裂项放缩证明数列不等式

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放缩法证明不等式

高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

高中数学数列与不等式综合问题放缩法

数列与不等式综合问题一裂项放缩放缩法证明与数列求和有关的不等式中，很多时候要留一手，即采用有保留的方法，保留数列第一项或前两项，从数列第二项或第三项开始放缩，这样才不至于结果放得过大或过小。

常见裂项放缩技巧：例1 求证（1）变式训练 [2016·湖南怀化质检]设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *. 求数列{a n }的通项(1)公式；(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n<74. [2014·广东高考]设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1?a 1＋1?＋1a 2?a 2＋1?＋…＋1a n ?a n ＋1?<13. 二等比放缩（一般的，形如的数列，求证都可以等比放缩）例4 [2014·课标全国卷Ⅱ]已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n<32. 变式训练【2012.广东理】已知数列{a n }满足111221,1n n n s a a ++=-+=（1）求{a n }的通项公式2311111()21212121n n *++++<∈++++N 例求证：,n n n n n a a b a a b =-=-12111....nk a a a +++<231111+++......+12222n<（2）证明：对一切正整数n ，都有121113 (2)n a a a +++< 三伯努利不等式应用及推广对任意的实数()()*1,11nx x nx n N >-+≥+∈有伯努利不等式例：求证()1111+11+1....13521n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++> ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭变式训练【2008，福建理】已知函数()()ln 1f x x x =+-（1）求f （x ）的单调区间（2）记f （x ）在[]()0,n n N ∈上的最小值是n b ，令()ln 1n n a x b =+-，求证1313211224242......1...n na a a a a a a a a a a a -+++< 伯努利不等式的推广对任意的实数，例，【2006，江西理】已知数列{a n }满足()11133,2221n n n na a a n a n --==≥+- （1）已知数列{a n }满足（2）证明：对于一切正整数n ，不等式123...2!n a a a a n <恒成立。

利用放缩法证明数列型不等式

1 n(n 1)
1 n
-
1 n1
Sn
(1 1
1) 2
(1 2
1) 3
(1 n
1) n1
1
1 n
1
1
小结:可求和先求和，先裂项后放缩。
（2）先放缩后裂项
变式1.已知数列an 的通项公式为an
1 n2
, 且an 的前n项和为Sn，
求证 : Sn 2.
解析: an
1 n2
1 n(n 1)
(n 2)
3 2
.
解析 : 3n
-
2n
(1
2)n
2n
1
C
1 n
2
C
2 n
22
C
n n
2n
2n
C
2 n
22
2n(n
1)
(n 3)
1
1
1 1 1
3n
- 2n
2n(n 1)
2
(n
1)
n
(n 3)
当n
1时，S1
1
3 2
当n
2时，S 2
1
1 5
3 2
当n
3时，Sn
1
1 5
1 2
(1 2
1) 3
1 2
1
3 2
当n
2时，Sn
1
1 31
1 32
1 33
1 3n1
1
(1
1 3n
1 1
)
3 2
(1
1 3n
)
3 2
3
小结:先放缩构造成等比数列，再求和，最后二次放缩.
3.二项式定理放缩

巧用放缩法证明数列不等式

证明数列不等式问题一般较为复杂.解答这类问题的常用方法是放缩法，通常要灵活运用数列的定义、性质、通项公式、前n 项公式对不等式进行变形、化简，再运用不等式的性质对数列不等式进行适当的放缩.而证明数列不等式的关键是对不等式进合理的放缩，下面重点谈一谈运用放缩法证明数列不等式的几个技巧.一、通过裂项进行放缩有些数列不等式中的各项为分式，通过变形可裂为两项之差的形式，此时可利用裂项求和法来求得数列的和，再对其进行放缩，从而证明不等式.有时数列的通项公式不能直接裂项，可先将其进行适当的放缩，再进行求和.例1.求证：∑k =1n1k2≤53.证明：因为1k 2=44k 2<44k 2-1=2æèöø12k -1-12k +1，所以∑k =1n 1k 2=1+∑k =2n 1k 2<1+∑k =2n2æèöø12k -1-12k +1=1+2æèöø13-15+15-17+⋯+12n -1-12n +1=1+2æèöø13-12n +1<1+23=53.该数列的通项公式为分式，可根据不等式的可加性和传递性，将其放缩44k 2-1，再将其裂项为2æèöø12k -1-12k +1，这样便可运用裂项相加法求得数列的和，运用放缩法快速证明不等式.二、利用基本不等式进行放缩若a 、b >0，则a +b ≥2ab ，该式称为基本不等式.运用基本不等式可快速将两式的和或积放大或缩小.在运用基本不等式进行放缩时，要注意三个条件“一正”“二定”“三相等”.需根据已知的关系式或目标式，合理配凑出两式的和或积，并使其一为定值.在证明数列不等式时，有时要用到基本不等式的变形式，如a +b +c ≥3abc 3、a 21+a 22+⋯+a 2nn≥a 1a 2⋯a n n 等，对所要证明的不等式进行放缩.例2.设S n =1×2+2×3+⋯+n ()n +1，求证：n ()n +12<S n <()n +122.证明：设a k =k ()k +1(k =1,2,⋯,n )，因为k <k ()k +1<k +k +12=k +12，所以∑k =1n k <∑k =1n k ()k +1<∑k =1n(k +12)，即n ()n +12<S n <n ()n +12+n 2<()n +122.该数列中含有根式,很难快速求得数列的和，于是将其通项看作两式的积，构造出两式的和式，便可利用基本不等式将数列中的每一项进行放缩，再根据等差数列的前n 项和公式进行求解，即可证明不等式.三、根据数列的单调性进行放缩数列具有单调性，所以在证明数列不等式时，可根据不等式的特点找出其中的通项公式，通过作差或作商来判断数列的单调性.若a n ≥a n +1，则该数列单调递增，若a n ≤a n +1，则该数列单调递减，即可利用数列的单调性来放缩不等式.例3.求证：12≤1n +1+1n +2+⋯+1n +n <710(n ∈N *).证明：令S n =1n +1+1n +2+⋯+1n +n ，则S n +1-S n =æèöø1n +2+1n +3+⋯+1n +n +1n +n +1-æèöø1n +1+1n +2+⋯+1n +n =14æèöøn +12()n +1>0.可知数列{}S n 单调递增，因此S n ≥S 1=12.又因为S n +1-S n =14æèöøn +12()n +1<14æèöøn +14æèöøn +54=14×æèççççöø÷÷÷÷1n +14-1n +54=14n +1-14n +5,即S n +14n +1>S n +1+14n +5，可知数列{}S n +14n +1单调递减，所以S n +14n +1≤S 1+14+1=710.综上可得12≤S n <710，即12≤1n +1+1n +2+⋯+1n +n <710.总之，运用放缩法证明数列不等式，关键是对数列的通项公式、和式进行合理的放缩.同学们可根据目标不等式的结构特点，对通项公式进行裂项，也可利用基本不等式，还可以根据数列的单调性来进行放缩.（作者单位：江西省临川第二中学）解题宝典41。

例谈放缩法证明不等式的基本策略

03
放缩法证明不等式的案例分析
案例一：利用逐步调整法证明不等式
总结词
详细描述
逐步调整法是一种通过逐步调整不等式的两边，以达到证明不等式目的的方法。
逐步调整法通常需要找到一个可调整的不等式，通过逐步调整该不等式的两边，使不等式的左边逐渐增大，右边逐渐减小，从而证明原不等式成立。
实例
例如。要证明 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n} > \ln(n + 1)$。可以先从左边减去 $\frac{1}{n}$。再从右边加上 $\frac{1}{n}$
构造函数法
总结词
构造函数法是一种通过构造满足某种性质的函数或序列，从而证明不等式的方法。
详细描述
构造函数法的核心思想是，根据题目条件和目标形式构造一个满足特定性质的函数或序列。通过对这个函数或序列的分析和计算，达到证明不等式的目的。构造函数法在函数不等式证明中较为常用。
示例
例如，在证明“当$x > 0$时，$e^{x} > x + 1$”时，可以使用构造函数法进行
• 示例：例如，在证明$\sqrt{2} < 1 + \frac{1}{n}$时，可以通过逐步调整法进行调整 • 首先，我们将不等式的两边同时加上$1 - \sqrt{2}$，得到$1 - \sqrt{2} < \frac{1}{n}(1 - \sqrt{2})$。 • 然后，我们将左边的不等式两边平方，得到$(1 - \sqrt{2})^{2} < \frac{1}{n}(1 - \sqrt{2})^{2}$。 • 进一步展开$(1 - \sqrt{2})^{2}$，得到$3 - 2\sqrt{2} < \frac{3}{n} - 2\sqrt{2}$。 • 最后，我们将右边的不等式两边除以$n$，得到$\frac{3}{n} < \frac{3}{n} + \frac{2\sqrt{2}}{n}$。 • 整理后，得到$\frac{3}{n} < 3 + 2\sqrt{2}$，从而证明了原不等式。

几种常见的放缩法证明不等式的方法

几种常见的放缩法证明不等式的方法一、放缩后转化为等比数列。

例1. {}n b 满足：2111,(2)3n n n b b b n b +≥=--+（1）用数学归纳法证明：n b n ≥ （2） 1231111...3333n n T b b b b =++++++++，求证：12n T < 解：(1)略(2)13()2(3)n n n n b b b n b ++=-++ 又 n b n ≥132(3)n n b b +∴+≥+ ， *n N ∈迭乘得：11132(3)2n n n b b -++≥+≥*111,32n n n N b +∴≤∈+ 234111111111...2222222n n n T ++∴≤++++=-< 点评：把握“3n b +”这一特征对“21(2)3n n n b b n b +=--+”进行变形，然后去掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。

这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳法，似乎是不可能的,为什么？值得体味！二、放缩后裂项迭加例2．数列{}n a ，11(1)n n a n +=-，其前n 项和为n s 求证：22n s <解：2111111...234212n s n n =-+-++-- 令12(21)n b n n =-，{}n b 的前n 项和为n T 当2n ≥时，1111()2(22)41n b n n n n ≤=--- 2111111111111()()...()2123043445641n n s T n n∴=≤+++-+-++--712104n =-< 点评:本题是放缩后迭加。

