八年级数学下册1.3线段的垂直平分线第1课时线段垂直平分线的性质与判定练习课件(新版)北师大版
第一章三角形的证明1.3线段的垂直平分线第1课时线段垂直平分线的的性质与判定北师大版八年级数学下册
无数 种.
3. 下列说法：
① 若点 P、E 是线段 AB 的垂直平分线上两点，则 EA＝
EB，PA＝PB； ② 若 PA＝PB，EA＝EB，则直线 PE 垂直平分线段 AB； ③ 若 PA＝PB，则点 P 必是线段 AB 的垂直平分线上的 点；
④ 若 EA＝EB，则经过点 E 的直线垂直平分线段 AB． 其中正确的有 ①②③ （填序号）.
A.三条角平分线的交点 B.三边垂直平分线的交点 C.三边高线的交点 D.没有这样的点
3. 在△ABC 中，AB 的中垂线与 AC 边所在直线相交所得的锐角为 50°，则∠A 的
度数为（ C）
A. 50°
B. 40°
C. 40°或140°
D. 40°或50°
4. 已知：如图，在△ABC 中，边 AB、
P3，… 到点 A 与点 B 的距离之间的数量关系． P3
P1A _＝___P1B
P2 P1
P2A __＝__ P2B
A
B
P3A __＝__ P3B
l
活动探究 将△ABC 沿直线 l 对折，由于 l
是线段 AB 的垂直平分线，因此点 A 与点 B 重合. 从而线段 PA 与线段 PB 重合，于是 PA = PB.
l
证明：∵ l⊥AB，
P
∴∠PCA =∠PCB．
又 AC = CB，PC = PC，
∴△PCA≌△PCB (SAS)． A
C
B
∴ PA = PB．
微课——证明线段垂直平分线的性质
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总结归纳
线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离相等.
练习
AA′ 沿直线 l 折叠，则点 A 与点 A′ 重合，AD = A′D，
《第1课时 线段的垂直平分线》导学案 2022年最新word版
1.3 线段的垂直平分线第1课时线段的垂直平分线学习目标：1.证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理．(重难点〕2.经历探索、猜测、证明的过程，进一步开展学生的推理证明能力,丰富对几何图形的认识.3.通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.合作探究探究一：线段的垂直平分线的性质定理性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．：如右图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．求证：PA=PB．证明：∵MN⊥AB，∴∠PCA=∠PCB=90°∵AC=BC，PC=PC,∴△PCA≌△PCB(SAS) ；∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．定理运用时的数学语言：∵∴探究二：线段的垂直平分线的判定定理你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如果真，那么需证明它；如果假，那么需用反例说明。
例题：：如图，在△ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且OB = OC.求证：直线AO 垂直平分线段BC。
．证明：∵ AB = AC，∴点 A 在线段BC 的垂直平分线上〔到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上〕.同理，点O 在线段BC 的垂直平分线上.∴直线AO 是线段BC 的垂直平分线〔两点确定一条直线〕.学生是第一次证明一条直线是线段的垂直平分线，因此老师要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程。
三.当堂检测1.如图，在△ABC中，∠C = 90°，DE是AB的垂直平分线，那么〔1〕BD = ；〔2〕假设∠B = 40°，那么∠BAC = °，∠DAB = °，∠DAC = °。
〔3〕假设AC= 4，BC = 5，那么DA + DC = ，△ACD的周长为。
第12章乘法公式与因式分解12.1 平方差公式一、导入激学灰太狼开了租地公司，一天他把一边为a米的正方形土地租给慢羊羊种植。
北师大版八年级数学下册1.3线段垂直平分线 线段垂直平分线的性质与判定-讲练课件-(共30张PPT)
4.判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 垂直平分
线 上.
几何语言：
∵ AP＝BP ，
∴点P在AB的垂直平分线上．
5.如图，直线PO与AB交于点O，PA＝PB，则下列结论中正确的是
（D）
A.AO＝BO
B.PO⊥AB
C.PO是AB的垂直平分线
D.点P在AB的垂直平分线上
例2
如图，在△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内一点，且OB＝
∠ = ∠，
证明：在△ABM和△ABN中， = ，
∠ = ∠，
∴△ABM≌△ABN( ASA )．
∴AM＝AN，BM＝BN.
∴点A，B都落在MN的垂直平分线上．
∴AB垂直平分MN.
7．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分
线DE交AC于点D，连接BD，若AC＝12.
点．已知PA＝4，则线段PB的长为 4 ．
2．如图，若AC＝AD，BC＝BD，则（ B ）
A．CD垂直平分AB
B．AB垂直平分CD
C．CD平分∠ACB
D．以上均不对
3．如图，AD⊥BC于点D，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上，
则AB，AC，CE的长度关系为（ D ）
A．AB＞AC＝CE
B．AB＝AC＞CE
数学(RS版)
八年级下册
第一章 三角形的证明
第7课
线段垂直平分线的性质与判定
新课学习
线段垂直平分线的性质
1.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 相等 ．
几何语言：
∵CD是AB的垂直平分线，
∴ AC＝BC ．
北师大版八下数学1.3《线段的垂直平分线》知识点精讲
注意：要证明一条线为一个线段的垂直平分线，应证明两个点到这条线段的距离相等且这两个点都在要求证的直线上才可以证明通常来说，垂直平分线会与全等三角形来使用。
垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
巧记方法：点到线段两端距离相等。
可以通过全等三角形证明。
垂直平分线的尺规作法方法之一：(用圆规作图)1、在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。
2、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。
得到两个交点(两交点交与线段的同侧)。
3、连接这两个交点。
原理：等腰三角形的高垂直平分底边。
方法之二：1、连接这两个交点。
原理：两点成一线。
等腰三角形的性质：1、三线合一 ( 等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合。
)2、等角对等边(如果一个三角形，有两个内角相等，那么它一定有两条边相等。
)3、等边对等角(在同一三角形中，如果两个角相等，即对应的边也相等。
)垂直平分线的判定①利用定义.②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.(即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合)例1．如图，已知：在△ABC中，∠C=90°∠A=30°，BD平分∠ABC交AC于D.求证：D在AB的垂直平分线上.分析：根据线段垂直平分线的逆定理，欲证D在AB的垂直平分线上，只需证明BD=DA即可.证明：∵∠C=90，°∠A=30°（已知），∴∠ABC=60°（Rt△的两个锐角互余）又∵BD平分∠ABC（已知）∴∠DBA=1/2∠ABC=30°=∠A∴BD=AD（等角对等边）∴D在AB的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.例2．如图，已知：在△AB C中，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于F。
1.3 线段的垂直平分线第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定 北师版数学八年级下册课件
在数学中，光靠观察是不够的，还需要
理性的证明.
