107518-概率统计随机过程课件-第五章(第三,四节 )

第三节 常用随机变量的
数学期望和方差
数学期望和方差的定义及计算公式 (一)离散型随机变量的数学期望和方差
}{i
i
i
x X P x EX ==∑,
}{)()]([i
i
i
x X P x g X g E ==∑,
}{)(2
i
i
i
x X P EX x DX =-=∑,
2
2
2
)
()(EX EX EX X E DX -=-=,
},{),()],([j
i
i
j
j
i
y Y x X P y x g Y X g E ===∑∑,
(二) 连续型随机变量的数学期望和方差
⎰+∞∞
-=dx x xf EX )(,
⎰+∞∞
-=dx x f x g X g E )()()]([,
⎰⎰+∞
∞
-+∞∞
-=dxdy y x f y x g Y X g E ),(),()],([, ⎰+∞
∞-=dx x xf EX X
)(⎰⎰+∞
∞-+∞
∞-=dxdy y x xf ),(, ⎰+∞
∞
-=dy y yf EY Y
)(⎰⎰+∞
∞
-+∞
∞
-=dxdy y x yf ),(
2
2
2
)()(EX EX EX X E DX -=-=,
⎰+∞
∞
--=dx x f EX x DX )()(2
,
n
n
n
R n
dx
dx dx x x x f x x x g X X X g E n
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⎰2
1
2
1
2
1
2
1
),,,(),,,()]
,,,([ .
(三) 数学期望和方差的性质 b EX k b X k E i
n
i i
i
n
i i
+=+∑∑==1
1
)(,
若X 与Y 相互独立,则
EY EX XY E ⋅=)(,
DY b DX a c bY aX D 2
2
)(+=++,
若n
X X X ,,,2
1
⋅⋅⋅相互独立,则
n
n
EX EX EX X X X E ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅2
1
2
1
)(,
i
n
i i
i
n i i
DX k b X k D ∑∑===+1
2
1
)( ,
例1 设X 服从(0—1)分布:
求EX ,DX .
解 p p p EX =-⨯+⨯=)1(01,
p p p EX =-⨯+⨯=)1(012
2
2
, )
1()(2
22p p p p EX EX DX -=-=-=
.
例2 设X 服从二项分布),(p n B , 即 k
n k
k
n
p p C k X P --==)1(}{ ,n k ,,1,0⋅⋅⋅= 求EX ,DX .
解 (由于直接比较繁杂,采用分解的方法)
若n
X X X ,,,2
1
⋅⋅⋅相互独立, 同服从(0—1)分布,
p X P p X P i
i
-====1}0{,}1{, n i ,,1⋅⋅⋅=,
则 ),(~1
p n B X X n
i i
∑==,
p EX i
=, )1(p p DX i -=.
np p X E X E EX n
i i
n i n i i
====∑∑∑===1
1
1
)(,
∑∑====n
i i
n i i DX X D DX 1
1
)(
)1()1(1
p np p p n
i -=-=∑= .
例 3 设X 服从泊分布)(λ∏，即
!
}{k e k X P k
λ
λ
-== ，⋅⋅⋅=,2,1,0k
求EX ,DX .
解 ∑∑
∞
+=∞
+=----=⋅=0
1
1
)!
1(!
k k k k
k e
k e k EX λ
λλλ
λ
λλλ
λ
=⋅=-e e ，
∑∑∞
+=∞
+=---=⋅=0
1
22)!
1(!
k k k
k
k k
e k e k EX λ
λ
λ
λ
∑+∞
=--+-=1
)!1(]1)1[(k k
k k e λλ
2
2
2
)!
2(λλ
λ
∑
∞
+=---=k k k e λλ
λ
∑
∞
+=---+1
1
)!
