01.线性系统的状态空间描述

n ? x
1 x2 , x 2 x3 ,, x n1 xn x
n a0 x1 a1 x2 an 2 xn 1 an 1 xn b0u x y x1
u b0 +
n x
-
∫ an-1 an-2 a1 a0
xn
xn-1 ∫
...
单输入单输出，包含输入量的导数项
y (3) a2 y ( 2) a1 y (1) a0 y b3u (3) b2u ( 2) b1u (1) b0u
Y ( s) b3s 3 b2 s 2 b1s b0 W ( s) 3 U ( s) s a2 s 2 a1s a0 (b2 a2b3 ) s 2 (b1 a1b3 ) s (b0 a0b3 ) W ( s) b3 s3 a2 s 2 a1s a0
di1 R i L 1 1 1 dt uc u1 u L di2 R i u c 2 2 2 2 dt du i1 i2 C C dt y R2i2 u2
0 u 1 1 u 2 L2
线性系统状态空间描述
状态方程 系统矩阵
Ax Bu x
输出方程
y Cx Du
控制矩阵 a1n b11 a11 a12 b a a a 21 22 2 n B 21 A ann bn1 an1 an 2 输出矩阵 直接传递矩阵 c1n c11 c12 d11 c d c c 2n C 21 22 D 21 c c c rn r1 r 2 d r1 输出向量
1 , x3 y 1 x1 y1 , x2 y
1 x2 x 2 x3 x 3 a0 x1 a1 x2 a2 x3 u x
y b3u (b2 a2b3 ) x3 (b1 a1b3 ) x2 (b0 a0b3 ) x1
1 0 x x 2 0 3 x a0
1 Y1 ( s ) 3 U ( s) 2 s a2 s a1s a0
Y ( s ) b3U ( s ) Y1 ( s )[(b2 a2b3 ) s 2 (b1 a1b3 )s (b0 a0b3 )] 1 (b1 a1b3 ) y 1 (b0 a0b3 ) y1 y b3u (b2 a2b3 ) y
b12 b22 bn 2
b1m b2 m bnm
d12 d 22 dr 2
d1m d 2m d rm
状态向量
x1 x x 2 xn
y1 y y 2 yr
x3 ∫
x2 ∫
x1
y
y ( n) an1 y ( n1) a1 y (1) a0 y b0u x1 y, x2 y (1) , , xn y ( n1)
友矩阵
1 0 1 0 0 x1 0 x x 2 0 0 1 0 x2 0 u x 0 0 0 1 x n 1 n 1 0 n x a0 a1 a2 an 1 xn b0 y 1 0 0 0 x x1
控制向量
u1 u u 2 u m
线性系统状态表达式的结构框图
D u B
x
+ +
∫ A
x
C
y
Ax Bu x y Cx Du
状态空间描述的一般形式
线性控制系统的一般形式是
A(t ) x B(t ) u x y C (t ) x D( t ) u
R1 L 1 1 x x 2 0 3 x 1 C y 0 R2
0 R2 L2 1 C

1 L1 1 x1 L1 1 x 2 L2 x3 0 0
1 Y1 ( s ) 3 U ( s) 2 s a2 s a1s a0
Y ( s ) b3U ( s ) Y1 ( s )[(b2 a2b3 ) s 2 (b1 a1b3 )s (b0 a0b3 )] 1 (b1 a1b3 ) y 1 (b0 a0b3 ) y1 y b3u (b2 a2b3 ) y
1 0 x C 1 1 u R x 2 L L
微分方程建立状态空间描述
单输入单输出，不包含输入量的导数项 y ( n) an1 y ( n1) a1 y (1) a0 y b0u b0 W ( s) n s an1s n 1 a1s a0
第一章 线性系统的 状态空间描述
2012年3月9日
第一章 线性系统的状态空间描述



