陕西省咸阳市2011-2012学年高二数学上学期期末质量检测试题 理 新人教A版精要汇编
2022-2023学年陕西省咸阳市高二上学期期末数学(理)试题(解析版)
2022-2023学年陕西省咸阳市高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1．命题“30,31x x x ∃>≥+”的否定是（ ） A ．30,31x x x ∃><+ B ．30,31x x x ∀<≥+ C ．30,31x x x ∀><+ D ．30,31x x x ∃<<+【答案】C【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题得答案. 【详解】命题“30,31x x x ∃>≥+”的否定是30,31x x x ∀><+． 故选：C.2．若椭圆2213620x y +=上一点P 到右焦点的距离为5，则它到左焦点的距离为（ ）A ．31B ．15C ．7D ．1【答案】C【分析】由椭圆的定义：动点到两定点的距离之和为定值常数.即可得出答案.【详解】椭圆2213620x y +=中，2366a a =⇒=，记椭圆2213620x y +=的左焦点为1F ，右焦点为2F ，则25PF =，由椭圆的定义可知：12212PF PF a +==， 所以11257PF =-=， 故选：C.3．已知01,0a b <<<，则下列大小关系正确的是（ ） A ．2ab b a b << B ．2b ab a b <<C ．2b a b ab <<D ．2a b b ab <<【答案】B【分析】根据不等式性质，不等式两边同时乘负数，改变不等号，不等式两边同时乘正数，不改变不等号，可得答案.【详解】对于A ，因为01,0a b <<<，所以ab >b ，故错误；对于B ，因为01,0a b <<<，所以ab >b ，又因为0a <，所以2a b ab >， 则2b ab a b <<，故正确；易知C ，D 错误.4．已知0x >，0y >，若41x y +=，则()()411x y ++的最大值为（ ）． A ．94B ．14C ．34D ．1【答案】A【分析】由基本不等式求最大值．【详解】()()()()2411941124x y x y +++⎡⎤++≤=⎢⎥⎣⎦， 当且仅当41141x y x y +=+⎧⎨+=⎩，即18x，12y =时，等号成立．故选：A ．5．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，设1,,AB a AD b AA c ===，则1BD =（ ）A ．a b c ++B ．a b c -++C ．a b c -+D ．a b c +-【答案】B【分析】根据空间向量线性运算求解即可. 【详解】连接1AD ，如图所示：111BD AD AB AA AD AB c b a =-=+-=+-.6．已知{}n a 是递增的等比数列，且20a <，则其公比q 满足（ ） A ．1q <- B ．10q -<< C ．1q > D ．01q <<【答案】D【分析】先确定0q >,由20a <得10a <,根据{}n a 的单调性确定q 的取值范围.【详解】{}n a 是等比数列，故11n n a a q -=，当0q <时， {}n a 各项正负项间隔,为摆动数列,故0q >,显然1q ≠，由120a a q =<得10a <，又{}n a 是递增的等比数列，故{}1n q -为递减数列,由指数函数的单调性知01q <<.故选:D7．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点()03,A y 在抛物线C 上，O 为坐标原点，若6AF =，则OA =（ ）A ．3B ．C ．6D ．【答案】B【分析】根据焦半径公式求出p ，从而可求得0y ，再根据两点间的距离公式即可得解. 【详解】解：由题意可得362pAF =+=，解得6p ， 则2026336y =⨯⨯=，故OA 故选：B.8．已知a ∈R ，则“6a >”是“236a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解. 【详解】由题意，若6a >，则236a >，故充分性成立； 若236a >，则6a >或6a <-，推不出6a >，故必要性不成立； 所以“6a >”是“236a >”的充分不必要条件.故选：A.9．若变量x y ，满足约束条件+4200x y x y x y ≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．7C ．8D ．10【答案】B【分析】根据约束条件，作图表示可行域，根据目标函数的几何意义，可得答案. 【详解】在平面直角坐标系内，可行解域如下图所示:平移直线2y x z =-+，在可行解域内，经过B 点时，直线2y x z =-+在纵轴上的截距最大，解二元一次方程组:()+=4=331=2=1x y x B z x y y ⇒∴-⎧⎧⎨⎨⎩⎩，，，的最大值为2317⨯+=， 故选：B.10．2022年11月30日7时33分，神舟十五号3名航天员顺利进驻中国空间站，与神舟十四号航天员乘组首次实现“太空会师”，一般来说，航天器绕地球运行的轨道近似看作为椭圆，其中地球的球心是这个椭圆的一个焦点，我们把椭圆轨道上距地心最近（远）的一点称作近（远）地点，近（远）地点与地球表面的距离称为近（远）地点高度.已知中国空间站在一个椭圆轨道上飞行，它的近地点高度约为351km ，远地点高度约为385km ，地球半径约为6400km ，则该轨道的离心率约为（ ） A ．176768B ．17368C ．385736D ．678513536【答案】A【分析】根据题意求出,a c 即可求解.【详解】由题可知，38564006785a c +=+=，35164006751a c -=+=，解得6768,17a c ==，所以离心率为176768c a =， 故选:A.11．已知数列{}n a ，定义数列{}12n n a a +-为数列{}n a 的“2倍差数列”.若{}n a 的“2倍差数列”的通项公式1122n n n a a ++-=，且12a =，则数列{}n a 的前n 项和n S =（ ）A ．()1122n n +-+ B ．122n n +⋅-C ．()122nn -+ D ．()122nn +-【答案】A【分析】由1122n n n a a ++-=可得11122n n n n a a ++-=，从而得数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭表示首项为1，公差1d =的等差数列，求得2nn a n =⋅，再根据错位相减法即可得n S .【详解】根据题意得11122,2n n n a a a ++-==，11122n nn na a ++∴-=， ∴数列2nn a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭表示首项为1，公差1d =的等差数列， ()11,22n nn n a n n a n ∴=+-=∴=⋅， 123122232...2n n S n ∴=⨯+⨯+⨯++⋅， 23412122232...2n n S n +∴=⨯+⨯+⨯++⋅， 23412222...22n n n S n +∴-=++++-⋅()111212222212n n n n n n +++-=-⋅=-+-⋅-，()1212n n +=-+-，()1122n n S n +∴=-+.故选：A.12．已知12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左､右焦点，过1F 作b y x a=-的垂线分别交双曲线的左､右两支于,B C 两点(如图).若22CBF CF B ∠∠=，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．3y x =B ．2y x =C ．)31y x =±D ．)31=±y x【答案】C【分析】根据已知条件和双曲线的定义可求得12BF a =，24BF a =，再在12BF F △中运用余弦定理建立关于a ，b ，c 的方程，可求得双曲线的渐近线方程得选项.【详解】解：由22CBF CF B ∠∠=，设2BC CF m ==，由122CF CF a -=得，12BF a =，所以24BF a =，2222221122121124416cos 28BF F F BF a c a BF F BF F F ac∠++-+-==⋅⋅，又112tan F C a k BF F b ∠==得12cos b BF F c ∠=，22244168a c a bac c+-∴=，令1a =，化简得：2220b b --=，得13b =)31y x =±，故选：C.二、填空题13．已知空间向量()6,3,1a =-与()3,,b x y =共线，则x y -=______. 【答案】2-【分析】根据空间向量共线坐标表示列方程求解,x y 的值，即可得x y -的值.【详解】空间向量()6,3,1a =-与()3,,b x y =共线，则存在实数λ，使得a b λ=，则6331x y λλλ=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，解得312,,22x y λ==-=，所以31222x y -=--=-.14．写出一个离心率为22的双曲线方程为___________.【答案】2217y x -=（答案不唯一）【分析】根据题意，由双曲线的离心率公式可得22c e a==，即22c a =，假设双曲线的焦点在x 轴且1a =，求出双曲线的标准方程，即可得答案．【详解】根据题意，要求双曲线的离心率22c e a==，则22c a =， 若双曲线的焦点在x 轴，令1a =，则22c =，227b c a =-=，则要求双曲线的方程为2217y x -=，故答案为：2217y x -= (其他符合的也对)15．已知命题[]:1,4,4ap x x x ∃∈+>是假命题，则实数a 的取值范围是___________.【答案】(,0]-∞【分析】将问题等价转化为[1,4]x ∀∈，4ax x+≤恒成立，利用二次函数的性质即可求解.【详解】命题[]:1,4,4ap x x x ∃∈+>是假命题，即命题[1,4]x ∀∈，4ax x+≤是真命题，也即24a x x ≤-+在[1,4]上恒成立， 令22()4(2)4f x x x x =-+=--+，因为[1,4]x ∈，所以当4x =时函数取最小值， 即min ()(4)0f x f ==，所以0a ≤， 故答案为：(,0]-∞.16．《墨经·经说下》中有这样一段记载：“光之人，煦若射，下者之人也高，高者之人也下，足蔽下光，故成景于上；首蔽上光，故成影于下.在远近有端，与于光，故景库内也.”这是中国古代对小孔成像现象的第一次描述.如图为一次小孔成像实验，若物距：像距236:1,12,cos 32OA OB A OB ∠====''，则像高为___________.【答案】32##1.5【分析】利用余弦定理求得9AB =，再根据物距∶像距61=∶,即可求得答案. 【详解】由 23cos 32A OB ''∠=，则23cos 32AOB ∠=，又12OA OB ==，则2222323228821212813232AB OA OB OA OB +-⨯⨯⨯=-=⨯⨯⨯=, 即9AB =，又物距∶像距61=∶， 则1362A B AB ''=⨯=，即像高为32，故答案为：32．三、解答题17．设函数2()6,f x ax ax a =-++∈R ．(1)当1a =时，求关于x 的不等式()0f x <的解集；(2)若关于x 的不等式()0f x >的解集为R ，求实数a 的取值范围． 【答案】(1){|2x x <-或3}x > (2)(24,0]-【分析】（1）由一元二次不等式的解法求解， （2）由题意列不等式组求解，【详解】（1）当1a =时，260x x -++<，即260x x -->， 即(2)(3)0x x +->，解得<2x -或3x >，所以当1a =时，不等式()0f x <的解集为{|2x x <-或3}x >． （2）当0a =时，()0f x >的解集为R ，满足题意；当0a ≠时，由20240a a a ->⎧⎨+<⎩，解得240a -<<，综上，实数a 的取值范围是(24,0]-．18．已知{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =，且1a 、2a 、5a 成等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设2n b =，求数列{}b 的前n 项和n S .【答案】(1)21n a n =- (2)221n nS n =+【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题中条件可得出关于d 的等式，解出d 的值，再利用等差数列的通项公式即可求得n a 的表达式；（2）求出数列{}n b 的通项公式，利用裂项相消法可求得n S .【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，11a =，则21a d =+，514a d =+，且0d ≠， 又因为1a 、2a 、5a 成等比数列，所以()2114d d +=+，即220d d -=， 又0d ≠，解得2d =， 所以()12121n a n n =+-=-. （2）由（1）知()()21121212121n b n n n n ==--+-+， 所以111111112113355721212121n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 19．在三角形ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，cos cos 2sin a C c Ab B+= (1)求B ；(2)若B 为锐角，6A π=，BC 边上的中线长AD =ABC 的面积．【答案】(1)6B π=或56π；【分析】⑴利用正弦定理进行边角互换，再结合()sin sin A C B +=求出B ； ⑵在三角形ACD 中利用余弦定理求出边AC ，再利用三角形的面积公式求面积. 【详解】（1）在△ABC 中，因为，cos cos 2sin a C c Ab B+=由正弦定理得sin cos sin cos 2sin sin 0A C C A B B +-=，所以sin()2sin sin 0A C B B +-=，即sin (12sin )0B B -=，又因为sin 0B ≠，所以1sin 2B =， 因为B 是三角形的内角，所以6B π=或56π． （2）因为B 为锐角，所以B π=，△ABC 为等腰三角形，2C π=，在△ABC 中，设AC ＝BC ＝2x ，在△ADC 中，由余弦定理得222222cos773AD AC DC AC DC x π=+-⋅==， 解得x ＝1，所以AC ＝BC ＝2，所以1sin 32ABCS AC BC C =⋅⋅=， 所以三角形的面积为3．20．如图四棱锥S ABCD -的底面是直角梯形，//AB CD ，AD DC ⊥，SD ⊥平面ABCD ，点M 是SA 的中点，22AD SD CD AB ====.用空间向量知识解答下列问题：(1)求证：DM ⊥平面SAB ； (2)求平面SAB 与平面SBC 的夹角. 【答案】(1)证明见解析(2)π4【分析】（1）以D 为原点，DA ，DC ，DS 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间坐标运算证明线面垂直即可；（2）由（1）确定平面平面SAB 与平面SBC 的法向量，根据坐标运算即可求得面面夹角的大小. 【详解】（1）证明：AD DC ⊥，SD ⊥平面ABCD ，则DA ，DC ，DS 两两垂直，如图，以D 为原点，DA ，DC ，DS 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()2,0,0A ，()2,1,0B ，()0,2,0C ，()0,0,2S ，()1,0,1M . ∴()1,0,1DM =，()2,0,2SA =-，()0,1,0AB =.∴()2020DM SA ⎧⋅=++-=⎪，∴DM SA ⊥，DM AB ⊥，又SA AB A ⋂=，SA ，AB ⊂平面SAB ，∴DM ⊥平面SAB .（2）由（1）知DM 为平面SAB 的一个法向量，()0,2,2SC =-，()2,1,0BC =-.设平面SBC 的法向量为(),,m x y z =，则02202020SC m y z y z x y y x BC m ⎧⋅=-==⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨-+==⋅=⎩⎩⎪⎩，令1x =，则2y =，2z =. ∴平面SBC 的一个法向量为()1,2,2m =.∴11o ,c s m DMm DM m DM ⋅⨯===∴平面SAB 与平面SBC 的夹角为π4. 21．已知椭圆222:1(1)x C y a a +=>的左，右焦点分别为12,F F (1)求椭圆C 的方程；(2)椭圆C 上是否存在点P 使得12PF PF ⊥？若存在，求12PF F △的面积，若不存在，请说明理由.【答案】(1)2214x y += (2)存在，面积为1【分析】(1)根据椭圆中,,a b c 的关系求解；(2)根据12PF PF ⊥可得22003x y +=，联立220022003,1,4x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩可求出0y ，进而可求面积. 【详解】（1）椭圆222:1(1)x C y a a +=>=，解得24a =. ∴椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）由（1）知())12,F F， 假设椭圆C 上存在点00(,)P x y ，使得12PF PF ⊥， 则())120000,,0PF PF x y x y ⋅=--⋅-=，即22003x y +=， 联立220022003,1,4x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得220081,33x y ==. ∴椭圆C 上存在点P 使得12PF PF ⊥.1212011122PF F S F F y ∴==⨯=. 22．已知抛物线T 的顶点在坐标原点，焦点与圆F ：22()1x y a +-=（14a >）的圆心重合，T 上一点()1,M m 到焦点F 的距离54FM =. (1)求抛物线T 的方程； (2)过焦点F 的直线l 与抛物线T 和圆F 从左向右依次交于A ，B ，C ，D 四点，且满足22218AB BC CD ++=，求直线l 的方程. 【答案】(1)24x y =(2)1y =+【分析】（1）根据圆心即抛物线焦点位置，设抛物线标准方程为24x ay =，再利用点()1,M m 在抛物线上和抛物线定义建立方程组，解出a 与m 即可；（2）由BC 为圆F 的直径，BF 、CF 为圆F 的半径，将22218AB BC CD ++=化为()()22218AF BF BC DF CF -++-=，再设直线方程，与抛物线方程联立后，根据A ，D 坐标利用抛物线定义进行求解.【详解】（1）∵14a >，∴圆F ：22()1x y a +-=（14a >）的圆心()0,F a 在y 轴正半轴， ∴设抛物线T 的标准方程为24x ay =，准线方程为y a =-，∵()1,M m 在抛物线T 上，∴214am =又∵M 到焦点F 的距离54FM =，∴()1,M m 到准线y a =-的距离54d m a =+=， ∴1=454am m a ⎧⎪⎨+=⎪⎩，∵14a >，∴解得114a m =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴抛物线T 的方程为24x y =.（2）由（1），圆F ：22(1)1y x +-=， 由题意，BC 为圆F 的直径，2BC =，BF 、CF 为圆F 的半径，1BF CF ==， ∵22218AB BC CD ++=，∴()()22218AF BF BC DF CF -++-=， ∴()()2214118AF DF -++-=，设()11,A x y ，()22,D x y ，由抛物线定义，11AF y =+，21DF y =+，∴()()22121141118y y +-+++-=，即221214y y +=， 由题意，直线l 的斜率存在，∴设直线l 的方程为1y kx =+，由214y kx x y =+⎧⎨=⎩，消去x ，整理得()224210y k y -++=（0∆>），∴21242y y k +=+，121y y =.∴()()22222121212242214y y y y y y k +=+-=+-=，解得k =.∴直线l 的方程为1y =+. 【点睛】在解决抛物线焦点弦有关的问题时，常常会使用抛物线的定义.本题利用已知条件中圆的半径和直径，将22218AB BC CD ++=转化为()()22218AF BF BC DF CF -++-=即()()2214118AF DF -++-=，再根据抛物线定义转化为221214y y +=，从而使问题可以通过联立直线与抛物线方程解决.。
2023-2024学年四川省绵阳市高二上学期期末教学质量测试数学检测试卷(有解析)
EF F 两点，求 S△PAB 的最大值.
1．A
【分析】求出给定直线的斜率即可得该直线的一个方向向量 a ，再求与 a 共线的向量即可.
【详解】直线
2x
3
y
1
0
的斜率为
k
2 3
，则直线
2x
3
y
1
0
的一个方向向量
a
1,
2 3
，
对于
A，因
3
2 3
1
2
0
，即向量
(3,
2)
与
1,
2 3
共线，A
是；
对于Biblioteka 2 3rrr abc
r b
r c
2
3
rrr abc
1
r b
1
r c
2
r a
3 3 3.
故选：A.
7．C
【分析】连接 QA 、 OA ，由题意可得 QA QP ，所以 QA QO QP QO OP r ， 根据双曲线的定义，即可得答案. 【详解】连接 QA 、 OA ，如图所示：
因为 l 为 PA 的垂直平分线，所以 QA QP ，
(1)求 a 的值； (2)估计家庭消费总支出的平均值及第 80 百分位数.（结果保留一位小数）
18．已知直线 l ： kx y 2k 1 0 （ k R ），圆 C ： x 12 y 12 9 . (1)试判断直线 l 与圆 C 的位置关系，并加以证明； (2)若直线 l 与圆 C 相交于 A ， B 两点，求 AB 的最小值及此时直线 l 的方程.
.
