲ）假设存在实数a ，使xax x f ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3，① 当0≤a 时，因为(]e x ,0∈，所以0)('<x f ， 所以)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，解得ea 4=，舍去. ……………………10分②当e a <<10时，)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在],1(e a上单调递增，3ln 1)1()(min =+==a af x f ，解得2e a =，满足条件. …………………12分③ 当e a≥1时，因为(]e x ,0∈，所以0)('<x f ，所以)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，解得ea 4=，舍去. 综上，存在实数2e a =，使得当],0(e x ∈时()f x 有最小值3. ……………14分 20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为2,na n =则有12,n n aa +=+*n N ∈故数列{}na 是“κ类数列”，对应的实常数分别为1,2； …………… 1分 因为32nnb=⋅，则有12n nbb +=，*n N ∈.故数列{}nb 是“κ类数列”，对应的实常数分别为2,0. ……………3分（Ⅱ）证明：若数列{}na 是“κ类数列”，则存在实常数q p 、， 使得1n n a pa q+=+对于任意*n N ∈都成立，且有21n n a pa q++=+对于任意*n N ∈都成立，因此()()1212n n n n aa p a a q++++=++对于任意*n N ∈都成立，故数列{}1nn aa ++也是“κ类数列”．对应的实常数分别为,2p q． ……………6分（Ⅲ）因为*132()n n n a a t n N ++=⋅∈ 则有1232a a t +=⋅，33432a at +=⋅，20092009201032a a t +=⋅20112011201232a a t +=⋅故数列{}na 前2012项的和2012S =()12a a ++()34a a +++()20092010a a ++()20112012aa +()320092011201232323232221t t t t t =⋅+⋅++⋅+⋅=- (9)分若数列{}na 是“κ类数列”，则存在实常数q p 、使得1n n a pa q+=+对于任意*n N ∈都成立，且有21n n a pa q++=+对于任意*n N ∈都成立，因此()()1212n n n n aa p a a q++++=++对于任意*n N ∈都成立， 而*132()n n n a a t n N ++=⋅∈，且)(23*121N n t a an n n ∈⋅=++++，则有132322n n t t p q+⋅=⋅+对于任意*n N ∈都成立，可以得到(2)0,0t p q -==，当2,0p q ==时，12n naa +=，2nna =，1t =，经检验满足条件.当0,0t q == 时，1n na a +=-，12(1)n na-=-，1p =-经检验满足条件.因此当且仅当1t =或0t =时，数列{}na 是“κ类数列”.对应的实常数分别为2,0或1,0-． ………………… 13分。
石景山数学理
高三统一测试数学（理）试题本试卷共150分，考试时长120分钟，请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合M= {x|x2≤4），N={x|log2x≥1}，则M N等于（）A．[-2，2] B．{2} C．[2，+∞）D．[-2,+∞）2．若复数（a－i）2在复平面内对应的点在y轴负半轴上，则实数a的值是（）A． 1 B．-1 C．2D．-23．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，向量p=（m，n），q=（3，6），则向量p与q共线的概率为（）A．13B．14C．16D．1124．执行右面的框图，输出的结果s的值为（）A．-3 B．2C．12-D．135．如图，直线AM与圆相切于点M, ABC与ADE是圆的两条割线，且BD⊥AD，连接MD、EC。
则下面结论中，错误．．的结论是( ) A．∠ECA = 90oB．∠CEM=∠DMA+∠DBAC．AM2 = AD·AED．AD·DE = AB·BC6．在（2x2－1x）5的二项展开式中，x的系数为（）A．-10 B．10C．-40D．407．对于直线l：y=k (x+1)与抛物线C：y2= 4x，k=±1是直线l与抛物线C有唯一交点的( )条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要条件D．既不充分也不必要8．若直角坐标平面内的两点p 、Q 满足条件：①p 、Q 都在函数y=f （x ）的图像上；②p 、Q 关于原点对称，则称点对[P ，Q]是函数y=f （x ）的一对“友好点对”（注：点对[P ，Q]与[Q ，P]看作同一对“友好点对”）．已知函数f （x ）=221(0)4(0)og x x x x x >⎧⎨--≤⎩，则此函数的“友好点对”有（ ）对． A ． 0 B ． 1 C ．2D ． 3 第Ⅱ卷 （非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．直线2p sin θ=1与圆ρ=2 cos θ相交弦的长度为 。
北京市石景山区高三数学上学期期末考试试题 理 新人教
