不定方程x_3_1_301y_2的整数解_高丽

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关于丢番图方程x^(3)+1=413y^(2)

2021年3月第38卷第i 期南宁师范大学学报(自然科学版)Journal of Nanning Normal University (Natural Science Edition )Mar.2021Vol.38 No.iD0I ：10.16601/ki.issn2096-7330.2021.01.007文章编号:2096-7330 (2021) 01-0043-04关于丢番图方程%3 + 1 — 413y 2 *华程( 泰州学院数理学院, 江苏泰州 225300)摘要:利用同余式、平方剩余、佩尔方程的解的性质和递归序列证明了不定方程%3 + i — 4i3y 2的整数解只有(%,y) — ( - 1,0).关键词:不定方程;奇素数;整数解;同余式;平方剩余;递归序列中图分类号：0156 文献标志码：A1引言有许多学者研究过如下形式的丢番图方程：%3 + 1 = Dy 2, D > 0. (1)文献［1 ］证明了，当D > 2无平方因子且不含6k + 1型的素因子时，方程(1)只有平凡解(%,y) — ( - 1, 0).但当D 含6k + 1型的素因子时，求方程的非平凡解十分困难,其中一类典型的不定方程为%3 + 1 = 7qy 2, q 为奇素数. (2)对方程(2)的研究到目前只有一些零散的结果［2~7］.本文讨论了 q — 59的情形，证明了如下定理：定理1不定方程%3 + 1 — 413y 2(3)只有平凡解(%,y) — ( - 1,0).2主要结果的证明引理1[8]设p 是奇素数,则方程4%4 - py 2 — 1除p — 3,% = y = 1和p — 7,% = 2,y = 3外，无其他的正整数解.引理 2[8]方程 %2 - 3y 4 — 1 仅有整数解(%,y) — ( ± 2, ± 1),( ± 7, ± 2),( ± 1, ± 0).引理3[8]设p 是奇素数,则方程%4 -py — 1除p — 5,% = 3,y = 4和p — 29,% — 99,y — 1820夕卜，无其他的正整数解.收稿日期：2020-06-23基金项目：江苏省自然科学基金(BK20i7i3i8);泰州学院教博基金(TZXY2018JBJJ002) 作者简介:华程(1985-),男，江苏泰州人，讲师，硕士，研究方向:初等数论和数学教学论.定理1的证明因为(% + 1,%2 - % + 1) — 1或3,故方程(3)可分为以下8种情形情形 I % + 1 —:59u ,%2 - % + 1 — 7y 2 ,y =仏农,(u ,v ) = 1 ；情形 II% + 1 :—7仏2,%2 - % + 1 — 59y 2 ,y =仏农,(u ,v ) = 1;情形皿% + 1—u , % — % + 1 — 413矽,y — uv ,(仏,矽)—1 ；情形W % + 1—413 u , % — % + 1 — v , y = uv , ( u , v ) — 1 ；情形V % + 1—177u 2, %2 - % + 1 — 21v 2, y —=3uv , (u ,v) — 1;情形可% + 1—21u 2, %2 - % + 1 — 177v 2, y —3uv , (u,v ) — 1;情形叽% + 1—3u 2, %2 - % + 1 — 1239v , y —=3uv , (u ,v) — 1;情形训% + 1—1239u , %2 - % + 1 — 3v 2, y —=3uv , ( u , v) — 1.-44-南宁师范大学学报（自然科学版）第38卷下面分别讨论.情形I由第一式得x=59"-1,代入第二式,整理得(118/-3)-7(2”)？=-3.(4)因为方程X-77?=-3的整数解由两个非结合类得到，其最小解为土(2+7),而佩尔方程U?-7F? =1的最小解为8+37，所以X-77?=-3的全部整数解(X,y)分别由以下两式给出：X+77=±(x”+y”7)=±(2+7)("”+””7)=±(2+7)(8+37)",n e运.X+7/7=±(x”+y”J7)=±(-2+』7)("”+””7)=±(-2+7)(8+37),n e运.根据(4)有2gu+3=±x n或土x”.又知x n=-x_”，故只需考虑118/-3=±x”.(5)容易验证下式成立：x"+2=16x n+1-x”,x0=2,x i=37.(6)若n为偶数，则由(6)知x”是偶数，此时(4)不成立.若n为奇数，则由(6)知x”三1(mod3)，此时(5)成为u=±1(mod3).(7)由(7)知，只需考虑(5)中的118u=x”+3,其中n为奇数.对递归序列(6)取模5,得周期为6的剩余类序列：2,2,0,3,3,0,2,2,…,且当n三3(mod6)时，x”三3(mod5)，此时有3u三1(mod5)，即(3u)?三3(mod5),但3是模5的平方非剩余，故排除，剩下n=1,5(mod6)，即n=1,5,7,11(mod12).对递归序列(6)取模23,得周期为12的剩余类序列：2,14,15,19,13,5,21,9,8,4,10,18,2,14,…,且当n=1,11(mod12)时，x”=14,18(mod23)，此时有3u=17,21(mod23),即u?=-2,7(mod23),但-27(7?^)=(?3)=-1,故排除，剩下n=5,7(mod12).当n=3(mod4)时，x”=3(mod8)，因此知u?= 3(mod4)，不可能，故排除n=7(mod12)，剩下n=5(mod12)，即n=5,17,29(mod36).对递归序列(6)取模37,得周期为36的剩余类序列：2,0,35,5,8,12,36,9,34,17,16,17,34,9,36, 12,8,5,35,0,2,32,29,25,1,28,3,20,21,20,3,28,1,25,29,32,2,0,…，且当n=5,17,29(mod36)时,715823x”=12,5,20(mod37)，此时有7u?=15,8,23(mod37)，但(小=1,(寸=(寸=(寸=-1,矛盾,从而排除n=5,17,29(mod36).故在该情形方程(3)无整数解.情形I由第二式得4x-4x+4=59x4x”？，(2x-1)2+3=59(2”)？，故(2x-1)2=-3592-3(mod59),但(59)=(；)=(3)=-1,不可能，故在该情形方程(3)无整数解.情形皿由第二式得(2x-1)2+3=413x4X”=7x59x(2”)？，故(2x-1)?=-3(mod683),由情形I知,不可能，故在该情形方程(3)无整数解.情形W解第二式得x=0,1,均不适合第一式，故在该情形方程(3)无整数解.情形V由第一式得x=177u-1,代入第二式,整理得(354u-3)?-21(2”)？=-3.(8)因为方程X-217?=-3的整数解由一个结合类得到，其最小解为9+221,而佩尔方程U?-21V?= 1的最小解为55+1221,所以X-217?=-3的全部整数解(X,7)为X+721=±(x”+y”21)=±(9+221)(u”+””21)=±(9+221)(55+1221)”,n e运.因此根据(8)有354u-3=±x”.(9)容易验证x”+=110x”+i-x”,x0=9,x,=999.(10)对递归序列(10)取模16,得剩余类序列的周期为2,且n=0(mod2)时x”=9(mod16),n=1(mod2)第i 期华程:关于丢番图方程%3 + i — 4i3y 2-45 -时％”三7( mod 16).此时式(9)成为354u 2 - 3 三 ± 9, ± 7(mod 16). (11)由式(11)得 354u 2 = 12, - 6,10, - 4(mod 16)，即 2u 2 = 12,10(mod 16)，也即 u 2 =6,5(mod 8),均为模8的平方非剩余，故在该情形方程(3)无整数解.情形可由第二式得(2% - 1)2 + 3 = 3 x 59 x (2v)2,故(2% 一 1)2 = 一 3(mod 59),由情形 II 知, 不可能，所以在该情形方程(3)无整数解.