-3-
15．已知 F1 、 F2 是双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
2023-2024学年陕西省高二上学期第一次月考数学质量检测模拟试题(A)(含解析)
2023-2024学年陕西省高二上册第一次月考数学模拟试题（A）一、单选题1．已知集合{}2Z 230A x x x =∈--<，{}2,1,0,1,2B =--，则A B ⋂等于（）A ．{}2,1--B ．{}1,2C ．{}2,1,0--D ．{}0,1,2【正确答案】D【分析】求出集合A ，利用交集运算可求得结果.【详解】{}{}{}2230130,1,2A x x x x x =∈--<=∈-<<=Z Z ，{}2,1,0,1,2B =--，{}0,1,2A B ∴⋂=.故选：D.2．经过直线20x y -=与60x y +-=的交点，且与直线210x y +-=垂直的直线方程为（）A ．280x y +-=B ．260x y --=C ．2100x y +-=D ．260x y -+=【正确答案】D【分析】根据题意，联立方程组交点为(2,4)P ，设所求直线方程为20x y m -+=，把点P 代入直线20x y m -+=，求得6m =，即可求解.【详解】由题意，联立方程组2060x y x y -=⎧⎨+-=⎩，解得2,4x y ==，即交点为(2,4)P ，设与直线210x y +-=垂直的直线方程为20x y m -+=，把点(2,4)P 代入20x y m -+=，即280-+=m ，解得6m =，即所求直线方程为260x y -+=.故选：D.3．函数3()xx f x e=的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】C【分析】根据题意，由33()()()xxx x f x f x ee---==-=-，可知()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除A ，B ；令()0f x =，可知0x =，可知图象与x 轴只有一个交点，据此分析可得答案.【详解】解：由33()()()xxx x f x f x ee---==-=-，可知()f x 为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A ，B ；令()0f x =，可知0x =，可知图象与x 轴只有一个交点，排除D ，故选：C.本题考查函数的图象分析，注意分析选项中函数图象的异同，利用排除法分析.属于中档题.4．已知0a >，且1a ≠，函数log ,0()21,0a x x a x f x x +>⎧=⎨-≤⎩，若()3f a =，则()f a -=（）A ．34-B ．78-C ．3D ．7【正确答案】A【分析】根据分段函数的解析式和()3f a =求出a 的值，然后代入即可求解.【详解】因为()3f a =，又0a >，所以()log 13a f a a a a =+=+=，解得：2a =，所以2log 2,0()21,0x x x f x x +>⎧=⎨-≤⎩，则()23(2)214f a f --=-=-=-，故选.A5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是A ．8B ．62C ．10D ．82【正确答案】C【详解】在正方体中画出该三棱锥，如图所示：易知：各个面均是直角三角形，且4AB =，14AA =，3BC =，∴6ABC S = ，18A AB S = ，110A AC S = ，162A BC S = 所以四个面中面积最大的是10，故选C ．点睛：1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．6．已知直线1:210l mx y m -+-=过定点P ，若点P 在直线2:20l Ax By ++=上，且0AB >，则12A B+的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】D【分析】先求出定点(2,1)P --，然后利用点P 在直线2l 上得到22A B +=，再利用基本不等式即可求解.【详解】因为直线1:210l mx y m -+-=可化为：(2)(1)0m x y +-+=，令2010x y +=⎧⎨+=⎩，解得：21x y =-⎧⎨=-⎩，所以定点(2,1)P --，又因为点P 在直线2:20l Ax By ++=上，所以22A B +=，则12112141(2)((4)(44222B A A B A B A B A B +=++=⨯++≥⨯+=，当且仅当4B AA B =，即1,12A B ==时取等号，所以12A B+的最小值为4，故选.D7．若直线l 将圆()()22129x y -++=平分，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为（）A ．10x y ++=或20x y +=B ．10x y -+=或20x y +=C ．10x y -+=或20x y -=D ．10x y --=或20x y -=【正确答案】A【分析】分两种情况讨论：（1）直线l 过原点；（2）直线l 在两坐标轴上的截距非零，且相等.分别求出两种情况下直线l 的方程，即可得解.【详解】由题意可知，直线l 过圆心()1,2-，分以下两种情况讨论：（1）直线l 过原点，则该直线的斜率为20210k --==--，此时直线l 的方程为2y x =-，即20x y +=；（2）直线l 在两坐标轴上的截距非零且相等，可设直线l 的方程为()0x y a a +=≠，则有121a =-=-，此时，直线l 的方程为10x y ++=.综上所述，直线l 的方程为10x y ++=或20x y +=.故选：A.8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若22coscos 212A BC +-=，4sin 3sin B A =，1a b -=，则c 的值为（）A B ．7C ．37D ．6【正确答案】A【分析】利用余弦的降幂公式，化简已知条件求得C ；再利用正弦定理将角化边结合已知求得,a b ，再用余弦定理即可求得c .【详解】由22coscos 212A BC +-=得221cos()(2cos 1)22cos cos 1A B C C C ++--=--=，即22cos cos 10C C +-=，解得1cos 2C =或cos 1C =-(舍去)．由4sin 3sin B A =及正弦定理，得43b a =，结合1a b -=，得4,3a b ==.由余弦定理，知2222212cos 43243132c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，所以c =.故选：A9．函数f (x )=A cos(ωx +φ)(ω>0)的部分图象如图所示，给出以下结论：①f (x )的最小正周期为2；②f (x )图象的一条对称轴为直线12x =-；③f (x )在132,244k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z 上是减函数；④f (x )的最大值为A .则正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】B【分析】由题图可知，函数的最小正周期为2，函数过点1(,0)4和5(,0)4，可得对称轴x 3+4=k (k ∈Z )和单调减区间2k -14≤x ≤2k +34(k ∈Z )时，即可得出结果.【详解】由题图可知，函数f (x )的最小正周期T =2×51()44-=2，故①正确；因为函数f (x )的图象过点1(,0)4和5(,0)4，所以函数f (x )图象的对称轴为直线x =1513(+24424⋅=kT +k (k ∈Z )，故直线x =12-不是函数f (x )图象的对称轴，故②不正确；由图可知，当144-T +kT ≤x ≤+1+44T +kT (k ∈Z )，即2k -14≤x ≤2k +34(k ∈Z )时，f (x )是减函数，故③正确；若A >0，则最大值是A ，若A <0，则最大值是-A ，故④不正确.综上知正确结论的个数为2.故选：B本题考查了三角函数图形的性质，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于一般题目.10．已知点P 在直线21y x =+上，过点P 作圆22:(2)1C x y -+=的切线，切点为A ，则||PA 的最小值为（）AB ．2C D ．3【正确答案】B求出PC 的最小值，由切线长公式可结论．【详解】圆半径为1r =，PA =，因为P 在直线21y x =+即210x y -+=上，圆心(2,0)C 到P 点的最小值为d =所以min 2PA =．故选：B ．本题考查切线长公式，属于基础题．11．已知点(7,3)P ，Q 为圆22:210250M x y x y +--+=上一点，点S 在x 轴上，则||||SP SQ +的最小值为（）A ．7B ．8C ．9D ．10【正确答案】C【分析】本题目是数形结合的题目，根据两点之间线段最短的原则，可以将SP 转换为'SP ，连接'MP ，找到S 点的位置，从而求出线段和的最小值【详解】将圆方程化为标准方程为：()()22151x y -+-=，如下图所示：作点(7,3)P 关于x 轴的对称点'(7,3)P -，连接'MP 与圆相交于点Q ，与x 轴相交于点S ，此时，||||SP SQ +的值最小，且'''||||||||SP SQ SP SQ P Q P M r +=+==-，由圆的标准方程得：M 点坐标为()1,5，半径1r =，所以'366410P M +=，'9P M r -=，所以||||SP SQ +最小值为9故选：C12．在ABC 中，90A ∠=︒，34AB AC ==，，动点P 在ABC 的内切圆上若BP AB AC λμ=+，则λμ+的最大值为（）A ．2B ．1C ．0D ．12【正确答案】C由题意，以A 为原点，以AB 、AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系，设(),P x y ，求出内切圆方程，再根据直线与圆的位置关系即可求出最值．【详解】解：由题意，以A 为原点，以AB 、AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系，则()0,0A ，()3,0B ，()0,4C ，∵,3,42A AB AC π===，∴5BC =，∵ABC 的面积为13462S =⨯⨯=，∴ABC 的内切圆半径()6113452r ==++，∴内切圆圆心()1,1M ，∵点P 在ABC 的内切圆上，设(),P x y ，∴()()22111x y -+-=，由BP AB AC λμ=+得()()3,3,4x y λμ-=，即334x y λμ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴令334x yz λμ-=+=+，即4443y x z =-++，即4312120x y z +--=，由几何知识，当直线4443y x z =-++与圆M 相切时334x yz -=+有最值，此时4312121z +--=，解得0z =，或65z =-，∴λμ+的最大值为0，故选：C ．关键点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系，通过题意建立以A 为原点，以AB 、AC 所在直线分别为x 轴、y 轴的直角坐标系求出内切圆的方程，利用点到直线的距离公式求解是解决本题的关键.二、填空题13．经过点(,3),(1,)P m Q m -的直线的倾斜角为135︒，则实数m 的值为___________．【正确答案】1【分析】由直线的倾斜角和斜率公式可得结果.【详解】由题意可知：3tan1351m m-︒=+，解得1m =，故1．14．已知P 为圆22(1)1x y ++=上任意一点，A ，B 为直线3470x y +-=上的两个动点，且||2AB =，则PAB 面积的最大值是___________．【正确答案】3【分析】直接利用直线和圆的位置关系，利用点到直线的距离公式和三角形的面积公式的应用求出结果．【详解】解：根据圆的方程，圆心(1,0)-到直线3470x y +-=的距离2d ，所以圆上的点P 到直线的最大距离213max d =+=，此时最大面积13232PAB S =⨯⨯=△．故3．15．过点(2,4)P 引圆22(1)(1)1x y -+-=的切线，则切线方程为__________．【正确答案】2x =或4340x y -+=【详解】圆心坐标(1,1)，半径1r =，∵直线与圆相切，∴圆心到直线距离1d r ==，若直线无斜率，其方程为2x =符合题意，若直线存在斜率，设其方程为4(2)y k x -=-，即420kx y k -+-=，1d =，解得43k =，∴切线方程为2x =或4340x y -+=，故答案为2x =或4340x y -+=.点睛：本题主要考查了直线与圆的位置关系之相切，属于基础题；求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线.16．方程()21sin 10x x π-+=在区间[]2,4-内的所有解之和等于______.【正确答案】8【详解】因为2sin y x π=与11y x =--的图像都关于点()1,0成中心对称，共8个交点，所以，其和为8.三、解答题17．已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，11a =，2a 是1a 与6a 的等比中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S .【正确答案】（1）32n a n =-；（2）31n nS n =+.（1）由题得()()21115a d a a d +=⋅+，化简即得3d =和数列{}n a 的通项；（2）利用裂项相消法求数列{}n b 的前n 项和n S .【详解】（1）由已知得2216a a a =⋅，∴()()21115a d a a d +=⋅+，化简得23d d =，∵0d ≠，∴3d =，∴32n a n =-.（2）由（1）知()()1111323133231n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，∴11111111113447323133131n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.本题主要考查等差数列的通项的求法，考查等比中项的应用，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．某景区对2018年1-5月的游客量x 与利润y 的统计数据如表：月份12345游客量（万人）46578利润（万元）1934264145(1)根据所给统计数据，求y 关于x 的线性回归方程y bx a =+$$$；(2)据估计6月份将有10万游客光临，请你判断景区上半年的总利润能否突破220万元？（参考数据：511057i i i x y ==∑，521190i i x ==∑）()()()1122211nni ii ii i n niii i x x yyx y nx ybx x xnx====---==--∑∑∑∑ ，a y bx =-$$．【正确答案】(1)ˆ 6.77.2yx =-；(2)能，理由见解析.【分析】（1）由已知结合公式即可求得y 关于x 的线性回归方程;（2）在（1）中的线性回归方程中，取10x =，求得y 值，进一步求得景区上半年的估计总利润得答案.【详解】（1）6,33x y == ，515221510575633ˆ 6.71905365i i i i i x y x yb xx ==-⋅-⨯⨯∴===-⨯-∑∑，ˆˆ33 6.767.2ay bx ∴=-=-⨯=-，ˆ 6.77.2yx ∴=-（2）当10x =时，ˆ 6.7107.259.8y=⨯-=，上半年景区总利润为：193426414559.8224.8220+++++=>万元，据估计景区上半年的总利润能突破220万元.19．已知函数()22cos 212sin 3f x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭．(1)求()f x 的单调增区间；(2)设a ，b ，c 为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，已知()12f A =，a =8+=b c ，求△ABC 的面积．【正确答案】(1)πππ,π()36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z(2)【分析】(1)将函数利用两角差的余弦公式、二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式化简，然后利用正弦函数的单调增区间即可求解；(2)先根据条件求出角A ，再利用余弦定理和题中条件得到8bc =，然后利用三角形面积公式即可求解.【详解】（1）因为函数()22π1cos(2)12sin cos 2sin 2cos 2322f x x x x x x =-+-=-++1πcos 2sin 2sin(2)226x x x =+=+，令πππ2π22π,262k x k k -≤+≤+∈Z ，解得：ππππ,36k x k k -≤≤+∈Z ，所以函数()f x 的单调增区间为πππ,π()36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）由（1）可知：()π1sin(262f A A =+=，因为(0,π)A ∈，所以ππ13π2(,)666A +∈，则π5π266A +=，解得：π3A =，又a =8+=b c ，由余弦定理可得：22222()2cos 22b c a b c bc a A bc bc+-+--==，也即16424022bc bc --=，解得：8bc =，所以11sin 8222ABC S bc A ==⨯⨯=△20．已知圆C 经过两点()1,3P --，()3,1Q -，且圆心C 在直线240x y +-=上，直线l 的方程为()12530k x y k -++-=．(1)求圆C 方程；(2)证明：直线l 与圆C 一定有交点；(3)求直线l 被圆C 截得的弦长的取值范围．【正确答案】(1)22(2)(1)25x y -+-=；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）先求得PQ 的中垂线方程，由24011(2)2x y y x +-=⎧⎪⎨+=+⎪⎩求得圆心即可；（2）将直线l 的方程化为(3)(25)0k x x y ----=，令30250x x y -=⎧⎨--=⎩得到定点(3,1)M -，转化为点与圆的位置关系求解；（3）设圆心C 到直线l 的距离为d，由弦长L ==d 的范围求解.【详解】（1）因为(1,3),(3,1)P Q ---，所以PQ 的中垂线为11(2)2y x +=+上，由24011(2)2x y y x +-=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，所以圆心为()2,1C ，又半径||5r PC ==，∴圆C 的方程为22(2)(1)25x y -+-=．（2）直线l 的方程可化为(3)(25)0k x x y ----=，令30250x x y -=⎧⎨--=⎩可得3x =，1y =-，∴直线l 过定点(3,1)M -，由22(32)(11)25-+--<可知M 在圆内，∴直线l 与圆C 一定相交．（3）设圆心C 到直线l 的距离为d ，弦长为L ，则L ==，∵0||d CM ≤≤，即0d ≤≤∴10L ≤≤，即弦长的取值范围是．21．n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知0n a >，2243n n n a a S +=+．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设12n n n a b -=，求数列{}n b 的前n 项和．【正确答案】(1)n a =21n +；(2)125102n n -+-.【分析】（1）先用数列第n 项与前n 项和的关系求出数列{}n a 的递推公式，再由等差数列的定义写出数列{}n a 的通项公式；（2）根据（1）数列{}n b 的通项公式，再由错位相减法求其前n 项和．【详解】（1）当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3，当2n ≥时，221122n n n n a a a a --+--=14343n n S S -+--=4na 即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以12n n a a --=，所以数列{n a }是首项为3，公差为2的等差数列，所以n a =21n +；（2）由（1）知，n b =1212n n -+，所以数列{n b }前n 项和为0213572+12222n n n T -=++++ ,23113572121222222n n nn n T --+∴=+++++ ,两式相减得，23112222213222222n n nn T -+=+++++- 即231111112132()222222n n n n T -+=+++++- 112122321212n n n -+=+⨯--2552nn +=-，125102n n n T -+∴=-.22．已知圆1C 与圆()()222:124C x y +++=关于直线1y x =+对称.（1）求圆1C 的方程及圆1C 与圆2C 的公共弦长；（2）设过点()0,3A 的直线l 与圆1C 交于M 、N 两点，O 为坐标原点，求OM ON ⋅ 的最小值及此时直线l 的方程.【正确答案】（1）圆1C 的方程为()2234x y ++=，公共弦长为（2）OM ON ⋅的最小值为14-，此时直线l的方程为)13y x =+.（1）设点()1,C a b ，由题意可知，两圆圆心关于直线1y x =+对称，可得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数的值，可求得圆1C 的方程，求得两圆的公共弦方程，求出公共弦截圆1C 所得弦长，即可得解；（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设点()11,M x y 、()22,N x y ，设直线l 的方程为3y kx =+，将直线l 的方程与圆1C 的方程联立，列出韦达定理，利用平面向量数量积的坐标运算可得出OM ON⋅ 关于k 的关系式，进而可求得OM ON ⋅ 的最小值以及对应的k 值，即可得出直线l 的方程.【详解】（1）设()1,C a b ，则由题意得2111121022b a a b +⎧⋅=-⎪⎪+⎨--⎪-+=⎪⎩，解得30a b =-⎧⎨=⎩，∴圆1C 的方程为()2234x y ++=.将圆1C 与圆2C 的方程相减得两圆的公共弦所在直线方程为10x y -+=，圆心()13,0C -=，两圆的公共弦长为=（2）若直线l 与y 轴重合，此时直线l 与圆1C 相离，不合乎题意；所以，直线l 的斜率存在，设点()11,M x y 、()22,N x y ，设直线l 的方程为3y kx =+，联立()22334y kx x y =+⎧⎪⎨++=⎪⎩，整理得()()22161140k x k x ++++=，()()()222361561451850k k k k ∆=+-+=-++>，解得9955k -+<<，由韦达定理得()122611k x x k ++=-+，122141x x k =+，所以，()()()2212121212218139231k k OM ON x x y y k x x k x x k +⋅=+=++++=-+ ()218151k k -=-+，其中9955k -+<<.要求OM ON ⋅ 最小值，只需在10k ->的情形下计算.令1k t -=，则218185551492222t OM ON t t t t ⋅=-=-≥--++++当且仅当t =OM ON ⋅取得最小值14-此时1k =，则直线l的方程为)13y x =+.本题考查圆的方程的求解，同时也考查了利用韦达定理求平面向量数量积的最值，考查计算能力，属于中等题.。
陕西省咸阳市2020_2021学年高二数学下学期期末教学质量检测试题文含解析
