初一奥数第06讲 一次不等式
初一数学竞赛系列讲座解一次方程(组)与一次不等式(组)教师版
初一数学竞赛系列讲座解一次方程（组）与一次不等式（组）一、知识要点1．一次方程组解一次方程组的基本思想是“消元”，常用方法有“代入消元法”和“加减消元法” 2．不定方程不定方程(组)是指未知数的个数多于方程个数的方程(组)。
它的解往往有无穷多个，不能唯一确定，对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解或正整数解。
定理：若整系数不定方程ax+by=c (a 、b 互质)有一组整数解为x 0，y 0，则此方程的全部整数解可表示为：⎩⎨⎧-=+=)k ( 00为任意整数这里ka y y kbx x3.一元一次不等式只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式。
它的标准形式：ax+b ＜0或ax+b ＞0（a ≠0）解不等式的根据是不等式的同解原理。
4．不等式的基本性质和同解原理 不等式的基本性质(1)反身性 如果a ＞b ，那么b ＜a(2)传递性 如果a ＞b ，b ＞c ，那么a ＞c (3)平移性 如果a ＞b ，那么a+c ＞b+c (4)伸缩性 如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc 如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc不等式的同解原理1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得的不等式与原不等式是同解不等式。
不等式的同解原理2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，所得的不等式与原不等式是同解不等式。
不等式的同解原理3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，并把不等号改变方向后，所得的不等式与原不等式是同解不等式。
5．解一元一次不等式的步骤（1）去分母（根据不等式性质2或3）； （2）去括号（根据整式运算法则）； （3）移项（根据不等式基本性质1）； （4）合并同类项（根据整式的运算法则）； （5）将x 项系数化为1（根据不等式性质2或3）；6．不等式组及其解集几个一元一次不等式合在一起，就成了一元一次不等式组；几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做由它们组成的一元一次不等式组的解集。
初一数学不等式的知识点
初一数学不等式的知识点数学不等式是初中数学中的重要内容之一，它是比较两个数大小关系的一种表示方法。
初一阶段，我们主要学习一元一次不等式和一元二次不等式。
接下来，我将逐步介绍初一数学不等式的知识点。
1.一元一次不等式一元一次不等式是指一个未知数的一次方程与不等式的组合。
一元一次不等式的一般形式为ax + b > 0（或< 0），其中a和b是已知的实数，x是未知数。
解一元一次不等式的方法和解一元一次方程类似。
我们可以通过移项、合并同类项和分析符号来求解不等式。
例如，解不等式2x - 3 > 5：首先，将3移到等号右边，得到2x > 8；然后，将不等号变为等号，得到x = 4；最后，分析符号，得到解集{x | x > 4}。
2.一元二次不等式一元二次不等式是指一个未知数的二次方程与不等式的组合。
一元二次不等式的一般形式为ax^2 + bx + c > 0（或< 0），其中a、b和c是已知的实数，x是未知数。
解一元二次不等式的方法也和解一元二次方程类似。
我们可以通过判别式、求解方程、绘制图像等方法来求解不等式。
例如，解不等式x^2 - 4x - 5 > 0：首先，求解方程x^2 - 4x - 5 = 0，得到x = -1和x = 5；然后，绘制二次函数y = x^2 - 4x - 5的图像；最后，分析图像上方的区域，得到解集{x | -1 < x < 5}。
3.不等式的性质和性质的运用不等式的性质是指不等式在运算中满足的一些规律。
了解不等式的性质可以帮助我们更好地理解和运用不等式。
一些常见的不等式性质包括： - 加减性：不等式两边同时加（或减）一个数，不等号方向不变。
- 乘除性：不等式两边同时乘（或除）一个正数，不等号方向不变；不等式两边同时乘（或除）一个负数，不等号方向改变。
- 合并同类项：将不等式中的同类项合并，简化计算过程。
- 移项：将不等式中的项移到等号右边，改变不等号方向。
奥数之解不等式
奥数之解不等式奥数（奥林匹克数学竞赛）是一项旨在培养学生创造力、逻辑推理和解决复杂数学问题能力的竞赛活动。
在奥数的题目中，解不等式是常见的一种题型。
解不等式需要我们找到一个变量的取值范围，使得不等式成立。
本文将介绍解不等式的方法以及一些常见技巧。
一、一元一次不等式一元一次不等式是指只有一个变量、一次方程的不等式。
解一元一次不等式的方法与解一元一次方程类似，只是在求解的过程中需要注意不等式符号的转换。
例如，对于不等式3x-2<5，我们可以按照以下步骤求解：1. 将不等式转化为等式：3x-2=5；2. 解方程：3x=7；3. 求解出x的值：x=7/3；4. 检验解的有效性：将x=7/3带入不等式，验证不等式是否成立。
二、一元二次不等式一元二次不等式是指只有一个变量、二次方程的不等式。
解一元二次不等式的方法相对来说较为复杂，需要我们掌握一些基本的技巧。
1. 图像法：首先将一元二次不等式转化为对应二次函数的图像形式，通过观察图像的开口方向和与x轴的交点来确定不等式的解集。