情形叽由第二式得(2%- 1)2 + 3 — 21 x 59 x (2v)2,故(2%- 1)2 = - 3(mod 59),由情形 I 知, -3是模59的平方非剩余，所以在该情形方程(3)无整数解.情形训将第一式代入第二式,整理得(2v)2 - 3 (826u 2 - 1)2 — 1,故有2v + (826u 2 - 1) 73 — ± (%… + y … 3 ) — ± (2 + 3)"," e 运，这里2 + 3是佩尔方程X 2 - 3尸—1的最小解.因此有826u 2 - 1 = ±y ” ," e 运，即826u 2 = ±y ” + 1.因 y -… =- y …，故只需考虑826u 2 =y " + 1. (12)可验证：%"+2 = 4%n+' 一％" ,%0 = 1 ,%' = ?.(13)y …+2 = 4y …+1 -y …小=0，y , = '•(14)%"+' = ?%" + 3y ” ,y …+, = %… + 2y ….(15)%" = %"2 + 3y …2 ,y ?… = 2%…y … ,%…2 一 3y …2 = '• (16)%"—' = 2%" - 3y … ,y …_' =- %" + 2y …. (17)若"=0( mod 2),则由(14)知y … = 0( mod 2),此时式(12)不成立.若"=1( mod 4),令"—4k + 1 ( k e ~L ),则由(15)、(16)可得413u = %2*丁2*+'.826u = y4k +1 + 1 = %4k + 2y 4k + 1 = %2k + 3y 2k + 4%2k y 2k + %2k 一 3y 2k = 2%2k ( %2k + 2y 2k ) = 2%2k y 2k+', 即又因(%2k ，y 2k+' ) = (%2k ，%2k + 2y 2k ) = ( %2k ，2y 2k )—1,所以下列情形之一成立：%k= 413m ? ,y?k+1= h 2 , u = mh,( m, h) =二 1.(⑻%2k = m ? ,y 2k+' = 413h ? ,u = mh,( m, h) =二 1.(19)%2k = 7m 2, y 2k+1 =59h 2, u = mh,( m, h) =二 1.(20)%2k = 59m ? ,y 2k+ ':= 7h 2, u = mh,( m, h) =二 1.(21)将(18)的第二式代入 %k +'一 3y ?k+1 = 1,得 %?k+1- 3h 4 =1.根据引理2知，h 2 :二 0,1,4,即 y 2k+ i = 0,但仅有y k+' — 1成立，故k — 0.但由(13)及(18)的第一式知，%0 H 413m 2,所以式(18)不成立.将(19)的第一式 %2k — m 2 代入 %k - 3y ?k — 1 ,得 m 4 - 3y ?k — 1.根据引理 3 知，m 2 — 1,即 %2k — 1 ,从而k — 0,但由(14)及(19)的第二式知，y , H 413A 2,所以式(19)不成立.对于(20)，由(15)得,y 2k +, = %2k + 2y 2k ，故有 59A 2 = 7m 2 + 2y 2k ,即59A 2 - 7m 2 — 2y 2k . (22)因 %2k 和 y 2k +'均为奇数，故 m 和 h 均为奇数，从而 m 2 = A 2 = 1 ( mod 8).又 y 2k = 0 ,4(mod 8) ，故 2y 2k = 0(mod 8).对(22)两边取模8,得-4 = 0(mod 8),不可能.对于(21),由类似于式(20)的讨论知，它也不可能成立.若"=-1 ( mod 4),设"—4k - 1 ( k e 运)，则由(15)、(16)、(17)式可得826u 2= y 4k-1 + 1=- %4k + ?y 4k + 1 =一 (%?k + 3y ?k ) + 4%?k y ?k + 1 =2y 2k (2%2k 一 3y 2k )=-2y 2k %2k-1,即 413u 2 —%2k —' y 2k . 又因为(％2k-'，y 2k ) = (2%2k 一 3y 2k ，y 2k)= ( 2%2k , y 2k ) =2, 所以下列情形之一成立%2k-' = 2m ? ,y 2k = 826h ?, u =2mh,( m, h) =:1.(23)%2k —i ― 826m , y ?k ― 2h , u ―2mh,( m, h) =:1.(24)%k-1 = 118m ,y ?k = 14h , u 二2mh,( m, h)=1.(25)-46-南宁师范大学学报(自然科学版)第38卷x k-,=14m?,y?k=118A?,u=2mA,(m,A)=1.(26)将(23)的第一式x k-,=2m?代入x?k-，-3y?k_,=1,得4m4-3y?k_,=1.根据引理1知,m?=1,此时x?k_, =2,从而k=1或0,其中k=0时有h=0,u=0,从而方程(3)只有整数解(x,y)=(-1,0).由(24)的第二式y k=2h?得x k y k=h?,考虑到(x k,y k)=1,有x k=a?,y k=b?,故(a?)?-3b4=1,根据引理2知,a=1，此时x k=1，从而k=0,所以(24)的第一式不成立.由(25)的第二式得x»y»=7h?,考虑到(x k,y k)=1,有x k=a2,y k=7b2,h=ab,(a,b)=1,(27)或x k=7a2,y k=b2,h=ab,(a,b)=1.(28)若(27)成立,则有a4-3(7b2)2=1.(29)由引理3知，方程(25)仅有整数解(a,b)=(±1,0),此时y k= 0,故k=0,所以(25)的第一式不成立.若(28)成立,则有(7a)?-3b4=1.(30)由引理2可知方程(30)仅有整数解(a,b)=(±1,±2)，所以x k=7,从而k=2.这时n=7,故由(12)可得826u2=y7+1=2912,不可能.仿式(25)可证式(26)也不可能成立.综上,在该情形时不定方程(3)无整数解.定理1得证.参考文献：[1]柯召，孙琦.关于丢番图方程x3士1=Dy[J].中国科学,1981,24(12):1453-1457.[2]瞿云云，包小敏.关于不定方程x3+1=119y[J].西南师范大学学报(自然科学版)，2009,34(1)：9-11.[3]杜先存，管训贵，杨慧章.关于不定方程x3+1=91y[J].内蒙古师范大学学报(自然科学汉文版)，2013,42(4)：397-399.[4]周科.关于丢番图方程x3+1=427y[J].广西师范学院学报(自然科学版),2015,32(3)：23-25.[5]周科.关于丢番图方程x3+1=749y[J].广西师范学院学报(自然科学版),2017,34(3)：35-37.[6]高丽,杨婕.关于不定方程x3+1=1043y的整数解[J].延安大学学报(自然科学版)，2018,37(3)：5-6.[7]周科，陈雨君.关于丢番图方程x3+1=959y[J].广西师范学院学报(自然科学版),2018,35(4):33-35.[8]曹珍富.丢番图方程引论[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学岀版社，2012.On the Diophantine Equation x3+1=413yHUA Cheng(School of Mathematics and Physics,Taizhou University,Taizhou225300,China)Abstract：Using congruence,quadratic residue,some properties of the solutions to Pell equation and recurrent sequence,we prove that,the Diophantine equation x3+1=413y2only has integer solution(x,y)= (-1,0).Key words:Diophantine equation;odd prime;integer solution;congruence;quadratic residue;recursive sequence［责任编辑:班秀和］［见习编辑:彭喻振］。

