第6讲 与圆有关的定点、定值、最值与范围问题

第6讲 与圆有关的定点、定值、最值与 范围问题
一、填空题
1．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧
y ≥0，
x －y ≥0，
2x －y －2≥0，
则点(x ，y )到圆(x ＋2)2＋(y －6)2＝1上
点的距离的最小值是________． 答案 42－1
2．已知x ，y 满足x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，则x 2＋y 2最小值为________． 解析 法一 点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y －3)2＝1上，故点(x ，y )到原点距离的平方即x 2＋y 2最小值为(13－1)2＝14－213.
法二 设圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2＋cos α，
y ＝3＋sin α则x 2＋y 2＝14＋4cos α＋6sin α，所
以x 2＋y 2的最小值为14－42＋62＝14－213.
答案 14－213
3．圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆M 的方程为(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )．过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE ，PF ，切点分别为E ，F ，则PE →·PF
→的最小值是________．
解析 如图所示，连接CE ，CF .由题意，可知圆心M (2＋5cos θ，5sin θ)，设⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2＋5cos θ，y ＝5sin θ，则可得圆
心M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝25，由图，可知只有
当M ，P ，C 三点共线时，才能够满足PE →·PF →最小，此时|PC |＝4，|EC |＝2，故
|PE |＝|PF |＝23，∠EPF ＝60°，则PE →·PF →＝(23)2×cos 60°＝6.
答案 6
4．直线2ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点(其中a，b是实数)，且△AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(0,1)之间的距离的最大值为________．
解析△AOB是直角三角形等价于圆心(0,0)到直线2ax＋by＝1的距离等于
2 2，由点到直线的距离公式，得1
2a2＋b2
＝2
2
，即2a2＋b2＝2，即a2＝1－b2
2
且b∈[－2，2]．点P(a，b)与点(0,1)之间的距离为d＝a2＋(b－1)2＝1
2b
2－2b＋2，因此当b＝－2时，d取最大值，此时d max＝3＋22＝2＋1.
答案2＋1
5．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，P A、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切线，A、B是切点，C是圆心，那么四边形P ACB面积的最小值是________．解析如图所示，由题意，圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的圆心是C(1,1)，半径为
1，由P A＝PB易知四边形P ACB的面积＝1
2(P A＋PB)＝
P A，故P A最小时，四边形P ACB的面积最小．由于P A ＝PC2－1，故PC最小时P A最小，此时CP垂直于直线3x＋4y＋8＝0，P为垂足，
PC＝|3＋4＋8|
5
＝3，P A＝PC2－1＝22，所以四边形P ACB面积的最小值是
2 2.
答案2 2
6．过圆x2＋y2＝1上一点作圆的切线与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，则AB的最小值为________．
解析设圆上的点为(x0，y0)，其中x0>0，y0>0，切线方程为x0x＋y0y＝1，分
别令x ＝0，y ＝0，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0，0、B ⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，1y 0，所以AB ＝
1x 20＋1
y 20
＝(x 20＋y 20)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 20＋1y 20≥2. 答案 2
7．若圆C ：(x －a )2＋(y －1)2＝1在不等式x ＋y ＋1≥0所表示的平面区域内，则a 的最小值为________．
解析
由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧
d ＝|a ＋2|2≥1，
a ＋1＋1≥0，
解得a ≥2－2. 答案
2－2
8．过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，1的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A 、B 两点，当∠ACB 最
小时，直线l 的方程为________．
解析 因点P 在圆C 内，所以当AB 长最小时，∠ACB 最小，此时AB ⊥PC .由k PC ＝－2可得k AB ＝1
2.所以直线l 的方程为2x －4y ＋3＝0. 答案 2x －4y ＋3＝0
9．过直线x ＋y －22＝0上一点P 作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．
解析 因为点P 在直线x ＋y －22＝0上，所以可设点P (x 0，－x 0＋22)，设其中一个切点为M .因为两条切线的夹角为60°，所以∠OPM ＝30°.故在Rt △
OPM 中，有OP ＝2OM ＝2，所以OP 2＝4，即x 20＋(－x 0＋22)2＝4，解得x 0
＝ 2.故点P 的坐标是(2，2)． 答案 (2，2)
10．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为________．
解析 由题意，圆(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4的圆心(－2，－1)在直线ax ＋by ＋1＝0上，所以－2a －b ＋1＝0，即2a ＋b －1＝0.因为(a －2)2＋(b －2)2表示点(a ，b )与(2,2)的距离，所以
(a －2)2
＋(b －2)2
的最小值为
|4＋2－1|4＋1
＝5，即
(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5. 答案 5 二、解答题
11．已知以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫
t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于
点O 、B ，其中O 为原点． (1)求证：△OAB 的面积为定值；
(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程． (1)证明 ∵圆C 过原点O ，∴OC 2＝t 2＋4
t 2. 设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
y －2t 2＝t 2＋4t 2，
令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4
t ；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t . ∴S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪
4t ×|2t |＝4，
即△OAB 的面积为定值．
(2)解 ∵OM ＝ON ，CM ＝CN ，∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12，∴直线OC 的方程是y ＝x
2.
