2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题A卷含答案

试卷类型：A 卷 河北冀州中学2017-2018学年度下学期期末 高二年级理科数学试题（ 考试时间：120分钟 分值：150分）第Ⅰ卷（选择题 共52分）一、选择题：本大题共13小题，每小题4分，共52分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列说法正确的是( )A. x ∀， y R ∈，若0x y +≠，则1x ≠且1y ≠-B. a R ∈，“11a<”是“1a >”的必要不充分条件C. 命题“x R ∃∈，使得2230x x ++<”的否定是“x R ∀∈，都有2230x x ++>”D. “若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题2．设()()12i x yi ++=，其中i 为虚数单位，x ,y 是实数，则2x yi +=( )A. 1B.C.D. 3．设随机变量ξ服从正态分布()0,1N ，若(1)P p ξ>=，则(10)P ξ-<<=( )A.12p + B. 1p - C. 12p - D. 12p - 4．已知m ， n 是两条不同的直线， α， β是两个不同的平面，给出下列四个命题，错误的命题是( )A. 若//m α， //m β， n αβ⋂=，则//m nB. 若αβ⊥， m α⊥， n β⊥，则m n ⊥C. 若αβ⊥， αγ⊥， m βγ⋂=，则m α⊥D. 若//αβ， //m α，则//m β5．设等差数列满足，且，为其前项和，则数列的最大项为A. 23S B. 25S C. 24S D. 26S6．下图是一个算法流程图，则输出的x 值为 A. 95 B. 47 C. 23 D. 117．二项式2nx⎛⎝的展开式中所有二项式系数和为64，则展开式中的常数项为60，则a 的值为 ( ) A. 2 B. 1 C. -1 D. 1±8．设函数()()lnx =-f x x ax (a R ∈)在区间()0,2上有两个极值点，则a 的取值范围是( ) A. 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ B. ln210,4+⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. ln211,42+⎛⎫⎪⎝⎭ 9．若双曲线M ： 22221x y a b-=(0a >， 0b >)的左、右焦点分别是1F ， 2F ，以12F F 为直径的圆与双曲线M 相交于点P ，且116PF =， 212PF =，则双曲线M 的离心率为( ) A.54 B. 43 C. 53D. 5 10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥各个侧面中，最大的侧面面积为( ) A. 2B.C. 3D. 411．已知函数()22cos 22f x x =-．给出下列命题：①(),R f x ββ∃∈+为奇函数；②30,4πα⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭， ()()2f x f x α=+对x R ∈恒成立；③12,x x R ∀∈，若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为4π；④12,x x R ∀∈，若()()120f x f x ==，则()12x x k k Z π-=∈．其中的真命题有( )A. ①②B. ③④C. ②③D. ①④ 12．已知双曲线的左右焦点分别为，过点且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于两点，分别交轴于两点，若的周长为12，则取得最大值时该双曲线的离心率为( )A.B.C.D. 13．已知函数，．方程有六个不同的实数解，则的取值范围是( )A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题，共98分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

把答案直接答在答题纸上。

14．从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天．若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为__________．(用数字作答)15．点(),M x y是不等式组0{3x y x ≤≤≤≤表示的平面区域Ω内的一动点，且不等式20x y m -+≤恒成立，则m 的取值范围是__________． 16．已知在中，，，如图，动点是在以点为圆心，为半径的扇形内运动(含边界)且；设，则的取值范围__________．17．设()A n 表示正整数n 的个位数， ()()2,n a A n A n A =-为数列{}n a 的前202项和，函数()1x f x e e =-+，若函数()g x 满足()11x Ax f g x A -⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，且()()*N n b g n n =∈，则数列{}n b 的前n 项和为__________．三、解答题：本大题共7小题，共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18．已知函数()2sin 2cos 6f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭．(I)求()f x 的最小正周期及2,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()f x 的值域；(Ⅱ)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为a ，b ，c ，且角C 为锐角，ABC S ∆=，c=2，1442f C π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求a,b 的值．