如何证明这 个结论呢？
线段垂直平分线的性质
已知：如图所示，直线MN⊥ AB，垂足是C，并且AC=BC，P是 MN上任一点.
求证：PA=PB.
M P
证明：∵ MN⊥ AB ， ∴ ∠PCA= ∠PCB=90°.
A
C
B
又∵ AC=BC， PC=PC，
N
∴ △PCA≌ △PCB（SAS）.
定理中说线段垂直平分线上的任一点到线 段两个端点的距离相等，但是在证明过程中， 只是随机选了一种情况来证明，这并不影响定 理的正确性，因为所选的点是任意的.
线段垂直平分线的判定
你还记得上节课学过的关于互逆命题和互逆定 理的知识吗？
逆命题定义：在两个命题中，如果一个命题的 条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么 这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一 个命题的逆命题.
∴ PA=PB（全等三角形的对应边相等）.
线段垂直平分线的性质
M
由证明过程可以看出，两组对应
P
线段分别相等，那么这个事实的几 何意义是什么？
A
三角形两条边对应相等意味 着线段垂直平分线上的点到线段 两个端点的距离相等.
C
B
N
线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平 分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
古希腊的安那萨哥拉斯首先提出作图要有尺寸限制.他因政 治上的纠葛，被关进监狱，并被处以死刑.在监狱里，他思考改 圆成方以及其他有关问题，用来打发令人苦恼的无所事事的生活. 他不可能有规范的作图工具，只能用一根绳子画圆，用随便找来 的破木棍作直尺，当然这些尺子上不可能有刻度.另外，对他来 说，时间是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解 决问题.后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里德的《几 何原本》.由于《几何原本》的巨大影响，希腊人所崇尚的尺规 作图也一直被遵守并流传下来.
线段的垂直平分线 第一课时-八年级数学下册课件(北师大版)
2 到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的( D ) A．三条高的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
3 如图，点D 在△ABC 的BC 边上，且BC＝BD＋AD， 则点D 在线段( B )的垂直平分线上． A．AB B．AC C．BC
D．不确定
A．16
B．15
C．14
D．13
3 如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC，BD 相交于点O，如果 AC＝BD，那么下列结论：①AD＝BC；②∠ABC＝∠BAD；③ ∠DAC＝∠CBD；④点O 在线段AB 的垂直平分线上．
其中正确的是( D ) A．①②③
B．②③④
C．①③④
D．①②③④
4 如图，已知△ABE 中，AB，AE 边上的垂直平分线m1， m2分别交BE 于点C，D，且BC＝CD＝DE. (1)求证：△ACD 是等边三角形； (2)求∠BAE 的度数．
(1)证明：∵AD∥BC，∴∠ECF＝∠ADE. ∵E 为CD 的中点，∴CE＝DE. 在△FEC 与△AED 中，
∠FEC＝∠AED， CE＝DE， ∠ECF＝∠EDA， ∴△FEC ≌ △AED (ASA)． ∴CF＝AD.
(2)解：当BC＝6时，点B 在线段AF 的垂直平分线上．理由： ∵BC＝6，AD＝2，AB＝8， ∴AB＝BC＋AD. 又∵CF＝AD，BC＋CF＝BF， ∴AB＝BF. ∴点B 在线段AF 的垂直平分线上．
2
2
(4)不需要修改．
线段：在线段垂直平分线上的点到线段两个端点 距离都相等. 判定：与线段两个端点距离相等的点都在线段的 垂直平分线上. 线段垂直平分线的集合定义： 线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离 相等的所有点的集合.
《线段垂直平分线的性质》习题课教案设计及教学反思
练习课教案设计 教师 ：袁芃 学校：横道中学课 题13.1线段的垂直平分线的性质 （练习课） 授课时间教学目标 1. 复习线段的垂直平分线的定义及性质 2. 体会几何说理证明问题的思路和方法。
3. 进一步发展说理论证能力，能够有条理地思考、解决问题 教学重点线段垂直平分线的定义及性质 教学难点 研究几何问题的思路和方法。
教学过程（师生活动）一．创设情境：如图是一块三角形的草坪，想要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边交点的距离相等，凉亭的位置应选在哪？二．出示学习目标：1.复习线段的垂直平分线的定义及性质2.能利用线段垂直平分线的定义和性质解决实际问题。
三．知识回顾：1.线段垂直平分线的定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线2.线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点与这条线断两个端点的距离相等3.线段垂直平分线的性质的逆定理线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等四．知识巩固（一）基础练习：1、如图，△ABC 中，AD 是BC 边的垂直平分线，BD=2，AB ＝5，那么AC ＝____ DC ＝_____.（第1题） （第2题） （第3题）2、如图，AB 是CD 的垂直平分线，若AC=1.6cm ，BC=2.3cm ，则四边形ABCD 的周长是（ ）cm.A.3.9B.7.8C.4D.4.6C D A B3、如图，NM是线段AB的中垂线,下列说法正确的有： .①AB⊥MN, ②AD=DB，③MN⊥AB，④MD=DN，⑤AB是MN的垂直平分线.4、下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的个数有（）A．1个 B．2个C．3个 D．4个（二）生活实践：1、有特大城市A及两个小城市B、C，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B、C两城市的距离相等，且使A市到该厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置。
1.3.2 线段的垂直平分线 教案 2021—2022学年北师大版八年级数学下册
课题 1.3线段的垂直平分线（二）学习目标1.能够证明三角形三边垂直平分线交于一点2.经历猜想、探索，能够作出符合条件的三角形．3.经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识．重点难点重点：用尺规作已知线段垂直平分线难点：已知底边及底边上的高求作等腰三角形教法选择分组讨论法、讲练结合法课型新授课前准备课件是否采用多媒体是教学时数2课时教学时数第 2 课时备课总数第课时教学设计思路及其意图本课时运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题，主要内容包括：证明“三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离等”；已知底边及底边上的高，用尺规作等腰三角形；用尺规过一点作已知直线的垂线。
这些内容都是重要的几何知识，让学生经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明的意识和能力，让学生收货解决问题的方法和意识。