2. 化简法：对于形如ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0的一元二次不等式，我们可以通过化简等式的方法来求解。
化简的关键是对不等式进行因式分解，然后找到各个因式的零点，并根据各个因式在某一区间上的取值情况确定不等式的解集。
三、绝对值不等式绝对值不等式是指以绝对值形式表达的不等式，解绝对值不等式的关键在于找到绝对值函数的取值范围。
1. 绝对值的定义：|x|表示x与0之间的距离，所以对于一个绝对值不等式来说，可以将绝对值不等式分成两个部分，一个是x大于0，一个是x小于0，并根据不等式的符号确定解集。
2. 绝对值的性质：对于绝对值不等式来说，我们需要牢记绝对值的性质，即|a-b|<=c等价于-a+b<=c且a-b<=c。
通过以上的简单介绍，我们了解了一些解不等式的基本方法和技巧。
当然，在实际解题中，有时我们还需要运用其他的数学知识和技巧，如配方法、整体替换法等。
初一年级奥数知识点：不等式的解集
初一年级奥数知识点：不等式的解集
1、能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
2、一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
3、求不等式解集的过程叫做解不等式。
4、不等关系是客观世界中量与量之间的一种主要关系，而不等式则是反映这种关系的基本形式，一直是考查的重点内容，尤其以实际问题、函数为背景的综合题较多。
不等式的定义域性质是不等式的基础，许多不等式的定理、公式都是在此基础上推理、拓展而成的，因此学校时要抓住基本概念和性质，熟练掌握性质的变形及其应用，不断提升思维的深度和广度，才能在解决与不等式有关的综合题上有备无患、得心应手。
不等式的性质：
1.不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
2.不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
3.不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
4.不等式的两边都乘以0,不等号变等号。
不等式的基本性质
1.性质1：如果a>b,那么a±c>b±c
2.性质2：如果a>b，c>0，那么ac>bc(或a/c>b/c)
3.性质3：如果a>b，c。
七年级奥数：不等式(组)
七年级奥数：不等式(组)阅读与思考客观世界与实际生活既存在许多相等关系，又包含大量的不等关系，方程(组)是研究相等关系的重要手段，不等式(组)是探求不等关系的有力工具．方程与不等式既有相似点，又有不同之处，主要体现在：1．解一元一次不等式与解一元一次方程类似，但解题时要注意两者之间的重要区别：等式两边都乘(或除)以同一个数时，只要考虑这个数是否为零，而不等式两边都乘(或除)以同一个数时，不但要考虑这个数是否为零，而且还要考虑这个数的正负性．2．解不等式组与解方程组重要区别是：解方程组时，我们可以对几个方程进行“代入”或“加减”式的加工，但在解不等式组时，我们只能对某个不等式进行变形，分别求出每个不等式的解集，然后再求公共部分．通俗地说，解方程组时，可以“统一思想”，而解不等式组时只能“分而治之”．例题与求解例1 若正数a 、b 、c 满足不等式组则a 、b 、c 的大小关系是( )．(第九届“祖冲之杯”邀请赛试题) (A )a <b <c (B )b <c <a (C )c <a <b (D )不确定解题思路 要比较a 、b 、c 的大小关系，关键是要找到能使a 、b 、c 联系起来的中介，运用不等式的性质．例2 如果关于x 的不等式(2ｍ－ｎ)ｘ－ｍ－５ｎ>0的解集为ｘ<，那么关于ｘ的不等式ｍｘ>ｎ（ｍ≠0)的解集为_______．(哈尔滨市竞赛题)解题思路 从已知条件出发，解关于x 的不等式，求出ｍ、ｎ的值或ｍ、ｎ的关系．例3 已知方程组，若方程组有非负整数解，求正整数ｍ的值．(天津市竞赛题)解题思路 解关于ｘ、y 的方程组，建立关于ｍ的不等式组，求出ｍ的取值范围．⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧〈+〈〈+〈〈+〈b c a b a c b a c b a c 4112535232611710⎩⎨⎧=+=-62y mx y x例4 已知三个非负数a 、ｂ、ｃ满足3a ＋2b ＋c =—5和2a ＋b —3c ＝1，若ｍ＝３ａ＋ｂ－７ｃ，求ａ的最大值和最小值．(江苏省竞赛题)解题思路 本例综合了方程组、不等式(组)的知识，解题的关键是用含一个字母的代数式表示ｍ，通过解不等式组，确定这个字母的取值范围，在约束条件下，求ｍ的最大值与最小值．例5 某校组织师生春游，如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可少租1辆，且余30个空座位． (1)求该校去参加春游的人数；(2)已知45座客车的租金为每辆250元，60座客车的租金为每辆300元，这次春游同时租用这两种客车，其中60座客车比45座客车多租1辆，所以租金比单独用一种客车要节省，按这种方案需用租金多少元?(浙江省舟山市中考题)解题思路 认真读题，抓关键字、词、句，将问题转化为解方程(组)、解不等式(组)．能力训练 A 级1．不等式mx －2<3x ＋4的解集是x >_，则m 的取值范围是_______． 2．已知关于x 的不等式≤的解集是z ≥，那么m 的值是_______． (第十二届“希望杯”邀请赛试题)3．