石景山区2012—2013学年第一学期期末考试试卷高三数学（理）本试卷共6页，150分.考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则=⋃B A C U ）（（ ） A ． {}2,1B ． {}4,32，C ． {}4,3D ．{}4,3,2,12. 若复数i Z =1, i Z -=32,则=12Z Z （ ） A ． 13i --B ．i +2C ．13i +D ．i +33．AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，(2,4),(1,3),AB AC AD 则===u u u r u u u r u u u r（ ）A ．(2,4)B ．(3,7)C ．(1,1)D ．(1,1)--4. 设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβC ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥βD ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ5．执行右面的框图，若输出结果为3， 则可输入的实数x 值的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（ ）A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种7A ．38 B ．4 C ．2 D ．348. 在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ， 即[]{}5k n k n =+∈Z ，0,1,2,3,4k =．给出如下四个结论： ① []20133∈； ② []22-∈；③ [][][][][]01234Z =∪∪∪∪；④ 整数,a b 属于同一“类”的充要条件是“[]0a b -∈”． 其中，正确结论的个数为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，，表示的平面区域S 的面积为4，则=a ；若点S y x P ∈),(，则y x z +=2 的最大值为 . 10．如右图，从圆O 外一点P 引圆O 的割线PAB 和PCD ，PCD 过圆心O ，已知1,2,3PA AB PO ===，则圆O 的半径等于 ．11．在等比数列{}n a 中，141=,=42a a -，则公比=q ；PA BC O•D123++++=n a a a a L ．12． 在ABC ∆中，若2,60,a B b =∠=︒=BC 边上的高等于 ．13．已知定点A 的坐标为(1,4)，点F 是双曲线221412x y -=的左焦点，点P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为 ．14. 给出定义：若11< +22m x m -≤ (其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}=x m . 在此基础上给出下列关于函数()={}f x x x -的四个命题： ①=()y f x 的定义域是R ，值域是11(,]22-； ②点(,0)k 是=()y f x 的图像的对称中心，其中k Z ∈； ③函数=()y f x 的最小正周期为1； ④ 函数=()y f x 在13(,]22-上是增函数． 则上述命题中真命题的序号是 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数sin 2(sin cos )()cos x x x f x x+=．（Ⅰ）求)(x f 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-46ππ，上的最大值和最小值．16．（本小题共14分）如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，36BC AC ==，．D 、E 分别是AC AB 、上的点，且//DE BC ，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D CD ⊥，如图2． （Ⅰ）求证： BC ⊥平面1A DC ；（Ⅱ）若2CD =，求BE 与平面1A BC 所成角的正弦值；（Ⅲ） 当D 点在何处时，1A B 的长度最小，并求出最小值．17．（本小题共13分）甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为1123p 、、，且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为14. （Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率； （Ⅱ）求p 的值；（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X ，求X 的分布列和数学期望EX .18．（本小题共13分）已知函数()=ln +1,f x x ax a R -∈是常数．（Ⅰ）求函数=()y f x 的图象在点(1,(1))P f 处的切线l 的方程； （Ⅱ）证明函数=()(1)y f x x ≠的图象在直线l 的下方； （Ⅲ）讨论函数=()y f x 零点的个数．19．（本小题共14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x(4,1)M，直线图1 图2A 1BCDE:=+l y x m 交椭圆于不同的两点A B 、．（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求m 的取值范围；（Ⅲ）若直线l 不过点M ，求证：直线MA MB 、的斜率互为相反数．20．