课堂教学过程设计教学内容教师活动学生活动一、情境引入：1.剪一个三角形纸片通过折叠找出每条边的垂直平分线.2.观察这三条垂直平分线,你发现了什么?二、知识点链接：1、已知线段AB及一点P，PA=PB=3cm，则点P在_______上.2、如果P是线段AB的垂直平分线上一点，且PB=6cm，则PA=__________cm.3、如图（1），P是线段AB垂直平分线上一点，M为线段AB 上异于A，B的点，则PA，PB，PM的大小关系是PA__________PB__________PM.4、如图（2），在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC交BC于D，则点D在____（1）（2）三、自学导读1、先把课本P24____P26通读一遍。
2、已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点O，连接AO，BO，CO．求证：O点在AC的垂直平分线上且OA=OB=OC．学生亲历知识的发生和发展过程.学生进行折纸活动，并思考和发现结论.结论:三角形三条边的垂直平分线相交于一点.学生思考问题，并积极讨论.主备人：备课组长签字：四、议一议： 1、已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作几个？所作的三角形都全等吗？（这样的三角形能作出无数多个，它们不都全等） 2、已知等腰三角形底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？（满足条件的等腰三角形可和出两个，分加位于已知边的两侧，它们全等）。
1.3.1线段垂直平分线的性质与判定-北师大版八年级数学下册习题课件
*9.(2020·河南)如图，在△ABC 中，AB＝BC＝ 3，∠BAC＝30°，
分别以点 A，C 为圆心，AC 的长为半径作弧，两弧交于点 D，
连接 DA，DC，则四边形 ABCD 的面积为( )
A．6 3 B．9
C．6
D．3 3
【点拨】如图，连接 BD 交 AC 于点 O，根据已知条件得到 BD 垂直平分 AC，进而得 BD⊥AC，AO＝CO，根据等腰三角形的 性 质 得 到 ∠ACB ＝ ∠BAC ＝ 30°， 根 据 等 边 三 角 形 的 性 质 得 到 ∠DAC＝∠DCA＝60°，易得△ABD，△BCD 均为含 30°角的直 角三角形，可求得 AD＝CD＝ 3AB＝3， 于是 S 四边形 ABCD＝12AB·AD＋12BC·CD＝3 3. 【答案】D
*10.如图，点 C 是△ABE 的 BE 边上一点，点 F 在 AE 上，D 是 BC 的中点，且 AB＝AC＝CE.给出下列结论： ①AD⊥BC；②CF⊥AE； ③∠1＝∠2；④AB＋BD＝DE. 其中正确的结论有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【点拨】∵∴AB＋BD＝DC＋CE＝DE. ∴①④正确．由已知条件无法得到 CF⊥AE 和∠1＝∠2， ∴②③错误．
第1课时 线段垂直平分线的性质与判定
(2)AB＝BC＋AD. 提示：点击 进入习题
第1课时 线段垂直平分线的性质与判定
提示：点击 进入习题
提示：点击 进入习题
提示：点击 进入习题
提提示示： ：点点击击证进进明入入习习：题题 由(1)知△ADE≌△FCE，∴AE＝FE.
第1课时 线段垂直平分线的性质与判定
12．如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，BE 平分∠ABC，AM⊥ BC 于点 M，AD 平分∠MAC，交 BC 于点 D，交 BE 于点 F， AM 交 BE 于点 G.
北师大版数学八年级下册《线段的垂直平分线》教学设计
北师大版数学八年级下册《线段的垂直平分线》教学设计一. 教材分析北师大版数学八年级下册《线段的垂直平分线》是初中数学的重要内容，主要让学生了解线段的垂直平分线的性质和判定方法。
通过本节课的学习，使学生能够熟练运用线段的垂直平分线解决实际问题，提高他们的数学应用能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了线段的基本概念和相关性质，具备一定的逻辑思维和空间想象能力。
但对于线段的垂直平分线的性质和判定方法，还需要通过本节课的学习来进一步理解和掌握。
三. 教学目标1.理解线段的垂直平分线的性质和判定方法。
2.能够运用线段的垂直平分线解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维和空间想象能力。
四. 教学重难点1.线段的垂直平分线的性质和判定方法。
2.如何运用线段的垂直平分线解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生探究线段的垂直平分线的性质和判定方法。
2.利用多媒体辅助教学，直观展示线段的垂直平分线的特点。
3.运用实例分析法，让学生学会运用线段的垂直平分线解决实际问题。
4.小组讨论，培养学生的合作意识和团队精神。
六. 教学准备1.多媒体教学课件。
2.相关实例和习题。
3.尺子、圆规等学具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示线段的垂直平分线的图片，引导学生思考：什么是线段的垂直平分线？为什么它具有特殊的性质？2.呈现（10分钟）介绍线段的垂直平分线的性质和判定方法，通过示例和讲解，让学生理解并掌握这些性质。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，利用尺子和圆规实际画出线段的垂直平分线，并验证其性质。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）出示一些有关线段垂直平分线性质的判断题和应用题，让学生独立完成，检验他们对于知识点的掌握情况。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：线段的垂直平分线在实际生活中有哪些应用？如何运用这些性质解决实际问题？教师出示一些实例，让学生分小组讨论并展示解题过程。
八年级下册1、3线段的垂直平分线第1课时线段垂直平分线的性质与判定习题新版北师大版
10．【2019·温州】如图，在△ABC中，AD是BC 边上的中线，E是AB边上一点，过点C作 CF∥AB，交ED的延长线于点F. (1)求证：△BDE≌△CDF；
证明：∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F. ∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD. ∴△BDE≌△CDF(AAS)．
(2)当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．
2．如图，AD垂直平分BC，AC＝CE，点B，D，C，E在同一 直线上，则AB＋DB与DE的关系是( C ) A．AB＋DB>DE B．AB＋DB<DE C．AB＋DB＝DE D．不能确定
3．【2020·呼伦贝尔】如图，AB＝AC，AB的 垂直平分线MN交AC于点D，若∠C＝65°， 则∠DBC的度数是( D ) A．25° B．20° C．30° D．15°
【点拨】如图所示，已知点P在线段AB外，且PA＝PB.选项 A中作∠APB的平分线PC交AB于点C，只需再证明AC＝BC 及PC⊥AB即可得到PC是线段AB的垂直平分线．故作法正 确；对于“过点P作PC⊥AB于点C”①或取AB的中点C(即 AC＝BC)②，要先让所作辅助线满足①或②，再证明 所作辅助线满足②或①，从而得到PC是线段AB的垂 直平分线，故选项B不正确，选项C，D作法正确． 【答案】B
解：∵△BDE≌△CDF， ∴BE＝CF＝2. ∴AB＝AE＋BE＝1＋2＝3. ∵AD⊥BC，BD＝CD， ∴AC＝AB＝3.
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，G为三角形外一点， 且GB＝GC. (1)求证：AG垂直平分BC； 证明：∵GB＝GC，AB＝AC， ∴点G，点A在BC的垂直平分线上． 又∵两点确定一条直线， ∴AG垂直平分BC.