19．已知数列{}n a 中， 11a =， ()*13n n n a a n N a +=∈+．(1)求证： 112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式n a ；(2)数列{}n b 满足()312n n n n nb a =-⋅⋅，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．20．如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成， AD AF ⊥， 2AE AD ==． (Ⅰ)证明：平面PAD ⊥平面ABFE ； (Ⅱ)求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角C AF P --的余弦值．21．高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“3+3”的构成模式，第一个“3”是语文、数学、外语，每门满分150分，第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试，每门满分100分，高考录取成绩卷面总分满分750分．为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，“将A 市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体B ，从学生群体B 中随机抽取了50不相等的概率；(Ⅱ)从所调查的50名学生中任选2名，记X 表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望；(Ⅲ)将频率视为概率，现从学生群体B 中随机抽取4名学生，记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作Y ，求事件“2Y ≥”的概率．22．如图，椭圆E 的左右顶点分别为A 、B ,左右焦点分别为1F 、2F,124,AB F F ==直线(0)y kx m k =+>交椭圆于C 、D 两点，与线段12F F 及椭圆短轴分别交于M N 、两点(M N 、不重合),且CM DN =. (Ⅰ)求椭圆E 的离心率；(Ⅱ)若0m >，设直线AD BC 、的斜率分别为12k k 、，求12k k 的取值范围. 23.已知函数()()2ln 1f x x ax =++，0a >. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 在区间()1,0-有唯一零点0x ，证明：2101e x e --<+<.24．已知直线l的参数方程为12{2x ty t==(t 为参数)，曲线C的参数方程为12{2x cos y sin θθ=+=(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为23π⎛⎫ ⎪⎝⎭． (Ⅰ)求直线l 以及曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求△PAB 的面积．河北冀州中学2017-2018学年度下学期期末高二年级理科数学试题答案A 卷：BDCDB BDDDB CCD B 卷：CBACC DACBC BAC 14．5040 15．1m ≤- 16． 17．2332nn n +-+ 18. (1)()1π2f x x T =-∴= π4π2,63x ⎡⎤∈∴⎢⎥⎣⎦ ()54f x ⎡∈-⎢⎣⎦(2)π1πsin 2226C C ⎛⎫+=∴= ⎪⎝⎭3S ab =∴=2222216c ab ab a b =+-∴+=解得2{a b ==或{2a b ==19． (1)证明：由()1*3n n n a a n N a +=∈+，得13131n n n n a a a a ++==+， 11111322n n a a +⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭所以数列112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以3为公比，以111322a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭为首项的等比数列，从而1113232231n n n n a a -+=⨯⇒=-； (2)()101221111111231222222n n n n n n b T n n ---==⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯()121111112122222n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯， 两式相减 得： 012111111222222222n n n n T n n -+=++++-⨯=-1242n n n T -+∴=-20. (Ⅰ)证明：正三棱柱ADE BCF -中， AB ⊥平面ADE ， 所以AB AD ⊥，又AD AF ⊥， AB AF A ⋂=， 所以AD ⊥平面ABFE ， AD ⊂平面PAD ， 所以平面PAD ⊥平面ABFE ．(Ⅱ)由(Ⅰ)知AD ⊥平面ABFE ，以A 为原点， AB ， AE ， AD 方向为x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，设正四棱锥P ABCD -的高为h ，2AE AD ==，则()0,0,0A ， ()2,2,0F ， ()2,0,2C ， ()1,,1P h -， ()2,2,0AF =， ()2,0,2AC =， ()1,,1AP h =-．