2021年高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第3讲基本不等式知能训练轻松闯关理北师大版
新人教A版高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第3节基本不等式课件文
(2)y＝130×x 18＋2×361030x≥26 10， 当且仅当130×x 18＝2×361030x， 即 x＝18 10，等号成立.8 分 故当 x＝18 10千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为 26 10 元.12 分
[规律方法] 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． 2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的 最值． 3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值 范围)内求解．
抓
基
础
·
自
主 学
第六章 不等式、推理与证明
习
第三节 基本不等式
明 考 向
· 题 型 突 破
[考纲传真] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最 大(小)值问题．
1．基本不等式 ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件：__a_>_0_，__b_>_0__. (2)等号成立的条件：当且仅当__a_＝__b_. 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥_2_a_b_ (a，b∈R)； (2)ba＋ab≥_2_ (a，b 同号且不为零)；
[规律方法] 1.“1”的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式 是代换的前提，不能盲目变形．
2．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或 “积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达 到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次 运用基本不等式时等号能否取到．
2．若 a，b∈R，且 ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )
A．a2＋b2>2ab
B．a＋b≥2 ab
高考数学一轮总复习第六章不等式推理与证明6_3基本不等式课件理新人教A版
[解析] (1)由 lg 2x＋lg 8y＝lg 2 得，lg 2x＋3y＝lg 2， ∴x＋3y＝1，1x＋31y＝1x＋31y(x＋3y) ＝2＋3xy＋3xy≥4当且仅当3xy＝3xy时，等号成立.
(2)y＝1＋3x＋
1 x－1
＝3(x－1)＋
1 x－1
＋4.令x－1＝t，t≥1，∴y＝3t＋
跟踪训练 (1)(2018·湖南期末)函数y＝ax－1＋2(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A，若
定点A在直线mx ＋ny＝1(m＞0，n＞0)上，则3m＋n的最小值为( )
A．13
B．14
C．16
D．12
解析：由题意知A(1,3)，
点A在直线mx ＋ny＝1(m＞0，n＞0)上，∴m1 ＋3n＝1.
(3)ab≤a＋2 b2(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)．
(4)1a＋2 1b≤ ab≤a＋2 b≤
a2＋2 b2(a，b＞0，当且仅当a＝b时取等号)．
[三基自测]
1．(必修5·习题3.4A组改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )
A．80
B．77
C．81
3．利用基本不等式求最值问题
已知x>0，y>0，则： (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有 最小 值是2 p(简记：
积定和最小 )． (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有 最大值是p42(简记：
和定积最大 )．
4．几个常用的重要结论： (1)ba＋ab≥2(a与b同号，当且仅当a＝b时取等号)． (2)a＋1a≥2(a＞0，当且仅当a＝1时取等号)，a＋1a≤－2(a＜0，当且仅当a＝－1时 取等号)．
高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 64 基本不等式课件 理
A．60 件
B．80 件
C．100 件
D．120 件
2021/12/13
第三十四页，共四十六页。
解析 若每批生产 x 件产品，则每件产品的生产准备费用是80x0元，仓 储费用是8x元，总的费用是80x0＋8x≥2 80x0·8x＝20，当且仅当80x0＝8x，即 x ＝80 时取等号。故选 B。
答案 B
值为27。
答案
7 (1)2
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(2)已知 x＋3y＝1(x>0，y>0)，则 xy 的最大值是________。
解析 (2)因为 x>0，y>0，所以 xy＝13·x·3y≤13x＋23y2＝112，当且仅当 x
＝3y＝12时， 等号成立，故 xy 的最大值是112。
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对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确 挖掘，一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正，由此可得自变量的 范围，然后再利用基本(均值)不等式求最值。
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【变式训练】 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器 生产的产品可获得的总利润 y(单位：万元)与机器运转时间 x(单位：年)的关 系为 y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则该公司年平均利润的最大值是________ 万元。
)
A．1＋ 2
B．1＋ 3
C．3
D．4
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解析 (2)因为 x>2，所以 x－2>0，所以 f(x)＝x＋x－1 2＝(x－2)＋x－1 2＋
2021届高考数学新人教版一轮复习课件：第6章 第3讲 基本不等式
形 ADF 中，DF＝3tan(45°－θ)，可得四边形 AECF 的面积 S＝12－12×4×4tanθ
－
1 2
×3×3tan(45°－
θ)
＝
12
－
8tanθ
－
9 2
×
1－tanθ 1＋tanθ
＝
20
－
8(1
＋
tanθ)
＋
9 2
×1－1＋2tanθ＝429－8(1＋tanθ)－1＋9tanθ≤429－2 81＋tanθ×1＋9tanθ＝
1．若正数 x，y 满足 x2＋3xy－1＝0，则 x＋y 的最小值是( )
2 A. 3
22 B. 3
C.