*4.如图，在△ABC中，∠B＝32°，∠C＝48°，AB 和AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且点D在 点E的左侧，BC＝6 cm，则△ADE的周长是( D ) A．3 cm B．12 cm C．9 cm D．6 cm
八年级数学下册 1.3.1 线段的垂直平分线教案 北师大版(2021年整理)
此时，逆命题就很容易写出来．“如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．”
问题二：写出逆命题后时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假,则需用反例说明．
想初步判断这一逆命题的真假可以利用几何画板来做实验：
课件出示：等腰三角形ABC，其中AD是顶角的平分线.
问题一：等腰三角形具有怎样的特殊性质?
问题二:根据这一特殊的性质你还能联想到我们学过的那一个定理?
问题三:我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．利用几何画板,我们也可以进行线段垂直平分线定理的验证.具体操作如下：
六、快乐套餐，体验成功
A类
一、判断题
1。如图（1），OC=OD直线AB是线段CD的垂直平分线
2。如图(1）,射成OE为线段CD的垂直平分线
3.如图（2），直线AB的垂直平分线是直线CD
4.如图（3）,PA=PB，P′A=P′B，则直线PP′是线段AB的垂直平分线
四、归纳总结，知识沉淀
问题：这节课大家通过自己的努力和小组的合作,相信每个同学都有所收获．整理一下本节课的所学，写下来.
我掌握的定理有______；
我学会了_______；
我还知道了_______.
处理方式:
学生写完后,全班交流各自收获和心得.
教师巡视学生的答题情况，及时点评、鼓励。
设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识,写下来更能加深印象．
3．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力．丰富对几何图形的认识。
北师大版数学八年级下册：1.3 线段的垂直平分线 同步练习(附答案)
3线段的垂直平分线第1课时线段垂直平分线的性质定理及其逆定理1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点．已知线段PA＝3 cm，则线段PB的长为（）A．6 cm B．5 cmC．4 cm D．3 cm第1题图第2题图2．如图，AB是CD的垂直平分线．若AC＝2.3 cm，BD＝1.6 cm，则四边形ACBD的周长是（）A．3.9 cm B．7.8 cmC．4 cm D．4.6 cm3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E.若BC＝6，AC ＝5，则△ACE的周长为（）A．8 B．11C．16 D．17第3题图第4题图4．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，DC平分∠ACB.若∠A＝50°，则∠B的度数为．5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D.求证：∠CAB＝∠AED.6．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（）A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB第6题图第7题图7．如图，已知△ABC，AB＞AC＞BC，边AB上存在一点P，使得PA＋PC＝AB.下列描述正确的是（）A．P是AC的垂直平分线与AB的交点B．P是BC的垂直平分线与AB的交点C．P是∠ACB的平分线与AB的交点D．P是以点B为圆心，AC长为半径的弧与边AB的交点8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：点D在AB的垂直平分线上．9．在△ABC中，AB＝AC，边AB的垂直平分线与边AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则∠C的度数为．10．下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA＝EB；②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE是线段AB的垂直平分线；③若EA＝EB，则直线EP是线段AB的垂直平分线；④若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC＝6 cm，且△ABD的周长为13 cm，则△ABC的周长为（）A．13 cm B．19 cmC．10 cm D．16 cm第11题图第12题图12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，将AB边沿AD折叠，发现B点的对应点E正好在AC的垂直平分线上，则∠C＝．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为．第13题图第14题图14．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O.若∠1＝39°，则∠AOC＝．15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，E是BD的垂直平分线与AB的交点，DE交AC于点F.求证：点E在AF的垂直平分线上．16．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外的一点(点D与点A分别在直线BC的两侧)，且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交射线AB于点E，连接AD交BC于点F.(1)求证：AD垂直平分BC；(2)请从A，B两题中任选一题作答，我选择________题．A：如图1，当点E在线段AB上且不与点B重合时，求证：DE＝AE；B：如图2，当点E在线段AB的延长线上时，写出线段DE，AC，BE之间的等量关系，并证明你的结论．第2课时三角形三边的垂直平分线1．三角形纸片ABC上有一点P，量得PA＝3 cm，PB＝3 cm，则点P一定（）A．是边AB的中点B．在边AB的中线上C．在边AB的高上D．在边AB的垂直平分线上2．在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形（）A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条高的交点3．如果三角形中两条边的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．直角三角形4．如图，已知直线MN为△ABC的边BC的垂直平分线．若AB，AC两边的垂直平分线相交于点O，当顶点A的位置移动时，点O始终在（）A．直线MN上B．直线MN的左侧C．直线MN的右侧D．直线MN的左侧或右侧5．下列作图语句正确的是（）A．过点P作线段AB的垂直平分线B．在线段AB的延长线上取一点C，使AB＝ACC．过直线a和直线b外一点P作直线MN，使MN∥a∥bD．过点P作直线AB的垂线6．如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是（）A．l是线段EH的垂直平分线B．l是线段EQ的垂直平分线C．l是线段FH的垂直平分线D．EH是l的垂直平分线第6题图 第7题图7．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，连接MN ，分别与AC ，BC 交于点D ，E ，连接AE ，则：(1)∠ADE ＝ ；(2)AE EC ；(填“＝”“＞”或“＜”)(3)当AB ＝3，AC ＝5时，△ABE 的周长等于 ．8．为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P ，使P 到该镇A 村、B 村、C 村所属的村委会所在地的距离都相等(A ，B ，C 不在同一直线上，地理位置如图)，请你用尺规作图的方法确定点P 的位置．要求：写出已知、求作，不写作法，保留作图痕迹．9．在平面内，到三点A ，B ，C 距离相等的点（ ） A ．只有一个B ．有两个C ．有三个或三个以上D ．有一个或没有10．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＞AC.