江西省抚州市临川区第一中学2017-2018学年高二上学期第一次月考数学(理)试题

江西省抚州市临川区第一中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合301x M xx ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，{}3N x x =≤-，则R R C M C N ⋂=（ ） A ．{}1x x < B ．{}1x x > C ．{}1x x ≤ D ．{}1x x ≥ 2．下列命题中为真命题的是（ ）A ．命题“若1x >，则21x >”的否命题B ．命题“若x y >，则||x y >”的逆命题C ．命题“若1x =，则220x x +-=”的否命题D ．命题“若tan x =3x π=”的逆否命题 3．函数f(x)＝2log ,02,0x x x a x >⎧⎨-+≤⎩ 有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) A ．a<0 B ．0<a< C ． <a<1 D ．a≤0或a>1 4．下列说法中不正确的是（ ）A ．“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的必要不充分条件B ．存在无数个α,β∈R ，使得等式sin(α−β)=sinαcosβ+cosαsinβ成立C ．命题“在ΔABC 中，若sinA =sinB ,则A =B ”的逆否命题是真命题D ．若命题p:∃x 0∈R ，使得x 02−x 0+1<0，则¬p:∀x 0∈R ，都有x 02−x 0+1≥05．在空间直角坐标系Oxyz 中,已知(2,0,0)(2,(0,2,0)A B C D ，，，.若123,,S S S分别是三棱锥D ABC -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ） A ． B ． C ． D ．6．函数y = ） A ．[0,1) B ．(0,1) C ．[0,)+∞ D ．[0,)π7．若当x ∈R 时，函数()x f x a =始终满足0|()|1f x <≤，则函数1log a y x=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2222017a b c +=，则tan tan tan tan C C A B+=（ ） A ．12016 B ．12017 C ．11008 D ．220179．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C ．D ．310．能够把椭圆:0a 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“亲和函数”，下列函数是椭圆的“亲和函数”的是（ ）A ．B ．()sin cos f x x x =+C ．5()15x f x n x-=+ D ．()x x f x e e -=+ 11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =A ．1BCD ．212．已知函数2()23,f x x x =--若1a b <<，且()()f a f b =，则3a b +的最小值为（ ）A ．3-B ．4-C ．4-D ．5-二、填空题 13．在椭圆221369x y +=上有两个动点M ，N ，若()2,0K 为定点，且0KM KN ⋅=，则KM NM ⋅的最小值为___________.14．设,m n R ∈,若直线:10l mx ny +-=与x 轴相交于点A,与y 轴相交于B ，且l 与圆224x y +=相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则AOB ∆面积的最小值为 ．15．已知数列{},{}n n a b 满足*11211,,()21n n n n nb a b a b n N a ++===∈-，则2016b =_________.16．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 的动点，过,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的序号是_________.①当1CQ =时，S 的面积为2； ②当314CQ 时，S 为六边形； ③当34CQ时，S 与11C D 的交点R 满足1113C R =； ④当12CQ 时，S 为等腰梯形； ⑤当102CQ 时，S 为四边形.三、解答题17．已知函数()sin()(0,0)f x A wx A w ϕ=+>>上的一个最高点的坐标为(2π, 由此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点3(,0),(,)222πππϕ∈-. （1）求函数()f x 解析式；（2）求函数()f x 的单调递减区间和在[0,4]π内的对称中心．18．已知命题:p “存在21,2(1)02x R x m x ∈+-+≤”; 命题q ：“曲线222128x y m m +=+ (0)m <表示焦点在x 轴上的椭圆”; 命题s : “关于m 的不等式()(1)0m t m t ---<成立”.（1）若“p 且q ”是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若q 是s 的必要不充分条件，求实数t 的取值范围.19．