高一向量课件

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《向量概念》课件

混合积的运算性质
总结词
掌握混合积的运算性质
详细描述
混合积具有一些重要的运算性质，包括交换律、结合律以及分配律。交换律指的是混合积的结果与向量的排列顺序无关；结合律指的是三个向量的混合积与它们的分组方式无关；分配律指的是一个向量与另外两个向量的混合积结果等于该向量与其中一个向量乘
积与另一个向量的混合积。
向量的混合积
06
混合积的定义
总结词
了解混合积的基本定义
详细描述
混合积是向量的一种运算方式，通过将三个向量的有序排列进行乘积，得到一个标量值。具体定义为向量a、b和c的混合积为a×(b×c)。
混合积的几何意义
总结词
理解混合积的几何解释
详细描述
混合积的几何意义在于表示三个向量的空间关系。具体来说，当三个向量构成一个右手坐标系时，它们的混合积为正；如果构成左手坐标系，则混合积为负。
外积的运算性质
总结词
阐述外积的运算性质
详细描述
外积具有一些重要的运算性质。首先，外积满足反交换律，即$mathbf{A} times mathbf{B} = -mathbf{B} times mathbf{A}$。这意味着两个向量的外积与其顺序有关。其次，外积与标量乘法相结合满足分配律，即 $k(mathbf{A} times mathbf{B}) = (mathbf{A} times kmathbf{B})$。此外，外积还满足结合律，即 $(mathbf{A} + mathbf{B}) times mathbf{C} = mathbf{A} times mathbf{C} + mathbf{B} times mathbf{C}$。这些运算性质使得外积在向量运算中具有重要的作用。

高中数学--空间向量基本定理--课件

问题1：.如何用，，表示向量？
[答案] .
问题2：.在图中任意找一个向量，是否都能用，，来表示？表示唯一吗？
[答案] 是，表示唯一.
问题3：.若，，，且，，两两成的角，如何求？
[答案] ， = .
新知生成
1.空间向量基本定理:如果向量，，是空间三个不共面的向量，是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组，使得 ______________.
（3）下结论：利用空间向量的一组基可以表示出空间所有向量.结果中只能含有，，，不能含有其他形式的向量.
1.设，，，且是空间的一组基.给出下列向量组:① ；② ；③ ；④ .其中可以作为空间的基的向量组有____个.
3
[解析] 如图所示，设，，，则，，， .由，，，四点不共面可知向量，，也不共面,同理可知，，不共面，，，也不共面，可以作为空间的基.因为，所以，，共面，不能作为空间的基.
4.类比平面向量基本定理，猜想三个不共面的向量如何表示空间中的任意一个向量.
[答案] 如果三个向量，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的三元有序实数组，使得 .
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）只有两两垂直的三个向量才能构成空间的一组基.( )
[解析] 假设，，共面，则存在实数，使得， . ，，不共面，∴ 此方程组无解，，，不共面，可以作为空间的一组基.
方法总结空间向量有无数组基.判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为一组基，关键是要判断它们是否共面，若从正面难以入手，则常用反证法或一些常见的几何图形来帮助我们进行判断.

高中数学3.2立体几何中的向量方法课件-(共43张PPT)

，即14x＋ 43y＋12z＝0
，
令 y＝2，则 z＝－ 3，∴n＝(0,2，－ 3)．
∵ PD ＝0，23 3，－1，显然 PD ＝
3 3 n.
26
∵ PD ∥n，∴ PD ⊥平面 ABE，即 PD⊥平面 ABE.
探究提高证明线面平行和垂直问题，可以用几何法，也可以用向量法，用向量法的关键在于构造向量，再用共线向量定理或共面向量定理及两向量垂直的判定定理。若能建立空间直角坐标系，其证法较为灵活方便.
7
r 平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
直线垂直于r平面，则称r这个向量垂直于平r
面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那么向量n
叫做平面的法向量.
r
l
给定一点Ar 和一个向量 n,那么过点A,以向量 n 为法向量的平面是
r 完全确定的.
n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
17
题型分类深度剖析
题型一利用空间向量证明平行问题例 1 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1
中，M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点．求证： MN∥平面 A1BD.
18
证明方法一如图所示，以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在
直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的
1，得
x
1 2
y 1
r n
(
1
,
1,1),
2
10
思考2：
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的位置关系以及它们二面角的大小吗？

