简化分类讨论的策略
简化和回避分类讨论的若干方法
忆效果 ， 还得及时复习 ， 除了规定在一定的时间内进行 复 习， 使词 汇在记忆 中重现以外 ， 还得在 日常生活 中不 断地 操练和表现 ， 使用合理的记忆方法 ， 进行理解基础上 的记 忆。学习者要学会找英语词汇之间的内在联系， 才能提高 和保持记忆效果。刚学过 的词汇 ， 在第二天就抓紧时间复 习， 复习的方法很多 ， 例如 ， 在生活环境 中碰到相关实物 ， 有意识地对英语词汇进行 回忆 ， 回忆不起来就及时查字典 或者查 书本 ， 在 口语 练习中有意识 地用到这些词汇 ， 比如 在英语角 ， 在英语课 堂上做ｏ ｒ ａ ｌ ｒ ｅ ｐ ｏ ｒ ｔ 时， 尽量复 习到这些 词汇 ， 以巩 固下来 ， 坚持经常复 习， 成功完成从长时记忆到 短时记忆 的转化 。
ｂ ｅ ａ ｕ ｔ ｉ ｆ ｕ ｌ ｓ ｔ ｕ ｄ ｙ ／ Ｔ ｈ ｅ ｐ ｒ ｏ ｆ ｅ ｓ ｓ ｏ ｒ ｉ ｓ ｓ ｅ ａ ｒ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇ ｆ ｏ ｒ ｓ ｏ ｍ ｅ ｂ ｏ ｏ ｋ ｓ ｉ ｎ
ｈ ｉ ｓ ｓ ｔ ｕ ｄ ｙ 中， “ ｓ ｔ ｕ ｄ ｙ ” 的引 申含义 应是 “ 书斋 ” “ 书房” 的意 思。 还有“ ｍ ｕ ｓ ｔ ” ， 不仅要记住原意“ 必须” 的意思， 还要会从 其引 申含义来记忆。 比如你听到“ Ｔ ｈ ｅ Ｇ ｒ ｅ ａ ｔ Ｗａ ｌ ｌ ｉ ｓ ａ ｍ ｕ ｓ ｔ ｏ ｆ ｒ ｍ ｏ ｓ ｔ ｖ ｉ ｓ ｉ ｔ ｏ ｒ ｓ ｉ ｎ Ｂ ｅ ｉ ｊ ｉ ｎ ｇ ” 这样的句子 ， 不难得出其引申含 义为名词 “ 必须做的事情” ， “ 必不可少 的事情 ” ， 把“ ｍ ｕ ｓ ｔ ” 这个单词加以具体化 的引申， 可以扩展词汇记忆的深度和
三、 结 束 语
词 汇记忆的方法多种多样 ， 如果只依赖于一种单一 的 方法是不可取的。要针对不同的词汇 ， 找到与之相适应 的
分类讨论的思想方法
分类讨论的思想方法慕泽刚 (重庆市龙坡区渝西中学 401326)一、知识要点概述1.分类讨论的思想方法的原理及作用：在研究与解决数学问题时，如果问题不能以统一的同一种方法处理或同一种形式表述、概括，可根据数学对象的本质属性的相同和不同点，按照一定的原则或某一确定的标准，在比较的基础上，将数学对象划分为若干既有联系又有区别的部分，然后逐类进行讨论，再把这几类的结论汇总，从而得出问题的答案，这种研究解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法.分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，在近几年的高考试题中都把分类讨论思想方法列为重要的思想方法来考查，体现出其重要的位置.分类讨论的思想方法不仅具有明显的逻辑性、题型覆盖知识点较多、综合性强等特点，而且还有利于对学生知识面的考查、需要学生有一定的分析能力、一定分类技巧，对学生能力的考查有着重要的作用.分类讨论的思想的实质就是把数学问题中的各种限制条件的制约及变动因素的影响而采取的化整为零、各个突破的解题手段.2.引入分类讨论的主要原因(1)由数学概念引起的分类讨论：如绝对值的定义、直线与平面所成的角、定比分点坐标公式等；(2)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零、对数中真数与底数的要求等；(3)由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；(4)由图形的不确定引起的分类讨论；(5)由参数的变化引起的分类讨论；(6)按实际问题的情况而分类讨论.二、解题方法指导1.分类讨论的思想方法的步骤：(1)确定标准；(2)合理分类；(3)逐类讨论；(4)归纳总结.2.简化分类讨论的策略：(1)消去参数；(2)整体换元；(3)变更主元；(4)考虑反面；(5)整体变形；(6)数形结合；(7)缩小范围等.3.解题时把好“四关”(1)要深刻理解基本知识与基本原理，把好“基础关”；(2)要找准划分标准，把好“分类关”；(3)要保证条理分明，层次清晰，把好“逻辑关”；(4)要注意对照题中的限制条件或隐含信息，合理取舍，把好“检验关”.三、范例剖析例1解关于x 的不等式：a(x-1)x-2＞1（a ≠1） 解析：原不等式等价于：(a-1)x-(a-2)x-2＞0，即(a ﹣1)(x ﹣a-2a-1)(x ﹣2)＞0 ①若a>1，则①等价于(x ﹣a-2a-1)(x ﹣2)＞0. 