若关于x 的不等式组的解集为x <2，则a 的取值范围是_______． 4．若a +b <0，ab <0，a <b ，则a ，－a ，b ，—b 的大小关系用不等式表示为_______．(武汉市竞赛题) 5．若方程组的解x 、y 都是正数，则m 的取值范围是_______．(河南省中考题)6．下列不等式中正确的是( )．(A )4.1a <4a (B )5－a >4—a (C )a >a (D )> 7．若a >0，b >0且a <b ，则下列式子中成立的是( )．(B )>1 (C )ab >a +b (D )> 36-m 32x m +214-mx 43⎪⎩⎪⎨⎧〈++〉+01234a x x x ⎩⎨⎧==++=+36542m y x m y x 54a 5a4b a a 1b18．适合不等式2x —1>—3x +14≥4x —21的值的范围是( )． (A )x >3 (B )x ≤5 (C )3<x ≤5 (D )3≤x <59．已知不等式(mx —1)(x +2)>0的解集是—3<x <—2，那么m 等于( )． (A )(B )－ (C )3 (D )－3 10．已知a ≠0，下面给出4个结论：①a +1>0；②1—a <0；③1+>1；④1—<1． 其中，一定成立的有( )．(A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个(第十五届江苏省竞赛题)11．当k 为何整数值是，方程组有正整数解．(天津市竞赛题)12．某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A 、B 两种产品，共50件．已知生产一件A 种产品，需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B 种产品，需用甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利润1200元．(1)按要求安排A 、B 两种产品的生产件数，有哪几种方案?请你设计出来． (2)(1)中哪种生产方案获总利润最大?最大利润是多少?(河北省中考题)B 级1．如果不等式组无解，那么a 的取值范围是_______．2．已知关于x 的不等式有解．则m 的取值范围是_______．3．已知不等式3x －a ≤0只有三个正整数解，那么这时正数a 的取值范围是_______．4．已知(x —1)＋≤，那么代数式的最小值是_______． （江西省赣州市竞赛题)5．已知a 、b 为常数，若ax ＋b >0的解集是x <，则bx －a <0的解集是( )． (A )x >—3 (B )x <—3 (C )x >3 (D )x <3(江苏省竞赛题)31312221a 21a ⎩⎨⎧-=-=+k y x y x 3962⎩⎨⎧-〈+〉232a x a x ⎩⎨⎧-+〉-++〉-)15(2531)(2m x x m m x m x 43x 4314)2(5+-x 31+--x x 316．若正数x ，y ，z 满足不等式,则ｘ，ｙ，z 的大小关系是( )．(A )ｘ<ｙ<z (B )ｙ<ｚ<ｘ (C )ｚ<ｘ<ｙ (D )不能确定7．已知m 、n 是整数，3m ＋2＝5n ＋3，且3m ＋2>30，5ｎ＋3<40，则ｍｎ的值是( )． (A )70 (B )72 (C )77 (D )84 8．不等式>的解集为( )．(A )ｘ<(B )ｘ> (c )ｘ<— (D )ｘ>— (山东省竞赛题)9．已知≥ｘ－，求的最大值和最小值． (北京市“迎春杯”竞赛题)10．已知ｘ，ｙ，ｚ是三个非负有理数，且满足3ｘ＋２ｙ＋ｚ＝５，ｘ＋ｙ－ｚ＝２，若ｓ＝２ｘ＋ｙ－ｚ，求s 的取值范围．(天津市竞赛题) 11．如果不等式组的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数ａ、b的有序数对(ａ，ｂ)共有多少个? (全国初中数学联赛试题)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧〈+〈〈+〈〈+〈y z x y x z y x z y x z 4112535232611x 5+x 252525251312--x 235x-31+--x x ⎩⎨⎧〈-≥-0809b x a x。
初一奥数题知识点总结归纳
初一奥数题知识点总结归纳初一阶段是数学学习的重要阶段，奥数作为数学学习中的一项重要内容，对学生的数学思维能力和解题能力起到了很大的促进作用。
在初一奥数题中，有一些知识点是我们需要特别关注和掌握的。
本文将对初一奥数题中常见的知识点进行总结归纳，以帮助同学们更好地备战奥数考试。
一、方程与不等式1. 一元一次方程初一阶段学习的一元一次方程主要是形如ax+b=c的方程。
解一元一次方程的基本步骤是化简、移项和系数化为1，最后得到方程的唯一解。
要注意减法运算的变换和系数为0时的特殊情况。
例题：已知2x+3=7，求解x的值。
2. 一元一次不等式初一阶段学习的一元一次不等式主要是形如ax+b<c或ax+b>c的不等式。
解一元一次不等式的基本步骤是化简、移项和系数化为1。
需要注意不等号的方向在乘法运算中的反转和系数为0时的特殊情况。
例题：已知3x-2<10，求解x的范围。
二、图形与空间几何1. 平面几何(1) 点、线、面的概念初一阶段学习的平面几何主要是点、线、面的基本概念和性质。
需要掌握直线的基本性质：两点确定一条直线，两条相交直线只有一个公共点等；以及平行线和垂直线的概念和判定方法等。