按下列步骤作图：①分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M 和点N ；②作直线MN ，与边AB 相交于点D ，连接CD. 下列说法不一定正确的是（ ）A ．∠BDN ＝∠CDNB ．∠ADC ＝2∠B C ．∠ACD ＝∠DCB D ．2∠B ＋∠ACD ＝90°A 村 ·B 村 ·C 村 ·11．等腰三角形的底角为40°，两腰的垂直平分线交于点P，则（）A．点P在三角形内B．点P在三角形外C．点P在三角形底边上D．点P的位置与三角形的边长有关12．如图，由于水资源缺乏，B，C两地不得不从黄河上的扬水站A引水，这就需要A，B，C之间铺设地下输水管道，有人设计了三种铺设方案：如图①②③，图中实线表示管道铺设线路，在图②中，AD垂直BC于点D；在图③中，OA＝OB＝OC.为减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短，已知△ABC恰好是一个边长为a的等边三角形，那么通过计算，你认为最好的铺设方案是方案．13．如图所示，已知线段a，b，求作等腰三角形，使高为a，腰长为b(a＜b，尺规作图，保留作图痕迹)．14．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F.(1)若∠ACB＝120°，求∠MCN的度数；(2)若△CMN的周长为15 cm，求AB的长；(3)若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．【变式】如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC.(1)求∠PAQ的度数；(2)若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长．参考答案：第1课时线段垂直平分线的性质定理及其逆定理1．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点．已知线段PA＝3 cm，则线段PB的长为(D)A．6 cm B．5 cmC．4 cm D．3 cm第1题图第2题图2．如图，AB是CD的垂直平分线．若AC＝2.3 cm，BD＝1.6 cm，则四边形ACBD的周长是(B)A．3.9 cm B．7.8 cmC．4 cm D．4.6 cm3．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E.若BC＝6，AC ＝5，则△ACE的周长为(B)A．8 B．11C．16 D．17第3题图第4题图4．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，DC平分∠ACB.若∠A＝50°，则∠B的度数为30°．5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB边的垂直平分线DE交BC于点E，垂足为D.求证：∠CAB＝∠AED.证明：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB.∴∠EAB＝∠B.∵∠C＝90°，∴∠CAB ＋∠B ＝90°. 又∵∠AED ＋∠EAB ＝90°， ∴∠CAB ＝∠AED.6．如图，AC ＝AD ，BC ＝BD ，则有(A) A ．AB 垂直平分CD B ．CD 垂直平分AB C ．AB 与CD 互相垂直平分 D ．CD 平分∠ACB第6题图 第7题图7．如图，已知△ABC ，AB ＞AC ＞BC ，边AB 上存在一点P ，使得PA ＋PC ＝AB.下列描述正确的是(B)A ．P 是AC 的垂直平分线与AB 的交点 B ．P 是BC 的垂直平分线与AB 的交点 C ．P 是∠ACB 的平分线与AB 的交点D ．P 是以点B 为圆心，AC 长为半径的弧与边AB 的交点8．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D.求证：点D 在AB 的垂直平分线上．证明：∵∠C ＝90°，∠A ＝30°， ∴∠ABC ＝90°－30°＝60°. ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD ＝12∠ABC ＝30°.∴∠A ＝∠ABD. ∴DA ＝DB.∴点D 在AB 的垂直平分线上．9．在△ABC 中，AB ＝AC ，边AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所得的锐角为50°，则∠C 的度数为20°或70°．10．下列说法：①若直线PE 是线段AB 的垂直平分线，则EA ＝EB ；②若PA ＝PB ，EA ＝EB ，则直线PE 是线段AB 的垂直平分线；③若EA ＝EB ，则直线EP 是线段AB 的垂直平分线；④若PA ＝PB ，则点P 在线段AB 的垂直平分线上．其中正确的有(C)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AC ＝6 cm ，且△ABD 的周长为13 cm ，则△ABC 的周长为(B)A ．13 cmB ．19 cmC ．10 cmD ．16 cm第11题图 第12题图12．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，将AB 边沿AD 折叠，发现B 点的对应点E 正好在AC 的垂直平分线上，则∠C ＝30°．13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为76．第13题图 第14题图14．(2020·南京)如图，线段AB ，BC 的垂直平分线l 1，l 2相交于点O.若∠1＝39°，则∠AOC ＝78°．15．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是BC 延长线上一点，E 是BD 的垂直平分线与AB 的交点，DE 交AC 于点F.求证：点E 在AF 的垂直平分线上．证明：∵E 是BD 的垂直平分线上的一点， ∴EB ＝ED. ∴∠B ＝∠D.∵∠ACB＝90°，∴∠A＝90°－∠B，∠CFD＝90°－∠D.∴∠CFD＝∠A.又∵∠AFE＝∠CFD，∴∠AFE＝∠A.∴EF＝EA.∴点E在AF的垂直平分线上．16．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外的一点(点D与点A分别在直线BC的两侧)，且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交射线AB于点E，连接AD交BC于点F.(1)求证：AD垂直平分BC；(2)请从A，B两题中任选一题作答，我选择________题．A：如图1，当点E在线段AB上且不与点B重合时，求证：DE＝AE；B：如图2，当点E在线段AB的延长线上时，写出线段DE，AC，BE之间的等量关系，并证明你的结论．解：(1)证明：∵AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上．∵DB＝DC，∴点D在线段BC的垂直平分线上．∴AD垂直平分BC.(2)选择A，证明：由(1)，得AD⊥BC，又∵AB＝AC，∴∠BAF＝∠CAF.∵DE∥AC，∴∠CAF＝∠ADE.∴∠BAF＝∠ADE.∴DE＝AE.选择B，线段DE，AC，BE之间的等量关系为DE＝BE＋AC.证明：由(1)，得AF⊥BC，又∵AB＝AC，∴∠BAF＝∠CAF.∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠CAF.∴∠BAF＝∠EDA.∴AE＝DE.∵AE＝EB＋AB，AB＝AC，∴DE＝BE＋AC.第2课时三角形三边的垂直平分线1．三角形纸片ABC上有一点P，量得PA＝3 cm，PB＝3 cm，则点P一定(D)A．是边AB的中点B．在边AB的中线上C．在边AB的高上D．在边AB的垂直平分线上2．在三角形的内部，有一个点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点一定是三角形(C)A．三条中线的交点B．三条角平分线的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条高的交点3．如果三角形中两条边的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形一定是(D) A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．直角三角形4．