又∵2﹣a-2a-1＝﹣1a-1﹣1＜0，∴a-2a-1＜2 ∴原不等式的解集为；(﹣∞，a-2a-1)∪（2,＋∞）； 若a<1时，则①等价于(x ﹣a-2a-1)(x ﹣2)＜0.由于2﹣a-2a-1＝a a-1， 当0<a<1时，a-2a-1>2，∴原不等式的解集为(2，a-2a-1). 当a<0时，a-2a-1<2，∴原不等式的解集为(a-2a-1，2).当a ＝0时，原不等式为(x ﹣2)2＜0，解集为∅.综上所述：当a<0时，原不等式的解集为；(a-2a-1，2)； 当a ＝0时，原不等式的解集为∅；当0<a<1时,原不等式的解集为(2，a-2a-1) 当a>1时，原不等式的解集为；(﹣∞，a-2a-1)∪（2,＋∞）. 点拨：本题需要两级分类，第一级，按开口方向分类分a ＞1和a ＜1，在a<1时，又需要讨论两个根2与a-2a-1的大小，又分为三类，即a ＜0，a=0和0＜a ＜1. 例2在等比数列{a n }中，S n = a 1+a 2+a 3+…+a n ，T n = a 1a 2a 3… a n ，P n =1a 1+1a 2 +1a 3 +…+1a n ，求证：(S n P n )n=T n 2. 解析：由所要证明的等式，知须分别求出S n 、T n 、P n ，因此要用等比数列的前n 项和公式，根据公式的要求必须对公比q 进行分类讨论.(1)当q=1时，S n =na 1,T n = a 1n ，P n =n a 1，∴(S n P n )n =[n a 1n a 1]n =a 12n ，T n 2= a 12n ，∴(S n P n )n =T n 2； (2) 当q ≠1时，S n =a 1(1-q n)1-q ，T n = a 1n ·q n(n-1)2 ，P n = 1a 1(1-1q n )1-1q =q n+1-q a 1q n (q -1)， ∴S n P n = a 12q n-1 ，(S n P n )n =a 12n q n(n-1)，T n 2= a 12n q n(n-1)，∴(S n P n )n=T n 2. 点拨：扎实的基础和严密的推理是进行合理有效的分类讨论的前提，课本中的公式比较多，必须对每一个公式都要有透彻的理解，对在应用公式解题时是否需要对公式进行分类讨论才能做到心中有数，使解答过程具有完整性.例3解关于x 的不等式3log a x -2＜2 log a x -1(a ＞0,a≠1)解析；转化为等价不等式组，注意对于log a x 的底数的a 进行讨论.原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 3log a x -2≥0 ①3log a x -2<(2 log a x -1) 2 ②2log a x -1>0 ③ 由①得log a x ≥23，由②得log a x<34或log a x>1，由③得log a x>12，∴23≤log a x<34或log a x>1， 当a>1时，所求不等式的解集为{x|a 23 ≤x < a 34或x >a}；当0<a<1时，所求不等式的解集为{x| a 34 <x ≤a 23或0<x <a }.点拨：本题是一道等价转化与分类讨论的典型题，解此类根式、对数不等式时，要注意等价性、不要忽略不等式两边函数的定义域，根据对数函数的性质，对a 进行分类讨论.例4如图，已知一条线段AB ，它的两个端点分别在直二面角P-l -Q 的两个平面内移动,若AB 和平面P 、Q 所成的角分别为α、β，试讨论α+β的范围.解析：(1)当AB ⊥l 时，α+β=90︒.(2)AB 与l 不垂直时，在平面P 内作AC ⊥l ，C 为垂足，连结BC ，∵平面P ⊥平面Q ，∴AC ⊥平面Q ，∴∠ABC 是AB 与平面Q 所成的角，即∠ABC=β，在平面Q 内作BD ⊥l ，垂足为D ，连结AD ，同理∠BAD=α，在Rt △BDA 和Rt △ACB 中，BD ＜BC ，BD AB ＜BC AB,即sin α＜sin ∠BAC, ∵α和∠BAC 均为锐角，∴α＜∠BAC ，而∠BAC+β=90︒，∴α+β＜90︒.(3)若AB 与l 重合，则α+β=0︒.综上讨论可知0︒≤α+β≤90︒.点拨：在几何问题中，研究各元素间的位置关系时，要注意每一个位置关系都不可遗漏，对于多种可能的情况，必须分开来进行研究.例5四个男孩和三个女孩站成一列，男孩甲前面至少有一个女孩站着，并且站在这个男孩前面的女孩个数必少于站在他后面的男孩个数的站法共有多少种？解析：现在按男孩甲前面的男、女孩数来分类.