3 3
D.2 3 3
解析 对于 x2＋3xy－1＝0 可得 y＝131x－x，∴x＋y＝23x＋31x≥2 92＝
2
3
2当且仅当x＝
22时等号成立.故选
B.
解析 答案ຫໍສະໝຸດ 2．(2020·岳阳一中月考)已知 a＞b＞0，则 2a＋a＋4 b＋a－1 b的最小值为
429 － 12
2，当且仅当
8(1
＋
tanθ)
＝
9 1＋tanθ
，即
tanθ ＝ 3 4 2 － 1 ， 且 满 足
0<tanθ<1，则四边形 AECF 的面积取得最大值．
解析
基本不等式的综合运用常见题型及求解策略 (1)应用基本不等式判断不等式的成立性或比较大小，有时也与其他知 识进行综合命题，结合函数的单调性进行大小的比较． (2)利用基本不等式研究恒成立问题，以求参数的取值范围为主，如举 例说明 1. (3)与其他知识综合考查求最值问题，此时基本不等式作为求最值时的 一个工具，常与三角函数、解三角形、解析几何等知识结合．如举例说明 2.
高考数学总复习第六章不等式、推理与证明6.3基本不等式课件
不等式、推理与证明
第3节 基本不等式
课堂探究 考点突破
真题模拟演练
课堂探究 考点突破
考点一 利用基本不等式求最值
角度 1 利用配凑法求最值
9 (1)设 0＜x＜32，则函数 y＝4x(3－2x)的最大值为 2 .
解析：y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22x＋32－2x2＝92，当 且仅当“2x＝3－2x，即 x＝34”时，等号成立．
(m
＋p)
＝165＋mp ＋4pm
≥16
5＋2
mp ·4pm＝32，当且仅当 m＝2，p＝4 时等号成立，故选 C.
(2)若正数 x，y 满足 x2＋6xy－1＝0，则 x＋2y 的最小值是( A )
22 A. 3
2 B. 3
3 C. 3
23 D. 3
解析：因为正数 x，y 满足 x2＋6xy－1＝0， 所以 y＝1－6xx2.
解析：因为函数 g(x)＝logax＋1(a＞0 且 a≠1)的定点为(1,1) 在直线 mx＋ny－2＝0 上，所以 m＋n－2＝0，即m2 ＋n2＝1，
所以m1 ＋1n＝m1 ＋1nm2 ＋n2＝12＋12＋2nm＋2mn≥1＋2 ＝2，
当且仅当2nm＝2mn，即 m2＝n2 时取等号， 所以m1 ＋1n的最小值为 2.
(2)要使公园所占面积最小，则休闲区 A1B1C1D1 的长和宽该如何设 计？
解：(1)设休闲区的宽为 a 米，则长为 ax 米，
由 a2x＝4 000，得 a＝20
10 .
x
则 S(x)＝(a＋8)(ax＋20)
＝a2x＋(8x＋20)a＋160
＝4 000＋(8x＋20)·20 10＋160 x
高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明 第3讲 基本不等式课件 文
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第八页，共四十二页。
2．常用的 4 个结论 几个重要的不等式 a2＋b2≥2ab(a，b∈R)； ba＋ab≥2(a，b 同号)；
ab≤a＋2 b2(a，b∈R)； a＋2 b2≤a2＋2 b2(a，b∈R)．
3．必会的 1 种方法 在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技 巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
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(2)设正项等比数列{an}的公比为 q，由 a7＝a6＋2a5，得 q2－q －2＝0，解得 q＝2.
m＋n－2
由 aman＝4a1，即 2 2 ＝4，得 2m＋n－2＝24， 即 m＋n＝6.
