抽样误差与参数估计

X
s
0.44 0.42 0.33 … 0.39 0.46
5.04 5.19 4.71 … 5.30 4.66
抽样误差
• 通过对研究总体中随机抽取部分有 代表性的样本， 统计量（ 代表性的样本，用统计量（样本均 来推断总体参数。 数）来推断总体参数。 • 由于抽样的随机性而造成样本统计 样本均数）与总体参数 参数（ 量（样本均数）与总体参数（总体 均数）间的差别，称为均数的抽样 均数）间的差别，称为均数的抽样 误差。 误差。
两总体均数之差µ • 两总体均数之差 1-µ2的1-α可信区 可信区 间为: 间为 ( X 1 − X 2 ) ± tα / 2,ν S X − X
1 2
自由度： 自由度： ν = n1 + n2 − 2 大样本时总体均数的可信区间
( X 1 − X 2 ) ± µα / 2 S X
1−X2
2 S12 S 2 + n1 n2
2
X 1 − X 2 ~ N ( µ1 − µ 2 , σ / n1 + σ / n2 )
2 1 2 2
• 如果两总体标准差未知
合并方差
S X1 − X 2 =
1 1 S ( + ) n1 n2
2 c
2 (n1 − 1) S12 + (n2 − 1) S 2 S c2 = n1 + n2 − 2
两总体均数之差的估计
µ=X π=p
∧
∧
• 即样本均数和样本率分别是总体均 数和总体率的估计值。 数和总体率的估计值。
样本统 计量
标准误的 估计值
• 区间估计 区间估计(confidence interval estimation) 指用 X 和 S X 确定一个具有较大置信度 的包含总体参数的区间， 的包含总体参数的区间，该区间包含总 体均数的概率为1-α，称为总体均数的1体均数的概率为 ，称为总体均数的 α可信区间。1-α一般取 可信区间。 一般取 一般取0.95或0.99。 可信区间 或 。
S X = S / n = 5.3 / 85 = 0.57
• 反映了本次调查身高均数 反映了本次调查身高均数171.2cm的抽样 的抽样 误差大小（估计值） 误差大小（估计值）
样本均数的分布
• 原分布为正态分布，则新分布也为正态 原分布为正态分布， 分布，如原分布为非正态分布， 分布，如原分布为非正态分布，当n足 足 够大时(如 够大时 如n≥60)，新分布也近似正态分 ， 布
渐趋于0 渐趋于
(−2.3 ± 1.96 × 0.5642)
即
− 3 .4 ~ − 1 .2 天 ） （
标准差和标准误的比较
标准差SD 标准差 意义 用途 计算 随n增加 增加 个体变异大小
( X − X )2 ∑ n −1
标准误SE 标准误 抽样误差大小
CV,参考值范围 CI，假设检验 参考值范围 ，
S=
sX = s / n
• 图中阴影部分表示 α/2，ν 以外尾部面 图中阴影部分表示t ， 积占总面积的百分比P 积占总面积的百分比 • 同一 时，t与P呈反向关系 同一ν时 与 呈反向关系 • 当ν=∞时，tα/2，∞=uα/2 时 ， • 当ν相同时，单侧 与双侧 对应相 相同时， 与双侧2P对应相 相同时 单侧P与双侧 同的t界值 界值,如 同的 界值 如t0.05,ν= t0.10/2,ν
两样本均数之差的分布与标准误
• 从两个正态总体 N ( µ1 , σ 12 ) , N ( µ 2 , σ 22 ) 中随机抽样，分别得n1、 1 、s1和 中随机抽样，分别得 X n2、 2 、s2 则： X
X 1 ~ N ( µ1 , σ / n1 )
2 1
X 2 ~ N ( µ2 , σ 2 / n2 )
σX =σ / n
• n固定时，标准差越大，标准误越大 固定时，标准差越大， • 标准差固定时，n越大，标准误越小 标准差固定时， 越大， 实际工作中， 实际工作中，总体标准差常未知
估计值 S X = S / n
• 例7－2：已知某样本 X =5.03，s=0.52， － ： ， ， n=10，试计算标准误。 ，试计算标准误。
样本1
样本2
样本100 样本3 样本99
正常男子红细胞计数抽样实验结果
No 1 2 3 … 99 100 5.59 5.49 4.56 … 4.82 4.08 红细胞计数 5.11 5.56 4.87 … 5.30 4.73 4.26 5.47 5.21 … 5.19 4.84 … … … … … …
S X = S / n = 0.52 / 10 = 0.164
σ X = σ / n = 0.50 / 10 = 0.158
• 实际工作中，只能根据一份样本计算出 实际工作中， 一个标准误说明抽样误差的大小， 一个标准误说明抽样误差的大小，即 估计µ的可靠程度 估计 的可靠程度