1(k k k e
λλλλλλ
λλ
+=⋅+⋅=--2
2
e e e e ， 于是
λλλλ=-+=-=2
222)()(EX EX DX 。

例 4 设X 服从参数为)0(>λλ的指数分布，即X 有概率密度
⎩⎨⎧≤>=-0
,00
,)(x x e x f x
λλ ，
求EX ,DX .
解 ⎰⎰+∞
-+∞∞-⋅==0
)(dx e x dx x xf EX x
λλ dx e x x
)(0
'-=⎰+∞
-λ
dx e e x x
x
)(|)(0
⎰+∞
-∞
+----=λλ
λ
λλ1
|)1(0
=-=∞+-x
e ，
⎰⎰+∞
-+∞
∞-⋅==0
22
2
)(dx e x dx x f x EX x
λλ dx e x x
)(0
2'-=⎰+∞
-λ
dx e x e x x
x )(2|)(0
2⎰+∞
-∞
+----=λλ
2
2
122
λ
λ
λλλ
λ=⋅=⋅=
⎰∞
+-dx e x x
，
2
2
2
2
2
1
1
2
)(λ
λ
λ
=
-
=
-=EX EX DX .
例5 设 ),(~2
σμN X ,求EX ,DX . 解 X 的概率密度为
2
22)(21
)(σμπ
σ--=
x e x f ,+∞<<∞-x ,
⎰⎰+∞
∞
-+∞∞
--+==dx x f x dx x xf EX )()()(μμ ⎰+∞
∞
-=dx x f )(μ
dx e
x x 2
22)(21
)(σμπσμ--
∞
+∞
-⎰
-+
dt e t t 2
2221σπ
σμ-∞
+∞
-⎰
+=
μμ=+=0,
⎰+∞
∞
--=-=dx x f x EX X E DX )()()(2
2
μ
dx e
x x 2
22)(2
21
)(σμπ
σμ--
∞
+∞
-⎰
-=
⎰∞
+∞--
=-=dt e t t t
x 2
2
2
2
2π
σ
σ
μ
⎰∞
+∞
--
'-=dt e t t )(22
2
2
π
σ
⎰∞+∞--
∞+∞
--
---=dt e e t t t )(|)([22
2
2
22πσ
2
2
]20[2σππ
σ
=+=
.
正态分布的性质
定理 设),(~2
i
i
i
N X σμ,2
1,X X 相互独立,
则b X k X k Z ++=2
211服从正态分布 ),(2
2
2221212211σσμμk k b k k N +++ (b k k ,,21为常数,01≠k 或02
≠k ) 定理 设
);,;,(~),(2
2
221121ρσμσμN X X , 则 (1) ),(~2
i
i i N X σμ,
i i EX μ=,2i i DX σ=,2,1=i ;
(2) 21
,X X 相互独立0=⇔ρ ; (3)b X k X k Z ++=2
2
1
1
服从正态分布 (b k k ,,2
1
为常数,01
≠k 或02
≠k )
定理 设随机变量 m
n n n
X X X X X ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,,,1
2
1
相互独立,),,,(21n x x x g ⋅⋅⋅,),,,(21m
y y y h ⋅⋅⋅是连续函数,
则),,,(211n
X X X g Y ⋅⋅⋅=,
),,,(212m
n n n X X X h Y +++⋅⋅⋅=相互独立. 例 6 P126 习题31 已知随机变量4
321,,,X X X X 相互独立，且服从),(2
σμN 分布，求μ2211-+=X X Y 与4
32X X Y -=的联合概率密度.
解 由题设条件知,2
1,Y Y 相互独立,且2
1,Y Y 服从正态分布,
2
,σμ==i
i DX EX , 4,3,2,1=i , 0222
11=-+=-+=μμμμEX EX EY ,
2
2
112σ=+=DX DX DY , 04
32=-=-=μμEX EX EY , =-=)(432X X D DY 2
4
32σ=+DX DX ,
所以 )2,0(~21σN Y , )2,0(~2
2
σN Y ,
2
211
)2(
21
221)(σπ
σy Y e
y f -
=
, 2
222
)2(
22
221)(σπ
σy Y e
y f -
=
,
于是,1
Y 与2
Y 的的联合概率密度为 )()(),(2
1
2
1
2
1
y f y f y y f Y Y ⋅=
2
222142
41σπσ
y y e
+-
=
,+∞<<∞-2
1
,y y .