如图，已知直线MN为△ABC的边BC的垂直平分线．若AB，AC两边的垂直平分线相交于点O，当顶点A的位置移动时，点O始终在(A)A．直线MN上B．直线MN的左侧C．直线MN的右侧D．直线MN的左侧或右侧5．下列作图语句正确的是(D)A．过点P作线段AB的垂直平分线B．在线段AB的延长线上取一点C，使AB＝ACC．过直线a和直线b外一点P作直线MN，使MN∥a∥bD ．过点P 作直线AB 的垂线6．如图，点E ，F ，G ，Q ，H 在一条直线上，且EF ＝GH ，我们知道按如图所作的直线l 为线段FG 的垂直平分线．下列说法正确的是(A)A ．l 是线段EH 的垂直平分线B ．l 是线段EQ 的垂直平分线C ．l 是线段FH 的垂直平分线D ．EH 是l 的垂直平分线第6题图 第7题图7．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，连接MN ，分别与AC ，BC 交于点D ，E ，连接AE ，则：(1)∠ADE ＝90°；(2)AE ＝EC ；(填“＝”“＞”或“＜”) (3)当AB ＝3，AC ＝5时，△ABE 的周长等于7．8．为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P ，使P 到该镇A 村、B 村、C 村所属的村委会所在地的距离都相等(A ，B ，C 不在同一直线上，地理位置如图)，请你用尺规作图的方法确定点P 的位置．要求：写出已知、求作，不写作法，保留作图痕迹．解：已知：A ，B ，C 三点不在同一直线上． 求作：作一点P ，使PA ＝PB ＝PC. 如图所示，点P 即为所求的点．9．在平面内，到三点A ，B ，C 距离相等的点(D) A ．只有一个B ．有两个C ．有三个或三个以上D ．有一个或没有10．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＞AC.按下列步骤作图：①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；②作直线MN，与边AB相交于点D，连接CD.下列说法不一定正确的是(C)A．∠BDN＝∠CDN B．∠ADC＝2∠BC．∠ACD＝∠DCB D．2∠B＋∠ACD＝90°11．等腰三角形的底角为40°，两腰的垂直平分线交于点P，则(B)A．点P在三角形内B．点P在三角形外C．点P在三角形底边上D．点P的位置与三角形的边长有关12．如图，由于水资源缺乏，B，C两地不得不从黄河上的扬水站A引水，这就需要A，B，C之间铺设地下输水管道，有人设计了三种铺设方案：如图①②③，图中实线表示管道铺设线路，在图②中，AD垂直BC于点D；在图③中，OA＝OB＝OC.为减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短，已知△ABC恰好是一个边长为a的等边三角形，那么通过计算，你认为最好的铺设方案是方案③．13．如图所示，已知线段a，b，求作等腰三角形，使高为a，腰长为b(a＜b，尺规作图，保留作图痕迹)．解：作法：(1)作线段AD＝a；(2)过点D作直线MN⊥AD于点D；(3)以点A为圆心，b为半径画弧，交MN于B，C两点，连接AB，AC，△ABC即为所求，如图所示．14．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F.(1)若∠ACB＝120°，求∠MCN的度数；(2)若△CMN的周长为15 cm，求AB的长；(3)若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．解：(1)∵DM，EN分别垂直平分AC和BC，∴AM＝CM，CN＝BN.∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN.∴∠MCN＝180°－(∠CMN＋∠CNM)＝180°－(2∠A＋2∠B)＝180°－2(180°－∠ACB)＝60°.(2)∵AM＝CM，BN＝CN，∴△CMN的周长为CM＋MN＋CN＝AM＋MN＋BN＝AB.∵△CMN的周长为15 cm，∴AB＝15 cm.(3)∵∠MFN＝70°，∴∠MNF＋∠NMF＝180°－70°＝110°.∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，∴∠AMD＋∠BNE＝∠NMF＋∠MNF＝110°.∴∠A＋∠B＝90°－∠AMD＋90°－∠BNE＝70°.又∵∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，∴∠MCN＝180°－2(∠A＋∠B)＝40°.【变式】如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC.(1)求∠PAQ的度数；(2)若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长．解：(1)设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z，∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，∴AP＝PB，AQ＝CQ.∴∠B＝∠BAP＝x＋z，∠C＝∠CAQ＝x＋y.∵∠BAC＝80°，∴∠B＋∠C＝100°，即x＋y＋z＝80°，x＋z＋x＋y＝100°.∴x＝20°.∴∠PAQ＝20°.(2)∵△APQ周长为12，∴AQ＋PQ＋AP＝12.∵AQ＝CQ，AP＝PB，∴CQ＋PQ＋PB＝12，即BC＋2PQ＝12.∵BC＝8，∴PQ＝2.。
北师大版八年级下册数学《1.3 第1课时 线段的垂直平分线》教案
北师大版八年级下册数学《1.3 第1课时线段的垂直平分线》教案一. 教材分析《1.3 第1课时线段的垂直平分线》这一节的内容是北师大版八年级下册数学的重点内容，主要介绍了线段的垂直平分线的性质和判定方法。
通过这一节的学习，学生可以加深对线段垂直平分线的理解，为后续的学习打下基础。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经学习了直线、射线、线段等基础知识，对几何图形有一定的认识。
但是，对于线段的垂直平分线的性质和判定方法，他们可能还比较陌生，需要通过实例和练习来加深理解。
三. 教学目标1.理解线段的垂直平分线的定义和性质。
2.学会使用直尺和圆规作线段的垂直平分线。
3.能够运用线段的垂直平分线的性质解决实际问题。
四. 教学重难点1.线段的垂直平分线的性质和判定方法。
2.如何运用线段的垂直平分线解决实际问题。
五. 教学方法采用讲解法、演示法、练习法、问题驱动法等，通过实例和练习，引导学生理解线段的垂直平分线的性质和判定方法，培养他们的几何思维和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教材、PPT、黑板、粉笔。
2.直尺、圆规、三角板。
3.练习题。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）通过一个实际问题引入：如何找到一条线段的垂直平分线？引导学生思考，引出本节课的主题。
2. 呈现（15分钟）讲解线段的垂直平分线的定义和性质，通过PPT展示实例和动画，让学生直观地理解线段的垂直平分线的性质。
3. 操练（15分钟）让学生分组合作，使用直尺和圆规作线段的垂直平分线，并互相检查，巩固所学知识。
4. 巩固（10分钟）让学生独立完成一些练习题，检测他们对线段的垂直平分线的理解和掌握程度。
5. 拓展（10分钟）引导学生思考：线段的垂直平分线在实际生活中有哪些应用？让学生举例说明，培养他们的应用意识。
6. 小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，强调线段的垂直平分线的性质和判定方法。
7. 家庭作业（5分钟）布置一些练习题，让学生回家后巩固所学知识。
《线段的垂直平分线的性质和判定》 (第1课时) 教案 探究版