放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手法。

值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。

例3.已知函数()(0)b f x ax c a x=++>的图象在(1,(1))f 处的切线方程为 1y x =-（1）用a 表示出,b c（2）若()ln f x x ≥在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围（3）证明：1111...ln(1)232(1)n n n n ++++>+++ 解：（1）（2）略（3）由（II ）知：当)1(ln )(,21≥≥≥x x x f a 有时令).1(ln )1(21)(,21≥≥-==x x xx x f a 有且当.ln )1(21,1x xx x >->时令)],111()11[(21]11[211ln ,1+--+=+--<++=k k k k k k k k k x κ有即.,,3,2,1),111(21ln )1ln(n k k k k k =++<-+ 将上述n 个不等式依次相加得,)1(21)13121(21)1ln(++++++<+n n n 整理得 .)1(2)1ln(131211+++>++++n n n n 点评：本题是2010湖北高考理科第21题。

放缩法技巧全总结

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求∑=-nk k12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n nn(2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n nC Tr rrn r (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n n n (5)nn n n 21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8)nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+- (9)⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1(10)!)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11))2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n nn n n n n n n n n n n n(12)111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n 11112111111+--<-++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n(13)3212132122)12(332)13(2221n n nn n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14)!)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15))2(1)1(1≥--<+n n n n n(15)111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i j i j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:nn 412141361161412-<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以)12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni(2))111(41)1211(414136116141222nn n -+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先nn n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面:1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n 当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n例 4.(2008年全国一卷) 设函数()ln f x x x x =-.数列{}n a 满足101a <<.1()n n a f a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a b k a b-≥.证明:1k a b +>.解析:由数学归纳法可以证明{}n a 是递增数列,故存在正整数k m ≤,使b a m ≥,则b a a k k ≥>+1,否则若)(k m b a m ≤<,则由101<<≤<b a a m 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,∑=+-=-=k m m m k k k k a a a a a a a111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a a km m m <∑=,于是b a b a b a k a a k =-+≥+>+)(|ln |11111例5.已知m m m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证: 1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nx x n +≥+1)1(∑=++++++++--=-++---+--=nk m m m m m m m m k k n n n nn111111111])1([01)2()1()1( 所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--nk m m m m m m m m m n k m n k m m k k n n n n n k m k k 111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([ 故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m nk m nk m m k k k m k k 1111111])1[()1(])1([,即等价于m m m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kk m k k m而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知n n n a 24-=,nn na a a T +++=212,求证:23321<++++nT T T T .解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n n nn n n nT -+-=-----=+++-++++=所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n n nn T⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--⋅⋅=+12112123)12)(122(2231n n nn n 从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n nT T T T 例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+证明:nnn n n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为 12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n n x x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n∈+-<++++ .解析:先构造函数有xxx x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln nn n n +++--<++++因为⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 311212191817161514131213131216533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nn例9.求证:(1))2()1(212ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n n n ααααααα解析:构造函数xx x f ln )(=,得到22ln ln n n n n≤αα,再进行裂项)1(1111ln 222+-<-≤n n n n n ,求和后可以得到答案函数构造形式: 1ln -≤x x ,)2(1ln ≥-≤αααn n例10.求证:nn n 1211)1ln(113121+++<+<++++ 解析:提示:2ln 1ln 1ln 1211ln )1ln(++-++=⋅⋅-⋅+=+ n n nn n n n n n当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数xx f 1)(=,首先:⎰-<n in ABCFx S 1,从而,)ln(ln |ln 11i n n x x i n n i n ni n --==<⋅--⎰ 取1=i 有,)1ln(ln 1--<n n n,所以有2ln 21<,2ln 3ln 31-<,…,)1ln(ln 1--<n n n ,n n n ln )1ln(11-+<+,相加后可以得到: )1ln(113121+<++++n n另一方面⎰->n i n ABDExS 1,从而有)ln(ln |ln 11i n n x x i i n n i n ni n --==>⋅---⎰取1=i 有,)1ln(ln 11-->-n n n ,所以有nn 1211)1ln(+++<+ ,所以综上有nn n 1211)1ln(113121+++<+<++++例11.求证:e n <+⋅⋅++)!11()!311)(!211( 和e n <+⋅⋅++)311()8111)(911(2 . 解析:构造函数后即可证明例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n 解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到:12111)('--=--=x x x x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n 所以211ln -≤+n n n,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n例14. 已知112111,(1).2n n na a a n n+==+++证明2n a e <. 解析:nn n n n a n n a n n a )21)1(11(21))1(11(1+++<+++=+, 然后两边取自然对数,可以得到nn n a n n a ln )21)1(11ln(ln 1++++<+ 然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路：⇒+++≤+n nn a n n a )2111(21⇒++++≤+n n n a n n a ln )2111ln(ln 21 nn n n a 211ln 2+++≤。

(完整版)裂项相消和放缩法解数列专题

数列专题3一、裂项求和法裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：通项为分式结构，分母为两项相乘，型如：11+•n n a a ， }{n a 是0≠d 的等差数列。

常用裂项形式有：；111)1(1+-=+n n n n 1111()()n n k k n n k =-++；)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-n n n n n ； ])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-n n n n n n n ； )(11b a ba b a --=+； )(11n k n k n k n -+=++特别地：n n nn -+=++111 二、用放缩法证明数列中的不等式将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的方法，叫放缩法。

1.常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，其基本结构形式有如下4种：①1n i i ak =<∑（k 为常数）；②1()n i i a f n =<∑；③1()n i i a f n =<∏；④1ni i a k =<∏（k 为常数）. 放缩目标模型→可求和（积）→等差模型、等比模型、裂项相消模型2.几种常见的放缩方法（1）添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1(（2）将分子或分母放大（或缩小） ①n n n n n 111)1(112--=-< ； 111)1(112+-=+>n n n n n（程度大） ②)1111(21)1)(1(111122+--=+-=-<n n n n n n )2(≥n （程度小） ③1111111121312111<+=++++++≤+++++++n n n n n n n n n 或21221212121312111==+++≥+++++++n n n n n n n n n ④n n n n n n n ==+++>++++111131211 ⑤平方型：)121121(2144441222+--=-<=n n n n n ； )111(41)1(41441)12(122nn n n n n n --=-=-<- ⑥立方型：])1(1)1(1[21)1(1123+--=-<n n n n n n n )2(≥n ⑦指数型： )1()(111≥>-≤--b a b a a b a n n n ；)1()(111≥>-≤--b a b a a b a n n ⑧kk k k k 21111<++=-+； ⑨利用基本不等式，2)1()1(++<+n n n n ，如：4lg 16lg 15lg )25lg 3lg (5lg 3log 2=<=+<⋅（一）放缩目标模型可求和—等比数列或等差数列例如：（1）求证：)(121212121*32N n n ∈<++++ .（2）求证：)(1121121121121*32N n n ∈<++++++++ .（3）求证：)(22323222121*32N n n n n ∈<++++++++ .总结：放缩法证明与数列求和有关的不等式，若1n i i a =∑可直接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和的，一般要先将通项n a 放缩后再求和.问题是将通项n a 放缩为可以求和且“不大不小”的什么样的n b 才行呢？其实，能求和的常见数列模型并不多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项相消模型等. 实际问题中，n b 大多是等比模型或裂项相消模型.（1）先求和再放缩例1.设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a n ＋12－4n －1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列．(1)证明：2a =(2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<.（2）先放缩再求和例如：求证：)(2131211*222N n n∈<++++.例如：函数x x x f 414)(+=，求证：)(2121)()2()1(*1N n n n f f f n ∈-+>++++ .例2.设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足，且a 1，a 2+5，a 3成等差数列．（1）求a 1的值；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）证明：对一切正整数n ，有．总结：一般地，形如n n n b a a -=或b a a n n -=（这里1≥>b a ）的数列，在证明k a a a n<+++11121。

数列中的不等式的证明

数列中的不等式的证明证明数列中的不等式的一般方法包括数学归纳法和放缩法。

数学归纳法可以直接应用于正整数相关的命题，包括数列不等式。

但有些数列不等式必须经过加强后才能使用数学归纳法证明。

放缩法包括单项放缩、裂项放缩、并项放缩、舍（添）项放缩、排项放缩和利用基本不等式放缩。

能用排项放缩证明的数列不等式必能直接应用数学归纳法证明，反之亦然。

第一种证明方法是直接应用数学归纳法。

例如，对于函数$f(x)=-x+ax$在$(0,1)$上为增函数的情况，可以通过数学归纳法求出实数$a$的取值集合$A$，并比较数列$\{a_n\}$中相邻两项$a_{n+1}$和$a_n$的大小。

另一个例子是已知数列$\{a_n\}$中$a_1=2$，$a_{n+1}=(2-1)(a_n+2)$，可以求出数列的通项公式，并证明$2<b_n\leq a_{4n-3}$，其中$b_n=3a_{2n+1}/(2a_{2n}+3)$。

第二种证明方法是放缩法。

例如，已知数列$\{a_n\}$中$a_n+(a_{n+1}+2)a_n+2a_{n+1}+1=3$，$a_1=-2$，可以证明$-1a_{2n-1}$。

另一个例子是已知函数$f(x)=ax-x$的最大值不大于$/428$，且在$x\in[1,1]$时$f(x)\geq11/428$，可以求出$a$的值，并证明$a_n<2n+111$，其中$a_{n+1}=f(a_n)$。

综上所述，证明数列中的不等式可以通过数学归纳法和放缩法两种方法进行。

具体方法包括直接应用数学归纳法、加强命题后应用数学归纳法、单项放缩、裂项放缩、并项放缩、舍（添）项放缩、排项放缩和利用基本不等式放缩。

在使用放缩法时，需要根据具体情况选择合适的方法进行证明。

1.若数列{b_n}中b_1=2，b_{n+1}=\frac{3-b_n}{2}，证明b_n>0且b_n<\frac{2}{3}。

2.用数学归纳法证明：对于任意正整数n，有1+2+3+\cdots+n\leq n^2.3.已知a_1=1，a_{n+1}=\sqrt{a_n+6}，证明a_n<3.4.设数列{a_n}的通项公式为a_n=\frac{1}{n(n+1)}，求证\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln(n+1)<1.5.已知数列{a_n}为等差数列，数列{b_n}为等比数列，且a_1=b_1，a_2=b_2，a_3=b_3，求证a_n\leq b_n。

高中数学讲义：放缩法证明数列不等式

放缩法证明数列不等式一、基础知识：在前面的章节中，也介绍了有关数列不等式的内容，在有些数列的题目中，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。