某某省某某市2020-2021学年高二数学下学期期末教学质量检测试题文（含解析）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知复数z＝2a+1+（a﹣2）i（其中i是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a等于（）A．﹣3B．﹣2C．2D．32．复数z＝（3+4i）（1﹣i）（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．命题“∀x∈R，e x﹣x+5≥0”的否定是（）A．∀x∈R，lnx+x+5＜0B．∃x∈R，e x﹣x+5≥0C．∀x∈R，e x﹣x+5＞0D．∃x∈R，e x﹣x+5＜04．已知f（x）＝e x cos x，且f（x）的导函数为f'（x），则f'（0）＝（）A．﹣1B．0C．1D．e5．已知点A（﹣7，0），B（7，0），动点P满足|PA|+|PB|＝16，则点P的轨迹为（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆6．在△ABC中，“sin A＝”是“A＝”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件7．如图，某系统使用A，B，C三种不同的元件连接而成，每个元件是否正常工作互不影响．当元件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时系统即可正常工作．若元件A，B，C正常工作的概率分别为0.7，0.9，0.8，则系统正常工作的概率为（）A．0.196B．8．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．B．C．2D．9．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且y＝f'（x）的图像如图所示，则下列结论一定正确的是（）A．f（a）＝0B．f（x）没有极大值C．x＝b时，f（x）有极大值D．x＝c时，f（x）有极小值10．已知命题p：∃x∈R，x﹣3＞lnx，命题q：∀x∈R，x2＞0，则（）A．p∨q是假命题B．p∧q是真命题C．p∧（￢q）是真命题D．p∨（￢q）是假命题11．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F2作渐近线的垂线，垂足为P，O为坐标原点，且，则双曲线的离心率为（）A．B．3C．D．12．若对于任意的0＜x1＜x2＜a，都有，则a的最大值为（）A．2e B．e C．1D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．10X奖券中有4X“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回地抽取一X奖券，甲先抽，乙后抽，则在甲中奖的条件下，乙没有中奖的概率为．14．已知复数z＝﹣4+2i，则|z|＝．15．若复数，则共轭复数＝．16．椭圆的焦点为F1，F2，上顶点为A，若，则m＝．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）＝x3﹣3x+1．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间．18．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线方程为x＝﹣2．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线l：y＝x﹣2与抛物线C交于A，B两点，求|AB|．19．青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题．对于这一问题，总书记连续作出重要指示，要求“全社会都要行动起来，共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来”．某机构为了解使用电子产品对青少年视力的影响，随机抽取了200名青少年，调查他们每天使用电子产品的时间（单位：分钟），根据调查数据按（0，30]，（30，60]，（60，90]，（90，120]，（120，150]，（150，180]分成6组，得到如下频数分布表：时间/分钟（0，30] （30，60] （60，90] （90，120] （120，150] （150，180] 频数12 38 72 46 22 10 记每天使用电子产品的时间超过60分钟为长时间使用电子产品．（Ⅰ）完成下面的列联表；非长时间使用电子产长时间使用电子产品合计品患近视人数100未患近视人数80 合计200 （Ⅱ）判断是否有99.9%的把握认为患近视与每天长时间使用电子产品有关．附：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）k020．已知椭圆（a＞b＞0）的中心是坐标原点O，左右焦点分别为F1、F2，设P是椭圆C上一点，满足PF2⊥x轴，，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆左焦点且倾斜角为45°的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB的面积．21．中国是世界上沙漠化最严重的国家之一，沙漠化造成生态系统失衡，可耕地面积不断缩小，对中国工农业生产和人民生活带来严重影响．随着综合国力逐步增强，西北某地区大力兴建防风林带，引水拉沙，引洪淤地，开展了改造沙漠的巨大工程，该地区于2017年投入沙漠治理经费2亿元，从2018年到2020年连续3年每年增加沙漠治理经费1亿元，近4年投入的沙漠治理经费x（亿元）和沙漠治理面积y（万亩）的相关数据如表所示：年份2017 2018 2019 2020x 2 3 4 5y26 39 49 54 （Ⅰ）通过绘制散点图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；（结果保留3位小数）（Ⅱ）建立y关于x的线性回归方程，并预测2025年该地区沙漠治理面积是否可突破100万亩．参考公式：相关系数，线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．参考数据：，，，，．22．已知函数f（x）＝e x﹣（k+1）lnx+2sinα．（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，某某数k的取值X围；（Ⅱ）当k＝0时，证明：函数f（x）无零点．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知复数z＝2a+1+（a﹣2）i（其中i是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a等于（）A．﹣3B．﹣2C．2D．3解：因为复数z＝2a+1+（a﹣2）i（其中i是虚数单位）的实部与虚部相等，所以2a+1＝a﹣2，则a＝﹣3．故选：A．2．复数z＝（3+4i）（1﹣i）（其中i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵z＝（3+4i）（1﹣i）＝3﹣3i+4i﹣4i2＝7+i，∴z在复平面内对应点的坐标为（7，1），位于第一象限．故选：A．3．命题“∀x∈R，e x﹣x+5≥0”的否定是（）A．∀x∈R，lnx+x+5＜0B．∃x∈R，e x﹣x+5≥0C．∀x∈R，e x﹣x+5＞0D．∃x∈R，e x﹣x+5＜0解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x∈R，e x﹣x+5＜0，故选：D．4．已知f（x）＝e x cos x，且f（x）的导函数为f'（x），则f'（0）＝（）A．﹣1B．0C．1D．e解：因为f（x）＝e x cos x，所以f'（x）＝e x cos x﹣e x sin x，则f'（0）＝e0cos0﹣e0sin0＝1．故选：C．5．已知点A（﹣7，0），B（7，0），动点P满足|PA|+|PB|＝16，则点P的轨迹为（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆解：由题可知，动点P是以A（﹣7，0），B（7，0），为焦点的椭圆，∵动点P满足|PA|+|PB|＝16，∴2a＝16，即a＝8，c＝7，∴b＝＝，∴动点P的轨迹C的方程为：＝1．故选：A．6．在△ABC中，“sin A＝”是“A＝”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件解：在△ABC中，由sin A＝⇔A＝，或．∴“sin A＝”是“A＝”的必要非充分条件，故选：B．7．如图，某系统使用A，B，C三种不同的元件连接而成，每个元件是否正常工作互不影响．当元件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时系统即可正常工作．若元件A，B，C正常工作的概率分别为0.7，0.9，0.8，则系统正常工作的概率为（）A．0.196B．解：某系统使用A，B，C三种不同的元件连接而成，每个元件是否正常工作互不影响．当元件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时系统即可正常工作．元件A，B，C正常工作的概率分别为0.7，0.9，0.8，则系统正常工作的概率为：P×[1﹣（1﹣0.9）（1﹣0.8）]＝0.686．故选：C．8．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．B．C．2D．解：模拟程序的运行，可得：k＝0，S＝1，满足条件i＜4，执行循环体，k＝1，S＝2，满足条件i＜4，执行循环体，k＝2，S＝，满足条件i＜4，执行循环体，k＝3，S＝，满足条件i＜4，执行循环体，k＝4，S＝，此时，不满足条件i＜4，退出循环，输出S的值为．故选：D．9．已知函数f（x）的导函数为f'（x），且y＝f'（x）的图像如图所示，则下列结论一定正确的是（）A．f（a）＝0B．f（x）没有极大值C．x＝b时，f（x）有极大值D．x＝c时，f（x）有极小值解：由图象可知，设y＝f′（x）的图象在原点与（c，0）之间的交点为（d，0），由图象可知f′（a）＝f′（d）＝f′（c）＝0，当x＜a时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当a＜x＜d时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当d＜x＜c时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当c＜x时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以x＝a是f（x）的极小值点，x＝d是函数f（x）的极大值点，x＝c是f（x）的极小值点，x＝b不是f（x）的极值点，f（a）＝0不一定成立，故选：D．10．已知命题p：∃x∈R，x﹣3＞lnx，命题q：∀x∈R，x2＞0，则（）A．p∨q是假命题B．p∧q是真命题C．p∧（￢q）是真命题D．p∨（￢q）是假命题解：命题p：根据函数y＝x﹣3和函数y＝lnx的图象，如图所示：即存在实数t﹣3＞lnt成立，故命题p为真命题，命题q：当x＝0时，∀x∈R，x2＞0故命题q不成立，故q为假命题，故p∨q为真命题，p∧q为假命题，p∧（￢q）为真命题，p∨（￢q）为真命题，故选：C．11．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，过F2作渐近线的垂线，垂足为P，O为坐标原点，且，则双曲线的离心率为（）A．B．3C．D．解：如图，不妨取渐近线为y＝，焦点F2到渐近线y＝的距离为b，则tan∠PF2O＝＝，∴，则e＝＝＝．故选：A．12．若对于任意的0＜x1＜x2＜a，都有，则a的最大值为（）A．2e B．e C．1D．解：∵，∴＜，据此可得函数f（x）＝在定义域（0，a）上单调递增，其导函数：f′（x）＝＝﹣≥0在（0，a）上恒成立，据此可得：0＜x≤1，即实数a的最大值为1．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．10X奖券中有4X“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回地抽取一X奖券，甲先抽，乙后抽，则在甲中奖的条件下，乙没有中奖的概率为．解：∵10X奖券中有4X“中奖”奖券，甲先抽，并且中奖，∴此时还有9X奖券，其中3X为“中奖”奖券，∴在甲中奖的条件下，乙没有中奖的概率P＝．故答案为：．14．已知复数z＝﹣4+2i，则|z|＝．解：∵复数z＝﹣4+2i，∴．故答案为：．15．若复数，则共轭复数＝3+i．解：∵＝，∴．故答案为：3+i．16．椭圆的焦点为F1，F2，上顶点为A，若，则m＝．解：由题意可得c＝，b＝m，又∵∠F1AF2＝，可得∠F1AO＝，可得tan∠F1AO＝＝，解得m＝．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）＝x3﹣3x+1．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间．解：（1）f（x）＝x3﹣3x+1，所以f（0）＝1，又f'（x）＝3x2﹣3，所以k＝f'（0）＝﹣3，故切线方3x+y﹣1＝0．（2）f'（x）＝3x2﹣3＞0，则x＞1或x＜﹣1；f'（x）＝3x2﹣3＜0，则﹣1＜x＜1．故函数在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）上单调递增．在（﹣1，1）上单调递减．18．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线方程为x＝﹣2．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线l：y＝x﹣2与抛物线C交于A，B两点，求|AB|．解：（Ⅰ）∵抛物线C的准线方程为x＝﹣2，∴，得p＝4，故抛物线C的方程为y2＝8x．（Ⅱ）显然直线l：y＝x﹣2过焦点F（2，0），联立，消去y可得x2﹣12x+4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝12，故|AB|＝x1+x2+p＝12+4＝16．19．青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题．对于这一问题，总书记连续作出重要指示，要求“全社会都要行动起来，共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来”．某机构为了解使用电子产品对青少年视力的影响，随机抽取了200名青少年，调查他们每天使用电子产品的时间（单位：分钟），根据调查数据按（0，30]，（30，60]，（60，90]，（90，120]，（120，150]，（150，180]分成6组，得到如下频数分布表：时间/分钟（0，30] （30，60] （60，90] （90，120] （120，150] （150，180] 频数12 38 72 46 22 10 记每天使用电子产品的时间超过60分钟为长时间使用电子产品．（Ⅰ）完成下面的列联表；长时间使用电子产品合计非长时间使用电子产品患近视人数100未患近视人数80 合计200 （Ⅱ）判断是否有99.9%的把握认为患近视与每天长时间使用电子产品有关．附：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）k0解：（Ⅰ）由表中数据完成的列联表如下：长时间使用电子产品合计非长时间使用电子产品患近视人数20 100 120未患近视人数30 50 80 合计50 150 200 （Ⅱ）由列联表中的数据可得，，所以有99.9%的把握认为患近视与每天长时间使用电子产品有关．20．已知椭圆（a ＞b＞0）的中心是坐标原点O，左右焦点分别为F1、F2，设P是椭圆C上一点，满足PF2⊥x 轴，，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆左焦点且倾斜角为45°的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB的面积．解：（Ⅰ）由题意P是椭圆C上一点，满足PF2⊥x 轴，，离心率为．知，，所以．（Ⅱ）过椭圆左焦点（﹣，0）且倾斜角为45°的直线l，可知，联立直线l和椭圆C，有，有，设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2＝，x1x2＝，有，所以．21．中国是世界上沙漠化最严重的国家之一，沙漠化造成生态系统失衡，可耕地面积不断缩小，对中国工农业生产和人民生活带来严重影响．随着综合国力逐步增强，西北某地区大力兴建防风林带，引水拉沙，引洪淤地，开展了改造沙漠的巨大工程，该地区于2017年投入沙漠治理经费2亿元，从2018年到2020年连续3年每年增加沙漠治理经费1亿元，近4年投入的沙漠治理经费x（亿元）和沙漠治理面积y（万亩）的相关数据如表所示：年份2017 2018 2019 2020x 2 3 4 5y26 39 49 54 （Ⅰ）通过绘制散点图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；（结果保留3位小数）（Ⅱ）建立y关于x的线性回归方程，并预测2025年该地区沙漠治理面积是否可突破100万亩．参考公式：相关系数，线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．参考数据：，，，，．解：（Ⅰ）由题意可得，，，，所以，由于y与x的相关系数近似为0.998，说明y与x的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系；（Ⅱ）因为，，所以，又，，则，故y关于x的线性回归方程为，当x＝10时，，所以2025年该地区沙漠治理面积可突破100万亩．22．已知函数f（x）＝e x﹣（k+1）lnx+2sinα．（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，某某数k的取值X围；（Ⅱ）当k＝0时，证明：函数f（x）无零点．解：（Ⅰ），x＞0，∵函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴在（0，+∞）上恒成立，即k+1≤xe x在（0，+∞）上恒成立，∵函数y＝xe x在（0，+∞）上单调递增，且y∈（0，+∞），∴k+1≤0，即k≤﹣1，故实数k的取值X围是（﹣∞，﹣1]．（Ⅱ）证明：当k＝0时，，x＞0，易知f'（x）为增函数，且，f'（1）＝e﹣1＞0，∴存在，使得f'（m）＝0，得，故m＝﹣lnm，当x∈（0，m）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（m，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，∴，∴函数f（x）无零点．。
陕西省咸阳市2011-2012学年高二数学上学期期末质量检测试题 文 新人教A版
陕西省咸阳市2011~2012学年度第一学期期末质量检测高二数学（文科）试题第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 不等式2210x x -+≤的解集是（ ）A ．{}1 B.∅ C.(,)-∞+∞ D. (,1)(1,)-∞+∞2. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是（ ） A ．28y x =- B. 24y x =- C ．28y x = D. 24y x =3. 双曲线221169x y -=的焦点坐标是（ ）A ． (、 B.(0,、 C ．(4,0)-、(4,0) D.(5,0)-、(5,0)4. 在数列1, 1，2，3，5, 8，x ，21, 34, 55中，x 等于（ ） A ．11 B. 12 C. 13 D. 146. 不等式10x x->成立的充分不必要的条件是（ ） A ．1x > B. 1x >- C. 1x <-或01x << D. 10x -<<或1x > 7. (21)(4)0x y x y ++-+≤表示的平面区域为（ ）8.设()f x 在定义域内可导，()y f x =图像如右图，则导函数()y f x '=的图像可能为（ ）9．在正项等比数列{}n a 中，若569a a ⋅=，则31323331log log log log a a a a ++++等于（ ）A ． 8 B. 10 C.12 D.2log 5a +10.过椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为（ ） A．B. C. 12 D. 13第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上） 11. 命题“存在20,10x R x ∈+<”的否命题是 . 12．函数sin cos y x x =+在2x π=处的切线的倾斜角是 。
陕西省咸阳市2014-2015学年高二上学期期末教学质量检测数学(理)试题 Word版含答案
咸阳市2014-2015学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（理科）试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知数列的前几项为1，212，213，⋅⋅⋅，它的第n 项（n +∈N ）是（ ）A ．()211n - B ．21n C ．()211n + D ．()212n + 2、下列不等式可以推出a b >的是（ ）A ．ac bc >B ．a bc c> C ．a c b d +>+ D ．a c b c ->-3、如果命题“p 且q ”是假命题，那么（ ）A ．命题p 一定是假命题B ．命题q 一定是假命题C ．命题p 和q 中至少有一个是假命题D ．命题p 和q 都是假命题 4、命题:p 存在R m ∈，方程210x mx ++=有实根，则p ⌝是（ ） A ．存在R m ∈，方程210x mx ++=无实根 B ．任意R m ∈，方程210x mx ++=无实根 C ．不存在实数m ，使方程210x mx ++=无实根 D ．至多有一个实数m ，使方程210x mx ++=有实根5、在C ∆AB 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则角B 等于（ ）A ．30B ．60C ．90D ．1206、在直三棱柱111C C AB -A B 中，若C a A =，C b B =，1CC c =，则1A B 等于（ ）A ．a b c +-B ．a b c -+C ．a b c -++D ．a b c -+-7、已知1F 、2F 是平面内的两个定点，且12FF 8=，在平面内动点M 满足12F F 6M -M =，则M 点的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．双曲线的一支D ．两条射线 8、不等式1021x x -≤+的解集为（ ） A ．1,12⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ D ．[)1,1,2⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦9、已知a 、b 为正实数，则22a b >是22log log a b >的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 10、已知C ∆AB 的三边a ，b ，c 成等比数列，则角B 的范围是（ ）A ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．0,3π⎛⎤⎥⎝⎦二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11、在C ∆AB 中，若60∠A =，45∠B =，C B =C A = ．12、已知双曲线22215x y a -=的右焦点为()3,0，则该双曲线的离心率为 ． 13、关于空间向量的命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量； ②长度相等，方向相同的向量是相等向量； ③平行且模相等的两个向量是相等向量； ④若a b ≠，则a b ≠．其中所有真命题的序号有 ．14、设x ，y 为正数，则()14x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最小值为 ．15、不等式220ax bx ++>的解集为11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭，则a b +等于 ．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16、（本小题满分12分）如图，在四棱锥CD P -AB 中，底面CD AB 是矩形，PA ⊥平面CD AB ，2AB =AP =，D 4A =，E ，F 依次是PB ，C P 的中点．()1求证：D A ⊥平面PAB ；()2建立适当的空间直角坐标系，求直线C E 与平面D PA 所成角的正弦值．17、（本小题满分12分）若实数x 、y 满足约束条件1020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩．()1作出不等式组所表示的平面区域，并求目标函数2z x y =-的最大值； ()2求目标函数22y z x +=+的最小值．18、（本小题满分12分）已知椭圆的对称轴为坐标轴且焦点在x 轴上，离心率e =短轴长为4．()1求椭圆的方程；()2过椭圆的右焦点作一条斜率为1的直线与椭圆交于A ，B 两点，求弦AB 的长．19、（本小题满分12分）在锐角C ∆AB 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知()222tan b c a +-A =．()1求角A ；()2若2a =，求C ∆AB 面积S 的最大值．20、（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足13a =，133n n n a a +-=（n +∈N ），数列{}n b 满足3nn n a b =．()1证明：数列{}n b 是等差数列；()2求数列{}n a 的前n 项和n S ．21、（本小题满分14分）已知抛物线C :22y px =，直线:l 2y x =-与抛物线C 交于点A ，B ，与x 轴交于点M ．()1若抛物线焦点坐标为1,04⎛⎫⎪⎝⎭，求抛物线C 的方程及弦AB 的中点坐标；()2直线2y x =与抛物线C 交于异于原点的点P ，MP 交抛物线C 于另一点Q ，求证：无论p 如何变化，点Q 始终在一条定直线上．咸阳市2014-2015学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题二、填空题11. 3213．②１４．9 15．14三、解答题。
陕西省咸阳市实验中学2016-2017学年高二下学期期末检测数学(理)试题 (word版含答案)
