二倍角与半角的正弦、余弦和正切

合集下载

倍角公式和半角公式口诀

倍角公式和半角公式口诀倍角公式口诀：正弦二倍，正负取决；余弦二倍，正负不同；正切二倍，正负相同；余切二倍，正负取决。

半角公式口诀：正弦半角，加减号；余弦半角，加减号；正切半角，加减号；余切半角，加减号。

正文：在三角函数中，倍角公式和半角公式是非常重要的公式之一。

它们可以帮助我们简化复杂的三角函数表达式，从而更方便地进行计算和推导。

下面我们将分别介绍倍角公式和半角公式的口诀，并举例说明其应用。

倍角公式口诀是一种简单易记的口诀，可以帮助我们快速记忆倍角公式的变化规律。

首先我们来看倍角公式口诀：正弦二倍，正负取决；余弦二倍，正负不同；正切二倍，正负相同；余切二倍，正负取决。

这个口诀告诉我们，在倍角公式中，正弦和余切的正负取决于原角的正负，而余弦和正切的正负则与原角的正负相反。

这个口诀的记忆方式非常简单直观，让人很容易就能记住倍角公式的正负变化规律。

接下来我们通过一个具体的例子来说明倍角公式的应用。

假设我们需要计算sin(2x)的值，其中x是一个已知的角度。

根据倍角公式sin(2x) = 2sin(x)cos(x)，我们可以利用已知角度x的正弦值和余弦值来求得sin(2x)的值，而无需直接求解sin(2x)的正弦值。

这样一来，我们可以大大简化计算的复杂度，提高计算效率。

接下来我们来看半角公式口诀：正弦半角，加减号；余弦半角，加减号；正切半角，加减号；余切半角，加减号。

这个口诀告诉我们，在半角公式中，正弦、余弦、正切和余切的正负变化规律。

根据这个口诀，我们可以很容易地记住半角公式的正负变化规律，从而在实际计算中更加得心应手。

接下来我们通过一个具体的例子来说明半角公式的应用。

假设我们需要计算sin(x/2)的值，其中x是一个已知的角度。

根据半角公式sin(x/2) = ±√[(1-cos(x))/2]，我们可以利用已知角度x的余弦值来求得sin(x/2)的值，而无需直接求解sin(x/2)的正弦值。

5.5二倍角与半角的正弦、余弦和正切(2)教案

5.5两倍角与半角的正弦、余弦和正切（2）教案教学目的：1、掌握半角的正弦、余弦、正切公式，能根据2α所在象限正确选择公式中的正、负号； 2、会根据具体情况灵活运用公式。

用半角的正切公式时，往往选用αα-=α+α=αsin cos 1cos 1sin 2tan ；教学重点：半角公式的应用教学过程：（一）、引入一、（设置情境）气象学家洛伦兹1963年提出一种观点：南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后引起美国德克萨斯的一场龙卷风。

这就是理论界闻名的“蝴蝶效应”，南美洲亚马逊河流域热带雨林中的一只蝴蝶与北美德克萨斯的龙卷风看来是毫不相干的两种事物，却会有这样的联系，那么“半角与倍角”的三角函数一定会有非常密切的关系！到底是什么关系呢？本节课我们就通过二倍角公式来研究半角的正弦、余弦和正切。

二、（双基回顾）αααcos sin 22sin =； ααα22sin cos 2cos -=； ααα2tan 1tan 22tan -=（二）、新课一、（新课教学，注意情境设置）在二倍角的正弦、余弦、正切的公式中如何求出2tan,2cos,2sinααα的表达式？探索研究证明：)3(cos 1cos 12tan)2(2cos 12cos )1(2cos 12sinααααααα+-±=+±=-±=二、概念或定理或公式教学（推导）在倍角公式中，“倍角”与“半角”是相对的1、在 α-=α2sin 212cos 中，以α代2α，2α代α 即得：2sin 21cos 2α-=α∴2cos 12sin 2α-=α2、在 1cos 22cos 2-α=α 中，以α代2α，2α代α 即得：12cos 2cos 2-α=α∴2cos 12cos 2α+=α3、以上结果相除得：α+α-=αcos 1cos 12tan 2开方得：)3(cos 1cos 12tan)2(2cos 12cos )1(2cos 12sinααααααα+-±=+±=-±=特点：1︒左式中的角是右式中的角的一半。

alevel数学二倍角公式

alevel数学二倍角公式
二倍角公式是在三角学中常用的公式之一，它可以用来简化和转换三角函数表达式。

二倍角公式有多种形式，包括正弦、余弦和正切的形式。

以下是常见的二倍角公式：
1. 正弦的二倍角公式：
sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)。

