绝对值不等式的性质及其解法

b a a+b O 如果a<0, b>0，如下图可得：|a+b|<|a|+|b|
x
a+b b a O （3）如果ab=0，则a=0或b=0，易得： |a+b|=|a|+|b|
x
定理1
这个不等式称为绝 如果a, b是实数，则
对值三角不等式。
|a+b|≤|a|+|b|
当且仅当ab≥0时，等号成立。
探究： 如果把定理1中的实数a, b分别换成向量a, b, 能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？
作业：P20第7题、第8题(1)(3)
补充练习：解不等式：
（1）1<|2x+1|≤3.
（2）||x-1|-4|<2.
（3）|3x-1|>x+3. 答案：（1）{x|0<x≤1或-2≤x<-1} （2）{x|-5<x<-1或3<x<7}
1 （3） {x | x 或x 2} 2
1 作业 P20第7题第(1)解不等式 3 x 4 6
ax b 0 ax b 0 | ax b | c(c 0) 或 ax b c (ax b) c
ax b 0 ax b 0 | ax b | c(c 0) 或 ax b c (ax b) c
例5
解不等式 1 x 2 5 x
解 法3： 将 原 不 等 式 转 化 为 1 x 2 5 0 x 构 造 函 数 x 1 x 2 5， 即 y 2 x 6, x -2 y - 2, -2 x1 2x - 4 , -3 x1 作出函数图象 ，
3x 4 1 解 : 原不等式等价于下列不 等式组 3x 4 6 5 x 1或x 3 3 x 4 1或 3 x 4 1 即 6 3 x 4 6 10 x 2 3 3 10 5 2 解得 x 或1 x 3 3 3 2 10 5 故原不等式的解集为 , 1, . 3 3 3
8.解不等式:
( 2) x 2 x 3 4 解 : 当x 3时, 原不等式可化为 ( x 2) ( x 3) 4, x 3 5 解得x , 即不等式组 2 x2 x3 4 的解集是( ,3]. 当 3 x 2时, 原不等式可化为 ( x 2) ( x 3) 4, 3 x 2 即5 4显然成立, 所以不等式组 x2 x3 4 的解集为( 3,2). 当x 2时, 原不等式可化为 x 2) ( x 3) 4, ( x 2 3 即x , 不等式组 的解集是[ 2,). 2 x2 x3 4 综上所述, 原不等式的解集是 . R
问题2：你能根据定理1的研究思路，探究一下 |a|，|b|，|a-b|，|a+b|,之间的关系吗？
|a|-|b|≤|a+b|,
|a|+|b|≥|a-b|,
|a|-|b|≤|a-b|.
如果a, b是实数，那么 |a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|
例1 已知ε >0，|x-a|<ε ,|y-b|<ε ，求证：
|ax+b|<c
-c<ax+b<c
并
课堂练习：P20第6题
（2） a x b c和 x a x b c x 型不等式的解法
例5
解不等式 1 x 2 5 x
A1 -3 A -2 B 1 B1 2 x
解 法1： 设 数 轴 上 与 2， 对 应 的 点 分 别 是，，B 1 A
( 3) x 1 x 2 2 解 : 当x 1时, 原不等式可化为 ( x 1) ( x 2) 2, x 1 1 1 解得x , 即不等式组 的解集是 ,1 . 2 2 x 1 x 2 2 当1 x 2时, 原不等式可化为 x 1) ( x 2) 2, ( 1 x 2 即1 2显然成立, 所以不等式组 的 x 1 x 2 2 解集是(1,2). 5 当x 2时, 原不等式可化为x 1 x 2 2, 即x , 2 x 2 5 所以不等式组 的解集是 2, . 2 x 1 x 2 2 1 5 综上所述, 原不等式的解集是 , . 2 2
|2x+3y-2a-3b|<5ε .
证明： |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|<2ε +3ε=5ε. 所以 |2x+3y-2a-3b|<5ε .