2016-2017学年度第二学期高二期末检测数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 若复数满足，则A. B. C. D.2. 设随机变量X～B(8，p)，且D(X)＝1.28，则概率p的值是A. 0.2B. 0.8C. 0.2或0.8D. 0.163. 下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变；②设有一个回归方程，变量x增加一个单位时，y平均增加3个单位；③线性回归方程必经过点（，）；④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99％的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说现有100人吸烟，那么其中有99人患肺病．其中错误的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 34. 用反证法证明：若整系数一元二次方程有有理数根，那么中至少有一个是偶数．下列假设正确的是A. 假设都是偶数；B. 假设都不是偶数C. 假设至多有一个偶数D. 假设至多有两个偶数5. 过点O（1，0）作函数f（x）＝e x的切线，则切线方程为（）A. y＝e2（x－1）B. y＝e（x－1）C. y＝e2（x－1）或y＝e（x－1）D. y＝x －16. 随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，P），且E（ξ）＝300，D（ξ）＝200，则等于（）A. 3200B. 2700C. 1350D. 12007. 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A为“取到的2个数之和为偶数”，事件B为“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)等于( )A. B. C. D.8. 如图，AB∩α＝B，直线AB与平面α所成的角为75°，点A是直线AB上一定点，动直线AP与平面α交于点P，且满足∠PAB＝45°，则点P在平面α内的轨迹是（）A. 双曲线的一支B. 抛物线的一部分C. 圆D. 椭圆9. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x ＋0.35，则下列结论错误的是( )A. 产品的生产能耗与产量呈正相关B. t的值是3.15C. 回归直线一定过(4.5,3.5)D. A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨10. 将5件不同的奖品全部奖给3个学生,每人至少一件奖品,则不同的获奖情况种数是A. 150B. 210C. 240D. 30011. 设矩形ABCD，以A、B为左右焦点，并且过C、D两点的椭圆和双曲线的离心率之积为（）A. B. 2 C. 1 D. 条件不够，不能确定12. 已知函数f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d的图象如图，则函数的单调递减区间是（）A. （－∞，－2）B. （－∞，1）C. （－2，4）D. （1，＋∞）第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题．把答案直接填在题中的相应横线上．）13. 直线是曲线的一条切线，则实数的值为____________14. 连续掷一枚质地均匀的骰子4次，设事件A＝“恰有2次正面朝上的点数为3的倍数”，则P（A）＝________．15. 已知,则的值等于________.16. 已知函数，如果存在，使得对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是__________.三、解答题（本大题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 在的展开式中，求：(1)第3项的二项式系数及系数；(2)含的项．18. 设正项数列的前项和为，且，(1)求，并猜想数列的通项公式(2)用数学归纳法证明你的猜想．19. 某科考试中，从甲、乙两个班级各抽取10名同学的成绩进行统计分析，两班成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格．（Ⅰ）设甲、乙两个班所抽取的10名同学成绩方差分别为、，比较、的大小（直接写出结果，不写过程）；（Ⅱ）从甲班10人任取2人，设这2人中及格的人数为X，求X的分布列和期望；（Ⅲ）从两班这20名同学中各抽取一人，在已知有人及格的条件下，求抽到乙班同学不及格的概率．20. 如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E是棱PD的中点，点F 是PC的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）若底面ABCD为正方形，，求二面角C—AF—D大小．.21. 已知函数（a＜0）．（Ⅰ）当a＝－3时，求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若函数f（x）有且仅有一个零点，求实数a的取值范围；参考答案：1【答案】C2【答案】C3【答案】D4【答案】B5【答案】A6【答案】B7【答案】B8【答案】D9【答案】B10【答案】A11【答案】C12【答案】A13【答案】14【答案】15【答案】16【答案】17.解：(1)第3项的二项式系数为C＝15，又T3＝C (2)42＝24·Cx，所以第3项的系数为24C＝240.(2)T k＋1＝C (2)6－k k＝(－1)k26－k Cx3－k，令3－k＝2，得k＝1.所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.18.解：(1)当时，，∴或(舍,).当时，，∴．当时，，∴．猜想：.(2)证明：①当时，显然成立．②假设时，成立，则当时，,即∴.由①、②可知，，.19.解：（Ⅰ）由茎叶图可得．（Ⅱ）由题可知X取值为0，1，2．，，，所以X的分布列为：所以．（Ⅲ）由茎叶图可得，甲班有4人及格，乙班有5人及格．设事件A＝“从两班这20名同学中各抽取一人，已知有人及格”，事件B＝“从两班这20名同学中各抽取一人，乙班同学不及格”．则．20解：（Ⅰ）连接BD，设AC∩BD＝O，连结OE，∵四边形ABCD为矩形，∴O是BD的中点，∵点E是棱PD的中点，∴PB∥EO，又PB平面AEC，EO平面AEC，∴PB∥平面AEC．（Ⅱ）由题可知AB，AD，AP两两垂直，则分别以、、的方向为坐标轴方向建立空间直角坐标系．明确平面DAF的一个法向量为，利用二面角公式求角.设由可得AP＝AB，于是可令AP＝AB＝AD＝2，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F（1，1，1）设平面CAF的一个法向量为．由于，所以，解得x＝－1，所以．因为y轴平面DAF，所以可设平面DAF的一个法向量为．由于，所以，解得z＝－1，所以．故．所以二面角C—AF—D的大小为60°．点睛：立体几何是高中数学的重要内容之一,也历届高考必考的题型之一.本题考查是空间的直线与平面的平行问题和空间两个平面所成角的范围的计算问题.解答时第一问充分借助已知条件与判定定理,探寻直线PB与EO平行,再推证PB∥平面AEC即可.关于第二问中的二面角的余弦值的问题,解答时巧妙运用建构空间直角坐标系,探求两个平面的法向量,然后运用空间向量的数量积公式求出二面角的余弦值21.解（Ⅰ）∵a＝－3，∴，故令f′（x）＜0，解得－3＜x＜－2或x＞0，即所求的单调递减区间为（－3，－2）和（0，＋∞）（Ⅱ）∵（x＞a）令f′（x）＝0，得x＝0或x＝a＋1（1）当a＋1＞0，即－1＜a＜0时，f（x）在（a，0）和（a＋1，＋∞）上为减函数，在（0，a＋1）上为增函数．由于f（0）＝aln（－a）＞0，当x→a时，f（x）→＋∞．当x→＋∞时，f（x）→－∞，于是可得函数f（x）图像的草图如图，此时函数f（x）有且仅有一个零点．即当－1＜a＜0对，f（x）有且仅有一个零点；（2）当a＝－1时，，∵，∴f（x）在（a，＋∞）单调递减，又当x→－1时，f（x）→＋∞．当x→＋∞时，f（x）→－∞，故函数f（x）有且仅有一个零点；（3）当a＋1＜0即a＜－1时，f（x）在（a，a＋1）和（0，＋∞）上为减函数，在（a＋1，0）上为增函数．又f（0）＝aln（－a）＜0，当x→a时，f（x）→＋∞，当x→＋∞时，f （x）→－∞，于是可得函数f（x）图像的草图如图，此时函数f（x）有且仅有一个零点；综上所述，所求的范围是a＜0．。
2011-2012学年高二数学上学期 命题范围单元测试(3) 新人教A版选修1-1
2011—2012学年度上学期单元测试高二数学试题（3）【人教版】命题范围： 选修1-1第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分）在下列各小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选项前的字母填入下表相应的空格内． 1．对抛物线24y x =，下列描述正确的是 （ ）A ．开口向上，焦点为(0,1)B ．开口向上，焦点为1(0,)16 C ．开口向右，焦点为(1,0) D ．开口向右，焦点为1(0,)162．已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么A ⌝是B ⌝的 （ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．抛物线y x 22=的准线方程是 （ ）A ．81=y B ．21=y C ．81-=y D ．21-=y 4．有下列4个命题：①“菱形的对角线相等”； ②“若1xy =，则x ，y 互为倒数”的逆命题；③“面积相等的三角形全等”的否命题；④“若a b >，则22a b >”的逆否命题。
其中是真命题的个数是 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．如果p 是q 的充分不必要条件，r 是q 的必要不充分条件；那么 （ ）A ．p r ⌝⌝⇒B ．p r ⌝⌝⇐C ．p r ⌝⌝⇔D ．p r ⇔6．若方程x 2+ky 2=2表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为 （ ） A ．（0，+∞） B ．（0，2） C ．（1，+∞） D ．（0，1） 7．已知命题p :c b a ,,成等比数列，命题q ：2b ac =，那么p 是q 的 （ ） A ．必要不充分条件 B ．充要条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件8．下列说法中正确的是 （ ） A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真 B ．“a b >”与“ a c b c +>+”不等价C ．“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真9．已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是（ ）A ．21y x =-B ．y x =C ．32y x =-D ．23y x =-+10．已知圆的方程422=+y x，若抛物线过定点(0,1),(0,1)A B -且以该圆的切线为准线，则抛物线焦点的轨迹方程是 （ ）A ．)0(14322≠=+y y xB ．)0(13422≠=+y y xC ．)0(14322≠=+x y xD ．)0(13422≠=+x y x11．函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是 （ ）A ．)2,(-∞B ．（0,3）C ．（1,4）D ．),2(+∞ 12．已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为 （ ）A ．1B ．2C ．-1D ．-2第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分）请将答案直接添在题中的横线上． 13．曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程为 _____ ___ ． 14．命题“2,x x R x >∈∃+”的否定是 ．15．以)0,1(-为中点的抛物线x y 82-=的弦所在直线方程为： ．16．若14122222=--+my m x 表示双曲线方程，则该双曲线的离心率的最大值是 ．三、解答题：（共6小题，共70分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2022-2023学年陕西省咸阳市高二下学期期中数学(理)试题【含答案】
2022-2023学年陕西省咸阳市高二下学期期中数学（理）试题一、单选题1．根据偶函数定义可推得“函数2()f x x =在R 上是偶函数”的推理过程是A ．归纳推理B ．类比推理C ．演绎推理D ．非以上答案【答案】C【详解】分析：解决本题的关键是了解演绎推理的含义，演绎推理又称三段论推理，是由两个前提和一个结论组成，大前提是一般原理（规律），即抽象得出一般性、统一性的成果；小前提是指个别对象，这是从一般到个别的推理，从这个推理，然后得出结论．解答：解：根据偶函数定义可推得“函数f （x ）=x 2是偶函数”的推理过程是：大前提：对于函数y=f （x ），若对定义域内的任意x ，都有f （-x ）=f （x ），则函数f （x ）是偶函数；小前提：函数f （x ）=x 2满足对定义域R 内的任意x ，都有f （-x ）=f （x ）；结论：函数f （x ）=x 2是偶函数．它是由两个前提和一个结论组成，是三段论式的推理，故根据偶函数定义可推得“函数f （x ）=x 2是偶函数”的推理过程是演绎推理．故选C ．2．若211()f x x x =-，则()f x '=（）A ．2312x x--B ．23112x x+C ．23112x x-D ．2312x x -+【答案】D【分析】根据基本初等函数的导数运算法则，准确计算，即可求解.【详解】由函数12211()f x x x x x--=-=-，根据导数的运算法则，可得232312()(2)f x x x x x --'=---⋅=-+.故选：D.3．已知复数1z i =-，则21z z =-A ．2B ．-2C ．2iD ．2i-【答案】A【详解】解：因为1z i =-，所以22(1)21z i z i-==--，故选A4．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为()A ．2y x =-B ．y x=-C ．2y x=D ．y x=【答案】D【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得1a =，进而得到()f x 的解析式，再对()f x 求导得出切线的斜率k ，进而求得切线方程.详解：因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =，所以3()f x x x =+，2()31x f 'x =+，所以'(0)1,(0)0f f ==，所以曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为(0)'(0)y f f x -=，化简可得y x =，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线()y f x =在某个点00(,())x f x 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得'()f x ，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.5．下列等式成立的是（）A ．1110d 2d x x x x-=⎰⎰B ．1d 2ba x x =⎰C ．0d ba xb a=-⎰D ．(1)d d b b aax x x x+=⎰⎰【答案】A【分析】根据微积分基本定理一一计算可得.【详解】对于A ：()10011111d d d d d x x x x x x x x x x---=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰21200111||122x x -⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1121000112d 2d 2|2122x x x x x ⎡⎤⎛⎫===⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰，所以111d 2d x x x x -=⎰⎰，故A 正确；对于B ：222111d |222b b a a x x x b a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭⎰，故B 错误；对于C ：0d 0bax =⎰，故C 错误；对于D ：(1)d d d 1b b b aaax x x x x +=+⎰⎰⎰，其中d |1bb a ax x b a ==-⎰，所以(1)d d b baax x x x +≠⎰⎰，故D 错误；故选：A6．给出下面四个类比结论①实数a ，b ，若0ab =，则0a =或0b =；类比向量a ，b ，若0a b ⋅= ，则0a = 或0b = ②实数a ，b ，有222()2a b a ab b +=++；类比向量a ，b ，有222()2a b a a b b +=+⋅+③向量a ，有22a a =；类比复数z ，有22z z =④实数a ，b 有220a b +=，则0a b ==；类比复数1z ，2z 有22120z z +=，120z z ==，其中类比结论正确的命题个数为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【详解】①错误，因为若向量,a b互相垂直，则0a b ⋅= ；③错误，因为z 是复数的模是一个实数，而z 是个复数，比如若1i z =+，则()222211z =+2=，()22221i 1i 2i z =+=++2i =;④错误，若假设复数11z =，2i z =，则22120z z +=，但是10z ≠，20z ≠．②正确222()2cos ,a b a a b a b b +=+〈〉+222a a b b =+⋅+．故选B ．7．用数学归纳法证明1111112234n n n +++>++ 时，由k 到k+1，不等式左边的变化是（）A ．增加()121k +项B ．增加121k +和122k +两项C ．增加121k +和122k +两项同时减少11k +项D ．以上结论都不对【答案】C【详解】n k =时，左边11112k k k k=++⋯++++，1n k =+时，左边()()()()111111211k k k k =++⋯++++++++，由“n k =”变成“1n k =+”时，两式相减可得11121221k k k +-+++，故选C.点睛：本题主要考查了数学归纳法的应用，属于基础题；用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值n 0并验证真假．（必不可少）②“假设n=k 时命题正确”并写出命题形式．③分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．8．定义运算：,,x x yx y y x y ≥⎧⊗=⎨<⎩，例如344,⊗=则下列等式不能成立的是（）.A ．x y y x ⊗=⊗B ．()()x y z x y z ⊗⊗=⊗⊗C ．222()x y x y ⊗=⊗D ．()()()c x y c x c y ⋅⊗=⋅⊗⋅（其中0c >）【答案】C【分析】根据定义逐项分析即得.【详解】因为,,x x yx y y x y≥⎧⊗=⎨<⎩，它表示的是x y ⊗的结果为x 和y 中的较大数，对A ，x y ⊗和y x ⊗都是x 和y 中的较大数，故x y y x ⊗=⊗，正确；对B ，()()x y z x y z ⊗⊗=⊗⊗是x ，y ，z 中的较大数，正确；对C ，2()x y ⊗表示x 和y 中的较大数的平方，而22x y ⊗表示2x 和2y 中的较大数，例如4,1x y =-=时，2()1x y ⊗=，2216x y ⊗=等式就不成立，故错误；对D ，()c x y ⋅⊗和()()c x c y ⋅⊗⋅都表示c 与x 和y 中的较大数的乘积，故正确.故选：C.9．曲线2e 1x y -=+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为A ．13B ．12C ．23D ．1【答案】A 【详解】202|2xx y ey -==-⇒'=-'，所以在点()0,2处的切线方程为22y x =-+，它与y x =的交点为22,33⎛⎫⎪⎝⎭，与0y =的交点为()1,0，所以三角形面积为1211233⨯⨯=故选：A 10．设1010101111112212221A =++++++- ，则下列结论正确的是（）A ．1A >B ．1A <C ．1A ≥D ．1A ≤【答案】B【分析】利用放缩法可得出结论.【详解】1010101010111010101010211111111121221222122222A =++++<++++=⨯=++-个，故选：B.11．设函数()x f x xe =，则A ．1x =为()f x 的极大值点B ．1x =为()f x 的极小值点C ．=1x -为()f x 的极大值点D ．=1x -为()f x 的极小值点【答案】D【详解】试题分析：因为()x f x xe =，所以()()()=+=+1,=0,x=-1x x xf x e xe e x f x 令得''．又()()()()()>0:>-1;<0<-1,--1-1+f x x f x x f x 由得由得：所以在，，在，∞'∞'，所以=1x -为()f x 的极小值点．【解析】利用导数研究函数的极值；导数的运算法则．点评：极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点．12．已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，且()02f =，则不等式()2xf x e >的解集为（）A ．(),0∞-B ．()0,∞+C ．(),2-∞D ．()2,+∞【答案】B 【分析】令()()xf xg x =e ，利用导数说明函数的单调性，则不等式()2xf x e>，即()()0g x g >，根据单调性解得即可.【详解】令()()xf xg x =e ，则()()()()()2e e 0eex xxxf x f x f x f xg x ''--'==>，()g x ∴在R 上单调递增，()02f = ，()()002e f g ∴==则不等式()2xf x e>，即为()2g x >，即为()()0g x g >，0x ∴>，所以不等式()2x f x e>的解集为()0,∞+.故选：B二、填空题13．20122x dx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰____________.【答案】5【分析】找出被积函数的原函数，利用微积分基本定理可求出所求定积分的值.【详解】解：22200112522x dx x x ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰，故答案为：514．已知函数()ln f x a x x =+在区间[]2,3上单调递增，则实数a 的取值范围是______．【答案】[2,)-+∞【分析】直接求导，分离参数得max ()2a x ≥-=-.【详解】()ln f x a x x =+ ，()1af x x'=+又∵()f x 在[]2,3上单调递增，∴10ax+≥在[]2,3x ∈上恒成立，∴max ()2a x ≥-=-，∴[2,)a ∈-+∞．故答案为：[2,)-+∞.15．在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式．如从指数函数中可抽象出()()()1212f x x f x f x +=⋅的性质；从对数函数中可抽象出()()()1212f x x f x f x ⋅=+的性质．那么从函数______（写出一个具体函数即可）可抽象出()()()1212f x x f x f x +=+的性质．【答案】()2f x x =（答案不唯一）【分析】本题属于开放性问题，只需找到符合题意的解析式即可，不妨令()2f x x =，即可判断.【详解】令()2f x x =，则()()12122f x x x x +=+，()112f x x =，()222f x x =，所以()()()1212f x x f x f x +=+，符合题意.故答案为：()2f x x =（答案不唯一）16．若点P 是曲线2y x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =+的最小距离是______．【答案】728【分析】作直线2y x =+的平行线，使得与曲线2y x =-相切，设切点为00(,)P x y ，根据导数的几何意义求得切点为11(,)24P --，结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】作直线2y x =+的平行线，使得与曲线2y x =-相切，设切点为00(,)P x y ，因为函数2y x =-，可得2y x '=-，所以曲线在点00(,)P x y 处的导数为00|2x x y x ='=-，即切线的斜率为02k x =-令021x -=，解得012x =-，则014y =-，即切点为11(,)24P --，又由点到直线的距离公式，可得切线P 到直线的距离为22112722481(1)d -++==+-，即P 到直线2y x =+的最小距离为728.故答案为：728.三、解答题17．已知复数22(815)(918)z m m m m i =-++-+在复平面内表示的点为A ，实数m 取什么值时，（1）z 为实数？z 为纯虚数？（2）A 位于第三象限？【答案】（1）当m ＝3或m ＝6时，z 为实数；当m ＝5时，z 为纯虚数；（2）3＜m ＜5【分析】（1）当复数的虚部等于0时，复数z 为实数；当复数的实部等于0，且虚部不等于0时，复数z 为纯虚数；（2）当复数的实部和虚部都小于0时，复数对应点在第三象限，解不等式组求出实数m 的取值范围即可．【详解】复数22(815)(918)z m m m m i=-++-+（1）当m 2﹣9m +18＝0，解得m ＝3或m ＝6，故当m ＝3或m ＝6时，z 为实数．当2281509180m m m m ⎧-+=⎨-+≠⎩，解得m ＝5，故当m ＝5时，z 为纯虚数；（2）当2281509180m m m m ⎧-+<⎨-+<⎩即3536m m <<⎧⎨<<⎩，即3＜m ＜5时，对应点在第三象限．【点睛】本题主要考查复数的基本概念，复数代数表示法及其几何意义，属于基础题．18．已知两曲线3()f x x ax =+和2()g x x bx c =++都经过点()1,2P ，且在点P 处有公切线，试求a 、b 、c 的值．【答案】1a =，2b =，1c =-【分析】根据点()1,2P 在曲线()3f x x ax =+上，求出a ，再求出两函数的导函数，根据函数在点P 处有公切线求出b ，再根据点()1,2P 在曲线()g x 上求出c .