(2) 三角形的性质初一阶段学习的三角形主要包括等边三角形、等腰三角形和直角三角形的性质。
要熟悉三角形的内角和为180度，以及勾股定理和解直角三角形的基本方法。
例题：在直角三角形ABC中，已知∠A=90度，AC=3，BC=4，求解AB的长度。
2. 空间几何初一阶段学习的空间几何主要是立体图形的认识和计算。
需要掌握正方体、长方体、棱柱、棱锥和球体等几何体的概念和性质，以及它们的体积和表面积的计算方法。
例题：已知底面为正方形的棱柱的底面边长为2，高为3，求解棱柱的体积和表面积。
三、数与运算1. 整数和有理数的计算初一阶段学习的整数和有理数的计算主要包括加减乘除及其混合运算。
需要掌握正整数、负整数和零的加减法运算规则，以及有理数的乘除运算规则。
初一数学不等式题型及解题方法
初一数学不等式题型及解题方法一、不等式的基本概念1.不等式符号及含义不等式是指两个数之间大小关系的一种表示方法。
不等号符号包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。
其中，大于（>）表示左边的数比右边的数大；小于（<）表示左边的数比右边的数小；大于等于（≥）表示左边的数大于或等于右边的数；小于等于（≤）表示左边的数小于或等于右边的数。
2.不等式的解解不等式的过程就是求出不等式中未知数的取值范围。
一般情况下，我们通过对不等式进行变形、化简，再利用一些不等式性质和数轴上的图示可以求出不等式的解集。
解不等式的过程也包括反证法、分段讨论等方法。
二、不等式的性质不等式有一些特殊的性质，了解这些性质有助于我们更好地理解和运用不等式。
1.不等式的性质①两个相等的数之间没有大小关系，所以两个相等数代入一个不等式时不等式的成立与否是无法判断的。
②不等式两边同时加（减）一个相同的数，不等式仍然成立。
即如果a>b，则a+c>b+c。
③不等式两边同时乘（除）一个正数，不等式的方向不变。
即如果a>b，c>0，则a×c>b×c。
④不等式两边同时乘（除）一个负数，不等式的方向改变。
即如果a>b，c<0，则a×c<b×c。
2.不等式的转化不等式的转化是指将不等式进行变形、化简，以便更好地求解。
①不等式中可以进行加减、乘除、倒数、取对数等运算，但要注意符号的变化，需根据不等式的大小关系来进行变换。
②对于含绝对值的不等式，也可以通过转化为分段函数的方式来求解。
即根据不同的不等式形式，将绝对值进行分段讨论，再求解不等式。
三、不等式的解题方法1.一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数和一次项的不等式，通常可以用数轴解题法、图像法、代入法等方法来求解。
①数轴解题法：首先将不等式化简，再根据不等式的方向在数轴上做出相应的标记，并根据不等式的特点来判断解集的范围。
七年级不等式知识点归纳
七年级不等式知识点归纳不等式是数学中的一个重要概念，学生在学习初中数学时，要学习不等式的知识。
七年级学生从简单的不等式起步，逐渐深入，学习更加复杂的不等式。
本文将对七年级不等式的知识进行归纳总结。
一、不等式的基本概念不等式是数学中的一个基本概念，它用于描述两个数的大小关系。
包括大于号>、小于号<、大于或等于号≥、小于或等于号≤等符号。
不等式的解集是满足不等式的所有实数构成的集合。
例如，不等式2x+3>5的解集是{x|x>1}。
二、一次不等式七年级的不等式学习从简单的一次不等式开始。
一次不等式指只有一个未知数的不等式，如ax+b>c。
解决一次不等式的方法是将未知数的系数与常数分别移到不等式两边，并注意系数为负数时不等号方向要取反。
例如，将不等式2x-3≤11的式子解出未知数x，可得x≤7。
三、一元二次不等式一元二次不等式是指含有二次项（$x^2$）的不等式，形如ax²+bx+c>d。
解决一元二次不等式的方法是先将不等式化为标准形式，即将$x^2$系数化为1,然后将不等式两边平方，再移项求解。
需要注意的是，在平方后可能增加根号，要细心进行化简。
例如，将不等式2x²+5x-3>0的式子解出未知数x,可得x> 0.5或x< -3。
四、绝对值不等式绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式。
在处理绝对值不等式时需要将其分成两个不等式，例如|2x+3|>5，需分成2x+3>5和2x+3<-5两个不等式分别求解，然后将它们的解集合并即可。
例如，将绝对值不等式|2x+3|>5的式子解出未知数x,可得x<-4或x>1。
五、不等式组不等式组是指由多个不等式组成的一组形式。
例如，以下不等式组$$\begin{cases}3x+y>9\\y≤2x+5\end{cases} $$解决不等式组的方法是将不等式组中的每一个不等式求解，然后在数轴上将两个不等式的解集合并起来得到整个不等式组的解集。
一次不等式组的解法与性质
一次不等式组的解法与性质一、引言不等式是数学中非常重要的一个概念，通过不等式可以描述数值之间的大小关系。
而不等式组则是由多个不等式构成的集合，研究不等式组的解法与性质，可以帮助我们更好地理解数值之间的关系。
二、一次不等式组的概念一次不等式组是由一次不等式构成的集合，形式一般为ax + by + c > 0或者ax + by + c < 0，其中a、b为不等式中的系数，x、y为未知数，c为常数。
三、解一次不等式组的方法1. 图像法可以将一次不等式组转化为一次函数的图像，通过观察图像来确定解的范围。
例如，对于一次不等式组2x + 3y - 6 > 0，可以将其转化为函数y = -2/3x + 2的图像，通过观察图像可以确定解的范围为y > -2/3x + 2。