本节通过一些例子来介绍利用放缩法证明不等式的技巧1、放缩法证明数列不等式的理论依据——不等式的性质：（1）传递性：若,a b b c >>，则a c >（此性质为放缩法的基础，即若要证明a c >，但无法直接证明，则可寻找一个中间量b ，使得a b >，从而将问题转化为只需证明b c >即可）（2）若,a b c d >>，则a c b d +>+，此性质可推广到多项求和：若()()()121,2,,n a f a f a f n >>>L ，则:()()()1212n a a a f f f n +++>+++L L （3）若需要用到乘法，则对应性质为：若0,0a b c d >>>>，则ac bd >，此性质也可推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同2、放缩的技巧与方法：（1）常见的数列求和方法和通项公式特点：① 等差数列求和公式：12nn a a S n +=×，n a kn m =+（关于n 的一次函数或常值函数）② 等比数列求和公式：()()1111n n a q S q q -=¹-，n n a k q =×（关于n 的指数类函数）③ 错位相减：通项公式为“等差´等比”的形式④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项（2）与求和相关的不等式的放缩技巧：① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方向）③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。

数列放缩通项证明不等式与数列不等式恒成立问题(解析版)

数列放缩通项证明不等式与数列不等式恒成立问题数列通项放缩问题是放缩问题的常考类型，相较于求和之后再比较大小的题型而言，这一部分对放缩对象的处理需要一定的技巧，因而对很多学生来说具有挑战性，是数列放缩中的难点. 此节中，我将分为如下几个点展开：第一，将通项放缩为可裂项的结构，然后裂项求和；第二，将通项放缩为等比结构（等差比结构）然后错位相减求和，总之，处理的基本原则就是将不可求和放缩成可求和再求和放缩. 当然，下面的这些常见的裂项公式与放缩公式需要注意.目录题型一通项放缩 (3)题型二与导数结合的放缩 (8)题型三数列恒成立问题 (9)1．常见的裂项公式：必须记例如：n n n n n )1(11)1(12−<<+或者12112−+<<++n n n n n 等 2.一个重要的指数恒等式：n 次方差公式123221()().n n n n n n n a b a b a a b a b ab b −−−−−−=−+++++这样的话，可得：1)(−−>−n n n a b a b a ，就放缩出一个等比数列. 3.糖水不等式：设0,0>>>c m n ，则cn cm n m ++<. 4.利用导数产生数列放缩：由不等式1ln −≤x x 可得：+∈<+<+N n nn n ,1)11ln(11.常见放缩公式：（太多了，不一定要全部记，自行选择）一、等差型（1）()()21111211<=−≥−−n n n n n n；（2）()2111111>=−++n n n n n ；（3）2221441124412121 =<=− −−+n n n n n ；（4）()()()11!111112!!!11+=⋅=⋅<<=−≥−−−rr n r r n T C r n r n r n r r r r r；二、根式型（5(()22=<=+≥n ；（7(2>=；（8<2=−()22<−≥n；（9<)2==≥n ；三、指数型（10）()()()()()()()1211222211212121212122212121−−−=<==−−−−−−−−−−nn n n n n n n n n n n n()2≥n ；（11）()1111111312231+<+++++< ××−nn n n ；（12）()()01211122221111111=<==−−++−+++−n n n n n C C C n n n n ；（13）()()()111121122121212121−−−<=−≥−−−−−n nn n n n n ．（14）=<<．（2021浙江卷）已知数列{}n a满足)111,N n a a n ∗+==∈.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（） A ．100332S << B ．10034S << C ．100942S << D ．100952S <<解析：由211111124n n n a a a ++ ==−2111122n a +∴<+⇒<12<11122n n −++=，当且仅当1n =时取等号，112311n n n n a n a a a n n ++∴≥∴=≤=+++. 一方面：252111)1(41002>⇒+−+>+>S n n n a n . 另一方面113n n a n a n ++∴≤+，由累乘法可得6(1)(2)n a n n ≤++，当且仅当1n =时取等号，由裂项求和法得：所以10011111111116632334451011022102S≤−+−+−++−=−<，即100332S <<．故选：A ．题型一通项放缩1．已知1n a n =+，若数列21n a的前n 项和为n T ，求证：23n T <.【详解】证明：由（1）得()*1n a n n =+∈N ，重点题型·归类精讲所以()()()()()22221144411221232123141411na n n n n n n n ==<==− ++++ +++−，所以()222211*********1222223435577921231nT n n n =+++⋅⋅⋅+<−+−+−+⋅⋅⋅+− ++ +111111111122235577921233233n n n −+−+−+⋅⋅⋅+−=−< +++1121212331333n n n n a +=×<×=+，所以2341112321111112222111931333333313n n n n a a a a ++− ++++<++++==−<−3．（2014全国2卷）已知312n n a −=，证明：1231112n a a a ++<…+.解析：1231n n a =−，因为当1n ≥时，13123n n −−≥×，所以1113123nn −≤−× 于是2-112311-111111313311-1332321-3n n n na a a a ++++<+++==< （）. 所以123111132na a a a ++++< . 注：此处13123n n −−≥×便是利用了重要的恒等式：n 次方差公式：123221()().n n n n n n n a b a b a a b a b ab b −−−−−−=−+++++当然，利用糖水不等式亦可放缩：13133132−=<−n n n ，请读者自行尝试.4．已知21na n =−，{}n a 的前n 项和为n S ，0nb >，2121n n b S +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：1n T n <+.【详解】2n S n =，则21(1)n S n +=+，2221(1)n b n =++.22223(1)nn n b n ++=+，则n b =∴()()211121n b n n −=<=+⋅+ 2111(1)1n n n <−++.∴121111n n T b b b n n n =+++<+−<++5） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】B【分析】注意到据此可得答案. 【详解】..故，即整数部分为4.<>< 152<> 12>−+−+−++−92>=952<<2023届·广东省综合素质测试（光大联考）【详解】（1）当2,N n n ∗≥∈时，由22211121211n n n n n n n n n n a a S S S S S S S S −−−−−=−⇒=−⇒−=，所以数列{}2n S 是等差数列；（2）112211211S S S S =−⇒=，由（1）可知数列{}2n S 是等差数列，且公差为1，所以21(1)1n Sn n =+−⋅=，又因为数列{}n a 是正项数列，所以=n S，即1n S=，1001)1)1)18T >−+++> .2024届·广州·仲元中学校考7．已知是公差为2的等差数列，其前8项和为是公比大于0的等比数列，， (1)求和的通项公式： (2)记，证明：【答案】(1)， (2)证明见解析【分析】（1）由等差数列与等比数列的性质求解，（2）由放缩法与错位相减法求和证明．【详解】（1）对于等差数列，，而，解得，故，对于等比数列，，则，而公比，解得，故（2）令，则，两式相减得，得，故，原式得证{}n a {}64.n b 14b =3248.b b −={}n a {}n b *21,N n n n c b n b =+∈)*N n k n =<∈21na n =−4n nb ={}n a 81878642S a d ×=+=2d =11a =21na n =−{}nb 14b =232)484(b q b q −=−=0q >4q =4n n b =2144nn n c =+<212222n n S =+++ 2311122222n nS +=+++ 2111111112222222n n n n n n S ++=+++−=−− 112222n n nS −=−−<nk =<<【详解】121212311n n n T a a a n n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅=××⋅⋅⋅×=++．所以2221222211123(1)n n S T T T n =+++=++++ 111111111112334(1)(2)23341222n n n n n >++=−+−++−=−××+++++ ．又因为11111122222n n a n n ++−=−=−++，所以112n n S a +>−．【分析】当1n =时，验证所证不等式成立，当2n ≥时，由放缩法可得出11134n n b −≤⋅，再结合等比数列求和公式可证得原不等式成立，综合可得出结论.【详解】解：由141nn n b na =−=−，所以，1111441344134n n n n n b −−−−=⋅−=⋅+−≥⋅，所以，11134n n b −≤⋅，当1n =时，111439b =<，当2n ≥时，211211*********144111344394914nn nn b b b −⋅−+++<++=⋅=−<− . 综上所述，对任意的n ∗∈N ，1211149n b b b +++< .10．已知11223n n n a ++=−，若2nn n b a a =−，n S 为n b 的前n 项和，证明：1215n S ≤<．【解析】11223n n n a ++=− ,2n n nb a a =−,111211112223123232323n n n n n n n n n n b a a +++++++ ∴=−−=× −−−− =, 11111123N ,230,0,122323n n n n n n n b S S b +∗+++∈−>∴=×>∴≥==−− ，1111112323116,232323232323n n n n n n n n n b ++++++ ×<×− −−−−−−21224121525S b b ∴=+=+<，123445131N ,3,1111116232323232323241124654126121215,25232325525n n n n n n S b b ∗++∴∈≥ <++−+−++−−−−−−− =++−=++=+<−− 1215n S ∴≤<.题型二与导数结合的放缩利用导数产生数列放缩：由不等式1ln −≤x x 可得：+∈<+<+N n n n n ,1)11ln(11.11．（2017全国3卷）已知函数()1ln f x x a x =−−．（1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222n m ++⋅⋅⋅+<，求m 的最小值．解析：（2）由（1）知当(1,)x ∈+∞时，1ln 0x x −−>，令112nx =+得11ln(1)22n n +<，从而221111111ln(1)ln(1)ln(1)112222222n n n ++++⋅⋅⋅++<++⋅⋅⋅+=−<.故2111(1)(1)(1)222n e ++⋅⋅⋅+<,23111(1)(1)(1)2222+++>，所以m 的最小值为3．2,.两个正数a 和b 的对数平均定义：(),(,)ln ln ().a ba b L a b a b a a b − ≠=− = 对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：(,)2a bL a b +≤≤（此式记为对数平均不等式，取等条件：当且仅当a b =时，等号成立. 进一步，在不等式左端结合均值不等式可得：当0b a >>时211ln ln b a b a a b−>−+，即111ln ln ()2b a b a a b −<+−.令,1a n b n ==+，则111ln(1)ln ()21n n n n +−<++，所以111ln(1)ln ()21n n n n +−<++①.