高中数学新教材选择性必修第一册第一章《1.4空间向量的应用》全部课件

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当堂训练
1 2345
1.若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为( A )
A.(1,2,3)
B.(1,3,2)
C.(2,1,3)
D.(3,2,1)
解析因为―AB→＝(2,4,6)，
所以与―A→B 共线的非零向量都可以作为直线 l 的方向向量.
解析答案
1 2345
l∥m⇔_a_∥__b_⇔a＝kb (k∈R) l∥α⇔a⊥μ⇔_a_·_μ__＝0
α∥β⇔μ∥v⇔_μ_＝__k_v_(_k_∈__R_)_ l⊥m⇔a⊥b⇔_a_·_b_＝__0_
l⊥α⇔a∥μ⇔_a_＝__k_μ_(_k∈__R__) α⊥β⇔μ⊥v⇔_μ_·_v_＝__0__
答案
知识点二利用空间向量处理平行问题思考 (1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量.若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系. 答案由直线方向向量的定义知若直线l1∥l2，则直线l1，l2的方向向量共线，即l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1＝λv2(λ∈R).
∴a＝－2b，∴a∥b，∴l1∥l2. ②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b，
∴l1⊥l2.
解析答案
(2)设 μ，v 分别是不同的平面 α，β 的法向量，根据下列条件判断 α，β 的
位置关系：
①μ＝(－1,1，－2)，v＝(3,2，－12)；
②μ＝(3,0,0)，v＝(－2,0,0)；
解析答案
1 2345
3.若μ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法
向量的是( D )
A.(0，－3,1)

2022-2023学年高一数学：空间中点、直线和平面的向量表示课件

B－OQ)，OQ＝－OA＋
2OB.设点
Q 的坐标为(x′，y′，z′)，则上
式换用坐标表示，得(x′，y′，z′)＝－(2，
D1
C1
A1
B1
D
A
x
y
C
M
B
解: (1)因为y轴垂直于平面BCC1B1，所以n1=(0,1,0)是平面BCC1B1的一个法向量.
(2)因为AB=4, BC=3, CC1 =2,M是AB的中点，所以M,C,A的坐标分别为
(3,2,0),(0,4,0),(3,0,2).因此
=(-3,2,0), 1=(0,-2,2),
设n2=(x,y,z)是平面MCA1的一个法向量，则
n2⊥ ，n2⊥ 1，
所以
2 ⋅ = −3 + 2 = 0
2
= 3
解得
=
2 ⋅ 1 = −2 + 2 = 0
令z=3，则x=2，y=3，所以n2=(2,3,3)是平面MCA1的一个法向量.
总结
求平面法向量的步骤
4．熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、
面面间的平行关系．(数学运算、直观想象)
知识回顾
推广
平面向量
建系
空间向量
代数运算
空间向量解决了哪些几何问题？
平行、垂直问题
距离问题
夹角问题
我们已经把向量由平面推广到空间，并利用空间向量解决了一些有
关空间位置关系和度量的问题.我们发现，建立空间向量与几何要素的对
1 3
C. 1, 2 , 2
2 1
D. - 3 , 3 ,1
2 1
解析: =(2,-1,-3)=-3 - 3 , 3 ,1 ,故选 D.

《向量的概念及运算》课件

THANKS
感谢观看
详细描述
向量的向量积定义为两个向量A和B的向量积是一个向量C，记作C=A×B，其长度和方向可以通过外积法则来确定。
向量的向量积的几何意义
总结词
向量的向量积在几何上表示两个向量的垂直交叉乘积，可以用来描述旋转和方向。
详细描述
向量的向量积的几何意义在于它表示两个向量的垂直交叉乘积，即当两个向量A和B的向量积存在时，它们之间的夹角为90度。
向量的数量积定义为两个向量的对应分量相乘，然后求和。具体公式为：$vec{A} cdot vec{B} = a times b cos theta$，其中$vec{A}$和$vec{B}$是向量，$a$和$b$分别是
向量$vec{A}$和$vec{B}$的模，$theta$是两向量的夹角。
向量的数量积的几何意义
详细描述
向量的数量积具有一些重要的性质，如分配律、结合律、交换律等。此外，向量的数量积还满足一些重要的结论，如向量的点乘为零的充要条件是两向量垂直等。这些性质和结论在解决实际问题中具有广泛的应用。
04
向量的向量积
向量的向量积的定义
总结词
线性代数中，向量的向量积是Байду номын сангаас个向量运算，其结果是一个向量。
向量的表示方法
总结词
向量可以用大写字母表示，如A、B 、C等，也可以用有向线段表示。
详细描述
在数学中，向量通常用大写字母表示，如A、B、C等。同时，向量也可以用有向线段表示，起点在原点，终点在平面内任意一点。
向量的模
总结词
向量的模表示向量的大小或长度，计算公式为$sqrt{x^2 + y^2}$。
向量混合积的几何意义在于它表示三个向量的空间关系。具体来说，当三个向量形成一个闭合三角形时，向量混合积的值为正；当三个向量不形成闭合三角形时，向量混合积的值为负。