2. 代入法将不等式组中的一个不等式解出一个未知数，然后代入到其他不等式中，通过代入得到的不等式来确定解的范围。
例如，对于一次不等式组2x + 3y - 6 > 0和x - 4y + 1 < 0，可以将第一个不等式解出y = (6 -2x) / 3，代入第二个不等式中得到x - 4(6-2x)/3 + 1 < 0，通过计算可以确定解的范围。
3. 区间法通过解出一次不等式组中每个不等式的解集，然后找出这些解集的交集来确定最终的解集。
例如，对于一次不等式组2x + 3y - 6 > 0和x - 4y + 1 < 0，可以分别解出解集为x > 2/3和y > 1/4，最终的解集为x >2/3且y > 1/4。
四、一次不等式组的性质1. 唯一解一次不等式组可能存在唯一解，即只有一个解满足所有不等式的条件。
例如，一次不等式组2x + 3y - 6 > 0和x - 4y + 1 < 0的同时满足条件的解只有一个。
2. 无解一次不等式组可能无解，即没有任何解满足所有不等式的条件。
初一奥赛培训06：一次不等式
一、解答题（共13小题，满分120分）1、解不等式2（x+1）+≥2、求不等式（x+1）﹣≥（x﹣2）的正整数解．3、解不等式（1+）（y2+1）＞（1﹣）（y2+1）4、解不等式x+2+＞7+5、已知2（x﹣2）﹣3（4x﹣1）=9（1﹣x），且y＜x+9，试比较y 与y的大小．6、解关于x 的不等式：7、已知a，b为实数，若不等式（2a﹣b）x+3a﹣4b＜0的解为x ＞，试求不等式（a﹣4b）x+2a﹣3b＞0的解．8、解不等式组．9、解关于x 的不等式组10、解下列不等式或不等式组：（1）2（x+1）+≥x﹣1（2）4（x﹣5）＜x2﹣5x+3﹣（x2﹣8x）（3）．11、解下列关于x的不等式或不等式组：（1）﹣mx﹣1＞﹣[x（m+1）+m]（2）5ax﹣b＞2ax+5b（3）12、求同时满足不等式6x﹣2≥3x﹣4和的整数解．13、如果关于x的不等式（2a﹣b）x+a﹣5b＞0的解集为，则关于x的不等式ax＞b的解集为_________．初一奥赛培训06：一次不等式答案与评分标准初一奥赛培训06：一次不等式一、解答题（共13小题，满分120分）1、解不等式2（x+1）+≥考点：解一元一次不等式。
分析：先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，化系数为1求解即可．解答：解：两边同时乘以6得：12（x+1）+2（x﹣2）≥21x﹣6，移项合并同类项得：﹣7x≥﹣14，两边同除以﹣7，解得x≤2．所以不等式的解为x≤2．点评：本题考查了解简单不等式的能力，解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．2、求不等式（x+1）﹣≥（x﹣2）的正整数解．考点：一元一次不等式的整数解。
专题：计算题。
分析：首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可．解答：解：由不等式可得：x≤解得：x≤所以原不等式的正整数解为x=1，2，3．点评：本题主要考查了不等式的解法，正确求解不等式是解题关键，注意解不等式的依据是不等式的基本性质．3、解不等式（1+）（y2+1）＞（1﹣）（y2+1）考点：不等式的性质；解一元一次不等式。
初中数学竞赛辅导(6)一次不等式(组)的解法
初中数学竞赛辅导第六讲 一次不等式（组）的解法1、解不等式：()1273212-≥-++x x x 2、求不等式()()()261121131-≥--+x x x 的正整数解。
3、解不等式()()122113122+⎪⎭⎫ ⎝⎛-->+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y y y 。
4、解不等式617612-+>-++x x x 。
5、已知()()()x x x -=---1914322，且9+<x y ，试比较y π1与y 3110的大小。
6、解关于x 的不等式ax a x 212332->-+。
7、已知a 、b 为实数，若不等式()0432<-+-b a x b a 的解为94>x ，试求不等式()0324>-+-b a x b a 的解。
8、解不等式()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≥-+<-<-<-<2323252113242133521x x x x x x 。
9、解关于x 的不等式组()⎩⎨⎧+->+-<-821563x m x mx mx mx 。
答案：1、2≤x 。
2、x=1，2，3。
3、56>y 。
4、5>x 且6≠x 。
5、y π1＞y 3110。
6、（1）23->a 时，1->a x ；（2）23=a 时，无解；（3）23-<a 时，1-<a x 。
7、41->x 8、4254<<x 。
9、（1）当m=0时，不等式无解；（2）当m ＞0时，mx m 41138<<； （3）当m ＜0时，mx m 38411<<。
训练：1、解下列不等式或不等式组：（1）()1273212-≥-++x x x （2）()()x x x x x 8355422--+-<-（3）()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<-≥--++<-++145.143522152233612x x x x x x x x 2、解下列关于x 的不等式或不等式组；（1）()[]m m x mx ++->--1132（2）b ax b ax 525+>-（3）()⎪⎩⎪⎨⎧->+->-432221x ax a x x 3、求同时满足不等式4326-≥-x x 和121312<--+x x 的整数解。
