三角形内角和定理的证明 关注三角形的外角

【基础知识精讲】1．三角形按角分类如下：三角形⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧)()(有一个角是钝角钝角三角形锐角三角形斜三角形有一个角是直角直角三角形 2．三角形内角和定理及推论定理：三角形三个内角的和等于180°． 推论1：直角三角形的两个锐角互余．推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．学好定理及三个推论，首先要结合图形理解，对于推论2要注意“不相邻”几个字的意义，如图6-16所示，∠C 的外角为∠ACD ，则与∠C 的外角不相邻的内角是∠A 和∠B ，故∠ACD ＝∠A ＋∠B ；而∠C 与∠ACD 是相邻的，它们的关系是互补的，同样∠ACD ＞∠A ，也同时∠ACD ＞∠B ．图6-16推论1是直角三角形的性质和判定的依据；推论2是三角形内角与外角的关系的依据；推论3是研究角的大小关系的依据，通常用于证明． 3．辅助线在几何证明中，在原来图形上添画的线叫辅助线．它通常画成虚线，辅助线的添加，是对几何证明题有效分析的结果．在证明过程中它起到增加已知条件的作用．【重点难点解析】重点是三角形内角和定理及三角形的外角等于两个不相邻的内角和；难点是应用三角形的内角、外角关系证明问题．A ．重点、难点提示1．掌握三角形的内角和定理的内容及其证明过程． 2．理解并掌握三角形外角的概念．（掌握添加辅助线进行证明的基本思路） 3．熟练运用三角形内角和定理及其推论．（这是本节的重点和难点）B．考点指要三角形内角和定理及其推论是平面几何中计算和证明的一个常用的基本定理．三角形内角和定理的证明其关键是如何添加辅助线，而添加辅助线的目的是通过平行线把三角形的三个角移到一起，由移到一起的三个角的和是平角，证得结论．（角的转移的思想）三角形内角和定理通常与其他定理结合证明角相等；而利用三角形内角和定理的推论，证明角的不等关系．（角度大小关系的证明通常会用到内角和定理的推论）【难题巧解点拨】例1 如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AD、BE相交于点F．求证：∠C＋∠1＋∠2＋∠3＝180°．思路分析求三角形的角与角的数量关系时，一般可以把所求的角看作某一个三角形的一个内角进行分析，如果图形中出现了外角，或所求角本身是另一个三角形外角时，通常还要考虑外角的性质．把内、外角性质结合起来，使问题得以解决．证明：∵∠C＋∠ADC＋∠3＝180°(三角形内角和定理)，∠ADC＝∠1＋∠2（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠C＋∠1＋∠2＋∠3＝180°（等量代换）．点评：学习外角的概念时，容易受词意的干扰，误认为三角形的外角就是三角形外面的角，排除这一干扰的关键是结合图形理解三角形外角的三个特征：①顶点是三角形的一个顶点；②一条边是三角形的一边，另一条边是三角形某条边的延长线，只有同时具备这三个特征的角，才是三角形的外角．例2 如图，D为△ABC的任一点，求证：∠BDC>∠ABD．思路分析本题考查三角形内角和定理的推论，运用推论证明角不等时，常通过辅助线使求证的大角（或它的一部分）放在三角形的外角位置上，小角放在内角位置上，再结合不等式的性质进行证明．证法一：过点D作射线AE，如图（1）．在△ABD中，有∠1>∠ABD．（三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角）又∵∠BDC>∠1，∴∠BDC>∠ABD （不等式的传递性）证法二：延长CD交AB于F，如图（2）．在△BDF中，∠BDC>∠ABD（三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角）．点评：本题主要借助辅助线达到证明的目的，因此在证明时要首先交代辅助线的作法，出现哪些新的字母等等．