关于不定方程x^3—1=301y^2整数解的讨论

了 ± ２７＝２８ｙ的整数解．本文利用递归数列、同
余式、平方剩余等研究了一个未解决的不定方程
一
１＝３０１ｙ２的整数解的问题．引理１一３ｙ４＝１有整数解（，Ｙ）＝（２，１），
（Ｉ）由＋＋１＝ｂ。得：０或一１，代人一１＝３０１ａ。不成立，故该情形方程（１）无解．（ Ⅱ）由一１＝７ａ可得１（ｍｏｄ７），给＋＋１＝４３ｂ两边取模７可得３；ｂ（ｍｏｄ７），这不可
仅有整数解（，Ｙ）＝（１，０）．
关键词：不定方程；整数解；递归序列；同余式中图分类号：０１５６．１文献标志码：Ａ文章编号：１６７２— ８５１３（２０１３）０４一ｏ２６４一ｏ２
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｒｏｕｇｈｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆｒｅｃｕｒｒｅｎｔｓｅｑｕｅｎｃｅ，ｃｏｎｇｒｕｅｎｃｅ，ｑｕａｄｒａｔｉｃｒｅｍａｉｎｄｅｒａｎｄｓｏｍｅｐｒｏｐｅ￣ｉｅｓｏｆｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｔｏＰｅｌｌｅｑｕａｔｉｏｎ．ｔｈｉｓｐａｐｅｒｐｒｏｖｅｓｔｈａｔｔｈｅＤｉｏｐｈａｎｔｉｎｅｅｑｕａｔｉｏｎ一１＝３０１ｙｈａｓｏｎｌｙｔｈｅｉｎｔｅｇｅｒ

关于不定方程x~3+1=305y~2

作者简介：和郁欣（９５一）男，１８，山西汾阳人，硕士生，事计算数论的研究从
４８５
重庆工商大学学报（自然科学版）
第２７卷
２２一１ｍｍ・
由于（，一）＝（：，ｘ一ｙ）＝（：，ｘ），Ｙ２：３２Ｙ２：）＝（２，）＝．序列｛｝模５，ｎ（ｏ２时，Ｙ２２对取当一１ｒｄ）ｏ有三１２ｒｄ）５不整除：，（ｏ５，ｏ所以有下列情形之一成立：
定理１不定方程
＋１＝３５０ｙ（）１
仅有整数解（一１０，１，３．，）（４ ± ）
证明因（＋１一＋１，）＝１或３且５不整除一＋１故由式（）出下列４种可能的分解：，，１得
Ｉ
１Ｉ Ⅲ
６１ａ＝ｙｍｌ＋１＝一ｍ＋２４０４４ｙ
—
ｍ
＋＝一（＋ｙｍ４２２１＝ｙ（ｍ３２）２２２—，３５１１６；）＋ｘｍｍ十２２２２一ｙ＝ｙｍｌ即０ａ＝Ｙｍｍｍ
收稿Ｅ期：００— ２—１；回日期：１０ｔ２１０９修２０— ５—１．００
故有：６０一１＝Ｙ１ａ（）２
易验证下列递推关系成立：＋＝ｘ一，ｏ，＝；２４一Ｙ＝，１．２４：１１２ｙ＋＝ｙＹ，００ｙ＝１
如果２，么２ｌ由式（）１（ｏ２，那ｌ．Ｙ２有 —０ｒｄ）这不可能．以有ｎ ±１ｒｄ．ｎ＝ｍ一１时，ｏ所（ｏ４）当ｏ４有

第1讲不定方程的整数解

第一讲不定方程的整数解一、公式法不定方程解的通解定理：对于整数(),,,,1a b c a b =，设()00,x y 是方程ax by c +=的一组整数解，那么它的一切整数解为：()()00,,x y x bk y ak =+-，其中k 为任意整数.例1 求不定方程231x y +=的一切整数解.例2 求不定方程41022x y +=的一切整数解.二、变量代换法例3 求4521x y +=的一切整数解.例4 求74100x y +=的正整数解.例5 求不定方程12836100x y z ++=的一切整数解.例6、求方程2x y +=的正整数解.例7、一批参观者决定分乘几辆车，要使每车有同样的人数，每辆汽车至多乘32人. 起先每车乘22人，这时有1人坐不上汽车；开走一辆空车，那么所有的参观者刚好平均分乘余下的汽车. 问原有多少辆汽车，这批参观者有多少人？三、不等式法.例8、已知蟋蟀有6只脚，蜘蛛有8只脚，若干只蟋蟀和蜘蛛共有46只脚，问蟋蟀和蜘蛛各有多少只？例9、求26551x y +=的正整数解.例10、某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法例11、求方程n x y z ++=的正整数解，其中n 是正整数，,,x y z 各不相同.例12、证明：不可能有正整数,x y ，使得221111x xy y ++=四、因式分解法例13、证明：方程33311x y +=没有正整数解.例14、求方程26522xy x y +-=的整数解.五、奇偶性分析例15、2006能写成两个整数的四次方的和吗？如能，请举出实例，否则说明理由.例16、求方程1y x z +=的质数解.练习：1.用公式法与变量代换法两种方法求5713x y +=的整数解.2.用不等式控制法求3220x y +=的正整数解.3.求23220x y +=的正整数解.4.求满足不等式2210x xy y ++≤的正整数解(),x y .5.求不定方程2345x y z ++=的一切整数解.6.求不定方程7543x y z -+=的一切整数解.7、求,,x y z ，使xyz zyx xzyyz ⋅=. 1、求满足11112x y -=且使y 最大的正整数解x . 8、求()4419870xy x y -++=的正整数解.9、求满足2243a ab b ++=的正整数,a b .10、求方程()27x y xy +=+的整数解.11、求方程()120x x y z +=+的质数解.12、求方程1111n x y z u+++=的正整数解，其中n 是正整数，且x y z u >>>.。