2. 余弦的二倍角公式：
cos(2θ) = cos²(θ) sin²(θ) = 2cos²(θ) 1 = 1 2sin²(θ)。

3. 正切的二倍角公式：
tan(2θ) = (2tan(θ))/(1 tan²(θ))。

这些公式可以通过三角函数的定义和三角恒等式的推导得到。

二倍角公式在解决三角函数的复杂表达式、证明恒等式以及求解三
角方程等问题时非常有用。

除了上述的基本形式外，二倍角公式还可以推广到其他三角函数的组合，比如余切、正割和余割等。

这些公式在解决复杂的三角函数问题时起着重要的作用。

此外，二倍角公式还可以与其他三角函数的和差角公式、半角公式等结合使用，从而进一步简化和转换三角函数表达式，解决各种与三角函数相关的数学问题。

总之，二倍角公式是解决三角函数相关问题时的重要工具，熟练掌握和灵活运用二倍角公式可以帮助我们更好地理解和运用三角函数的性质，解决各种数学问题。

常用三角函数公式及口诀

常用三角函数公式及口诀常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z) 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上k∈Z) 注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。

三角函数的二倍角与半角公式

三角函数的二倍角与半角公式三角函数是数学中重要的概念之一，涉及到角度与三角比的关系。

在求解三角函数值时，常常用到二倍角与半角的公式。

本文将介绍三角函数的二倍角与半角公式，以及它们的应用。

1. 二倍角公式在三角函数中，二倍角公式是指在已知一个角的三角函数值的情况下，求解该角的二倍角的三角函数值的公式。

我们用角θ 表示已知角，角2θ 表示其二倍角。

接下来，我们将分别介绍正弦、余弦和正切的二倍角公式。

1.1 正弦的二倍角公式已知角θ 的正弦值为sin θ，其二倍角2θ 的正弦值可以表示为：sin 2θ = 2sin θ cos θ这个公式表明，求解正弦的二倍角可以通过利用已知角的正弦、余弦和两者之积来计算。

1.2 余弦的二倍角公式已知角θ 的余弦值为cos θ，其二倍角2θ 的余弦值可以表示为：cos 2θ = cos² θ - sin² θ这个公式可以改写为：cos 2θ = 2cos² θ - 1 = 1 - 2sin² θ根据这个公式，我们可以通过已知角的余弦、正弦和两者之积来求解余弦的二倍角值。

1.3 正切的二倍角公式已知角θ 的正切值为tan θ，其二倍角2θ 的正切值可以表示为：tan 2θ = (2tan θ)/(1 - tan² θ)这个公式表明，正切的二倍角可以通过已知角的正切值来计算。

2. 半角公式半角公式是指在已知一个角的三角函数值的情况下，求解该角的一半角的三角函数值的公式。

接下来，我们将分别介绍正弦、余弦和正切的半角公式。

2.1 正弦的半角公式已知角θ 的正弦值为sin θ，其半角θ/2 的正弦值可以表示为：sin(θ/2) = ±√((1 - cos θ)/2)在这个公式中，正负号取决于角的象限。

2.2 余弦的半角公式已知角θ 的余弦值为cos θ，其半角θ/2 的余弦值可以表示为：cos(θ/2) = ±√((1 + cos θ)/2)同样地，正负号取决于角的象限。