故m1 ＋n4＝16(m＋n)m1 ＋n4＝56＋164nm＋mn ≥56＋46＝32，当且仅
2x，0≤x≤4， 化的函数关系式近似为 y＝a·f(x)，其中 f(x)＝x－6 3＋2，x＞4，
且当水中洗衣液的浓度不低于 16 克/升时，才能够起到有效去 污的作用．若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次 投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．
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sin x＝－1，故②错；取 x＝0，则x2＋1 1＝1，故④错．
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2．若 a>0，b>0，且 ln(a＋b)＝0，则1a＋1b的最小值是____4____．
[解析] 由 a>0，b>0，ln(a＋b)＝0 得aab＋>>00b，，＝1，故1a＋1b＝aa＋bb
＝a1b≥a＋1 b2＝112＝4.当且仅当 a＝b＝12时上式取“＝”． 2 2
高考数学(文)(新课标)一轮复习配套课件：第六章不等式、推理与证明第3讲基本不等式
第六章不等式、推理与证明序■.第3讲基本不等式3.利用基本不等式求最值问题已知兀>0, j>0,则⑴如果积与是定值P，那么当且仅当兀=丿时,x+y有最小值是$壬.（简记：积定和最小）⑵如果和兀+y是定值p,那么当且仅当兀=丿时,xy 有最大值是4•（简记:和定积最大）［做一做］1.已知a, bU(O, +°°),若ab = l f贝!| a+b的最小值为12;若a+b = l,则ab的最大值为二•解析：由基本不等式得a^b^2y［ab=29当且仅当"=方=1时取到等号=£当且仅当a=b=l时取到等号.要点整合1.辨明两个易误点⑴使用基本不等式求最值，“一正，二定、三相等”三个条件缺一不可；(2)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.2.活用几个重要的不等式a2^rb2^2ab(a9 DGR)；：+亍$2(°, b同号)•一/ + 沪_W—牙—(a9方WR).3.巧用“拆” “拼” “凑”在运用基本不等式时，要特别注意“拆” “拼” “凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正” “定” “等”的条件•［做一做］2. "a>0且〃>0”是“与色M 颗”成立的（A ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件4 4解析：兀+戸=兀—1+尸+&4+1=5・D. 3.若兀＞1,贝||兀+既不充分也不必要条件 占的最小值为—空当日何当,即x=3时等号成立.f典例剖析・考点突破名师导悟以例说法考点一利用基本不等式证明不等式利用基本不等式求最值（高频考点）二利用基本不等式解决实际问题考点一利用基本不等式证明不等式求证:(1++)(1+詐9・［证明］法一：V«>0, b>0, a+b = l t/.1+-=1+—=2+-.同理，l+£=2+% a a a b b=5 + 2亡+彳）$5 + 4 = 9,当且仅当号=彳，即a=b 时取 .•.(1+£)(1+詐9,当且仅当“=»=£时等号成立. 法二：(1+典例1 己知。
高考数学大一轮总复习 第六章 不等式、推理与证明 6.3
3．利用基本不等式求最值 (1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若 a，b 为正实数， 且 a＋b＝S，S 为定值，则 ab≤14S2，当且仅当__a_＝__b___时取等号。简记： 和定积最大。 (2)两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若 a，b 为正实数， 且 ab＝P，P 为定值，则 a＋b≥_2___P____，当且仅当__a_＝__b_____时取等号。 简记：积定和最小。
当且仅当ba＝ab，即 a＝b＝21时取“＝”。 ∴1＋1a1＋1b≥9，当且仅当 a＝b＝12时取等号。 证法二：1＋1a1＋1b＝1＋a1＋b1＋a1b＝1＋a＋ abb＋a1b＝1＋a2b， ∵a，b 为正数，a＋b＝1，∴ab≤a＋2 b2＝14， 当且仅当 a＝b＝12时取“＝”。
a＋b＝(a＋b)1a＋1b＝1＋1＋ba＋ab≥2＋2 答案 C
ba·ab＝2＋2＝4，故选 C。
4．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器。已知该容器
的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低
总造价为( )
A．80元
B．120元
C．160元
D．240元
解析 设容器的底长 x 米，宽 y 米，则 xy＝4。 所以 y＝4x，则总造价为： f(x)＝20xy＋2(x＋y)×1×10＝80＋8x0＋20x ＝20x＋4x＋80，x∈(0，＋∞)。 所以 f(x)≥20×2 x·4x＋80＝160， 当且仅当 x＝4x即 x＝2 时，取等号， 所以最低总造价是 160 元。故选 C。 答案 C
第六章 不等式、推理与证明
第三节 基本不等式
基础知识 自主学习
热点命题 深度剖析
思想方法 感悟提升
高考数学一轮复习 第6章 不等式、推理与证明 第3讲 基本不等式课件 文 北师大版
本题利用不等式把条件等式转化为关于所求 式子的不等式来解决，体现了转化思想和换元方法的应用．
1.已知 x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则 x＋2y 的
最小值是( B ) A．3 C.92
B．4 D．121
解析:法一：因为 x>0，y>0，
所以 2xy＝x·(2y)≤x＋22y2， 所以 8＝x＋2y＋2xy≤(x＋2y)＋x＋22y2.
