北京科技大学 概率论与数理统计习题

−∞ −∞
0
∞
∞
1 D 2 x+ y =1
y 1
1
1 ∫ y y 2 dx = 2 1−
2
0
1 x
DX = EX − (EX )
2
∞ ∞
2
1 = , 18
1
5 EXY = ∫ dx ∫ xyf ( x , y )dy = ∫ dx ∫ xy 2 dy = 12 −∞ −∞ 0 1− x
1 5 2 2 =− COV ( X , Y ) = EXY − EXEY = − × 36 12 3 3
解：
e − y , y > 0, fY ( y) = 0, 其它.
1 0
= ∫ e − y dy = 1 − e −1 P { X 1 = 0, X 2 = 0} = P {Y ≤ 1, Y ≤ 2}
P { X 1 = 0, X 2 = 1} = P {Y ≤ 1, Y > 2} = P (φ ) = 0 P { X 1 = 1, X 2 = 0} = P {Y > 1, Y ≤ 2} = ∫ e − y dy = e −1 − e −2
pi .
1 4 3 4
x1 x2 p. j
1
1
24
8
3
1
6
8 1 2
1
例3 已知 X,Y 的分布率如下
−1 0 1 X ~ 1 1 1 2 4 4
0 1 Y ~ 1 1 且 2 2
P{ XY = 0} = 1
的联合分布率；（ ；（2） 是否独立。 求：（1）X ,Y 的联合分布率；（ ） X 与 Y 是否独立。 ：（ ） 解：
1
2, ( x , y ) ∈ D, f ( x, y) = 0, 其它.
x+ y =1 0 1
D
x
DU = D ( X + Y ) = DX + DY + 2COV ( X , Y )
EX =
∞
−∞
∞
∫ dx
∞
−∞
∞
∫
xf ( x , y )dy = dx ∫ yf ( x , y )dy = ∫ dy
1 2
例7（续） （ ∞ P { X 1 = 1, X 2 = 1} = P {Y > 1, Y > 2} = ∫ e − y dy = e −2
2
X 1X2
0
0
1
−1 −2
pi .
1−e e
−1
0
1 − e−1 e−1
1
1
pj.
−e
e −2
1 − e−2
DX 1 DX 2
e−2
=
e−1e−2 (1 − e−1 )(1 − e−2 ) −2 = 1 × 1 × P { X 1 = 1, X 2 = 1} = e , EX 1 X 2 EX2 = e−2 , EX1 = e−1 , DX1 = e−1 (1 − e−1 ), DX2 = e−2 (1 − e−2 )
0
1 1 4
0
1 2 1 2
1
p j.
4 1 2
1 4 3 4
y
1 x= y
x = 2y
1
2 x
1 1 由于 P {U = 0,V = 1} = 0 ≠ P{U = 0}P{V = 1} = × , 4 2
所以 U , V 不独立 .
例5 若 X ~ N ( µ , σ 2 ), Y ~ N ( µ , σ 2 ), 且它们独立， 且它们独立，
2 x
1 P {U = 0,V = 0} = P{ X ≤ Y , X ≤ 2Y }= P{ X ≤ Y } = 4
P {U = 0,V = 1} = P{ X ≤ Y , X > 2Y } = P (φ ) = 0
例4（续） （ 1 P {U = 1,V = 0} = P { X > Y , X ≤ 2Y }= P {Y < X ≤ 2Y } = 4 1 P{U = 1,V = 1} = P{ X > Y , X > 2Y } = P{ X > 2Y } = 2 V pi . 0 1 U
1 2π 2σ
e
−
dz = ∫ 2 z
0
∞
2π 2σ
∞
e
dz
z 作变换 t = 2σ
E Z = ∫ 2σ t
0
∞
1
πσ
e
−t
2
2σ dt = −
2σ
π
∫ de
0
−t 2
=
2σ
π
例5（续） （
EZ =
2
∞
−∞
∫z
2
1 2π 2σ
∞
−
z2 4σ 2
e
dz
(作变换t =
z 2σ
)
= 2σ
2
−∞
2
∫
t
2
1 2π
ρX X
1
2
=
EX 1 X 2 − EX 1 EX 2
e−2 − e−1e−2
例8 已知EX = −2, EY = 2, DX = 1, DY = 4, 则根据切比雪夫不等式有 1 12 P {| X + Y |≥ 6} ≤ ________ . 解： E ( X + Y ) = EX + EY = 0,
2
e
t2 − 2
dt = 2σ 2
D Z = E Z − ( E Z )2
2σ = 2σ − π 2 2 = 2σ (1 − )
2
π
例6 某工厂的自动生产线加工的某零件的内径 X （单 规定该零件的内径小于10 位：mm）服从 N ( µ , 1), 规定该零件的内径小于 ） mm或大于 mm时为不合格品，其余的情形为合格 或大于12 时为不合格品， 或大于 时为不合格品 有如下关系： 品。又已知该零件的销售利润 Y 与 X 有如下关系：
求： E | X − Y |, D | X − Y | .
