《高等数学基础(原“微积分”)》考试大纲

《高等数学基础（原“微积分”）》考试大纲考试目的本考试为北京大学医学网络教育学院医学信息、药学等专业专科、本科层次学生2011~2012学年《高等数学基础-微积分》课程考试，旨在认定其学习是否达到了预期的课程要求，同时为北医网络学院下一步教学的实施及评估提供依据。

考试总要求考生应重点掌握极限、导数或微分、积分的基本计算，理解微分学与积分学的联系-牛顿莱布尼兹公式，能够运用微积分基本计算，求函数曲线在某点的切线方程,会求一般曲边梯形的面积,及特殊封闭曲线所围图形的面积如: 计算圆面积,椭圆面积,掌握旋转体体积的定积分计算方法如:圆球体积，圆锥体体积的计算公式的推导,并具有求出简单函数最值的能力。

至少掌握一种判定驻点是否是极值点的方法。

了解微积分在医药行业中的基本应用。

考试内容试卷结构一览表试卷形式试卷总分：100分考试时间：90分钟答题方式：试卷分为试题册、答题卡，所有题型均为客观题,答案涂在答题卡上试卷题型比例：客观题：100% 单选或多选（本期考试为单选）总成绩构成网上作业百题得分*30%+期末成绩*70%单选题25题每题得分4分共100分每题四个选项择最佳选项题型说明与题型示例一. 函数 （12分）● 会求简单函数的定义域 (,1][2,)f D =-∞+∞ 。

题型示例 (,1][2,)-∞+∞ .题型示例 函数)2)(1(x x --的定义域为:[1,2] 曲线图形为半圆。

注意与前题的区别。

●会判定基本初等函数的单调性: 3,3,ln x y x y y x ===是单调增加函数（图像）。

题型示例 非单调增加函数的是：3:,:3,:ln ,:sin x A y x B y C y x y D x ====。

● 会判定简单函数的有界性: 2211, , ,sin 11x x y y y e y x e x --====++均有界。

题型示例 ( ) 函数是无界的 （单调函数的最大值最小值在端点达到）。

2211:, B:; C:sin ;:11x A y y y x y x e xD -====++ ● 会判定函数是否是初等函数 知道分段函数是非初等函数如取整函数，符号函数。

1 01; 1 0-1 -0x x x y y x xx +≥≥⎧⎧==⎨⎨->>⎩⎩,为非初等函数● 知道基本初等函数的具体内容:常数-指数-幂-对数-三角-反三角及图像特点。

● 知道多项式函数,有理函数,等是初等函数。

题型示例 ( ) 函数是初等函数 A 取整函数 B 多项式函数 题型示例 ( ) 函数是非初等函数 A 符号函数 B 多项式函数 ● 给定两个初等函数会求它们的复合函数如2222sin ,(),(()()sin ; (())(sin )sin y x g x x f g x f x x g f x g x x ======●会计算复合函数的函数值.2/|)|()(x x x f +=，)3)(1()(x x x g --=，则)2(1))2((g g f ===1，0))0((=g f练习思考题 ))((x g f y =与)(x g y =的图像有什么联系？ ● 会判定函数的奇偶性 1112x y e -=-+, sin y x =均是奇函数;cos y x =,2ln(1)y x =+均是偶函数● 定义域关于原点对称（1）0)()(≡-+x f x f 则函数为奇函数；（2）0)()(≡--x f x f 则函数为偶函数 如2111)(-+=-x e x f ，01111111)()(=-≡-+++=-+-xx e e x f x f （通分整理） 题型示例 ( )是奇函数211:; B: cos ; C:ln(1);:12x xy y x y x D y e e A -=-==+=+ ● 一般定义域对称的函数可作奇偶分解2/)]()([2/)]()([)(x f x f x f x f x f -++--≡ 试试对多项式函数作奇偶分解如： )1()(512323x x x x x x +++=+++● 会判定两个函数是否相同.21();()11x f x g x x x -==+-函数的定义域不同故不同. ● 基础知识掌握 基本初等函数图像（重点 单调 有界 奇偶 周期） ● 一次函数 二次函数 绝对值函数 园与椭圆方程及图像建议考生常用EXCEL 去画复杂函数曲线，以帮助对抽象函数概念直观理解。

y=(x-1)(3-x)的函数图象（二次抛物线）如图二 极限 （16分） ● 基本极限 多种极限过程下有理函数的极限（四则运算法则）（！）数列 2011353553581l i m3; l i m , l i m ,l i m 2222231n x x x n x x x n x x x →∞→→→+++-====+++- 题型示例 3558limA:0; B:; :3; .223C n n n →∞+=+（2）函数极限 分子分母约去公共“零因子”知道题型示例 32)10)(5(25lim 25=+--→x x x x 注意“零因子”)5(-x 趋于0但不等于0.● 极限与无穷小的关系：函数以A 为极限，则函数减去A 为无穷小。

