2006年国家集训队测试题答案

i
− bj ) ≤
2
1≤i ≤ k < j ≤ n
∑ (b
i
− b j − 1) =
2
1≤i ≤ k < j ≤ n
∑ [(b
i
− b j ) − 2(bi − b j ) + 1]
2
从而
0 ≤ −2
或者
1≤i ≤ k < j ≤ n
∑ (b
i
− b j ) + k (n − k )
2n ∑ bi ≤ 2k ∑ bi + k (n − k ) = k (2n + 1 − k )
i = 1,2,L, n 部分和 x1 + x 2 + L + xi 小于等于部分和 y1 + y 2 + L + yi 。则
2 2 2 2 x12 + x 2 + L + xn ≤ y12 + y 2 + L + yn
证明： 令 si = x1 + x 2 + L + xi ， t i = y1 + y 2 + L + y i ， 则 si +1 − si = xi +1 , t i +1 − t i = y i +1 ，
从而
CE − AE = AF − CF
或者
CE − AF = AE − CF .
在直线 AB 上取一点 E1 使得 E1 AFC 是平行四边形。则 AE1 = CF ， AF = CE1 。因 此
AE − AE1 = AE − CF = CE − AF = CE − CE1
即， EE1 =| CE − CE1 | . 由三角不等式知 E = E1 ，从而 l1 // l 2 。
设 a1 , a 2 , L, a n 是给定的 n 个实数 (n ≥ 1) . 求证： 存在实数 b1 , b2 ,L, bn 满足下列条 件：
( a ' )对任何的 1 ≤ i ≤ n ， ai − bi 是整数; (b)
1≤ i < j ≤ n
∑ (bi − b j ) ≤
2
n2 −1 . 12
a 0 > a 0 − a n = b0 b1 (a 0 − a1 )∑
这推出
1 ， k = 0 bk bk +1
n −1
∑b b
k =0 k
n
1
k +1
<
a0 . b0 b1 (a 0 − a1 )
+1 , 则 b + bn +1 b1 + b2 b2 + b3 + +L+ n 2 2 2
3． 设 a1 , a 2 , L, a n 是给定的 n 个实数 (n ≥ 1) . 求证：存在实数 b1 , b2 ,L, bn 满足下
列条件：
(a)对任何的 1 ≤ i ≤ n ， ai − bi 是正整数; (b)
1≤ i < j ≤ n
∑ (bi − b j ) ≤
2
n2 −1 . 12
解：我们首先考虑下面的问题：
1≤i ≤ k 1≤i ≤ n
计算可得
1≤ i ≤ k
∑b
i
≤
k ( 2n + 1 − k ) n n − 1 n − k +1 = + +L+ 2n n n n
对序列 b1 , b2 , L , bn 和
n n −1 1 , , L, 运用引理 2 得 n n n (n + 1)(2n + 1) 2 n b12 + b2 + L + bn ≤ 6n
3 3
x1 + x 2 + L + x n ≤
< b1 + b2 + L + bn +1 ≤ (n + 1) 2 ≤ 4n 2 .
对任意正整数 k ，
3 ⎛ ⎞ 2 ⎟ ⎜ 4 ( 2 ) k 2 ⎜ ⎟ ⎛ x + L + x2k ⎞ ⎝ ⎠ . ≤ ⎜ k +1 ⎟ < 2 k k ⎝ ⎠ 2
k 1 x k2+1 + 1 x k2+ 2 1 +L+ 2 x2k
n ≥ 1;
(b)
∑b
i =0
n
i
≤ n , n ≥ 1,
3 2
求 {a n } 的通项. 解：由(a), 我们有
a n − a n +1 =
故
bn −1 (a n −1 − a n ) bn +1
a n − a n +1 =
b0 b1 (a 0 − a1 ), bn bn +1
(∗)
若 a1 = a 0 = 1, 则 a n = 1. 下证 a1 < a 0 = 1 . 由 (∗)
2．求所有的正整数对 (a, n) 使得
(a + 1) n − a n n
是整数. 解：若 a 为任意正整数，则 (a,1) 显然是原问题的解，下面我们证明原问题没有其 他解。 假设 (a, n) n ≥ 2 是原问题的一个解，则存在某正整数 k，使得
(a + 1) n − a n = kn .