【详解】∵点()1,2P 在曲线()3f x x ax =+上，∴21a =+，∴1a =，函数()3f x x ax =+和()2g x x bx c =++的导数分别为()23f x x a '=+和()2g x x b '=+，且在点P 处有公切线，∴23121a b ⨯+=⨯+，解得2b =，又由点()1,2P 在曲线()2g x x bx c =++上可得22121c =+⨯+，解得1c =-．综上，1a =，2b =，1c =-．19．已知()133x f x =+,分别求()()01f f +,()()12f f -+,()()23f f -+的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.【答案】详见解析.【详解】试题分析：将0,1,1,2,2,3x =--代入()133x f x =+，即可求得()()()()()()01,12,23f f f f f f +-+-+的值；观察()()()()()()01,12,23f f f f f f +-+-+，根据上一步的结果可以归纳出一般的结论：自变量的和为1，则函数值的和为33，根据结论的形式将()133x f x =+代入并化简求值即可完成证明.试题解析：由()133x f x =+，得()()011130133333f f +=+=++,()()121131233333f f --+=+=++,()()231132333333f f --+=+=++.归纳猜想一般性结论为()()313f x f x -++=证明如下：()()11113333x x f x f x -+-++=+=++()111313·313·313313·3333333313·3x x x xx xx x+++++=+==+++++【方法点睛】本题通过观察几组等式，归纳出一般规律来考查函数的解析式及归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤:一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1)数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2)形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.20．已知0a >，用分析法证明：221122a a a a+-≥+-【答案】证明见解析【分析】根据分析法证明的步骤，逐步分析，即可求解.【详解】要证明221122a a a a+-≥+-，只需证221122a a a a ++≥++，只需证222211(2)(2)a a a a++≥++，只需证2222221111442222a a a a a a a a ⎛⎫++++≥+++++ ⎪⎝⎭，即221122a a a a ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，只需证222211422a a a a ⎛⎫⎛⎫+≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2212a a +≥，显然成立，故原不等式成立.21．设函数()()2ln 23f x x x=++(1)讨论()f x 的单调性；(2)求()f x 在区间31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值．【答案】(1)函数()f x 在31,1,,22⎛⎫⎛⎫---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增；在11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减；(2)()f x 在区间31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为17ln 162+，最小值为1ln 24+.【分析】（1）先求函数的定义域，解不等式()0f x ¢>求出函数的单调递增区间，解不等式()0f x '<求出函数的单调递减区间；（2）根据函数的单调性求出函数的最值.【详解】（1）函数()()2ln 23f x x x =++的定义域为32⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，，又()()141232223232x x f x x x x x ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭'=+=>- ⎪++⎝⎭.令()0f x ¢>，解得12x >-或312x -<<-；令()0f x '<，解得112x -<<-.所以函数()f x 在31,1,,22⎛⎫⎛⎫---+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增；在11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减；（2）由（1）可得：函数()f x 在区间31,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦内单调递减，在11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内单调递增.所以当12x =-时，函数()f x 取得最小值11ln 224f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，又393ln 4162f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，117ln 4162f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，而3193171311ln ln ln ln044162162272e f f ⎛⎫⎛⎫--=+--=+<+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当14x =时，函数()f x 取得最大值为：17ln 162+.即()f x 在区间31,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为17ln 162+，最小值为1ln 24+.22．设函数()()32e 1x x ax f x =-+.(1)当13a =-时，求()f x 的单调区间；(2)若当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1)增区间为()2,-+∞，减区间为(),2-∞-(2)[)1,-+∞【分析】（1）当13a =-时，求得()()()2e 1xf x x x '=+-，利用导数与函数单调性的关系可求得函数()f x 的增区间和减区间；（2）分0x =、0x >两种情况讨论，在0x =时，直接验证即可；在0x >时，由()0f x ≥可得出()e 10x g x ax =+-≥，对实数a 的取值范围进行讨论，利用导数分析函数()g x 的单调性，验证()0g x ≥对任意的0x >能否恒成立，综合可得出实数a 的取值范围.【详解】（1）解：当13a =-时，函数()()231e 13xf x x x =--的定义域为R ，()()()()222e 22e 1x x f x x x x x x x '=+--=+-，当<2x -时，()0f x '<；当2x >-时，()0f x '≥，当且仅当0x =时，等号成立.因此，当13a =-时，函数()f x 的增区间为()2,-+∞，减区间为(),2-∞-.（2）解：因为当0x ≥时，()()00f x f ≥=恒成立.①当0x =时，不等式()0f x ≥显然成立，此时a ∈R ；②当0x >时，由()()23e 10x f x x ax =-+≥可得e 10x ax -+≥，令()e 1x g x ax =+-，其中0x >，则()e x g x a '=+，则函数()g x '在()0,∞+上单调递增，且()()01g x g a ''>=+.当10a +≥时，即当1a ≥-时，对任意的0x >时，()0g x '>，此时，函数()g x 在()0,∞+上单调递增，则()()00g x g >=，合乎题意；当10a +<时，即当1a <-时，令()0g x '=，可得()ln 0x a =->，当()0ln x a <<-时，()0g x '<，即函数()g x 在()()0,ln a -上单调递减，当()ln x a >-时，()0g x '>，即函数()g x 在()()ln ,a -+∞上单调递增，故当()()0,ln x a ∈-时，()()00g x g <=，不合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是[)1,-+∞.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则（1）恒成立：()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；（2）能成立：()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>；()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<.若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则（1）恒成立：()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<；（2）能成立：()()min a f x a f x >⇔>；()()max a f x a f x <⇔<.。
2022-2023学年陕西省西安市铁一中学高二上学期1月期末数学试题(解析版)
西安市铁一中学2022-2023学年上学期期末高二数学注意事项：1.答题时，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色黑色签字笔把答案写在答题卡规定的位置上。
答案如需改正，请先划掉原来的答案，再写上新答案，不准使用涂改液、胶带纸、修正带。
4.考试结束后，只将答题卡交回。
一、选择题：（本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．已知，，且，则向量与的夹角为（ ）()1,0,1a =r (),1,2b x = 3a b ⋅= a bA ．B ．C ．D ．5π62π3π36π2．与直线平行，且与直线交于轴上的同一点的直线方程是（ ） 23y x =-+34y x =+x A ． B ． 24y x =-+142y x =+C ．D ． 823y x =--1823y x =-3．如图，在三棱柱中，点是底面的重心，若，，111ABC A B C -M 111A B C △1AA a = AB b =，则（ ）AC c = AM =A ．B ．1133a b c ++111333a b c ++C ．D ．2233a b c ++ 222333a b c ++ 4．已知数列的前项和为，且，则的值为（ ） {}n a n n S ()21n n S a =+2a A ．-4B ．-2C ．-6D ．-85．若椭圆经过点，且焦点为，，则这个椭圆的离心率等于 ()2,3P ()12,0F -()22,0FA B ．C ．D 13126．已知数列是等差数列，若，，则公差{}n a 471017a a a ++=456131477a a a a a +++++= （ ）d =A ．1B ．C ．D ．1213237．已知三棱台的六个顶点都在球O 的球面上，111ABC A B C -111AA BB CC ===和O 的体积为（ ）．ABC 111A B C △A ．B C． D 32π336π8．下列方程关于对称的是（ ） x y =A ．B ．C ．D ．221x x y -+=221x y xy +=1x y -=221x y -=二、选择题：（本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）．9．在平面直角坐标系中，已知圆，其中，则（ ） ()()222:2k K x k y k -+-=0k ≠A ．圆过定点 B ．圆的圆心在定直线上 K K C ．圆与定直线相切D ．圆与定圆相切K K 10．疫情当下，通过直播带货来助农，不仅为更多年轻人带来了就业岗位，同时也为当地农民销售出了农产品，促进了当地的经济发展.某直播平台的主播现要对6种不同的脐橙进行选品，其方法为首先对这6种不同的脐橙（数量均为1），进行标号为1~6，然后将其放人一个箱子中，从中有放回的随机取两次，每次取一个脐橙，记第一次取出的脐橙的标号为，第二次为，设，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，则（ ）1a 2a 12a A a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ．B ．事件与互斥 121(5)4P a a +==16a =0A =C ． D ．事件与对立125()12P a a >=21a =0A =11．裴波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多·裴波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．裴波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示裴波那契数n a 列的第项，则数列满足：，，记，则n {}n a 121a a ==21n n n a a a ++=+111ni n i a a a a ==+++∑ 下列结论正确的是（ ） A ． B ．68a =()2233n n n a a a n -+=+≥C ．D ．202020221i i a a ==∑20212202120221i i a a a ==⋅∑12．棱长为1的正方体中，为底面的中心，是棱上一1111A B C D ABCD －M ABCD Q 11A D点，且，，为线段的中点，下列命题中正确的是（ ）111D Q D A λ=[]0,1λ∈N AQA ．三棱锥的体积与的取值无关 A DMN -λB ．当时，点Q 到直线AC 12λ=C ．当时， 14λ=0AM QM ⋅=D ．当时，过13λ=,,A Q M 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若向量，，且，则______．()1,4,1AB =- ()1,2,AC m = AB AC ⊥m =14．双曲线的右焦点到直线的距离为________．22145x y -=280x y +-=15．已知向量与的夹角为，且，则实数的值为______.||2,||2,a b == a b 4π()b a a λ-⊥ λ16．已知正项数列的前n 项和为，且对于任意，有，若a 2=4，{}n a n S *,p q N ∈p q p q a a a +=则_____，_____．全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》1a =6S =四、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设直线的方程为. l ()()1520a x y a a R ++--=∈（1）求证：不论为何值，直线必过一定点；a l P （2）若直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，，当面积最l x y (),0A A x ()0,B B y AOB 小时，求的周长及此时的直线方程；AOB （3）当直线在两坐标轴上的截距均为正整数且a 也为正整数时，求直线的方程. l l 18．2020年5月28日，十三届全国人大三次会议表决通过了《中华人民共和国民法典》， 此法典被称为“社会生活的百科全书”，是新中国第一部以法典命名的法律，在法律体系中居于基础性地位，也是市场经济的基本法.民法典与百姓生活密切相关，某学校有800名学生，为了解学生对民法典的认识程度，抽查了100名学生进行测试，并按学生的成绩（单位：分）制成如图所示频率分布直方图.（1）求的值；m （2）若成绩在80分及以上视为优秀，根据样本数据估计该校学生对民法典认识程度优秀的人数；（3）如果抽查的测试平均分超过75分，就表示该学校通过测试，试判断该校能否通过测试.19．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，底面P ABCD -ABCD 2AB =BC a =PA ⊥.ABCD（1）当为何值时，平面？证明你的结论；a BD ⊥PAC （2）若在边上至少存在一点，使，求的取值范围. BC M PM DM ⊥a 20．已知等差数列的前项和为，且，. {}n a n n S 36a =420S =（Ⅰ）求数列的通项公式；{}n a （Ⅱ）若，，成等比数列，求正整数的值.1a k a 2k S +k21．已知椭圆：（.C 22221x y a b +=0a b >>2(1)求椭圆的方程；C (2)设A ，为椭圆上任意两点，为坐标原点，且.求证：原点到直线的B C O OA OB ⊥O AB 距离为定值，并求出该定值.22．如图，点是圆内的一个定点，点是圆上的任意一点，)B(22:16A x y +=P A 线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲BP l AP Q P A Q线.C(1)求曲线的方程；C (2)点，，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求()2,0E ()0,1F QE y M QF x N EN FM ×的值.参考答案：1．D根据向量数量积列出方程，求出x ＝1，利用向量夹角公式计算出答案. ∵ 23a b x ⋅=+=∴x ＝1， ∴，()1,1,2b =∴cos ,a b a b a b ⋅===⋅又∵，[],0,π∈a b ∴向量与的夹角为a b 6π故选：D. 2．C先求出直线交于轴交点，再设与直线平行的直线方程34y x =+x 4(,0)3P -23y x =-+，代入点的坐标得解.2y x m =-+设直线交于轴于点，令，则，34y x =+x P 0y =43x =-4(,0)3P ∴-所求直线与平行，设，把23y x =-+2y x m =-+4(,0)3P -代入得42()03m -⨯-+=83m ∴=-所求直线方程为：823y x =--故选：C本题考查与直线平行的直线方程，属于基础题. 3．A如图，连接，并延长交于点D ，根据重心的定义可得D 为的中点，1A M 11B C 11B C ，利用空间向量的线性运算即可求解. 1123A M A D =由题意知，如图，连接，并延长交于点D ，1A M 11B C则D 为的中点，， 11B C 1123A M A D =有，111111()2A D AB AC =+ 11AM AA A M =+1123AA A D =+1111121()32AA A B A C =+⨯+111111133AA A B A C =++ .1133a b c =++ 故选：A. 4．A根据递推关系依次求得和的值. 1a 2a 依题意，数列的前项和为， {}n a n n S 当时，，解得， 1n =()11121a S a ==+12a =-当时，，解得， 2n =()221222S a a a =+=+24a =-故选A.本小题主要考查根据数列递推关系式求某一项，属于基础题. 5．C根据焦点坐标求出的值，根据椭圆过的定点，结合性质得到的值，c ()2,3P 222a b c =+a再利用椭圆的离心率公式求出椭圆的离心率.椭圆焦点为，()()122,0,2,0,2,F F c -∴=设椭圆方程为，∴()222221404x y a a a +=->-又椭圆经过点， ()2222232,314P a a ∴+=-解得或，216a =21a =， 2240,16,4a a a ->∴=∴= ，故选C. 12c e a ∴==本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质，以及椭圆的离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来,a c e ,a c e 求解. 6．D利用等差数列的下标和性质即可求解. ∵，∴． 47107317a a a a ++==7173a =∵，∴， 451491177a a a a +++== 97a =∴公差． 972973a a d -==-故选：D 7．B分别求出正三棱台的上下两个底面的外接圆的半径，然后由球的性质得：111ABC A B C -，，解出，即可求得球O 的体积.2211OO R +=()22134OO R -+=R 设点，分别是正，的中心，球的半径为，且，，三点共2O 1O 111A B C △ABC R 1O 2O O 线，正三棱台的高为，在等边中，由111ABC A B C -12O O ABCAB =得：，得，在等边中，由122sin 60ABO A ===︒11AO =111A BC △11A B =定理可得：，得，如下图，过点作，则在三11122sin 60A B AO ==︒122AO=A 12AN A O ⊥角形中，1A AN，所以正三棱台的高为3，在111,A N AA ==123AN O O ===111ABC A B C -中，，即，1Rt OO A △22211OO O A R +=2211OO R +=在中，，即，2Rt OO A △222221OO O A R +=()22134OO R -+=两式解得：O 的体积为：R =343V R π==故选：B.8．B利用互换位置后方程不变可得答案.x y △对于A ，互换位置后方程为与不一样，故错误； x y △221-+=y y x 221x x y -+=对于B ，互换位置后方程为与原方程一样，故正确； x y △221x y xy +=对于C ，互换位置后方程为与原方程 不一样，故错误； x y △1y x -=1x y -=对于D ，互换位置后方程为与原方程不一样，故错误. x y △221y x -=221x y -=故选： B. 9．BC利用反证法可判断AD 选项；求出圆心所在直线的方程，可判断B 选项；判断圆与直线K 的位置关系，可判断C 选项.(2y x =对于A 选项，圆的方程可化为，K ()2223202k x y k x y +-++=若圆过定点，则，可得，矛盾，A 错；K 22200302x y x y k ⎧⎪+=⎪+=⎨⎪⎪=⎩00x y k ==⎧⎨=⎩对于B 选项，圆的圆心坐标为，则圆心在直线上，B 对；K (),k k y x =对于C 选项，圆心到直线的距离为(2y x =d与圆相切，(2y x =K 同理可知，直线与圆也相切，C 对；(2y x =K 对于D 选项，设定圆的圆心为，半径为，设， (),a b r 0k >若定圆与圆， K r=化简得，()222232202k a b k a b r -++++-=由二次函数的性质可知，关于的二次函数在k ()()22223222f k k a b k a b r =-+++-时的值不可能恒为零，舍去；0k >若定圆与圆 K化简可得，()222232202k a b k a b r -+++-=由二次函数的性质可知，关于的二次函数在k ()()22223222g k k a b k a b r =-+++-时的值不可能恒为零，舍去.0k >同理可知，当时，不存在定圆与圆相切，D 错. 0k <K 故选：BC. 10．BCD根据有放回的随机取两次结果36种逐个分析判断即可解决. 由题知，从中有放回的随机取两次，结果有（记为）：12a a11,12,13,14,15,16,21,22,23,24,25,26,31,32,33,34,35,36,41,42,43,44,45,46,51,52,53,54,55,56,61,62,63,64,65,66,共36种，若，此时取或 125a a +=1,42,3所以，故A 错误； 1241(5)369P a a +===若，则恒成立，16a =121a A a ⎡⎤=≥⎢⎥⎣⎦所以与互斥，故B 正确；0A =，故C 正确；12543215()6612P a a ++++>==⨯因为恒成立.0A ≥所以为对立命题，0A >0A =当时，恒成立，故D 正确，21a =[]1120a A a a ⎡⎤==>⎢⎥⎣⎦故选：BCD 11．ABD利用递推公式逐项计算可得的值，可判断A 选项；推导出，6a 212n n n a a a +-=+21n n n a a a --=-，两式相加可判断B 选项；推导出，利用裂项相消法可判断C 选项；推导12n n n a a a ++=-+出，利用裂项相消法可判断D 选项.21112n n n n n a a a a a ++++=-+对于A 选项，，，，，A 对； 3122a a a =+=4233a a a =+=5345a a a =+=6458a a a =+=对于B 选项，当时，，①3n ≥21112n n n n n n n n a a a a a a a a ++--=+=++=+，可得，② 12n n n a a a --=+21n n n a a a --=-①②得，B 对；+223n n n a a a +-+=对于C 选项，对任意的，，则，N n *∈21n n n a a a ++=+12n n n a a a ++=-+因此，，C 错；()()()20202334202120222022220221i i a a a a a a a a a a ==-++-+++-+=-≠∑ 对于D 选项，，()2112112n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++=-=-+因此，()()()20212211223233420202021202120221i i a a a a a a a a a a a a a a ==+-++-++-+∑ ，D 对.211220212022202120222021202211a a a a a a a a a =-+=-+=故选：ABD. 12．ABD根据锥体体积计算、点线距离、线线垂直、正方体的截面等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.