第一类，甲前面有2个女孩，其它男孩和另一女孩必须站在甲后面，有A 23A 44(种)；第二类，甲前面有一个女孩和一个男孩，有：C 13C 13A 22A 44(种)；第三，甲前面仅有一个女孩，有：A 13A 55(种)；∴满足条件的站法为：A 23A 44+C 13C 13A 22A 44+A 13A 55=936(种).点拨：相当一部分排列组合应用问题需要分类求解，而排列组合应用题中的分类，与其它章节问题中的分类不同，它不是就某个字母的取值范围不同或图形的形状、位置不同等进行的分类，而是就处理问题的不同方法去分类.例6函数y=sinx |sinx|＋|cosx|cosx ＋tanx |tanx|＋|cotx|cotx 的值域是( ) A.{-2,4} B.{-2，0,4} C.{-2，0，2，4} D.{-4，-2，0,4}解析：须根据绝对值的意义去掉绝对值符号，因此必须对角x 所在的象限进行讨论.由题意可知x ≠k π2(k ∈Z), (1)当x 在第一象限时，y=1+1+1+1=4；(2)当x 在第二象限时，y=1+(-1)+(-1)+(-1)=-2；(3)当x 在第三象限时，y=-1+(-1)+1+1=0；(4)当x 在第四象限时，y=-1+1+(-1)+(-1)=-2.故值域为{-2,0,4},应选B.点拨：由于三角函数在各象限内符号不同，依此特点，从不同的象限入手分类讨论是解此类题的常见方法.例7已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C ：x 2+y 2=1，动点M 到圆C 的切线长与|MQ|的比等于常数λ(λ＞0).求动点M 的轨迹方程，说明它表示什么曲线.解析：如图，设MN 切圆于N ，则由动点M 组成的集合是：P={M||MN|=λ|MQ|，λ＞0}.∵ON ⊥MN ，|ON|=1，∴|MN|2=|MO|2-1.设动点M 的坐标为(x,y)，则x 2+y 2﹣1=λ2[(x-2) 2+y 2]，整理，得(λ2-1)(x 2+y 2)-4λ2x+(4λ2+1)=0.故M 的轨迹方程是(λ2-1)(x 2+y 2)-4λ2x+(4λ2+1)=0.(1)当λ=1时，方程化为x=54，且交x 轴于点(54，0)的直线； (2)当λ≠时，方程化为(x ﹣2λ2λ2-1)2+y 2=1+3λ2(λ2-1)2，它是以点(2λ2λ2-1，0)为圆心，1+3λ2|λ2-1|为半径的圆. 点拨：点M 的轨迹方程由已知条件很容易得出，本题考查的重点是曲线的类型，因此，对于含有x 2+y 2项系数λ2-1是否等于零进行了讨论.。
简化和回避分类讨论的若干方法
简化和回避分类讨论的若干方法作者：高留顺来源：《教育教学论坛》 2013年第23期高留顺（河南省鄢陵县职业教育中心﹙县三高﹚，河南鄢陵461200﹚摘要：分类讨论是一种重要的数学思想方法和解题策略，渗透在整个中学数学每个章节，一直是高考中的热点和重点。
由于这类题目综合性强，逻辑性严，探索性开放，自然也是高考的难点。
关键词：分类讨论；中学教育；教学方法中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）23-0077-02我们在重视分类讨论思想应用的基础上，也要注意克服动辄加以讨论的思维定式，要充分挖掘数学问题中潜在的特殊性和简单性，尽力打破常规，避免不必要的分类讨论.下面举例说明简化和回避分类讨论的各种方法，供同学们复习参考.一、活用定义，另辟蹊径定义是我们解决问题的出发点，回归定义，可以使问题变得简单，解题过程更自然.例1：等比数列{an}的前n项和为Sn，若2S9=S3+S6，试求公比q的值.二、巧用性质，避繁就简灵活地使用一些函数的性质，可以避免一些不必要的讨论，使解题过程更简捷.例2：已知定义在[-2，2]偶函数f（x）在区间[0，2]是单调递减，且f（1－m）＜f（m），求实数m的取值范围.解：由f（x）是偶函数及条件f（1－m）＜f（m），有点评：由于1－m，m在[ －2，0]，[－0，2]的哪一个区间不定，故要分类讨论.若巧用“f （x）是偶函数，则f（－x）＝f（x）＝f（|x|）”这一性质，即可避免分类讨论.三、分离参数，反客为主在含参数的方程或不等式中，若能通过适当的变形，使方程或不等式的一端只含有参数的解析式，另一端是无参数的主变元函数，从而分离参数，反客为主，接下去需解有关主变元函数的有关问题，往往可以回避讨论.点评：在给定的条件下，参数能够成功地完全分离出来，然后转化为求函数的最值问题，这样就避免了关于二次函数的讨论.四、数形结合，巧思妙解利用函数图像、几何图形的直观性能巧妙地将数量关系与空间图形有机的结合起来，有时也可以回避问题的讨论.点评：按照不等式知识需按a＞0，a=0，a＜0分类讨论求出集合B，而用数形结合来解就不必讨论。