（本小题共13分）定义：如果数列{}n a 的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{}n a 为“三角形”数列．对于“三角形”数列{}n a ，如果函数()y f x =使得()n n b f a =仍为一个“三角形”数列，则称()y f x =是数列{}n a 的“保三角形函数”(*)n N ∈．（Ⅰ）已知{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，若()(1)xf x k k =>是数列{}n a 的“保三角形函数”，求k 的取值范围；（Ⅱ）已知数列{}n c 的首项为2013，n S 是数列{}n c 的前n 项和，且满足+1438052n n S S -=，证明{}n c 是“三角形”数列；（Ⅲ）若()lg g x x =是（Ⅱ）中数列{}n c 的“保三角形函数”，问数列{}n c 最多有多少项?(解题中可用以下数据 :lg20.301,lg30.477,lg2013 3.304≈≈≈)石景山区2012—2013学年第一学期期末考试高三数学（理科）参考答案二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．(9题、11题第一空2分,第二空3分)三、解答题共6小题，共80分．15．（本小题共13分）（Ⅰ）因为cos0x≠，所以+,2x k k Zππ≠∈.所以函数)(xf的定义域为{+,}2x x k k Zππ≠∈｜……………2分sin2sin cos()cosx x xf xx+=（）()2sin sin+cos=2sin+sin2x x x x x=２-)14xπ=+……………5分π=T……………7分（Ⅱ）因为46ππ≤≤-x，所以7-2-1244xπππ≤≤……………9分当2-44xππ=时，即4xπ=时，)(xf的最大值为2；……………11分当2--42xππ=时，即8xπ=-时，)(xf的最小值为. ………13分16．（本小题共14分）（Ⅰ）证明：在△ABC中，90,//,C DE BC AD DE∠=︒∴⊥1A D DE∴⊥.又11,,A D CD CD DE D A D BCDE⊥⋂=∴⊥面.由1,.BC BCDE A D BC⊂∴⊥面1,,BC CD CD BC C BC A DC ⊥⋂=∴⊥面. …………………………4分（Ⅱ）如图,以C 为原点，建立空间直角坐标系．1(2,0,0),(2,2,0),(0,3,0),(2,0,4)D E B A ．设(,,)x y z =n 为平面1A BC 的一个法向量，因为(0,3,0),CB =u u u r1(2,0,4)CA =u u u r 所以30240y x z =⎧⎨+=⎩，令2x =，得=0,=1y z -.所以(2,0,1)=-n 为平面1A BC 的一个法向量． ……………………7分 设BE 与平面1A BC 所成角为θ．则4sin =cos 5BE θ<⋅>==u u u rn ． 所以BE 与平面1A BC 所成角的正弦值为45． …………………9分 （Ⅲ）设(,0,0)D x ,则1(,0,6)A x x -，1A B ==…………………12分当=3x 时,1A B 的最小值是即D 为AC 中点时, 1A B 的长度最小,最小值为 …………………14分 17．（本小题共13分）记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件321,,A A A ，依题意有12311(),(),(),23P A P A P A p ===且321,,A A A 相互独立.（Ⅰ）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为121()P A A -⋅1221233=-⨯=. …………………3分（Ⅱ）设“三人中只有甲破译出密码”为事件B ，则有()P B =123()P A A A ⋅⋅＝121(1)233pp -⨯⨯-=， …………………5分所以1134p -=，14p =. ……………………7分 （Ⅲ）X 的所有可能取值为3,2,1,0. ……………………8分所以1(0)4P X ==， (1)P X ==P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅111312111423423424=+⨯⨯+⨯⨯=， (2)P X ==P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅11312111112342342344=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， (3)P X ==P 123()A A A ⋅⋅＝111123424⨯⨯=. ……………………11分 X 分布列为：……………………12分所以，1111113()012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………13分 2．（本小题共13分） （Ⅰ）1()=f x a x'- …………………1分 (1)=+1f a -，=(1)=1l k f a '-，所以切线 l 的方程为(1)=(1)l y f k x --，即=(1)y a x -． …………………3分（Ⅱ）令()=()(1-)=ln +1>0F x f x a x x x x --，，则11()=1=(1)()=0=1.F x x F x x x x''--， 解得…………………6分(1)<0F ，所以>0x ∀且1x ≠，()<0F x ，()<(1)f x a x -，即函数=()(1)y f x x ≠的图像在直线 l 的下方． …………………8分 （Ⅲ）令()=ln +1=0f x x ax -，ln +1=x a x.