初一数学竞赛系列讲座解一次方程(组)与一次不等式(组)教师版
初一数学竞赛系列讲座解一次方程（组）与一次不等式（组）一、知识要点1．一次方程组解一次方程组的基本思想是“消元”，常用方法有“代入消元法”和“加减消元法” 2．不定方程不定方程(组)是指未知数的个数多于方程个数的方程(组)。
它的解往往有无穷多个，不能唯一确定，对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解或正整数解。
定理：若整系数不定方程ax+by=c (a 、b 互质)有一组整数解为x 0，y 0，则此方程的全部整数解可表示为：⎩⎨⎧-=+=)k ( 00为任意整数这里ka y y kbx x 3.一元一次不等式只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式。
它的标准形式：ax+b ＜0或ax+b ＞0（a ≠0）解不等式的根据是不等式的同解原理。
4．不等式的基本性质和同解原理 不等式的基本性质(1)反身性 如果a ＞b ，那么b ＜a(2)传递性 如果a ＞b ，b ＞c ，那么a ＞c (3)平移性 如果a ＞b ，那么a+c ＞b+c (4)伸缩性 如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc 如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc不等式的同解原理1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得的不等式与原不等式是同解不等式。
不等式的同解原理2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，所得的不等式与原不等式是同解不等式。
不等式的同解原理3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，并把不等号改变方向后，所得的不等式与原不等式是同解不等式。
5．解一元一次不等式的步骤（1）去分母（根据不等式性质2或3）； （2）去括号（根据整式运算法则）； （3）移项（根据不等式基本性质1）； （4）合并同类项（根据整式的运算法则）； （5）将x 项系数化为1（根据不等式性质2或3）；6．不等式组及其解集几个一元一次不等式合在一起，就成了一元一次不等式组；几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做由它们组成的一元一次不等式组的解集。
七年级第06讲 一次不等式
数学竞赛讲义（6）沪科版七年级《一次不等式(不等式组)的解法》例1： 解不等式12732)1(2-≥-++x x x例2：求不等式)2(61)1(21)1(31-≥--+x x x 的正整数解．例3： 解不等式)221)(1()1)(31(22--+>++y y y y例4： 解不等式617612-+>-++x x x例5： 已知2(x －2)－3(4x －1)＝9(1－x)，且y ＜x ＋9，试比较y π1与y 3110的大小例6： 解关于x 的不等式：a x a x 212332->-+例7： 已知a ，b 为实数，若不等式(2a －b)x ＋3a －4b ＜0的解为94>x ，试求不等式032)4(>-+-b a x b a 的解例8： 解不等式组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-<-≥-+<-<-3352123232)5(211)32(421x x x x x x例9： 解关于x 的不等式组⎩⎨⎧+->+-<-8)21(563x m x mx mx mx练习六1．解下列不等式或不等式组：（1）12732)1(2-≥-++x x x （2）)8(35)5(422x x x x x --+-<-（3）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<-≥--++<-++)14(23435221)5(2233612x x x x x x x x2．解下列关于x 的不等式或不等式组：（1）[]m m x mx ++->--)1(132 （2）b ax b ax 525+>-（3）⎪⎩⎪⎨⎧->+->-4322)(21x ax a x x3．求同时满足不等式4326-≥-x x 和121312<--+x x 的整数解．4．如果关于x 的不等式05)2(>-+-b a x b a 的解为710<x 那么关于x 的不等式ax ＞b 的解是什么？。
初中数学教案：解一次不等式的方法
初中数学教案：解一次不等式的方法解一次不等式的方法一、引言解一次不等式是初中数学学习的一个重要内容，掌握好解一次不等式的方法对于学生在整个数学学习过程中具有重要意义。
本文将介绍几种常见的解一次不等式的方法，旨在帮助学生提高解题能力。
二、使用逆运算法解一次不等式1. 逆运算法的原理解一次不等式可以使用逆运算法，即通过对不等式两侧进行相同操作，改变不等关系，从而得出方程的根或值域。
2. 逆运算法的步骤a. 将不等式右侧常数项移到左侧；b. 对左侧表达式进行合并化简；c. 使用逆运算将左侧表达式转化为方程形态；d. 求解得到方程的根或值域。
