吉林省东北师范大学附属中学2016届高考数学第一轮复习函数与定积分应用(3)学案理

导数与定积分（尖刀班）(3)【探究10】：不等式恒成立与存在性问题 思路提示在不等式恒成立或不等式有解条件下求参数的取值范围，一般利用等价转化的思想其转化为函数的最值或值域问题加以求解，可采用分离参数或不分离参数法直接移项构造辅助函数．（1）若函数()f x 在区间D 上存在最小值()min f x 和最大值()max f x ，则 不等式()f x a >在区间D 上恒成立()min f x a ⇔>； 不等式()f x a ≥在区间D 上恒成立()min f x a ⇔≥； 不等式()f x b <在区间D 上恒成立()max f x b ⇔<； 不等式()f x b ≤在区间D 上恒成立()max f x b ⇔≤；（2）若函数()f x 在区间D 上不存在最大（小）值，且值域为(),m n ，则不等式()()()f x a f x a >≥或在区间D 上恒成立m a ⇔≥．不等式()()()f x b f x b <≤或在区间D 上恒成立m b ⇔≤．例14. 已知函数()ln f x x x = （1）求()f x 的最小值．（2）对所有1x ≥都有()1f x ax ≥-，求实数a 的取值范围． 分析 第（2）问可用分离变量的方法求解参数的取值范围． 解析 函数()ln f x x x =的定义域是()0,+∞， （1）()1ln f x x '=+，令()0f x '=，解得1x e =，当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()0f x '<，当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时()0f x '>；故()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以，当1x e =时，函数取得最小值11f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（2）依题意，得()1f x ax ≥-在[1,)+∞上恒成立，即不等式1ln a x x≤+对于x [1,)∈+∞恒成立，即min1ln ,[1,+a x x x ⎛⎫≤+∈∞ ⎪⎝⎭）．设()()1ln 1,g x x x x =+≥则()22111x g x x x x -'=-=，令()0g x '=，得1x =，当1x ≥时，因为()210x g x x-'=≥，故()g x 在[1,)+∞上是增函数，所以()g x 在[1,)+∞上的最小值是()11g =，故a 的取值范围是(,1]-∞．评注 对于恒成立问题，其根本思路是转化，而转化只有两种方法．1，变量分离法，2，不分离参数法，本例第（２）问运用分离变量的方法，使得构造中的函数不含有参数，避免了对参数的分类讨论，对于不等式验证区间端点成立的情形，一般采用不分离参数法（见本例的变式1），同学们应该视不同的情形使用不同的方法．变式1 设函数()()()212ln 1f x x x =+-+． （1）求()f x 的单调区间；（2）若当11,1x e e ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦时，不等式()f x m ≤恒成立，求实数m 的取值范围； （3）若关于x 的方程()2f x x x a =++在区间[]0,2上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围．变式2 （2012湖南22（1））已知函数()axf x e x =-，其中0a ≠，若对一切(),1x R f x ∈≥恒成立，求a 的取值集合． 例15. 设函数()f xxx e e -=-（1）证明; ()f x 的导数()f 0x '≥；（2）若对所有0x ≥，都有()f x ax ≥，求a 的取值范围． 解析 （1）()xxf x e e -'=+，由基本不等式得22xxx x e ee e --+≥⋅=，故()2f x '≥，当且仅当0x =时()2f x '=． （2）令()()()0xxg x f x ax e eax x -=-=--≥，由()()0=022x x x x g g x e e a e e a a --'=+-≥⋅-=-，．①当2a ≤时，()0g x '≥，函数()g x 在[0,)+∞上单调递增，则()()00g x g ≥=，满足题意．②当2a >时，，因为函数()g x '在[0,)+∞上单调递增，令()00g x '=，得当()00,x x ∈时，()0g x '<，函数()g x 在()00,x 上单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 在()0,x +∞上单调递增，因此，当()00,x x ∈时()0g x <，不满足在()min x [0,),0g x ∈+∞≥，故2a >不满足题意，舍去． 综上，a 的取值范围为(,2]-∞．