(,)L a b <1ln ln ln 2ln (1)a a b x x x b x ⇔−<⇔<⇔<−=>其中，接下来令t=2−>1(1)lnn>+，1()nlnn+>②.12．已知函数(1)()ln(1)1x xf x xxλ++−+，设数列{}na的通项111123nan=++++，证明：21ln24n na an−+>.解析：由上述不等式①，所以111ln(1)ln()21n nn n+−<++，111ln(2)ln(1)()212n nn n+−+<+++，111ln(3)ln(2)()223n nn n+−+<+++…，111ln2ln(21)()2212n nn n−−<+−.将以上各不等式左右两边相加得：1122221ln2ln()2123212n nn n n n n n−<+++++++++−，即111211ln22123214n n n n n n<+++++++++−，故11211ln212324n n n n n+++++>+++，即21ln24n na an−+>.13．已知函数()ax xf x xe e=−．（1）当1a=时，讨论()f x的单调性；（2）当0x>时，()1f x<−，求a的取值范围；（3）设*n N∈(1)ln n+…+>+．【答案】（31()nlnn+>，进一步求和可得：11231()(...)(1)12n nk kk nln ln ln nk n=++>=×××=+∑， (1)ln n+>+．题型三数列恒成立问题14．已知等差数列{}n a的前n项和记为n S（*n∈N），满足235326a a S+=+,数列{}n S为单调递减数列，求1a的取值范围. 【答案】(),2−∞【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知可得2d =−，求得n S ，由数列的单调性列不等式即可得1a 的取值范围；【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由于235326a a S +=+，所以()()1113225106a d a d a d +++=++，解得2d =−，所以()()211112n n n S na d n a n −=+=−++，若数列{}n S 为单调递减数列，则10n n S S +−<对于*n ∈N 恒成立，所以()()()()221111111120n n S S n a n n a n a n + −=−++++−−++=−<在*n ∈N 上恒成立，则12a n <，所以()1min 2a n <，又数列{}2n 为递增数列，所以()min 2212n =×=，即12a <，故1a 的取值范围为(),2−∞15．已知数列{}n a 满足：11a =，12n n a a +=.设()232n n b nn a −−⋅，若对于任意的N n ∗∈，n b λ≤恒成立，则实数λ的取值范围为【答案】1,2+∞【分析】由11a =，12n n a a +=可得112n n a −=，进而得到21322n n n n b −−−=，结合()152n nnn n b b +−−=−，分15n ≤≤和6n ≥分类讨论，确定数列{}n b 的单调性，求出n b 最大值，进而得解.【详解】由数列{}n a 满足11a =、1n n a a +=得：{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列， ∴112n n a −=，∴21322n n n n b −−−=，∴()()()22111312532222n nn n nn n n n n n b b +−+−+−−−−−=−=−，当15n ≤≤时，10n n b b +−≥，∴1n n b b +≥，当且仅当5n =时取等号，65b b =，当6n ≥时，10n n b b ，∴1n n b b +<，当5n ≤时，数列{}n b 单调递增，当6n ≥时，数列{}n b 单调递减，则当5n =或6n =时，()24max 2512152n b −==−，而任意的N n ∗∈，n b λ≤恒成立，则12λ≥，∴实数λ的取值范围为1,2+∞.16．已知数列{an }对任意m ，n ∈N *都满足am +n =am +an ，且a 1=1，若命题“∀n ∈N *，λan ≤2n a +12”为真，则实数λ的最大值为 . 【答案】7【分析】先求出{}n a 的通项公式，然后参变分离转化为求最值【详解】令m =1，则a n+1=a n +a 1，a n+1－a n =a 1=1，所以数列{a n }为等差数列，首项为1，公差为1，所以a n =n ，所以λa n ≤2n a +12⇒λn ≤n 2+12⇒λ≤n +12n，又函数12y x x=+在(0,上单调递减，在)+∞上单调递增，当3n =或4n =时，min 12()7n n+=所以7λ≤【分析】先由题设求得n a ，然后利用数列的单调性求得其最大值，把对任意0λ>，所有的正整数n 都有22n k a λλ−+>成立转化为12k λλ<+对任意0λ>恒成立，再利用基本不等式求得12λλ+的最小值，即可得到答案.【详解】由()()211231222113n n a a a a n n n −++++=+− ，当2n ≥时，()()2212311222123n n a a a a n n n −−++++=−− ，两式相减可得：()()()()()112111213n n a n n n n n n n n −=+−−−−=−， ∴()112n n n n a −−=，由10a =，显然成立，设()()22211112232222n nnn n nn n n n n n n n n na a +−+−+−+−+−=−==， ∴当03n <≤时，10n n a a +−>，当4n ≥时，10n n a a +−<，因此，03n <≤，数列{}n a 单调递增，当4n ≥时，数列{}n a 单调递减，由332a =，432a =，故当3n =或4n =时，数列{}na 取最大值，且最大值为32，对任意0λ>，所有的正整数n 都有22n k a λλ−+>成立，可得2322k λλ−+>，因此，212k λλ<+，即12k λλ<+对任意0λ>恒成立，由12λλ+≥12λλ=，即λ=min 12k λλ <+ ∴实数k 的取值范围是(−∞.18．已知23n a n n =+，若2nn a λ≤对于任意*n ∈N 恒成立，则实数λ的取值范围是．【答案】15,4 +∞【分析】先分离参数将问题转化为232n n n λ+≤对于任意*n ∈N 恒成立，进而转化为2max 3()2n n n λ+≤，构造232n nn nb +=，再作差判定单调性求出数列{}n b 的最值，进而求出λ的取值范围. 【详解】因为23n a n n =+，且2nn a λ≤对于任意*n ∈N 恒成立，所以232nn n λ+≤对于任意*n ∈N 恒成立，即2max 3()2n n n λ+≤，令232n nn n b +=，则2221113(1)(1)3354222n nn n n n n n n n n b b +++++++−++−=−=，因为21302b b −=>，32104b b −=>，43102b b −=−<，且21135402n nn n n b b ++−++−=<对于任意3n ≥恒成立，所以12345b b b b b <<>>>⋅⋅⋅，即2max 3315()24nn n b +==，所以实数λ的取值范围是15,4+∞【分析】利用11,1,2n n n S n a S S n −= =−≥ ，得到118a =，1433nn n a a −=×−，变形后得到3n n a 是等差数列，首项为6，公差为4，从而求出()423nn a n =+⋅，故代入n a ≥3n n ≥，利用作差法得到3n n 单调递减，最小值为13，列出不等式求出答案.【详解】当1n =时，2111332a S a ==−，解得：118a =，当2n ≥时，111333322n n n n n n n a S a a S −−+==−+−−，整理得1433nn n a a −=×−，方程两边同除以3n ，得11343n n nn a a −−−=，又163a =，故3n n a 是等差数列，首项为6，公差为4，所以()123644nnn n a =+−=+，故()423n n a n =+⋅，经验证，满足要求，所以n a ≥为()423nn +⋅≥故3nn≥，对任意N n +∈恒成立， 111113123333n n n n n n n n n+++++−−−==，当1n ≥时，111120333n n n n n n +++−−=<，故1133n n n n ++<， 3n n 单调递减，当1n =时，3nn 取得最大值13，故13≥，解得：136k ≥，则k 的最小值为136【分析】先利用等差数列通项公式求解n a ，再利用数列的单调性求解数列()()221212n n n b n −−=−⋅的最大值，进而解决不等式恒成立问题即可.【详解】由()*122n n n a a a n ++=+∈N 可知数列{}n a 是等差数列，设其公差为d ，解方程218650x x −+=得5x =或13x =，又73a a >， ∴37513a a ==，，73135424d a a d −−=∴== ，， ()52321n a n n ∴=+−=−.由()()2241n n n a a λ−>−得()()()2224212n n n λ>−−−，()()2212142n n n λ−−>−∴−，设()()221212n n n b n −−=−⋅，则()()()()2232111221252212212412n n n n n n n n n b b n n n −+−−−−+−−=−=+⋅−⋅−⋅，由()21412n n −−⋅>0对于任意*n ∈N 恒成立，所以只考虑32252n n −+−的符号，设()()322521f n n n n =−+−≥，()()2610235f n n n n n ′=−+=−−，令()0f n ′>解得513n ≤<，即()f n 在513n ≤<上单调递增，令()0f n ′<解得53n >，即()f n 在53n >上单调递减，()11f =，()22f =，()311f =−，当3n ≥，()()30f x f ≤<，当1n =，2n =时，()0f n >，即10n n b b +−>，123b b b ∴<<，当3n ≥，()0f x <，即()221132520412n n n n n b b n +−−+−−=<−⋅，即从3n ≥，n b 开始单调递减，即325≤=n b b ，245λ∴−>，即185λ<，λ∴的取值范围为185−∞ ，.解：14122n n nb n na −−−=，则()()211112135222n n nT −−=−+−×+−×++ ，则()2111132121322222n n n n n T −−−=−×+−×+++ ，两式相减得：()()2312111111112121122212()123+122222222212nn n n n n n n n n T −−−−−−=−+−×++++−=−+−×−=−−− 于是得3112126+2n n n n T −−−=−−，由1361122n nn T +>−+得：12512n n −+<，即12250n n −−−>，令1225n n c n −−−，N n ∗∈，显然，16c =−，27c =−，37c =−，45c =−，51c =，由111(227)(225)220n n n n n c c n n −−+−=−−−−−=−>，解得2n >，即数列{}n c 在3n ≥时是递增的，于是得当12250n n −−−>时，即510n c c ≥=>，5n ≥，则min 5n =，所以不等式1361122n nn T +>−+成立的n 的最小值是5.22．已知数列{}n a 中，11a =，满足()*1221N n n a a n n +=+−∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若不等式240nn S λ⋅++>对任意正整数n 恒成立，求实数λ的取值范围.解析：(1)()()1211221n n a n a n ++++=++，所以{}21n a n ++是以12114a +×+=为首项，公比为2的等比数列，所以1121422n n n a n −+++=×=，所以1221n n a n +−−.(2)()()()231122325221n n n S a a a n + =+++=−+−++−+ ()()23122235721n n ++++−+++++ ()()222212321122242n n n n n n +−++=−−−−−，若240nn S λ⋅++>对于*N n ∀∈恒成立，即22222440n n n n λ+⋅+−−−+>，可得22222n n n n λ+⋅>+−即2242nn n λ+>−对于任意正整数n 恒成立，所以2max 242n n n λ +>− ，令()242n n n n b +=−，则21132n n n n b b ++−−=，所以1234b b b b <>>>…，可得()222max222422n b b +×==−=−，所以2λ>−，所以λ的取值范围为()2,−+∞。