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足24cos cos 24cos cos 2C C C C +=． （1）求角C 的大小； （2）若122CA CB -=，求ABC ∆面积的最大值． 20．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PC ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，//AB CD ，2AB =，1AD CD ==，E 是PB 上一点.（1）求证:平面EAC ⊥平面PBC ；（2）若E 是PB 的中点，且二面角P AC E --的余弦值是3，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值. 21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上的点到两个焦点的距离之和为23，短轴长为12，直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与圆221:25O x y +=相切，探究MON ∠是否为定值，如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由．22．已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 且32,2n n n S a =-*n N ∈. （1）求证1{}2n n a -为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式； （2）设数列1{}nS 的前n 项和为n T ，是否存在正整数λ，对任意*,m n ∈N ，不等式m n 0T S λ-<恒成立？若存在，求出λ的最小值，若不存在，请说明理由.参考答案1．D【解析】{}{}3031,31x M x x x N x x x ⎧⎫+=≤=-≤<=≤-⎨⎬-⎩⎭，则{}{}{}3131R R C M C N x x x x x x x ⋂=<-≥⋂>-=≥或故选D2．B【解析】对于A ：命题“若1x >，则21x >”的否命题是：若1x ≤ ，则21x ≤ ，是假命题；对于B ：命题“若x y >，则x y >”的逆命题：若x y ＞ ，则x y ＞ ，是真命题；对于C ：命题“若1x =，则220x x +-=”的否命题若1x ≠ ，则220x x +-≠ ，是假命题；对于D ：命题“若tan x =3x π=”的逆否命题是假命题，故其逆否命题是假命题；故选B ．3．A【分析】函数y=f （x ）只有一个零点，分段函数在0x >时，2log y x = 存在一个零点为1，在0x ≤无零点，所以函数图象向上或向下平移，图像必须在x 轴上方或下方,解题中需要注意的是：题目要求找出充分不必要条件，解题中容易选成充要条件.【详解】当0x >时，y=2log x ，x=1是函数的一个零点，则当0y 2x x a ≤=-+，无零点，由指数函数图像特征可知：a≤0或a>1又题目求函数只有一个零点充分不必要条件，即求a≤0或a>1的一个真子集，故选A【点睛】本题考查函数零点个数问题，解决问题的关键是确定函数的单调性，利用单调性和特殊点的函数值的正负确定零点的个数；本题还应注意题目要求的是充分不必要条件，D 项是冲要条件，容易疏忽而出错.4．A【解析】（A ）“p 且q ”为真，则p ，q 同时为真，所以“p 或q ”为真，反之则不成立， 故“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件．故A 错误（B ）sin （α−β）=sinαcosβ−sinβcosα=sinαcosβ+cosαsinβ ．可得sinβcosα=0 ，所以只要β=kπ，k ∈Z,α 任意，或者α=2kπ+π2，k ∈Z,β任意．故B 正确．（C ）“在△ABC 中，若sinA =sinB ，则A =B ”为真命题，则其逆否命题为真命题．故C 正确．（D ）命题p ：∃x 0∈R ， 使得x 02−x 0+1＜0 ，则￢p ：∀x ∈R ， 均有x 2−x +1≥0， 正确； 故选A5．C【解析】根据点在面上的投影，D,B 在xoy 面上投影分别为（1,1,0） ，（2,，2，0），所以投影三角形面积1122=22S =⨯⨯，在面yoz 面上的投影分别为（0,1），（0,2，投影梯形面积21(21)2S =+=xoz 面上的投影分别为，，投影梯形的面积31(21)22S =+=，故123S S S <=，选C. 6．A【解析】101()101x π≤-∴≤＜，即函数y =的值域为[)0,1；故选A ．7．B【分析】当x ∈R 时，函数||()x f x a =满足0()1f x <≤，得01a <<，画出log ||a y x =，再根据对称性可得结果.【详解】当x ∈R 时，函数||()x f x a =满足0()1f x <≤，得01a <<，画出函数log ||a y x =的图象，如图中黑色的图象， 函数1log log ||a a y x x==-与log ||a y x =的图象关于x 轴对称， 得到红色颜色的图象，故答案为B ．【点睛】两个函数图象的对称性：（1）函数()y f x =的图象与()y f x =-的图象关于x 轴对称；（2）函数()y f x =的图象与()y f x =-的图象关于y 轴对称；（3）函数()y f x =的图象与()y f x =--的图象关于原点对称.8．