高一寒假第六讲：二倍角与半角的正弦,余弦和正切xsb

高一寒假第六讲：二倍角与半角的正弦、余弦和正切【知识梳理】1、二倍角公式： αααc o s s i n 22s i n =；)(2αSααα22sin cos 2cos -=；)(2αCααα2tan1tan 22tan -=；)(2αT降幂公式：1cos 22cos 2-=αα αα2sin 212cos -=)(2αC ' 升幂公式：22cos 1sin22cos 1cos 22αααα-=+=2、半角公式：α+α-±=αα+±=αα-±=αcos 1cos 12tan,2cos 12cos,2cos 12sin3、万能公式：2tan12tan2tan ,2tan12tan1cos ,2tan12tan2sin 2222ααααααααα-=+-=+=基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等）；（2）三角比名互化(切割化弦)；（3）公式变形使用（ta n ta n αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±；（4）三角比次数的降升(降幂公式：21c o s 2c o s 2αα+=，21c o s 2s in 2αα-=与升幂公式：21c o s 22c o s αα+=，21c o s 22sin αα-=)；【方法总结】三角比的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路：一角二名三结构。

即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角比变换的核心！第二看三角比的名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点.（5）式子结构的转化(对角、三角比名称、式子结构化同) ；（6）常值变换主要指“1”的变换（221sinc o s x x =+22se cta nta n c o t x x x x=-=⋅ta ns in 42ππ===）（7）正余弦“三兄妹—sin cos sin cos x x x x ±、”的内在联系――“知一求二”，若sin cos x x t ±=，则sin cos x x =212t -±，特别提醒：[2,2]t ∈-．【例题精讲】例1、不用计算器，求下列各式的值（1）15cos 15sin ；（2）8sin8cos22ππ-；（3）5.22tan 15.22tan 22-；（4）75sin 212-．变式练习：求下列各式的值（１）)125cos125)(sin125cos 125(sin ππππ-+ （２）2sin2cos44αα-（３）ααtan 11tan 11+-- （４）θθ2cos cos 212-+例2、已知5cos 3sin cos sin 2-=θ-θθ+θ，求3cos 2θ + 4sin 2θ 的值例3、已知π<α<π2，0<β<π-，tan α =31-，tan β =71-，求2α + β【辅助角公式】()22s in c o s s in a x b x ab x θ+=++(其中θ角所在的象限由a , b 的符号确定，θ角的值由2222s in ,c o s b a a ba bθθ==++ ,ta n b aθ=确定)在求最值、化简时起着重要作用.变式练习：已知α、β为锐角，且3sin 2α＋2sin 2β＝1，3sin2α－2sin2β＝0求证：α＋2β＝2π例4、已知sin α - cos α = 21，π<α<π2，求2tanα和tan α的值例5、已知cos α - cos β = 21，sin α - sin β = 31-，求sin(α + β)的值变式练习：已知12c o s (),s in (),923ααββ-=--=且,022ππαπβ<<<<，求c o s ()αβ+的值。

高中数学-必修二6.2.2二倍角公式-知识点

高中数学-必修二6.2.2二倍角公式-知识点
1、熟记二倍角公式及其常用变形.
（1）正弦：sin2α=2sinαcosα。常用变形：①sinα=2sin cos ；②(sinα±cosα)2=1±sin2α。
（2）余弦：cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α。常用变形-降幂公式：①cos2α= ，②sin2α= 。
5、积化和差公式（容易由两角和或差的正/余弦公式反向推导得出）
sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαsinβ= [sin(α+β)-sin(α-β)]
cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α-β)]
sinαsinβ=- [cos(α+β)-cos(α-β)]
6、和差化积公式：
（3）正切：tan2α= 。
2、题型：给角求值。典例：求sin10°sin50°sin70°。方法：变形，凑配，逆用公式。原式=cos80°cos40°cos20°= = （分子连续逆用正弦二倍角公= ；②cos = ；③tan = = = 。
4、万能公式：sinα= ，cosα= ，tanα= 。
①sinα+sinβ=2sin cos
②sinα-sinβ=2cos sin
③cosα+cosβ=2cos cos
④cosα-cosβ=-2sin sin
★记忆口诀：①角的顺序都是α，β，，；②公式的左边：一加二减，三加四减。③三角函数名：赛赛赛口；赛赛口赛；口口口口；口口赛赛。④第4个公式，有负号。