高中数学：放缩法在数列不等式中的应用

高中数学：放缩法在数列不等式中的应用
不等式与数列结合的证明题型，其证明思路可用归纳猜想证明，也可用放缩法来解决。

本文就放缩法在数列不等式中的应用，进行一些方法上的探究。

一、裂项相消法
形如…（c为常数）的题型，常要对数列中的通项进行裂项，达到放缩的目的。

例1、在数列中，已知，，求证：
…。

分析：由得到，利用递推数列的通项公式求法，可求出数列，故。

证明：对所证式的左边通项进行裂项：
，。

可得不等式：
左边…。

从而命题得证。

说明：当所证明的式子中出现一些分式积及无理式的形式时，常要用到裂项相消法，对于，以下结论：
，，以及
都是常用到的。

二、利用迭乘法分拆
在形如的题型中，可试着将看做数列的前n项之积，利用
来拆项。

例2、求证；。

分析：令，则利用
对其拆项可得。

证明：。

又∵
（，2，3，…，n），
∴中各项都比
对应项大。

因此。

即
说明：本例借用恒等式将进行裂项，然后再证明对应的通项的大小关系而获证，技巧性较强，但规律非常明显，通过学习是可以掌握的。

▍
▍ ▍
▍。

例谈证明不等式的四种常用措施

=
cos2 a, a
∈
(0,
π 2
)
，
æ è
x
+
1 x
öøæèç
y
+
1 y
ö
÷
ø
=
æ
ç
sin2
a
è
+
1 sin2a
öæ
÷ç
cos2
a
øè
+
1 cos2a
ö
÷
ø
=
sin4 a
+
cos4a - 2 sin2a 4 sin22a
cos2 a
+
2
，
( ) =
4 - sin2a 2 + 16 ， 4 sin22a
(x)
=
(
cos sin
α β
)x
+
(
cos sin
β α
)x,
且x < 0,
α,β ∈
æ è
0,
π 2
öø，若
f (x) > 2, 求证：α + β >
π 2
.
证明：假设0
<
α
+
β
≤
π 2
,
由α, β
∈
（0，π2 ）可得0
<
α
≤
π 2
-
β
≤
π 2
，
则
cos
α
≥
cosæè
π 2
-
β
ö ø
=
sin
β
>
1)
=
2n2
+

谈谈证明数列不等式的三种方法

解题宝典数列不等式证明具有较强的综合性，且难度较大.此类问题往往综合考查了等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式、性质、不等式的可加性、可乘性、传递性等，对同学们的逻辑推理和分析能力有较高的要求.本文主要介绍三种证明数列不等式的方法.一、裂项放缩法若数列的通项公式为分式，且可裂为或通过放缩后化为两项之差的形式，则可采用裂项放缩法求解.首先将数列的各项拆分，在求和时绝对值相等、符号相反的项便会相互抵消，再将所得的结果进行适当的放缩，便可证明数列不等式.例1.若数列{}a n ，{}b n 的通项公式分别为a n =n (n +1)，b n =()n +12，试证明1a 1+b 1+1a 2+b 2+⋯+1a n +b n<512.证明：当n =1时，1a 1+b 1=16<512，当n ≥2时，a n +b n =()n +1()2n +1>2()n +1n ，1a n +b n =1()n +1()2n +1<12n ()n +1=12æèöø1n -1n +1,∴1a 1+b 1+1a 2+b 2+⋯+1a n +b n ùûú<16+12éëêæèöø12-13+⋯+æèöø1n -1n +1，∵12éëêùûúæèöø12-13+⋯+æèöø1n -1n +1=12æèöø12-1n +1<14，∴1a 1+b 1+1a 2+b 2+⋯+1a n +b n <16+14=512∴1a 1+b 1+1a 2+b 2+⋯+1a n +b n <512成立.{}1a n +b n的通项公式为分式，且可通过放缩、裂项将其转化为两项之差：12æèöø1n -1n +1，于是采用裂项放缩法求证.运用裂项放缩法证明不等式时，需根据数列通项公式的特点或和的特点进行适当的放缩，同时要把握放缩的“度”，不可“放”得过大，也不可“缩”得过小.二、构造函数法数列是一种特殊的函数.在解答数列不等式证明题时，可根据目标不等式的特点构造出函数模型，此时需将n ∈N *看作函数的自变量，将目标式看作关于n 的函数式，利用函数的单调性、有界性来求得函数式的最值，从而证明不等式成立.例2.已知数列{}a n 的通项公式为a n =3n -1，且该数列的每一项均大于零.若数列{}b n 的前n 项和为T n ，且a n ()2b n-1=1，证明：3T n -1>log 2()a n +3.证明：∵a n()2b n-1=1，a n=3n -1，∴b n =log 2æèçöø÷1+1a n =log 23n 3n -1，∴T n =b 1+b 2+⋯+b n =log 2æèöø32∙65∙⋯∙3n 3n -1，∴3T n -1-log 2()a n +3=log 2æèöø32⋅65⋅⋯⋅3n 3n -13∙23n +2，设f ()n =æèöø32∙65∙⋯∙3n 3n -13∙23n +2，∴f ()n +1f ()n =3n +23n +5∙æèöø3n +33n +23=()3n +32()3n +5()3n +22，∵()3n +33-()3n +5()3n +22=9n +7>0，∴f ()n +1>f ()n ，∴f ()n 单调递增，∴f ()n ≥f ()1=2720>1，∴3T n -1-log 2()a n +3=log 2f ()n >0，∴3T n -1>log 2()a n +3成立.解答本题，需先求得b n 、T n ，并将目标式化简，然后根据目标不等式的特点构造函数f ()n ，通过比较f ()n +1、f ()n 的大小，判断出函数的单调性，进而根据函数的单调性证明不等式成立.一般地，在判断数列或函数的单调性时，可采用作差或作商法来比较数列的前后两项a n +1、a n 的大小，若a n +1>a n ，则函数或数列单调递增；若a n +1<a n ，则函数或数列单调递减.三、数学归纳法数学归纳法主要用于证明与自然数N 有关的命题.运用数学归纳法证明数列不等式，需先根据题意证明当n =1时不等式成立；然后假设当n =k 时不等式成立，再根据题意，通过运算、推理证明当n =k +1时不等式也成立，这样便可证明对任意n ∈N *不等式恒成立.42下下下下下下下下下下下下下下下下下方法集锦例3.已知数列{a n }的通项公式为a n =2éëêùûú()2-1n+1,若数列{b n }中b 1=2，b n +1=3b n +42b n +3，试证明：2<b n ≤a 4n -3.证明：当n =1时，2<2，b 1=a 1=2，∴2<b 1≤a 1，不等式成立，假设当n =k 时，不等式成立，∴2<b k ≤a 4k -3，即0<b k -2≤a 4k -3-2，当n =k +1时，b k +1-2=3b k +42b k +3-2=()3-22b k+()4-322b k +3=()3-22()b k -22b k +3>0，∵2<b k ，∴12b k +3<2+33-22，b k +1-2=()3-22()b k-22b k +3<()3-222()b k-2≤()2-14()a 4k -3-2=a 4k +1-2.∴当n =k +1时，不等式成立，即2<b n ≤a 4n -3成立.解答本题主要采用了数学归纳法，分两步完成，首先证明当n =1时不等式成立，然后假设当n =k 时不等式成立，并将其作为已知条件，证明2<b k ，进而证明当n =k +1时，不等式也成立.相比较而言，构造函数法的适用范围较广，裂项放缩法和数学归纳法的适用范围较窄，且裂项放缩法较为灵活，运用数学归纳法证明不等式过程中的运算量较大.因此在证明数列不等式时，可首先采用构造函数法，然后再根据不等式的特点和解题需求运用裂项放缩法或数学归纳法求证.（作者单位：湖北省恩施土家族苗族自治州高级中学）圆锥曲线的离心率是反映圆锥曲线几何特征的一个基本量.圆锥曲线的离心率主要是指椭圆与双曲线的离心率，可用e =ca来表示.求圆锥曲线的离心率问题是一类常考的题目.下面谈一谈求圆锥曲线离心率的三种途径.一、根据圆锥曲线的定义圆锥曲线的定义是解答圆锥曲线问题的重要依据.我们知道，椭圆的焦半径长为c 、长半轴长为a ；双曲线的焦半径长为c 、实半轴长为a ，而圆锥曲线的离心率为e =ca.因此，只要根据圆锥曲线的定义确定a 、c的值，即可求得圆锥曲线的离心率.例1.已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左，右焦点，如果双曲线上存在点P ，使∠F 1PF 2=90°，并且||PF 1=3||PF 2，求双曲线的离心率．解：因为||PF 1=3||PF 2，①由双曲线的定义得||PF 1-||PF 2=2a ，②由①②得||PF 1=3a ，||PF 2=a .且||F 1F 2=2c ，∠F1PF 2=90°，则|F 1F 2||2=PF 1||2+PF 2|2，即(2c )2a )2+a 2，解得5a =2c ，所以e =ca ．题目中指出了两个焦半径||PF 1、||PF 2之间的关系，可将其与双曲线的定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹关联起来，根据双曲线的定义建立关于两个焦半径的方程，通过解方程求得双曲线的离心率.二、利用几何图形的性质圆锥曲线的几何性质较多，如双曲线、椭圆的对称轴为坐标轴，对称中心为原点，双曲线的范围为x ≥a或x ≤-a .在求圆锥曲线的离心率时，要仔细研究几何图形，明确焦半径、实半轴长、虚半轴长与几何图形的位置关系，据此建立关于a 、b 、c 关系式，再通过解方43。