C【解析】在ABC ∆中，tan tan cos cos tan tan cos sin cos sin C C sinC A sinC B A B C A C B⋅⋅+=+⋅⋅()()2cos sin cos sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin sinC A B B A sinC sin A B sin C C A B C A B C A B +⋅+===⋅⋅⋅⋅⋅⋅，由正弦定理得sin sin a b c A B sin C θ==，22cos sin sin cos sin C c C A B ab C∴=⋅⋅⋅，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-⋅，2222cos ,ab C a b c ∴⋅=+-2222017a b c +=，22cos 2016ab C c ∴⋅=，2222221cos 2cos 20161008c c c ab C ab C c ∴===⋅⋅，tan tan 1tan tan 1008C C A B ∴+=，故选C. 9．D【解析】由三视图知：几何体是四棱锥，其直观图如图：四棱锥的一个侧面SAB 与底面ABCD 垂直，过S 作SO AB ⊥ ，垂足为O ，SO ∴⊥底面 22ABCD SO ，=⨯底面为边长为2的正方形，∴几何体的体积12233V =⨯⨯= 故选D ． 【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的几何特征及数据所对应的几何量是关键．10．C【解析】因为椭圆是关于原点的中心对称图形，所以函数要平分椭圆的周长和面积，必须是中心对称图形，因此函数必为奇函数，选项中只有C 选项是奇函数，故选C.11．B【解析】因为c e a ==所以c =，从而22224a b a c =-=，则椭圆方程为222241x y a a +=．依题意可得直线方程为()2y k x a =-，联立2222()2{41y k x a x y a a=-+=可得22222(14)(31)0k x ax k a +-+-=设,A B 坐标分别为1122(,),(,)x y x y，则2212122(31)14k ax x x x k -+==+ 因为3AF FB =，所以1122,)3(,)x y x y --=-，从而有123x x += ① 再由3AF FB =可得3AF FB =，根据椭圆第二定义可得12)3)x x -=-，即213x x -= ② 由①②可得12,39x a x a ==，所以2221225(31)914k a x x a k -⋅==+，则22(31)5149k k -=+，解得k =0k >，所以k = B12．C 【解析】设2()23g x x x =--，由二次函数对称轴方程为1x =，又1a b <<且()()f a f b =知，()()g a g b =-，且1,11a b <--<<，化简得：22(1)(1)8,1,11a b a b -+-=<--<< 则(,)a b 的轨迹是圆上的一个部分，（黑色部分），设3u a b =+得3b a u =-+，平移3b a u =-+，当直线3b a u =-+和圆在第三象限相切时，截距最小，此时u 最小，此时圆心(1,1)到直线30a b u +-=的距离d ===即4u -4u =-或4u =+（舍），所以最小值4-【点评】本题考查带绝对值的函数，作出函数f （x ）结合已知求得22(1)(1)8,1,11a b a b -+-=<--<<，利用线性规划以及直线和圆相切的位置关系是解决本题的关键．渗透化归思想与数形结合思想，综合性较强，有一定的难度．13．233【解析】由题点M 在椭圆221369x y +=上，可设6302Mcos sin αααπ≤（，）（＜）， 则22KM NM KM KM KN KM KM KN KM ⋅=⋅-=-⋅=（），由20K （，），可得()2222224236232724132793KM KM cos sin cos cos cos ααααα==-+=-+=-+（）（），当49cos α= 时，2KM 取得最小值233故答案为233．【点睛】本题考查向量的数量积的定义和性质，考查椭圆的参数方程的运用，同时考查余弦函数的值域，其中利用椭圆参数方程设出点M 是解题的关键． 14．3. 【解析】∵l 与圆相交所得弦的长为2∴m 2＋n 2＝13≥2|mn|，∴|mn|≤16.l 与x 轴交点A(1m ，0)，与y 轴交点B(0，1n )，∴S △AOB＝12·|1m ||1n |＝12·1mn ≥12×6＝3. 15．20162017【解析】由条件*11211,,()21n n n n n b a b a b n N a ++===∈-得：112n nb b +=-，所以+111111n n b b -=---，因为112b =，所以1121b =--，故数列11n b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以2-为首项，1-为公差的等差数列，所以1=11n n b ---，1n n b n =+，201620162017b =.16．①③④⑤ 【解析】如图，当12CQ时，即Q 为CC 1中点，此时可得PQ ∥AD 1，AP=QD 1=2=，故可得截面APQD 1为等腰梯形，故④正确； 由上图当点Q 向C 移动时，满足102CQ，只需在DD 1上取点M 满足AM ∥PQ ，即可得截面为四边形APQM ，故⑤正确；③当CQ=34时，如图，延长DD 1至N ，使D 1N=12，连接AN 交A 1D 1于S ，连接NQ 交C 1D 1于R ，连接SR ，可证AN ∥PQ ，由△NRD 1∽△QRC 1，可得C 1R ：D 1R=C 1Q ：D 1N=1：2，故可得C 1R=13，故正确；②由③可知当314CQ 时，只需点Q 上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS ，显然为五边形，故错误；①当CQ=1时，Q 与C 1重合，取A 1D 1的中点F ，连接AF ，可证PC 1∥AF ，且PC 1=AF ，可知截面为APC 1F 为菱形，故其面积为11122AC PF ⋅==，故正确．