例7 设X 在区间],[b a 上服从均匀分布,求DX EX ,.
解 X 的概率密度为
⎪⎩⎪
⎨⎧≤≤-=其它
,0,1
)(b x a a b x f ,
dx a
b x dx x xf EX b a
⎰⎰
-⋅==∞+∞
-1)(
2)(2112
2
b a a b a b +=-⋅-=, dx a
b x dx x f x EX b
a
⎰⎰
-⋅==∞+∞
-1)(22
2
3
)(3112
2
3
3
b ab a a b a b ++=-⋅-=, 2
2
)(EX EX DX -=
12)(232
2
2
2
a b b a b ab a -=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-++=. 例8 设随机变量X 的数学期望EX 和
方差DX 都存在,且0≠DX ,
DX
EX X X -=
*,
求*
EX ,*
DX . 解 )(
*
DX
EX X E EX
-=)](1[
EX X DX
E -=
)(1
EX X E DX
-=
)(1
=-=
EX EX DX
,
22*)(
)(DX
EX X E X E -=])(1
[
2EX X DX E -=
11
)
(1
2
=⋅=
-=DX DX
EX X E DX ,
1
01)()(22*2**=-=-=EX X E DX .
称DX
EX X X
-=
*
为随机变量X 的标准
化随机变量.
第四节协方差和相关系数
对于随机向量)
X,除了要
(Y
,
知道DY
,以外,还希望
,
EY
DX
EX,
知道X与Y之间的关系.下面引进
的协方差和相关系数就能起这个
作用.
一.协方差
定义6 称数值
X
E-
⋅
-为随机变量X
EX
)]
Y
(
[(EY
)
与Y的协方差.记作)
Cov,即
X
(Y
,
Y
E
X
Cov-
⋅
=.
-
EX
X
[(
)
(
)
)]
(EY
,
Y
另一个常用的计算公式:
Y
E
X
X
Cov-
-
⋅
=
Y
)
(
EX
[(
)]
(EY
,
)
⋅
+
-
=
E⋅
-
⋅
X
EX
XY
]
Y
[EY
EX
EY
-
⋅
+
-
(
=)
⋅
EY
EY E⋅
EX
EY
XY
EX
EX
-
( .
E⋅
=)
EY
EX
XY
协方差的性质:
(1) )
Y
Cov
(X
=;
(Y
,
X
Cov)
,
(2) ),(),(Y X abCov bY aX Cov =,
其中b a ,是常数;
(3)
),(),(),(2
1
2
1
Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+;
(4) ),(2)(Y X Cov DY DX Y X D ++=+, ),(2)(Y X Cov DY DX Y X D -+=-.
2
)]()[()(Y X E Y X E Y X D ---=- 2
)]()[(EY Y EX X E ---=
)]
()(2)
()[(2
2
EY Y EX X EY Y EX X E -⋅---+-=
)]
()[(2)()(2
2
EY Y EX X E EY Y E EX X E -⋅---+-=
),(2Y X Cov DY DX -+= .
定理 若X 与Y 相互独立, 则 EY EX XY E ⋅=)(,
0)(),(=⋅-=EY EX XY E Y X Cov ; 但是由0),(=Y X Cov ,推不出X 与Y 相互独立.
二. 相关系数
定义7 称数值DY
DX Y X Cov ⋅),(为随机
变量X 与Y 的相关系数或标准协方差,
记作XY
ρ,或简记作ρ,即
DY
DX Y X Cov XY
⋅==)
,(ρρ .
定义8若随机变量X 与Y 的相关系数0=ρ,则称X 与Y 不相关.