数学所有不等式放缩技巧及证明方法

文档收集于互联网，已重新整理排版word 版本可编辑•欢迎下载支持.高考数学所有不等式放缩技巧及证明方法一、裂项放缩畀 2 15例1.⑴求芥门 --------- 7的值；（2）求证：>2 7T V —・A=1 4* — 1Ar = l k3例2・⑴求证：1 +丄+丄+・・・+ —>1-一!一> 2）32 52⑵Li ）， 6 2（2n-1）1 1 1 1 114 16 364n 2 2 4n⑶求证丄+12+空+」"•…⑵i2 2-4 2-4-6 2-4-6••…2n例 3•求证: ---- - ---- <i + l +l + ... + -L<-(n +1)( 2/1 + 1)4 9 ir 3例4・（2008年全国一卷）设函数f ⑴二X-H1U.数列仇｝满足0<q<l ・％明：畋+】>b.例 5.已知"，加 e 他,兀 > -1,S,” 二 r n + T +3川 + …+ 心求证：/严 < (m +1)5,, <(〃 + 1严 -1例 6.已知® = 4" - T , T n= ------ 二 ----- ,求证：£+◎+◎人 < —.a { + a 2 + ・• • + a n2例7.已知坷=1, £ = < W (mi,"Z),求证：亠*亠+ •..+亠>逅(耐®訓) W - l(n = 2k 、k wZ) 护2 ・x 3 化・x 5.. 4丁 /、 In 2a In 3a In n a hr -n-l例 9.求证——<^—^^>2)例 10.求证:—+ - + ・・・ + —< ln(n + 1) < 1 + —4-・・• +」■2 3 77 + 1 2 n例 11.求证：(1 + \(1 +、•….(1 + ^-Xe 和(1 + ；)(1 + 厶)•….(1 + 点)<辰 2! 3! n\ 9 81 3" 例 12•求证：(1 +1 x 2) • (1 + 2 x 3) ••…[1 + n(n +1)] > 严I12例14.已知4=1。

专题十六：数列不等式-放缩、裂项(解析版)