分类讨论的解题策略
分类讨论的解题策略初中数学学习和复习当中分类讨论的题型是同学们最为困难，也是最容易出错的题型。
如果其数学的思想没有掌握牢固，对条件的分析没能够更加的全面，那么在解题时容易出现漏解的情况。
考试中丢分也是常有的事，所以针对分类讨论的提醒唐老师在方法和技巧方面给予大家更多的分享，希望能在数学思想方法的提升当中，为大家解题提供一定的指导性意见。
同时也帮助同学们对于分类讨论思想在数学学习中的重要性做出更全面的解释。
从数学学习的延续性来看这种方法的用途也不止止步于初中数学，对于以后数学的学习也会产生一定的连锁反应。
在数学解题过程当中，很多同学在分析条件时，一贯的使用方法是课堂上老师讲解的。
思路进行分析，而更多的可能性则置之不顾，从而导致其分析题目中条件的思路比较单一，从而出现了考虑全面性的欠妥。
这时就需要同学们对这类题型有全面的了解，况且在中考甚至各年级的期末考试当中，分类讨论的思想也是一种重要的方法，其出现在选择填空的压轴题或大题的压轴题型中实也是能够区分。
同学们数学能力高低的一个重要指标。
当分类讨论在数学题中经常以最后压轴题的方式出现时，同学们怎么样才能判定该提需要进行分类讨论，那么我们应当从以下的知识层面进行梳理，明确需要分类讨论的内容都有哪些才能在解题当中针对性的进行分类讨论，以提高我们学习的效率。
第一、熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决。
在探讨等腰或直角三角形存在时，一定要按照一定的原则，不要遗漏，最后要综合。
等腰三角形和直角三角形可能的情况都可以分为三大类型。
不同的组合的可能性在题目当中需要同学们根据实际的条件进行验证，如果能够排除的一定要一一进行排除，如果不能排除的情况，每一种类型都要计算出其结果。
那么也会导致最后的结果当中不止一个答案。
第二、讨论点的位置一定要看清点所在的范围，是在直线上，还是在射线或者线段上。
这类型的题很多时候都会告诉你这个点李某一点的位置的长度，但是具体的位置没有给出时。
简化函数与不等式问题中分类讨论10策略
因 此 函 数 对 称 轴 ｚ一 ２ ａ
在［ ｎ＋ １ ｎ ２ ， ＋ ３的 左 侧 ，
分析
本 题 常 规 解 法 是 对 二 次 函 数 坐 标 轴 的 位
置 进 行 分 类 讨 论 ， 且 至 少 要 分 ３种 情 况 ， 的 要 分 而 多 ５ ６种 情 况 讨 论 ． 是 ， 仔 细 研 究 条 件 （ ＜ “ １ 的 、 但 从 ｏ ＜ ）
（ ｚ— １ （ ｚ＋ １ ） ＿（ ）一 １ ； Ｔ＞ １ 时 ， ） ０； ）３ １ ， ２ 厂 ８ 当 ｆ （ ＞ 当 一 ＜ －＜ １时 ， ｚ） ０， ／（ 在 ｚ＝ １处 有 极 ｚ ｆ （ ＜ 即 ｚ） ＝ ＝
作 用 ， 现 对 称 轴 ｚ一 ２ 发 ａ位 置 活 动 范 围 很 有 限 ， 仅 仅
介于 （ ，） 间 ， 细 看发 现 ２ ０２ 之 再 ａ— ａ ａ ａ＋ １， 此 ， ＋ ＜ 因 对 称 轴 ｚ一 ２ 在 Ｅ － ， ａ ａ４ １ ａ＋ ２ ］的 左 侧 ． 样 分 类 讨 论 这 就 大 大 简 化 了． 解 因 为 ０ ａ １ ＜ ＜ ，
ｂ ，依 题 设 解 得 分 类 讨 论 是 一 种 “ 整 为 零 、 个 击 破 ， 积 零 为 化 各 再 整 ” 解 题 策 略 ， 是 一 种 重 要 的 数 学 思 想 方 法 ， 透 的 它 渗
１。．
到 整 个 中 学 数 学 的 每 个 章 节 ， 于 这 类 题 目综 合 性 由 强 ， 辑 性严 ， 索 性 开放 ， 然 也 是 高 考 的 重 点 、 逻 探 自 难 点． 而 ， 们在 重视 分类讨 论思 想 应 用 的基础 上 ， 然 我 也
高中数学简化分类讨论的九种策略
日是这样 ， 未来更 是这样 。 以 ， 所 材料作 文题 ， 尤其 是审题难 度很大 的材料 作文 题 ，在 高考语 文命题
中， 应该慎之 又慎 ， 最好让 它尘封 。
为 了语 文教学 未来 的健康 发展 ，最 后再 三呼 吁， 高考命题 不应该 在作 文题 目上设坎 儿 ， 须降 必
界， 要看 清天下今 日之形 势 ， 看清 未来发展 之趋 要
势 ！ 未来 考生都能在高考 中体 会语文学习的快 要让
乐， 让语文 学习成 为他们今 生 的骄傲 ！ 让广大语 文 教 师为每年语文高考命题齐声 喝彩 ！ 让普天之下共 赢！ 共赢 ！ 共赢 ！