，即 1
x＝3
时等号成立．
5．若把总长为 20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地 的最大面积是__2_5_m__2__． 解析：设矩形的长为 x m，宽为 y m，则 x＋y＝10，
所以 S＝xy≤x＋2 y2＝25，当且仅当 x＝y＝5 时取等号．
考点一 利用基本不等式求最值(高频考点) 利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择 题、填空题． 高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下三个命题角 度：
第六章 不等式、推理与证明
第3讲 基本不等式
1．基本不等式 ab≤a＋2 b (1)基本不等式成立的条件：__a_≥_0_，__b_≥_0___． (2)等号成立的条件：当且仅当__a_＝__b___时取等号．
2．算术平均数与几何平均数
a＋ b
设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为___2_____，几何平均
[解] (1)因为每件商品售价为 5 元，则 x 万件商品销售收入为 5x 万元，依题意得，当 0<x<8 时，
L(x)＝5x－13x2＋x－3＝－13x2＋4x－3； 当 x≥8 时，L(x)＝5x－6x＋1x00－38－3＝35－x＋10x0.
－13x2＋4x－3，0<x<8， 所以 L(x)＝
2021届高考数学人教版一轮创新课件：第6章+第3讲+基本不等式
第六章 不等式
第3讲 基本不等式
[考纲解读] 1.了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最值问题．(重点)
2．掌握基本不等式内容，“一正二定三相等”缺一不可，能对“积”与“和”相互转化，掌握“拆添项”与“配凑因式”的技巧．(难点)
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点．预测2021年将会考查利用基本不等式求最值或比较大小，也可能与其他知识综合考查，体现基本不等式的工具性．试题难度不大，但技巧性强，灵活多变，客观题或解答题均可能出现.
1基础知识过关PART ONE
a＝b
a＞0，b＞0 a＝b
a，b∈R
几何平均数
最小积定和最小
最大和定积最大
答案
解析答案
解析
答案
2经典题型冲关PART TWO
题型三 基本不等式在实际问题中的应用
3课时作业PART THREE
A组基础关。
2021版高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明第35讲基本不等式学案202105072143
2021版高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明第35讲基本不等式学案202105072143考纲要求考情分析 命题趋势1.了解差不多不等式的证明过程．2．会用差不多不等式解决简单的最大(小)值问题.2021·江苏卷，14 2020·全国卷Ⅰ，122020·福建卷，6 对差不多不等式的考查，要紧是利用不等式求最值，且常与函数、数列、解析几何等知识结合在一起进行考查. 分值：5分1．差不多不等式ab ≤a ＋b2(1)差不多不等式成立的条件：__a >0，b >0__. (2)等号成立的条件：当且仅当__a ＝b __时取等号． 2．几个重要的不等式： (1)a 2＋b 2≥__2ab __(a ，b ∈R )． (2)b a ＋ab≥__2__(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为__a ＋b2__，几何平均数为__ab __，差不多不等式可叙述为__两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数__.4．利用差不多不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则：(1)假如积xy 是定值p ，那么当且仅当__x ＝y __时，x ＋y 有最__小__值是__2p __(简记：积定和最小)；(2)假如和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当__x ＝y __时，xy 有最__大__值是__p 24__(简记：和定积最大)．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( × )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( × )(3)x ＞0，y ＞0是x y ＋y x ≥2的充要条件．( × ) (4)若a ＞0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × )解析 (1)错误．因为x 没有确定符号，因此不能说最小值为2. (2)错误．利用差不多不等式时，等号不成立． (3)错误．不是充要条件，当x <0，y <0时也成立． (4)错误．最小值不是定值，故不正确．2．已知m ＞0，n ＞0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为( A ) A ．18 B ．36 C ．81D ．243解析 ∵m >0，n >0，∴m ＋n ≥2mn ＝18.当且仅当m ＝n ＝9时，等号成立．3．若M ＝a 2＋4a(a ∈R ，a ≠0)，则M 的取值范畴为( A )A ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－4]C ．[4，＋∞)D ．[－4,4]解析 M ＝a 2＋4a ＝a ＋4a，当a >0时，M ≥4；当a <0时，M ≤－4.4．若x ＞1，则x ＋4x －1的最小值为__5__. 解析 x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立． 5．若x ＞0，y ＞0，lg x ＋lg y ＝1，则z ＝2x ＋5y的最小值为__2__.解析 由已知条件lg x ＋lg y ＝1，可知xy ＝10.则2x ＋5y≥210xy＝2，故⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5y min ＝2，当且仅当2y ＝5x 时取等号．又xy ＝10.即x ＝2，y ＝5时等号成立．一 利用差不多不等式证明不等式利用差不多不等式证明不等式的方法(1)利用差不多不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情形，要从整体上把握运用差不多不等式．对不满足使用差不多不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．(2)利用差不多不等式对所证明的不等式中的某些部分放大或者缩小，在含有三个字母的不等式证明中要注意利用对称性．【例1】 (1)已知x ＞0，y ＞0，z ＞0，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥8.(2)已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明 (1)∵x ＞0，y ＞0，z ＞0，∴y x ＋z x≥2yzx＞0，x y ＋z y ≥2xz y ＞0，x z ＋y z ≥2xy z＞0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋z x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋z y ⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋y z ≥8yz ·xz ·xy xyz ＝8， 当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立．