3. 解题示例例如，对于不等式2x + 3 < 7，我们可以按照以下步骤来求解：a. 移项：2x < 7-3；b. 化简：2x < 4；c. 转化为方程：2x = 4；d. 求解：x = 2。
三、使用图像法解一次不等式1. 图像法的原理使用图像法解一次不等式是通过将不等式转化为图像形式，从而直观地找到满足不等式的区间。
2. 图像法的步骤a. 将不等式转化为方程；b. 绘制方程的图像；c. 确定图像上满足不等式的区间。
3. 解题示例考虑不等式2x + 5 > 9，我们可以按照以下步骤来求解：a. 转化为方程：2x + 5 = 9；b. 绘制图像：绘制函数y = 2x + 5在坐标系上的图像；c. 确定满足条件的区间：从图像中可知，在x大于2时，y大于9。
因此解得该不等式的解集为{x | x > 2}。
四、使用平移变换法解一次不等式1. 平移变换法的原理平移变换法是通过对不等式进行平行平移来改变其形态，进而求得满足条件的区间。
2. 平移变换法的步骤a. 利用常数c进行平行平移（左右或上下）；b. 找到满足新条件的区间。
3. 解题示例举例说明平移变换法：对于不等式3x - 4 < 5，按照以下步骤求解：a. 平行平移：3x - 4 + 4 < 5 + 4；b. 化简：3x < 9；c. 求解：x < 3。
七年级不等式知识点讲解
七年级不等式知识点讲解不等式是数学中的一种运算符号，它是“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”的简称。
在数学中，不等式和等式一样重要，经常出现在数学题中。
在初中的学习中，我们将涉及到一些基础的不等式知识。
今天，我们将学习七年级不等式知识点的讲解。
一、不等式的概念不等式是一种比较两个数大小关系的符号表示。
如“1＜2”，表示“1小于2”，“4≥3”，表示“4大于等于3”。
二、不等式的性质1、不等式两边同时乘以一个正数时，不等式的方向不变。
例如：3x > 6，两边同时乘以2，得到6x > 12，x > 2。
再例如：5y < 10，两边同时乘以1/2，得到2.5y < 5，y < 2。
2、不等式两边同时乘以一个负数时，不等式的方向改变。
例如：6a > 24，两边同时乘以-1，得到-6a < -24，a < -4。
再例如：9b < -18，两边同时乘以-1/9，得到-b > 2，b < -2。
3、不等式两边同时加上一个数时，不等式的方向不变。
例如：2x > 10，两边同时加上-4，得到2x-4 > 6，x > 3。
再例如：5y < -3，两边同时加上2，得到5y+2 < -1，y < -0.6。
4、不等式两边同时减去一个数时，不等式的方向不变。
例如：3a < 9，两边同时减去2，得到3a-2 < 7，a < 3。
再例如：4b > 8，两边同时减去3，得到4b-3 > 5，b > 2。
三、一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，实质上是将含有未知数的项移项相等，但要注意要根据不等式的方向确定正负性。
例如：4x-5 > 7，首先将-5移到右边：4x > 12，然后将4移到左边：x > 3。
再例如：7y+2 ≤ 23，首先将2移到右边：7y ≤ 21，然后将7移到左边：y ≤ 3。
706.一次不等式-奥数精讲与测试7年级1106
专题06 一次不等式例1．解下列关于x 的一次不等式(组)，必要时加以讨论。
⑴124816x x x x -+-+≥x ；⑵233122x xa a+-->例2．已知不等式(2a −b )x +3a −4b ＜0的解为x ＞49，求不等式(a −4b )x +2a −3b ＞0的解。
例3．如果不等式组9080x a x b -≥⎧⎨-<⎩的整数解仅为1、2、3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对(a ，b)共有多少对？例4．设a 、b 、c 、d 均为整数，且关于x 的方程(a −2b )x ＝1、(b −3c )x ＝1、(c −4d )x ＝1、x +100＝d 的根都是正数，试求a 的最小值。
例5．设a、b是正整数，求满足89910ab<<，且b最小的分数ab。
例6．从1开始，写出一组连续的正整数，擦去一个数后，其余整数的平均值为73517，问擦去的数是多少？A卷一、填空题01．不等式7−x＜2(6−x)的正整数解为_________。
02．不等式(1−a)x＞1的解为_________。
03．不等式∣x+7∣−∣x−2∣＜3的解为_________。
04．如果−a＞−b，用“＜”或“＞”号填空。
⑴a−2002_______b−2002；⑵−2002a_______−2002b；⑶2002a_______2002b。
05．满足不等式x≥−3.9的最小的整数x是________；满足x≤4.2的最大整数x是_________。
06．如下4个判断⑴如果a＝0，b＞0，则ax＝b无解；⑵如果a＞0，b＝0，则ax＝b无解；⑶如果a＞0，b＜0，则ax＞b的解为x＞ba；⑷如果a＜0，b＞0，则abx＜b的解为x＜1a。
其中正确的序号是_________。
07．如果x ＞0，那么1177x -+________ 1166x -+ (填“＞”、“＝”或“＜”)。
初一年级奥数知识点：不等式的基本性质
初一年级奥数知识点：不等式的基本性质不等式与不等式组1、知识概念1.用符号“<”“>”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。
2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