《线段的垂直平分线的性质和判定》（第1课时）教案探究版教学目标知识与技能：1．探究线段垂直平分线的性质．2．线段垂直平分线的判定．过程与方法：通过自主探索线段垂直平分线的性质；学会用性质解决实际问题的过程，逐步培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力．情感、态度：1．学生在理解探索性质中，培养学生勇于探索的精神，树立积极思考，克服困难的信心．2．在探究的过程中，更大程度地激发学生学习的主动性和积极性，并使学生具有一些初步研究问题的能力．教学重点：1．线段垂直平分线的性质和判定．2．能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．教学难点灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．教学策略：鼓励学生自主学习、积极探究思考．还有注意引导学生加强对解题思路的分析、解题思想方法的概括和及时的归纳总结．教具准备：多媒体课件教学过程设计一、情境导入（教师用多媒体演示）如图，A，B表示两个仓库，要在A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?其中“到两个仓库的距离相等”，要强调这几个字在题中有很重要的作用．线段是一个轴对称图形，其中线段的垂直平分线就是它的对称轴．我们用折纸的方法，根据折叠过程中线段重合说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．所以在这个问题中，要求在“A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等”利用此性质就能完成．进一步提问：“你能用公理或学过的定理证明这一结论吗?”设计意图：通过问题，让学生在解决问题的同时，回顾线段垂直平分线的性质．二、探究新知1．探究1师：多媒体展示下图，引导学生思考．如下图．木条l与AB钉在一起，l垂直平分AB，P1，P2，P3，…是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到A与B的距离，你有什么发现？学生活动：1．学生用平面图将上述问题进行转化，先作出线段AB，过AB中点作AB的垂直平分线l，在l上取P1，P2，P3，…，连接AP1，BP1，AP2，BP2，AP3，BP3，…，2．作好图后，用直尺量出AP1，BP1，AP2，BP2，AP3，BP3，…，讨论发现什么样的规律．探究结果：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．即AP1＝BP1，AP2＝BP2，AP3＝BP3，…．师：能用我们已有的知识来证明这个结论吗？学生讨论给出证明．教师请两位学生黑板板演，集体纠正，并多媒体展示正确答案．证法1：利用两个三角形全等．如下图，在△APC和△BPC中，证明：∵l⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB．又AC＝CB，PC＝PC，∴△APC≌△BPC（SAS）．∴P A＝PB．用符号语言表示为：∵CA＝CB，l⊥AB，∴P A＝PB．证法二：利用轴对称性质．由于点C是线段AB的中点，将线段AB沿直线l对折，线段P A与PB是重合的，因此它们也是相等的．定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．带着探究1的结论我们来看下面的问题．2．探究2如下图．用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？学生活动：1．学生用平面图形将上述问题进行转化．作线段AB，取其中点P，过P作l，在l上取点P1，P2，连接AP1，AP2，BP1，BP2．会有以下两种可能．甲乙2．讨论：要使l与AB垂直，AP1，AP2，BP1，BP2应满足什么条件？探究过程：学生分组讨论，由代表举手发言，教师多媒体展示结论．1．如上图甲，若AP1≠BP1，那么沿l将图形折叠后，A与B不可能重合，也就是∠APP1≠∠BPP1，即l与AB不垂直．2．如上图乙，若AP1＝BP1，那么沿l将图形折叠后，A与B恰好重合，就有∠APP1＝∠BPP1，即l与AB垂直．当AP2＝BP2时，亦然．探究结论：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．也就是说在探究2图中，只要使箭端到弓两端的端点的距离相等，就能保证射出箭的方向与木棒垂直．师：你能证明上面的结论吗？学生讨论给出证明．学生黑板板演，教师多媒体展示证明过程，对比学生解答，纠正问题．已知：如图，P A＝PB．求证：点P在线段AB的垂直平分线上．证明：过点P作线段AB的垂线PC，垂足为C．则∠PCA＝∠PCB＝90°．在Rt△PCA和Rt△PCB中，∵P A＝PB，PC＝PC，∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴AC＝BC．又PC⊥AB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．用数学符号表示为：∵P A＝PB，∴点P在AB的垂直平分线上．判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．师：你能再找一些到线段AB两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB两端点距离相等的点？这些点能组成什么几何图形？生：在线段AB 的垂直平分线l 上的点与A ，B 的距离都相等；反过来，与A ，B 的距离相等的点都在直线l 上，所以直线l 可以看成与两点A ，B 的距离相等的所有点的集合．设计意图：通过学生动手操作，思考问题，猜测结论，培养了学生的直观猜测能力，教师通过层层设问引入，激发学生的探究欲望；同时通过小组讨论交流，培养学生的合作学习能力，让不会的同学问出来，让会的同学讲出来，达到共同提高的教学目的，也营造了宽松和谐的课堂气氛．三、典例精讲例 ．已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC ，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC ． 求证：直线 AO 垂直平分线段BC ．学生是第一次证明一条直线是已知线段的垂直平分线，因此老师要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程．师生共同完成： 证明：∵ AB = AC ，∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）．同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上．∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）．设计意图：应用线段垂直平分线的性质定理，在解答过程中，引导学生分析解决问题的方法．四、课堂练习1．如图，在△ABC 中，BC ＝8，AB 的中垂线交BC 于D ，AC 的中垂线交BC 与E ，则△ADE 的周长等于______．OCBA2．如下图，AD ⊥BC ，BD ＝DC ，点C 在AE 的垂直平分线上，AB 、AC 、CE 的长度有什么关系？AB ＋BD 与DE 有什么关系？3．如下图，AB ＝AC ，MB ＝MC ．直线AM 是线段BC 的垂直平分线吗？设计意图：及时巩固所学知识，了解学生的学习效果，增强学生灵活运用知识的能力． 答案： 1．8．2．解：∵AD ⊥BC ，BD ＝DC ， ∴AD 是BC 的垂直平分线． ∴AB ＝AC ．∵点C 在AE 的垂直平分线上， ∴AC ＝CE ． ∴AB ＝AC ＝CE ． ∵AB ＝CE ，BD ＝DC ，∴AB ＋BD ＝CD ＋CE ．即AB ＋BD ＝DE ． 3．解：∵AB ＝AC ，E DCBA∴点A在BC的垂直平分线上．∵MB＝MC，∴点M在BC的垂直平分线上．∴直线AM是线段BC的垂直平分线．五、课堂小结1．本节课学习了哪些内容？2．线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？两者之间有什么关系？3．如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？设计意图：通过提出问题，使学生思考总结所学内容，培养学生归纳总结能力；通过对性质定理和判断定理的复习，使学生找出区别与联系，避免概念的混淆．六、布置作业1．如图，直线CP是AB的中垂线且交AB于P，其中AP＝2CP．甲、乙两人想在AB 上取两点D，E，使得AD＝DC＝CE＝EB，其作法如下：（甲）作∠ACP，∠BCP之角平分线，分别交AB于D，E，则D，E即为所求；（乙）作AC，BC之中垂线，分别交AB于D，E，则D，E即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（）．A．两人都正确B．两人都错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确2．如图，在△ABC中，EF是AC的垂直平分线，AF＝12，BF＝3，则BC＝__________．3．