二倍角与半角的正弦、余弦和正切

sin( + ) + sin( ) = 2sincos sincos = 3、*和差化积公式的推导若令 + = ， = φ ，则
+ sin( )] sin( )] + cos( )] ) cos( )]
，代入得： 2 2 1 1 sin cos [sin( ) sin( )] (sin sin ) 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴ sin sin 2 sin cos 2 2 sin sin 2 cos sin 2 2 cos cos 2 cos cos 2 2 cos cos 2 sin sin 2 2
cos

2
2 tan 2 cos 2
sin

sin

sin
2 tan 1 tan

2 , cos
2

2 , tan 2
2 tan 1 tan

2
2

2
2
sin 证：1） 2 sin 2 cos2 1 tan 2 2 2 2 cos2 sin 2 1 tan 2 cos 2 2 2 2） cos 1 sin 2 cos2 1 tan 2 2 2 2 2 sin cos 2 tan sin 2 2 2 3） tan cos cos2 sin 2 1 tan 2 2 2 2
tan tan 2 tan tan 2 (T2 ) 1 tan tan 1 tan 2
2
因为 sin cos 1 ，所以公式 (C 2 ) 可以变形为

二倍角与半角的正弦余弦和正切ppt课件

∴原等式成立
例4、求证：tan tan 2 tan 2
4 4 tan tan
4 4
tan
4
4
1
tan
4
tan
4
tan
2
1
tan
4
cot
4
2 tan 2 右边
∴原等式成立
例5、化简：(1) 1 sin10；
1 sin 10
解： 1 sin 10 sin 2 5 cos2 5 2sin 5cos5
ex4、设等腰三角形底角的正弦值为3，
5
求其顶角的正弦、余弦和正切值．
ex5、已知sin 2 4，求sin4 cos4 ．
5
ex6、求证：1 sin 4 cos4 cot2 1 sin 4 cos4
2
24
三、例题与练习
例1、若cos 4 (0 )，求sin 2、cos2、tan 2.
5
2
解：cos 4，0 sin 3
5
2
5
sin 2 2sin cos 2 3 4 24
5 5 25
cos 2 2cos2 1 2 ( 4)2 1 7
5
25
24
tan 2
sin 2 cos 2
2sin x 2
sin
cos x
x 2
2 cos
x 2
8 5
2
2
cos x 4 25
cos x 2cos2 x 1 7 2 25
例7、若2 3是方程x2 (tan cot )x 1 0的一个根，求 sin 2和cos4．
解： x1 x2 1 另一根为2 3
tan cot 4

二倍角和半角公式

二倍角和半角公式二倍角公式和半角公式是初中数学中的重要知识点，它们在三角函数、平面几何和解析几何等领域都有广泛的应用。

本文将介绍二倍角公式和半角公式的定义、推导和应用。

一、二倍角公式二倍角公式是指将一个角的角度加倍后所得到的角的正弦、余弦、正切值与原角的正弦、余弦、正切值之间的关系。

具体来说，设角A的正弦、余弦、正切值分别为sinA、cosA、tanA，则角2A的正弦、余弦、正切值分别为：sin2A = 2sinAcosAcos2A = cos²A - sin²Atan2A = 2tanA / (1 - tan²A)这些公式可以通过三角函数的定义和三角恒等式的推导得到。

例如，sin2A可以表示为sin(A+A)，然后利用三角函数的和差公式和倍角公式推导出来。

二倍角公式在解三角函数方程、证明三角恒等式和计算三角函数值等方面都有重要的应用。

例如，如果要求sin2x = 1/2的解，可以利用sin2x = 2sinxcosx和sin²x + cos²x = 1两个公式得到sinx = 1/2或sinx = -1/2，然后再根据sinx的周期性和对称性得到所有解。