(2)∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋cc＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋bc＝3＋⎝⎛⎭⎪⎫b a ＋ab ＋⎝⎛⎭⎪⎫c a ＋ac ＋⎝⎛⎭⎪⎫c b ＋bc≥3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．二 利用差不多不等式求最值利用差不多不等式求最值应注意的问题(1)利用差不多不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用差不多不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用差不多不等式求最值时，要依照式子的特点灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用差不多不等式求解．【例2】 (1)已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( B ) A ．13 B ．12 C ．34D ．23(2)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( C ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3D ．4解析 (1)∵0<x <1，∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(1－x )22＝34，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时，“＝”成立．(2)∵x >2，∴x －2>0， ∴f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥2·(x －2)·1x －2＋2＝2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2， 即(x －2)2＝1时，等号成立，∴x ＝1或3.又∵x >2，∴x ＝3，即a ＝3.【例3】 (1)(2020·山东烟台期末)已知正实数x ，y 满足2x ＋1y＝1，若x ＋2y >m 2＋2m恒成立，则实数m 的取值范畴是( B )A ．(－2,4)B ．(－4,2)C ．(－∞，2]∪[4，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)(2)(2020·福建南平一模)已知x ，y 差不多上非负实数，且x ＋y ＝2，则8(x ＋2)(y ＋4)的最小值为( B )A ．14 B ．12 C ．1D ．2(3)(2020·河南许昌二模)已知x，y均为正实数，且1x＋2＋1y＋2＝16，则x＋y的最小值为( C)A．24 B．32 C．20 D．28解析(1)因为x>0，y>0，2x＋1y＝1，因此x＋2y＝(x＋2y)·⎝⎛⎭⎪⎫2x＋1y＝4＋4yx＋xy≥4＋24yxxy＝8，当且仅当x＝4，y＝2时取等号，因此x＋2y的最小值是8.因此m2＋2m<8，解得－4<m<2，故选B．(2)因为x，y差不多上非负实数，且x＋y＝2，因此x＋2＋y＋4＝8.因此8≥2(x＋2)(y＋4)，则1(x＋2)(y＋4)≥116，当且仅当x＝2，y＝0时取等号，因此8(x＋2)(y＋4)≥816＝12，故选B．(3)因为x，y均为正实数，且1x＋2＋1y＋2＝16，则x＋y＝(x＋2＋y＋2)－4＝6⎝⎛⎭⎪⎫1x＋2＋1y＋2(x＋2＋y＋2)－4＝6⎝⎛⎭⎪⎫2＋x＋2y＋2＋y＋2x＋2－4≥6⎝⎛⎭⎪⎫2＋2x＋2y＋2·y＋2x＋2－4≥20，当且仅当x＝y＝10时取等号，因此x＋y的最小值为20，故选C．三差不多不等式的实际应用(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．(2)当运用差不多不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内，就不能使用差不多不等式求解，现在可依照变量的范畴用对应函数的单调性求解．【例4】某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－km＋1(k为常数)．假如不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？解析 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)，∴1＝3－k ⇒k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1，每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，∴2020年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx－8－16x －m＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)．(2)∵m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216m ＋1·(m ＋1)＝8， ∴y ≤－8＋29＝21， 当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)．故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．1．已知f (x )＝32x－(k ＋1)3x＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范畴是( B ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，22－1) C ．(－1,22－1)D ．(－22－1,22－1)解析 由32x －(k ＋1)3x ＋2>0恒成立，得k ＋1<3x＋23x .∵3x＋23x ≥22，∴k ＋1<22，即k <22－1.2．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产预备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时刻为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产预备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( B )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件解析 若每批生产x 件产品，则每件产品的生产预备费用是800x 元，仓储费用是x8元，总的费用是800x ＋x8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时取等号． 3．若2x＋4y＝4，则x ＋2y 的最大值是__2__. 