2018版高考数学复习三角函数解三角形4.2同角三角函数基本关系及诱导公式理

第四章 三角函数、解三角形 4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式

理

1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2

α＋cos 2

α＝1. (2)商数关系：sin α

cos α＝tan α.

2．各角的终边与角α的终边的关系

3.六组诱导公式

【知识拓展】

1．诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限． 2．同角三角函数基本关系式的常用变形： (sin α±cos α)2

＝1±2sin αcos α； (sin α＋cos α)2

＋(sin α－cos α)2

＝2；

(sin α＋cos α)2

－(sin α－cos α)2

＝4sin αcos α.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2

α＋cos 2

β＝1.( × ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin α

cos α

恒成立．( × )

(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × )

(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π

2的奇数倍和偶

数倍，变与不变指函数名称的变化．( √ )

1．(2015·福建)若sin α＝－5

13，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )

A.125 B ．－125 C.512 D ．－512 答案 D

解析 ∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1213，

∴tan α＝sin αcos α＝－5

12

，故选D.

2．(教材改编)已知sin(π＋α)＝1

2，则cos α的值为( )

A ．±12

B.12

C.

32

D ．±

32

答案 D

解析 ∵sin(π＋α)＝－sin α＝1

2

.

∴sin α＝－12，cos α＝±1－sin 2

α＝±32

.

3．(2016·东营模拟)计算：sin 116π＋cos 10

3π等于( )

A ．－1

B ．1

C ．0 D.12－32

答案 A

解析 ∵sin 116π＝sin(π＋56π)＝－sin 5π6＝－1

2，

cos 103π＝cos(2π＋4π3)＝cos 4π3＝－1

2，

∴sin 116π＋cos 10

3

π＝－1.

4．(教材改编)若tan α＝2，则sin α＋4cos α

5sin α－2cos α＝ .

答案 34

解析 sin α＋4cos α5sin α－2cos α＝tan α＋4

5tan α－2

＝

2＋45×2－2＝3

4

.

5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

2cos π3x ，x ≤2 000，x －18，x >2 000，则f (f (2 018))＝ .

答案 －1

解析 ∵f (f (2 018))＝f (2 018－18)＝f (2 000)， ∴f (2 000)＝2cos 2 000π3＝2cos 2

3

π＝－1.

题型一 同角三角函数关系式的应用

例1 (1)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π

2，则cos α－sin α的值为( )

A ．－

3

2

B.32

C ．－34

D.34

(2)化简：(1＋tan 2

α)(1－sin 2

α)＝ . 答案 (1)B (2)1

解析 (1)∵5π4＜α＜3π

2

，

∴cos α＜0，sin α＜0且cos α>sin α， ∴cos α－sin α＞0.

又(cos α－sin α)2

＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，

∴cos α－sin α＝

32

. (2)(1＋tan 2

α)(1－sin 2

α)＝(1＋sin 2

αcos 2α)·cos 2

α

＝cos 2

α＋sin 2

αcos 2

α

·cos 2α＝1. 思维升华 (1)利用sin 2α＋cos 2

α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝

tan α可以实现角α的弦切互化．

(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2

＝1±2sin αcos α，可以知一求二．

(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2

α＋cos 2

α，sin 2

α＝1－cos 2

α，cos 2

α＝1－sin 2

α.

已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α等于( )

A ．－1

B ．－

22

C.22

D ．1

答案 A

解析 由⎩⎨⎧

sin α－cos α＝2，

sin 2

α＋cos 2α＝1，

消去sin α得2cos 2

α＋22cos α＋1＝0， 即(2cos α＋1)2

＝0，