与数列有关的不定方程的整数解问题初探

与数列有关的不定方程的整数解问题初探一、引言数列是我们在数学学科中常见的概念，而不定方程则是我们在初等数论和高等代数中学习的一个重要概念。

在实际应用中，数列和不定方程经常出现在一起，这篇文章将重点探讨与数列有关的不定方程的整数解问题。

二、数列与不定方程数列是按一定规律排列的数，也可称为序列。

数列在数学中的基本概念是不同的，它们可能是线性、比例、等差、等比数列等各种类型，但无论哪种类型，数列都可以用递推公式进行表达。

而不定方程则是一种带有未知数的方程，它通常的形式是$f(x,y)=0$，其中 $x$ 和 $y$ 都是未知数，每个 $x$ 和 $y$ 的取值都可以使该方程成立。

不定方程的解通常被称为整数解（或非负整数解、正整数解等）。

三、与数列有关的不定方程的整数解问题在实际应用中，我们有时需要求解与数列有关的不定方程的整数解问题，例如下面这个经典问题：【问题】求解正整数 $a$ 和 $b$，使得 $a^2-b^2=100$。

我们可以通过枚举发现 $a=11$，$b=9$ 或者 $a=50$，$b=48$ 都是方程的解。

但这种方法并不是很高效，特别是当方程的解特别多时，我们很难通过枚举的方式来找到所有的解。

对于这种问题，我们可以采用分析的方法。

对于上面的问题，我们不妨设$a+b=p$，$a-b=q$，其中$p$ 和$q$ 都是正整数。

不难发现，由于 $a$ 和 $b$ 都是正整数，所以 $p$ 和 $q$ 都大于 $1$。

将上面的式子代入原方程得：$$(\frac{p+q}{2})^2-(\frac{p-q}{2})^2=100$$这是一个关于 $p$ 和 $q$ 的不定方程，我们可以将它化简为：$$pq=50$$这时，我们可以列举 $50$ 的各个因数来确定 $p$ 和 $q$ 的值，从而得到 $a$ 和 $b$ 的值。

例如，当 $p=25$，$q=2$ 时，我们有：$$a=\frac{p+q}{2}=13,b=\frac{p-q}{2}=12$$当 $p=10$，$q=5$ 时，我们有：$$a=\frac{p+q}{2}=7,b=\frac{p-q}{2}=3$$通过这种方法，我们可以找到所有的解，而不必进行枚举。

关于不定方程x 3+1=3y 2的解

＝１ｒｏ），；１ｒｏ）（ｄ３ｏ（ｄ３一１ｍｏ（ｄ３）时，定义４得。一１（ｄ３）由ｍｏ
’
．
’
．
・．
（一＋１ｉ（ｏ）１ｒｄ３）ｏ
・．．
３不整除（一＋１即（一＋１＝１）３，）
中图分类号：５０１６文献标志码：Ａ文章编号：０９５２（０００．０１－０１０－１８２１）２．０５－３－－－－－
收稿日期：Ｏ９ｌ— １２０一１９
基金项目：陕西省教育厅科研基金资助项目（Ｊ８２）０Ｊ４６（９Ｋ３）０Ｊ４２；Ｓ０Ａ２（９Ｋ２）０Ｊ４０（９Ｋ３）渭南师范学院科研计划项目（０Ｋ０１；１ＹＳ０）渭南师范学院教育教学改革研究项目（Ｇ０９３Ｊ２０２）作者简介：陈斌（９９）男，１７一，陕西咸阳人，渭南师范学院数学与信息科学系讲师，理学硕士，研究方向：数论．
定理 ’ （拉定理）设ｍ为整数且ｍ ≥ ２，ａ，欧（ｍ）＝１则ａ，一１ｍｏｒ）（ｄｎ．
２定理的证明
定理不定方程＋１＝３仅有整数解：一１，＝０ｙＹ．
证明由＋１：３（＋１（一＋１＝３２ｙ得））ｙ（）１因为（＋１一＋１＝１或３，）
关予不定方程＋２＝７的解的情况已全部由李双娥等 ¨ 得到，文利用唯一分解定理、余式７ｙ本同等几种初等数论方法，明了不定方程＋１＝３只有正整数解：一１，证ｙ，，＝０，其它正整数解．无

不定方程的所有解法

不定方程的所有解法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：不定方程是指含有未知数的方程，且未知数的值不受限制，可以是整数、分数、无理数等。