对选项A ：由，因为到平面的距离为定值， A DMN N ADM V V --=N ABCD 12且的面积为定值，所以三棱锥的体积跟的取值无关，所以A 正确； ADM △14A DMN -λ对选项B ：当时，是的中点， 12λ=Q 11AD，32AQ AC QC =====，所以为锐角， cosQAC∠=QAC ∠所以, sinQAC ∠=所以点Q 到直线AC 的距离是，所以B 正确. sin AQ QAC ⨯∠=对选项C ：当时，，可得，， 14λ=134AQ =212AM =2221192511616AQ AA A Q =+=+=取的中点分别为，连接，则， 11,AD A D ,N E ,EN EM 222EM MN EN =+在直角三角形中，，MEQ 222222112112416QM EM EQ ⎛⎫⎛⎫=+=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则，所以不成立，所以C 不正确．222221291616AM QM AQ +=+=>0AM QM ⋅=对选项D ：当时，取，连接，则，又， 13λ=11113D H D C =u u u u r u u u u r HC 11//HQ AC 11//AC A C 所以，所以共面，即过三点的正方体的截面为， //HQ AC ,,,,A M C H Q ,,A Q M ACHQ由，则是等腰梯形，且， AQ CH ===ACHQ 1113QH AC ==所以平面截正方体所得截面的周长为，所以D 正确； 2l =故选：ABD 13．7根据空间向量的数量积运算，代值计算即可.依题意可得，则． 180AB AC m ⋅=-+=7m =故答案为：. 714先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.由已知，，所以双曲线的右焦点为， 3c ===(3,0)所以右焦点到直线(3,0)280x y +-===15根据可得，再根据平面向量的数量积公式求解即可()b a a λ-⊥ ()0b a a λ-⋅=由可得，即，，代入可得()b a a λ-⊥ ()0b a a λ-⋅= 20a b a λ⋅-= 2cos ,0a b a b a λ⋅⋅-=，化简得40-=λ=平面向量的垂直：若向量，则 a b ⊥0a b ⋅= 16． 2 126根据已知条件，对p ，q 的依次取特值，求出数列的前6项，即可得到结果． 解：正项数列的前项和为，且对于任意，有， {}n a n n S *,p q N ∈p q p q a a a +=∵，2a 4=当时， ，所以， 1p q ==1124a a a ==12a =当时，，所以， 12p q ==，123a a a =38a =当时，，所以， 22p q ==，224a a a =416a =当时，，所以， 32p q ==，325a a a =532a =当时，，所以， 33p q ==，336a a a =664a =所以； 6248163264126S =+++++=故答案为：2；126．本题考查数列的递推关系，数列的求和，属基础题，难度较易.17．（1）证明见解析；（2）周长为；直线方程为；（3）10+32120x y +-=.390x y +-=（1）将直线方程重新整理，转化为求两直线交点，即得证；（2）先求A,B 坐标且确定的取值范围，再根据三角形面积公式列函数关系式，根据基本a 不等式求最值，确定的值，最后求周长以及直线方程；a （3）根据截距均为正整数，利用分离法，结合整除确定的值，再求直线方程. a 解：(1)由得，()1520a x y a ++--=()250a x x y -++-=则，解得，2050x x y -=⎧⎨+-=⎩23x y =⎧⎨=⎩所以不论为何值，直线必过一定点； a l ()2,3P (2)由得，()1520a x y a ++--=当时，，当时，， 0x =52B y a =+0y =521A ax a +=+又由，得， 5205201B A y a ax a =+>⎧⎪+⎨=>⎪+⎩1a >-， ()()119141+121212221252521AOB a a a S a a ⎡⎤⎡⎤∴=⋅++++⋅=≥=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦+ 当且仅当，即时，取等号. ()9411a a +=+12a =，，()4,0A∴()0,6B的周长为AOB ∴ 4610OA OB AB ++=++=+直线方程为.32120x y +-=(3) 直线在两坐标轴上的截距均为正整数， l 即，均为正整数，而a 也为正整数， 52a +521aa ++ 5232211a a a a +=+∴=++Q所以直线的方程为.l 390x y +-=本题考查直线恒过定点问题、利用基本不等式求最值、直线与坐标轴围成的三角形的面积的最值、分离法求正整数解，考查综合分析求解能力，属中档题. 18．（1）；（2）320人；（3）能通过测试. 0.016m =（1）本题可根据频率分布直方图中数据得出结果；（2）本题可根据图中数据得出成绩在80分及以上的频率为，然后与总人数相乘即可0.4得出结果；（2）本题可设抽查的平均成绩为，然后根据图中数据计算出，即可得出结果. x x （1）由频率分布直方图性质可得：，解得.()0.0040.0060.0200.0240.030101m +++++⨯=0.016m =（2）由频率分布直方图得，成绩在80分及以上的频率为， 0.240.160.4+=故估计该校学生对民法典认识程度优秀的人数为：（人）. 8000.4320⨯=（3）设抽查的平均成绩为，x 则（分）， 0.04450.06550.2650.3750.24850.169576.2x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=因为，所以该学校通过了测试. 76.275>19．（1），证明见详解；（2）2a =[4,)a ∈+∞（1）要证平面，只需证垂直于平面内的两条相交直线，由题意可知BD ⊥PAC BD PAC ，则只需证明，只有当四边形为正方形时满足.BD PA ⊥BD AC ⊥ABCD （2）由题意可知，若存在点，使，则平面，即DM PA ⊥M PM DM ⊥DM ⊥PAM ，则点应是以为直径的圆和边的一个公共点，即半径，求解DM AM ⊥M AD BC r AB ≥即可.（1）当时，四边形为正方形，则. 2a =ABCD BD AC ⊥因为平面，平面， PA ⊥ABCD BD ⊂ABCD 所以，BD PA ⊥又，平面，平面 AC PA A ⋂=AC ⊂PAC PA ⊂PAC 所以平面.BD ⊥PAC 故当时，平面. 2a =BD ⊥PAC （2）设是符合条件的边上的点. M BC 因为平面，平面 PA ⊥ABCD DM ⊂ABCD 所以，DM PA ⊥又，，平面，平面 PM DM ⊥PA PM P ⋂=PA ⊂PAM PM ⊂PAM 所以平面， DM ⊥PAM 因为平面， AM ⊂PAM 所以.DM AM ⊥因此，点应是以为直径的圆和边的一个公共点. M AD BC 则半径， 即. 2ADr AB =≥4a ≥所以.[4,)a ∈+∞本题考查根据线面垂直与线线垂直求参数，属于难题. 20．（Ⅰ）（Ⅱ）2n a n =6（Ⅰ）根据等差数列的通项公式以及求和公式得出数列的通项公式； {}n a （Ⅱ）求出，再由等比数列的性质求出.2k S +k （Ⅰ），解得 1126434202a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩ 12,2a d == 22(1)2n a n n =+-=∴（Ⅱ），22(2)(224)(2)(3)562k k k S k k k k ++++==++=++2k a k =，，成等比数列1a k a 2k S +，即 ()22(2)256k k k ∴=++(6)(1)0k k -+=解得（舍）6,1k k ==-21．(1)2214x y +=(2)见解析.（1）根据离心率与短轴端点到焦点的距离联立，可求得的值，从而可得椭圆的标准,,a b c 方程；（2）分为直线斜率不存在和存在两种情况，当直线斜率存在时，设直线方程为，y kx m =+与椭圆方程联立消元，然后再根据，利用韦达定理可得与的关系，进而可知OA OB ⊥m k 原点到直线的距离为定值. O AB （1） 由题意知，，又， c e a =2a =222a b c =+所以，2a =c 1b =所以椭圆的方程为.C 2214x y +=（2）当直线的斜率不存在时，易知直线的方程为. AB OA y x =±代入得2214x y +=245x=所以，原点到直线. O AB当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，. AB AB y kx m =+()11A x y ，()22B x y ，由得 2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()222148440k x kmx m +++-=则，()()()()2222284144416140km k m k m ∆=-+-=+->， 122814km x x k +=-+21224414m x x k-=+则，由得， ()()2212122414m k y y kx m kx m k -=++=+OA OB ⊥0OA OB ⋅= 即，即， 2212122544014m k x x y y k--+==+()22415m k =+所以原点到直线的距离为O ABd =综上，原点到直线. O AB 22．(1)2214x y +=(2) 4EN FM ×=（1）根据垂直平分线可判断点轨迹满足椭圆的定义，故根据定义法求解曲线方程.（2）Q 设出直线的方程，然后根据根与系数的关系求得点的坐标.由点，，共线可得QE Q F N Q 点的横坐标，可得直线与轴的交点纵坐标为，由此可得N N x QE y M y 4221N EN x k =-=+，，计算后可得结果. 112M FM y k =-=+（1）由题意得点在的垂直平分线上， Q BP 所以，QB QP =∴4QA QB QA QP AP AB +=+==>=∴点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，Q ,A B 设椭圆的方程为,22221(0)x y a ba b +=>>则， 2a =c =∴.1b =所以曲线的方程为.C 2214x y +=（2）由题设知直线的斜率存在.设直线的方程为， QE QE ()2y k x =-由消去整理得 ()22214y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩y ，()222214161640k xk x k +-+-=设，，()11,Q x y ()22,E x y则，212216414k x x k -=+又，所以，22x =2128214k x k -=+所以， 222824,1414k k Q k k æö--ç÷ç÷++èø因为点，，共线，故，F N Q FN FQ k k =即， 222411148214Nkk k x k ---+=-+所以， ()222218221144N k k x k k k --==+++又直线与轴的交点纵坐标为， QE y 2M y k =-所以，， 4221N EN x k =-=+112M FM y k =-=+所以.4EN FM ×=（1）定义法求轨迹方程的步骤：①分析题意，判断动点的运动轨迹满足某种曲线的定义； ②设出曲线的标准方程，并根据题意求出方程中的参数； ③求出轨迹方程，并判断是否有特殊点需要去掉（或补上）．（2）由于解析几何中涉及到较多的运算，因此在解题时要注意运算的准确性和运算的技巧，学会运用“设而不求”、“整体代换”等方法.。
2024-2025学年山东省临清市数学六年级第一学期期末教学质量检测试题含解析
2024-2025学年山东省临清市数学六年级第一学期期末教学质量检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、仔细推敲，细心判断。
(对的打“√ ”，错的打“×”。
每小题2分，共10分）1．把图形绕圆心逆时针旋转90︒后得到的图形是。
（________）2．1111111+=481632641282+++++。
（____________）3．一个几何体从正面看到的图形是，这个几何体一定是由3个小正方体搭成的．（____）4．大于－2且小于＋2的数只有3个。
（____）5．张师傅加工了103个零件，有3个不合格，合格率是100%。
（______）二、反复思考，慎重选择。
(将正确答案的序号填在括号里。
每小题2分，共10分）6．在今年的“慈善日”捐款活动中，淘气和笑笑平均每人捐款45元，奇思捐款36元，他们三人平均每人捐款（）元。
A．45 B．42 C．367．已知甲数＝2×2×3×5，乙数＝2×3×5×7，那么甲数和乙数的最大公约数是_____，最小公倍数是_____。
①12 ②420 ③30 ④60A．①②B．④②C．③②D．②③8．棱长1分米的正方体玻璃缸，能容纳（）液体。
A、100mLB、1LC、1mL9．鸡兔同笼，一共有260只脚，并且兔子比鸡多20只，那么笼子里有( )。
A．鸡40只，兔60只B．鸡30只，兔50只C．鸡20只，兔40只10．第（）幅图表示26×14的计算结果。
A．B．C．D．以上都不对三、用心思考，认真填空。
(每小题2分，共20分）11．根据如图的统计图填空．（1）纵轴上的每格表示___________名学生．（2）喜欢___________的男、女生人数相差最大；喜欢__________的男、女生人数差不多．（3）男生中喜欢___________人的最多，有_________人．12．如下图所示，将一张长方形纸对折，可得到1条折痕（图中虚线），继续对折，对折两次可得到3条折痕，对折三次可得到7条折痕，那么对折五次可得到（________）条折痕，对折n次可得到（________）条折痕。
2024-2025学年山西省吕梁地区柳林县六年级数学第一学期期末质量检测试题含解析
2024-2025学年山西省吕梁地区柳林县六年级数学第一学期期末质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、用心思考，我会填。
(每小题2分，共22分)1．94吨是3吨的()()；（）米比50米长15米；40分钟比1小时少()()。
2．在横线上填上>、<或=________12 ________123．一个书包打九折后是36元，这个书包的原价是（______）元。
4．（）÷5＝12∶30＝()()＝（）（小数）＝（）%。
5．2019年江苏省盐城市参加高考的约有28694人，将28694改写成用“万”作单位的数是（______）万，精确到万位约是（______）万。
6．在3.014，315，314％，3.14和3.14中，最大的数是________，最小的数是________．7．围着小区走一圈，爷爷要10分钟，奶奶要12分钟。
爷爷的速度是奶奶的（________）。
8．学校有甲乙两个长方形花圃，甲花圃面积是80平方米，乙花圃的长是甲花圃的长的38，乙花圃的宽是甲花圃的宽的25。
乙花圃的面积是（______）平方米。
9．若干个大学生共同买一台电视，如果每人出600元，还差700元；如果每人出700元，还差100元。
则共同购买电视的大学生有（_____）人。
10．如图，三角形EFC的面积是24平方厘米，AE＝14CE，BF＝13FC，则三角形ABC的面积为________平方厘米。
11．20以内6的倍数有（____________）；30的所有质因数有（_________）。
二、仔细推敲，我会选。
(每小题2分，共10分）12．用方程表示下面的等量关系，正确的是（）。
陕西省咸阳市武功县普集高级中学2022-2023学年高三上学期9月阶段性检测理科数学试题
普集高中2022-2023学年度第一学期高三年级9月份数学（理科）阶段性检测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.设全集{1,A =2，3，4}，{|21,}B y y x x A ==-∈，则A B ⋃等于()A.{}1,3 B.{}2,4C.{2,4，5，7} D.{1,2，3，4，5，7}【答案】D 【解析】【分析】先求出集合A ，B ，再利用并集定义能求出结果．【详解】 全集{1,A =2，3，4}，{|21,}{1,B y y x x A ==-∈=3，5，7}，{1,A B ∴⋃=2，3，4，5，7}．故选D ．2.已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T Ç=（）A.∅B.SC.TD.Z【答案】C 【解析】【分析】分析可得T S ⊆，由此可得出结论.【详解】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中n Z ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆，因此，S T T = .故选：C.3.已知集合{1,2,3}A =，20,x B xx Z x -⎧⎫=≤∈⎨⎬⎩⎭∣，则A B ⋃=（）A.{1,2}B.{0,1,2,3}C.{1,2,3}D.{0,1,2}【答案】C【分析】化简集合B ，利用并集概念及运算即可得到结果.【详解】由题意可得：{}2|0,1,2x B x x Z x -⎧⎫=≤∈=⎨⎬⎩⎭又{1,2,3}A =∴AB ⋃={}123，，故选：C【点睛】本题考查并集的概念及运算，考查分式不等式的解法，属于基础题.4.()f x 的定义域是()0,∞+，其导函数为()'f x ，()()f x g x x =，其导数为()g x '，若1ln ()x g x x-'=，且2()f e e =（其中e 是自然对数的底数），则（）A.(2)(1)g g <B.(3)(4)g g <C.()0f e '= D.()0f x ex -≤【答案】D 【解析】【分析】根据1ln ()x g x x -'=得到()g x 的单调性，即可判断ABD ，由()()()2xf x f x g x x'-'=，()0g e '=求出()f e '，即可判断C.【详解】因为1ln ()xg x x-'=，所以由()0g x '>可得()0,x e ∈，由()0g x '<可得(),x e ∈+∞所以()g x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减所以(2)(1)g g >，(3)(4)g g >，故A 、B 错误()()()f e g x g e e e≤==，所以()f x ex ≤，即()0f x ex -≤，所以D 正确因为()()()2xf x f x g x x'-'=，()0g e '=，所以()()20ef e f e e'-=，解得()f e e '=，故C 错误故选：D5.已知命题p ：∃x 0∈R，sin x 0≥12，则p ⌝是A.∃x 0∈R，sin x 0≤12 B.∃x 0∈R，sin x 0＜12C.∀x ∈R，sin x ≤12D.∀x ∈R，sin x <12【解析】【分析】根据含有量词命题的否定即可得到选项．【详解】p ⌝即为命题p 的否定,由含有量词的否定形式可知,p ⌝为∀x ∈R ，sin x <12所以选D【点睛】本题考查了含有量词的命题的否定，属于基础题．6.某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：o C )满足函数关系e kx b y +=(e 2.718= 为自然对数的底数，k ，b 为常数).若该食品在0℃时的保鲜时间是192小时，在33℃时的保鲜时间是24小时，则该食品在22o C 时的保鲜时间是（）A.40小时B.44小时C.48小时D.52小时【答案】C 【解析】【分析】根据题意列出方程组求解函数解析式，令22x =代入解析式求y 即可.【详解】根据题意有33192192ln 22411b bk b e e ek +⎧=⎧=⎪⇒⎨⎨==-⎩⎪⎩，所以ln 211192xy e -=⨯，当22x =时，ln 222111192192484y e -⨯=⨯=⨯=，即该食品在22o C 时的保鲜时间是48小时.故选：C7.设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）A.,12⎫⎪⎪⎣⎭B.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.0,2⎛ ⎝⎦D.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32b b c-≤-，即22b c ≥时，22max 4PB b =，即max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即202e <≤；当32b b c ->-，即22b c <时，42222maxb PB a bc =++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立．故选：C ．【点睛】本题解题关键是如何求出PB 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．8.若a>2，则函数f(x)＝x 3－ax 2＋1在区间(0，2)上恰好有()A.0个零点B.1个零点C.2个零点D.3个零点【答案】B 【解析】【分析】求出导数，并由题意得到函数在区间上(0，2)为减函数，然后根据零点存在性定理进行判断可得结论．【详解】∵f(x)＝x 3－ax 2＋1，∴()22(2)f x x ax x x a '=-=-，且a>2，∴当x∈(0，2)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减．又f(0)＝1>0，f(2)＝－4a<0，∴f(x)在(0，2)上恰好有1个零点．故选B.【点睛】运用函数零点存在性定理可判断函数在给定区间上是否有零点，但无法判断零点的个数，若函数在给定区间上具有单调性，则可判断出零点的个数了．9.已知f （x ）是定义在R 上的函数，其导函数为()'f x ，且不等式()()f x f x '>恒成立，则下列比较大小错误的是（）A.e (1)(2)f f <B.()()0e 1f f >- C.()()e 21f f ->- D.()()2e 11f f -<【答案】C 【解析】【分析】由已知条件可得()()0e xf x f x '->，所以构造函数()()x f xg x =e，求导后可得()0g x '>，从而可得g （x ）在R 上单调递增，然后分析判断【详解】由已知()()f x f x '>，可得()()0exf x f x '->，设()()x f x g x =e ，则()()()ex f x f x g x '-'=，∵()0g x '>，因此g （x ）在R 上单调递增，所以()()()()()()12,10,21g g g g g g <-<-<-，()()11g g -<，即()()()()()()()()21021112102111,,,,e e e e e e e ef f f f f f f f --------<<<<所以()()()()()()()()2e 12,e 10,e 21,e 11f f f f f f f f <-<-<--<，所以ABD 正确，C 错误，故选：C ．10.定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的[)()1212,0,x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，则()2f -、()f e 、()3f -的大小关系为（）A.()()()32f e f f <-<-B.()()()23f f e f -<<-C.()()()32f f f e -<-< D.()()()32f f e f -<<-【答案】D 【解析】【分析】由已知条件得出单调性，再由偶函数把自变量转化到同一单调区间上，由单调性得结论．【详解】因为对任意的[)()1212,0,x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，所以当12x x <时，12()()f x f x >，所以()f x 在[0,)+∞上是减函数，又()f x 是偶函数，所以(3)(3)f f -=，(2)(2)f f -=，因为23e <<，所以(2)()(3)f f e f >>，即(2)()(3)f f e f ->>-．故选：D ．【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性，解题方法是利用奇偶性化自变量为同一单调区间，利用单调性比较大小．11.给出下列说法：①“4x π=”是“tan 1x =”的充分不必要条件；②命题“0x R ∃∈，0012x x +≥”的否定形式是“x R ∀∈，12x x+>”.③将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为30种.其中正确说法的个数为A.0 B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】根据充要关系、存在性问题否定形式以及排列组合分别判断，最后得结果.【详解】①4x π=时tan 1x =，反之不然，所以“4x π=”是“tan 1x =”的充分不必要条件；②命题“0x R ∃∈，0012x x +≥”的否定形式是“x R ∀∈，12x x+<”,②错；③四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，分法有234336C A =种，其中甲、乙两名学生分到同一个班，有336A =种，因此甲、乙两名学生不能分到同一个班的分法种数为30种.综上正确说法的个数为2，选C.【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．（1）定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．（2）等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．12.设函数()2sin()1(0,0)2f x x πωϕωϕ=+-> 的最小正周期为4π，且()f x 在[0,5]π内恰有3个零点，则ϕ的取值范围是（）A .50,312ππ⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭ B.0,,432πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C.50,612ππ⎡⎤⎧⎫⋃⎨⎢⎥⎣⎦⎩⎭ D.0,,632πππ⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】根据周期求出12ω=，结合ϕ的范围及[0,5]x π∈，得到55322ππϕπ+ ，把52πϕ+看做一个整体，研究1sin 2y x =-在[0,3]π的零点，结合()f x 的零点个数，最终列出关于ϕ的不等式组，求得ϕ的取值范围【详解】因为24T ππω==，所以12ω=.