• 例7－3： 2003年，在某地 岁应征男青 － ： 年 在某地20岁应征男青 年中随机抽取85人 平均身高为171.2cm， 年中随机抽取 人，平均身高为 ， 标准差为5.3cm，计算当地 岁应征男青 标准差为 ，计算当地20岁应征男青 年身高的标准误。 年身高的标准误。
可(置)信区间
Confidence interval,CI
Parameter estimation Statistical inference Hypothesis testing
Point estimation Interval estimation
• 点估计 点估计(point estimation)：就是用样本指 ： 标直接地估计总体指标。 标直接地估计总体指标。 • 总体均数 • 总体率
可信区间两个要素
1. 准确度 ： 反映可信度 （ 1-α） 的大小 。 1-α越 准确度： 反映可信度（ ） 的大小。 越 接近1， 接近 ，越准确 如可信度99%比95%准确 如可信度 比 准确 2. 精确度：反映区间范围宽窄。范围越窄越好 精确度：反映区间范围宽窄。 95%可信区间精度优于 可信区间精度优于99% 可信区间精度优于 • 在n确定的情况下，准确度↑，精确度↓; 确定的情况下，准确度↑ 精确度↓ • 在兼顾准确度和精确度时 ， 一般取 95% 可信 在兼顾准确度和精确度时， 一般取95 95% 区间; 区间; • 在可信度确定的情况下，增加样本例数，可 在可信度确定的情况下，增加样本例数， 提高精确度; 提高精确度;
2.9 5.2
X 1 − X 2 = 2.9 − 5.2 = −2.3
(32 − 1)1.9 + (40 − 1)2.7 S = = 5.660 32 + 40 − 2
2 2 2 c
95%可信区间 μ1-μ2 的95%可信区间
s X1 − X 2 1 1 = 5.660( + ) = 0.5642 32 40
X
X ± µ α / 2σ / n
n足够大，用样本标准 足够大， 足够大 来估计σ 差S来估计 来估计
• 例7－4：已知某样本的 X = 5.03 ，s=0.52， － ： ， n=10，试计算该总体正常成年男子平均红细 ， 胞计数的95%可信区间。 可信区间。 胞计数的 可信区间 • 解：v=9，α=0.05(双侧），查t界值表，得 双侧）， 界值表， ， 双侧），查 界值表
• 例7－7：某药治疗流行性乙型脑炎，将 某药治疗流行性乙型脑炎， 72名患者随机分为试验组和对照组 名患者随机分为试验组和对照组， 72名患者随机分为试验组和对照组，得 两组退热天数结果如下， 两组退热天数结果如下，试估计该药是 否有效。 否有效。
分组 试验组 对照组
n 32 40
X
S 1.9 2.7
t0.05/ 2,9 = 2.262
X − tα / 2,ν S X < µ < X + tα / 2,ν S X
0.52 0.52 5.03 − 2.262 × < µ < 5.03 + 2.262 0 )
• 例7－5：试估计 年当地20岁应征男 － ：试估计2003年当地 岁应征男 年当地 青年身高总体均数的95%可信区间。 可信区间。 青年身高总体均数的 可信区间 • 解：n=85，大样本时 ， 用 t0.05/2,∞ =1.96 代替 t 0.05 / 2,ν 5.3 5.3 (171.2 −1.96 × ,171.2 + 1.96 × ) 85 85
X ~ N (µ ,σ ) ⇒ u =
2
X −µ
σ
N (0,1) N (0,1) t (ν )
X ~ N (µ ,σ X
2
X −µ )⇒u = σ n
X −µ X −µ ⇒t = = sX s/ n
ν=∞,标准正态分布 标准正态分布 ν=5 ν=1
t分布特征 分布特征
单峰分布， 为中点， • 单峰分布，以t=0为中点，两侧对 为中点 称； • 样本 自由度 越小，t分布曲线峰 样本(自由度 越小， 分布曲线峰 自由度)越小 值越低， 值越分散 值越分散； 值越低，t值越分散； • 随着自由度的增大，t分布接近于 随着自由度的增大， 分布接近于 标准正态分布， 标准正态分布，当ν→∞时，t分布 时 分布 的极限分布是标准正态分布。 的极限分布是标准正态分布。
抽样误差与参数估计
南方医科大学生物统计系 谭旭辉
抽样误差与标准误
Sampling error and standard error
统计学的分析思路
population
inferring sample sampling
抽样实验
• 例7-1：某地区正常成年男子的红细胞计 ： 数服从正态分布N(5.00,0.502)(1012/L),随 数服从正态分布 随 机抽取100份样本，每份样本含有 个 份样本， 机抽取 份样本 每份样本含有10个 个体。 个体。