评注 对于恒成立问题，其根本思想是 “转化”，而转化有两种方法：分离参数法和不分离参数法，对于不等式试验区间端点值成立的情形，一般采用不分离参数法，相比分离参数法操作上简单，可以视不同情形，选择不同的方法变式1 （2012天津20）已知()()ln f x x x a =-+的最小值为０，其中0a >． （１）求a 的值；（２）若对任意的[0,)x ∈+∞，均有()2f x kx ≤成立，求实数k 的最小值．变式２ 已知函数()()ln 1,f x x a x a R =--∈． （１）讨论函数()f x 的单调性； （２）当1x ≥时，()ln f 1xx x ≤+恒成立，求a 的取值范围． 思路提示２（１）若函数()f x 在区间Ｄ上存在最小值()min f x 和最大值()max f x ，即()[],f x m n ∈，则对不等式有解问题有以下结论：不等式()a f x <在区间D 上有解()max a f x ⇔<； 不等式()a f x ≤在区间D 上有解()max a f x ⇔≤； 不等式()a f x >在区间D 上有解()min a f x ⇔>；不等式()a f x ≥在区间D 上有解()min a f x ⇔≥；（２）若函数()f x 在区间D 上不存在最大（小）值，如值域为(),m n ，则对不等式有解问题有以下结论：不等式()()()a f x f x <≤或a 在区间D 上有解a n ⇔< 不等式()()()b f x f x >≥或b 在区间D 上有解b m ⇔>例16.已知函数()()()1ln ,a f x x a x g x a R x+=-=-∈． （１）若1a =，求函数()f x 的极值；（２）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；（３）若在[]1e ，上存在一点0x ，使得()()00f x g x <成立，求a 的取值范围． 分析 若在区间[]1,e 上存在一点0x ，使得()()00f x g x <成立，转化为函数()()f x g x -在区间[]1,e 上的最小值小于０．解析 （１）当a 1=时，()ln f x x x =-，函数的定义域为{}|0x x >，()111x f x x x-'=-= 当()0,1x ∈时()0f x '<，()f x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，()f x 的极小值为()11f = （２）()()()1ln ,0a h x f x g x x a x x x+=-=-+>，()()()()22211a+1x a x x ax h x x x-++⎡⎤--⎣⎦'==，导函数()h x '的零点为1x a =+． 若10a +≤，即1a ≤-，则()()0+h x ∞在，上单调递增；若10a +>，即1a >-，则()()01h x a +在，上单调递减，在()1,a ++∞上单调递增．（３）依题意，只需要()()()[]000min0,x 1,f x g x e -<∈，令()()()[]+1ln 1,,a h x f x g x x a x x e x=-=-+∈， ()()()()222211111x a x x ax a a a h x x x x x -++⎡⎤--++⎣⎦=--==，讨论()h x '的零点与区间[]1,e 的位置关系．①若11a +≤时，即()()0,0,a h x h x '≤≥单调递增，()()min 120h x h a ==+<，得2a ≤-；②若11a e <+<时，即01a e <<-，()h x 在[1,a+1)上单调递减，在(a+1,e]上单调递增，故()()()()()min 11ln 11,0,1h x h a a a a a e =+=+-++∈-，令()()()()()()1ln 11,0,1,012p x x x x x e p p e =+-++∈-=-=，()1p x x >+12x -+=，()0,1x e ∈-，因此()[]2,0,1p x x e ≥∈-，不符，故舍去．③若1a e +≥时，即1a e ≥-，()h x 在[]1,e 上单调递减，则()()min10a h x h e e a e +==-+<，得211e a e e +>>-成立．综上，a 的取值范围为()21,2,1e e ⎛⎫+-∞-+∞ ⎪-⎝⎭变式１ （２０１２北京丰台期末理１９）设函数()ln bf x x a x x=-+，在1x =处取得极值．（１）求a 与b 满足的关系式；（２）若1a >，求函数()f x 的单调区间；（３）若3a >，函数()223g x a x =+，若存在121,,22m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12|f g |9m m -<成立，求a 的取值范围． 