备课 零考
策略 ３ 别具匠心 ， 反客为主 例 ３ 已知 ｋ∈ 试 求 出关 于的方程 ｘ－ ｋ Ｒ， ４２ ｘ ＋ ｋ＋ ｋ ３ ０ ２２ 一 ＝ 所有可能 的整数根 ． 解 ：将原方 程整理为二次方程 ： ２ （ ）＋ ＋ １ （４３ ＝ ， ｋ为实数 ， Ａ ４ １ Ｘ）４ ｘ－ ） ０ ｘ ）０ 因 － 故 ＝ （ 一２一 （２３ ｔ ， ＞ 即 ２２ ， 一 ＋ ≥０ 故 ≤ ≤ ， 故 ＝ １０ １ 一 、 、．
ｌ （） — ：ｌ （） ＋ ）１， ｌｇ １ ＞ ｏ １ 一 ｏ １ （ ＝ 故 ｌ． － ）ｌ ｇ机 ＞ ｇ懈 １ ｏ（
么难 ？ 这是 由语文 学科 因素 造成 的 ， 是我们 自己 还
果， 只会让学生绝情 而去 ， 语文更加孤单寂 寞 ， 令 后 果无 法估量 。 学生 已经 十分 现实。 现实如此残酷 。 今
应分 ０ ＜１ ａ ＜０ 与 ＞１ 两种情况讨论 ，运用对数 的 换底公 式巧妙 地消去 了参数 ， 避免 了分类讨论 ． 策略 ２ 着眼全局 。 整体换 元
化繁为简,辩证高效——谈数学解题过程中简化和避免分类讨论的方法
Ｘ Ｘ
ＬＡ Ｏ Ｃ ＝ ３ ０ 。 ． 设 ： ｍ － ｏ Ｘ ＋ ｎ 魂 （ ｍ， ｎ ∈ Ｒ ） ， 则 的值为（
＇ ． ，
问 题 等 价 于ａ ≥‘ Ｐ （ ｘ ） …，
１ １
例 ８： 已知 函 数ｆ （ ｘ） ＝ ｘ ‘ ＋ ＋ ａ ｌ ｎ ｘ （ ｘ ＞ ０） ，
Ｘ
要 分 为 三类 ， 即有 一 个 方 程 有实 根 。 有 两 个 方 程有 实 根 ， 有 三 个 方 程 有 实 根． 而 且 前 两 类 中又 各 有 三 种 情 况 ， 比较 复 杂 ． 因 此 考 虑 该 问题 的相 反情 况 即 ：三 个 方 程 都 没 有 实 根．求 得 ａ 的 范 围 后． 再在Ｒ 上求 补 集 ． 该 转 化 较好 地 体 现 了正 难 反 则 易 的思 想 ． 解 ： 假 设 三 个 方 程 均 无 实 根 ． 则 有
０， 于 是ａ ≥Ｏ即为 所 求 ． ９ ． 利 用 命题 的否 定 或 反 证 法 实 现 化 归 与转 化
何 关系 ， 把ｏ － ｄ － ＝ ｍ ＋ ｎ － ｏ － ｇ 两边平方 后 ， 得到ｍ， ｎ 的关 系式 ， 从
中求 出一 Ｉ ｌ ｌ ， 比较 繁琐 ． 如果 把ｍ， ｎ 特 殊化 ， 如取 ｍ＝ ｌ ， 则Ａ ｃ Ｉ Ｉ
一
证
高
效
谈 数 学 解题 过 程 中简化 和 避 免 分 类讨 论 的 方法
２ ２ ６ ２ ０ ０ ）
故 Ａ中至 多 只 有 一 个 元 素 时 ， ａ ＝ ０ 或ａ ＞ 二 ． 例２ ： 设０ ＜ ｘ ＜ ｌ ， ａ ＞ ０ 且ａ ≠０ ， 试Ｌ Ｅ ￣Ｉ ｌ ｏ ｇ （ １ 一 ｘ ） Ｉ 与Ｉ ｌ ｏ ｇ （ １ ＋ ｘ ） Ｉ 的大小 ． 并 写 出 比较 过 程 ． 解题 策 略 ：一 般解 法 是 分 和 两 种 情 况 去 掉 绝对 值 后 再 作 差 比较 大 小 ． 而 通 过 下列 变 形 消 去 底数 ａ 后 避 免 对ａ 的分 类讨 论 ．
高考数学二轮复习：极限突破2 分类讨论思想
高考数学二轮复习：极限突破2 分类讨论思想【考情分析】分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。
所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.分类讨论思想是一种重要的数学思想，它在人的思维发展中有着重要的作用，因此在近几年的高考试题中，他都被列为一种重要的思维方法来考察。
分类讨论是每年高考必考的内容，将有一道中档或中档偏上的题目，其求解思路直接依赖于分类讨论，特别关注以下方面：涉及指数、对数底的讨论，含参数的一元二次不等式、等比数列求和，由n S 求n a 等。
【知识交汇】分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。
1．分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则。
有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：（1）涉及的数学概念是分类讨论的；如绝对值|a|的定义分a>0、a ＝0、a<0三种情况。
这种分类讨论题型可以称为概念型。
