第二章 经典单方程计量经济学模型(一元)

第二章
经典单方程计量经济学模型： 经典单方程计量经济学模型： 一元线性回归模型
回归分析概述 一元线性回归模型的参数估计 一元线性回归模型检验
§2.1 回归分析概述
1、变量间的关系 经济变量之间的关系，大体可分为两类 经济变量之间的关系，大体可分为两类： （1）确定性关系 函数关系 ： 研究的是 确定性关系或函数关系 确定性关系 函数关系： 确定现象非随机变量间的关系。 确定现象非随机变量间的关系。
ˆ ˆ β 0，β1 ，使误差 普通最小二乘法原理： 普通最小二乘法原理：求
平方和 最小。 最小。
∂Q =0 ˆ ∂β 0 ∂Q =0 ˆ ∂β1
ˆ ˆ ΣYi = nβ 0 + β1ΣX i ˆ ˆ Σ X Y = β ΣX + β ΣX 2
i i 0 i 1 i
n为观察次数
称为正规方程组 称为正规方程组（normal equations）。 ） 解方程得： 解方程得：
2、回归分析的基本概念 ◘ 回归的意义 回归”一词， “回归”一词，最早来源于生物学 加尔顿： 例：F-加尔顿：父母与子女的身高关系 加尔顿 例：一个社区有100户家庭组成，要研究 户家庭组成， 一个社区有 户家庭组成 该社区每月家庭消费支出 与每月家庭可 家庭消费支出Y与每月 该社区每月家庭消费支出 与每月家庭可 支配收入X的关系 的关系。 支配收入 的关系。 描出散点图发现：随着收入的增加， 描出散点图发现：随着收入的增加，消 平均地说”也在增加， 费“平均地说”也在增加，其趋势近似 于一条直线。 于一条直线。
利润Y 利润
科研支出与利润计算表 年份 2001 2002 2003 2004 2005 2006 ∑ X 5 11 4 5 3 2 30 Y 31 40 30 34 25 20
X
2
XY X i − X Yi − Y 155 440 120 170 75 40 0 6 -1 0 -2 -3 1 10 0 4 -5 -10
对变量间相关关系的考察主要是通过相关分析 对变量间相关关系的考察主要是通过相关分析 相关关系的考察主要是通过 (correlation analysis)或回归分析 或回归分析(regression analysis)来完成的。 来完成的。 来完成的 相关分析和回归分析的联系和区别。 相关分析和回归分析的联系和区别。
相关关系： （2）统计依赖 相关关系 ：研究的是非确 ） 统计依赖或相关关系 定现象随机变量间的关系。 定现象随机变量间的关系。
例如： 例如 函数关系： 函数关系：
圆面积 = f (π , 半径 ) = π ⋅ 半径 2
统计依赖关系/统计相关关系： 统计依赖关系 统计相关关系： 统计相关关系
) 农作物产量= f (气温, 降雨量 阳光, 施肥量 ,
上述参数估计量可以写成： 上述参数估计量可以写成： Σx i y i ˆ β1 = 2 Σx i β = Y − β X ˆ ˆ 1 0 称为OLS估计量的离差形式 估计量的离差形式 称为 估计量的 样本回归函数的离差形式 样本回归函数 离差形式: 离差形式
ˆ ˆ y i = β 1 xi
ˆ Yi 是Yi的估计量
ˆ ˆ β 0，β1是总体参数β 0，β1的估计量
ˆ ei = Yi − Yi
误差平方和（残差平方和）： 误差平方和（残差平方和）：
ˆ ˆ ˆ ) 2 = ∑ (Y − β − β X ) 2 Q = ∑ e = ∑ (Yi − Yi i 0 1 i
2 i 1 1 1 n n n
三、最小二乘法的性质
Yi = β 0 + β 1 X i + µ i
ˆ ˆ Yi = β 0 + β1 X i + ei
ˆ ˆ ˆ Yi = β 0 + β1 X i
---总体回归模型 理论模型 总体回归模型(理论模型 理论模型) ---样本回归模型 ---样本回归直线
ˆ ei = Yi − Yi
当不满足小样本性质时， 当不满足小样本性质时，需进一步考察估计 量的大样本或渐近性质 大样本或渐近性质： 量的大样本或渐近性质：
（ 4） 渐近无偏性 ， 即样本容量趋于无穷大时 ， 是 ） 渐近无偏性， 即样本容量趋于无穷大时， 否它的均值序列趋于总体真值； 否它的均值序列趋于总体真值； （ 5） 一致性 ， 即样本容量趋于无穷大时 ， 它是否 ） 一致性， 即样本容量趋于无穷大时， 依概率收敛于总体的真值； 依概率收敛于总体的真值； （ 6） 渐近有效性 ， 即样本容量趋于无穷大时 ， 是 ） 渐近有效性， 即样本容量趋于无穷大时， 否它在所有的一致估计量中具有最小的渐近方差。 否它在所有的一致估计量中具有最小的渐近方差。
ˆ = nΣX i Yi − ΣX i ΣYi = Σ( X i − X )(Yi − Y ) = XY − X ⋅ Y β1 2 2 2 nΣX i − (ΣX i ) Σ( X i − X ) X 2 − (X )2
