新人教A版高中数学必修第一册2.1 等式性质与不等式性质 学案(1)

第二章一元二次函数、方程和不等式

2.1等式性质与不等式性质（共2课时）

（第1课时）

（新人教A版）

1.会用不等式(组)表示不等关系；

2.能够运用作差法比较两个数或式的大小.

1. 用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，用不等式（组）研究含有不等关系的问题；

2.运用作差法比较代数式大小，对学生数学运算的要求较高

1. 我们用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些符号的式子，叫做__________.

2．不等式中文字语言与数学符号之间的转换

3.比较两实数大小基本方法:

(1)两个实数大小的比较原理

①差值比较原理：设a、b∈R，则a＞b⇔a－b＞0，

a＝b⇔a－b＝0，a＜b⇔ a－b<0.

②商值比较原理：设a、b∈R＋，则a

b＞1⇔a＞b，

a

b＝1⇔ a＝b，a

b<1⇔a

(2)两个实数大小比较的一般步骤

①作差比较法其一般步骤是:

作差→变形→判断符号→确定大小.

注：作差比较大小的关键是作差后的变形，作差变形中，可采用配方、因式分解、通分、有理化等手段进行恒等变形（常数、几个平方和的形式或几个因式积的形式）．变形的过程是至关重要的，无

论施以什么方法，最终要变到能够判断符号为止．注意变形过程中要保持等价性及正确性．

（一）、情境导学

1.购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高超过1.1 m(含1.1 m)而不超过1.5 m的儿童，享受半价客票、加快票和空调票(简称儿童票)，超1.5 m时应买全价票．每一成人旅客可免费携带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票．从数学的角度，应如何理解和表示“不超过”“超过”呢？

2.展示新闻报道：明天白天广州的最低温度为18℃，白天最高温度为30℃。

（二）、探索新知

探究一用不等式表示不等关系

例1.某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm

两种，按照生产的要求，600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍．试写出满足上述所有不等关系的不等式．

归纳总结;

跟踪训练：

1.某种杂志原以每本

2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本，若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？

2．某工厂在招标会上，购得甲材料x t，乙材料y t，若维持工厂正常生产，甲、乙两种材料总量至少需要120 t，则x、y应满足的不等关系是()

A．x＋y>120 B．x＋y<120

C．x＋y≥120 D．x＋y≤120

探究二比较数或式子的大小

我们学习了关于实数大小比较的一个基本事实：

(1)数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数______.

根据这个公理，我们可用什么方法来比较实数的大小？ 步骤是什么？第一步，第二步，第三步，第四步

例2.已知x ＜y ＜0，比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小．

归纳总结; 跟踪训练

1．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( )

A ．M >N

B ．M ＝N

C ．M

D ．与x 有关 2.比较x 2＋y 2＋1与2(x ＋y －1)的大小； 3.设a ∈R 且a ≠0，比较a 与1

a

的大小．

1.完成一项装修工程,请木工需付工资每人500元,请瓦工需付工资每人400元,现有工人工资预算20 000元,设木工x (x ≥0)人,瓦工y (y ≥0)人,则关于工资x ,y 满足的不等关系是( )

A.5x+4y<200

B.5x+4y ≥200

C.5x+4y=200

D.5x+4y ≤200 2.若A=1

x 2+3与B=1

x +2,则A 与B 的大小关系是( ) A.A>B

B.A

C.A ≥B

D.不确定

3.已知甲、乙两种食物的维生素A,B 含量如下表:

设用x kg 的甲种食物与y kg 的乙种食物配成混合食物,并使混合食物内至少含有56 000单位的维生

素A 和63 000 单位的维生素B .

试用不等式组表示x

,y 所满足的不等关系.

4.将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各边都缩短x,构成一个钝角三角形,试用不等式(组)表示x 应满足的不等关系.

5.比较下列各组中的两个实数或代数式的大小:

(1)2x 2+3与x+2,x ∈R ; (2)a+2与3

1-a ,a ∈R ,且a ≠1.

1. 用不等式(组)表示不等关系时,应遵循“一找(不等关系);二析(涉及的量);三设(设出合理的未知数);

四列(不等式(组))”.

2..作差法比较两个实数的大小时，关键是作差后变形，一般变形越彻底越有利于下一步的判断.

因式分解 配方 通分 分类讨论

3.本节课的学习过程中,重点渗透了数学建模思想和函数思想.

参考答案：

探究一 例1. [解析] 设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根， 依题意，可得不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧500x ＋600y ≤4 0003x ≥y x ≥0y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≤403x ≥y

x ≥0y ≥0.

归纳总结;用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：

①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待求量．找出体现不等关系的关键词：“至少”“至多”“不少于”“不多于”“超过”“不超过”等．②列不等式组：分析题意，找出已知量和待求量之间的约束条件，将各约束条件用不等式表示． 跟踪训练：

1.[解析] 提价后杂志的定价为x 元，则销售的总收入为(8－x －

2.5

0.1×0.2)x 万元，那么不等关系“销售

的收入不低于20万元”用不等式可以表示为： (8－x －2.50.1

×0.2)x ≥20.

2.[解析] 由题意可得x ＋y ≥120，故选C ． 探究二 例2．[解析] ∵x ＜y ＜0，xy ＞0，

x －y ＜0，∴(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y )＝－2xy (x －y )＞0， ∴(x 2＋y 2)(x －y )＞(x 2－y 2)(x ＋y )．

归纳总结：比较两个实数(或代数式)大小的步骤 (1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差； (2)变形：对差进行变形(因式分解、通分、配方等)；

(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；(4)作出结论．这种比较大小的方法通