故答案为①③④⑤．17．（1）1()sin()24f x x π=+（2）5[4,4]()22k k k Z ππππ++∈；3(,0)2π7(,0)2π【解析】试题分析：（1）依题意知，14A T ，π== ，易求12w = ；再由1222222k k Z （），（，）ππππϕπϕ⨯+=+∈∈- 可求得ϕ，从而可得函数解析式； （2）利用正弦函数的单调性，由13222242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈（），可求得函数的1024x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可求在[]0,4π内的对称中心．试题解析：（1）1=4==24A T ππωϕ，， ()124f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）单调递减区间为()54,422k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦对称中心为()2,02k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭则[]0,4π内的对称中心为3,02π⎛⎫⎪⎝⎭ 7,02π⎛⎫⎪⎝⎭18．(1) {}{}424m m x m -<<-⋃>（2）{}{}434t t t t -≤≤-⋃≥ 【分析】（1）若“p 且q”是真命题，则p ，q 同时为真命题，建立条件关系，即可求m 的取值范围； （2）根据q 是s 的必要不充分条件，建立条件关系，即可求t 的取值范围． 【详解】（1）若p 为真：()2114202m ∆=--⨯⨯≥ 解得1m ≤-或3m ≥若q 为真：则228280m m m ⎧>+⎨+>⎩解得42m -<<-或4m > 若“p 且q ”是真命题，则13424m m m m ≤-≥⎧⎨-<-⎩或或解得42m -<<-或4m >（2）若s 为真，则()()10m t m t ---<，即1t m t <<+ 由q 是s 的必要不充分条件，则可得{|1}m t m t <<+ ⊂≠ {|42m m -<<-或4}m >即412t t ≥-⎧⎨+≤-⎩或4t ≥解得43t -≤≤-或4t ≥19．（1）πC 3=（2）【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式对原等式化简可求得cosC 的值，进而求得C ． （2）对原等式平方，利用向量的数量积的运算公式求得关于a 和b 的关系式，进而利用基本不等式求得ab 的范围，进而求得三角形面积的最大值． 试题解析：（1）由2C 4cosC cos2C 4cosCcos2+=得 ()24cosC 2cos C 12cosC 1cosC +-=+解得1cosC 2=， 由0C π<<，所以C 3π=（2）取C B 中点D ，则1C C 2D 2A -B ==A 在DC ∆A 中，222D C CD 2C CDcosC A =A +-A ⋅ （注：也可将1C C 2D 2A -B ==A 两边平方） 即22422a ab b ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2422ab ab ≥-=， 所以8ab ≤，当且仅当4a =，2b =时取等号此时C 1sinC 2S ab ∆AB ==，其最大值为20．（1）证明见解析（2）3【分析】（1）先证明AC ⊥平面PBC ，然后可得平面EAC ⊥平面PBC ；（2）建立坐标系，根据二面角P AC E --可得PC 的长度，然后可求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.【详解】（1）PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，得AC PC ⊥.又1AD CD ==，在Rt ADC ∆中，得AC =，设AB 中点为G ，连接CG ，则四边形ADCG 为边长为1的正方形，所以CG AB ⊥，且BC =因为222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥， 又因为BC PC C ⋂=，所以AC ⊥平面PBC ， 又AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC .（2）以C 为坐标原点，分别以射线CD ､射线CP 为y 轴和z 轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，则()0,0,0C ，()1,1,0A ，()1,1,0B -.又设()()0,0,0P a a >，则11,,222a E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,1,0CA =，()0,0,CP a =，11,,222a CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1,1,PA a =-.由BC AC ⊥且BC PC ⊥知，()1,1,0m CB ==-为平面PAC 的一个法向量. 