ˆ ˆ β 0 = Y − β1 X
令xi = X i − X , yi = Yi − Y
§2.2
一元线性回归模型的参数估计
一、一元线性回归模型的基本假设 参数的普通最小二乘估计（OLS） 二、参数的普通最小二乘估计（OLS） 三、最小二乘法的性质
单方程计量经济学模型分为两大类： 单方程计量经济学模型分为两大类： 线性模型和 线性模型和非线性模型 •线性模型中，变量之间的关系呈线性关系 线性模型中， 线性模型中 •非线性模型中，变量之间的关系呈非线性关系 非线性模型中， 非线性模型中 一元线性回归模型：只有一个解释变量 一元线性回归模型 只有一个解释变量
1、参数的意义 、 ˆ β 0 ：纵轴截距，ˆ1 ：斜率，回归系数 β
ˆ β1 ：当X增加一个单位时，Y平均增加的 单位数
2、 OLS求得的样本回归直线有下列特点 2、用OLS求得的样本回归直线有下列特点： 求得的样本回归直线有下列特点：
¤ 样本回归直线必然通过 ( X , Y ) ¤
ˆ Yi 的平均值与 Yi 的平均值相等
假设3 随机误差项µ与解释变量X之间不相关 之间不相关： 假设 随机误差项µ与解释变量 之间不相关： 假设4 服从零均值、同方差、 假设 µ服从零均值、同方差、零协方差的正态分布
注意： 注意：
1、如果假设 、2满足，则假设 也满足 、如果假设1、 满足 则假设3也满足 满足， 也满足; 2、如果假设4满足，则假设 也满足。 、如果假设 满足 则假设2也满足 满足， 也满足。 以上假设也称为线性回归模型的经典假设 以上假设也称为线性回归模型的经典假设 高斯（ 或高斯（Gauss）假设，满足该假设的线性回归 ）假设， 模型，也称为经典线性回归模型 经典线性回归模型（ 模型，也称为经典线性回归模型（Classical Linear Regression Model, CLRM）。 ）。
◘
随机变异的来源 -省略自变量 省略自变量 -人们行为的随机性 人们行为的随机性 -定式不完善 定式不完善 -汇总的误差 汇总的误差 -测量误差或观察误差 测量误差或观察误差
Yi = β 0 + β 1 X i + µ i
---总体回归模型 理论模型 总体回归模型(理论模型 理论模型)
回归分析的主要目的是求样本回归模型: 回归分析的主要目的是求样本回归模型: 是求样本回归模型
二、参数的普通最小二乘估计（OLS） 参数的普通最小二乘估计（OLS） Ordinary least squares
给定一组样本观测值（ ）（i=1,2,…n）要求 给定一组样本观测值（Xi, Yi）（ ） 样本回归函数尽可能好地拟合这组值。 样本回归函数尽可能好地拟合这组值。 模型： 模型： Y = β + β X + µ i 0 1 i i 回归直线： 回归直线： ˆ ˆ ˆ Yi = β 0 + β 1 X i 令：
Yi = β 0 + β 1 X i + µ i
i=1,2,…,n
Y为被解释变量，X为解释变量，β0与β1为待估 为被解释变量， 为解释变量 为解释变量， 为被解释变量 参数， 参数， µ为随机干扰项
◘ 总变异的分解
Yi = β 0 + β 1 X i + µ i
i=1,2,…,n
总变异=系统变异 随机变异 总变异 系统变异 +随机变异
家庭消费支出Y与家庭可支配收入 的散点图 家庭消费支出 与家庭可支配收入X的散点图
·根据散点图，从几何上应可以找到一条 根据散点图， 的回归。 曲线拟合这些散点， 曲线拟合这些散点，称Y对X的回归。 对 的回归 ·曲线的方程称回归方程。 曲线的方程称回归方程。 ·用以近似地描述具有相关关系的变量间 联系的函数称为回归函数。 联系的函数称为回归函数。
回归分析(regression analysis)是研究 ◘ 回归分析 是研究 被解释变量， 被解释变量 因变量)与其 某一随机变量 (被解释变量，因变量 与其 他一个或几个普通变量(解释变量 解释变量， 他一个或几个普通变量 解释变量，自变 之间的数量变动关系形式的统计分析 量 )之间的数量变动关系形式的统计分析 方法。它是在肯定变量有关的情况下, 从变 方法。它是在肯定变量有关的情况下, 量对应的实际数据出发， 量对应的实际数据出发，确定这些变量间 的定量关系式, 即拟合出一个回归方程, 的定量关系式 即拟合出一个回归方程 并 利用所求得的关系式进行估计和预测。 利用所求得的关系式进行估计和预测。
25 121 16 25 9 4
180 200 1000
ˆ = nΣX iYi − ΣX i ΣYi = 6 ×1000 − 30 ×180 = 2 β1 nΣX i2 − (ΣX i ) 2 6 × 200 − 30 2
ˆ ˆ β 0 = Y − β1 X = 30 − 2 × 5 = 20