1．1 状态变量及状态空间描述 1．2 状态空间描述的建立 1．3 状态向量的线性变换 1．4 由状态空间描述求传递函数阵 1．5 时变系统和非线性系统的状态空间方程
1．1 状态和状态空间
控制系统建模
7 y 6u y 6 y 41y
, x3 x1 y, x2 y y
1 0 1 0 x1 0 x x 2 0 0 1 x2 0 u 3 x 7 41 6 x3 6 x1 y 1 0 0 x2 x1 x3
1 0 x1 0 0 1 x2 0 u a1 a2 x3 1
x1 y (b0 a0b3 ) (b1 a1b3 ) (b2 a2b3 ) x2 b3u x3 b
式中， A(t) ，B(t) ，C(t) ，D(t) 分别是n ×n ，n ×m ， r×n和r×m矩阵。
1．2 状态空间描述的建立



机理建模 根据髙阶微分方程建立状态空间描述 根据结构框图建立状态空间描述
根据系统的机理出发建立状态空 间描述
R1 + i1 u1 (t) uC + i2 C R1 + y u 2( t) L1 L2
x1 u1 0 x2 0 1 u2 x 3
x1 i1 , x2 i2 , x3 uC
机理建模
R u
电压源
C L
uc
duc C i dt di L Ri uc u dt
i C R u u i i c L L L c u

1 1 C x1 C u R x2 0 L
控制系统中状态的基本概念



状态变量 状态向量 状态空间 状态方程 输出方程 输入变量 输出变量
状态变量
能够完全描述系统运动的独立的最小 个数的一组变量称为系统的状态，这组变 量中的每一个变量，均是系统的状态变量。 系统状态满足以下三个条件： 1）系统的各个状态变量是相互独立的变 量； 2）在任一初始时刻，这组状态变量的值 表征着系统的初始状态； 3）如果已知系统的初始状态和初始时刻 以后的输入变量，用这组状态变量，确定 未来时刻系统的运动是充分和必要的。
3
b1 a2b3
u
+ - - -
y1
x3
a2
1 y x3
a1

1 y
x2

y1
b1 a1b3
+ + +
x1
Fra Baidu bibliotek
b0 a0b3 +
y
a0
单输入单输出，包含输入量的导数项
y ( n ) an 1 y ( n 1) a1 y (1) a0 y bmu ( m ) bm1u ( m1) b1u (1) b0u
yn ∫ yn-1 yn-2 ∫ ... y'' ∫ y' ∫ y
x1 y, x2 y (1) , , xn y ( n1)
xn' ∫ xn xn-1 ∫ ... x3 ∫ x2 ∫ x1
1 x2 , x 2 x3 ,, x n1 xn x
y ( n ) b0u an 1 y ( n 1) a1 y (1) a0 y n b0u an 1 xn a1 x2 a0 x1 x
iL u(t) vC iC L C R
电流源
dv iC C C u (t ) iL dt di L L vC RiL dt
x1 vc x2 i L
1 1 x2 u C C 1 R 2 x1 x2 x L L y (t ) Rx2 1 x
此系统有两个独立储能元件，即电容C和 电感L，所以应有两个状态变量。
状态向（矢）量
如果系统的状态变量用 x1 (t ), x2 (t ),......xn (t ) 表示，把 这些状态变量看作向（矢）量 x(t ) 的分量，则 x(t ) 称为状态向（矢）量。
状态空间
以状态变量 x1 (t ), x 2 (t ),......x n (t ) 为坐标轴所构 成的n维空间，称为状态空间。 任意时刻的状态向（矢）量是状态空间中的 一点。
状态方程
由系统的状态变量构成的一阶微分方 程组称为系统的状态方程。 或描述系统的状态变量变化的一阶向 量矩阵微分方程称为系统的状态方程。
输出方程
在指定系统输出的情况下，该输出与 状态变量间的函数关系式，称为系统的输 出方程。
输入变量
由外部源作用的系统上的、控制或影 响系统运动的一些变量，称为系统的输 入变量，或控制变量。
1 0 x x 2 0 xn 1 0 n x a0 1 0 0 1 0 0 a1 a2 0 x1 0 0 x2 0 u 1 xn 1 0 an 1 1 xn
状态方程 x Ax Bu 输出方程 y [0 R] x
0 x1 x x , A 1 2 L

1 1 C ,B C R 0 L
1 0 x x 2 1 L
x1 uc
此系统有两个独立储能元件，即电容C和 电感L，所以应有两个状态变量。
x2 i
AX Bu X
0 x1 X x , A 1 2 L 1 0 C ,B 1 R L L
1 0 x x 2 1 L