定理 若X 与Y 相互独立,则EY EX XY E ⋅=)(,
0)(),(=⋅-=EY EX XY E Y X Cov ,
0)
,(=⋅=
=DY
DX Y X Cov XY
ρρ, 即 X 与Y 不相关.
但是由X 与Y 不相关,推不出X 与Y 相互独立.
相关系数的性质: 定理 对相关系数
DY
DX Y X Cov XY
⋅==)
,(ρρ,
成立 1||≤ρ;
并且1||=ρ的充要条件是 1}{=+=b aX Y P , 其中b a ,是常数.
|)]()[(||),(|EY Y EX X E Y X Cov -⋅-=
2
1
2
2
1
2
]
)([]
)
([EY Y E EX X E -⋅-≤
DY DX ⋅= .
由此可知,相关系数ρ刻划了随机变量X 与Y 之间线性关系的近似程度.当||ρ越接近于1时, X 与Y 越接近线性关系.当1||=ρ时, X 与Y 之间以概率1成立线性关系
(若,b aX Y +=
则,)(b aEX b aX E EY +=+=
aEX EY b -=,
aEX EY aX Y -+=,
)()(EX X a EY Y -=-
即相当于（EX X -）与)(EY Y -线性相关)
另一个极端情形是当0=ρ时, X 与Y 之间不存在线性关系(即相当于(EX X -)与)(EY Y -不线性相关),故此时称X 与Y 不相关.
三． 计算举例
例1设),(Y X 的联合概率密度是
⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其它
,01
,1
),(2
2
y x y x f π ,
求 (1)),(Y X Cov ;
(2) X 与Y 不相关,但X 与Y 不独立. 解 EY EX XY E Y X Cov ⋅-=)(),(, ⎰⎰+∞
∞
-+∞∞
-=dxdy y x xf EX ),(
01
1
22=⋅=⎰⎰≤+y x dxdy x π
(奇函数在对称区间上积分为零) (或01
cos 1
020=⋅=⎰⎰dr rd r θπ
θπ
),
⎰⎰+∞∞-+∞
∞
-=dxdy y x yf EY ),(
01
1
22=⋅=⎰⎰≤+y x dxdy y π
(或01
sin 1020
=⋅=⎰⎰dr rd r θπ
θπ
) ,
⎰⎰+∞∞-+∞
∞
-=dxdy y x xyf XY E ),()(
⎰⎰≤+⋅=1
221
y x dxdy xy π
0)(1
1
112
2
==⎰⎰
----dx ydy x x x ,
所以0)(),(=⋅-=EY EX XY E Y X Cov ;
(2)因为 0)
,(=⋅=
=DY
DX Y X Cov XY
ρρ, 所以X 与Y 不相关; ⎰+∞
∞
-=dy y x f x f X
),()(,
)(a 当1||>x 时,对任意y ,
有0),(=y x f ,0)(=x f X
,
)(b 当1||≤x 时,
2
1112
1
),()(2
2
x dy dy y x f x f x x X
-=
==⎰⎰
∞
+∞
----π
π
,
于是X 的概率密度为
⎰
∞
+∞
-⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--==其它
,01
1,12
),()(2
x x dy y x f x f X
π
,
同理Y 的概率密度为
⎰
∞
+∞
-⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--==其它
,01
1,12
),()(2
y y dx y x f y f Y
π
, 由于 )()(),(y f x f y x f Y
X
⋅≠,1,1<<-y x
所以 X 与Y 不独立.
例2 设);,;,(~),(2
2
2
2
1
1
ρσμσμN Y X , 求 ),(Y X Cov .