设(),,n x y z =为平面EAC 的一个法向量，则0n CA n CE ⋅=⋅=，即00x y x y az +=⎧⎨-+=⎩，取x a =，y a =-，则(),,2n a a =--，有2cos ,3m n m n m na ⋅===⋅，得2a =，从而()2,2,2n =--，()1,1,2PA =-. 设直线PA 与平面EAC 所成的角为θ，则sin cos ,n PA n PAn PAθ⋅==⋅3==. 即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为3. 【点睛】本题主要考查空间平面与平面垂直及线面角的求解，平面与平面垂直一般转化为线面垂直来处理，空间中的角的问题一般是利用空间向量来求解. 21．（1）229161x y +=（2）2MON π∠=【解析】试题分析：（1）由已知得212232a b =＝，， 由此能求出椭圆C 的方程． （2）当直线MN x ⊥ 轴时，2MON π∠＝ ．当直线MN 与x 轴不垂直时，设直线MN y kx b =+：， 直线MN 与与圆22125O x y +：＝ 的交点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由直线MN 与圆O 相切，得22251b k =+ ，联立229161y kx bx y +⎧⎨+⎩＝＝ ，得（222916321610k x kbx b +++-=） ，由此能证明2MON π∠＝ 为定值．试题解析：1）由题意得 21112,2,,3234a b a b ==∴== 229161x y ∴+=（2）当直线l x ⊥轴时，因为直线与圆相切，所以直线l 方程为15x =± 当1:5l x =时，得M 、N 两点坐标分别为1111,,,5555⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 0,2OM ON MON π∴⋅=∴∠=当1:5l x =-时，同理2MON π∠=； 当l 与x 轴不垂直时，设()()1122:,,,,l y kx m M x y N x y =+，由15d ==, 22251m k ∴=+,联立229161y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得()222916321610k x kmx m +++-= ()()()222122323249161610,916km km km x x k ∆=-+->+=-+，2122161916m x x k-=+， ()()22121212121OM ON x x y y k x x km x x m ∴⋅=+=++++=2222510916m k k--=+ 2MON π∴∠=综上，2MON π∠=（定值）【点睛】本题考查椭圆方程的求法，角为定值的证明，线段的取值范围的求法等.解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用． 22．（1）见解析（2）存在正整数=1λ 【解析】试题分析：（1）利用 1n 2n n n a S S -=-≥（）可得()()1131122,-22222n n n n n n n a a n a a n --=-≥=-≥变形得（）可证12n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，则通项公式可求；（2）由（1） n-1*12+n 2n n a N =∈，代入322n n n S a =-可得12,2n n nS =- ，则通过计算得1-11-=2+0,2n n n n S S -> {}n n 2n 12b ==21n n S S -为递增数列，令，则nn nn 2b =2-12+1（）（），则 n n n n n-1n211b (22-1222-12-1n <=-≥-（）（） ，计算可得1121n 12n n 214241111191191=b =2=b n 3T =b +b ++b +++-+=-31531537715152115n T n T ==≥≤-<-当时，，当时，当时，，min 381,=145m n T S 存在λ<<∴ 试题解析：（1）证明32,2n n n S a =-11132n 2,2n n n S a （）---∴=-≥ 作差得()()1131122,-22222n n n n n n n a a n a a n --=-≥=-≥变形得（）∴ 12n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为首项为1，公比为2等比数列∴ n-1*12+n 2n n a N =∈， （2） n-1*12+n 2n n a N =∈，代入32,2n n n S a =-得12,2nn n S =-11-11111-2-2=2+0,222n n n n n n n n S S （）---=-->{}nn 2n 12b ==21n n S S 为递增数列，令∴-n nn 2n nn22b ==212-12+1-（）（）()n n-1n n n n n-1n-1n 2211b 22-1222-1212-12-1n ∴<==-≥--（）（）（）（）11212n 12n n 224141=b =2=b +b =+=331515241111n 3T =b +b ++b +++-+3153771519119=-152115n T n T ==≥≤-<-当时，，当时，当时，， min 1938151,=13452m n T S λ<=<∴存在 ∴存在正整数=1λ，对任意*m n ,,-0m n N T S λ∈<不等式恒成立。