解析 因为4＝2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ×22y ＝22x ＋2y，因此2x ＋2y≤4＝22，即x ＋2y ≤2，当且仅当2x＝22y＝2，即x ＝2y ＝1时，x ＋2y 取得最大值2.4．(2020·山东济宁二模)已知圆C 1：x 2＋y 2＝4和圆C 2：(x －2)2＋(y －2)2＝4，若P (a ，b )(a >0，b >0)在两圆的公共弦上，则1a ＋9b的最小值为__8__.解析 由题意知，圆C 1：x 2＋y 2＝4和圆C 2：(x －2)2＋(y －2)2＝4两个方程相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程，即x ＋y ＝2，又点P (a ，b )(a >0，b >0)在两圆的公共弦上，因此a ＋b ＝2，则1a ＋9b ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝12⎝⎛⎭⎪⎫10＋b a ＋9a b ＝5＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋9a b ≥5＋12×2b a ·9ab＝8⎝⎛ 当且仅当b ＝3a ，即a ＝12，⎭⎪⎫b ＝32时，等号成立，因此1a ＋9b 的最小值为8.易错点 可不能凑出常数错因分析：式子的最大、最小值应为常数，为凑出常数，需要“拆”“拼”“凑”等技巧．【例1】 已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则λ的最小值为________. 解析 由已知得λ≥x ＋22xyx ＋y恒成立．∵x ＋22xy x ＋y ＝x ＋2x ·2y x ＋y ≤x ＋x ＋2yx ＋y＝2，(当且仅当x ＝2y 时取等号)∴λ≥2，λ的最小值为2.答案 2【跟踪训练1】 已知x 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2的最大值．解析 因为x >0， 因此x ·1＋y 2＝2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋y 22≤22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋y 22. 又x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋y 22＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋y 22＋12＝32.因此x 1＋y 2≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫12×32＝324，当且仅当x 2＝12＋y 22，即x ＝32时，等号成立．故(x 1＋y 2)max ＝324. 课时达标 第35讲[解密考纲]考查差不多不等式，常以选择题、填空题的形式显现．在解答题中也渗透差不多不等式的应用．一、选择题1．已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( C )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析 ∵x ＜0，∴f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时，取等号．2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( C ) A ．a ＋b ≥2ab B ．1a ＋1b>1abC ．b a ＋ab≥2D ．a 2＋b 2>2ab解析 ∵ab ＞0，∴b a ＞0，a b ＞0，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2，当且仅当a ＝b 时取等号． 3．若a ≥0，b ≥0，且a (a ＋2b )＝4，则a ＋b 的最小值为( C ) A ． 2 B ．4 C ．2D ．2 2解析 ∵a ≥0，b ≥0，∴a ＋2b ≥0，又∵a (a ＋2b )＝4，∴4＝a (a ＋2b )≤(a ＋a ＋2b )24，当且仅当a ＝a ＋2b ＝2时等号成立．∴(a ＋b )2≥4，∴a ＋b ≥2.4．函数y ＝^x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( A )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2解析 ∵x ＞1，∴x －1＞0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2(x －1)⎝⎛⎭⎪⎫3x －1＋2＝23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝1＋3时，取等号． 5．若正数a ，b 满足a ＋b ＝2，则1a ＋1＋4b ＋1的最小值是( B )A ．1B ．94C ．9D ．16解析1a ＋1＋4b ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋4b ＋1·(a ＋1)＋(b ＋1)4＝14×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋4＋b ＋1a ＋1＋4(a ＋1)b ＋1≥14(5＋24)＝94，当且仅当b ＋1a ＋1＝4(a ＋1)b ＋1，b ＋1＝2(a ＋1)时取等号，故选B ．6．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( A ) A ．a <v <ab B ．v ＝ab C ．ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2解析 设甲、乙两地相距s ，则平均速度v ＝2ssa ＋s b＝2aba ＋b .又∵a ＜b ，∴2ab a ＋b ＞2abb ＋b＝a .∵a ＋b ＞2ab ， ∴2ab a ＋b ＜2ab2ab＝ab ，∴a ＜v ＜ab . 二、填空题7．设P (x ，y )是函数y ＝2x(x >0)图象上的点，则x ＋y 的最小值为解析 因为x ＞0，因此y ＞0，且xy ＝2.由差不多不等式得x ＋y ≥2xy ＝22，当且仅当x ＝y 时等号成立．8．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则x ＋8yxy的最小值为__9__. 解析 由已知得x ＋2y2＝1，则x ＋8y xy ＝1y ＋8x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋8x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 2＝12⎝⎛⎭⎪⎫10＋x y ＋16y x ≥12(10＋216)＝9，当且仅当x ＝43，y ＝13时取等号．9．已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，3x ＋2y 的最大值为解析 由a ＋b2≤a 2＋b 22得3x ＋2y ≤2(3x )2＋(2y )2＝23x ＋2y ＝25，当且仅当x ＝53，y ＝52时取等号．三、解答题10．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x (4－2x )的最大值．