人教新课标版数学高一B版必修4课件向量的概念

思考1 向量与数量有什么联系和区别？向量有哪几种表示？答联系是向量与数量都是有大小的量；区别是向量有方向且不能比较大小，数量无方向且能比较大小.向量可以用有向线段表示，也可以用字母符号表示. 用表示向量的有向线段的长度表示.向量A→B的大小，也就是向量A→B 的长度(或称模).记作|A→B|，有向线段A→B箭头表示向量A→B的方向.
记作|a|.两个向量 a 和 b 同向且等长，即 a 和 b 相等，记作 a＝b.
3.向量的平行 (1)通过有向线段A→B的直线，叫做向量A→B的基线 (如图).如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行 .向量 a
平行于 b，记作 a∥b. (2)长度等于零的向量，叫做零向量，记作0.零向量的方向不确定，在处理平行问题时，通常规定零向量与任意向量平行 .
第二章平面向量
内容索引
01 明目标
知重点
填要点 02
记疑点
03 探要点
究所然
当堂测 04
查疑缺
明目标、知重点
1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别. 2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量. 3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.
当堂测·查疑缺
1234
1.下列说法中错误的是( C )
A.有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段
B.若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
C.长度相等但方向相反的两个向量不一定共线
D.方向相反的两个非零向量必不相等
解析长度相等但方向相反的两个向量一定共线，由向量的概念

向量的概念(第1课时)(课件)高一数学(沪教版2020必修第二册)

８．１向量的概念和线性运算
向量的概念
图８-１-１展示了国产大飞机Ｃ９１９在蓝天翱翔的雄姿．飞机从A飞行到B．它的位移是一个既有大小又有方向的量，它的大小是A、B间的距离，方向由A到B 像 “ 一点相对于另一点的位移 ” 这种既有大小又有方向的量叫做向量（ｖｅｃｔｏｒ）．准确地说，一个向量由两个要素定义，一是它的大小（一个非负实数），一是它的方向
第 8 章平面向量
8.1向量的概念(第1课时）
学习目标
1．理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点) 2．理解共线向量、相等向量的概念．(难点) 3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点)
平面向量
在现实世界和科学问题中，常常会见到既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等．数学中的“向量”概念就是从中抽象出来的．向量不仅有丰富的几何内涵，向量及其线性运算与数量积运算还构成了精致且有广泛应用的代数结构，可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理．本章只讨论平面上的向量，选择性必修课程第３章还将把这一讨论推广到（三维）空间中，至于更一般性的推广则是大学线性代数课程的核心内容．高中阶段向量的学习重在为解决代数、几何、三角及物理等领域中的问题提供一个简捷有效的工具
例２在图８１４中，写出向量 AE的负向量．
解根据负向量的定义，可知向量EA、BE和DF均为AE的负向量
尽管可以画出一个向量的许多负向量，但由于它们彼此都相等，因此一个向量的负向量在相等的意义下是唯一的．
课本练习
练习８．１（１）
１．指出下列各种量中的向量：
（１）密度；（２）体积；（３）速度；（４）能量；（５）电阻；（６）加速度；（７）功；（８）力矩．

高一数学平面向量 PPT课件图文

解: ka+b=k(1, 2)+(－3, 2)= (k－3,2k+2)
a－3b=(1, 2)－3(－3, 2)= (10, －4)
(ka+b)∥(a－3b)
－4(k－3)－10(2k+2)=0
K=－ 1
3
∵
ka+b=