例3 如图，在△ABC中，D是BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°．求：∠DAC的度数．思路分析三角形中某些角度的运算基本上大都要用到三角形内角和定理，关键要找到角之间的关系．解：∵∠4是△ABD的外角，∴∠4＝∠1＋∠2．∵∠1＝∠2，∴∠4＝2∠2＝∠3．在△ABC中，∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，（三角形内角和定理）∴63°＋∠2＋∠3＝180°，∴∠3＝78°(等量代换)，∴∠4＝∠3＝78°．在△ADC中，∠DAC＋∠ADC＋∠C＝180°(三角形内角和定理)，∴∠DAC＝180°－78°×2＝24°．点评：利用三角形内角和定理在不同的三角形中进行角度转换，以达到求解目的．【典型热点考题】例1 如图6-17，D是△ABC中∠C的外角平分线与BA的延长线的交点．求证：∠BAC＞∠B．图6-17点悟：本题考查的是三角形角之间的关系以及角平分线的定义．由题意可知，想直接判断∠BAC与∠B的关系有些困难，因而可找一个与它们都有关系的角．由图可知∠BAC是∠CAD的外角，故∠BAC＞∠ACD，同理∠DCE＞∠B，又由题意知道∠ACD＝∠DCE，此题得证．证明：在△ABC中，∠BAC是∠CAD的外角，∴∠BAC＞∠ACD∵CD平分∠ACE（已知），∴∠ACD＝∠DCE．又∵∠DCE是∠BCD的外角，∴∠DCE＞∠B．∴∠BAC＞∠B．例2如图6-18，在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AD，BE相交于点F．求证：∠C＋∠1＋∠2＋∠3＝180°．图6-18点悟：要证∠C，∠1，∠2，∠3四个角的和为180°，最好是将它转化为同一个三角形三个角的和，其中∠1，∠2在△BDF中，只要证∠3＋∠C＝∠FDB即可．这正好是三角形外角性质．同样∠3，∠C在△ADC中，只要证∠ADC＝∠1＋∠2即可．证法一：∵∠3＋∠C＋∠ADC＝180°，又∵∠ADC＝∠1＋∠2，∴∠3＋∠C＋∠1＋∠2＝180°，即∠C＋∠1＋∠2＋∠3＝180°．证法二：∵∠1＋∠2＋∠FDB＝180°，又∵ ∠FDB ＝∠3＋∠C ，∴ ∠C ＋∠1＋∠2＋∠3＝180°．例3 如图6-19，已知在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝3∶4∶5，BD 、CE 分别是边AC 、AB 上的高，BD 、CE 相交于H ，求∠BHC 的度数．图6-19点悟：根据三角形的内角和定理，由已知先求出∠A 、∠B 、∠C ，因∠BHC 在△BHC 中，故先求∠DBC 和△EC B ．解：设∠A ＝3α，∠ABC ＝4 α，∠ACB ＝5 α， ∴ 3 α＋4 α＋5 α＝180°． ∴ α＝15°，∴ ∠ABC ＝60°，∠ACB ＝75°，在△DBC 中，由∠BDC ＝90°知△DBC 为直角三角形． ∴ ∠DBC ＝90°－75°＝15°，在△ECB 中，由∠CEB ＝90°知△ECB 为直角三角形． ∴ ∠ECB ＝90°－60°＝30°．在△BHC 中，∠BHC ＝180°－15°－30°＝135°．例4 如图6-20，已知在△ABC 中，∠B ＞∠C ，AD 为∠BAC 的平分线，AE ⊥BC ，垂足为E ．求证：∠DAE ＝21（∠B －∠C ）．图6-20点悟：欲证∠DAE 与∠B 、∠C 的关系式，而∠DAE 为△ABC 的内角的一部分，又是Rt △AED 的一个内角，故应从△ABC 、Rt △AED 两个三角形的内角关系入手证之． 解：在Rt △AED 中，∠DAE ＋∠ADE ＝90°， ∵ ∠ADE ＝∠C ＋∠DAC ，而∠DAC ＝21∠BAC ， ∴ ∠DAE ＝90°－（∠C ＋21∠BAC ）， 又∵ ∠BAC ＝180°－∠B －∠C ，∴ ∠DAE ＝90°－∠C ＋21（180°－∠B －∠C ） ＝90°－∠C －90°＋21∠B ＋21∠C＝21（∠B －∠C ）．