由()0f x =，得11sin()22x ϕ+=.当[0,5]x π∈时，15,22x πϕϕϕ⎡⎤+∈+⎢⎣⎦，又02πϕ ，则55322ππϕπ+ .因为1sin 2y x =-在[0,3]π上的零点为6π，56π，136π，176π，且()f x 在[0,5]π内恰有3个零点，所以0,613517626πϕπππϕ⎧⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩ 或,62175,62ππϕππϕ⎧<⎪⎪⎨⎪+⎪⎩ 解得0,,632πππϕ⎡⎤⎡⎤∈⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.故选：D.二、填空题（每小题5分，共20分）13.设函数()33f x x ax =++，()15f '=，则实数a ＝______．【答案】2；【解析】【分析】先对()f x 求导，再利用()15f '=即可求解.【详解】()23f x x a '=+，所以()135f a '=+=，解得2a =，故答案为：2.14.已知函数2()log 1f x x =-，若()2f x =的四个根为1234,,,x x x x ，且1234k x x x x =+++,则()1f k +=________．【答案】2【解析】【分析】由()2f x =，根据指对互换原则，可解得134,,,x x x x 的值，代入(1)f k +即可求解.【详解】因为()2f x =，所以12log 2x -=，所以12log 2x -=或12log 2x -=-，所以14x -=或114x -=.解得15=x ，23x =-，354x =，434x =，所以1234k x x x x =+++5353444=-++=，所以512(1)(5)log 2f k f -+===，故答案为2.【点睛】本题考查指对数的互换，含绝对值方程的解法，考查计算化简的能力，属基础题15.已知函数()21ln 2f x x x mx =+有两个极值点，则实数m 的取值范围为___________.【答案】()1,0-【解析】【分析】把函数()21ln 2f x x x mx =+有两个极值点，转化为()0f x '=有两个不同正根12,x x ，利用分离参数法得到ln 1x m x +=-.令()()ln 1,0x h x x x +=->，y m =，只需()ln 1x h x x+=-和y m=有两个交点.利用导数研究()()ln 1,0x h x x x +=->的单调性与极值，即可求出m 的取值范围.【详解】()21ln 2f x x x mx =+的定义域为()0+∞，，()ln 1f x x mx '=++.要使函数()21ln 2f x x x mx =+有两个极值点，只需()0f x '=有两个不同正根12,x x ，并且在1x 的两侧()y f x =的单调性相反，在2x 的两侧()y f x =的单调性相反.由ln 10x mx ++=得，ln 1x m x+=-.令()()ln 1,0x h x x x+=->，y m =，要使函数()21ln 2f x x x mx =+有两个极值点，只需()ln 1x h x x +=-和y m=有两个交点.()2ln x h x x '=，令()2ln 0x h x x '=>得：x >1；令()2ln 0xh x x'=<得：0<x <1；所以()ln 1x h x x+=-在()0,1上单减，在()1,+∞上单增.当0x +→时，y →+∞；当x →+∞时，0y →；作出()ln 1x h x x+=-和y m=的图像如图，所以-1<m <0即实数m 的取值范围为()1,0-.故答案为：()1,0-【点睛】利用导数研究零点问题：（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象；（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数g （x ）的方法，把问题转化为研究构造的函数g （x ）的零点问题；（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究，16.若函数3()31f x x x =--在区间(2,23)a a -+上有最大值，则实数a 的取值范围是_________．【答案】122a -<≤-【解析】【分析】由导函数求得极大值，利用极大值点在区间(2,23)a a -+上，且(23)()f a f x +≤的极大值可得参数范围．【详解】2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，1x <-或1x >时，()0f x '>，11x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在(,1)-∞-和(1,)+∞上都递增，在(1,1)-上递减，max ()(1)1311f x f =-=-+-=，()f x 在区间(2,23)a a -+上有最大值，则32123(23)(23)3(23)11a a f a a a -<-<+⎧⎨+=+-+-≤⎩，解得122a -<≤-．故答案为：122a -<≤-．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.写出下列命题的否定，并判断真假．（1）正方形都是菱形；（2）∃x ∈R ，使4x -3>x ；（3）∀x ∈R ，有x +1=2x ；（4）集合A 是集合A ∩B 或集合A ∪B 的子集．【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析（3）答案见解析（4）答案见解析【解析】【分析】根据命题的否定的概念，逐一写出，并判断真假即可.【小问1详解】命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．【小问2详解】命题的否定：∀x ∈R ，有4x -3≤x ．因为当x =2时，4×2-3=5>2，所以“∀x ∈R ，有4x -3≤x ”是假命题．【小问3详解】命题的否定：∃x ∈R ，使x +1≠2x ．因为当x =2时，x +1=2+1=3≠2×2，所以“∃x ∈R ，使x +1≠2x ”是真命题．【小问4详解】命题的否定：集合A 既不是集合A ∩B 的子集也不是集合A ∪B 的子集，是假命题．18.已知函数()31f x x ax =--.（1）若()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，求a 的取值范围.（2）若()f x 的单调递减区间为(1,1)-，求a 的值.【答案】（1）(],3-∞；（2）3.【解析】【分析】（1）由题意可得()0f x '≥在(1,)+∞上恒成立，即23a x ≤在(1,)+∞上恒成立，转化为不等式右边的最小值成立，可得答案；（2）显然0a >，否则函数()f x 在R 上递增.利用导数求出函数()f x 的递减区间为(，再根据已知递减区间，可得答案【详解】（1）因为()23f x x a '=-，且()f x 在区间(1,)+∞上为增函数，所以()0f x '≥在(1,)+∞上恒成立，即230x a -≥在(1，+∞)上恒成立，所以23a x ≤在(1,)+∞上恒成立，所以3a ≤，即a 的取值范围是(],3-∞（2）由题意知0a >.因为()31f x x ax =--，所以()23f x x a '=-.由()0f x '<，得x <<所以()f x 的单调递减区间为(，又已知()f x 的单调递减区间为(1,1)-，所以(=(1,1)-，1=，即3a =.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，特别要注意：函数在某个区间[,]a b 上递增或递减与函数的递增或递减区间是[,]a b 的区别，属于基础题.19.（1）求函数2y x =的值域；（2）求函数311x y x -=+的值域．【答案】（1）15,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）{}3y y ≠【解析】【分析】（1）利用换元法，令0t =≥，解得x 后代入可得()2220y t t t =-+≥，根据二次函数性质可求得值域；（2）利用分离常数法可得431y x =-+，从而可得3y ≠，进而得到值域.【详解】（1）设0t =≥，则21x t =+()()2221220y t t t t t ∴=+-=-+≥∴当14t =时，min 11152848y =-+=2y x ∴=-的值域为15,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）()3143143111x x y x x x +--===-+++401x ≠+ 3y ∴≠311x y x -∴=+的值域为{}3y y ≠【点睛】本题考查函数值域的求解，重点考查了换元法和分离常数法求解根式型和分式型函数的值域；求解值域问题的关键是能够熟练掌握解析式的形式所对应的值域的求解方法.20.已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x ≤2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}，P ＝{|0x x ≤或52x ⎫≥⎬⎭，（1）求A ∩B ；（2）求(C U B )∪P ；（3）求(A ∩B )∩(C U P )．【答案】（1）{}|12x x -<≤；（2）{|0x x ≤或52x ⎫≥⎬⎭；（3）{}|02x x <≤.【解析】【分析】直接利用集合的基本运算求解.【详解】因为全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x ≤2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}，P ＝{|0x x ≤或52x ⎫≥⎬⎭所以（1）A ∩B {}=|12x x -<≤；（2）{|1U B x x =≤-ð或}3x >，则(C U B )∪P ={|0x x ≤或52x ⎫≥⎬⎭；（3）50|2U P x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭ð，则(A ∩B )∩(C U P ){}=|02x x <≤．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.21.已知函数()()()log 2log 2a a f x x x =+--，(0a >且1)a ≠．()1求函数()f x 的定义域；()2求满足()0f x ≤的实数x 的取值范围．【答案】（1）()2,2-；（2）见解析.【解析】【分析】()1由题意可得，{2020x x +>->，解不等式可求；()2由已知可得()()log 2log 2a a x x +≤-，结合a 的范围，进行分类讨论求解x 的范围．【详解】（1）由题意可得，{2020x x +>->，解可得，22x -<<，∴函数()f x 的定义域为()2,2-，()2由()()()log 2log 20a a f x x x =+--≤，可得()()log 2log 2a a x x +≤-，1a >①时，022x x <+≤-，解可得，20x -<≤，01a <<②时，022x x <-≤+，解可得，02x ≤<．【点睛】本题主要考查了对数函数的定义域及利用对数函数单调性求解对数不等式，体现了分类讨论思想的应用，属于基础试题．22.已知二次函数2()1()=-+∈f x x kx k R ．（1）若()f x 在区间[2,)+∞上单调递增，求实数k 的取值范围；（2）若()0f x ≥在(0,)x ∈+∞上恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）4k ≤；（2）k 2≤.【解析】【分析】（1）解不等式22k ≤即得解；（2）化为1≤+k x x 在(0,)x ∈+∞恒成立，令1()g x x x =+，求出函数()g x 的最小值即可.【详解】（1）若()f x 在(2,)x ∈+∞单调递增，则22k ≤，所以4k ≤；（2）因为()0f x ≥在(0,)x ∈+∞上恒成立，所以210-+≥x kx 在(0,)x ∈+∞恒成立，即1≤+k x x在(0,)x ∈+∞恒成立令1()g x x x =+，则1()2=+≥=g x x x ，当且仅当1x =时等号成立所以k 2≤.【点睛】方法点睛：处理参数的（1）分离参数法（先分离参数转化为函数的最值）；（2）分类讨论法（对参数分类讨论求解）.第15页/共15页。
陕西省咸阳市乾县第二中学2024学年高三下期末教学质量检测试题数学试题(文理)试卷
陕西省咸阳市乾县第二中学2024学年高三下期末教学质量检测试题数学试题（文理）试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．为比较甲、乙两名高二学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述正确的是（ ）A ．乙的数据分析素养优于甲B ．乙的数学建模素养优于数学抽象素养C ．甲的六大素养整体水平优于乙D ．甲的六大素养中数据分析最差2．已知函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，88f x f x ππ+=-（）（），且58f π=（），则b =（ ） A ．3B ．3或7C ．5D ．5或83．设0.380.3log 0.2,log 4,4a b c ===，则（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b a c <<4．下列图形中，不是三棱柱展开图的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆22(2)1x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．223B ．23C 36D 2366．设i 是虚数单位，复数1ii+=（ ） A ．1i -+B ．-1i -C ．1i +D ．1i -7．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，神兽人们喜爱．下图即是一副窗花，是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形．若在这个窗花内部随机取一个点，则该点不落在任何一个小正方形内的概率是（ ）A ．37B ．47C ．57D ．678．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ）A ．-1B ．1C ．0D ．29．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，以线段12F F 为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为P ，若直线2PF 与圆222:216⎛⎫-+= ⎪⎝⎭c b E x y 相切，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．y x =±B ．2y x =±C ． 3y x =±D ．2y x =±10．党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．11．设全集U =R ，集合{}221|{|}xM x x x N x =≤=，＜，则UM N =（ ）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[)0,1D ．(],1-∞12．设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过点1F 作圆222x y a +=的切线，与双曲线的左、右两支分别交于点,P Q ，若2||QF PQ =，则双曲线渐近线的斜率为（ ） A ．±1B ．()31±-C ．()31±+D ．5±二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2012-2013学年高二上学期期末模块考试数学(理)试题 Word版含答案
2012-2013学年度第一学期高二期末模块考试数学（理）试题（2013.1）说明：本卷为发展卷，采用长卷出题、附加计分的方式。
第Ⅰ、Ⅱ卷为必做题，第Ⅲ卷为选做题，必做题满分为 120 分，选做题满分为30分。
第Ⅰ卷为第1题 页至第 10 题，第Ⅱ卷为第11 题至第18 题，第Ⅲ卷为第19 题至第22 题。
考试时间120 分钟。
温馨提示：生命的意义在于不断迎接挑战，做完必做题后再挑战一下发展题吧，你一定能够成功！第I 卷（选择题，共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知在等差数列{}n a 中，若1a =4，45-=a ，则该数列的公差d 等于 A.1 B.53C. - 2D. 3 2.在ABC △中，已知4,6a b ==，60B =，则sin A 的值为3. 设a b >，c d >，则下列不等式成立的是 A. a c b d ->- B. ac bd > C.a dc b>D. b d a c +<+4.在ABC △中，60,6,10A b c ===，则ABC △的面积为A.B. C.15 D.30 5. 在等差数列{}n a 中，有67812a a a ++=，则该数列的前13项之和为 A ．24 B.52 C.56 D.1046. 不等式组13y x x y y <⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩表示的区域为D ，点P (0，－2)，Q (0，0)，则A. P ∉D ，且Q ∉DB. P ∉D ，且Q ∈DC. P ∈D ，且Q ∉DD. P ∈D ，且Q ∈D7.在ABC △中，::4:3:2a b c =，那么cos C 的值为A.14 B.14- C.78 D.11168. 在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项31=a ，前三项和为321S =，则4a = A ．32B.24C.27D ．549．已知变量,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-+01033032y y x y x ,若目标函数y x z +=2的最大值是A ．6B ．3 C.23D ．1 10. 等比数列}{n a 的前n 项和n S ，若36,963==S S ，则=++987a a a A. 72 B. 81 C. 90 D. 99提示：请将1—10题答案涂在答题卡上，11-22题写在答题纸上第Ⅱ卷（非选择题，共70分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11. 正数,x y 满足2x y +=，则x y ⋅的最大值为______ . 12. 数列{}n a 的前n 项和n S 满足31n n S =-，则n a = . 13. 若不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b +的值为 . 14. 在ABC ∆中，若cos cos a B b A =，则ABC ∆的形状一定是三、解答题(本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分12分) 解下列不等式 （1）2230x x +-< ; （2）203xx -≤+. 16. (本小题满分12分)已知在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别是c b a ,,，若46,5,cos 5a b A ===-（1）求角B 的大小;（2）求边c. 17. (本小题满分13分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，365,36a S ==，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2） 设2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18. (本小题满分13分)云南省镇雄县高坡村发生山体滑坡，牵动了全国人民的心，为了安置广大灾民，救灾指挥 部决定建造一批简易房,每间简易房是地面面积为1002m ，墙高为3m 的长方体样式，已知简易房屋顶每12m 的造价为500元，墙壁每12m 的造价为400元.问怎样设计一间简易房的地面的长与宽，能使一间简易房的总造价最低？最低造价是多少？第Ⅲ卷（发展题，共30分）19、（3分）在下列函数中，最小值是的是 A.12lg (0)lg y x x x=+> B. 2sin sin y x x =+()0,x π∈C. 2y =D.2x x y e e -=+20（3分）在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则AC 的取值范围为 . 21. (本小题满分12分)已知锐角三角形ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a b c ，，,若2sin a b A = （1）求B 的大小；（2）求C A sin cos +的取值范围.22. (本小题满分12分)已知各项均为正数的数列{}n a ，满足221120n n n n a a a a ++--= （*∈N n ），且21=a . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n n a a b 21log ⋅=,若n b 的前n 项和为n S ，求n S ;（3）在（2）的条件下，求使5021>⋅++n n n S 成立的正整数n 的最小值.2013年1月高二期末模块考试数学试卷（理科）参考答案一、选择题 1.C 2.A 3.D 4.B 5.B 6.C 7.C 8.B 9.A 10.B 二、填空题 11. 1 12. 132-⋅=n n a 13.14- 14、等腰三角形 三、解答题15.解：(1) (3)(1)0x x +-< {|31}x x ∴-<< -----------------------------------------6分(2)203x x -≥+ {|23}x x x ∴≥<-或 -----------------------------------------12分 16. 解：（1）由题知54cos -=A则53sin =A 且A 为钝角 -----------------------------------------4分由正弦定理得B b A a sin sin =，21sin =B 所以30=B -----------------------------------------8分（2）bca cb A 2cos 222-+=整理得01182=-+c c解得433-=c -----------------------------------------12分17解: （1）设{}n a 的公差为d , 则1125656362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩------------------3分 即112556a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得112a d =⎧⎨=⎩,-----------------------------------------6分*12(1)21,()n a n n n N ∴=+-=-∈.-------------------------------8分 (2) 2122n an n b -==135212222n n T -∴=++++--------------------------------------10分2(14)2(41)143n n --==-------------------------------------------12分18. 解：设地面的长为x m,宽为m x100--------------------------------------2分 则总造价400)10066(500100⨯⨯++⨯=xx y --------------------------------------6分 2400)100(50000⨯++=xx y 9800024002050000=⨯+≥所以，当且仅当xx 100=时，即x=10m 时，y 取得最小值.--------------------------------------10分答：设计地面长宽均为10m 时，造价最低，为98000元。
陕西省咸阳市2022-2023学年高二上学期期末理科数学试题
（1）当 a 1时，求关于 x 的不等式 f (x) 0 的解集；
（2）若关于 x 的不等式 f (x) 0 的解集为 R ，求实数 a 的取值范围．
18. 已知 an 是公差不为 0 的等差数列， a1 1，且 a1 、 a2 、 a5 成等比数列.
（1）求数列an 的通项公式；
（2）设 bn
an1 2an 2n1 ，且 a1 2 ，则数列 an 的前 n 项和 Sn （）
的 A. n12n12
B. n 2n1 2
C. n 1 2n 2
D. n 1 2n 2
12.
已知
F1,
F2
为双曲线
x2 a2
y2
b2
1(a 0,b 0) 的左､
右焦点，过
F1
作
y
b a
x
的垂线分别交双曲线的左
､ 右两支于 B,C 两点(如图).若 CBF2 CF2B ，则双曲线的渐近线方程为（）
A. y 3x
B. y 2x
C. y 3 1 x
D. y 3 1 x
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
r
r
13. 已知空间向量 a 6, 3,1 与 b 3, x, y 共线，则 x y ______.
中点， AD SD CD 2AB 2 .用空间向量知识解答下列问题：
（1）求证： DM 平面 SAB ； （2）求平面 SAB 与平面 SBC 的夹角.
21.