令 ln +1()=x g x x ，22ln +11(ln +1)ln ()=()==x x xg x x x x -''-， 则()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,+)∞上单调递减，当=1x 时，()g x 的最大值为(1)=1g .所以若>1a ，则()f x 无零点；若()f x 有零点，则1a ≤．………………10分若=1a ，()=ln +1=0f x x ax -，由（Ⅰ）知()f x 有且仅有一个零点=1x .若0a ≤，()=ln +1f x x ax -单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知()f x 有且仅有一个零点（或：直线=1y ax -与曲线=ln y x 有一个交点）.若0<<1a ，解1()==0f x a x '-得1=x a ，由函数的单调性得知()f x 在1=x a处取最大值，11()=ln >0f a a，由幂函数与对数函数单调性比较知，当x 充分大时()<0f x ，即()f x 在单调递减区间1(,+)a ∞有且仅有一个零点；又因为1()=<0af e e -，所以()f x 在单调递增区间1(0)a，有且仅有一个零点.综上所述，当>1a 时，()f x 无零点； 当=1a 或0a ≤时，()f x 有且仅有一个零点；当0<<1a 时，()f x 有两个零点. …………………13分 19．（本小题共14分）（Ⅰ）设椭圆的方程为22221x y a b+=，因为2e =，所以224a b =，又因为(4,1)M ，所以221611a b+=，解得225,20b a ==， 故椭圆方程为221205x y +=． …………………4分 （Ⅱ）将y x m =+代入221205x y +=并整理得22584200x mx m ++-=， 22=(8)-20(4-20)>0m m ∆，解得55m -<<． …………………7分（Ⅲ）设直线,MA MB 的斜率分别为1k 和2k ，只要证明120k k +=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212128420,55m m x x x x -+=-=． …………………9分 12122112121211(1)(4)(1)(4)44(4)(4)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=----122112122(1)(4)(1)(4)2(5)()8(1)2(420)8(5)8(1)055x m x x m x x x m x x m m m m m =+--++--=+-+----=---=分子所以直线MA MB 、的斜率互为相反数． …………………14分 20．（本小题共13分）（Ⅰ）显然121,n n n n a n a a a ++=++>对任意正整数都成立，即{}n a 是三角形数列。
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2012年石景山区高三统一测试数学（理科）第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合}032|{2<--=x x x M ,}0log |{21<=x x N ，则N M 等于（ ）A ．)1,1(-B ．)3,1(C ．)1,0(D ．)0,1(-2．在复平面内，复数21ii-+对应的点位于（ ） A ．第一象限B ． 第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．圆2cos ,2sin 2x y θθ=⎧⎨=+⎩的圆心坐标是（ ）4．设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）A ．αα//,//,//n m n m 则若B ．βαγβγα//,,则若⊥⊥C ．n m n m //,//,//则若ααD ．n m n m ⊥⊥则若,//,ααA ．(0,2)B ．(2,0)C ．(0,2)-D ．(2,0)-5．执行右面的框图，若输入的N 是6， 则输出p 的值是（ ）A ．120B ．720C ．1440D ．50406．若21()n x x-展开式中的所有二项式系数和 为512，则该展开式中的常数项为 （ ）A ．84-B ．84C ．36-D ．367．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）A．8 B．83+C．8 D ．3238．如图，已知平面l αβ=，A 、B 是l 上的两个点，C 、D 在平面β内，且,,DA CB αα⊥⊥ 4AD =，6,8AB BC ==，在平面α上有一个 动点P ，使得APD BPC ∠=∠，则P ABCD -体积 的最大值是（ ）A．B ．16C ．48D ．144 βαAC BDP第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．9．设向量)cos 3,1(),1,(cos θθ==b a，且b a //，则θ2cos = ．10．等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和．若40k a a +=，则k =________． 11.如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，CE 与圆相切交AB 延长线上于点E，若DF CF ==::4:2:1AF FB BE =，则线段CE 的长为 ．12．设函数21,,2()1log ,2x a x f x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩的最小值为1-，则实数a 的取值范围是 ．