点拨：本题证明的关键是运用了直角三角形两锐角互余，和三角形内角和为180°两个重要性质，在几何题的证明中，有直角或垂直，应想到直角三角形的两锐角互余这一性质．而三角形内角和为180°，通常题设中不明确交代，解题时若忽视这一性质，将无法得到结论．【同步达纲练习】一、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”） 1．一个三角形中至少有一个角不小于60°．（ ）2．若一个三角形的两内角之和等于另一内角，则这个三角形是直角三角形．（ ）二、选择题3．下列说法正确的是（ ）．A ．一个钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形B ．一个等腰三角形一定是锐角三角形，或直角三角形C ．一个直角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形D ．一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形4．若一个三角形的三个外角的度数之比为2∶3∶4，则与之对应的三个内角的度数之比为（ ）．A ．5∶3∶1B ．3∶2∶4C ．4∶3∶2D ．3∶1∶5 5．下列关于三角形的分类正确的是（ ）．A ．三角形分为等腰三角形、等边三角形、不等边三角形三类B ．三角形分为锐角三角形、斜三角形、直角三角形三类C ．三角形分为等腰三角形、等腰直角三角形、斜三角形三类D ．三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三类 6．如图6-21，∠1、∠2、∠3、∠4恒满足的关系式是（ ） A ．∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B ．∠1＋∠2＝∠4－∠3 C ．∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D ．∠1＋∠4＝∠2－∠3图6-217．如图6-22，∠B ＝∠C ，则∠ADC 与∠AEC 的大小关系是（ ）． A ．∠ADC ＞∠AEB B ．∠ADC ＝∠AEB C ．∠ADC ＜∠AEB D ．大小关系不确定图6-22三、填空题8．三角形中，最大角等于最小角的2倍，最大角又比另一个角大20°，则此三角形的最小角等于________．9．三角形中，最多有________个锐角，至少有________个锐角，最多有________个钝角（或直角），最少有________个钝角（或直角）；三角形外角中最少有________个钝角，最多有________个钝角，三角形外角中，最多有________个锐角，最少有________个锐角． 10．一个钝角三角形中，一个锐角等于30°，则另一个锐角α 的取值范围是________． 11．三角形中最大角α 的取值范围为________，最小角β 的取值范围为________．四、解答题12．如图6-23，△ABC 的三内角的平分线交于O 点，过O 作OE ⊥BC 于E ， 求证：∠BOD ＝∠COE ．图6-2313．如图6-24，已知BD 、CD 分别是△ABC 外角∠EBC 与∠FCB 的平分线，BD 、CD 相交于D 点，求证：∠D ＝90°－21∠A ．图6-2414．如图6-25中，已知D 是△ABC 的BC 边延长线上一点，DF ⊥AB ，交AB 于F ，交AC 于E ，∠A ＝40°，∠D ＝30°，求∠ACB 的度数．图6-25【综合能力训练】1．如图1，∠B ＝∠C ，则∠ADC 与∠AEB 的大小关系是（ ）A ．∠ADC>∠AEB ； B ．∠ADC ＝∠AEB ； C ．∠ADC<∠AEB ；D ．大小关系不确定．2．