解析 (1)∵x <32，∴2x －3<0，∴3－2x >0，∴y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(3－2x )＋163－2x ＋32≤－12·2(3－2x )·163－2x ＋32＝－4＋32＝－52，当且仅当3－2x ＝163－2x ，即x ＝－12时，y max ＝－52.∴函数y 的最大值为－52.(2)∵0<x <2,4－2x >0， ∴y ＝x (4－2x )＝12·2x (4－2x )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋4－2x 22＝2，当且仅当2x ＝4－2x ，即x ＝1时，y max ＝ 2.11．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解析 (1)∵x >0，y >0,2x ＋8y －xy ＝0， ∴xy ＝2x ＋8y ≥216xy ＝8xy ，∴xy (xy －8)≥0，又xy ≥0，∴xy ≥8即xy ≥64.当且仅当x ＝4y 即8y ＋8y －4y 2＝0时，即y ＝4，x ＝16时取等号， ∴xy 的最小值为64.(2)∵2x ＋8y ＝xy >0，∴2y ＋8x＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋8x＝10＋2x y ＋8yx≥10＋22x y ·8yx＝18.当且仅当2x y ＝8y x，即x ＝2y 即4y ＋8y －2y 2＝0时，即y ＝6，x ＝12时取等号，∴x ＋y的最小值为18.12．某地需要修建一条大型输油管道通过240 km 宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的费用为400万元，铺设距离为x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费用为(x 2＋x )万元．设余下工程的总费用为y 万元．11 / 11 (1)试将y 表示成x 的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y 最小，其最小值为多少？ 解析 (1)设需要修建k 个增压站，则(k ＋1)x ＝240，即k ＝240x－1， 因此y ＝400k ＋(k ＋1)(x 2＋x )＝400·⎝⎛⎭⎪⎫240x －1＋240x (x 2＋x ) ＝96 000x＋240x －160. 因为x 表示相邻两增压站之间的距离，则0＜x ＜240.故y 与x 的函数关系是y ＝96 000x＋240x －160(0＜x ＜240)． (2)y ＝96 000x ＋240x －160≥296 000x·240x －160＝2×4 800－160＝9 440，当且仅当96 000x＝240x ，即x ＝20时等号成立， 现在k ＝240x －1＝24020－1＝11. 故需要修建11个增压站才能使y 最小，其最小值为9 440万元．。
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2021年高考数学一轮复习第6章不等式推理与证明第3讲基本不等式知能训练轻松闯关理北师大版1．已知f (x )＝x ＋1x－2(x <0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：选C.因为x <0，所以f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－x ）＋1（－x ）－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号．2．设非零实数a ，b ，则“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋b a≥2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.因为a ，b ∈R 时，都有a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，即a 2＋b 2≥2ab ，而a b ＋b a≥2⇔ab >0，所以“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋b a≥2”的必要不充分条件．3．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B.由题意知ab ＝1，所以m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b＝2a ，所以m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab＝4.4．(xx·安徽省六校联考)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，且1xy≥M 恒成立，则M 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：选A.因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝2，所以xy ≤（x ＋y ）24＝224＝1，所以1xy≥1；又1xy≥M 恒成立，所以M ≤1，即M 的最大值为1.5．(xx·河北省五校联盟质量监测)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则3a ＋2b的最小值为( )A.256B.83C.113D ．4解析：选D.不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示．由z ＝ax ＋by 得y ＝－a b x ＋z b ，当z 变化时，它表示经过可行域的一族平行直线，其斜率为－ab ，在y 轴上的截距为zb，由图可知当直线经过点A (4，6)时，在y 轴上的截距最大，从而z 也最大，所以4a ＋6b ＝12即2a ＋3b ＝6，所以3a ＋2b ＝2a ＋3b 6·⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2b ＝16⎝⎛⎭⎪⎫6＋6＋4a b ＋9b a ≥4，当且仅当a ＝32，b＝1时等号成立．6．(xx·江西省五校联考)设a >0，b >1，若a ＋b ＝2，则2a ＋1b －1的最小值为( )A ．3＋2 2B ．6C ．4 2D ．2 2 解析：选A.由题意可知a ＋b ＝2，a ＋b －1＝1，所以2a ＋1b －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －1(a ＋b －1)＝2＋2（b －1）a ＋a b －1＋1≥3＋22，当且仅当2（b －1）a ＝ab －1，即a ＝2－2，b ＝2时取等号．7．已知a ，b ∈(0，＋∞)，若ab ＝1，则a ＋b 的最小值为________；若a ＋b ＝1，则ab 的最大值为________．解析：由基本不等式得a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取到等号；ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b ＝12时取到等号．答案：2 148．(xx·江西省八所中学联考)已知点P (x ，y )到A (0，4)和B (－2，0)的距离相等，则2x＋4y的最小值为________．解析：由题意得，点P 在线段AB 的中垂线上，则易得x ＋2y ＝3，所以2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝42，当且仅当x ＝2y ＝32时，等号成立，故2x ＋4y的最小值为4 2. 