二、半角公式半角公式是指将一个角的角度减半后所得到的角的正弦、余弦、正切值与原角的正弦、余弦、正切值之间的关系。

具体来说，设角A 的正弦、余弦、正切值分别为sinA、cosA、tanA，则角A/2的正弦、余弦、正切值分别为：sin(A/2) = ±√[(1 - cosA) / 2]cos(A/2) = ±√[(1 + cosA) / 2]tan(A/2) = ±√[(1 - cosA) / (1 + cosA)]这些公式可以通过二倍角公式和三角函数的定义推导得到。

例如，sin(A/2)可以表示为sin(A/2 + A/2)，然后利用三角函数的和差公式和二倍角公式推导出来。

三角函数的倍角与半角公式

三角函数的倍角与半角公式三角函数在数学中有着广泛的应用，其中倍角与半角公式是计算三角函数值时常用的工具。

倍角公式用于将角度扩大为原来的两倍，而半角公式则是将角度缩小为原来的一半。

本文将详细介绍三角函数的倍角和半角公式，以及它们的相关性质和应用。

一、正弦函数的倍角与半角公式1. 倍角公式对于一个角θ，其正弦函数值sinθ可以表示为以下两个倍角公式之一：sin(2θ) = 2sinθcosθsin^2θ = (1 - cos2θ)/2在上述公式中，θ为任意角度。

2. 半角公式对于一个角θ，其正弦函数值sinθ也可以表示为以下两个半角公式之一：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2]sin^2(θ/2) = (1 - cosθ)/2值得注意的是，在半角公式中，sin(θ/2)的符号取决于θ的象限。

二、余弦函数的倍角与半角公式1. 倍角公式对于一个角θ，其余弦函数值cosθ可以表示为以下两个倍角公式之一：cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ = 1 - 2sin^2θ = 2cos^2θ - 1在上述公式中，θ为任意角度。

2. 半角公式对于一个角θ，其余弦函数值cosθ也可以表示为以下两个半角公式之一：cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ)/2]cos^2(θ/2) = (1 + cosθ)/2与正弦函数的半角公式类似，cos(θ/2)的符号取决于θ的象限。

三、正切函数的倍角与半角公式1. 倍角公式对于一个角θ，其正切函数值tanθ可以表示为以下倍角公式：tan(2θ) = (2tanθ)/(1 - tan^2θ)在上述公式中，θ为任意角度且不等于(2n + 1)π/2，其中n为整数。

2. 半角公式对于一个角θ，其正切函数值tanθ也可以表示为以下半角公式之一：tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/(1 + cosθ)]tan^2(θ/2) = (1 - cosθ)/(1 + cosθ)值得注意的是，在半角公式中，tan(θ/2)的符号取决于θ的象限。

三角函数的二倍角公式与半角公式

三角函数的二倍角公式与半角公式三角函数是数学中重要的概念之一，在几何学和物理学中都有广泛的应用。

在三角函数的学习中，二倍角公式和半角公式是关键的定理，它们能够帮助我们简化三角函数的计算和推导过程。

一、二倍角公式一、正弦函数的二倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ正弦函数的二倍角公式可以用来表示正弦函数的角度为θ的两倍时的值。

它的推导过程可以通过几何解释或三角恒等式的变形来得到。

例如，我们可以将sin(2θ)表示为sin(θ + θ)并应用正弦函数的和差公式，得到：sin(2θ) =sinθcosθ + cosθsinθ = 2sinθcosθ二、余弦函数的二倍角公式：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ余弦函数的二倍角公式同样可以用几何或三角恒等式的变形来推导。

例如，我们可以将cos(2θ)表示为cos(θ + θ)并应用余弦函数的和差公式，得到：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ三、正切函数的二倍角公式：tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan²θ)正切函数的二倍角公式可以通过将tan(2θ)表示为sin(2θ)/cos(2θ)来推导。

然后，我们可以将sin²(2θ)和cos²(2θ)用sinθ和cosθ的平方表示，并化简得到：tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan²θ)二、半角公式一、正弦函数的半角公式：sin(θ/2) = ± √((1 - cosθ) / 2)正弦函数的半角公式可以通过将sin(θ/2)表示为√((1 - cosθ) / 2)或者-√((1 - cosθ) / 2)来推导。