思路提示３（１）对于任意的[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212max max f x g x f x g x ≤⇔≤；（２）对于任意的[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212min min f x g x f x g x ≥⇔≥；（３）若存在[]1,x a b ∈，对于任意的[]2m,x n ∈，使得()()()()1212min min f x g x f x g x ≤⇔≤；（４）若存在[]1,x a b ∈，对于任意的[]2m,x n ∈，使得()()()()1212max max f x g x f x g x ≥⇔≥；（５）对于任意的[]1,x a b ∈，[]2m,x n ∈使得()()()()1212max min f x g x f x g x ≤⇔≤； （６）对于任意的[]1,x a b ∈，[]2m,x n ∈使得()()()()1212min max f x g x f x g x ≥⇔≥； （７）若存在[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212min max f x g x f x g x ≤⇔≤（８）若存在[]1,x a b ∈，总存在[]2m,x n ∈，使得()()()()1212max min f x g x f x g x ≥⇔≥．例17. 已知()()1ln 1af x x ax a R x-=-+-∈． （１）当12a ≤时，讨论()f x 的单调性； （２）设()224g x x bx =-+，当14a =时，若对任意()10,2x ∈，存在[]21,2x ∈，使()()12f x g x ≥．求实数b 的取值范围．分析 对于任意的()10,2x ∈，存在[]21,2x ∈，使得()()12f x g x ≥成立转化为()()12min min f x g x ≥解析 （１）函数()f x 的定义域为{}|0x x >，()()[]()222211111ax a x ax x a a f x a x x x x+------'=-+== ①当0a =时，()21x f x x-'=，由()0f x '>，得1x >，由()0f x '<，得01x <<②当0a ≠时，()()211a a x x a f x x-⎛⎫--- ⎪⎝⎭'=， （Ⅰ）当11a a -=时，得()()221112,2x a f x x--'==，函数()f x 在()0,+∞上单调递减． （Ⅱ）当102a <<时，11aa->， 当x 变化时，()(),f x f x '变化情况如表３－１１所示．表３－１１x()0,1111,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭1aa- 1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x ' -0 +0 -()f x极小值极大值函数()f x 的单调递减区间为()0,1和1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递增区间为11,a a -⎛⎫⎪⎝⎭．（Ⅲ）当0a <时，10aa-<，函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增； 综上，当0a ≤时，函数()f x 在()0,1的单调递减区间为，递增区间为()1,+∞；当102a <<时，函数()f x 在()0,1，1,a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在11,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；当12a =时，函数()f x 在()0,+∞上单调递减． （２）依题意，()()()[]1212min min ,0,2,1,2f x g x x x ≥∈∈，当14a =时，()3ln 144x f x x x=-+-在()0,1上递减，在()1,2上递增，故()()()[]2min 11= -,24,1,22f x fg x x bx x ==-+∈．当1x b =≤时，()()min 152g x g b ==-，则1522b -≥-，即114b ≥（舍）当12b <≤时，()()222min 244g x g b b b b ==-+=-，得22194,,22b b -≥-≥即322b ≥或322b ≤-（舍） 当2b ≥时，()()min 284g x g b ==-，则1842b -≥-，得178b ≥综上，实数b 的取值范围是17[,8+∞）．评注 对于存在性与任意性的综合问题，不妨先定存在，如本例中对任意的()10,2x ∈，总存在[]21,2x ∈，使()()12f x g x ≥，令()2g x M =，则()10,2,x ∀∈()()11min f x M f x M ≥⇔≥，设()()11min ,0,2f x m x =∈，再分析存在[]()22min 1,2,x g x m ∈≤，则，即最终转化为()()21min min g x f x ≤的问题．变式１ 已知函数．（１）求的单调区间；（２）设，若对任意的，均存在，使得，求的取值范围．变式２ 已知函数，（为常数，）（１）若是函数的一个极值点，求的值； （２）求证：当时，在上是增函数； （３）若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围．。