解 由题设条件知,
),(~2
1
1
σμN X ,2
1
1
,σμ==DX EX ,
),(~2
2
2
σμN Y ,2
22,σμ==DY EY ,
),(Y X 的概率密度为 ),(y x f 2
2
1
121ρ
σ
πσ-=
2
1
1
2
[)1(21
exp{⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---⋅σμρx 2
2
1
1
2σμσμρ---y x ]}2
2
2
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-+σμy
2
2
1121
ρ
σπσ-=
2
1
1
2
2
2
[)1(21
exp{⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-----⋅σ
μρσμρx y ]})1(2
1
12
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--+σμρx
}2)(exp{21
2
1
211
σμπ
σ--=x
}
)
1(2]
)[(exp{2112
22
2
1
1
2
2
2
2
ρσσ
μ
ρσ
μπ
ρ
σ
-----
-⋅
x y )|()(|x y f x f X
Y X
⋅=,
)])([(),(EY Y EX X E Y X Cov --=
)])([(2
1
μμ--=Y X E dxdy y x f y x ),())((2
1μμ--=⎰⎰+∞∞-+∞
∞
-
dx dy x y f y x f x X
Y X
])|()()[()(|2
1
⎰⎰+∞
∞
-+∞
∞
---=μμ
dx x x f x X
1
1
2
1
)
()()(σ
μρσ
μ-⋅-=⎰∞
+∞
-
⎰∞
+∞
--=dx x f x X
)()(2
1
1
2
μσ
σ
ρ 2
1
21
1
2
σρσσσ
σ
ρ=⋅=, 故 2
1
),(σρσ=Y X Cov ,
ρσσσρσρ==⋅=2
1
2
1
)
,(DY
DX Y X Cov XY
.
定理 设);,;,(~),(2
2
2
2
1
1
ρσμσμN Y X ,
则 X 与Y 相互独立0=⇔ρ ⇔X 与Y 不相关.
(这个结论仅对服从二维正态分布的随机变量),(Y X ,X 与Y 的独立性与不相关性是等价的;对一般随机变量),(Y X ,X 与Y 独立⇒X 与Y 不相关,反之不真;). 例 3 设随机变量);2,1;1,0(~),(2
2ρN Y X , 且12+-=Y X Z ,
(1) 当0=ρ时,求Z 的概率密度)(z f Z
及
)(XY D ;
(2) 当2
1
-=ρ时,求])[(Y X Y E -及
)2(Y X D -.
解 (1) 由题设条件及0=ρ知, X 与Y 相互独立,所以12+-=Y X Z 服从正态分布,
由)0;2,1;1,0(~),(2
2
N Y X 得, 4,1,1,0====DY EY DX EX , 于是得到)12(+-=Y X E EZ
12+-=EY EX 11120-=+⨯-=, )12(+-=Y X D DZ
174414=⨯+=+=DY DX , 故)17,1(~-N Z ,Z 的概率密度为
34
)1(22171
)(+-=z Z
e
z f π
, +∞<<∞-z ;
由X 与Y 的独立性,知2
X 与2
Y 也独立, 且 ,0)(=⋅=EY EX XY E ,)(2
2
2
2
EY EX Y X E ⋅=
101)(2
2
2
=+=+=EX DX EX ,
514)(2
2
2
=+=+=EY DY EY ,
于是2
2
)]([)()(XY E XY E XY D -= 2
22)(EY EX EY EX ⋅-⋅=
50512
=-⨯=.
(3) 当2
1
-==ρρXY
时,
DY DX Y X Cov XY
⋅=ρ
),(
1122
1
-=⨯⨯-=,
由EY EX XY E Y X Cov ⋅-=)(),(, 故
EY EX Y X Cov XY E ⋅+=),()(
1101-=⨯+-=, )(])[(2
XY E EY Y X Y E -=-
6)1(5=--=,
),(44)2(Y X Cov DY DX Y X D -+=-
21)1(4441=-⨯-⨯+=.
例4设随机变量X 和Y 的联合分布律
验证: X 与Y 不相关,
但X 与Y 不独立.
