数学复习全书(理工类)三

对于齐次线方程组0x A =，其基础解系由()n r n r -A =-个向量组成.因此0是A 的特征值，基础系是0λ=的特征向量.从而A 有n 个线性无关的特征向量，A 可以对角化（1λ=是r 重根，0λ=是n r -重根），且有

11.100⎛⎫

⎪

⎪ ⎪ ⎪A ⎪ ⎪ ⎪

⎪

⎪⎝⎭

【证法二】因为2

A =A 所以A 的特征值只能是0或1（【例5.9】）.

又因()0,A E -A =有()(),r r n A +E-A ≤而[]()()()r r r A +E-A ≥A+E-A

().r n =E =可见()(),r r n A +E -A =又(),r r A =所以().r n r E -A =-

当1λ=时，()0x E -A =的基础解系由()()n r n n r r -A =--=个向量组成； 当0λ=时，(0)0x E -A =的基础解系由()n r n r -A =-个向量组成. 这样A 有n 个线性无关的特征向量，下略.

【评注】要理解A 能对角化的条件（5.8）～（5.10），当A 的特征值0λ有k 重根时，关键是0()r λE -A 是否等于n k -，它关系到0λ是否有k 个线性无关的特征向量. 【例5.27】证明1101⎛⎫

A =

⎪⎝⎭

不能对角化. 【证明】A 是上三角矩阵，特征值是1（二重）.由于()1r E -A =，所以1λ=只有

个

线性无关的特征向量，因此A 不能对角化.

【注】如A 不能对角化，则蕴涵A 的特征值一定有重根，并且至少有一组线性无关的特征向量的个数要小于其重根数.

题型（六） 相似对角化的应用

【解题提示】如,A Λ 设1

P P -A =Λ，则1

P P -A =Λ，那么211

()()P P P P --A =ΛΛ

21,P P -=A 递推地1.n n P P -A =Λ通过对角化可求.n A

【例5.28】已知11022041x -⎛⎫ ⎪A =- ⎪ ⎪⎝⎭

能对角化，求.n

A

【例5.29】A 是n 阶矩阵，2,4,,2n 是A 的n 个特征值，E 是n 阶单位矩阵，计算行列式3.A-E

于是

得11133(3),P P PP P P ---A-E =Λ-=Λ-E

从而1

333(23)!!.P P N -A -E =Λ-E =Λ-E =--

【评注】本题更好的解法是利用公式（5.3）.由于A 的特征值是2,4,,2n .所以3A -E 的特征值是

1,1,3,,2 3.n -- 从而

3(1)13(23)(23)!!.n n A-E =--=--

题型（七） 有关特征值与特征向量的证明

【例 5.32】A 是n 阶正交矩阵，λ是A 的实特征值，X 是相应的特征向量.证明λ只能是1±，并且X 也是T

A 的特征向量.

【证明】按特征值定义，对于,X X λA =经转置得

()(),T T T T T X X X X λλA =A ==

从而2()(),T T T T T X X X X X X X X λλλ=A A == 得2(1)0.T X X λ-= 因为

是实特征向量, 222

120,T n X X x x x =+++> 可知2

1,λ=由于λ是实数，故只能是1或-1.

若1,λ=从,X X A =两边左乘T A ，得到,T T X X X A =A A =即X 是T

A 关于1λ=的特征向量（类

似可有1λ=-的论证，下略）.

【评注】如A 是n 阶矩阵，从()T T λλλE -A =E -A =E -A 知A 与T

A 有相同的特征值，但A 与

T

A 的特征向量往往是无关联的.例如4523-⎛⎫A = ⎪-⎝⎭与43,53T ⎛⎫A = ⎪--⎝⎭

虽特征值都是2和1-，但A 关于

2λ=的特征向量是5,2⎛⎫ ⎪⎝⎭而T A 关于2λ=的特征向量是11⎛⎫

⎪-⎝⎭

.

【例5.33】,A B 均是n 阶矩阵，证明AB BA 与有相同的特征值. 【证明】设0λ是AB 的非零特征值，0X 是AB 对应于0λ的特征向量，即

0000()(0).X X X λAB =≠

用B 左乘上式，得000().X X λBA B =B

下面需证00X B ≠（这样0X B 就是矩阵BA 对应于0λ的特征向量）.

（反证法）如00X B =，那么00()()0,X X AB =A B =这与000()0X X λAB =≠相矛盾.所以0λ是

BA 的特征值.

如00λ=也是的特征值.

同样可证的特征值必是的特征值，所以与的特征值相同.

【评注】对于抽象给出的矩阵，论证通常是由定义出发，经恒等变形录求结论. 【例5.34】均是阶矩阵，且秩证明：有公共的特征向量.

【例5.35】若任一维非零向量都是阶矩阵的特征向量，则是数量矩阵.

【证明】因为任一维非零向量都是的特征向量，所以有{ EMBED Equation.DSMT4 |n 个线性无关的以对角化.特别地，{ EMBED Equation.DSMT4 |n 维单位向量是的特征向量.令则有且 }则有且

若是特征值，则由于分别是的特征向量，那么不再是的特征向量（请复习考点诠释3），这与已知条件考点诠释3），这与已知条件任一非零向量都是特征向量相矛盾，同理可知即是数量矩阵. 矩阵.

【例5.36】是3阶矩阵，且有3个互相正交的特征向量，证明是对称矩阵.

【分析】非零正交向量组是线性无关的，故有3个线性无关的特征向量，即可以对角化，并且可以用用正交变换化为对角形.

【证明】设的特征值是相应的特征向量是因为已两两正交，将其单位化为则仍是的特征向量，且是正其单位化为则仍是的特征向量，且是正交矩阵，并有

112

3.P P λλλ-⎛⎫

⎪A =Λ=

⎪ ⎪⎝

⎭

从而1

,T P P P P -A =Λ=Λ

得 ()(),T

T T T T T T

T

P P P P

P P

A

=Λ=Λ=Λ=A

即 A 是对称矩阵.

第六章 二次型

一、本章知识串讲