设平面ACF 的一个法向量()111,,m x y z =，则1111220,{220,m AF x y m AC x z ⋅=+=⋅=+= 取11x =，则111y z ==-，所以()1,1,1m =--．设平面AFP 的一个法向量()222,,n x y z =，则22222220,{0,n AF x y n AP x hy z ⋅=+=⋅=-+=取21x =，则21y =-，21z h =--，所以()1,1,1n h =---．二面角C AF P --的余弦值是3， 所以cos ,32m n m n m n ⋅===⋅1h =．21． (Ⅰ)记“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件A 则()222525202502049C C C P A C ++==所以他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率为()29149P A -=(Ⅱ)由题意可知X 的可能取值分别为0，1，2()2225252025020049C C C P X C ++===， ()1111525202525025149C C C C P X C +=== ()115202504249C C P X C ===()202543301249494949E X =⨯+⨯+⨯=(Ⅲ)所调查的50名学生中物理、化学、生物选考两科目的学生有25名相应的概率为251502P ==，所以Y ~ 14,2B ⎛⎫⎪⎝⎭所以事件“2Y ≥”的概率为()223423444411111112112222216P Y C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=-+-+= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 22．(Ⅰ)由124,AB F F ==2,a c ==即椭圆方程为2214x y += ,离心率为2e =;(Ⅱ)设()()1122,,,D x y C x y 易知()()()2,0,2,0,0,,,0m A B N m M k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭由22{44y kx m x y =++=消去y 整理得： ()222148440k x kmx m +++-= 由2222041041k m m k >⇒-+><+即 ， 2121222844,1414km m x x x x k k --+==++ 且CM DN =即CM ND =可知12m x x k +=-，即2814km m k k -=-+，解得12k = ()()()()()()()()()()22122222121212121222222121212211422224214422421224x x y x x x x x x x k m x k x x x x x x m y x x ------++⎛⎫+⎛⎫===== ⎪ ⎪-+++++-⎝⎭+⎝⎭+由题知，点M 、F 1的横坐标1M F x x ≥,有2m -≥0,2m ⎛∈ ⎝⎦满足22m < 即1212111k m k m m +=-=-+--，则(121,7k k ∈+ 23.解：（Ⅰ）()21221'211ax ax f x ax x x ++=+=++，1x >-，令()2221g x ax ax =++，()24842a a a a ∆=-=-，若0∆<，即02a <<，则()0g x >，当()1,x ∈-+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增， 若0∆=，即2a =，则()0g x ≥，仅当12x =-时，等号成立，当()1,x ∈-+∞时，()'0f x ≥，()f x 单调递增.若0∆>，即2a >，则()g x 有两个零点1x =，2x =()()1010g g -==>，102g ⎛⎫-< ⎪⎝⎭得121102x x -<<-<<，当()11,x x ∈-时，()0g x >，()'0f x >，()f x 单调递增； 当()12,x x x ∈时，()0g x <，()'0f x <，()f x 单调递减； 当()2,x x ∈+∞时，()0g x >，()'0f x >，()f x 单调递增. 综上所述，当02a <≤时，()f x 在()1,-+∞上单调递增；当2a >时，()f x 在⎛ - ⎝⎭和⎫⎪+∞⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减. （Ⅱ）由（1）及()00f =可知：仅当极大值等于零，即()10f x =时，符合要求.此时，1x 就是函数()f x 在区间()1,0-的唯一零点0x .所以202210ax ax ++=， 从而有()00121a x x =-+，又因为()()2000ln 10f x x ax =++=， 所以()()00ln 1021x x x +-=+，令01x t +=，则1ln 02t t t--=， 设()11ln 22h t t t =+-，则()221'2t h t t-=，再由（1）知：102t <<，()'0h t <，()h t 单调递减，又因为()22502e h e --=>，()1302e h e --=<，所以21e t e --<<，即2101e x e --<+<.24．(Ⅰ)由12{2x ty ==消去t 得到y =，则sin cos ρθθ=，∴3πθ=，所以直线l 的极坐标方程为3πθ=(R ρ∈)曲线()(22:14C x y -+-=，则()(2214cos sin ρθρθ-+-=则曲线C的极坐标方程为2290cos sin ρρθθ--+=(Ⅱ)由2290{3cos sin ρρθθπθ--+==，得到2790ρρ-+=，设其两根为1ρ， 2ρ，则127ρρ+=， 129ρρ=,∴21AB ρρ=-==，∵点P 的极坐标为23π⎛⎫⎪⎝⎭，∴OP = 3POB π∠=，∴1222PAB POB POAS S S AB ∆∆∆=-=⨯=。