再有：直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类；（2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的；如等比数列的前n 项和的公式，分q ＝1和q ≠1两种情况。
这种分类讨论题型可以称为性质型。
再有，圆锥曲线的统一定义中图形的分类等；（3）由实际意义分类。
如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论；（4）数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果的；如解不等式ax>2时分a>0、a ＝0和a<0三种情况讨论。
分类讨论思想
＋ ＋
(2)当 q＝1 时，Sk＋1＝(k＋1)a1＝k＋1，Sk＋3＝k＋3，Sk＋2＝k＋2，显然 Sk＋1＋Sk＋2＝ k＋1＋k＋2＝2k＋3≠2Sk＋3，故 Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2 不能构成等差数列；
－1k＋1 1－ 2 1 ＋ 1 2 当 q＝－ 时，Sk＋1＝ ＝ 1－－2k 1 ，同理可得 Sk＋2＝ 2 3 1 1－－2
n n2n，①
nn＋1 ； 2
，②
＋pn－npn
＋1
即 Tn
题型三
参数取值分类讨论
【例 3】 已知 m∈R，求函数 f(x)＝(4－3m)x2－2x＋m 在区间[0,1] 上的最大值． 4 4 解：(1)当 4－3m＝0，即 m＝ 时，函数 y＝－2x＋ ，它在[0,1] 3 3 4 上是减函数，所以 ymax＝f(0)＝ . 3 4 (2)当 4－3m≠0，即 m≠ 时，y 是二次函数 . 3 4 ①若 4－3m>0，即 m< 时，二次函数 y 的图象开口向上，对称轴 3 x＝ 1 >0，它在[0,1]上的最大值只能在区间端点得到(由于 4－3m
3．已知直角坐标平面上点 Q(2,0)和圆 C：x ＋y ＝1，动点 M 到圆 C 的切线长与|MQ|的比等于常数 λ(λ>0)， 试求动点 M 的轨迹方程，它表示什么曲线？ 解：如图，设直线 MN 切圆于 N，则动点 M 组成的集合 P＝{M||MN|＝λ|MQ|}，式中常数 λ>0，因为圆的半径|ON| ＝1，依勾股定理|MN| ＝|MO| －|ON| ＝|MO| －1， 设点 M 的坐标为(x，y)，则
此处不涉及最小值，故不需讨论区间与对称轴的关系)．
f(0)＝m，f(1)＝2－2m. 4 2 4 当 m≥2－2m，又 m< ，即 ≤m< 时，ymax＝m； 3 3 3 4 2 当 m<2－2m, 又 m< ，即 m< 时，ymax＝2－2m. 3 3 4 ②若 4－3m<0，即 m> 时，二次函数 y 的图象开口向下，又 3 它的对称轴方程 x＝ 于是 ymax＝f(0)＝m. 由(1)、(2)可知，这个函数的最大值为
二 分类讨论思想
=2.
关闭
或 .
2
7
解析
答案
高频考点 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点四
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根据字母的取值情况分类讨论 【思考】 题目中含有参数的分类讨论问题主要有哪些?求解的 一般思路是什么? 例4已知函数f(x)=ae2x-be-2x-cx(a,b,c∈R)的导函数f'(x)为偶函数, 且曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为4-c. (1)确定a,b的值; (2)若c=3,判断f(x)的单调性; (3)若f(x)有极值,求c的取值范围.
2
>0,t1<t 2,
1 x1= ln t 1 或 2 1 x2= ln 2
即 f'(x)=0 有两个根
t2.
当x1<x<x2时,f'(x)<0;又当x>x2时,f'(x)>0,从而f(x)在x=x2处取得极 小值. 综上知,若f(x)有极值,则c的取值范围为(4,+∞).
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-������ + 6,������ ≤ 2, f ( x ) = 对点训练1若函数 3 + log������ ������,������ > 2 (a>0,且a≠1)的值域是 [4,+∞),则实数a的取值范围是 .
关闭
∵当 x≤2 时 ,f(x)∈[4,+∞), ∴当 x>2 时 ,函数 f(x)=3+logax 的值域为 [4,+∞)的子集 .