解不定方程的方法有很多种，根据方程的形式和要求选择不同的解法。

本文将介绍不定方程的所有解法，包括质因数分解法、辗转相除法、模运算法、裴蜀定理、试错法等各种方法。

1. 质因数分解法对于形如ax+by=c的不定方程，可以通过质因数分解的方法来求解。

首先分别对a和b进行质因数分解，得到a=p1^a1 * p2^a2 * ... * pn^an，b=q1^b1 * q2^b2 * ... * qm^bm。

然后利用质因数分解的特性，可知如果c不能被a和b的所有质因数整除，那么方程就无整数解；如果c能被a和b的所有质因数整除，那么方程就有整数解。

这个方法在求解一些简单的不定方程时很有效。

2. 辗转相除法辗转相除法又称为欧几里德算法，用于求两个整数的最大公约数。

对于形如ax+by=c的不定方程，可以先利用辗转相除法求出a和b的最大公约数d，然后如果c能被d整除，就存在整数解；如果不能被d整除，那么方程就无解。

这个方法比较简单，但只适用于求解一次不定方程。

3. 模运算法模运算法是一种基于模运算的解法，对于形如ax≡b(mod m)的不定方程，可以通过求解同余方程得到解。

将方程转化为标准形式ax-my=b，然后求解同余方程ax≡b(mod m)，如果方程有解，则可以通过一些变换得到原方程的解。

这个方法适用于求解模运算的不定方程。

4. 裴蜀定理裴蜀定理也称为贝祖定理，是解一元不定方程的重要方法。

对于形如ax+by=c的不定方程，根据裴蜀定理，当且仅当c是a和b的最大公约数的倍数时，方程有整数解。

此时可以通过扩展欧几里德算法求出一组解，然后通过变换得到所有解。

这个方法适用于求解一元不定方程的情况。

5. 试错法试错法是一种通过列举所有可能解，然后逐一验证的方法。

对于一些简单的不定方程，可以通过试错法找到所有整数解。

不定方程的整数解

不定方程的整数解不定方程形如ax+by=c（a，b，c均为常数，且a，b均不为0），一般情况下，每一个x的值都有一个y值和它相对应，有无穷多组解。

如果方程（组）中，解的数值不能唯一确定，这样的方程（组）称为不定方程。

对于不定方程，我们常常限定于只求整数解，甚至只求正整数解，在加上这些限定条件后，解可能只有有限个或唯一确定。

不定方程有整数解的条件整系数二元不定方程ax+by=c中的系数a，b的最大公约数能整除c。

不定方程的基本解法解不定方程主要根据一个未知数的取值进行讨论，如果抓住方程自身的特点，可以大大减少讨论的次数，节省解题时间。

1、尾数法例、求方程4x+5y=76的所有正整数解。

分析：由题意知5y的尾数只能是0或5，因为4x、76是偶数，所以5y只能是偶数，故其尾数只能是0，那么4x的尾数就只能是6，因此x的尾是4或9，又4x<76，所以整数x<19，故x可取4，9，14。

当x=4时，y=12；当x=9时，y=8；当x=14时，y=4。

所以原方程的正整数解为：x=4，x=9，x=14，y=12；y=8；y=4。

2、枚举法例、求方程3x+11y=53的所有正整数解。

分析：因为y前面的系数较大，且x、y均为正整数，故11y≤53，所以y可取1、2、3、4，四个数值，分别将y=1，2，3，4代入原方程，可以发现y=2、3时方程无整数解。

当y=1时，x=14；当y=4时，x=3。

所以原方程的解为：x=3，x=14，y=4；y=1。

3、奇偶判断例、求方程5x+4y=43的所有正整数解。

分析：因为4y是偶数，43是奇数，所以5x应该是奇数，所以x可取1，3，5，7四个数值。

将x=1、3、5、7分别代入原方程，可以发现x=1、5时方程无整数解。

当x=3时，y=7；当x=7时，y=2。

所以原方程的解为：x=3，x=7，y=7；y=2。

4、余数分析余数的和等于和的余数。

例、求4x+5y=102的整数解。

专题7 一元一次方程的不定方程与整数解问题

2
2例求、2a同的、解值关方；于程若x的解方互程为4倒x-数1=，-5互与为2相反a 3数x时 0，的求解a的相值同程4x-1=-5与 2 a 的x 解 0相同
∴x=-1为 2 a 的x 解0
3
3
将x=-1代入可得 2 a (1) 0
3
∴a=5
练习：当m=
1 4
时，关于x的方程4x-2m=3x-1
的解是x=2x-3m的解的2倍。
1.若关于x的一元一次方程 2x - k - x - 3k = 1 的解是x=-1.则k
的值是_____1___.
3
2
25.有已相知同关的于解x的，方则程a的值2x3为- a__-_x-_12-_1_a__=_x. -1 与方程3（x-2）=4x-
3.小明同学在解关于x的一元一次方程3m+2x=4时，不小心
将+2x看作了-2x，得到方程的解是x=1，那么原方程正确的解是___-_1_____.
4.已知方程6-3（x+1）=0的解与关于x的方程k + x - 3k - 2 = 2x
的解互为相反数，则k的值为____-__15___.
2
3、整数解
例3、已知方程
x-4 6
-
kx - 1 3
=
1 3
是关于x的一元一次方程.
（1）当方程有解时，求k的取值范围；
（2）当k取什么整数值时，方程的解是正整数？
解：（1）去分母，得x-4-2（kx-1）=2.
去括号，得x-4-2kx+2=2.
移项、合并同类项，得（1-2k）x=4.
因为方程有解，所以1-2k≠0，所以k≠
2
解：
∵关于x的方程的解 3a

不定方程及整数解

我们曾经学过一元一次方程，例如个或更多个，就变成为二元一次方程或多元一次方程，0⎩0⎩满足上式的整数解．这表明，满足方程的整数解有无穷组，并且在0ab >时，可选择x 为正（负）数，此时y 为相应的为负（正）数．这个结论可以通过把这组解直接代入已知方程进行证明．由这个定理，只要能够观察出二元一次方程的一组整数解，就可以得到它的全部整数解．例如，方程4521x y +=的一组解为41x y =⎧⎨=⎩，则此方程的所有整数解可表示为：4514x ky k =+⎧⎨=-⎩．板块一不定方程的整数解中考要求不定方程及整数解【巩固】求3710725x y+=的整数解．【巩固】求方程的整数解：⑴721571x y+=；⑵103905x y-=．【例2】求719213x y+=的所有正整数解．【巩固】求方程5322x y+=的所有正整数解．【巩固】求62290x y+=的非负整数解．【例3】求23734x y z++=的整数解．【巩固】求92451000x y z+-=的整数解．【例4】求方程组5795235736x y zx y z++=⎧⎨++=⎩的正整数解．【例5】求不定方程2()7x y xy+=+的整数解. 【例6】求方程22x y x xy y+=-+的整数解.【例7】第35届美国中学数学竞赛题）满足联立方程4423ab bc ac bc +=⎧⎨+=⎩ 的正整数(,,)a b c 的组数是（）.（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （E ）4【例8】（第33届美国数学竞赛题）满足方程223x y x +=的正整数对(,)x y 的个数是（）.（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）无限个（E ）上述结论都不对【例9】求不定方程()2mn nr mr m n r ++=++的正整数解(),,m n r 的组数．【例10】求方程2245169x xy y -+=的整数解.【例11】 (原民主德国1982年中学生竞赛题)已知两个自然数b 和c 及素数a 满足方程222a b c +=.证明:这时有a b <及1b c +=.板块二证明不定方程无整数解【例12】下列不定方程（组）中，没有整数解的是（）A.3150x y +=B.9111x y -=C.23423x y y z -=⎧⎨+=⎩D.231223x y z x y z ++=⎧⎨-+=⎩【例13】证明方程22x y-=无整数解.257【例14】(第14届美国数学邀请赛题)不存在整数,x y使方程22+-=成立。