这个公式可以帮助我们计算正弦函数的半角值。

二、余弦函数的半角公式：cos(θ/2) = ± √((1 + cosθ) / 2)余弦函数的半角公式可以通过将cos(θ/2)表示为√((1 + cosθ) / 2)或者-√((1 + cosθ) / 2)来推导。

三角函数二倍角公式和半角公式

三角函数二倍角公式和半角公式一、二倍角公式1.正弦函数的二倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθ推导：设A = θ，B = θ，根据正弦函数的定义，有sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB。

将A=B=θ代入上述公式，即得到sin2θ =sinθcosθ + cosθsinθ = 2sinθcosθ。

2.余弦函数的二倍角公式：cos2θ = cos²θ - sin²θ = 1 - 2sin²θ = 2cos²θ - 1推导：同理可得cos2θ = cosθcosθ - sinθsinθ = cos²θ - sin²θ。

另一方面，根据单位圆上点(x, y)的性质，有x² + y² = 1，其中cosθ = x，sinθ = y。

代入该等式，得1 - sin²θ = cos²θ，即cos²θ - sin²θ = 1 - 2sin²θ。

同时，由正弦函数的二倍角公式sin2θ = 2sinθcosθ，我们可以得到sin²θ = (1 - cos2θ)/2，将其代入1 - 2sin²θ即可得到cos2θ = 2cos²θ - 13.正切函数的二倍角公式：tan2θ = (2tanθ)/(1 - tan²θ)推导：由正切函数的定义，tan2θ = (sin2θ)/(cos2θ) =(2sinθcosθ)/(cos²θ - sin²θ)。

代入sin²θ = (1 - cos2θ)/2和cos²θ = (1 + cos2θ)/2，消去cos²θ和sin²θ后即可得到tan2θ的公式。

二、半角公式1.正弦函数的半角公式：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ)/2]推导：根据单位圆上点(x, y)的性质，有x² + y² = 1，其中cosθ = x，sinθ = y。

2倍角公式

2倍角公式
二倍角公式是数学三角函数中常用的一组公式，通过角α的三角函数值的一些变换关系来表示其二倍角2α的三角函数值。

二倍角公式包括正弦二倍角公式、余弦二倍角公式以及正切二倍角公式。

在计算中可以用来化简计算式、减少求三角函数的次数，在工程中也有广泛的运用。

二倍角公式：
一、正弦二倍角公式：sin2α = 2cosαsinα
推导：
sin2A=sin(A+A)=sinAcosA+cosAsinA=2sinAcosA
二、余弦二倍角公式：
余弦二倍角公式有三组表示形式,三组形式等价：
1、cos2α = 2(cosα)^2 − 1
2、cos2α = 1 − 2(sinα)^2
3、cos2α = (cosα)^2 − (sinα)^2
推导：
cos2A=cos(A+A)=cosAcosA-sinAsinA=(cosA)^2-(sinA )^2=2(cosA)^2-1=1-2(sinA)^2
三、正切二倍角公式：tan2α=2tanα/[1-(tanα)^2]
推导：
tan2A=tan(A+A)=(tanA+tanA)/(1-tanAtanA)=2tanA/[ 1-(tanA)^2]。