分类讨论思想解题的策略与研究
分类讨论思想解题的策略与研究低塘中学 曾凯学会解题是学习数学的一个重要方面。
熟练掌握数学的基础知识和基本技能是能否顺利解题的基础，深刻理解数学的基本方法、基本思想是能否顺利解题的关键。
“分类讨论”是一种重要的数学思想,也是一种重要的解题策略。
它揭示着数学对象之间的内在规律,有助于学生总结归纳数学知识，使所学知识条理化,提高思维的条理性和概括性。
解答分类讨论问题时的解题策略：首先,要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次,确定分类标准,正确进行合理分类,即标准统一、不漏不重、分类互斥；再对所分类逐步进行讨论,分级进行,获取阶段性结果；最后进行归纳小结,综合得出结论。
怎样利用分类讨论思想解题呢? 下面本文结合近几年全国各省市中考题归纳以下几类需要运用分类讨论思想解题的重要题型：一、 分类讨论思想解决“数与代数”问题1、根据参数的不同取值范围引起的分类讨论例1（2010年新疆）已知c b a ,,为非零实数，且满足k ba c c abc b a =+=+=+，则一次函数)1(k kx y ++=的图像一定经过（ ）A 第一﹑二﹑三象限B 第二﹑四象限C 第一象限D 第二象限解：①若0≠++c b a ，则由等比定理性质得：021)(2)()()(>=++++=+++++++=c b a c b a c b c a b a c b a k ，从而有0231>=+k ， 此时)1(k kx y ++=的图像经过第一﹑二﹑三象限②若0=++c b a ，则有c b a -=+，b c a -=+，a c b -=+，此时01,1=+-=k k 从而知)1(k kx y ++=的图像经过第二﹑四象限综合①和②得，)1(k kx y ++=的图像一定经过第二象限，故选D点评：分式方程、代数恒等式变形以及一些综合题型中常会出现由分母是否为零引起的分类讨论，此时要注意“分而治之”。
2、根据分式是否有意义引起的分类讨论例2（2009年牡丹江）若关于x 的分式方程311x a x x--=-无解，则a = ． 解:方程两边同乘以x(x-1), 得 (x-a)x-3(x-1)= x(x-1),整理,得：(a+2)x =3.当a+2=0,即a =-2 时,新方程无解,那么原方程也一定无解；当x=0 时,原方程无解,此时(a+2)×0 = 3,方程无解；当x=1 时,原方程无解,此时(a+2)×1=3, a=1。
新数学二轮总复习第3讲分类讨论思想转化与化归思想学案含解析
第3讲分类讨论思想、转化与化归思想分类讨论思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法,是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题中发挥着重要作用,大大提高了学生的解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透,并快速找准突破点.充分利用分类讨论思想将复杂问题分解成若干题目涉及的知识角度进行求解。
解题时要注意,按主元分类的结果应求并集,按参数分类的结果要分类给出.思想方法诠释1。
分类讨论的思想含义分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的结果.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.2.分类讨论的原则(1）不重不漏；(2)标准要统一，层次要分明;(3)能不分类的要尽量避免,决不无原则地讨论.3。
分类讨论的常见类型（1）由数学概念而引起的分类讨论;(2)由数学运算要求而引起的分类讨论;（3）由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论；(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论；（5)由参数的变化而引起的分类讨论；（6)由实际意义引起的讨论。
思想分类应用应用一 由数学的概念、定理、公式引起的分类讨论【例1】(1）(2020安徽合肥二模，文10）记F 1，F 2为椭圆C :x 2x+y 2=1的两个焦点，若C 上存在点M 满足xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则实数m 的取值范围是( )A.(0,12]∪［2，+∞） B.[12,1)∪［2,+∞)C 。
(0,12]∪（1,2］D 。
[12,1)∪(1，2］（2）设等比数列{a n ｝的公比为q ，前n 项和S n 〉0(n=1,2,3,…),则q 的取值范围是 。
思维升华1.在中学数学中，一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，基本不等式，等比数列的求和公式等在不同的条件下有不同的结论，或者在一定的限制条件下才成立,应根据题目条件确定是否进行分类讨论.2。
浅析分类讨论问题的基本分类和解题策略
浅析分类讨论问题的基本分类和解题策略摘要：分类讨论是一种重要的逻辑方法，也是中学数学中经常使用的数学思想方法之一，突出考查学生思维的严谨性和周密性，以及认识问题的全面性和深刻性，提高学生分析问题、解决问题的能力，能体现“着重考查数学能力”的要求。
因此分类讨论是历年数学高考的重点与热点，而且也是高考的一个难点。
本文旨在浅析分类讨论问题的基本分类和解题策略。