10 3
,
4 3

=－
1 3
(a－3b)
∴它们反向
例2
思考:
此题还有没有其它解法?
分析要证A、B、D三点共线，可证 AB=λBD关键是找到λ
解： ∵BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b
∴AB=2 BD
AB∥ BD
且AB与BD有公共点B
∴ A、B、D 三点共线
例3
知识结构
平面向量小复习
知识要点例题解析巩固练习
课外作业
练习5 已知a=（1，0），b=（1，1），c =（－1，0）求λ和μ，使 c =λa +μb.
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修4
2.6《平面向量-复习》
平面向量复习
知识结构要点复习例题解析
巩固练习
制作：曾毅审校：王伟
知识结构
平面向量复习
知识要点例题解析巩固练习
课外作业
表示向量的三种表示
平
三角形法则
面
向量加法与减法
向
平行四边形法则
量
向量平行的充要条件
运算实数与向量的积
知识Байду номын сангаас点例题解析巩固练习
课外作业

高中数学第一章空间向量与立体空间向量研究距离、夹角问题课件新人教A版选择性必修第一册

，1 2
，1 2
，故
PB
DE 0 1 1 0 . 22
所以 PB DE .
由已知 EF PB，且 EF DE E ，所以 PB 平面 EFD.
25
（3）解：已知 PB EF ，由（2）可知 PB DF ，故 EFD 是平面 CPB 与平面
PBD 的夹角. 设点 F 的坐标为 (x ，y ，z) ，则 PF (x ，y ，z 1) .
2
2
设向量 CN 与 MA 的夹角为，
则直线 AM 和 CN 夹角的余弦值等于| cos | .
13
步骤二：进行向量运算
CN MA 1 (CA CD) (CA 1 CB)
2
2
1
2
CA
1
CA
CB 1 CD
CA 1 CD
CB
2
4
2
4
11111. 2848 2
又 △ABC 和△ACD 均为等边三角形，所以| MA | | CN | 3 . 2
则 n2 n2
PQ PR
0 0
，所以
2x y
y
2z
z 0
0
，所以
x y
3z 2 2z
.
取 n2
(3，4 ，2) ，则 cos n1 ，n2
n1 n1
n2 (0 ，0 ，1)
n2
1
(3，4 ，2) 2 29 .
29Biblioteka 29步骤三：回到图形问题
设平面
PQR
与平面
A1B1C1 的夹角为
，则 cos
设
m
(x,
y,
z)
是平面
A1BE
的法向量，则

向量的概念高一数学课件(人教B版2019必修第二册)

6向量的长度：向量 AB 的大小也就是向量的
长度（或叫做模），记做| AB |，|ａ| 平面直角坐
7零向量、单位向量概念：
标系内有多
①长度为0的向量叫零向量，记作
少个单位向
0 量？
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
8.平行向量定义： ①方向相同或相反的非零
向量叫平行向量； ②规定0与任一向量平行.
变式三：与向量OA长度相等的共线向量有哪些？ CB、DO、FE
例5：D、E、F依次是等边△ABC的边AB、
BC、CA的中点，在以A、B、C、D、E、F
为起点或终点的向量中，
(1)找出与向量 DE
A
相等的向量； AF和FC
D
F
(2)找出与向量 DF
共线的向量．
B
E
C
BE,EB,EC,CE,BC,CB,FD
向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.
9.相等向量定义
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；
（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关
10共线向量：任一组平行向量都可移到同一直线上.因此平行向量也叫共线向量
北京 O ）50o
天津 A
巩固概念.下面几个命题：
（1）若a = b，b = c，则a = c。（2）若|a|=0，则a = 0 （3）若|a|=|b|，则a = b
（4）两个向量a、b相等的充要条件是
|a|=|b| a ∥b
（5）若A、B、C、D是不共线的四点，则AB=DC是
四边形ABCD是平形四边形的充要条件。
6.1.1 向量的概念