解：由于 X , Y 独立，所以， Z = X − Y ~ N (0,2σ 2 ). 独立，所以， 2
Z 的概率密度为 f ( z ) =
1 2π 2σ
z2 4σ
2
−
z
e
4σ 2
,−∞ < z < ∞ .
1
− z2 4σ 2
EZ =
∞
−∞
∫z
1 1 × 3 2 1 1 1 1 × + 3 × 0+ 3 × 1 3 2
1 = . 3
2 P (C | D ) = . 3
所以应该改变决定，去选 门 所以应该改变决定，去选C门。
填空。 独立， 例2 填空。已知 X, Y 独立，联合分布率与边缘分 布率如下
X Y y1
y2
1 8
y3
1 12 1 4 1 3
X −µ ,V = Y −µ
u<v u > vu
且
σ σ E max( X , Y ) = E max(σ U + µ , σ V + µ )
独立， , 则 U，V 独立，都服从 N (0,1).
= σ E max(U , V ) + µ E max(U , V ) =
1 = ∫ du ∫ u e 2π −∞ −∞
ρ XY = −0.5,
D( X + Y ) = DX + DY + 2 ρ XY DXDY
= 1 + 4 − 2 × 0.5 × 2 = 3
P {| X + Y |≥ 6} ≤ 3 2
6
P{| X − µ |≥ ε } ≤ σ / ε
2
2
例9 设随机变量 X 和 Y 的联合分布在点 ( 0 ,1), (1,0 ), (1,1)为顶点的三角形区域 D 上服从均匀分布， 上服从均匀分布， y 的方差。 试求随机变量 U = X + Y 的方差。 解：( X , Y ) 的概率密度为
1 DY = EY − ( EY ) = 18 1
2
DU = DX + DY + 2COV ( X , Y )
= 1 1 1 1 + − 2× = 18 18 36 18
独立， 例10 设 X , Y 独立，都服从 N ( µ , σ 2 ).
v
证明： 证明：
令U =
σ . 试证 E max( X , Y ) = µ + π
dv =
2 2π 2
∞
−∞
∫ ue
∞ −∞
u2 − 2
du
−∞
∫
u
1 2π
u2 − 2
e
v2 − 2
dv
−∞
∫ ue
u2 − 2
Φ ( u )du = −
u2 − 2 ∞ −∞
2π
∞
∫ Φ ( u )de
dΦ ( u )
=−
Φ ( u )e
+
e
2 2π
u2 − 2
−∞
∫e
u2 − 2
= 0+
2 2π
在一著名的电视节目里，台上有三扇门，记为A， 例1 在一著名的电视节目里，台上有三扇门，记为 ， B，C，其中有两扇门后没有奖品，而第三扇门后有 ， ，其中有两扇门后没有奖品， 大奖。 大奖。
A B C
请你猜哪扇门后有奖。 请你猜哪扇门后有奖。 若你选择了A，在门A被打开之前 被打开之前， 若你选择了 ，在门 被打开之前，主持人打开 了另外两扇门中的一扇，比如是B，发现门后什么都 了另外两扇门中的一扇，比如是 ， 没有。 问你是否改变决定（ 门到C门 没有。 问你是否改变决定（从A门到 门）？ 门到 解： A、B、C 分别表示 A门、B门、C门后有奖事件 , 设