关键词：分类讨论不重不漏基本分类解题策略分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决。
分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性。
树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论”。
分类讨论是历年数学高考的重点与热点，而且也是高考的一个难点。
本文将通过分类讨论的基本分类给出相应的解题策略。
分类讨论一般分为四个步骤：第一，明确讨论对象，确定对象的范围；第二，确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；第三，逐类讨论，获得阶段性结果；第四，归纳总结，得出结论。
以下通过对分类讨论问题的基本分类，总结相应的解题策略。
类型一：代数中的分类讨论。
分类讨论思想在代数中的应用较多，如数式、方程（组）、不等式（组）等。
例1：解关于x的不等式。
小结：解这类问题的关键是对圆与圆相切分内切和外切两种情况进行讨论。
总得来说，分类讨论的原则有两点：（1）每次分类的对象是确定的，标准是同一的。
分类讨论问题的难点在于什么时候开始讨论，即认识为什么要分类讨论，又从几方面开始讨论。
只有明确了讨论原因，才能准确、恰当地进行分类与讨论。
这就要求我们准确掌握所用的概念、定理、定义，考虑问题要全面。
函数问题中的定义域、方程问题中根之间的大小、直线与二次曲线位置关系中的判别式等等，常常是分类讨论划分的依据。
（2）每次分类的对象不遗漏、不重复、分层次、不越级讨论。
分类讨论的解题策略
分类讨论的解题策略《分类讨论》这篇文章主要是针对语文中经常考的写作文，所以在审题的时候就应该从以下几个方面着手：一、审题立意：《分类讨论》这篇文章主要是针对语文中经常考的写作文，所以在审题的时候就应该从以下几个方面着手： 1、审题立意之最佳选材（ 1）描写人物外貌，开头往往要提到对象的姓名、特点。
描写外貌一般都用一些什么词语？ 2、审题立意之好素材：二、明确范围：《分类讨论》这篇文章主要是从两个方面来说明的，一是从整体的角度上来讲述的，二是从微观的角度上来讲述的，第一点我们主要从整体的角度上来谈，我们可以通过找材料来找答案，而第二点则是我们需要通过微观的角度来找答案，通过仔细的阅读文章，可以发现《分类讨论》这篇文章的说话范围非常的广泛，它既可以指导我们进行社会实践，也可以教育我们如何做事，因此，可以从生活当中寻找素材。
三、确定中心：确定中心有助于解决如何组织文章结构的问题，它能使文章的各部分安排得有条不紊，有主有次，重点突出。
那么确定中心的基本要求有哪些呢？ 1、不可缺少：文章要紧扣住一个中心，运用一种或一种以上的表达方式把要写的内容叙述清楚。
2、不能游离：必须围绕中心把材料有机地组织起来，形成一个有机整体。
3、不能喧宾夺主：必须为中心服务。
4、不可拖泥带水：不可绕圈子。
四、提出问题：这篇文章为了使同学们更加明白文章所想要表达的思想，提出了几个值得深思的问题。
五、解决问题：解决问题是为了完善文章的表达，即是为了使文章内容充实，重点突出。
六、注意事项：分类讨论写法指导一、提炼话题：根据文章内容及结构特点，找准文章的话题，就可以运用以下句式表达：××式。
2、审题立意：抓住文章的主题，围绕主题展开讨论，不要跑题，要把文章的中心思想阐述出来，这是我们写文章最后要追求的目标。
我们知道议论文的中心论点是由论据来证明的，所以我们在选择论据的时候要注意这样几个原则：一是要与文章相符合;二是要典型;三是要新颖。
数学分类讨论总结的四个字
数学分类讨论总结的四个字（原创实用版）目录一、引言二、数学分类讨论的概念三、数学分类讨论的方法四、数学分类讨论的实际应用五、总结正文一、引言数学分类讨论是数学研究中的一个重要方法，它能帮助我们更好地理解和解决复杂的数学问题。
分类讨论是一种思维方法，它要求我们对问题进行详细分析，根据不同情况采取不同的解决策略。
本文将从四个方面对数学分类讨论进行总结。
二、数学分类讨论的概念数学分类讨论，顾名思义，就是在解决数学问题时，根据问题的不同情况进行分类，然后对每类问题采取相应的解决方法。
分类讨论能够化繁为简，将复杂的问题分解为若干个简单的问题，从而更容易找到问题的解决之道。
三、数学分类讨论的方法在进行数学分类讨论时，通常需要遵循以下几个步骤：1.确定分类标准：根据问题的特点，确定合适的分类标准。
分类标准可以是问题的形式、性质、条件等。
2.分类：根据分类标准，将问题划分为不同的类别。
分类要尽可能地细致，以便于对每类问题采取针对性的解决方法。
3.讨论：针对每类问题，分别进行讨论。
讨论时要注意问题的特点，根据不同情况选择合适的解题方法。
4.综合：将各类问题的解综合起来，得出最终的解答。
综合时要注意检查答案的合理性和完整性。
四、数学分类讨论的实际应用数学分类讨论在数学的各个领域都有广泛的应用，例如代数、几何、微积分等。
下面举一个简单的例子来说明分类讨论的方法：问题：求方程 x^2 - ax + 1 = 0 的根。
解：我们可以根据判别式Δ = a^2 - 4 的值进行分类讨论。
（1）当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实根；（2）当Δ = 0 时，方程有两个相等的实根；（3）当Δ < 0 时，方程无实根。
通过分类讨论，我们可以得到方程的解的情况，从而更容易地解决问题。
五、总结数学分类讨论是一种重要的数学思维方法，它能帮助我们更好地解决复杂的数学问题。
在进行分类讨论时，要注重问题的特点，根据不同情况采取针对性的解决方法。