专题十六：数列不等式证明-放缩、裂项（解析版）一、裂项相消1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，332n n a a =-，且5324S S a -=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：34n T <.【答案】（1）21n a n =+；（2）证明见解析. 【详解】解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，在332n n a a =-中，令1n =，得3132a a =-，即11232a d a +=-，故11a d =+①.由5324S S a -=得4524a a a +=，所以123a d =②. 由①②解得13a =，2d =.所以数列{}n a 的通项公式为：21n a n =+. （2）由（1）可得()12(321)222n n n a a n n S n n +++===+，所以211111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，故1111111112324352n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以11113231221242(1)(2)n n T n n n n +⎛⎫=+--=- ⎪++++⎝⎭. 因为2302(1)(2)n n n +>++，所以34n T <.2．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，424S =，10120S =．（1）求n S ；（2）记数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：34nT <．【答案】（1）22n S n n =+；（2）证明见解析．【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则1(1)2n n n dS na -=+， ∴由题意，有4110146241045120S a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，得13a =，2d =．∴2232n S n n n n n =+-=+．（2）211111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， ∴1231111n n T S S S S =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，1111111232435⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣1111112n n n n ⎤⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪⎥-++⎝⎭⎝⎭⎦111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭11122⎫⎛<+ ⎪⎝⎭34=．3．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，满足223n S n n λ=+++.（1）求λ的值；（2）设2nn n a b =，数列{}nb 的前n 项和为n T ，求证：352n T ≤<. 【答案】（1）3λ=-；（2）证明见解析. 【详解】（1）由题意知，当1n =时，116S a λ==+，当2n =时，由2224311S λλ=+++=+，所以2215a S S =-=，当3n =时，由2336318S λλ=+++=+，所以3327a S S =-=，因为{}n a 为等差数列，所以2567λ⨯=++，所以3λ=-.（2）由（1）知，21n a n =+，则2122n n n na nb +==， ∴23111111357(21)(21)22222n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯++⨯，∴2341111111357(21)(21)222222n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯++⨯，上式减下式得：2311311112()(21)222222n n n T n +=+⨯++⋅⋅⋅+-+⨯1111(1)31422(21)12212n n n -+-=+⨯-+⨯-1113121525122222n n n n n -++++=+--=-， ∴2552n nn T +=-，∴112302n n n n T T +++-=>，∴n T 是关于n 的增函数，即1n T T ≤，又易知25552n n n T +=-<，故352n T ≤<.4．已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为3,9n S S =，若1231,1,3a a a +++构成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式.（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证:13nT ≥ 【答案】（1）21n a n =-；（2）证明见解析. 【详解】（1）由{}n a 为等差数列，39,S = 得239a =，则23,a =又1231,1,3a a a +++构成等比数列，所以()2132()(11)3a a a ++=+，即()461,)6(d d -+= 解得2d =或4d =-(舍)，所以21n a n =-; （2）因为()()1111121212)21211(n n a a n n n n +=--+-+=，所以12231111n n n T a a a a a a +=+++… 111111123352121n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭11111213221n n n ==≥=+++5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S ，n a ，3成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：对一切的正整数n ，有24211129n a a a ++⋅⋅⋅+<. 【答案】（1）132n n a -=⋅；（2）证明见解析.【详解】（1）因为n S ，n a ，3成等差数列，所以23n n a S =+，① 当1n =时，1123a S =+，得13a =；当2n ≥时，1123n n a S --=+，②①-②可得122n n n a a a --=，即12n n a a -=，即12nn a a -=，所以{}n a 是以3为首项，2为公比的等比数列，所以132n n a -=⋅.（2）由（1）得21211213234nn n a -⎛⎫==⋅ ⎪⋅⎝⎭，所以2242111212121343434nn a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11144221211394914nn ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=⨯=-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-.6．已知数列{}n a 满足()112323122n n a a a na n +++++=-+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列2221log log n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：34n T <．【答案】（1）2nn a =；（2）证明见解析. 【详解】（1）由题意：()112323122n n a a a na n +++++=-+ ① 当2n ≥时，()()1231231222n n a a a n a n -++++-=-+ ②①－②得()()11222n n n na n n +=---，即2nn a =，当1n =时，12a =满足上式，所以2nn a =．（2）因为22log log 2n n a n ==，所以()22211111log log 222n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅++⎝⎭，所以11111111111232435112n T n n n n ⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪-++⎝⎭()()1111323122124212n n n n n +⎛⎫=+--=- ⎪++++⎝⎭ 又()()230212n n n +>++，所以34n T <．7．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且11a =，212n n n a a a ++=+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列2111(1)log n n a n a +⎧⎫+⎨⎬+⋅⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：332n S ≤<．【答案】（1）12n n a ；（2）证明见解析.【详解】解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q (0)q >，因为212n n n a a a ++=+，所以22q q =+(0)q >，解得2q ，所以12n na ；（2）证明：因为11211111111(1)log 2(1)21n n n n a n a n n n n --++=+=+-+++，所以11111111111112121312231212112n nn n S n n n n ---⎛⎫=+-+-++-=-+-=-- ⎪+++⎝⎭-，因为对1n ≥，11012n -<≤，11012n <≤+， ∴131133221n n -≤--<+，即332n S ≤<．8．给定三个条件：①2a ，4a ，8a 成等比数列，②425S a =，③1(1)n n n a na ++=，从上述三个条件中，任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.问题：设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且36S =，___________. （1）求数列{}n a 的通项；（2）若21n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和n K ，求证：34n K <.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】条件选择见解析；（1）n a n =；（2）证明见解析. 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠. 选条件①：∴36S =，2a ，4a ，8a 成等比数列，∴()()()31211133637S a d a d a d a d =+=⎧⎪⎨+=++⎪⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，故数列{}n a 的通项n a n =. 选条件②：∴36S =，∴425S a =，∴()3111336465S a d a d a d =+=⎧⎨+=+⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，故数列{}n a 的通项n a n =.选条件③：∴36S =，1(1)n n n a na ++=，∴[]()3111336(1)(1)S a d n a n d n a nd =+=⎧⎨++-=+⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，故数列{}n a 的通项n a n =.（2）∴2111122n n n b a a n n +⎛⎫==- ⎪+⎝⎭，∴1111111213242n K n n ⎛⎫=-+-+- ⎪+⎝⎭1111121212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭1323322(1)(2)4n n n ⎛⎫+=-< ⎪++⎝⎭.9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()*112n n S a n +=∈N ．（1）求n S ；（2）设n n b S =，求使得23341211199400n n b b b b b b ++++⋅⋅⋅+>成立的最小正整数n ．【答案】（1）13n n S -=；（2）100.【详解】（1）由112n n S a +=，得12n n S a +=，则有12n n n S S S +=-，即13n n S S +=，又因为111S a ==，故数列{}n S 是首项为1，公比为3的等比数列，所以13n n S -=．（2）由1n n n b S -==2222n n -==-，得121112(22)4n n b b n n ++==⨯⨯+1111(1)41n n n n ⎫⎛=⨯- ⎪⨯++⎝⎭，所以233412111n n b b b b b b ++++⋅⋅⋅+=111111142231n n ⎫⎛-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭11141n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，由1199141400n ⎫⎛-> ⎪+⎝⎭，解得99n >，故使得不等式成立的最小正整数100n =．10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，231n n S a =-. （1）证明数列{}n a 为等比数列并求其通项公式；（2）若311(1)log n n b n a +=+，设数列{}n b 的前n 项和n T ，求使2021n mT <成立的最小正整数m .【答案】（1）证明见解析，13-=n n a ；（2）最小正整数m 为2021. 【详解】（1）证明：231n n S a =-，∴当2n ≥时，11231n n S a --=-，两式相减得：1233n n n a a a -=-即13n n a a -=，当1n =时，有11231S a =-即：11a =，∴数列{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列.13n n a -∴=.（2）解：111(1)1nb n n nn ，11111111122311n T n n n ∴=-+-+⋅⋅⋅+-=-<++， 12021m∴≥，即2021m ≥，故所求最小正整数m 为2021.二、放缩法11．已知数列{}n a 满足11a =，1nn n a pa q +=+，（其中p 、q 为常数，*n N ∈）.（1）若1p =，1q =-，求数列{}n a 的通项公式；（2）若2p =，1q =，数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T .证明：22n T n <+，*n N ∈. 【答案】（1）()*1(1)2nn a n N --=∈；（2）证明见解析. 【详解】解析：（1）∴1p =，1q =-，∴1(1)n n n a a ++-=，即1(1)n n n a a +-=-，∴当2n ≥：12111221(1)(1)(1)n n n n n n a a a a a a ------+-++-=-+-++-，得1(1)12n n a a -+-=，∴11a =，∴1(1)2n n a --=，当1n =：11a =也符合上式，故()*1(1)2n n a n N --=∈（或1,0,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数）. （2）∴2p =，1q =，∴121n n a a +=+，∴()1121n n a a ++=+，即1121n n a a ++=+，∴{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴12n n a +=，即()*21n n a n N =-∈.又1112122122221112122n n n n n n n n a a +++--+===+≤+---， ∴11122221221212n n n T n n n -⎛⎫≤+=+-<+ ⎪⎝⎭-，综上说述：()*22n T n n N <+∈.12．已知数列{}n a 的各项均为正数，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，且232n n n T S S =+，*n N ∈. （1）求1a 的值及数列{}n a 的通项公式；（2）若有111n n b a +=-，求证：231321n b b b +++<【答案】（1）11a =，12n n a ；（2）证明见解析．【详解】（1）在232n n n T S S =+中令1n =得2211132a a a =+，因为10a >，所以11a =，又由232n n n T S S =+①得211132n n n T S S +++=+②②－①得211113()()2n n n n n n a S S S S a ++++=-++，即211113()2n n n n n a a S S a ++++=++，因为10n a +>，所以1132n n n a S S ++=++③，于是有132(2)n n n a S S n -=++≥④， ③－④得1133n n n n a a a a ++-=+，所以2n ≥时，12n na a +=，又由222232T S S =+，即222223(1)(1)2(1)a a a +=+++，整理得22220a a -=，又20a >，所以22a =，所以212a a =．所以12n na a +=，*n N ∈．所以{}n a 通项公式为12n n a ；（2）由（1）111121n n n b a +==--， 4n ≥时，111112121222(2)22n nn n n n ------=⋅-=-11528n -≥⋅，所以118121152n n -≤⋅-，所以23341118111()3715222n n b b b -+++<+++++ 11081110210313()2115422115212121n -=+-<+<+=．13．已知数列{}n a 满足112a =，1223241n n n a a n ++-=-，n *∈N . （1）设121n n b a n =+-，求证：数列{}n b 是等比数列；（2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：3n S <，n *∈N . 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【详解】解：（1）121n n b a n =+-，1223241n n n a a n ++-=-，则1122123142222222141214121n n n n n n n n b a a a a b n n n n n ++++=+=++=+=+=+-+--，又11312b a =+=，所以数列{}n b 是等比数列；（2）由（1）得，1232322n n n b --=⋅=⋅，N n *∈， 213221n n a n -∴=⋅--，N n *∈， 211n -≥，23210n n a -∴≥⋅->，211321n n a -∴≤⋅-，当2n ≥时，21231111111111222+23312222211112251132112n n n n n S ----⎛⎫- ⎪⎝⎭<++++=+<+=-<-++++⋅-又11123S a ==<，综上，3n S <，n *∈N .14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知14a =，124n n S a n +=+-，*n N ∈． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设()()122121n n n n a b +-=++，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足1340n T >的正整数n 的最小值．【答案】(1)22nn a =+；(2)6．【详解】(1)因为124n n S a n +=+-，则()1262n n S a n n -=+-≥，当2n ≥时，112n n n n n a S S a a -+=-=-+，即122n n a a +=-，即()1222n n a a +-=-． ∴122a -=，取1n =，则()21112422a S a a -====-，对()1222n n a a +-=-也成立．所以{}2n a -是首项和公比都为2的等比数列，从而22nn a -=，所以22nn a =+．(2)由题设，()()()()()11112121211212121212121n n n n n n n n n n b +++++-+===-++++++，则2231111111111212121212121321n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由1111332140n +->+，得11113121340120n +<-=+，即121120n ++>，即12119n +>，则6n ≥.所以正整数n 的最小值为6．15．数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ，满足1n n S a =-，设()12n n n b S a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ．（1）求n T ；（2）设n n n c S T =+，数列{}n c 的前n 项和为n R ，求证：12222121111n nT T T R R R ++++++<．【答案】（1）1212nn -+；（2）证明见解析．【详解】解：（1）111S a =-得112a =， ()()111111n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=---=-，所以112n n a a +=，可得{}n a 为等比数列，所以1111222n n n a -⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭．由1n n S a =-，可得1n n S a +=()12122312n n n n T b b b S a S a S a +=+++=++++++()112211222n n n n T S a S a S a a a +=++++++-+1112222122n n n a n +=-⨯+=-+．（2）因为1n n n n n c S T a T =+=-+，由（1）代入可得11121222n n nc n n =-+-+=，则()()2212n n n R n n +⨯==+， ()()()()()222222222221211211121111n n n n n n T n R n n n n n n n n ++-++=<==-++++，则()()12222222222121111111111122311n n T T T R R R n n n ⎡⎤+++⎛⎫⎛⎫+++<-+-++-=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++⎢⎥⎣⎦所以()122222121111111n n T T T R R R n ++++++<-<+． 16．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为14q q ⎛⎫> ⎪⎝⎭，前n 项和为n T ，已知11a =，112b =，2120a b =，3172a b =. （1）求n S . （2）设1n nc S =，数列{}n c 的前n 项和为n C ，求证：52n n C T +<. 【答案】（1）()21n S n n =-；（2）证明见解析. 【详解】解：（1）()11n a n d =+-，112n n b q -=，则21101236d q d q +=⎧⎨+=⎩，故212036q q =-，解得12q =(118q =舍去)， 4d ∴=，43n a n ∴=-，()21n S n n =-.（2）12n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11122111212nn n T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭-，当1n =时，111C S =，112T =，1351222∴+=<成立，当2n ≥时，()()11111212121n c n n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪---⎝⎭，121111113131122231222n n C c c c n n n ⎛⎫∴=+++<+-+-++-=-< ⎪-⎝⎭ 35122n n C T ∴+<+=，综上可得：52n n C T +<.17．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5125S S =，212n n a a -=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11b a =，且n b =，2n ≥，*n ∈N ，求证：{}n b 的前n项和n T <.【答案】（1）21n a n =-；（2）证明见解析. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则由51225,1,2n n S S a a =⎧⎪⎨-=⎪⎩得()()11115102521112a d a a n d a n d +=⎧⎪⎨+--+-=⎪⎩，解得11a =，2d =， ∴21n a n =-，*n ∈N . （2）当2n ≥时，n b ===则1231n n T b b b b b =++++=+++(1n S +-=，又2(121)2n n n Sn +-==，∴1n T =<=.18．已知数列{}n a 满足12a =，122n n a a n +-=+，数列{}n b 满足112b =，121n n n b b b+=+．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设n c =，求证：1211222n c c c n ++⋅⋅⋅+>-+．【答案】（1）()1n a n n =+，12n b n=；（2）证明见解析. 【详解】解：（1）由122n n a a n +-=+，12a =，知()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋅⋅⋅+-+()()222421n n n n =+-+⋅⋅⋅++=+．因为121n n n b b b +=+，所以1112n nb b +=+，又112b =，所以112b =，所以1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，2为公差的等差数列，所以12n n b =，所以12n b n=．（2）解法一因为()11112121n c n n n n ⎛⎫==>=- ⎪++⎝⎭，所以1211111111122231222n c c c n n n ⎛⎫++⋅⋅⋅+>-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪++⎝⎭，所以1211222n c c c n ++⋅⋅⋅+>-+．解法二由（1）得n c == 当1n=时，1111244c =>-=，所以当1n =时，不等式成立；假设当()*n k k =∈N 时不等式成立，即1211222k c c c k ++⋅⋅⋅+>-+，则当1n k =+，12111222k k c c c c k +++⋅⋅⋅++>-++()()111222212k k k >-++++ ()11111112222122212k k k k ⎛⎫=-+-=- ⎪+++++⎝⎭，所以当1n k =+时，不等式成立．故对任意的*n ∈N ，都有1211222n c c c n ++⋅⋅⋅+>-+．19．已知数列{}()0nn a a ≠满足()2*12N n a a n n ⎛=∈ ⎝．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：231111n a a a +++⋅⋅⋅+<．【答案】（1）n a =（2）证明见解析.【详解】（1）因为()2*12N n a a n n ⎛=∈⎝，所以()211*22,1N n a a n n n -⎛+=≥∈ -⎝，222211n n a a n n -=-=--=()*12,N n n =≥∈．当1n =时，211a a =，又10a ≠，则11a =，所以数列是以1为首项，1n =，则n a = （2）由（1）得11n a +==<=22==，则23111122n a a a +++⋅⋅⋅+<=<=．20．已知数列{}n a 满足121n n a a a a ⋅⋅⋅=-. （1）求证：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n n T a a a =⋅⋅⋅，22n n n b a T =，证明：1225n b b b ++⋅⋅⋅+<. 【答案】（1）证明见解析，1n na n =+；（2）证明见解析. 【详解】解：（1）令1n =，则111a a =-，得112a =. 由121n n a a a a ⋅⋅⋅=-，得12111n n n a a a a a ++⋅⋅⋅=-，两式相除，得1111n n na a a ++-=-，即112n n a a +=-，所以1111122n n n n a a a a +--=-=--，所以12111111n n n n a a a a +-==----，又121n a =--，所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以2-为首项，1-为公差的等差数列，所以()12111n n n a =---=---，所以1n n a n =+. （2）由题意知12111n n n T a a a a n =⋅⋅⋅=-=+，所以()()()()()2222222422221111113535111212122222n n n n n n b a T n n n n nn n n n n n n ==⋅===<<=-=⎛⎫⎛⎫++++⎛⎫++++++++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1133122n n -+++，所以121111112123333333551223112222222n b b b n n n ++⋅⋅⋅+<-+-+⋅⋅⋅+-=-<+++++++++∴4593n T ≤<.。

数列常见裂项放缩公式

数列常见裂项放缩公式1. 引言在数学中，数列裂项放缩是常见的一种技巧。

当我们需要证明一些数列的性质时，常常会用到这个技巧。

本文将介绍数列裂项放缩公式的定义、应用和一些例子，以帮助读者更好地理解和应用这个技巧。

2. 数列裂项放缩公式的定义数列裂项放缩是指利用数列中的一些项的性质，对数列进行变形，以求得更简单或更有用的形式。

数列裂项放缩可以分为以下几类：2.1 基本裂项公式假设有一个数列$a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n$，其中$i$为奇数，则有：$$a_1+a_2+\cdots+a_n=\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{2}\rfloor}(a_i+a_{n-i+1})$$其中$\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$表示$n$的整数部分。