13．如图，圆222:O x y π+=内的正弦曲线sin y x = 与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，随机 往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的 概率是 ．14．集合{}{},|),(,,|),(a y x y x M R y R x y x U <+=∈∈={},)(|),(x f y y x P == 现给出下列函数：①xa y =，②x y a log =，③sin()y x a =+，④cos y ax =， 若10<<a 时，恒有,P M C P U = 则所有满足条件的函数)(x f 的编号是 ．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且C b B c a cos cos )2(=-． （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若cos 2A a ==，求ABC ∆的面积.16．（本小题满分13分）甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为31，乙每次投中的概率为21，每人分别进行三次投篮． （Ⅰ）记甲投中的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ； （Ⅱ）求乙至多投中2次的概率； （Ⅲ）求乙恰好比甲多投进2次的概率．17 ．（本小题满分14分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，1AA ⊥面ABC ，2,==⊥AC BC AC BC ，13AA =，D 为AC 的中点.（Ⅰ）求证：11//BDC AB 面；（Ⅱ）求二面角C BD C --1的余弦值； （Ⅲ）在侧棱1AA 上是否存在点P ，使得1BDC CP 面⊥？请证明你的结论.18．（本小题满分14分）已知函数2()2ln f x x a x =+.（Ⅰ）若函数()f x 的图象在(2,(2))f 处的切线斜率为1，求实数a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅲ）若函数2()()g x f x x=+在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围.C 1A 1CB 1ABD19．（本小题满分13分）已知椭圆12222=+by a x （0>>b a 1，短轴长为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点F 的直线与椭圆分别交于A 、B 两点，若三角形OAB 的，求直线AB 的方程．20．（本小题满分13分） 若数列}{n A 满足21nn A A =+，则称数列}{n A 为“平方递推数列”．已知数列}{n a 中，21=a ，点(1,+n n a a )在函数x x x f 22)(2+=的图像上，其中n 为正整数．（Ⅰ）证明数列}1{2+n a 是“平方递推数列”，且数列)}1{lg(2+n a 为等比数列；（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前n 项之积为n T ，即)12)12)(12(21+++=n n a a a T （ ，求数列}{n a 的通项及n T 关于n 的表达式；（Ⅲ）记21log n n a n b T += ，求数列{}n b 的前n 项和n S ，并求使2012n S >的n 的最小值．2012年石景山区高三统一测试高三数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为C b B c a cos cos )2(=-，由正弦定理，得C B B C A cos sin cos )sin sin 2(=-． …………2分∴ A C B C B B C B A sin )sin(cos sin cos sin cos sin 2=+=+=． (4)分 ∵ 0A π<<, ∴0sin ≠A ，∴ 21cos =B ． 又∵ π<<B 0 ， ∴ 3π=B ． …………6分 （Ⅱ）由正弦定理BbA a sin sin =，得b = …………8分由cos 2A =可得4A π=，由3π=B ，可得sin C =， …………11分 ∴11sin 222s ab C ==⨯=． …………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）ξ的可能取值为：0，1，2，3． …………1分;27832)0(303=⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ;943231)1(213=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ;923231)2(223=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ.27131)3(333=⎪⎭⎫⎝⎛==C P ξξ的分布列如下表：…………4分 127139229412780=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ． …………5分 （Ⅱ）乙至多投中2次的概率为87211333=⎪⎭⎫ ⎝⎛-C ． …………8分（Ⅲ）设乙比甲多投中2次为事件A ，乙恰投中2次且甲恰投中0次为事件B 1， 乙恰投中3次且甲恰投中1次为事件B 2，则2121,,B B B B A =为互斥事件． …………10分=+=)()()(21B P B P A P 61819483278=⨯+⨯． 