（同一极限过程） ● 有界变量乘无穷小仍为无穷小. 01sin lim sin0; lim 0;x x xx x x→→∞==● 重要极限熟记五个重要等价无穷小并会用此求不定式的极限20:sin ~;1-cos ~;ln(1)~;1~ln ; (1)1~2x x x x x x x x a x a x x αα→+-+-0sin 2lim21x x x e →=-;011lim 12x x e →=-; 01cos 1lim sin 2x x x x →-= ●会区分用重要极限公式求极限与无穷小性质求极限的易混淆之处重点需要考察) 此部分sin( 此部分是否趋于0看： （1）趋于0： 01s i n l i ms i n 1; l i m 1;x x xx x x→∞→==均为利用重要极限；（2）不趋于0：01sin lim 0=→x x x ；0sin lim=∞→x xx 均为利用无穷小性质。

题型示例 计算不正确的是（ ） A 0sin lim.=∞→x x x , B. 01sin lim 0=→x x x ,C. 01sin lim =∞→x x x , D. 1sin lim .0=→xxA x .● 用补充极限公式请看例题体会公式简便性 5550011lim()lim(1)x x x x x e x x→→+=+=; 222011cos 11lim 200lim(cos )lim(1cos 1)x x x x x x x x x e e →--→→=+-==建议：借助EXCEL 求函数或数列极限，帮你消除对计算的恐惧，引领你对数学问题的探索。

k n=k^n (1+1/n)^n1 10 2.593742 2 100 2.7048143 1000 2.716924 4 10000 2.7181465 100000 2.7182686 1000000 2.718287 10000000 2.7182828 1E+08 2.7182829 1E+09 2.718282 10 1E+10 2.718282 11 1E+11 2.718282三 连续（8分）● 掌握函数连续点的两种定义，极限定义与无穷小定义函数增量为无穷小及意义。

● 意义：自变量微小的改变只能引起因变量微小的改变或函数曲线在连续点连续。

● 知道基本初等函数在其定义域内的连续性及定义域 题型示例 指数函数在(,)-∞+∞上连续. (A:正确 B:不正确)余弦函数在(,)-∞+∞上连续. (A.正确 B:不正确) ● 知道初等函数在其定义域内连续.（基本初等函数在函数运算下保持连续性）●知道多项式函数是初等函数,知道多项式函数的定义域是全体实数.由此可知：多项式函数在(,)-∞+∞上连续. (正确)1x在(,)-∞+∞上连续. (不正确) 点评:虽然函数是初等函数,但定义域为0x ≠。

● 知道连续函数的介值定理和最值定理的内容.● 会利用最值定理判定初等函数在某个连续区间f D b a ⊂],[上有界。

● 会利用介值定理或零点定理判定多项式等简单代数方程是否有实根. ● 利用函数的连续性求极限 1cos )12cos(lim 0=+→x x ； 34335335lim3=++=++→x x x ；（代入法） ● 结论)(x f 为初等函数，f n D x x ∈→0则 )()lim ()(lim 0x f x f x f n n n n ==∞→+∞→方程1xxe = 必有实根 (正确) 方程 310x += 必有实根 (正确) ● 知道函数连续的应用范围方程实根数目的判定（单调性结合导数） 初等函数连续性求极限（最简单的一大类极限求法） 垂直渐近线（无穷型间断点0x x =）连续曲边梯形面积的一个精确估计（微分与积分建立联系重要内容）建议：用EXCEL 可近似求出方程实根。

将方程左端的部分定义为函数，求函数曲线与X 轴的交点即为原方程的解。

（解不一定唯一）。

函数通常是初等函数，在定义域内连续。

解方程 x x =cos 即解0cos =-x x ，设 x x x f -=cos )(，直观判断唯一解在[0，1]内。

XCOSX-X 0 1 … … 0.5 0.302525 0.55 0.225336 0.6 0.146084 0.65 0.064842 0.7 -0.01831 0.75 -0.10329 0.8 -0.19002… …方程的根在[0.65,0.7]之间。

自变量取值再细些可进一步得到方程的精度更高的解。

介值定理。

示意图（见光盘）导数概念由此引出，函数如果连续我们才讨论可导性。

四.导数微分 （8分）● （！）速度（2）变化率（3）切线斜率（4）变动面积函数增量的精确估计（见上）1熟练掌握基本求导公式 基本初等函数的导数公式 （反三角求导不作要求）2. 四则求导法则题型示例 () :(1);:(-1);::(-1)x x x xxe x e B x e C e D A x '=+3. 复合求导法则 33()3x xe e '=⋅; (sin 2)[cos 2]2x x '=⋅题型示例 2(1) :12; :2;:1;:2A x x x B x C D x '++=++● 导数的极限定义 会利用导数的定义求函数在某点处的导数值.题型示例()(1)(2)(3), (2)f x x x x f '=--- :0;:1; :1;A B C D -注意:2(1)(2)(3)0(2)lim1(2)x x x x f x →----'==-- 导数定义加连续性，故选B.● 会求多项式函数的导数● 知道导数值的几何意义是:函数曲线在相应点处的切线斜率.会求切线方程。