人教版高中数学选择性必修第一册1.2空间向量基本定理上课课件

使a=xi+yj+zk,像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正
交分解.
定理辨析
1.空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后,空间的所有向量均可
由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表达式也有可能不同.
2.一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念.
(3)已知A,B,M,N是空间四点,若, , 不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N共面.(
(4)若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0.(
答案: (1)×
(2)√
(3)√
(4)√
)
)
2.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},
作为基底,例如,在正方体、长方体、平行六面体、四面体中,一般选用从同一顶点出
发的三条棱所对应的向量作为基底.
典例解析
1
例2.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,BD的中点,点G在棱CD上,且 = 3
因此，如果, , 是空间三个两两垂直的向量，那么对于任意一个
空间向量p存在唯一有序实数组（x,y,z），使得p= xi+ y + z 。
我们称 xi, y, z分别为向量p在, , 上的分向量。
定理解析
空间向量基本定理
1.定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),
以得到三个空间向量.这三个空间向量是不共面的,那么用这三个向量表示空间中任意的向量呢？

高一数学平面向量的概念及线性运算PPT优秀课件

a＋b＝λLeabharlann a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，
∴ λ－1＝0 1＋λ＝0
，λ 无解，故假设不成立，即 a＋b 与 a－b 不平行，故选 D.
错源二：向量有关概念理解不当
【例2】如图，由一个正方体的12条棱构成的向量组成了一个集合M，则集合M的元素个数为________．
错解：正方体共有12条棱，每条棱可以表示两个向量，一共有24个向量．答案是24. 错解分析：方向相同长度相等的向量是相等向量，故AA1―→＝BB1―→＝CC1―→ ＝ DD1―→ ， AB―→ ＝ DC―→ ＝ D1C1―→ ＝ A1B1―→ ， AD―→ ＝ BC―→ ＝ B1C1―→＝A1D1―→.错解的原因是把相等的向量都当成不同的向量了．正解：12条棱可以分为三组，共可组成6个不同的向量，答案是6. 答案：6
错解分析：错解一，忽视了 a≠0 这一条件．错解二，忽视了 0 与 0 的区别，AB―→＋
BC―→＋CA―→＝0；错解三，忽视了零向量的特殊性，当 a＝0 或 b＝0 时，两个等号同时
成立．
正解：∵向量 a 与 b 不共线，
∴a，b，a＋b 与 a－b 均不为零向量．
若 a＋b 与 a－b 平行，则存在实数 λ，使
∴|AM―→|＝12|AD―→|＝12|BC―→|＝2.故选 C.
【例2】 (2010年安徽师大附中二模)设O在△ABC的内部，且OA―→＋OB―→＋ 2OC―→＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积之比为( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析：由 OC―→＝－12(OA―→＋OB―→)，设 D 为 AB 的中点，则 OD―→＝12(OA―→＋OB―→)， ∴OD―→＝－OC―→，∴O 为 CD 的中点， ∴S△AOC＝12S△ADC＝14S△ABC，∴SS△△AAOBCC＝4.故选 B.

6.3.1平面向量基本定理课件-高一下学期数学人教A版必修第二册

巩固新知
ⅹ
ⅹ
ⅹ
ⅹ
√
平面向量基本定理
（存在性）
（唯一性）
平面向量相等的充要条件
巩固新知
【练习】(1)(多选)设{，}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是( ) A.＋和－ B.3－4和6－8 C＋2和2＋ D.和＋(2)已知向量{，}是一个基底，实数x，y满足 (3x－4y)＋(2x－3y)＝6＋3，则x－y＝_____.
典型例题
解题反思：将不共线的向量作为基底表示其他向量的一种方法：是运用向量的线性运算法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止
例1.已知，C为线段AO上距离A较近的一个三等分点，D为线段CB上距C较近的一个三等分点，则用表示的表达式为（）
C
D
B
典型例题
2.向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段(或直线)是否垂直的重要方法之一.
A
解题反思：1.直径所对的圆周角为直角
练习2
已知正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
巩固新知
【练习】课本P27 练习3
典型例题
P、A、B三点共线
C
练习3：
拓展训练
例4.
解题反思：将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法：1.运用向量的线性运算法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止2.通过列向量方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解。
A
拓展训练
探究新知
平面向量基本定理
（存在性）
（唯一性）
说明：若共线，则当与共线时可用表示，且表示方法不唯一；
当不共线时不可用表示
判断正误：如果是平面α内两个不共线的向量 1.一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底（） 2.一个平面内任意两个向量都可作为两个基底（） 3.基底向量可以是零向量（） 4.使一确定向量的实数对(无数多个( ) 5.若λ＋μ=，则λ =μ=0( )