证明 由已知条件可以分别计算出Y X ,的边沿分布律:
则有083
182083)1(=⨯+⨯+⨯-=EX ,
4
3
83182083)1(2222=⨯+⨯+⨯-=EX , 43)(22=-=EX EX DX ,
因Y 与X 的分布律相同,
故0==EX EY ,43
==DX DY ,
},{)(j i i j
j i y Y x X P y x XY E ===∑∑ 8
1
1)1(810)1(81)1()1(⨯⋅-+⨯⋅-+⨯-⋅-=
81
1000081
)1(0⨯⋅+⨯⋅+⨯-⋅+
81
11810181
)1(1⨯⋅+⨯⋅+⨯-⋅+
0= ,
0)(),(=⋅-=EY EX XY E Y X Cov ,
0),(=⋅=DY DX Y X Cov XY
ρ, 即得X 与Y 不相关;
0}0,0{===Y X P ,
64
4}0{}0{==⋅=Y P X P , 即}0,0{==Y X P }0{}0{=⋅=≠Y P X P , 因此X 与Y 不相互独立.
例5 接连不断地掷一颗骰子,直到
出现小于5点为止,以X 表示
最后一次掷出的点数,以Y 表
示掷骰子的次数.
(1) 求二维随机变量),(Y X 的分布律;
(2) 求),(Y X 关于X ,Y 的边沿分布律;
(3) 证明X 与Y 相互独立;
(4) 求EX ,EY ,)(XY E .
解 (1)依题意知X 的可能取值为1,2,3,4;Y 的可能取值为⋅⋅⋅,3,2,1; 设=k
B 第k 次掷时出5点或6点,
=ki
A 第k 次掷时出i 点,
则62)(=k B P ,61)(=ki
A P , S A A A A
B k k k k k =++++4
321, ===},{j Y i X “掷骰子j 次,最后一次掷出i 点,前)1(-j 次掷出5点或6点” ji
j A B B 11-⋅⋅⋅=,
(各次掷骰子出现的点数相互独立) 于是),(Y X 的分布律为 1
1)31(6161)62(},{--⋅=⋅===j j j Y i X P , 4,3,2,1=i ; ⋅⋅⋅=,2,1j .
(例如
1
1)31(6161)62(},1{--⋅=⋅===j j j Y X P ) 或
}
|{}{},{j Y i X P j Y P j Y i X P ==⋅==== 11)31(6141]64)62[(--⋅=•⋅=j j ,
4,3,2,1=i ; ⋅⋅⋅=,2,1j .
(2)
∑∞
=====1},{}{j j Y i X P i X P
4
13
11161)31(6111
=-⋅=⋅=-∞=∑j j , 4,3,2,1=i ; 分布律之和为1满足
141},{41
141====∑∑∑=∞==i j i j Y i X P , ∑=====4
1},{}{i j Y i X P j Y P
1
114
1
)31(32)31(614)31(61---==⋅⨯=⋅=∑j j j i , ⋅⋅⋅=,2,1j .
(或由题意知 ,
==}{i X “在掷出点数小于5的条件下,
掷出的是i 点”,
于是 4
1}{==i X P ,4,3,2,1=i ; ==}{j Y “掷骰子j 次,最后一次掷出的点数小于5,前)1(-j 次掷出5点或6点”,
于是 1
1)31(3264)62(}{--⋅=⋅==j j j Y P ,⋅⋅⋅=,2,1j )
(3)由于 1
1)31(61)31(3241}{}{--=⋅⨯==⋅=j j j Y P i X P , 即成立
}{}{},{j Y P i X P j Y i X P =⋅====,
4,3,2,1=i ; ⋅⋅⋅=,2,1j .
所以X 与Y 相互独立. (4)
2541)4321(}{4
1
=⋅+++===∑=i i X iP EX , 1
1
1)31(32}{-∞=∞=∑∑===j j j j j Y jP EY 2
3)3
11(132)31(32211
=-⋅==-∞
=∑j j j , 由于X 与Y 相互独立,所以 4
152325)(=⋅=⋅=EY EX XY E .。