已知椭圆 C
:
x2 a2
y2
1(a
1) 的左，右焦点分别为
F1, F2
，离心率为
3. 2
2022-2023学年陕西省西安市高二上学期第二次考试数学(理)试题(解析版)
2022-2023学年陕西省西安市高二上学期第二次考试数学（理）试题一、单选题1．“0m >”是“方程2212x y m+=表示椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据椭圆方程的定义即可判断结果．【详解】方程2212x y m +=表示椭圆的充要条件是0m >且2m ≠ 所以“0m >”是“方程2212x y m+=表示椭圆”的必要不充分条件． 故选：B2．命题“0x ∀>，有20x x ->”的否定是 A ．0x ∃>有20x x -≤ B ．0x ∃≤有20x x -< C ．0x ∀>有20x x -≤ D ．0x ∃≤有20x x -≤【答案】A【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可． 【详解】因为全称命题的否定是特称命题， 所以，命题p ：∀x ＞0，2x x -＞0， 则它的否定是：∃x ＞0，20x x -≤． 故选A ．【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题． 3．双曲线22149x y -=的渐近线方程是（ ）A ．23y x =± B ．49y x =± C ．94y x =±D ．32y x =±【答案】D【分析】依据双曲线性质，即可求出．【详解】由双曲线22149x y -=得，224,9a b == ，即2,3a b == ， 所以双曲线22149x y -=的渐近线方程是32b y x x a =±=±， 故选：D ．【点睛】本题主要考查如何由双曲线方程求其渐近线方程，一般地双曲线22221x y a b-=的渐近线方程是b y x a =±；双曲线22221y x a b -=的渐近线方程是a y x b =±．4．过椭圆的右焦点2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于A B ，两点，1F 为椭圆的左焦点，若1F AB 为正三角形，则椭圆的离心率为 A ．3 B ．33C ．23-D ．21-【答案】B【分析】由题意，由于1F AB ∆为正三角形，可得在12Rt AF F ∆中，有121222,23AF AF F F c AF ===，再结合椭圆的定义可得12223a AF AF AF =+=，再由椭圆离心率的公式，即可求解. 【详解】根据题意，如图所示，可得1F AB ∆为正三角形，可得在12Rt AF F ∆中，有121222,23AF AF F F c AF ===， 点A 在椭圆上，由椭圆的定义可得12223a AF AF AF =+=， 则该椭圆的离心率121233F F c c a AF AF ===+，故选B. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质，其中解答中注意借助直角三角形的性质分析1212,,AF AF F F 之间的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中， AC 与BD 的交点为M .设11111,,,===A B a A D b A A c ，则下列向量中与1B M 相等的向量是（ ）A ．1122a b c --+B ．1122a b c -++C ．1122a b c -+D ．1122a b c ++【答案】B【分析】根据1112=+=+B M B B BM c BD 代入计算化简即可.【详解】()1111112222=+=+=++=-++B M B B BM c BD c BA BC a b c故选：B.6．已知A （3，2），点F 为抛物线22y x =的焦点，点P 在抛物线上移动，为使PA PF +取得最小值，则点P 的坐标为（ ） A ．（0，0） B ．（2，2）C ．()1,2D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【分析】设点P 到准线的距离为d ，根据抛物线的定义可知PA PF PA d +=+，即可根据点到直线的距离最短求出．【详解】如图所示：设点P 到准线的距离为d ，准线方程为12x =-，所以17322PA PF PA d AB +=+≥=+=，当且仅当点P 为AB 与抛物线的交点时，PA PF +取得最小值，此时点P 的坐标为()2,2． 故选：B ．7．已知1F ，2F 是椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且12PF PF ⊥，若12PF F △的面积为9，则b =（ ）A ．3B ．9C ．92D ．12【答案】A【分析】结合三角形的面积、勾股定理、椭圆的定义列方程，化简求得b 的值. 【详解】设12,PF m PF n ==, 依题意22221924m n a mn m n c+=⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩，整理得224364c a +=，即222244436,9,3a c b b b -====. 故选：A8．设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交C 于A ，B 两点，则AB = AB ．6C ．12 D．【答案】C【详解】试题分析：由题意，得3(,0)4F ．又因为0k tan 30==故直线AB的方程为3)4y x -，与抛物线2=3y x 联立，得21616890x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，由抛物线定义得，12AB x x p =++=168312162+=，选C ． 【解析】1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义．9．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，下列条件中能确定点M 与点A ，B ，C 一定共面的是A ．OM OA OB OC =++ B ．23OM OA OB OC =++ C ．111222OM OA OB OC =++D ．111333OM OA OB OC =++【答案】 D【分析】首先利用坐标法，排除错误选项，然后对符合的选项验证存在,λμ使得AM AB AC λμ=+，由此得出正确选项.【详解】不妨设()()()()0,0,0,1,0,1,0,0,1,0,1,1O A B C .对于A 选项，()1,1,3OM OA OB OC =++=，由于M 的竖坐标31>，故M 不在平面ABC 上，故A 选项错误.对于B 选项，()231,3,6OM OA OB OC =++=，由于M 的竖坐标61>，故M 不在平面ABC 上，故B 选项错误.对于C 选项，111113,,222222OM OA OB OC ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，由于M 的竖坐标312>，故M 不在平面ABC 上，故C 选项错误.对于D 选项，11111,,133333OM OA OB OC ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，由于M 的竖坐标为1，故M 在平面ABC 上，也即,,,A B C M 四点共面.下面证明结论一定成立：由111333OM OA OB OC =++，得()()1133OM OA OB OA OC OA -=-+-，即1133AM AB AC =+，故存在13λμ==，使得AM AB AC λμ=+成立，也即,,,A B C M 四点共面.故选：D.【点睛】本小题主要考查空间四点共面的证明方法，考查空间向量的线性运算，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10．抛物线2:4W y x =的焦点为F ，点A 在抛物线上，且点A 到直线3x =-的距离是线段AF 长度的2倍，则线段AF 的长度为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】利用抛物线定义可得点A 到直线3x =-的距离是点A 到准线x ＝－1的距离的2倍，从而可得结果.【详解】解：依题意，得F （1,0），抛物线的准线为x ＝－1， 线段AF 的长等于点A 到准线x ＝－1的距离， 因为点A 到直线3x =-的距离是线段AF 长度的2倍，所以，点A 到直线3x =-的距离是点A 到准线x ＝－1的距离的2倍 设A 点横坐标为0x ，是0x ＋3＝2（0x ＋1），解得：0x ＝1， 所以，｜AF ｜＝1－（－1）＝2 故选B【点睛】本题考查了抛物线定义，考查了数形结合的思想，属于基础题.11．设椭圆()222210x y a b a b+=>>的两焦点为12,F F ，若椭圆上存在点P ，使12120F PF ∠=，则椭圆的离心率e 的取值范围为.A ．B ．3(0,]4C ．D ．3[,1)4【答案】C【详解】当P 是椭圆的上下顶点时,12F PF ∠最大, 121120180,6090,F PF F PO ∴︒≤∠<︒∴︒≤∠<︒12sin 60sin sin 90,F PF ∴︒≤∠<︒11,,1cF P a F O c a ==≤<则椭圆的离心率e 的取值范围为⎫⎪⎪⎣⎭,故选C. 【点睛】本题考查了椭圆的几何意义,属于中档题目.在客观题求离心率取值范围时,往往利用图形中给出的几何关系结合圆锥曲线的定义,找出a,b,c 之间的等量关系或者不等关系, 考查学生的数形结合能力,在主观题中多考查直线与圆锥曲线的位置关系,利用方程的联立和判别式解不等式求出离心率的范围.12．已知P 为双曲线22143x y -=右支上的一点，12,F F 是该双曲线的左、右焦点，I 为12PF F ∆的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ∆∆∆=+成立，则λ的值为A BC ．32D ．233【答案】B【详解】试题分析：设12PF F ∆内切圆的半径为r ，由双曲线的定义得12124,27PF PF F F -==，12121212111,,222IPF IPF IF F S PF r S PF r S F F r ∆∆∆===，由题意得1212111222PF r PF r F F r λ=+，所以1212427727PF PF F F λ-===. 故选 B.【解析】双曲线的简单性质.【思路点睛】设三角形12PF F ∆的内切圆的半径为r ，运用双曲线的定义和三角形的面积公式可得，124PF PF -=，和1212111222PF r PF r F F r λ=+，化简整理可得1212PF PF F F λ-=，即可得到所求值.本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率和定义的运用，同时考查三角形的面积公式的运用，运算求解能力，属于中档题.二、填空题13．已知()1,2,1n =-为平面α的一个法向量，()2,,1a λ=-为直线l 的方向向量.若//l α，则λ=__________.【答案】32##1.5【分析】根据线面平行列方程，化简求得λ的值. 【详解】由于//l α，所以()()31,2,12,,12210,2n a λλλ⋅=-⋅-=-+-==. 故答案为：3214．抛物线2y ax =的焦点坐标为_____. 【答案】10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的性质可得焦点坐标.【详解】当0a >时，整理抛物线方程得21x y a=，即12p a =，由抛物线()220x py p =>的焦点为0,?2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所求焦点坐标为10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭.当a<0时，同样可得. 故答案为：10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：该题主要考查抛物线的性质，解题方法如下： （1）先将抛物线方程化为标准形式； （2）根据其性质得到其焦点坐标.15．以双曲线C ：()222103x y a a-=>的一个焦点F 为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，则该圆的面积为________． 【答案】3π【分析】根据双曲线方程可确定焦点坐标及渐近线方程，利用焦点F 到渐近线方程的距离为圆的半径，即可得圆的面积.【详解】解：双曲线()222103x y a a-=>的2223b c a ==-，则可设焦点F 为(),0F c ，渐近线方程为：y x =0ay ±=，则F==2π3π⨯=.故答案为：3π.16．已知1F ，2F 是椭圆C :22221x ya b+=（0a b >>）的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为_______. 【答案】14【解析】求得直线AP 的方程，根据题意求得P 点坐标，代入直线方程，即可求得椭圆的离心率. 【详解】如图所示，由题意知：()()()12,0,,0,,0A a F c F c --， 直线AP 的方程为)3y x a =+， 由12212120,2F F P PF F F c ∠===， 则(23)P c c 代入直线AP )332c c a =+， 整理得4a c =，∴所求的椭圆离心率为14c e a ==. 故答案为：14【点睛】本题考查了椭圆的几何性质与直线方程的应用问题，也考查了数形结合思想，是中档题.三、解答题17．设抛物线()20y mx m =≠的准线与直线1x =的距离为8，求抛物线的方程．【答案】228y x =或236y x =-【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，列出关系式求解即可.【详解】抛物线()20y mx m =≠的准线为4m x =-， 由题意知，该直线与直线1x =的距离为8，即184m--=，解得28m =或36m =-. 当28m =时，抛物线的方程为228y x =；当36m =-时，抛物线的方程为236y x =-. 所以，抛物线的方程为228y x =或236y x =-.18．已知命题p ：221373x y m m +=+-表示焦点在x 轴的双曲线，命题q ：()()52xf x m =-是增函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．【答案】3m ≤-或327m ≤< 【分析】利用双曲线方程的性质化简命题p 可得337m -<<，利用指数函数的性质化简命题q 可得m <2，由p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，可得p 、q 一真一假，分两种情况讨论即可求得实数m 的取值范围．【详解】若p 是真，则30730m m +>⎧⎨-<⎩解得337m -<<，若q 是真，只需5－2m >1即m <2 ， 由于p 或q 为真命题，p 且q 为假命题， 故p 、q 中一个真，另一个为假命题， 因此，当p 真q 假时，3372m m ⎧-<<⎪⎨⎪≥⎩得m 无解； 当q 真p 假时，3m ≤-或327m ≤<；综上所述：3m ≤-或327m ≤<19．设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于A ，B 两点，P 是l 上满足1PA PB ⋅=的点，求点P 的轨迹方程．【答案】()2212263x y x +=-<< 【分析】设出直线方程，联立直线与椭圆方程，得出A ，B 两点坐标的关系式，代入1PA PB ⋅=整理，即可得到结果.【详解】将椭圆化为标准方程得，22142x y +=.设动直线l 方程为()00:22l x x x =-<<. 联立直线与椭圆方程22024x y x x ⎧+=⎨=⎩可得，220240y x +-=.设()1,A m y ，()2,B m y ，则120y y +=，201242x y y -=. 设()0,P m y ，则()100,PA y y =-，()200,PB y y =-由1PA PB ⋅=，可得()()()210201212001y y y y y y y y y y --=-++= 代入整理可得，()220002622x y x +=-<<.所以，点P 的轨迹是椭圆的一部分，方程为()2212263x y x +=-<< 20．已知双曲线E 的中心为原点，()3,0F 是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB的中点为()12,15N --，求E 的方程． 【答案】22145x y -=【分析】利用点差法求得E 的方程.【详解】由于()3,0F 是E 的焦点，所以双曲线焦点在x 轴上，3c =， 所以2229a b c +==①，设双曲线E 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，设()()1122,,,A x y B x y ，所以2222112222221,1x y x y a b a b-=-=，两式相减并化简得2121221212151505121234y y y y b a x x x x +----=⋅=⋅=+----， 所以2254a b =②， 由①②得224,5a b ==， 所以E 的方程为22145x y -=. 21．如图（1）图所示，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，π2BAD ∠=，1AB BC ==，2AD =，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将ABE 沿BE 折起到1A BE 的位置，如图（2）所示．(1)证明:CD ⊥平面1A OC ；(2)若平面1A BE ⊥平面BCDE ，求平面1A BC 与平面1A CD 所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解 6【分析】（1）先证BE ⊥平面1A OC ，又//CD BE ，得CD ⊥平面1A OC ；（2）由已知得1A OC ∠为二面角1A BE C --的平面角，如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系，求出平面1A BC 的法向量()1111,,n x y z =，平面1A CD 的法向量()2222,,n x y z =，面1A BC 与面1A CD 锐二面角为θ，由1226cos cos ,323n n θ===⨯，即得平面1A BC 与平面1A CD 锐二面角的余弦值. 【详解】（1）在图（1）中，因为1AB BC ==，2AD =，E 是AD 的中点，2BAD π∠=，所以BE AC ⊥则在图（2）中，1BE OA ⊥，BE OC ⊥，1OA OC O ⋂=，1OA 平面1A OC ，OC ⊂平面1A OC ， 从而BE ⊥平面1A OC ，又//CD BE ，所以CD ⊥平面1A OC ．（2）由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE ，平面1A BE 平面BCDE BE =，又由（1）知，1BE OA ⊥，BE OC ⊥，所以1A OC ∠为二面角1A BE C --的平面角，所以12A OC π∠=．如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系，因为111A B A E BC ED ====，//BC ED ， 则2BE =，122OB OE OC OA ====所以22B ⎫⎪⎪⎝⎭，22E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，120,0,2A ⎛ ⎝⎭，22C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，得BC ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭，1AC ⎛= ⎝⎭，()CD BE ==-． 设平面1A BC 的法向量()1111,,n x y z =，平面1A CD 的法向量()2222,,n x y z =，锐二面角为θ， 则11100n BC n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得111100y y ⎧=⎪⎪=，取()11,1,1n =，22100n CD n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22200y ==，取()20,1,1n =，从而12cos ,3n n == 所以， 126cos =cos ,3n n θ=即平面1A BC 与平面1A CD ． 22．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点()1,0F ，O 为坐标原点，A 、B 是抛物线C 上异于O 的两点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线OA 、OB 的斜率之积为12-，求证：直线AB 过x 轴上一定点．【答案】(1)24y x =； (2)证明见解析.【分析】（1）根据抛物线焦点坐标，直接求得p ，则抛物线方程得解； （2）设出直线AB 的方程，利用韦达定理，结合已知条件，即可求得结果. 【详解】（1）根据题意，12p=，则2p =，故抛物线方程为：24y x =. （2）显然直线AB 的斜率不为零，且不过原点，故设其方程为(),0x my n n =+≠， 联立抛物线方程24y x =可得：2440y my n --=，216160m n =+>时， 设,A B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则12124?,4y y m y y n +==-，()21221216y y x x n ==，由题可知，121212y y x x ⨯=-，即2412n n -=-，解得8n =，此时满足0>，8,0. 故直线AB恒过x轴上的定点()。
陕西省咸阳市礼泉县2024-2025学年高一上学期期中学科素养评价质量调研数学试题
陕西省咸阳市礼泉县2024-2025学年高一上学期期中学科素养评价质量调研数学试题一、单选题1．命题p ：x M ∀∈，3210x x -+<的否定是（）A ．x M ∀∉，3210x x -+<B ．x M ∀∈，3210x x -+≥C ．x M ∃∈，3210x x -+<D ．x M ∃∈，3210x x -+≥2．已知集合{1,2},{2,3},{2,4}A B C ===，则()A B C ⋂⋃=（）A ．{1,2}B ．{2}C ．{2,4}D ．{1,2,3,4}3．下列图象中，可以表示函数=图象的是（）A ．B ．C ．D ．4．不等式2450x x -++<的解集为（）A ．{}15x x -<<B ．{5xx >∣或1}x <-C ．{1xx >∣或5}x <-D ．{}51x x -<<5．下列各组函数表示同一函数的是（）A ．()0f x x =，()1g x =B ．()f x =()g x =C ．()21f n n =+（n ∈Z ），()21g n n =-（n ∈Z ）D ．(),0,,0,x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩()g t t =6．已知a b c >>，则下列不等式恒成立的是（）A ．2a b c +<B ．11a cb c>++C ．11b c a c>--D ．ac bc-<-7．已知m ，n ∈R ，则“2mn >”是“224m n +>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意两个不相等的正数1x ，2x ，都有()()12120f x f x x x -<-．设()6a f =-，()4b f =-，()5c f =，则（）A ．a c b <<B ．c b a <<C ．b c a<<D ．a b c<<二、多选题9．设0a >，则下列运算中正确的有（）A ．40.25a a a =B ．0.52-=C ．()339a a =D 3π=-10．已知函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，则（）A ．0c <B ．2b a =C ．20a b c ++<D ．关于x 的不等式20cx bx a ++<的解集为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭11．设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，如[]2.53-=-，[]1.51=．设函数24()1xf x x =+，()[()]g x f x =，则下列说法正确的有（）A ．[π]4-=-B ．0x ∃∈R ，0()3g x =C ．()f x 的图象关于原点对称D ．()g x 在(0,)+∞上单调递增三、填空题12．函数()211x f x x -=-的定义域为．13．集合{}0,1,2A =的真子集的个数是.14．为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润S （单位：万元）与生产线运转时间t （单位：年）满足二次函数关系：225472S t t =-+-，该新生产线年平均利润最大为万元．四、解答题15．已知全集U =R ，集合{}32A x x =-≤≤，{}04B x x =<<，{}13C x x a =≥-．(1)求U A B U ð；(2)若U C B C = ð，求实数a 的取值范围．16．已知幂函数()()22mf x m m x =+的图象过点()4,2．(1)求()f x 的解析式；(2)若函数()()()91g x f x f x =++，求()g x 的最小值．17．已知关于x 的不等式2520x x a -+<的解集为{}1x m x m <<+．(1)求实数,a m 的值；(2)解不等式111ax mx +>-．18．已知函数()9f x x x=+．(1)证明：函数()f x 是奇函数；(2)用定义证明函数()f x 在()3,+∞上单调递增；(3)若[]1,5x ∈，求函数()f x 的最大值．19．已知函数()22f x x mx m =-+．(1)若关于x 的不等式()0f x >恒成立，求实数m 的取值范围；(2)若函数()f x 在[]1,4上单调递减，求实数m 的最小值；(3)是否存在实数m ，使得()f x 在[]1,4上的值域恰好是[]1,4？若存在，求出实数m 的值；若不存在，说明理由．。
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陕西省咸阳市2011~2012学年度第一学期期末质量检测
高二数学（理科）试题
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 不等式2210x x -+≤的解集是（ ）
A ．{}1 B.∅ C.(,)-∞+∞ D. (,1)(1,)-∞+∞
2. 抛物线28y mx =（0m >），F 是焦点，则m 表示（ ）
A ．F 到准线的距离 B.F 到准线的距离的14
C ．F 到准线的距离的18
D.F 到y 轴的距离 3. 双曲线22
1169
x y -=的焦点坐标是（ ）
A ． (、 B.(0,、
C ．(4,0)-、(4,0) D.(5,0)-、(5,0)
4. 在数列1, 1，2，3，5, 8，x ，21, 34, 55中，x 等于（ ）
A ．11 B. 12 C. 13 D. 14
5. 不等式10x x
-
>成立的充分不必要的条件是（ ） A ．1x > B. 1x >- C. 1x <-或01x << D. 10x -<<或1x > 6. (21)(4)0x y x y ++-+≤表示的平面区域为（ ）
7. 在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30,60，则塔高为（ ）
A ．
4003m D. 2003
m 8. 如图，已知直线AC 、BD 是异面直线，AC CD ⊥，
BD CD ⊥，且2AB =，1CD =，则直线AB 与CD 的夹角大
小为（ ） A ．30 B.45 C. 60 D. 75
9．在正项等比数列{}n a 中，若569a a ⋅=，则
313233310log log log log a a a a ++++等于（ ）
A ． 8 B. 10 C.12 D.2log 5a +
10.已知12,F F 是椭圆的两焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆的内部，则该椭圆的离心
率的取值范围为（ ）
A ．(0,1) B. 1(0,)2
C.
D. 第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上）
11. 命题“存在20,10x R x ∈+<”的否命题是 .
12．已知(2,1,2)=-a ，(4,2,)=-b x ，且∥a b ，则x = .
13. 已知F 是抛物线24y x =的焦点， ,A B 是抛物线上两点，AFB ∆是正三角形，则该正三角形的边长为 .
14. 设,x y 满足约束条件36020,0,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩
若目标函数z ax by
=+（0,0a b >>）的最大值为1，则
23a b
+的最小值为 . 15.如图，已知矩形ABCD 中，3AB =，BC a =，若PA ⊥平面AC ，
在BC 边上取点E ，使PE DE ⊥，则满足条件的E 点有两个时，a 的
取值范围是 .
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（本小题满分12分） 设命题p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a <；命题q ：实数x 满足
204x x +≥+，且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求a 的取值范围.
17. （本小题满分12分）
设a ，b 均为正数，
2
11a b +； （Ⅱ）如果依次称2a b +
211a b
+分别为,a b 两数的算术平均数、几何平均数、调和平均数. 如右图，C 为线段AB 上的点，令AC a =，CB b =，O 为AB 的垂线交半圆于D . 连结OD ，AD ，BD . 过点C 作OD 的垂线，垂足为E . 图中线段OD 的长度是,a b
的算术平均数，
请分别用图中线段的长度来表示,a b 两数的几何平均数和调和平均数，并说明理由.
18. （本小题满分12分）
设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知34a =，39S =
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令1
1n n n b a a +=
⋅，求数列{}n b 的前10项和.
19. （本小题满分12分）
如图，B 、A
是某海面上位于东西方向相距.现位于B 点正北方向、A 点北偏东45方向的C 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点北偏西60、A 点北偏西15的D
点的救援船立即前往营救，其航行速度为C 点需要多少时间？
20.（本小题满分13分）
已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，AB DC ∥，90DAB ∠=，PA ⊥底面ABCD ，且1PA AD DC ===，2AB =，M 是PB 的中点.
（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ；
（Ⅱ）求平面AMC 与平面ABC 夹角的余弦值
.
21.（本小题满分14分）
已知椭圆
22
22
:1(0)
x y
C a b
a b
+=>>过点
3
(1,)
2
，且离心率
1
2
e=.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若直线:(0)
l y kx m k
=+≠与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分
线过定点
1
(,0)
8
G，求k的取值范围.。