5.5二倍角与半角的正弦、余弦和正切(1)教案

5.5两倍角与半角的正弦、余弦和正切（1）教案教学目的：1、掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其推导过程； 2、能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明教学重点：12二倍角公式的简单应用教学过程：（一）、引入一、（设置情境）复习两角和的正弦、余弦、正切公式：),(,sin cos cos sin )sin(R R ∈∈+=+βαβαβαβα ),(,sin sin cos cos )cos(R R ∈∈-=+βαβαβαβα),2,,(,tan tan 1tan tan )tan(Z k k ∈+≠+-+=+ππβαβαβαβαβα问：上述式子中令βα=会得到什么？二、（双基回顾）=+)sin(βα___________________________; =+)cos(βα___________________________; =+)tan(βα___________________________.（二）、新课一、（新课教学，注意情境设置）二、概念或定理或公式教学（推导）在上述公式中，当βα=时，得到相应的一组公式： αααcos sin 22sin =； ααα22sin cos 2cos -=； ααα2tan 1tan 22tan -=；因为1cos sin 22=+αα，所以公式ααα22sin cos 2cos -=可以变形为1cos 22cos 2-=αα或 αα2s i n 212c o s -=)(2αC ' 上述公式统称为二倍角公式．三、（概念辨析或变式问题，目的是加强概念、公式的理解或应用）探究：（１）二倍角公式的作用在于用单角的三角比来表达二倍角的三角比，它适用于二倍角与单角的三角比之间的互化问题．（２）二倍角公式为仅限于α2是α的二倍的形式，其它如α4是α2的两倍，2α是4α的两倍，α3是23α的两倍，3α是6α的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式．因此，要理解“二倍角”的含义，即当2=βα时，α就是β的二倍角．凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式．尤其是“倍角”的意义是相对的（３）二倍角公式是从两角和的三角函数公式中，取两角相等时推导出，记忆时可联想相应角的公式．（4）熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）（5）特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：22cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α 这两个形式今后常用四、典型例题（3个，基础的或中等难度）例1、不查表．求下列各式的值（１）)125cos 125)(sin 125cos 125(sin ππππ-+ （２）2sin 2cos 44αα-（３）ααtan 11tan 11+-- （４）θθ2cos cos 212-+解: （１）=-+)125cos 125)(sin 125cos 125(sin ππππ2365cos 125cos 125sin 22=π-=π-π （２）=α-α2sin 2cos44α=α-αα+αcos )2sin 2)(cos 2sin 2(cos 2222 （３）=α+-α-tan 11tan 11α=α-α2tan tan 1tan 22 （４）=θ-θ+2cos cos 21221cos 2cos 2122=+θ-θ+ 例2、若tan θ = 3，求sin2θ - cos2θ 的值解：sin2θ - cos2θ = θθθθθ2222cos sin cos sin cos sin 2+-+57tan 11tan tan 222=+-+=θθθ 例3、已知),2(,135sin ππ∈α=α，求sin2α，cos2α，tan2α的值解：∵),2(,135sin ππ∈α=α ∴1312sin 1cos 2-=α--=α ∴sin2α = 2sin αcos α = 169120-cos2α = 169119sin 212=α- tan2α = 119120-五、课堂练习（2个，基础的或中等难度）1、求值：（1） =π-π8cos 8sin22224cos -=π-（2）=ππππ12cos 24cos 48cos 48sin8216sin 12cos 12sin 212cos 24cos 24sin 4=π=ππ=πππ 2、（1）求证：8cos 4θ＝cos4θ＋4cos2θ＋3 证明：8cos 4θ＝8（cos 2θ）2＝8(22cos 1θ+)2＝2（cos 22θ＋2cos2θ＋12（44cos 1θ+）＋4cos2θ＋2＝cos4θ＋4cos2θ＋3（2）已知sin （4π－x ）=135，0＜x ＜4π，求）（x x +4πcos 2cos 的值.解：∵（4π－x ）+（4π+x ）=2π， ∴cos （4π+x ）=sin （4π－x ）. 又cos2x =sin （2π－2x ）=sin2（4π－x ）=2sin （4π－x ）cos （4π－x ）， ∴）（x x +4πcos 2cos =2cos （4π－x ）=2×1312=1324.六、拓展探究（2个） 1、若270°＜α＜360°，则α2cos 21212121++等于 ( Ｄ ) A sin2α B cos 2α C －sin 2α Ｄ－cos 2α 解：∵cos2α＝2cos 2α－1 ∴cos α＝2cos 22α－1∴ααα22cos 2121)1cos 2(212121212cos 21212121+=-++=++ 又∵270°＜α＜360° 135°＜2α＜180∴原式＝2cos 2cos )12cos 2(2121cos 212122αααα-==-+=+ 2、求sin10°sin30°sin50°sin70°的值解：∵sin10°＝cos80° ,sin50°＝cos40°, sin70°＝cos20°∴原式＝21cos80°cos40°cos20° ＝21×︒︒︒︒︒20sin 20sin 20cos 40cos 80cos ︒⨯︒︒︒⨯=20sin 2140sin 40cos 80cos 21︒⨯⨯︒︒⨯=20sin 212180sin 80cos 2116120sin 212121160sin 21=︒⨯⨯⨯︒= （三）、小结1.不仅要能熟练推证公式（建议自己推证一遍所有公式）、熟悉公式的正用逆用，还要熟练掌握公式的变形应用；2. 注意倍角的相对性，如3α是23α的倍角。

