图论算法

xij 1
ij城市有路。
xij 0 ij城市没路。
数学建模
min
dij xij
i j
n
1 i与j之间有路
s.t. j1 xij 0 i与j之间没路
xij 0,1, i, j 1,2,, n, i j
数学建模
对树的理解
树：不包含回路的连通图称为树。
例
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对树的理解
生成树：若连通图G的生成子图T是一棵树， 则称T为G的生成树。
例 下图中（b）和（c）都是（a）的生成树。
a
b
c
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对树的理解
最小生成树：设G=<V，E，f>是一连通 带权图，T是G的一棵生成树，T的边集用E （T）表示，T的各边权值之W和T f (e)
eE (T )
称为T的权。G的所有生成树中权最小的生 成树称为G的最小生成树。
例
1
11
3 27 8 3
• 用7个小圆圈分别代表7门课程 • 如果两门课程最少有同一名学生选择，那
么在它们之间连一条直线段 • 给顶点涂上不同的颜色 • 相邻的两点不能涂相同的颜色
边Edge
G
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A
顶点Vertex
B
F
C
F的度度数=2
E
D
图Graph
地图染色问题
数学建模
对任意一幅地图的每个区域指定一种颜 色，使相邻的区域不同色。问最少要用多少 种颜色才能实现？
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2010年东北赛B题
巡回演唱会
Avril同学要在中 国的省会城市、直 辖市、香港、澳门、 台北各举行一场演 出会。
按地理位置（经纬 度），请你为她设 计最短的巡回路径 方案。
做出题的同 学，将有机 会与此巡回 演唱会同行。
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数学建模
城市个数为n。
i dij 是两个城市 与 j 之间的距离。
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欲建设一个连接7个城市的光纤通信网络。 各城市间线路的造价如图所示，求一个使 总造价最少的线路建设方案。
A
2
27
S 5 B 5 D5
F
4
131
7
C 4E
数学建模
A
2
2
7
5
5
5
S
B
D
F
4
1
1
3
7
C
4
E
数学建模
A
2
2
5
S
B
D
F
1
1
3
C
E
结果为14
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最短路问题
最短路问题
Dijkstra算 法（1959 年提出）
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考试问题
学生编号为1~10，课程编号为A~G， 各课程的选课情况为A{1,2,3},B{1,3,4,5}, C{2,5,6,7}, D{4,7,8,9}, E{2,6,7}, F{8,9,10}, G{1,3,9,10}。问最少要安排多少次考试可使 所有人的所有课程都考完？
图论模型
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8
7 4
a
b
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最小生成树
避圈法步骤： 1. 在所有各边中找到边权最小的一条，将其作为第 一边；在剩余的边中，仍然找到边权最小的作为第二 条边； 2. 在剩余的边中，找到边权最小的边，查看其是 否与前面的边形成圈，如果没有，则在最小部分树中 添加该边，如果形成了圈，则不再考虑该边；
3. 重复进行第二步，直到找到第 n-1 条边为止。
图论(Graph Theory) 简介及实例应用
数学建模
一个图形或汉字是否能一笔画成？ 地图上的颜色至少有多少种？
.......
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图的定义
图并不是几何学中的图形,而是客观世 界中某些事物间联系的一个数学抽象,用顶 点代表事物,用边表示各事物间的关系,如果 所讨论的事物之间有关系,就把相应的顶点 连成一条边.这种由顶点及边所组成的图,就 是图论中研究的图.
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相关书籍
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例2 人鬼过河问题
Floyd算法 （1962年 提出）
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Floyd算法
1962年提出 可以直接求网络中任意两点间的最短路。
令网络的权矩阵为D=(dij)n×n dij为vi到vj的距离。
若i与j不相邻，令dij为无限大。
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Floyd算法
算法的基本步骤
（1）输入权矩阵 D(0) D
（2）计算 D(k) (di(jk) )nn
有三个人与三个鬼过河，只有一条小 船，小船上最多能载两个人或两个鬼或一 人一鬼，但河岸上鬼的数量不能大于人的 数量，如若大于，则人会被鬼所吞噬。问 怎样才能让人们安全的过河呢？
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鬼 3
2
1
0
1
2
3人
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欧拉图
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• 从图G的一点出发，经过每条边一次，且又 能回到原点，这样的图是Euler图
• 如果图G的每个顶点的度数都为偶数那么G 是Euler图
欧拉通路
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• 从一点出发经过图G的每条边一次，最后到 达另外一点，这样的图含有欧拉通路
• 图G中恰好有两个点的度数为奇数，那么这 样的图中含有欧拉通路
(k 1,2, ,n)
其中 d(k) ij
min[di(jk
1)
,
d(k ik
1)
d(k kj
1)
]
（3）D(n)
中元素 (di(jn) )nn
d (n) ij
就是vi到vj的最短路长
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例：求A、B、C、D、E、F、S 任意两点之间的最短的距离？
A
2
27
S
5
B5
D5
F
4
1
3
1
7
C
4E
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各个点都与奇数条边 相连所以不能实现
七桥路径图
一笔写字问题
口日
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目田
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汉密尔顿图
• 从图G的一点出发，经过每个点一次，且又 能回到原点，这样的图是Hamilton图
• 充分条件：图G中任意两点的度数之和大于 等于顶点数
注意：目前没有充分必要要条件来判断任 意一图是否为Hamilton图
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四色猜想
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这个猜想说，在一个平面或球面上的任 何地图能够只用四种颜色来着色，使得没有 两个相邻的国家有相同的颜色。每个地图可 以导出一个图，用点表示国家，当相应的两 个国家相邻时这两个点用一条线来连接。
哥尼斯堡七桥问题
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问题
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能否从一点出发，走遍7座桥，且 通过每座桥恰好一次，最后仍回到起 始点。