∴2t ＝1
2t ，解得t ＝2或t ＝－2.当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，OC ＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝9
5
＜5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．
当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝
9
5
＞5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相离，∴t ＝－2不符
合题意舍去．
∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.
12．已知圆C 的方程为(x ＋4)2＋y 2＝16，直线l 过圆心且垂直于x 轴，其中G 点在圆上，F 点坐标为(－6,0)．
(1)若直线FG 与直线l 交于点T ，且G 为线段FT 的中点，求直线FG 被圆C 所截得的弦长；
(2)在平面上是否存在定点P ，使得对圆C 上任意的点G 有|GF ||GP |＝1
2？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
解 (1)由题意，设G (－5，y G )，代入(x ＋4)2＋y 2＝16，得y G ＝±15，所以FG 的斜率为k ＝±15，FG 的方程为y ＝±15(x ＋6)．设圆心C (－4,0)到FG 的距离为d ，
由点到直线的距离公式得d ＝
|±215|15＋1
＝15
2. 则直线FG 被圆C 截得的弦长为216－⎝
⎛⎭
⎪⎫1522
＝7. 故直线FG 被圆C 截得的弦长为7.
(2)设P (s ，t )，G (x 0，y 0)，则由|GF ||GP |＝1
2， 得(x 0＋6)2＋y 20
(x 0－s )2＋(y 0－t )2＝12
，
整理得3(x 20＋y 20)＋(48＋2s )x 0＋2ty 0＋144－s 2－t 2
＝0.
①
又G (x 0，y 0)在圆C ：(x ＋4)2＋y 2＝16上，
所以x 20＋y 20＋8x 0＝0.
②
将②代入①，得(2s ＋24)x 0＋2ty 0＋144－s 2－t 2＝0.
又由G (x 0，y 0)为圆C 上任意一点可知，⎩⎨⎧
2s ＋24＝0，2t ＝0，
144－s 2－t 2＝0，
解得s ＝－12，t ＝0.
所以在平面上存在定点P (－12,0)，使得结论成立．
13．已知⊙C 过点P (1,1)，且与⊙M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋
2＝0对称． (1)求⊙C 的方程；
(2)设Q 为⊙C 上的一个动点，求PQ →·MQ
→的最小值；
(3)过点P 作两条相异直线分别与⊙C 相交于A 、B ，且直线P A 和直线PB 的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行？请说明理由．
解
(1)设圆心C (a ，b )，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧
a －22＋
b －2
2＋2＝0，
b ＋2
a ＋2＝1.
解得⎩⎨⎧
a ＝0，
b ＝0.则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，
将点P 的坐标代入，得r 2＝2. 故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.
(2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，且PQ →·MQ →＝(x －1，y －1)·
(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2.
所以PQ →·MQ
→的最小值为－4.(也可由线性规划或三角代换求得) (3)由题意知，直线P A 和直线PB 的斜率存在，且互为相反数，故可设P A ：y －1＝k (x －1)，PB ：y －1＝－k (x －1)． 由⎩⎨⎧
y －1＝k (x －1)，x 2＋y 2＝2，
得(1＋k 2)x 2＋2k (1－k )x ＋(1－k )2－2＝0. 因为点P 的横坐标x ＝1一定是该方程的解， 故可得x A ＝k 2－2k －1
1＋k 2.
同理，x B ＝k 2＋2k －1
1＋k 2.
所以k AB ＝y B －y A x B －x A ＝－k (x B －1)－k (x A －1)
x B －x A
＝
2k －k (x B ＋x A )
x B －x A
＝1＝k OP .
所以直线AB 和OP 一定平行．
14. 如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝1
2.过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8. (1)求椭圆E 的方程；
(2)设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q .试探究：在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由． 解 (1)∵|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8， 即|AF 1|＋|F 1B |＋|AF 2|＋|BF 2|＝8， 又|AF 1|＋|AF 2|＝|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， ∴4a ＝8，a ＝2.
又∵e ＝12，即c a ＝1
2，∴c ＝1，∴b ＝a 2－c 2＝ 3. 故椭圆E 的方程是x 24＋y 2
3＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2
3
＝1，
得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.
∵动直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点P (x 0，y 0)， ∴m ≠0且Δ＝0，
即64k 2m 2－4(4k 2＋3)(4m 2－12)＝0， 化简得4k 2－m 2＋3＝0.(*) 此时x 0＝－
4km 4k 2＋3
＝－4k m ，y 0＝kx 0
＋m ＝3
m ， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k m ，3m .由⎩⎨⎧
x ＝4，y ＝kx ＋m ，
得Q (4,4k ＋m )．
假设平面内存在定点M 满足条件，由图形对称性知，点M 必在x 轴上． 设M (x 1,0)，则MP →·MQ
→＝0对满足(*)式的m ，k 恒成立．。