不定方程的整数解公式

不定方程的整数解公式不定方程，听起来是不是有点让人摸不着头脑？其实呀，它在数学世界里可是个很有趣的存在呢！咱们先来说说啥是不定方程。

简单来讲，不定方程就是未知数的个数多于方程个数的方程。

比如说，3x + 4y = 10 ，这里有两个未知数 x 和 y ，但只有一个方程，这就是不定方程。

那不定方程的整数解公式是啥呢？这可得好好琢磨琢磨。

就拿一个例子来说吧，假设咱们有不定方程 5x + 7y = 20 ，咱们想找到它的整数解。

首先，咱们对这个方程进行变形。

5x = 20 - 7y ，然后 x = (20 - 7y) / 5 。

这时候，为了找到整数解，咱们就得想想啦。

因为 x 要是整数，20 - 7y 就得是 5 的倍数。

那怎么才能是 5 的倍数呢？咱们可以一个个去试。

假设 y = 1 ，那么 20 - 7×1 = 13 ，不是 5 的倍数；再假设 y = 2 ，20 - 7×2 = 6 ，也不是5 的倍数；当 y = 3 时，20 - 7×3 = -1 ，还不是 5 的倍数。

一直试到 y = 5 时，20 - 7×5 = -15 ，是 5 的倍数啦，这时候 x = (-15) / 5 = -3 。

但是呢，咱们通常想要的是正整数解或者零解。

那继续往下试，当y = 0 时，x = 4 ，这就是一组整数解啦。

在找不定方程整数解的过程中，有时候可不容易，得有耐心，就像我之前教学生的时候，有个小家伙怎么都弄不明白，急得直挠头。

我就耐心地跟他一点点分析，引导他去尝试不同的数值，最后他终于搞懂了，那高兴的样子，让我也觉得特别有成就感。

再比如说不定方程 2x + 3y = 12 ，咱们同样可以通过变形和尝试来找到整数解。

2x = 12 - 3y ，x = (12 - 3y) / 2 。

假设 y = 0 ，x = 6 ；y = 1 ，x = 4.5 ，不是整数；y = 2 ，x = 3 ；y = 3 ，x = 1.5 ，不是整数；y = 4 ，x = 0 。

不定方程的整数解问题及其方法简介(含答案)

专题三：不定方程的整数解问题所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些条件限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组。

数学竞赛中的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思想、方法与技巧，创造性地解决问题。

在本专题中我们一起来学习不定方程整数解的一些解法技巧。

【基础知识】1．不定方程整数解的常见类型：（1）求不定方程的整数解；（2）判定不定方程是否有整数解；（3）判定不定方程整数解的个数（有限个还是无限个）。

2．解不定方程整数解问题常用的解法：（1）代数恒等变形：如因式分解法、配方法、分离整数法、换元法（参数法）等；（2）奇偶分析法：缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；（3）构造法：如构造一元二次方程，利用根的判别式和韦达定理等性质；（4）枚举法：列举出所有可能的情况；（5）不等式分析法：通过不等式估算法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；（6）无穷递推法。

【典型例题分析】一、代数恒等变形1、因式分解法【例1】已知,x y 都是整数，且满足22()xy x y +=+，求22x y +的最大值.分析：由22()xy x y +=+，得(2)(2)2x y --=因为(2),(2)x y --都是整数，所以2221x y -=⎧⎨-=⎩，或2122x y -=⎧⎨-=⎩，或2221x y -=-⎧⎨-=-⎩，或2122x y -=-⎧⎨-=-⎩ 解得43x y =⎧⎨=⎩，或34x y =⎧⎨=⎩，或01x y =⎧⎨=⎩，或10x y =⎧⎨=⎩ 故22x y +的最大值为25注：一般地，整系数,,,a b c d 的二次方程0axy bx cy d +++=，可变形为：20a xy abx acy ad +++=分解，得 ()()ax c ay b bc ad ++=-.求整数解时，只需把整数()bc ad -分解成两个整数的积，转化为解几个方程组#ax c ay b +=∆⎧⎨+=⎩，（这#bc ad ∆⨯=-）来解，通过取舍求出符合题意的整数解。

浅谈不定方程整数解的求解方法

浅谈不定方程整数解的求解方法摘要：不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容,所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组.古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一.不定方程解的范围可以是有理数域，整数环，或某一代数域上的代数整数环，本文讨论的是不定方程的整数解的求解方法.) .对于一般的不定方程(组)，除个别情况外，没有统一的解法，因此必须就所给的不定方程(组)的具体形式进行分析，以便确定解题方向.本文具体的从二元一次不定方程，三元一次不定方程，二次不定方程，三次不定方程的求整数解的方法进行探讨并举例说明不定方程的整数解的方法二元一次不定方程整数解的求解方法怎么判断整系数方程有无整数解.用定理1来判断。

定理1 若整系数方程（）有整数解，则必有，反之若，则整系数（）有整数解.其中表示的最大公约数；表示整除c。

若整系数方程有整数解,怎么求出它的整数解时就用以下方法来求解。

1通法：若整系数方程（）满足，，且，是它的一个特解，则方程（）的所有整数解（通解）可以表示为2观察法在二元一次不定方程中，当系数a、b以及c的绝对值比较小时，可以用观察法求它的一个特解，从而得到其通解。

例1.求二元一次不定方程2x + 5y=45的一切整数解。

解:因为(2|5)=1，得(2,5) |45，所以原方程有整数解又因为5|45，所以得到方程的一个特解为并且， .故原方程的一切整数解为:3辗转相除法两个整数的最大公约数是能够同时整除它们的最大的正整数。

辗转相除法基于原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的相除余数的最大公约数。

由辗转相除法也可以得出，两数的最大公约数可以用两数的整数倍相加来表示，这个重要的等式叫贝祖等式。

例2.求方程的一切整数解。

关于不定方程x^3-1=13y^2

关于不定方程x^3-1=13y^2
喻朝阳
【期刊名称】《重庆工学院学报》
【年(卷),期】2006(20)11
【摘要】采用对方程取某个正整数M>1为模来制造矛盾的同余法和利用递归序列的性质,以及Pell方程的性质,证明不定方程x3-1=13y2仅有整数解(x,y)=(1,0).【总页数】2页(P132-133)
【关键词】不定方程;整数解;递归序列;同余式
【作者】喻朝阳
【作者单位】西昌学院工程技术系
【正文语种】中文
【中图分类】O122
【相关文献】
1.关于不定方程x^3-1=434y^2 [J], 陈友艳
2.关于不定方程x^3-1=Dy^2 [J], 杜先存;李玉龙;赵金娥
3.不定方程6x(x+1)(x+2)(x+3)=13y(y+1)(y+2)(y+3)的正整数解研究 [J], 王润青
4.关于不定方程x^3±8=13y^2的整数解求解证明 [J], 沈艳霞
5.关于不定方程x^3-1=103y^2 [J], 牟全武;吴强
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不定方程整数解条件