如图，BD垂直平分CE，ED＝3 cm，△ABE的周长为11 cm，则△ACE的周长为__________．答案：1．D．2．15．3．17 cm．七、课堂检测设计1．三角形纸片上有一点P，量得P A＝3 cm，PB＝3 cm，则点P一定（）．A．是边AB的中点B．在边AB的中线上C．在边AB的高上D．在边AB的垂直平分线上2．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为__________．3．如图，△ABC中，BC＝7，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G．求△AEG的周长．4．如图，已知AB比AC长2 cm，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，△ACD 的周长是14 cm，求AB和AC的长．答案：1．D．解析：点P到线段AB两个端点的距离相等，点P在线段AB的垂直平分线上．2．6．解析：由△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，可知BE＋BD－DE＝12①，由△EDC的周长为24可知CE＋CD＋DE＝24，由DE是BC边上的垂直平分线可知BE＝CE，BD＝CD，所以BE＋BD＋DE＝24②，②－①，得2DE＝12，所以DE＝6．3．解：DE，GF分别是AB，AC的垂直平分线，∴BE＝AE，CG＝AG．∴△AEG的周长＝AE＋EG＋AG＝BE＋EG＋CG＝BC＝7．答：△AEG的周长为7．4．解析：利用垂直平分线的性质，把相等的线段“集中”到一个三角形中．解：∵DE是BC的垂直平分线，∴DB＝DC．∵AC＋AD＋CD＝14 cm，∴AC＋AD＋DB＝14，即AC＋AB＝14 cm．又∵AB－AC＝2 cm，设AB＝x cm，AC＝y cm，根据题意得142x yx y+=⎧⎨-=⎩，．解得86xy=⎧⎨=⎩，，即AB长8 cm，AC长6 cm．。
北师大版数学八年级下册第1课时 线段垂直平分线的的性质与判定课件
互逆 命题
课后作业
1.从教材习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
►在有欢声笑语的校园里，满地都是雪，像一块大地毯。房檐上挂满了冰 凌，一根儿一根儿像水晶一样，真美啊！我们一个一个小脚印踩在大地毯 上，像画上了美丽的图画，踩一步，吱吱声就出来了，原来是雪在告我们 ：和你们一起玩儿我感到真开心，是你们把我们这一片寂静变得热闹起来 。对了，还有树。树上挂满了树挂，有的树枝被压弯了腰，真是忽如一夜 春风来，千树万树梨花开。真好看呀！ ►冬天，一层薄薄的白雪，像巨大的轻软的羊毛毯子，覆盖摘在这广漠的 荒原上，闪着寒冷的银光。
∴ AD 是 BC 的垂直平分线，
∴ AB = AC.
B DC
E
A
∵ 点 C 在 AE 的垂直平 分线上，
∴ AC = CE.
∴ AB = AC = CE.
B DC
E
∵ AB = CE，BD = DC，
∴ AB + BD = CD + CE. 即 AB + BD = DE .
课堂小结
定理 线段垂直平分线上的点到这条线 段两个端点的距离相等.
3 线段的垂直平分线
第1课时 线段垂直平分线的的性质与判定
新课导入
作线段 AB 的中垂线 MN，垂足为 C；在 MN上
任取一点 P，连结 PA、PB； 量一量 PA、PB 的长，你
M P
能发现什么？
A
C
B
N
新课探究
定理 线段垂直平分线上的点到这条线
段两个端点的距离相等. 已知：如图，直线 MN⊥AB，
1. 如图，在△ABC 中，BC = 8，AB 的中 垂线交 BC 于 D，AC 的中垂线交 BC 与 E，则 △ADE 的周长等于___8___.
第1课时 线段垂直平分线的性质与判定
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11
11．如图，点C是△ABE的BE边上一点，点F在AE上，D
是BC的中点，且AB＝AC＝CE，对于下列结论：
①AD⊥BC；②CF⊥AE；③∠1＝∠2；
④AB＋BD＝DE，其中正确的结论有( B )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
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12
题型 1 线段垂直平分线的性质在求角中的应用
12．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，线 段AD的垂直平分线交BC的延长线于点F.
∵△OBC的周长为13 cm，∴OB＋OC＋BC＝13 cm.
∵BC＝6 cm，∴OB＝OC＝3.5 cm. ∴OA＝3.5 cm.
返回 17
题型
线段垂直平分线的判定在判断线
3 段垂直平分线中的应用
14．(中考·连云港)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，
点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE，
7
7．(中考·淮安)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
AC＝3，BC＝5，分别以点A，B为圆心，大于AB
的长为半径画弧，两弧交点分别
为点P，Q，过P，Q两点作直线
8
交BC于点D，则CD的长是_____5___．
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8
8．如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，
则点D在线段( B )的垂直平分线上．
10
10．(中考·河北)已知：如图，点P在线段AB外，且PA＝
PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明
该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是( B )
A．作∠APB的平分线PC交AB于点C
B．过点P作PC⊥AB于点C且AC＝BC
C．取AB的中点C，连接PC
20xx-2021学年八年级数学北师大版下册1.3线段的垂直平分线课堂练习学案
20xx-2021学年八年级数学北师大版下册1.3线段的垂直平分线课堂练习学案线段的垂直平分线例1：如图，直线L⊥AB，垂足是C，AC=CB，点P在L上，求证：PA=PB 练习：如图，直线MN垂直平分AB，交点为O，点P1，P2，P3 在直线MN上，则有：P1A= ， P2B= P3C= ， OA=▲：线段垂直平分线上的（任意）点到这条线段的两个端点的相等。
几何语言：∵ ∴ 课堂练习：1、如图，已知直线CD是线段AB的垂直平分线，且直线CD与线段AB相交于点O，有以下四个结论：①AB⊥CD，②AB=CD，③AB平分CD，④CD平分AB，其中正确的结论有（） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个第1题第2题第3题 2、如图，直线CD垂直平分线段AB，且垂足为M，则图中相等的线段有（） A、1对 B、2对 C、3对 D、4对 3、如图，已知线段AB的两个端点A、B正好关于直线CD对称，且线段AB与直线CD相较于点O，若AO=4cm，AC=6cm，则△ABC的周长为。
4、如图，AB=AC，MB=MC。
直线AM是线段BC的垂直平分线吗？5、如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，问：（1）AB、AC，CE的长度有什么关系？（2）AB＋BD与DE有什么关系？ 3、已知，D是直角斜边AC的中点，于D交BC于E，，求：的度数。
4、如右图所示，△ABC中，BC＝10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D，BE＝6，求△BCE的周长。
5、如图，△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝ 10cm，AB的垂直平分线ED交AC于D点，求：△BCD的周长。
E D C B A 6、△ABC中，DE是AC的垂直平分线，垂足为E,交AB于点D， AE=5cm，△CBD的周长为24cm，求△ABC的周长。
课后作业：1、如图，AD是△ABC的对称轴，若BC=5，那么DC= ，∠ADC=∠ = °第1题第2题第3题 2、如图，BC的垂直平分线交AB于点D，若AB=6cm，AC=5cm （1）DE所在的直线是△ 的对称轴（2）△ADC的周长是 cm。