如图2，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线相交于D ，∠D ＝20°，则∠A 的度数为（ ）A ．20°；B ．30°；C ．40°；D ．50°．3．如图3，21l //l ，则下列式子中值为180°的是（ ）A．α＋β＋γ；B．α＋β－γ；C．β＋γ－α；D．α－β＋γ．4．如图4，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，则∠A的大小是（）A．70°；B．75°；C．80°；D．85°．5．如图5，已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠A＝35°．则∠BDC的度数为_________________．6．如图6，BP平分∠ABC交CD于F，DP交AB于E，DP平分∠ADC，AB与CD相交于点O，若∠A＝40°，∠C＝36°，求∠P的度数．7．如图7，在△ABC中，∠BAC＝∠BCA，CD平分∠ACB，CE⊥AB交AB的延长线于E，若∠DCE＝54°，求∠A的度数．8．如图8，△ABC 的三条角平分线AD 、BE 、CF 交于点G ，GH ⊥BC 于H ．求证：∠BGD ＝∠CGH ．9．如图9，AB ∥CD ，∠1＝∠F ，∠2＝∠E ，求∠EOF 的度数．10．如图10，在△ABC 中，AD ⊥BC ，∠1＝∠B ．求证：△ABC 为直角三角形．参考答案【同步达纲练习】 1．√ 2．√3．D 4．A 5．D 6．D 7．B8．40° 9．3，2，1，0，2，3，1，0 10．0°＜α ＜60° 11．60°≤α ＜180°，︒≤<︒600β12．∠BOD ＝∠ABO ＋∠BAO ＝21∠ABC ＋21∠BAC ＝21（180°－21∠ACB ）＝90°－21∠ACB ＝90°－∠OCE ＝∠COE ． 13．∵ ∠DBC ＝21∠EBC ，∠DCB ＝21∠FCB ，∴ ∠DBC ＋∠DCB ＝21（∠EBC ＋∠FCB ）． 又∵ ∠EBC ＝∠A ＋∠ACB ，∠FCB ＝∠A ＋∠ABC ， ∴ ∠DBC ＋∠DCB ＝21（∠A ＋∠ACB ＋∠A ＋∠ABC ）＝21（180°＋∠A ）． ∴ ∠BDC ＝180°－（∠DBC ＋∠DCB ）＝180°－21（180°＋∠A ） ＝90°－21∠A 14．∵ ∠AFE ＝90°，∴ ∠AEF ＝90°－∠A ＝90°－40°＝50°．又∵ ∠CED ＝∠AEF ，∠ACB ＝∠CED ＋∠D ＝50°＋30°＝80°．【综合能力训练】1．B 2．C 3．B 4．C5．80°．6．∵∠A ＋∠ADO ＋∠AOD ＝180°，∠C ＋∠CBO ＋∠COB ＝180°． 而∠AOD ＝∠COB ，∴∠A ＋∠ADO ＝∠C ＋∠CBO ，∴∠ADO ＋4°＝∠CBO ．又DP 、BP 分别为角平分线，∴∠PDO ＋2°＝∠PBC ．又∠DFB ＝∠P ＋∠PDF ＝∠C ＋∠PBC ，∴∠P ＝∠C ＋2°＝38°．7．在Rt △CDE 中，∠CDE ＝90°－∠DCE ＝36°．∵CD 平分∠ACB ，∠A ＝∠BCA ，∴∠CDE ＝∠A ＋∠ACD ＝∠A ＋21∠ACB ＝∠A ＋21∠A ， 即∠A ＝︒=∠24CDE 32． 8．CGH C 2190B 21A 21BGD ∠=∠-︒=∠+∠=∠． 9．在△ABF 中，∠ABF ＝180°－∠1－∠F ＝180°－2∠1，在△DCE 中，∠DCE ＝180°－∠2－∠E ＝180°－2∠2，而AB//CD ，∴∠ABF ＋∠DCE ＝180°，即180°－2∠1＋180°－2∠2＝180°，∴∠1＋∠2＝90°．在△EOF 中，∠EOF ＝180°－∠E －∠F ＝180°－（∠1＋∠2）＝90°．10．∵AD ⊥BC ，∴∠B ＋∠BAD ＝90°．而∠1＝∠B ，∴∠1＋∠BAD ＝90°，即∠BAC ＝90°，△ABC 为直角三角形．。