所以乙恰好比甲多投中2次的概率为61． …………13分 17．（本小题满分14分）（I ）证明：连接B 1C ，与BC 1相交于O ，连接OD ． …………1分 ∵BCC 1B 1是矩形，∴O 是B 1C 的中点． 又D 是AC 的中点，∴OD//AB 1．∵AB 1⊄面BDC 1，OD ⊂面BDC 1，∴AB 1//面BDC 1． …………4分（II ）解：如图，建立空间直角坐标系， 则C 1（0，0，0），B （0，3，2）， C （0，3，0），A （2，3，0），D （1，3，0），1(0,3,2)C B =，1(1,3,0)C D =，…………5分设111(,,)n x y z =是面BDC 1的一个法向量，则110,0n C B n C D ⎧=⎪⎨=⎪⎩即1111320,30y z x y +=⎧⎨+=⎩，取11(1,,)32n =-. …………7分 易知1(0,3,0)C C =是面ABC 的一个法向量. …………8分1112cos ,7n C C n C C n C C==-⨯.∴二面角C 1—BD —C 的余弦值为27.…………9分 （III ）假设侧棱AA 1上存在一点P 使得CP ⊥面BDC 1.设P （2，y ，0）（0≤y ≤3），则 (2,3,0)CP y =-， …………10分则110,0CP C B CP C D ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即3(3)0,23(3)0y y -=⎧⎨+-=⎩. …………12分 解之3,73y y =⎧⎪⎨=⎪⎩∴方程组无解. …………13分∴侧棱AA 1上不存在点P ，使CP ⊥面BDC 1. …………14分18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）2222'()2a x af x x x x+=+= …………1分 由已知'(2)1f =，解得3a =-. …………3分（II ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.（1）当0a ≥时, '()0f x >，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞； ……5分（2）当0a <时'()f x =.当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下：由上表可知，函数()f x 的单调递减区间是；单调递增区间是)+∞. …………8分 （II ）由22()2ln g x x a x x =++得222'()2ag x x x x=-++，…………9分 由已知函数()g x 为[1,2]上的单调减函数，则'()0g x ≤在[1,2]上恒成立，即22220ax x x -++≤在[1,2]上恒成立. 即21a x x≤-在[1,2]上恒成立. …………11分令21()h x x x =-，在[1,2]上2211'()2(2)0h x x x x x=--=-+<，所以()h x 在[1,2]为减函数. min 7()(2)2h x h ==-,所以72a ≤-. …………14分19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意，2221a cb a bc ⎧-=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩-------1分解得1a c ==. ------------2分即：椭圆方程为.12322=+y x ------------3分 （Ⅱ）当直线AB 与x 轴垂直时，AB =，此时AOB S ∆= -----------4分 当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为：)1(+=x k y ， 代入消去y 得：2222(23)6(36)0k x k x k +++-=. ------------6分设1122(,),(,)A x y B x y ，则212221226233623k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， -----------7分所以221)23k AB k +=+. ------------9分原点到直线的AB距离d =，所以三角形的面积12S AB d ==由22S k k =⇒=⇒= ------------12分所以直线0AB l y -=或0AB l y +=. ---------13分 20．（本小题满分13分）解：（I ）因为2221122,212(22)1(21)++=++=++=+n n n n n n n a a a a a a a所以数列}1{2+n a 是“平方递推数列” . --------2分由以上结论21lg(21)lg(21)2lg(21)n n n a a a ++=+=+，所以数列)}1{lg(2+n a 为首项是lg5公比为2的等比数列. --------3分（II ）11121lg(21)[lg(21)]22lg5lg5---+=+⨯==n n n n a a ，11221215,(51)2--+==-n n n n a a .--------5分1l g l g (21)l g (21)(21)l g 5nn n T aa =++++=-，215nn T -=.--------7分（III ）11lg (21)lg512lg(21)2lg52---===-+n n n n n n T b a11222n n S n -=-+. --------10分 112220122n n --+>110072n n +> m i n 1007n =.--------13分 [注：若有其它解法，请酌情给分]。