定理2
如果a, b, c是实数，那么
D.m n
小结：理解和掌握绝对值不等ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的两个定理：
|a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R,ab≥0时等号成 立） |a-c|≤|a-b|+|b-c|(a,b,c∈R,
(a-b)(b-c)≥0时等号成立） 能应用定理解决一些证明和求最值问题。
作业：课本P20第3，4，5题
2、绝对值不等式的解法
|a-c|≤|a-b|+|b-c|
当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。 证明：根据绝对值三角不等式有 |a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c| 当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。
例 : 若 x m , y m , 下列不等式中一定成立 的是( B ) A. x - y C . x y 2 B . x y 2 D. x y
式 的 解 集 是 ， 3 2，
例5
解不等式 1 x 2 5 x
解 法2： 当x 2,时， 原 不 等 式 可 以 化 为 ( x 1) ( x 2) 5,
解 得x 3, 此 时 不 等 式 的 解 集 为 ,3
例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个 地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第 10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施 工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生 活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工 队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于 何处？
分析：假设生活区建在公路路碑的第xkm处，两个施 工队每天往返的路程之和为S(x)km，则有
当ab 0时，ab ab,| a b | (a b) 2 a 2 2ab b 2 | a |2 2 | ab | | b |2 | a | 2 | ab | | b | (| a | | b |) | a | | b |,
2 2 2
所以 | a b || a | | b |, 当且仅当ab 0时，等号成立。
绝对值不等式性质及解法
二、绝对值不等式
1、绝对值三角不等式
实数a的绝对值|a|的几何意义是表示数轴 上坐标为a的点A到原点的距离： |a|=-a(a<0) |a|=a(a>0) x A(a) A(a) O
任意两个实数a,b在数轴上的对应点分别为A、B， 那么|a-b|的几何意义是A、B两点间的距离。 |a-b|
S(x)=2(|x-10|+|x-20|)，要求问题化归为求该函数的 最小值，可用绝对值三角不等式求解。
练习： P19第1，2
补充练习: .已知 a b , m ab a b ,n ab ab , 则m, n之间的
大小关系是( D ) A.m n B.m n
C.m n
例3 解不等式|3x-1|≤2
例4 解不等式|2-3x|≥7 补充例题：解不等式
1 1 (1) (3 | x | 1) | x | 3 4 2 2 (2) x 3 4 | x | .
|ax+b|<c和|ax+b|>c(c>0)型不等式比较：
类型 化去绝对值后 集合上解的意义区别
{x|ax+b>-c} ∩ {x|ax+b<c}, 交 {x|ax+b<-c}∪ |ax+b|>c ax+b<-c或ax+b>c {x|ax+b>c},
• 复习：如果a>0，则 |x|<a的解集是(-a, a)； |x|>a的解集是(-∞,-a)∪(a,+∞)
-a
O |x|<a
a
x
-a
O |x|>a
a
x
（1）|ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的 解法： ①换元法：令t=ax+b, 转化为|t|≤c和|t|≥c 型不等式，然后再求x，得原不等式的解集。 ②分段讨论法：
即3 5, 矛 盾， 此 时 不 等 式 的 解 集 为
当 2 x 1时, 原 不 等 式 可 以 化 为 ( x 1) ( x 2) 5, 当x 1时, 原 不 等 式 可 以 化 为 x 1) ( x 2) 5, ( 综 上 所 述 可 知 原 不 等 的 解 集 为 ， 3 2， 式 解 得x 2, 此 时 不 等 式 的 解 集 为2,
y
ab
a
O
b
当向量a, b共线时， 有怎样的结论？
x
定理1的代数证明：
证明：当ab 0时，ab | ab |,| a b | (a b)2 a 2 2ab b2 | a |2 2 | ab | | b |2 (| a | | b |) 2 | a | | b |
y
O -2
2 x
由 图 象 可 知 原 不 等 式 解 集 为 ,3 2, 的
（2） a x b c和 x a x b c x 型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义
②零点分区间法
③构造函数法
练习：P20第8题(2)
8.(2)解不等式x 2 x 3 4
x
A(a)
B(b)
问题1：从“运算”的角度|a|,|b|,|a+b|具 有怎样的关系？
分ab>0、ab<0和ab=0三种情形讨论： （1）当ab>0时，如下图可得|a+b|=|a|+|b| x
O
a
b
a+b
a+b
b
a
O
x
（2）当ab<0时，也分为两种情况：如果a>0,b<0， 如下图可得：|a+b|<|a|+|b|
1 那 么A，， 两 点 的 距 离 是， 因 此 区 间 2， 上 的 3
数 都 不 是 原 不 等 式 的 。 将 点A向 左 移 动 个 单 位 解 1 到 点A1， 这 时 有A1 A A1 B 5； 同 理， 将 点B向 右 移 动 一 个 单 位 到 点， 这 时 也 有B1 A B1 B 5， B1 从 数 轴 上 可 以 看 到 点与B1之 间 的 任 何 点 到 点， A1 A B的 距 离 之 和 都 小 于 点A1的 左 边 或 点 1的 右 边 5； B 的 任 何 点 到 点 ，， 的 距 离 之 和 都 大 于 故 原 不 等 A 。