由于 a 和 a + 1 互素，由上面的方程可知 n 肯定和 a 和 a + 1 都互素。由欧拉定理可得
(a + 1) ϕ ( n ) ≡ a ϕ ( n ) ≡ 1 (mod n) .
令 d = gcd(n, ϕ (n)) 。由 Bezout 不等式，存在整数 α 和 β 使得 d = αn + βϕ (n) 。由
(a + 1) n ≡ a n (mod n) 和 (a + 1) ϕ ( n ) ≡ a ϕ ( n ) ≡ 1 (mod n) 可推出 (a + 1) d ≡ (a + 1) αn + βϕ ( n ) ≡ a αn + βϕ ( n ) ≡ a d (mod n) .
2
最后，我们有
1≤ i < j ≤ n
∑ (b
i
− b j ) = (n − 1) ∑ bi − 2
2 1≤i ≤ n
1≤ i < j ≤ n
∑b b
i
2 j
⎛ ⎞ = n ∑ bi − ⎜ ∑ bi ⎟ 1≤i ≤ n ⎝ 1≤i ≤ n ⎠
2
2
≤
(n + 1)(2n + 1) (n + 1) 2 n 2 − 1 − = 。 6 4 12
i =1
n
(a)和(b)。因此两个问题是等价的。我们将给出新问题的解答。
对一个实数序列 X = {xi }in=1 ，我们用 Δ( X ) 表示
1≤ i < j ≤ n
∑ (x
i
− x j ) 。对一个实数序列
2
A = {ai }in=1 我们用 Φ ( A) 表示使得 ai − bi (i = 1,2,L, n) 为整数的所有序列 B = {bi }in=1
si ≤ t i 。 由 Abel 公式，要证不等式左边等价于
s1 ( x1 − x 2 ) + s 2 ( x 2 − x3 ) + L + s n −1 ( x n −1 − x n ) + s n x n ≤ t1 ( x1 − x 2 ) + t 2 ( x 2 − x3 ) + L + t n −1 ( x n −1 − x n ) + t n x n = x1 y1 + x 2 y 2 + L + x n y n = s1 ( y1 − y 2 ) + s 2 ( y 2 − y 3 ) + L + s n −1 ( y n −1 − y n ) + s n y n ≤ t1 ( y1 − y 2 ) + t 2 ( y 2 − y 3 ) + L + t n −1 ( y n −1 − y n ) + t n y n
显然 d > 1 (否则 a + 1 ≡ a (mod n) 推出 n = 1 )。 同时注意到 ϕ (n) < n ，所以 d < n 。因此
(a, d ) 是原问题的另一个解并且 1 < d < n 。重复上述过程我们就得到了一个无穷递降正整
数序列，而这是不可能的，因此上面的假设是错误的，即没有 n > 1 的解。
'
从而序列 B 满足条件( a )和(b)。
国家集训队考试试题解答（二）
2006 年 3 月 20 日 8：30—12：30， 沈阳 1． 设两正数列 {a n }、 { bn } 满足 (a)
a 0 = 1 ≥ a1 ,
a n (bn −1 + bn +1 ) = a n −1bn −1 + a n +1bn +1 ,
' ' ' ' '
显然条件(a)强于条件( a )。 另一方面， 如果序列 (b 1 , b 2 ,L , b n ) 满足条件( a )和(b)，
不难证明序列 (b1 , b2 ,L , bn ) （其中 bi = b ' i − ∑ | ai − b ' i | − 1 (1 ≤ i ≤ n) ）满足条件
2 ≤ k x k2+1 L x 2 k
这推出
1 x
故
2 k +1