不定方程整数解条件
不定方程整数解条件：
不定方程是指关于两个或多个未知数的整数解的方程。

当我们面对不定方程时，我们希望找到整数解。

然而，并不是所有的不定方程都有整数解。

根据不定方程的形式和特征，我们可以得出一些关于整数解存在的条件。

首先，对于一元一次不定方程 ax + by = c，其中 a、b、c 为给定的整数。

这种
类型的不定方程有解的充要条件是 c 是 a 和 b 的最大公约数的倍数。

另一方面，对于一元二次不定方程ax²+ by²= c，其中a、b、c 为给定的整数。

这种类型的不定方程有解的充要条件是 c 是 a 和 b 的最大公约数的倍数，同时 a 和
b 至少有一个是完全平方数。

对于一般的二元不定方程 ax + by = c，其中 a、b、c 为给定的整数。

不定方程
有解的充要条件是 c 是 a 和 b 的最大公约数的倍数。

此外，我们还可以通过使用模运算来判断一定程度上的整数解条件。

例如，对
于形如ax ≡ b (mod m) 的不定方程，其中 a、b、m 为给定的整数。

该不定方程有解的充要条件是 b 是 a 和 m 的最大公约数的倍数。

总结起来，不定方程的整数解条件取决于方程的形式和特征。

我们可以利用最
大公约数、完全平方数和模运算等方法来判断和求解不定方程的整数解。

十次不定方程的一个整数解

十次不定方程的一个整数解
1 关于不定方程
不定方程是数学中一种非常重要的方程。

它没有固定的解法，利用某种方法以及步骤求解，得出数字解，这就是不定方程的定义。

解不定方程的方法比较固定，其目的是要将不定方程转化成方程组的形式，然后再逐步消去，最后找出满足条件的一组解出来。

2 十次不定方程的一个整数解
以下将给出十次不定方程的一个整数解：
1. x+3=2 - 解：x=-1
2. 2x−5=25 - 解：x=15
3. 4x−3=7 - 解：x=2
4. 6x+9=51 - 解：x=6
5. 7x−11=19 - 解：x=4
6. 8x+7=47 - 解：x=5
7. 10x+3=53 - 解：x=5
8. 11x+7=73 - 解：x=6
9. 12x+15=87 - 解：x=6
10. 13x−19=77 - 解：x=7
以上就是十次不定方程的一组整数解，当需要求解其他不定方程
的时候，可以采用前面提及的解法，求出能满足条件的一组解。

3 总结
总的来说，不定方程是数学中一种常见的方程形式，其解可以用
解法求出整数解。

前面我们刚详细介绍了十次不定方程的一组整数解，解不定方程只需要将不定方程转化成不等式的形式，然后再逐步消除，最后求出满足条件的整数解。

整数不定方程

整数不定方程整数不定方程是数学中一类有趣的问题，许多数学家对此进行了研究。

1. 什么是整数不定方程整数不定方程可以写成如下形式：$a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=b$，其中$a_1,a_2,\cdots,a_n$和$b$是整数，而$x_1,x_2,\cdots,x_n$是整数解。

这里$n$可以是任意正整数。

2. 整数不定方程的求解方法求解整数不定方程的方法有很多，以下介绍常用的几种方法：（1）贪心法这种方法是先求出一个特殊解，然后再利用贪心法来求解。

例如，要求解方程$ax+by=c$，先求出一组整数解$(x_0,y_0)$，然后设$x=x_0+tb,y=y_0-ta$($t$为任意整数)，带入方程式中即可得到一组新的整数解。

（2）裴蜀定理裴蜀定理又称贝祖定理，是由法国数学家裴蜀（Pierre de Fermat）于17世纪提出的。

该定理描述了对于任意给定的整数$a_1,a_2,\cdots,a_n$，它们的最大公约数$d$有整数解的充分必要条件是$d$能够整除它们的线性组合$ax_1+bx_2+\cdots+nx_n$。

（3）欧几里得算法欧几里得算法是一种求解整数不定方程的算法，这个算法的基本思想是：用较大的数除以较小的数，再用余数去除除数，如此反复，直到余数为零时，此时较小的数即为最大公约数。

3. 整数不定方程的应用整数不定方程在实际生活中有很多应用，以下列举几个例子：（1）密码学整数不定方程被广泛应用于密码学中，尤其是公钥密码系统和数字签名。

整数不定方程的解是由一对质数及其积组成的，这些质数构成了加密和解密的密钥。

（2）货币找零在货币找零中也用到了整数不定方程的思想。

例如，当顾客付款总额为$n$元时，商家一般会按照纸币或硬币等面值的不同来找零，且需要让找零总额最小。

这就是一个整数不定方程的问题。

（3）线性规划线性规划是一种数学优化方法，它在解决许多实际问题中被广泛应用。

二元一次不定方程的解法

二元一次不定方程的解法二元一次不定方程的解法【摘要】本文主要通过三个实例详尽而具体的说明了二元一次不定方程的解法．【关键词】不定方程; 通解; 解法不定方程是数论中一个古老的分支，至今仍是一个很活跃的数学领域．中小学数学竞赛也常常因为某些不定方程的解法巧妙而引入不定方程问题．下面，就通过具体实例，来示范说明一下不定方程的解法．定义形如(,,,0)ax by c a b c z ab +=∈≠ 的方程称为二元一次不定方程，求原方程的整数解的问题叫做解二元一次不定方程．定理 1 原方程有整数解的充分必要条件是(,)|a b c ．推论若(,)1a b =，则原方程一定有整数解．定理2 若(,)1a b =，且(,)x y ︒︒为原方程的一个整数解( 特解) ，则原方程的全部整数解( 通解) 都可表成x x bt ︒=- ，,()y y at t z ︒=+∈ 或x x bt ︒=+ ，,()y y at t z ︒=-∈ ．由上述定理可知，求不定原方程整数解的步骤是:① x ︒．②判定原方程是否有解: 当|d c时，原方程无整数解;当|d c时，原方程有整数解．在有整数解时，方程同解变形，边除以d，使原方程转化为a b 的情形．(,)1③求特解，写通解．( 注: 通解形式不唯一)可见，求特解是解二元一次不定方程的关键．首先，对方程的未知数系数较小，或系数与常数项有和、差、约数、倍数关系时观察法是最简单易行的便捷方法．很适用, 但它毕竟也有弊端, 有些方程不容易观察, 所以我们还需寻求新的方法。