4.一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。
5.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成6.了一个一元一次不等式组。
7.定理与性质不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
不等式的概念1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。
3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。
4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
5、用数轴表示不等式的方法。
不等式基本性质1、不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
3、不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。
②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立;一元一次不等式1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。
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第六讲一次不等式(不等式组)的解法
不等式和方程一样，也是代数里的一种重要模型．在概念方面，它与方程很类似，尤其重要的是不等式具有一系列基本性质，而且“数学的基本结果往往是一些不等式而不是等式”．本讲是系统学习不等式的基础．
下面先介绍有关一次不等式的基本知识，然后进行例题分析．
1．不等式的基本性质
这里特别要强调的是在用一个不等于零的数或式子去乘(或去除)不等式时，一定要注意它与等式的类似性质上的差异，即当所乘(或除)的数或式子大于零时，不等号方向不变(性质(5))；当所乘(或除)的数或式子小于零时，不等号方向要改变(性质(6))．
2．区间概念
在许多情况下，可以用不等式表示数集和点集．如果设a，b为实数，且a ＜b，那么
(1)满足不等式a＜x＜b的数x的全体叫作一个开区间，记作(a，b)．如图1－4(a)．
(2)满足不等式a≤x≤b的数x的全体叫作一个闭区间，记作[a，b]．如图1－4(b)．
(3)满足不等式a＜x≤b(或a≤x＜b)的x的全体叫作一个半开半闭区间，记作(a，b](或[a，b))．如图1－4(c)，(d)．
3．一次不等式的一般解法
一元一次不等式像方程一样，经过移项、合并同类项、整理后，总可以写成下面的标准型：ax＞b，或ax＜b．为确定起见，下面仅讨论前一种形式．一元一次不等式ax＞b．
(3)当a=0时，
用区间表示为(-∞，+∞)．
例1解不等式
解两边同时乘以6得
12(x+1)+2(x-2)≥21x-6，
化简得
-7x≥-14，
两边同除以-7，有x≤2．所以不等式的解为x≤2，用区间表示为(-∞，2]．例2求不等式
的正整数解．
正整数解，所以原不等式的正整数解为x=1，2，3．
例3解不等式
分析与解因y2+1＞0，所以根据不等式的基本性质有
例4解不等式
为x+2
＞7，解为x＞5．这种错误没有考虑到使原不等式有意义的条件：x≠6．解将原不等式变形为
解之得
所以原不等式的解为x＞5且x≠6．
例5已知2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)，且y＜x+9，试比较
解首先解关于x的方程得x=-10．将x=-10代入不等式得
y＜-10+9，即y＜-1．
例6解关于x的不等式：
解显然a≠0，将原不等式变形为
3x+3-2a2＞a-2ax，
即
(3+2a)x＞(2a+3)(a-1)．
说明对含有字母系数的不等式的解，也要分情况讨论．例7已知a，b为实数，若不等式
(2a-b)x+3a-4b＜0
解由(2a-b)x+3a-4b＜0得
(2a-b)x＜4b-3a．
由②可求得
将③代入①得
所以b＜0．于是不等式(a-4b)x+2a-3b＞0可变形为
因为b＜0，所以
下面举例说明不等式组的解法．
不等式组的解是不等式组中所有不等式解的公共部分．
若不等式组由两个不等式组成，分别解出每一个不等式，其解总可以归纳成以下四种情况之一(不妨设α＜β)：
解分别为：x＞β；x＜α；α＜x＜β；无解．如图1－5(a)，(b)，(c)，(d)所示．
若不等式组由两个以上不等式组成，其解可由下面两种方法求得：
(1)转化为求两两不等式解的公共部分．如求解
(2)不等式组的解一般是个区间，求解的关键是确定区间的上界与下界，如求解
确定上界：由x＜4，x＜8，x＜5，x＜2，从4，8，5，2这四个数中选最小的数作为上界，即x＜2．
确定下界：由x＞-4，x＞-6，x＞0，x＞-3．从-4，-6，0，-3中选最大的数作为下界，即x＞0．
确定好上、下界后，则原不等式组的解为：0＜x＜2．不等式组中不等式的个数越多，(2)越有优越性．
例8解不等式组
解原不等式组可化为
解之得
例9解关于x的不等式组
解解①得 4mx＜11，③解②得3mx＞8．④
(1)当m=0时，③，④变为原不等式组无解．
(2)当m＞0时，③，④变形为
(3)当m＜0时，由③，④得
练习六
1．解下列不等式或不等式组：
2．解下列关于x的不等式或不等式组：
3．求同时满足不等式的整数解．
关于x的不等式ax＞b的解是什么？。