答案：4 2 9．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则当每台机器运转__________年时，年平均利润最大，最大值是__________万元．解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而x ＞0，故y x≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时，年平均利润最大，最大值为8万元．答案：5 810．(xx·厦门模拟)若当x >－3时，不等式a ≤x ＋2x ＋3恒成立，则a 的取值范围是________．解析：设f (x )＝x ＋2x ＋3＝(x ＋3)＋2x ＋3－3，因为x >－3，所以x ＋3>0，故f (x )≥2 （x ＋3）×2x ＋3－3＝22－3，当且仅当x ＝2－3时等号成立，所以a 的取值范围是(－∞，22－3]． 答案：(－∞，22－3]11．设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1b2＋ab ≥2 2.证明：由于a 、b 均为正实数，所以1a 2＋1b 2≥2 1a 2·1b 2＝2ab， 当且仅当1a 2＝1b2，即a ＝b 时等号成立，又因为2ab ＋ab ≥22ab·ab ＝22，当且仅当2ab＝ab 时等号成立，所以1a 2＋1b 2＋ab ≥2ab＋ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝1b 2，2ab ＝ab ，即a ＝b ＝42时取等号．12．(xx·郑州质检)若正数x ，y 满足x ＋2y ＋4＝4xy ，且不等式(x ＋2y )a 2＋2a ＋2xy －34≥0恒成立，求实数a 的取值范围．解：因为正实数x ，y 满足x ＋2y ＋4＝4xy ，即x ＋2y ＝4xy －4，由不等式(x ＋2y )a 2＋2a ＋2xy －34≥0恒成立，即(4xy －4)a 2＋2a ＋2xy －34≥0恒成立，变形得2xy (2a 2＋1)≥4a 2－2a ＋34恒成立，即xy ≥2a 2－a ＋172a 2＋1恒成立． 又因为x >0，y >0，所以x ＋2y ≥22xy ， 所以4xy ＝x ＋2y ＋4≥4＋22xy ，即2(xy )2－2xy －2≥0，所以xy ≥2或xy ≤－22(舍去)，可得xy ≥2.要使xy ≥2a 2－a ＋172a 2＋1恒成立，只需2≥2a 2－a ＋172a 2＋1恒成立． 化简得2a 2＋a －15≥0，解得a ≤－3或a ≥52.故a 的取值范围是(－∞，－3]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞.1．(xx·西安第一中学模拟)设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为( )A ．2 B.32C ．1 D.12解析：选C.由a x ＝b y＝3，得x ＝log a 3，y ＝log b 3，则1x ＋1y ＝1log a 3＋1log b 3＝lg a ＋lg b lg 3＝lg ab lg 3.又a >1，b >1，所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝3，所以lg ab ≤lg 3，从而1x ＋1y ≤lg 3lg 3＝1，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立．2．(xx·抚州一模)已知正数a ，b ，c 满足a ＋b ＝ab ，a ＋b ＋c ＝abc ，则c 的取值范围是________．解析：因为正数a ，b 满足a ＋b ＝ab ，所以ab ≥2ab ⇒(ab )2－2ab ≥0⇒ab ≥2⇒ab ≥4.由a ＋b ＝ab ，a ＋b ＋c ＝abc ，得c ＝ab ab －1＝ab －1＋1ab －1＝1＋1ab －1.因为ab ≥4，所以ab －1≥3，所以0<1ab －1≤13，所以1<1＋1ab －1≤43.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤1，43 3．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. 求：(1)u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)1x ＋1y的最小值． 解：(1)因为x >0，y >0，所以由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .因为2x ＋5y ＝20，所以210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.所以u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.所以当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)因为x >0，y >0，所以1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎪⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020. 当且仅当5y x ＝2xy时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5yx＝2x y，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.所以1x ＋1y 的最小值为7＋21020.4．如图，某生态园将一三角形地块ABC 的一角APQ 开辟为水果园种植桃树，已知角A 为120°，AB ，AC 的长度均大于200米，现在边界AP ，AQ 处建围墙，在PQ 处围竹篱笆．(1)若围墙AP ，AQ 总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ 的面积最大？ (2)已知AP 段围墙高1米，AQ 段围墙高1. 5米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20 000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？ 解：设AP ＝x 米，AQ ＝y 米．(1)则x ＋y ＝200，△APQ 的面积S ＝12xy ·sin 120°＝34xy .所以S ≤34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝2 500 3.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，x ＋y ＝200，即x ＝y ＝100时取“＝”．(2)由题意得100×(x ＋1.5y )＝20 000，即x ＋1.5y ＝200.要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ 最短，所以PQ 2＝x 2＋y 2－2xy cos 120°＝x 2＋y 2＋xy ＝(200－1.5y )2＋y 2＋(200－1.5y )y＝1.75y 2－400y ＋40 000＝1.75⎝ ⎛⎭⎪⎫y －80072＋120 0007⎝ ⎛⎭⎪⎫0<y <4003， 当y ＝8007时，PQ 有最小值200217，此时x ＝2007.。