4.6二倍角与半角的正弦、余弦和正切公式角

4.6二倍角与半角的正弦、余弦和正切公式【知识梳理】1、二倍角公式： αααcos sin 22sin =；)(2αS ααα22sin cos 2cos -=；)(2αC ααα2tan 1tan 22tan -=；)(2αT跟踪例题1：已知),2(,135sin ππ∈α=α，求sin2α，cos2α，tan2α的值。

跟踪例题2：若tan θ = 3，求sin2θ - cos2θ 的值。

2、升幂公式：1cos 22cos 2-=αα αα2sin 212cos -=)(2αC ' 降幂公式：22cos 1sin 22cos 1cos 22αααα-=+=跟踪例题1：（1）15cos 15sin ；（2）8sin 8cos22ππ-；（3）5.22tan 15.22tan 22-；（4） 75sin 212-．3、半角公式：α+α-±=αα+±=αα-±=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin万能公式：2tan 12tan2tan ,2tan 12tan 1cos ,2tan 12tan2sin 2222ααααααααα-=+-=+=跟踪例题1：.2tan ,2cos ,2sin ,23,54sin αααπαπα求且<<-=3、给角求值问题跟踪例题1：求0sin10sin50sin 70的值。

跟踪例题2：求94cos 93cos 92cos9cos ππππ的值。

4、给值求值跟踪例题1：已知,534cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+x π若ππ471217<<x ，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值。

跟踪例题2：已知.2tan ,270180,53cos ααα求且︒︒<<-=5、三角函数式化简跟踪例题1：化简()︒︒︒︒+∙-70sin 170cos 85tan 5tan = .跟踪例题2：化简)4(sin 4tan 21cos 222απαπα+⎪⎭⎫⎝⎛--跟踪例题3：化简：()()παααααπ<<-+∙-⎪⎭⎫⎝⎛-0cos 1cos 12tan 23cos跟踪例题4：已知,223παπ<<试化简ααsin 1sin 1--+6、三角恒等式的证明跟踪例题1：求证：()xx x x 4cos 14cos 32tan 1tan 22-+=+跟踪例题2：求证：θθθθθθ2tan 14cos 4sin 1tan 24cos 4sin 1-++=-+跟踪例题3：求证：.2cos cos sin 22tan 23tan xx x x x +=-7、二倍角公式使用技巧跟踪例题1：已知()πα,0∈，化简：()αααααcos 222sin 2cos cos sin 1+⎪⎭⎫⎝⎛-∙++=跟踪例题2：计算：()︒︒︒--12sin 212cos 4312tan 3= 8、三角函数综合应用跟踪例题1：已知函数()x x x x f 2cos 3sin 2sin -⎪⎭⎫⎝⎛-=π.（1）求()x f 的最小正周期和最大值；（2）讨论()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,6ππ上的单调性。

二倍角与半角的正弦、余弦和正切

倍角公式和半角公式口诀

5.5二倍角与半角的正弦、余弦和正切(2)教案

alevel数学 二倍角公式

常用三角函数公式及口诀

三角函数的二倍角与半角公式

高一寒假第六讲：二倍角与半角的正弦,余弦和正切xsb

高中数学-必修二6.2.2二倍角公式-知识点

二倍角与半角的正弦、余弦和正切

二倍角与半角的正弦余弦和正切ppt课件

二倍角和半角公式

三角函数的倍角与半角公式

三角函数的二倍角公式与半角公式

三角函数二倍角公式和半角公式

2倍角公式

5.5二倍角与半角的正弦、余弦和正切(1)教案

4.6二倍角与半角的正弦、余弦和正切公式角

alevel数学二倍角公式