2.2 迭加裂项公式假设有一个数列$a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n$和$b_1,b_2,b_3,\ldots,b_n$，则有：$$\sum_{i=1}^na_i\cdotb_i=\frac{\sum_{i=1}^n(a_i+a_{i+1})\cdot(b_i+b_{i+1})-\sum_{i=1}^{n-1}(a_i+a_{i+1}+a_{i+2})\cdot b_{i+1}-a_1\cdot b_1-a_n\cdot b_n}{2}$$2.3 特殊数列裂项公式对于斐波那契数列$F_n$，有：$$F_{n+m}=F_{m+1}\cdot F_{n}+F_{m}\cdot F_{n-1}$$对于调和数列$H_n=\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}$，有：$$H_{2n}=H_{n}+\sum_{i=1}^n\frac{1}{n+i}$$3. 数列裂项放缩公式的应用数列裂项放缩可以应用于很多数学问题，下面列举其中一些：3.1 证明不等式当我们需要证明一些不等式时，可以利用数列裂项放缩，将不等式中的一些项转化为其他已知的项，以便于求证。

数列难题突破之裂项与放缩

裂项与放缩是高考数列题常用技巧主要有以下3类应用1．裂项法求和2．裂项、放缩证明求和不等式3．放缩证明连乘不等式裂项法求和一个最简单的裂项求和的例子…1111122334(1)n n ++++⋅⋅⋅⋅+【例1】已知等差数列{}n a 满足：3577,26.a a a =+=设*21(),1n n b n N a =∈-求n b 的前 n 项和n T .【例2】设数列{}n a 为等差数列，且每一项都不为0，则对任意的*n N ∈，有1223111111.n n n n a a a a a a a a ++++= |裂项法求和小结回顾：1111223(1)n n +++⋅⋅⋅+ 1111335(21)(21)n n +++⋅⋅-⋅+ 12231111n n a a a a a a ++++裂项、放缩法证明求和不等式【例3】,证明：2221111112123n n -<+++<+【例4】已知数列{}n a 与{}n b 满足1120;n n n n n b a a b a +++++= *3(1),,2n n b n N +-=∈ 且122,4a a ==，设21,n n k k S a ==∑求证：417.6n k k kS a =<∑和式不等式小结回顾：放缩去“凑”裂项形式12231111n n a a a a a a ++++★ /连乘不等式的证明【例5】求证：132124221n n n -⋅⋅⋅<+【例6】等比数列{}n a 的前 n 项和为n S ，已知对任意的*n N ∈，点(,)n n S 均在函数x y b r =+（0 b >且1, b ≠, b r 均为常数）的图像上.(II)当2 b =时，记*22(log 1)(). n n b a n N =+∈^求证：*12121111 ()n n b b b n n N b b b +++⋅⋅⋅>+∈总结：1．裂项求和：111111()k k k k a a d a a ++=-∑∑ ★ 2．求和不等式：放缩可裂项3．连乘不等式：·配上“错一位”的连乘式可消去、·选择“错位”方向课后作业【习题1】求和111144797100+++⋅⋅⋅【习题2】求证:22221111111.5 2.5 3.5(0.5)n n++++<-+.~【习题3】求证：2583114732n n -⋅⋅⋅⋅>- 分析：考虑配上一个“错一位”的连乘式，发现还是消不掉，因此本题应当配上两个“错一位”的连乘式. 答案【习题1】解：111144797100111111111()()()3143473971001133(1)3100100+++⋅⋅⋅=-+-++-=-= 【习题2】分析：希望将和式放缩成可以裂项的形式，可以考虑用放缩211(0.5)(1)k k k <++. 证：22221111 1.5 2.5 3.5(0.5)1111122334(1)11n n n n+++++<++++⋅⋅⋅+=-【习题3】解：设2583114732n A n -=⋅⋅⋅⋅-，369325831n B n =⋅⋅⋅⋅-，4710313693n C n+=⋅⋅⋅⋅，则31A B C n ⋅⋅=+，由,,0A B C >知，只需证,A B A C >>就有A >证明对任意1,2,3,k n =，连乘式A 中的第k 项大于B 和C 的第k 项，只需要证:3133132313k k k k k k -+>>--此不等式的每项减去1，即11132313k k k>>--，显然成立，故原不等式成立。

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策略一、裂项放缩证明数列不等式
若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。

例1-1、（全国I 理-22压轴题）设数列{}n a 的前n 项的和1412
2333
n n n S a +=
-⨯+，1,2,3,n =（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；（Ⅱ）设2n
n n
T S =，1,2,3,
n =，证明：
1
32
n
i i T =<
∑
例1-2、（湖北理-17）已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'
()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项
和为n S ，点(,)()n n S n N *
∈均在函数()y f x =的图像上。

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1
3
+=
n n n a a b ，n T 是
数列{}n b 的前n 项和，求使得20
n m
T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m ；
例1-3、（重庆理-22压轴题）设数列}{n a 满足).,2,1(1
,211 =+==+n a a a a n
n n （Ⅰ）证明12+>n a n 对一切正整数n
成立；（Ⅱ）令),2,1( ==n n
a b n n ，判定n b 与1+n b 的大小，并说明理由
例1-4、已知*N n ∈，求n 2n
13
12
11＜…+
++
+
例1-5、设++
=a n a 21
1.2,131≥++a n
a a 求证：.2<n a
策略二、均值不等式放缩证明不等式例2-1、设.)1(3221++
+⋅+⋅=n n S n 求证
.2
)1(2)1(2
+<<+n S n n n
例3-2、已知函数4()14x
x
f x =
+求证：
.2
121)()2()1(1-+
>++++n n n f f f
例3-3、已知b a ,为正数，且11
1=+b a ，试证：对每一个*∈N n ，1222)(+-≥--+n n n n n b a b a .
策略三、调整分式值放缩证明数列不等式（尾式或局部放缩）
一个分式若分母不变分子变大则分式值变大，若分子不变分母变大则分式值变小；一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大（“加糖不等式”）---姐妹不等式:)0,0(>>>++>
m a b m a m
b a
b
和)0,0(>>>++<m b a m
a m
b a b 例3-1、（福建理-22压轴题）已知数列｛a n ｝满足a 1=1,a 1+n =2a n +1(n ∈N *)（Ⅰ）求数列｛a n ｝的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }满足4b1－14 b2－2
…4
b n －1
=( a
n
+1)bn (n ∈N *),证明:{b n }是等差数列;（Ⅲ）证
明:2
31213221n
a a a a a a n n n ＜＜++⋯++-(n ∈N *).
例3-2、证明： 12)1
21
1()511)(31
1)(11(+>-+
+++n n 和121)211()611)(411)(211(+<+---n n 即证：12)12(5312642+>
-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n n
和1
212642)
12(531+<
⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n
n
例3-3、证明:.13)2
31
1()711)(411)(11(3+>-+
+++n n
例3-4、已知a 、b 、c 为三角形的三边，求证：12
＜＋＋＜a b c b a c c a b
+++。

例3-5、求证:
7
4
123112311311
<+⋅+++⨯++-n
策略四、单调性放缩证明不等式例4-1、（湖南理-19）已知函数()sin f x x x =-,数列{n a }满足:1101,(),1,2,3,.n n a a f a n +<<==证明:
（I ）．101n n a a +<<<; （II ）．3116
n n a a +<.
例4-2（辽宁理-21）已知函数22
3)(x ax x f -
=的最大值不大于61，又当]21,41[∈x 时
.8
1
)(≥x f （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设
*+∈=<
<N n a f a a n n ),(,21
011，证明.1
1+<n a n
例4-3、（北京理-19）数列{}n x 由下列条件确定：01>=a x ，,211⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
+
=+n n n x a x x N n ∈．（I ）证明：对2≥n 总有a x n ≥；(II)证明：对2≥n 总有1+≥n n x x
例4-4、设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n 求证.2
)1(2)1(2
+<<+n S n n n
例4-5、求证：.12)1
21
1()511)(311)(11(+>-+
+++n n
策略五：二项式放缩证明不等式
n n n n n n C C C +++=+= 10)11(2,121
0+=+≥n C C n n n ,
2222210++=++≥n n C C C n
n
n
n
)2)(1(2
≥->n n n n
例5-1、已知112
11
1,(1).2
n n n a a a n n +==+++证明2n a e <
例5-2、证明.3)1
1(2<+≤n n
例5-3、设N n n ∈>,1，求证)2)(1(8
)32(++<n n n
策略六：递推放缩证明数列不等式
例6-1、（全国高考）设数列{}n a 满足()++∈+-=N n na a a n n n 12
1，当31≥a 时证明对所有,1≥n 有2)(+≥n a i n ；
2
1111111)(21≤++++++n a a a ii
例6-2、(重庆理-22压轴题)数列{a n }满足)1(21
)11(1211≥+++
==+n a n n a a n
n
n 且.（Ⅰ）用数学归纳法证明：)2(2≥≥n a n ；（Ⅱ）已知不等式)1(:,0)1ln(2
≥<><+n e a x x x n 证明成立对，其中无理数 2.71828e ≈
例6-3、（湖北理-22压轴题）已知不等式
].[log 2,],[log 2
1
1312122n n N n n n >∈>+++* 表示不超过n 2log 的最大整数。

设正项数列}{n a 满足：111(0),,2,n n n na a b b a n n N n a -+-=>≤
≥∈+，证明：.3,][log 222
≥+<n n b b
a n
例6-4、（浙江理-20压轴题）已知函数f （x ）=x 3+x 2
，数列{x n }（x n ＞0）的第一项x 1=1，以后各项按如下方式取定：曲线y=f （x ）在（x n+！，f （x n+！））处的切线与经过（0，0）和（x n ，f （x n ））两点直线平行（如图）。

求证：当n ∈N *时
（Ⅰ）121223+++=+n n n n x x x x （Ⅱ）21
)2
1()
21(--≤≤n n n x
策略七：分项讨论放缩证明数列不等式
例7、（2004年全国3理-22压轴题）（14分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n .（1）写出数列{}n a 的前三项321,,a a a ；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）证明：对任意的整数4>m ，有8
711154<+++m a a a .
策略八：数学归纳法证明数列不等式
例8-1、（江西理-21倒二题）（12分）已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a 011
1,,(4),.2
n n n a a a a n N +==-∈ （1）证明12,;n n a a n N +<<∈（2）求数列}{n a 的通项公式a n .
例8-2、（江西理-22压轴题）已知数列｛a n ｝满足：a 1＝32
，且a n ＝n 1n 13na n 2n N 2a n 1*≥∈－－（，）＋－（1）求数列｛a n ｝的通项公式；（2）证明：对于一切正整数n ，不等式a 1•a 2•……a n <2•n ！。