2. 分离整数法此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剰下部分仍为整数，令其为一个新的整数变量，据此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解．例：解不定方程3710725x y += ．解∵ (37,107)1,1|25= ，∴ 原方程有整数解．先用x ，y 的系数中较小的37 去除方程的两边，并解出x ，得25107x y =- 除以37 ．再把上式右边y 的系数和常数项的整数部分分离出来，写成137(124)x y y =-+-+除以37 ．由于x ，y 都是整数，13y -也是整数，则124y-+除以37也一定是整数，则可令3y ︒= ( 由于此时－ 12 + 4 × 3除37 ∈Z) ，则有8x︒=- ．补充说明假设通过原式中未看出特解，可令124y -+ 除37,43712,(1237)t z y t y t =∈-==+除4)39t =+ 则t 除4z ∈ ，有0t︒= ，从而有3y ︒= ，可推得8x ︒=-．这样得原不定方程的特解为8x ︒=-，3y ︒= ． ∴ 原不定方程的通解为8107,337x t y t=--=+ { ，( t ∈Z) ．3. 逐渐减小系数法此法主要是利用变量替换，使不定方程未知数的系数逐渐减小，直到出现一个未知量的系数为± 1 的不定方程为止，直接解出这样的不定方程( 或可以直接能用观察法得到特解的不定方程为止，再依次反推上去) 得到原方程的通解．例：解不定方程3710725x y += ．解∵(37,107)1,1|25= ，∴ 原方程有整数解．由37107≤ ，用y 来表示x ，得25107x y =- 37 = 1 － 3y + － 12 + 4y 除37 ．则令124y -+37k z =∈，即43712y k -=由437≤ ，用k 来表示y ，得1237y k =+ 439k k =++ 除4 ．则令4k t z =∈ ，得4k t =将上述结果一一代回，得原方程的通解为 8107,337x t y t=--=+ { ，( t ∈Z) ． 4. 辗转相除法此法主要借助辗转相除式逆推求特解．例：解不定方程3710725x y +=解∵ 10737233,=⨯+3710725x y += ∴ 原方程有整数解．用辗转相除法求特解:373314,=⨯+ 3348 1.=⨯+从最后一个式子向上逆推得到37(26)10791⨯-+⨯= ，∴ 37(2625)107(925)25⨯-⨯+⨯⨯=则特解为2625650x ︒=-⨯=- ，925225y︒=⨯= 通解为6501078107(6)x t t =--=--+ ， 22537337(6),()y t t t z =+=++∈ ，或改写为8107,337x t y t =--=+ { ，( t ∈Z) ．5. 欧拉算法受辗转相除法的启示，此题可简化为采用欧拉算法的方法求解．其实质仍是找出( a ，b) 表为a ，b 的倍数和时的倍数，从而求出特解．例5 解不定方程3710725x y +=解∵(37,107)1,1|25= ，∴ 原方程有整数解．（见抄）∴ 37(26)10791⨯-+⨯= ，37(2625)107(925)25⨯-⨯+⨯⨯= 则特解为2625650x ︒=-⨯=- ，925225y ︒=⨯=通解为6501078107(6)x t t =--=--+ ，22537337(6),()=+=++∈y t t t z或改写为8107,337=--=+{ ，( t∈Z) ．x t y t6. 同余替换法此法主要是取未知量系数绝对值较小者作为模，对另一系数和常数项取同余式，将其值替换为较小的同余值，构成一个新的不定方程，据此类推，直到某不定方程的一个变量系数为±1 为止，然后一一代回，直接求出原不定方程的通解．例：解不定方程3710725+=x y解∵(37,107)1,1|25=，∴原方程有整数解．（见抄）则原方程转化为40-=，k t即4=，将其代入( 1) ，有337k t=+y t再将上式代入原方程，有8107=--，x t综上得原方程的通解为8107,337=--=+{ ，x t y t( t∈Z) ．最后，对于未知数系数和常数项之间有某些特殊关系的不定方程，如常数项可以拆成两未知数系数的倍数的和或差的不定方程，可以采用分解常数项的方法去求解方程．例:：解不定方程35143+=．x y解35143x y-+-=+=+，3(1)5(28)0x y+=，351403x y∵ (3,5)1= ，15,283x t y t ∴-=--= ，∴ 原方程的通解为15x t =- ，283,()y t t z =+∈ ．定理: 考虑二元一次方程ax by c += ( 1) 其中a 、b 、c 是整数, 且0,(,)1,|,ab a b b c ≠=则方程( 1) 的一切整数解可以表示成,x bt y k at ==-其中t=0、±1, ±2, ⋯, k= c 除b证明:( Ⅰ) 令,,x bt y k at k c ==-=除b, 那么()ax by k at bk c +-== 即( 2) 是( Ⅰ) 的解.( Ⅱ) 设'',x y 是方程( 1) 的任一整数解, 则''ax by c +=则|b c ，可设c bk = , 则 ''(x c by =- 除a ）'(bk by =-除a ）'()b k y =- 除a ）由于',x y 是方程( 1) 的整数解, 故'x 必为整数, 从而 '()b k y -除a 也必为整数。

不定方程答案

不定方程
1.求方程4x+5y=76的所有整数解.
【答案】⎩⎨⎧==124y x ⎩⎨⎧==89y x ⎩⎨⎧==4
41y x 2.求方程3x+11y=53的所有整数解.
【答案】⎩⎨⎧==43y x ⎩⎨⎧==1
14y x 3.求方程5x+4y=43的所有整数解.
【答案】⎩⎨⎧==73y x ⎩⎨⎧==2
7y x 4.求4x+5y=102的整数解.
【答案】⎩⎨⎧==813y x ⎩⎨⎧==148y x ⎩⎨⎧==1013y x ⎩⎨⎧==618y x ⎩⎨⎧==2
23y x 5.小王打靶共用了10发子弹，全部命中，都在10环、8环和5环上，总成绩为75环，则命中10环的子弹数是.
【答案】2发.
6.现有甲、乙、丙三种货物，若购买甲1件、乙3件、丙7件共需200元;若购买甲2件、乙5件、丙11件共需350元.则购买甲、乙、丙各1件共需元.
【答案】100元.
7.某批发市场有大、小两种规则的盒装鸡蛋，每个大盒里装有23个鸡蛋，每个小盒里装有16个鸡蛋.餐厅采购员小王去该市场买了500个鸡蛋，则大盒和小盒装共买了盒.
【答案】26盒.
8.小明将49个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装10个苹果，小包装盒每个装3个苹果，最后刚好装完.问小包装盒总共用了多少个?
【答案】3或13个.
9.鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。

百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？
【答案】鸡翁
04812鸡母
2518114鸡雏75788184
10.装某种产品的盒子有大、小两种，大盒每盒装11个，小盒每盒装8个，要把89个产品装入盒内，要求每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各多少个?
【答案】大盒子3个，小盒子7个.。